Eindimensionale Zufallsvariablen. Zufallsvariable und ihre Hauptmerkmale

Zufälliger Wert- Dies ist eine Größe, die als Ergebnis eines Experiments einen von vielen Werten annimmt, und das Auftreten des einen oder anderen Werts dieser Größe kann vor ihrer Messung nicht genau vorhergesagt werden.

Formell mathematische Definition Folgendes: Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist eine Zufallsvariable eine Funktion, die in Bezug auf die Borel-σ-Algebra auf messbar ist. Das probabilistische Verhalten einer einzelnen (von anderen) Zufallsvariablen wird vollständig durch ihre Verteilung beschrieben.

Definition [Bearbeiten]

Raum elementarer Ereignisse [Bearbeiten]

Der Raum elementarer Ereignisse beim Würfeln

Wenn ein Würfel geworfen wird, kann die Oberseite auf einer von sechs Seiten mit einer Anzahl von Punkten zwischen eins und sechs landen. Verlust jeglicher Kante in diesem Fall in der Wahrscheinlichkeitstheorie heißt das ein Elementarereignis

Die Menge aller Gesichter bildet einen Raum elementarer Ereignisse, deren Teilmengen Zufallsereignisse genannt werden. Im Falle eines einmaligen Würfelns gibt es Beispiele für Ereignisse

Algebra der Ereignisse [Bearbeiten]

Ein Haufen Zufällige Ereignisse bildet eine Algebra von Ereignissen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Wenn anstelle der dritten Bedingung eine andere Bedingung erfüllt ist: Die Vereinigung einer abzählbaren Unterfamilie von gehört ebenfalls zu , dann bildet die Menge der Zufallsereignisse eine σ-Algebra von Ereignissen.

Die Algebra der Ereignisse ist ein Sonderfall der σ-Algebra der Mengen.

Die kleinste aller möglichen Algebren, deren Elemente alle Intervalle auf der reellen Geraden sind, heißt Borelsche σ-Algebra auf der Menge der reellen Zahlen.

Wahrscheinlichkeit [Bearbeiten]

Wenn jedem Elementarereignis eine Zahl zugeordnet ist, für die die Bedingung erfüllt ist:

dann geht man davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten elementarer Ereignisse gegeben sind. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als abzählbare Teilmenge des Raums der Elementarereignisse ist definiert als die Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse, die zu diesem Ereignis gehören. Das Erfordernis der Anrechenbarkeit ist wichtig, da sonst der Betrag nicht ermittelt werden kann.

Betrachten wir ein Beispiel für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit verschiedener Zufallsereignisse. Wenn ein Ereignis beispielsweise eine leere Menge ist, ist seine Wahrscheinlichkeit Null:

Wenn ein Ereignis ein Raum elementarer Ereignisse ist, dann ist seine Wahrscheinlichkeit gleich eins:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (eine Teilmenge des Raums elementarer Ereignisse) ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen elementaren Ereignisse, die das betreffende Ereignis umfasst.

Definition einer Zufallsvariablen [Bearbeiten]

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die in Bezug auf die Borelsche σ-Algebra messbar ist.

Eine Zufallsvariable kann auf eine andere äquivalente Weise definiert werden. Eine Funktion wird als Zufallsvariable bezeichnet, wenn sie für beliebige reelle Zahlen und eine Reihe von Ereignissen gilt , gehört .

Beispiele [Bearbeiten]

gleich dem arithmetischen Mittel aller akzeptierten Werte.

also erwarteter Wert nicht definiert.

Klassifizierung [Bearbeiten]

Zufällige Variablen kann diskrete, kontinuierliche und diskret-kontinuierliche Werte annehmen. Dementsprechend werden Zufallsvariablen in diskrete, kontinuierliche und diskret-kontinuierliche (gemischte) Variablen eingeteilt.

Im Testschema kann sowohl eine einzelne Zufallsvariable (eindimensional/skalar) als auch ein ganzes System eindimensionaler, zusammenhängender Zufallsvariablen (mehrdimensional/vektorisch) definiert werden.

Ein Beispiel für eine gemischte Zufallsvariable ist die Wartezeit beim Durchlaufen Autobahn in der Stadt an einer unkontrollierten Kreuzung.
In unendlichen Schemata (diskret oder kontinuierlich) ist es zweckmäßig, die zunächst elementaren Ergebnisse quantitativ zu beschreiben. Zum Beispiel Anzahl der Abstufungen der Unfallarten bei der Analyse von Verkehrsunfällen; Betriebszeit des Geräts während der Qualitätskontrolle usw.
Numerische Werte, die die Ergebnisse von Experimenten beschreiben, charakterisieren möglicherweise nicht unbedingt einzelne Elementarergebnisse im Testschema, sondern entsprechen auch einigen komplexeren Ereignissen.

Einerseits können mehrere gemeinsam zu analysierende Zahlenwerte gleichzeitig einem Testschema und einzelnen darin enthaltenen Ereignissen zugeordnet werden.

Zum Beispiel die Koordinaten (Abszisse, Ordinate) einer Granatenexplosion beim Beschuss Bodenziel; metrische Abmessungen (Länge, Breite usw.) von Teilen während der Qualitätskontrolle; Ergebnisse einer ärztlichen Untersuchung (Temperatur, Druck, Puls usw.) bei der Diagnose des Patienten; Daten der Volkszählung (nach Alter, Geschlecht, Einkommen usw.).

Da die Werte der numerischen Merkmale der Testschemata einigen zufälligen Ereignissen im Schema (mit ihren bestimmten Wahrscheinlichkeiten) entsprechen, sind diese Werte selbst zufällig (mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten). Daher werden solche numerischen Merkmale üblicherweise als Zufallsvariablen bezeichnet. In diesem Fall wird die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten entsprechend den Werten einer Zufallsvariablen als Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen bezeichnet.

Beschreibungsmethoden [Bearbeiten]

Sie können eine Zufallsvariable teilweise angeben und so alle ihre Wahrscheinlichkeitseigenschaften als separate Zufallsvariable beschreiben, indem Sie die Verteilungsfunktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte und verwenden charakteristische Funktion, wodurch die Wahrscheinlichkeiten seiner möglichen Werte bestimmt werden. Die Verteilungsfunktion F(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte der Zufallsvariablen kleiner als die reelle Zahl x sind. Aus dieser Definition folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in das Intervall fällt

Eine Zufallsvariable kann im Allgemeinen Werte in jedem messbaren Raum annehmen. Dann wird es häufiger als Zufallsvektor oder Zufallselement bezeichnet. Zum Beispiel,

Siehe auch [Bearbeiten]

Zufälliger Prozess
Verteilungsfunktion
Erwarteter Wert

Notizen [Bearbeiten]

1 2 Chernova N. I. Kapitel 1. § 2. Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie // Wahrscheinlichkeitstheorie. - Lernprogramm. - Nowosibirsk: Staat Nowosibirsk. Univ., 2007. - 160 S.
Chernova N. I. Kapitel 3. § 1. Algebra und Sigma-Algebra von Ereignissen // Wahrscheinlichkeitstheorie. - Lernprogramm. - Nowosibirsk: Staat Nowosibirsk. Univ., 2007. - 160 S.
Chernova N. I. KAPITEL 1 § 2. Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie // Wahrscheinlichkeitstheorie. - Lernprogramm. - Nowosibirsk: Staat Nowosibirsk. Univ., 2007. - 160 S.
1 2 Chernova N. I. Kapitel 6. Zufallsvariablen und ihre Verteilungen § 1. Zufallsvariablen // Wahrscheinlichkeitstheorie. - Lernprogramm. - Nowosibirsk: Staat Nowosibirsk. Univ., 2007. - 160 S.

Literatur [Bearbeiten]

Gnedenko B.V. Kurs zur Wahrscheinlichkeitstheorie. - 8. Aufl. hinzufügen. und korr. - M.: Editorial URSS, 2005. - 448 S.
Mathematisches enzyklopädisches Wörterbuch / Kap. Hrsg. Prokhorov Yu. V. - 2. Aufl. - M.: " Sowjetische Enzyklopädie", 1998. - 847 S.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Statistische Analyse und Synthese funktechnischer Geräte und Systeme. - Lehrbuch für Universitäten. - M.: Radio und Kommunikation, 1991. - 608 S. - ISBN 5-256-00789-0
Chernova N. I. Wahrscheinlichkeitstheorie. - Lernprogramm. - Nowosibirsk: Staat Nowosibirsk. Univ., 2007. - 160 S.

VERTEILUNGSGESETZ UND EIGENSCHAFTEN

ZUFÄLLIGE VARIABLEN

Zufallsvariablen, ihre Klassifizierung und Beschreibungsmethoden.

Eine Zufallsgröße ist eine Größe, die experimentell den einen oder anderen Wert annehmen kann, der aber nicht im Voraus bekannt ist. Für eine Zufallsvariable können Sie daher nur Werte angeben, von denen sie aufgrund eines Experiments definitiv einen annimmt. Im Folgenden nennen wir diese Werte mögliche Werte der Zufallsvariablen. Da eine Zufallsvariable das Zufallsergebnis eines Experiments quantitativ charakterisiert, kann sie als quantitatives Merkmal eines Zufallsereignisses betrachtet werden.

Zufallsvariablen werden normalerweise in Großbuchstaben angegeben Lateinisches Alphabet, zum Beispiel X..Y..Z, und ihre möglichen Werte werden in entsprechenden Kleinbuchstaben angegeben.

Es gibt drei Arten von Zufallsvariablen:

Diskret; Kontinuierlich; Gemischt.

Diskret ist eine Zufallsvariable, deren Anzahl möglicher Werte eine abzählbare Menge bildet. Eine Menge, deren Elemente nummeriert werden können, heißt wiederum zählbar. Das Wort „diskret“ kommt vom lateinischen discretus und bedeutet „diskontinuierlich, aus einzelnen Teilen bestehend“.

Beispiel 1. Eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl fehlerhafter Teile X in einer Charge von nProdukten. Tatsächlich sind die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen eine Reihe von ganzen Zahlen von 0 bis n.

Beispiel 2. Eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl der Schüsse, bevor das Ziel zum ersten Mal getroffen wird. Hier können wie im Beispiel 1 die möglichen Werte nummeriert werden, wobei im Grenzfall der mögliche Wert eine unendlich große Zahl ist.

Kontinuierlich ist eine Zufallsvariable, deren mögliche Werte kontinuierlich ein bestimmtes Intervall der numerischen Achse ausfüllen, das manchmal als Existenzintervall dieser Zufallsvariablen bezeichnet wird. Somit ist in jedem endlichen Existenzintervall die Anzahl möglicher Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen unendlich groß.

Beispiel 3. Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist der monatliche Stromverbrauch eines Unternehmens.

Beispiel 4. Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist der Fehler bei der Höhenmessung mit einem Höhenmesser. Aus dem Funktionsprinzip des Höhenmessers sei bekannt, dass der Fehler im Bereich von 0 bis 2 m liegt. Daher ist das Existenzintervall dieser Zufallsvariablen das Intervall von 0 bis 2 m.

Verteilungsgesetz von Zufallsvariablen.

Eine Zufallsvariable gilt als vollständig spezifiziert, wenn ihre möglichen Werte auf der Zahlenachse angegeben sind und das Verteilungsgesetz aufgestellt ist.

Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen ist eine Beziehung, die einen Zusammenhang zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten herstellt.

Man sagt, dass eine Zufallsvariable nach einem gegebenen Gesetz verteilt ist oder einem gegebenen Verteilungsgesetz unterliegt. Als Verteilungsgesetze werden eine Reihe von Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Wahrscheinlichkeitsdichten und charakteristischen Funktionen verwendet.

Das Verteilungsgesetz liefert eine vollständige wahrscheinliche Beschreibung einer Zufallsvariablen. Nach dem Verteilungsgesetz kann man vor dem Experiment beurteilen, welche möglichen Werte einer Zufallsvariablen häufiger und welche seltener auftreten.

Für eine diskrete Zufallsvariable kann das Verteilungsgesetz tabellarisch, analytisch (in Form einer Formel) und grafisch angegeben werden.

Die einfachste Form, das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen anzugeben, ist eine Tabelle (Matrix), die in aufsteigender Reihenfolge alle möglichen Werte der Zufallsvariablen und ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auflistet, d.h.

Eine solche Tabelle wird als Verteilungsreihe einer diskreten Zufallsvariablen bezeichnet. 1

Ereignisse X 1, X 2,..., X n, die darin bestehen, dass die Zufallsvariable X als Ergebnis des Tests die Werte x 1, x 2,... x n annimmt, sind inkonsistent und die einzig möglichen (da die Tabelle alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen auflistet), d.h. eine komplette Gruppe bilden. Daher ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich 1. Also für jede diskrete Zufallsvariable

(Diese Einheit ist irgendwie auf die Werte der Zufallsvariablen verteilt, daher der Begriff „Verteilung“).

Die Verteilungsreihe lässt sich grafisch darstellen, wenn auf der Abszissenachse die Werte der Zufallsvariablen und auf der Ordinatenachse die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aufgetragen werden. Die Verbindung der erhaltenen Punkte bildet eine gestrichelte Linie, die als Polygon oder Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet wird (Abb. 1).

Beispiel Die Lotterie beinhaltet: ein Auto im Wert von 5.000 Den. Einheiten, 4 Fernseher für 250 Höhlen. Einheiten, 5 Videorecorder im Wert von 200 Höhle. Einheiten Insgesamt werden 1000 Tickets für 7 Tage verkauft. Einheiten Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für den Nettogewinn, den ein Lottoteilnehmer erhält, der ein Los gekauft hat.

Lösung. Mögliche Werte der Zufallsvariablen X – der Nettogewinn pro Los – sind gleich 0-7 = -7 Geld. Einheiten (wenn das Los nicht gewonnen hat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 Höhle. Einheiten (wenn das Ticket den Gewinn eines Videorekorders, Fernsehers oder Autos enthält). Wenn man bedenkt, dass von 1000 Losen die Zahl der Nichtgewinner 990 beträgt und die angegebenen Gewinne jeweils 5, 4 und 1 betragen, und zwar mit klassische Definition Wahrscheinlichkeiten erhalten wir.

Zufälliger Wert als Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt sehr wichtig in seinen Anwendungen. Dieses Konzept ist ein abstrakter Ausdruck eines zufälligen Ereignisses. Darüber hinaus ist es manchmal bequemer, mit Zufallsvariablen zu arbeiten als mit Zufallsereignissen.

Zufällig ist eine Größe, die als Ergebnis eines Experiments den einen oder anderen (aber nur einen) Wert annehmen kann (vor dem Experiment ist nicht bekannt, welcher).

Veranstaltungen sind in der Regel gekennzeichnet in Großbuchstaben Lateinisches Alphabet, Buchstabenwahrscheinlichkeit R, Zum Beispiel, R(A). Realisierungen eines Ereignisses (Zufallsvariablen) werden in Kleinbuchstaben angegeben: A 1 , A 2 , …, A N.

Da in der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik werden in Betracht gezogen Massenphänomene, dann wird üblicherweise die Zufallsvariable charakterisiert mögliche Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.

Unter den in der Praxis vorkommenden Zufallsvariablen lassen sich diskrete und kontinuierliche unterscheiden.

Diskrete Zufallsvariablenwerden solche genannt, die nur voneinander getrennte Werte annehmen und im Voraus aufgezählt werden können. Zum Beispiel die Anzahl der Autos auf einem bestimmten Kilometerabschnitt der Straße zu einem bestimmten Zeitpunkt; Anzahl defekter Komponenten von Autoteilen in einer Charge von N Dinge.

Für diskrete Zufallsvariablen Charakteristisch ist, dass sie getrennte, isolierte Werte, die vorab aufgelistet werden können. Beispielsweise kann die Anzahl der Autos auf einem bestimmten Straßenabschnitt nur ganzzahlige Werte 0, 1,2, ... annehmen. P und hängt von der Tageszeit und der Verkehrsintensität ab.

Es gibt andere Arten von Zufallsvariablen, die häufiger auftreten und einen großen Wert haben praktische Bedeutung.

Kontinuierliche Zufallsvariableheißt jemand, dessen mögliche Werte ein bestimmtes Intervall kontinuierlich ausfüllen(numerisches Achsenintervall). Das Zahlengeradenintervall kann endlich oder unendlich sein. Beispiele für kontinuierliche Zufallsvariablen sind die Betriebszeit eines Autos unter bestimmten Straßenbedingungen, die Geschwindigkeit eines Autos auf einer bestimmten Straße und Messfehler.

Im Gegensatz zu diskret Mögliche Werte kontinuierlicher Zufallsvariablen können nicht im Voraus aufgelistet werden, da sie kontinuierlich eine bestimmte Lücke füllen.

Zufallsvariablen werden normalerweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet - X, Y, Z, T, und ihre möglichen Werte sind entsprechend klein x i, y i, z i, t i, Wo ich = 1, 2, .... P.

Betrachten Sie eine diskrete Zufallsvariable X mit möglichen Werten X 1 , X 2 , …, xn. Als Ergebnis wiederholter Experimente wurde der Wert T kann jeden der Werte annehmen x i, d.h.:

X = x 1 ; X = x 2 ; ...; X = xn.

Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse mit dem Buchstaben R mit den entsprechenden Indizes:

P(X = x 1)= p 1 ; P(X = x 2)= p 2 ; ...; P(X = x n)= p n .

Basierend auf der Tatsache, dass Ereignisse x i eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden, d. h. es können keine anderen Ereignisse auftreten, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte der Zufallsvariablen T ist gleich eins.

Diese Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich irgendwie auf die einzelnen Werte der Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariable kann aus probabilistischer Sicht vollständig beschrieben werden, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses genau angegeben ist, d. h. diese Verteilung angegeben ist. Dadurch wird das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen festgelegt.

Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablenist jede Beziehung, die einen Zusammenhang zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten herstellt. Wenn man es weiß, kann man vor dem Experiment beurteilen, welche Werte einer Zufallsvariablen häufiger und welche seltener auftreten. Die Methoden bzw. Formen zur Darstellung des Verteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen sind unterschiedlich.

Die einfachste Form der Aufgabe Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen T ist eine Verteilungsreihe oder eine Tabelle mit den möglichen Werten dieser Größe und ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Bildungseinrichtung „Belarussischer Staat“.

Agrarakademie"

Abteilung für Höhere Mathematik

Richtlinien

das Thema „Zufallsvariablen“ durch Studierende der Fakultät für Rechnungswesen für Korrespondenzpädagogik (NISPO) zu studieren

Gorki, 2013

Zufällige Variablen

Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen

Einer der Hauptbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff zufällige Variable . Zufällige Variable ist eine Größe, die als Ergebnis einer Prüfung nur einen ihrer vielen möglichen Werte annimmt, und es ist nicht im Voraus bekannt, welcher.

Es gibt Zufallsvariablen diskret und kontinuierlich . Diskrete Zufallsvariable (DRV) ist eine Zufallsvariable, die endlich viele voneinander isolierte Werte annehmen kann, d.h. wenn die möglichen Werte dieser Größe neu berechnet werden können. Kontinuierliche Zufallsvariable (CNV) ist eine Zufallsvariable, deren mögliche Werte ein bestimmtes Intervall der Zahlengeraden vollständig ausfüllen.

Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets X, Y, Z usw. bezeichnet. Mögliche Werte von Zufallsvariablen werden durch die entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet.

Aufzeichnen
bedeutet „die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable vorliegt.“ X wird einen Wert von 5 annehmen, was 0,28 entspricht.“

Beispiel 1 . Es wird einmal gewürfelt. In diesem Fall können Zahlen von 1 bis 6 erscheinen, die die Anzahl der Punkte angeben. Bezeichnen wir die Zufallsvariable X=(Anzahl der gewürfelten Punkte). Diese Zufallsvariable kann als Ergebnis des Tests nur einen von sechs Werten annehmen: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Daher die Zufallsvariable X Es gibt DSV.

Beispiel 2 . Wenn ein Stein geworfen wird, legt er eine bestimmte Strecke zurück. Bezeichnen wir die Zufallsvariable X=(Steinflugdistanz). Diese Zufallsvariable kann einen beliebigen, aber nur einen Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen. Daher die Zufallsvariable X Es gibt NSV.

Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

Eine diskrete Zufallsvariable wird durch die Werte charakterisiert, die sie annehmen kann, und durch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese Werte angenommen werden. Die Entsprechung zwischen möglichen Werten einer diskreten Zufallsvariablen und ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten wird aufgerufen Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen .

Wenn alle möglichen Werte bekannt sind
zufällige Variable X und Wahrscheinlichkeiten
Auftreten dieser Werte, dann wird angenommen, dass das Verteilungsgesetz von DSV gilt X ist bekannt und kann in Tabellenform geschrieben werden:

Das DSV-Verteilungsgesetz lässt sich grafisch darstellen, wenn Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt werden
,
, …,
und verbinde sie mit geraden Liniensegmenten. Die resultierende Figur wird als Verteilungspolygon bezeichnet.

Beispiel 3 . Zur Reinigung bestimmtes Getreide enthält 10 % Unkraut. 4 Körner wurden zufällig ausgewählt. Bezeichnen wir die Zufallsvariable X=(Anzahl der Unkräuter unter den vier ausgewählten). Konstruieren Sie das DSV-Verteilungsgesetz X und Verteilungspolygon.

Lösung . Gemäß den Beispielbedingungen. Dann:

Schreiben wir das Verteilungsgesetz von DSV X in Form einer Tabelle auf und konstruieren ein Verteilungspolygon:

Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Die wichtigsten Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen werden durch ihre Merkmale beschrieben. Eine dieser Eigenschaften ist erwarteter Wert zufällige Variable.

Lassen Sie das DSV-Verteilungsgesetz bekannt sein X:

Mathematische Erwartung DSV X ist die Summe der Produkte jedes Wertes dieser Größe mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit:
.

Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen entspricht ungefähr dem arithmetischen Mittel aller ihrer Werte. Daher wird bei praktischen Problemen häufig der Durchschnittswert dieser Zufallsvariablen als mathematischer Erwartungswert verwendet.

Beispiel 8 . Der Schütze erhält 4, 8, 9 und 10 Punkte mit Wahrscheinlichkeiten von 0,1, 0,45, 0,3 und 0,15. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert für die Anzahl der Punkte mit einem Schuss.

Lösung . Bezeichnen wir die Zufallsvariable X=(Anzahl der erzielten Punkte). Dann . Somit beträgt die erwartete durchschnittliche Punktzahl, die mit einem Schuss erzielt wird, 8,2 und mit 10 Schüssen 82.

Haupteigenschaften mathematische Erwartung sind:

, Wo
,
.

, Wo X Und Y sind unabhängige Zufallsvariablen.

Unterschied
angerufen Abweichung zufällige Variable X von seiner mathematischen Erwartung. Diese Differenz ist eine Zufallsvariable und ihr mathematischer Erwartungswert ist Null, d. h.
.

Varianz einer diskreten Zufallsvariablen

Um eine Zufallsvariable zu charakterisieren, verwenden wir neben dem mathematischen Erwartungswert auch Streuung , was es ermöglicht, die Streuung (Spreizung) der Werte einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert abzuschätzen. Beim Vergleich zweier homogener Zufallsvariablen mit gleichen mathematischen Erwartungen gilt derjenige als „bester“ Wert, der die geringere Streuung aufweist, d. h. weniger Streuung.

Varianz zufällige Variable X nennt man den mathematischen Erwartungswert der quadratischen Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert: .

Bei praktischen Problemen wird eine äquivalente Formel zur Berechnung der Varianz verwendet.

Die Haupteigenschaften der Dispersion sind:

Durch die Erweiterung des Konzepts zufälliger Ereignisse, die im Auftreten bestimmter Ereignisse bestehen Zahlenwerte als Ergebnis des Experiments ist Zufallswert X.

Definition. Zufällig Sie nennen eine Größe, die als Ergebnis eines Experiments aus einem Teil ihrer Gesamtheit nur einen Wert annimmt und von dem nicht im Voraus bekannt ist, welcher.

Zufälliger Wert ist beispielsweise ein sinnvolles Modell zur Beschreibung geologischer Daten unter Berücksichtigung des Einflusses verschiedener Faktoren auf das physikalische Feld.

Wie das Ergebnis eines separaten Experiments, genauer Wert Es ist unmöglich, eine Zufallsvariable vorherzusagen; man kann nur ihre statistischen Muster feststellen, d. h. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsvariablenwerten. Zum Beispiel Messungen physikalische Eigenschaften Felsen sind Beobachtungen der entsprechenden Zufallsvariablen.

Unter den Zufallsvariablen, auf die ein Geologe stößt, lassen sich zwei Haupttypen unterscheiden: Variablen diskret und Größe kontinuierlich.

Definition. Diskret Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die eine endliche oder unendlich abzählbare Menge von Werten annehmen kann.

Typische Beispiele für eine diskrete Zufallsvariable können alle Ergebnisse von Feldarbeiten, alle Ergebnisse von Experimenten, aus dem Feld mitgebrachte Proben usw. sein.

Alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen, d.h. , wobei endlich oder unendlich ist. Deshalb können wir das sagen Zufallswert verallgemeinert das Konzept eines Zufallsereignisses.

Als Ergebnis der Forschung sollen folgende Datenreihen zur quantitativen Zusammensetzung eines bestimmten Gesteins gewonnen werden: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Insgesamt wurden 20 Tests durchgeführt. Um die Arbeit mit den Daten zu erleichtern, wurden sie transformiert: Die resultierenden Werte wurden in aufsteigender Reihenfolge angeordnet und die Häufigkeit des Vorkommens jedes Werts gezählt. Als Ergebnis erhielten wir (Tabelle 7.1):

Definition. Man spricht von einer aufsteigenden Datenverteilung Rangfolge.

Definition. Der beobachtete Wert eines Attributs einer Zufallsvariablen wird als Variante bezeichnet.

Definition. Eine Serie aus Varianten wird aufgerufen Variationsreihe.

Definition. Eine Änderung eines Attributs einer Zufallsvariablen wird aufgerufen abwechslungsreich.

Definition. Die Zahl, die angibt, wie oft eine bestimmte Option variiert, wird als Häufigkeit bezeichnet und mit bezeichnet.

Definition. Wahrscheinlichkeit Das Auftreten einer bestimmten Variante ist gleich dem Verhältnis der Häufigkeit zur Gesamtsumme der Variationsreihe

(1)

Unter Berücksichtigung der eingeführten Definitionen schreiben wir Tabelle 7.1 neu.

Tabelle 7.2. Ranglistenserie

Möglichkeit	1	2	3	4	5	6
Frequenz	3	4	3	3	6	1
Wahrscheinlichkeit	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

Bei der statistischen Analyse experimenteller Daten werden hauptsächlich diskrete Größen verwendet. Tabelle 7.3 zeigt die wichtigsten numerischen Eigenschaften dieser Größen, die bei der Verarbeitung experimenteller Daten von wichtiger praktischer Bedeutung sind.

Tabelle 7.3. Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen

N p/p

Eigenschaften (Parameter) einer Zufallsvariablen und ihre Bezeichnung

Formel zum Ermitteln der Eigenschaften einer Zufallsvariablen

Notiz

Erwarteter Wert