Was ist ein Zufallsereignis in der Wahrscheinlichkeitstheorie? Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen

1. Zufällige Ereignisse

Wahrscheinlichkeitstheorie- Dies ist ein Zweig der Mathematik, der die Gesetze der Masse untersucht Zufällige Ereignisse.

Ein Ereignis, dessen Eintritt nicht garantiert werden kann, wird als Zufall bezeichnet. Die Zufälligkeit eines Ereignisses wird durch viele objektiv vorhandene Gründe bestimmt, es ist jedoch unmöglich, sie alle sowie den Grad ihres Einflusses auf das untersuchte Ereignis zu berücksichtigen. Zu diesen zufälligen Ereignissen gehören: das Erreichen einer bestimmten Zahl beim Würfeln, ein Lottogewinn, die Anzahl der Patienten, die einen Arzttermin vereinbaren usw.

Und obwohl es im Einzelfall schwierig ist, das Ergebnis des Tests vorherzusagen, reicht es aus große Zahl Durch Beobachtungen ist es möglich, das Vorhandensein eines bestimmten Musters festzustellen. Wenn Sie eine Münze werfen, werden Sie feststellen, dass die Anzahl der Kopf- und Zahlfiguren ungefähr gleich ist, und wenn Sie einen Würfel werfen, erscheinen auch unterschiedliche Gesichter, die ungefähr gleich sind. Dies deutet darauf hin, dass zufällige Phänomene ihre eigenen Muster haben, aber nur dann auftreten, wenn große Mengen Tests. Das Gesetz bestätigt die Richtigkeit dieser Aussage große Zahlen, die der Wahrscheinlichkeitstheorie zugrunde liegt.

Betrachten wir die Grundbegriffe und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Prüfen ist eine Reihe von Bedingungen, unter denen ein bestimmtes Zufallsereignis auftreten kann.

Ereignis - Es ist eine Tatsache, dass, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind, eintreten kann oder auch nicht. Ereignisse bezeichnen in Großbuchstaben Lateinisches Alphabet A, B, C...

Zum Beispiel, Ereignis A- Geburt eines Jungen, Ereignis IN - Lottogewinn, Ereignis C – die Zahl 4 fällt beim Würfeln heraus.

Ereignisse können zuverlässig, unmöglich und zufällig sein.

Zuverlässige Veranstaltung- Dies ist ein Ereignis, das als Ergebnis des Tests unbedingt eintreten muss.

Zum Beispiel, wenn auf allen sechs Seiten gewürfelt wird . Geben Sie die Zahl 1 ein, dann ist das Herausfallen der Zahl 1 beim Würfeln ein verlässliches Ereignis.

Unmögliches Ereignis - es handelt sich um ein Ereignis, das als Ergebnis des Tests nicht eintreten kann.

Zum Beispiel, Im zuvor besprochenen Beispiel ist dies das Auftreten einer beliebigen Zahl außer 1.

Zufälliges Ereignis ist ein Ereignis, das während des Tests auftreten kann oder auch nicht. Bestimmte Veranstaltungen werden mit unterschiedlichen Möglichkeiten realisiert.

Zum Beispiel, Für morgen Nachmittag wird Regen erwartet. In diesem Beispiel ist der Tagesanbruch ein Test und der Regen ein zufälliges Ereignis.

Die Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar, wenn als Ergebnis dieser Prüfung das Erscheinen eines von ihnen das Erscheinen des anderen ausschließt.

Zum Beispiel, Beim Münzwurf sind die gleichzeitige Erzielung von Kopf und Zahl unvereinbare Ereignisse.

Die Ereignisse werden aufgerufen gemeinsam, wenn als Ergebnis dieser Prüfung das Erscheinen des einen von ihnen das Erscheinen des anderen nicht ausschließt.

Zum Beispiel, Beim Kartenspielen ist das Erscheinen von Bube und Pik ein gemeinsames Ereignis.

Die Ereignisse werden aufgerufen gleichermaßen möglich, es sei denn, es besteht Grund zu der Annahme, dass einer von ihnen häufiger vorkommt als der andere!

Zum Beispiel, Der Verlust einer Würfelseite ist ebenso möglich.

Veranstaltungsformular vollständige Veranstaltungsgruppe, wenn als Ergebnis des Tests sicher ist, dass mindestens einer von ihnen auftritt und zwei davon inkompatibel sind.

Zum Beispiel, Bei 10 Schüssen auf ein Ziel sind 0 bis 10 Treffer möglich. Beim Würfeln kann eine Zahl von 1 bis 6 erscheinen. Diese Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe.

Ereignisse, die in einer vollständigen Gruppe paarweise inkompatibler und gleichermaßen möglicher Ereignisse enthalten sind, werden aufgerufen Ergebnisse, oder elementare Ereignisse. Gemäß der Definition eines zuverlässigen Ereignisses können wir davon ausgehen, dass ein Ereignis, das aus dem Auftreten eines Ereignisses (unabhängig davon, welches) der Ereignisse der gesamten Gruppe besteht, ein zuverlässiges Ereignis ist.

Zum Beispiel, Wenn ein Würfel geworfen wird, ist das Ergebnis eine Zahl kleiner als sieben. Dies ist ein Beispiel für ein zuverlässiges Ereignis.

Ein Sonderfall von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, sind gegensätzliche Ereignisse.

Zwei inkompatible Ereignisse A und (sprich „nicht A“) werden aufgerufen Gegenteil, wenn als Ergebnis des Tests einer von ihnen unbedingt auftreten muss.

Zum Beispiel, Wird ein Stipendium nur bei guten und sehr guten Prüfungsnoten vergeben, so gelten die Ereignisse „Stipendium“ und „ungenügende oder befriedigende Note“ als gegensätzlich.

Ereignis A angerufen günstig Ereignis IN, wenn das Ereignis eintritt A beinhaltet das Eintreten eines Ereignisses IN.

Zum Beispiel, Beim Würfeln wird das Erscheinen einer ungeraden Zahl durch die mit den Zahlen 1,3 und 5 verbundenen Ereignisse begünstigt.

2. Operationen bei Ereignissen

Operationen an Ereignissen ähneln Operationen an Mengen.

Menge Bei mehreren Ereignissen handelt es sich um ein Ereignis, bei dem mindestens eines davon als Ergebnis einer Prüfung eintritt.

Die Summe der Ereignisse kann durch die Zeichen „+“, „È“, „oder“ angegeben werden.

Abbildung 1 zeigt die geometrische Interpretation mithilfe von Euler-Venn-Diagrammen. Summe der Ereignisse A + B Der gesamte schattierte Bereich wird übereinstimmen.

Abb.1

Veranstaltungskreuzungsbereich A Und IN entspricht gemeinsamen Ereignissen, die gleichzeitig stattfinden können. Ebenso für Veranstaltungen A, B Und MIT verfügbar gemeinsame Veranstaltungen A Und IN; A Und MIT; IN und C; A Und IN Und MIT, was gleichzeitig passieren kann.

Zum Beispiel, Die Urne enthält weiße, rote und blaue Kugeln. Folgende Ereignisse sind möglich: A- eine weiße Kugel wird herausgenommen; IN- ein roter Ball wird herausgenommen; C – die blaue Kugel wird gezogen. Ereignis B + C bedeutet, dass ein Ereignis eingetreten ist – eine farbige Kugel wurde gezogen oder eine nicht-weiße Kugel wurde gezogen.

Die Arbeit Bei mehreren Ereignissen handelt es sich um ein Ereignis, das im gemeinsamen Eintreten aller dieser Ereignisse als Ergebnis der Prüfung besteht.

Die Entstehung von Ereignissen kann durch die Zeichen „x“, „∩“, „und“ angezeigt werden.

Die geometrische Interpretation des Ereignissesprodukts ist in Abb. dargestellt. 2.

Abb.2

Durch die Produktion von Events A Und IN Dort, wo sich die Quadrate schneiden, entsteht ein schattierter Bereich A Und IN. Und das für drei Veranstaltungen A Und IN Und MIT - Gesamtfläche, gleichzeitig in allen drei Veranstaltungen enthalten.

Zum Beispiel, Lassen Sie eine Karte zufällig aus einem Kartenspiel ziehen. Ereignis A- eine Karte der Pik-Farbe wird gezogen; IN - Der Wagenheber wird herausgenommen. Dann die Veranstaltung A×B bedeutet das Ereignis – der Pik-Bube wird gezogen.

Durch Differenz zwei Veranstaltungen A-B ist ein Ereignis, das aus den darin enthaltenen Ergebnissen besteht A, aber nicht enthalten IN.

In Abb. Abbildung 3 zeigt eine Darstellung der Ereignisdifferenz anhand von Euler-Venn-Diagrammen.

Abb. 3

Der Unterschied zwischen zwei Ereignissen A-B ist der schattierte Bereich A ohne den Teil, der in der Veranstaltung enthalten ist IN. Der Unterschied zwischen dem Produkt von Ereignissen A Und IN und Veranstaltung MIT Es wird einen gemeinsamen Veranstaltungsbereich geben A und Veranstaltungen IN ohne dass der Veranstaltungsbereich mit ihm geteilt wird MIT.

Zum Beispiel, Lassen Sie das Ereignis beim Würfeln eintreten A - das Auftreten gerader Zahlen (2,4,6) und das Ereignis IN - Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind, d.h. (3, 6). Dann die Veranstaltung A-B Auftreten von Zahlen (2,4).

3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufällige Ereignisse werden mit unterschiedlichen Möglichkeiten realisiert. Manche kommen häufiger vor, andere seltener. Für Quantifizierung Möglichkeiten zur Durchführung einer Veranstaltung, das Konzept wird vorgestellt Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses- Dies ist eine Zahl, die den Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses charakterisiert, wenn Tests viele Male wiederholt werden.

Die Wahrscheinlichkeit wird durch den Buchstaben angegeben R(aus dem Englischen Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit). Wahrscheinlichkeit ist eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es gibt mehrere Definitionen dieses Konzepts.

Klassisch Die Definition der Wahrscheinlichkeit lautet wie folgt. Wenn alle möglichen Ergebnisse eines Tests bekannt sind und kein Grund zu der Annahme besteht, dass ein zufälliges Ereignis häufiger auftritt als andere, d. h. Sind Ereignisse gleichermaßen möglich und unvereinbar, dann ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses analytisch zu bestimmen.

Wahrscheinlichkeit P(A) Veranstaltungen A nennt man das Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse T zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen inkompatiblen Ergebnisse P:

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit:

1. Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A liegt zwischen 0 und 1.

2. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.

Zusammenfassung der Lektion

zum Thema: Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Der Zweck der Lektion: Führen Sie die Schüler in die Konzepte ein: zuverlässig, unmöglich, zufällige Ereignisse, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, mit klassische Definition Wahrscheinlichkeit, eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen.

Lernziele: Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung von Problemen zur Charakterisierung von Ereignissen und zur klassischen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen; die Fähigkeit des Schülers entwickeln, gleich wahrscheinliche Möglichkeiten von nicht gleich wahrscheinlichen zu unterscheiden; Willensbildung und harte Arbeit.

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Über Wahrscheinlichkeitstheorie

IN Alltagsleben, in praktischer und wissenschaftliche Tätigkeit Oft werden bestimmte Phänomene beobachtet und bestimmte Experimente durchgeführt. Im Prozess der Beobachtung oder des Experiments muss man auf einige zufällige Ereignisse stoßen, also auf Ereignisse, die eintreten können oder auch nicht. Beispielsweise sind das Treffen eines Ziels oder ein Fehlschuss ein Zufallsereignis. Auch der Sieg einer Mannschaft in einem Aufeinandertreffen mit einem Gegner, eine Niederlage oder ein Unentschieden sind Zufallsereignisse. Die Muster zufälliger Ereignisse werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht, der Wahrscheinlichkeitstheorie genannt wird.

Jeder von uns ist nicht durch eine leere Wand von der Welt um uns herum getrennt und in unserem Leben werden wir jeden Tag mit wahrscheinlichen Situationen konfrontiert. Das Problem, aus mehreren Optionen die beste Lösung auszuwählen, den Grad des Risikos und die Erfolgschancen einzuschätzen, die Vorstellung von Fairness und Ungerechtigkeit im Spiel und im wirklichen Leben Lebenssituationen- All dies liegt zweifellos im Bereich der wirklichen Interessen des Einzelnen. Die Vorbereitung einer Person auf solche Probleme auf der ganzen Welt erfolgt durch einen Schulmathematikkurs und insbesondere durch dessen Abschnitt „“ Mathe-Statistik„“. Mathematische Statistik ist ein Zweig der Mathematik, der Methoden zur Verarbeitung und Klassifizierung statistischer Daten untersucht, um wissenschaftlich fundierte Schlussfolgerungen und Entscheidungen zu treffen. Aufgrund der Tatsache, dass statistische Daten von Zufallsfaktoren abhängen, ist die mathematische Statistik eng mit der Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden, die ihre theoretische Grundlage bildet.

Sogar der primitive Anführer wusste, dass die Chance, ein Tier mit einem Speer zu treffen, bei einem Dutzend Jägern viel größer war als bei einem. Deshalb jagten sie damals gemeinsam. Es wäre unvernünftig zu denken. Dass so alte Kommandeure wie Alexander der Große oder Dmitri Donskoi sich bei der Vorbereitung auf die Schlacht nur auf die Tapferkeit und Kunst der Krieger verließen. Zweifellos konnten sie aufgrund der Beobachtungen und Erfahrungen der Militärführung die Wahrscheinlichkeit ihrer Rückkehr mit einem Schild oder auf einem Schild irgendwie einschätzen, sie wussten, wann sie den Kampf annehmen und wann sie ihm ausweichen mussten. Sie waren keine Sklaven des Zufalls, aber gleichzeitig waren sie noch sehr weit von der Wahrscheinlichkeitstheorie entfernt. Später, mit zunehmender Erfahrung, begann eine Person immer häufiger, Ereignisse abzuwägen und ihre Ergebnisse als unmöglich, möglich und zuverlässig einzustufen. Er bemerkte, dass der Zufall gar nicht so selten durch objektive Gesetze bestimmt wird.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand auf der Suche nach einer Antwort auf die Frage: Wie oft tritt ein bestimmtes Ereignis in einer größeren Reihe von Tests mit zufälligen Ergebnissen auf, die unter denselben Bedingungen auftreten?

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Ein Ereignis heißt zufällig, wenn es unter den gleichen Bedingungen eintreten kann oder nicht.

Zum Beispiel: „Wenn ein Würfel geworfen wird, ist das Ergebnis eine 6.“

Wenn wir von einem zufälligen Ereignis sprechen, meinen wir immer das Vorliegen bestimmter Bedingungen, ohne die es keinen Sinn macht, überhaupt über dieses Ereignis zu sprechen. Dieser Satz von Bedingungen wird aufgerufen zufällige Erfahrung oder ein Zufallsexperiment.

Im Folgenden bezeichnen wir jedes mit einem Zufallsexperiment verbundene Ereignis als zufällig.

Ein verlässliches Ereignis, das in jedem solchen Experiment auftritt.

Ein unmögliches Ereignis, das niemals passieren kann.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Untersuchung wahrscheinlicher Muster massenhafter homogener Zufallsereignisse.

Schauen wir uns ein paar Beispiele für Zufallsexperimente an:

Erleben Sie 1.Münzwurf. Als Ergebnis eines solchen Experiments kann die Münze auf eine von zwei Seiten fallen – „Kopf“ oder „Zahl“.

Erfahrung 2. Würfeln. Dabei handelt es sich um einen Würfel, auf dessen Seiten Punkte eingeprägt sind, die die Punktzahl von 1 bis 6 symbolisieren.

Erleben Sie 3. Auswahl an Handschuhen. In der Schachtel befinden sich 3 Paar identische Handschuhe; zwei Handschuhe werden ohne hinzusehen herausgezogen.

Neben einem zufälligen Ereignis ist mit Erfahrung ein weiterer wichtiger Begriff verbunden – ein elementares Ergebnis. Das Ergebnis(oder elementares Ergebnis, elementares Ereignis) ist eine der sich gegenseitig ausschließenden Optionen, die zu einem Zufallsexperiment führen können.

Lassen Sie uns die Anzahl der möglichen Ergebnisse in jedem Experiment bestimmen:

Ergebnisse von Experiment 1 – 2: „Kopf“ und „Zahl“

Experiment 2 – 6 Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Wie viele Ergebnisse gibt es in Experiment 3? (2 Ergebnisse: „Handschuhe für eine Hand“ und „Handschuhe für verschiedene Hände“)

In Experiment 3 können wir eine detailliertere Beschreibung der Ergebnisse anbieten: „beide Handschuhe an der linken Hand“, „beide Handschuhe an.“ rechte Hand", "Handschuhe für verschiedene Hände.“ Oder Sie nummerieren alle sechs Handschuhe neu und die Anzahl der Ergebnisse erhöht sich dann auf 15.

Ein nicht-elementares Ereignis besteht aus einer Reihe von Ergebnissen, die als günstig für dieses Ereignis bezeichnet werden. Sie sind in dem Sinne günstig, dass sie zum Eintreten eines bestimmten Ereignisses führen.

Definition: Die absolute Häufigkeit eines Zufallsereignisses A in einer Reihe von n Zufallsexperimente ist eine Zahl, die angibt, wie oft Ereignis A in dieser Serie aufgetreten ist

Durchgeführte Tests:

Die Würfel wurden 100 Mal geworfen. Beim Werfen eines Würfels auf dessen Oberseite

Würfel lässt Punkte fallen:

Testergebnisse: 1. Ein Punkt wird gewürfelt.

2. Es werden zwei Punkte gewürfelt.

3. Es werden drei Punkte gewürfelt.

4. Es werden vier Punkte gewürfelt.

5. Es werden fünf Punkte gewürfelt.

6. Es werden sechs Punkte gewürfelt.

Zufälliges Ereignis: - Es werden sechs Punkte gewürfelt.

Ereignishäufigkeit: - In dieser Versuchsreihe kam es 17 Mal zu „Sechs“.

Relative Häufigkeit – das Verhältnis der Häufigkeit zur Gesamtzahl der Versuche. (in unserem Fall )

Das ist relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses A in einer Reihe vonNZufallsexperimente ist eine Zahl, die angibt, wie viel Prozent der Experimente in dieser Reihe mit dem Eintreten des Ereignisses A endeten.

Betrachten wir Ereignis B, das bedeutet, dass eine durch 3 teilbare Anzahl von Punkten auf dem Würfel aufgerollt wird. Dieses Ereignis tritt nur für zwei Ergebnisse des Tests auf: wenn 3 Punkte aufgerollt werden und wenn 6 Punkte aufgerollt werden, d. h. Für Ereignis B sind zwei von sechs gleich möglichen Ausgängen günstig.

Das Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse beträgt im betrachteten Beispiel 2/6. Dies ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B und wird mit P(B) = 2/6 geschrieben.

Die Bezeichnung P kommt vom französischen Wort probabilite, was „Wahrscheinlichkeit“ bedeutet.

Wenn alle Ergebnisse eines Tests gleichermaßen möglich sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in diesem Test gleich dem Verhältnis der Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse zur Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse.

Aufgabe. Von 25 Prüfungsarbeiten in Geometrie gelang es dem Studenten, die ersten 11 und die letzten 8 Prüfungsarbeiten vorzubereiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in der Prüfung ein Ticket erhält, das er nicht vorbereitet hat?

Lösung. Die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse bei der Auswahl von Tickets für die Prüfung beträgt 25. Sei M das Ereignis, dass der Student ein Ticket für die Prüfung erhält, auf das er nicht vorbereitet war. Die Anzahl der für Ereignis M günstigen Ergebnisse beträgt 25 - (11 + 8), also 6. Das bedeutet .

Aufgabe.Anton und Igor würfeln mit weißen und schwarzen Würfeln und zählen die Gesamtpunktzahl. Sie waren sich einig, dass Anton gewinnt, wenn der nächste Wurf 8 Punkte ergibt, und Igor gewinnt, wenn die Gesamtpunktzahl 7 Punkte ergibt. Können wir davon ausgehen, dass Jungen die gleichen Chancen haben, dieses Spiel zu gewinnen?

Lösung.Beim Würfeln kann der weiße Würfel 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 punkten. Für jede gewürfelte Augenzahl des weißen Würfels gibt es sechs mögliche gewürfelte Augenzahlen des schwarzen Würfels. Alle Ergebnisse dieses Tests sind in der Tabelle aufgeführt:

(1; 1)

(2; 1)

(3; 1)

(4; 1)

(5; 1)

(6; 1)

(1; 2)

(2; 2)

(3; 2)

(4; 2)

(5; 2)

(6; 2)

(1; 3)

(2; 3)

(3; 3)

(4; 3)

(5; 3)

(6; 3)

(1; 4)

(2; 4)

(3; 4)

(4; 4)

(5; 4)

(6; 4)

(1; 5)

(2; 5)

(3; 5)

(4; 5)

(5; 5)

(6; 5)

(1; 6)

(2; 6)

(3; 6)

(4; 6)

(5; 6)

(6; 6)

In jedem Paar ist die erste Stelle die Anzahl der Punkte, die mit dem weißen Würfel gewürfelt wurden, und die zweite Stelle ist die Anzahl der Punkte, die mit dem schwarzen Würfel gewürfelt wurden. Die angegebenen Testergebnisse sind gleichermaßen möglich. Die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse beträgt 36. Ereignis A bedeutet, dass beim Würfeln die Gesamtpunktzahl 8 Punkte betrug, und Ereignis B bedeutet, dass die Gesamtpunktzahl 7 Punkte betrug.

Für Ereignis A sind 5 Ergebnisse günstig: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).

Für Ereignis B gibt es 6 günstige Ergebnisse:

(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Von hier , .

Daher hat Igor mehr Gewinnchancen als Anton.

Lösen Sie die folgenden Probleme:

5. Zusammenfassung der Lektion.

6. Hausaufgaben.

Aufgabe1. Die Urne enthält 3 blaue, 8 rote und 9 weiße Kugeln gleicher Größe und gleichen Gewichts, die bei Berührung nicht zu unterscheiden sind. Die Kugeln werden gründlich gemischt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass blaue, rote und weiße Kugeln entstehen, wenn eine Kugel aus der Urne gezogen wird?

Aufgabe2. Natasha hat einen Lottoschein gekauft, der in der Verlosung von 100 Preisen für 50.000 Lose enthalten ist, und Lena hat einen Tipp gekauft, der in der Verlosung von drei Preisen für 70.000 enthalten ist. Wer hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen?

In unserer praktischen Tätigkeit begegnen wir häufig Phänomenen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist und deren Ausgang vom Zufall abhängt. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, in dem zufällige Phänomene (Ereignisse) untersucht und Muster identifiziert werden, wenn sie sich massenhaft wiederholen. Das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (relative Häufigkeit eines Ereignisses) – ein objektives Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Ereignisse werden normalerweise in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A, B, C, D. Lassen Sie uns auflisten Haupttypen von Zufallsereignissen :

Veranstaltungen werden aufgerufen unvereinbar , wenn nicht zwei von ihnen gleichzeitig in einem bestimmten Versuch auftreten können. Beispielsweise schließt beim Münzwurf das Erscheinen einer Zahl das gleichzeitige Erscheinen eines Wappens aus;
Es werden zwei Ereignisse aufgerufen gemeinsam , wenn das Eintreten eines von ihnen das Eintreten eines anderen Ereignisses im selben Test (Erfahrung) nicht ausschließt;
Das Ereignis wird aufgerufen zuverlässig , wenn es in einem bestimmten Test auftritt, ist es obligatorisch. Beispielsweise ist der Gewinn eines Win-Win-Lottoscheins ein verlässliches Ereignis;
Das Ereignis wird aufgerufen unmöglich , wenn es in diesem Test nicht auftreten kann. Beim Würfeln ist es beispielsweise unmöglich, 7 Punkte zu erreichen;
Es werden zwei Ereignisse aufgerufen Gegenteil (A und A), wenn sie in einem bestimmten Test inkompatibel sind und einer von ihnen notwendigerweise auftritt. Die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse summieren sich zu 1;
Ereignis B wird aufgerufen unabhängig aus Ereignis A, wenn das Eintreten von Ereignis A die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B nicht ändert: P A (B) = P (B). Andernfalls wird Ereignis B aufgerufen abhängig aus Ereignis A;

Vollständiges Eventsystem A 1, A 2, A 3, ..., An ist eine Menge inkompatibler Ereignisse, von denen mindestens eines während eines bestimmten Tests (Erfahrung) auftreten muss.

Jedem Ereignis A ist ein bestimmtes Maß P(A) zugeordnet, das als Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bezeichnet wird und das die folgenden Axiome erfüllt:

für jedes Ereignis 0 ≤ P(A) ≤ 1;
die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, P(A)=0;
Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins, P(A)=1.

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gibt es klassische und geometrische Methoden.

Mit der klassischen Zählmethode Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird nach der Formel berechnet: P(A)=m/n, Wo:

alle elementaren Ergebnisse sind gleichermaßen möglich, d.h. keines davon ist möglicher als das andere;
m ist die Anzahl der elementaren Testergebnisse, die das Eintreten von Ereignis A begünstigen;
N - Gesamtzahl alle möglichen elementaren Testergebnisse.

Zum Zählen werden häufig n und m verwendet Konzepte und Formeln der Kombinatorik :

n-faktoriell ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von eins bis einschließlich n: N! = 1*2*3*…*(n-1)*n. Zum Beispiel: 4!=1*2*3*4=24, 1!=1, 0!=1
Permutation von n Elementen – eine Kombination von n Elementen, die sich nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden. Die Anzahl aller möglichen Permutationen wird nach folgender Formel berechnet: Pn=n!
Permutation mit Wiederholungen – seien n 1 Elemente vom ersten Typ, n 2 - vom zweiten Typ, ..., n k - vom k-ten Typ gegeben, also insgesamt n Elemente. Möglichkeiten, sie an verschiedenen Orten zu platzieren, nennt man Permutationen mit Wiederholungen. Die Anzahl aller Permutationen mit Wiederholungen wird nach folgender Formel berechnet: Pn(n 1 ,n 2 ,…,n k) = n! / n 1 !n 2 !...n k !
Platzierung – Kombinationen von n Elementen von m (m Und n m = n!/(n-m)!, Wo
n ist die Anzahl aller verfügbaren Elemente, m ist die Anzahl der Elemente in jeder Kombination.
Wenn n=m, wird die Platzierung zu einer Permutation. Wenn Sie nicht die Reihenfolge der Elemente in der Anordnung berücksichtigen, sondern nur deren Zusammensetzung, erhalten Sie eine Kombination.
Kombinationen – alle möglichen Kombinationen von n Elementen von m (m Mit n m = n! /m!(n-m)! = A n m / P m

Geometrische Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit wird verwendet, wenn die elementaren Ergebnisse eines Experiments als Punkte eines Liniensegments, einer Figur oder eines Körpers interpretiert werden können.

Lassen Sie das Segment l bildet einen Teil des Segments L. Wenn wir annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf das Segment fällt, größer ist l proportional zur Länge dieses Segments ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf das Segment fällt l wird durch die Gleichheit bestimmt: P = Länge l/ Länge L.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in eine ebene Figur g fällt, die Teil einer ebenen Figur G ist: P = Fläche g/Fläche G.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in eine Raumfigur υ fällt, die Teil der Figur V ist: P = Volumen υ / Volumen V.

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Elemente der Kombinatorik. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten“

Problem 1

In der 11. Klasse sind 30 Personen. 18 Personen lernen Englisch, 16 Deutsch und 9 beide Sprachen. Wie viele Menschen lernen a) nur Englisch, b) nur Deutsch, c) lernen keine Sprache?

Lösung.
a) Da 18 Personen Englisch lernen, 9 von ihnen sowohl Englisch als auch Deutsch lernen, dann lernen 18–9 = 9 Personen nur Englisch;
b) Da 16 Personen Deutsch lernen, 9 von ihnen sowohl Deutsch als auch Englisch lernen, dann lernen 16–9 = 7 Personen nur Deutsch;
c) Da die Klasse aus 30 Personen besteht, lernen 9 von ihnen nur Englisch, 7 nur Deutsch, 9 beide Sprachen, dann lernen 30 - (9+7+9) = 5 Personen keine Sprache.

Problem 2

Auf wie viele Arten können die Buchstaben im Wort „Ficus“ neu angeordnet werden?

Lösung. In diesem Fall ist es notwendig, die Anzahl der Permutationen von 5 Buchstaben zu ermitteln, und da im Wort „Ficus“ alle Buchstaben unterschiedlich sind, wird die Anzahl der Permutationen durch die Formel bestimmt: P 5 =5!=1*2 *3*4*5=120.

Problem 3

Auf wie viele Arten können die Buchstaben im Wort „Antwort“ neu angeordnet werden?

Lösung. Sie müssen die Anzahl der Permutationen von 5 Buchstaben ermitteln, aber im Gegensatz zu Aufgabe 2 gibt es hier wiederholte Buchstaben – der Buchstabe „t“ wird zweimal wiederholt. Daher ermitteln wir die Anzahl der Wege anhand der Formel für Permutationen mit Wiederholungen: P 5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.

Problem 4

Es gibt nur 25 Tickets in der Mathematik-Ticketsammlung, 10 davon enthalten eine Frage zu Ableitungen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student auf einem zufällig ausgewählten Prüfungsticket keine Frage zu Derivaten erhält.

Lösung. In diesem Fall beträgt die Anzahl der günstigen Ergebnisse (25-10)=15, die Gesamtzahl der Ereignisse beträgt 25.
Wir finden die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = (der Schüler wird keine Frage zur Ableitung bekommen) als das Verhältnis: P(A)=15/25=0,6.

Problem 5

Die Box enthält 15 Teile, davon 8 bemalte. Der Assembler entfernt zufällig drei Teile. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die extrahierten Teile lackiert werden.

Lösung. Ereignis A = (drei bemalte Teile werden extrahiert).

Die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse des Elementartests entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, aus 15 drei Teile zu extrahieren:
n = C 15 3 =15! / 3!(15-3)!=15! / (3!*12!) = 13*7*5=455.
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, aus 8 bemalten Teilen 3 zu extrahieren:
m = C 8 3 =8! / 3!(8-3)!= 8! / (3!*5!)=7*8=56.

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A als Verhältnis: P(A) = m/n= 56/455≈0,12

Problem 6

Unter den 17 Schülerinnen der Gruppe, davon 8 Mädchen, werden 7 Theaterkarten verlost. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Ticketinhabern 4 Mädchen und 3 Jungen sind?

Lösung. Veranstaltung A = (unter den Ticketinhabern sind genau 4 Mädchen).

Die Gesamtzahl der möglichen Elementarergebnisse der Ziehung entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, aus allen Schülern der Gruppe 7 Personen auszuwählen, also aus 17: n = C 17 7 =17! / 7!(17-7)!= 17! / (7!*10!)=19448.

Wir werden die Anzahl der günstigen Ergebnisse ermitteln (unter 7 Ticketinhabern sind 4 Mädchen und 3 Jungen), wobei wir berücksichtigen, dass 4 von 8 Mädchen auf 4 Arten für C 8 ausgewählt werden können und 3 von 9 Jungen für C ausgewählt werden können 9 auf drei Arten. Daher ist m = C 8 4 * C 9 3 = 8!9! / 4!(8-4)!3!(9-3)! = 5880.

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A als Verhältnis: P(A) = m/n= 5880/19448≈0,3

Dieses Kapitel bietet einen kurzen Überblick über die grundlegenden Konzepte und Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in einem Ökonometriekurs verwendet werden.

Wahrscheinlichkeitstheorie erforscht die Muster zufälliger Phänomene, untersucht Zufallsvariablen und schätzt die Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse.

Eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie ist Zufälliges Ereignis. Unter Ereignis bezieht sich auf jedes Phänomen, das als Ergebnis der Umsetzung einer bestimmten Reihe von Bedingungen auftritt. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird jedes Ereignis als Ergebnis eines Experiments betrachtet, d.h. Umsetzung einer Reihe von Bedingungen (Synonyme für den Begriff Experiment sind Erfahrung, Erprobung, Beobachtung). In diesem Zusammenhang wird anstelle des Begriffs häufig auch der Begriff Ereignis verwendet Exodus. Ein Experiment, dessen Ergebnis aus verschiedenen Gründen nicht im Voraus vorhersehbar ist, wird aufgerufen zufällig (probabilistisch). Insbesondere ist jede Handlung in der Wirtschaft von Natur aus ein Zufallsexperiment.

Ein Ereignis, das unter den Bedingungen eines bestimmten Experiments auftreten kann oder nicht, wird aufgerufen zufällig. Wenn ein Ereignis unter experimentellen Bedingungen sicher auftritt, wird es aufgerufen zuverlässig. Das Ereignis wird aufgerufen unmöglich, wenn es unter den Bedingungen dieses Experiments nie passiert.

Beispielsweise ist die Gründung eines Unternehmens im Rahmen der Gewinnerzielung ein Zufallsexperiment, da das Ergebnis eines solchen Experiments nur ein zufälliges Ereignis sein kann, d. h. Es kann einen Gewinn geben oder auch nicht. Die Tatsache, dass die Nachfrage nach Haushaltsgeräten bei einem starken Rückgang der Haushaltseinkommen sinken wird, gilt in der Volkswirtschaftslehre als verlässliches Ereignis. Es gilt als unmöglich, dass eine steigende Nachfrage nach Autos zu einem Preisverfall führt.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Ereignisse beispielsweise üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet A, B, C. Ein zuverlässiges Ereignis wird mit dem Buchstaben W bezeichnet, ein unmögliches Ereignis mit dem Symbol Æ.

Es ist zu beachten, dass in der Wahrscheinlichkeitstheorie nur solche Experimente berücksichtigt werden, die unter konstanten Bedingungen beliebig oft (zumindest theoretisch) wiederholt (reproduziert) werden können. In dieser Hinsicht befassen sie sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Wiederholung von Tests zweier Arten: 1) Wiederholung von Tests für dasselbe Objekt; 2) Testen vieler ähnlicher Objekte. Sie können beispielsweise Produkte untersuchen, die von einer beliebigen Maschine über einen bestimmten Zeitraum hergestellt wurden, oder Sie können Produkte untersuchen, die von mehreren identischen Maschinen hergestellt wurden, jedoch zu einem festen Zeitpunkt. Aus Sicht sind solche Versuchsreihen gleichwertig.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit einer Zahl zu charakterisieren, müssen Sie sie festlegen Maßeinheit Wahrscheinlichkeiten. So gehen Sie vor: zuverlässig dem Ereignis wird eine Wahrscheinlichkeit gleich eins zugewiesen; unmöglich– gleich Null. Also die Wahrscheinlichkeit P(A) Veranstaltungen A muss folgende Bedingungen erfüllen:

1 o. P(A)=1, wenn ein – zuverlässige Veranstaltung;

2 o. P(A)=0, wenn ein – unmögliches Ereignis;

3 o. 0<P(A)<1, wenn ein – Zufälliges Ereignis.

Mit unterschiedlichen Ansätzen zur Wahrscheinlichkeit, dem Wert P(A) kann unterschiedlich interpretiert werden. Wirtschaftsforschung wird häufig verwendet statistische Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, d.h. unter der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A Unter der Größe versteht man die Größe

wo unter N bezieht sich auf die Anzahl der Beobachtungen der experimentellen Ergebnisse, bei denen das Ereignis auftritt A genau getroffen M mal (natürlich die Anzahl der Beobachtungen). N sollte groß genug sein).

Beispiel 2.1. Ein Investmentanalyst sammelt Daten über Aktien und notiert, ob diese Dividenden ausgezahlt haben und ob der Aktienkurs im Zinszeitraum gestiegen ist oder nicht. Die gesammelten Daten wurden in Form einer Tabelle dargestellt:

Wenn eine Aktie zufällig aus einer Menge von 246 Aktien ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass: a) es sich um eine der Aktien handelt, deren Preis gestiegen ist; b) darauf Dividenden gezahlt wurden; c) es wurden keine Dividenden gezahlt und der Preis ist nicht gestiegen.

Lösung. Mit der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten wir leicht:

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Bei Problemen, die probabilistische quantitative Merkmale verwenden, ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeiten einiger Ereignisse abzuschätzen. Dazu werden verschiedene Beziehungen verwendet, die auf den Sätzen der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten basieren.

Die Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig im selben Experiment beobachtet werden können.

Menge Veranstaltungen A Und B Ereignis genannt A+B, bestehend aus dem Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse.

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der inkompatiblen Ereignisse A und B ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Beispiel 2.2. Im Rahmen der Verbrauchermarktforschung wurde eine Verbraucherbefragung durchgeführt. Eine der Fragen betraf insbesondere die Art der Zahnpasta, die der Verbraucher verwendet. Wenn bekannt ist, dass 14 % der Bevölkerung eine Sorte nutzen A und 9 % – Vielfalt B, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine der beiden Pasten verwendet? (Es wird davon ausgegangen, dass die Person derzeit nur eine Paste verwendet).

Lösung. Lassen A A, A B– ein Ereignis, das darin besteht, dass die ausgewählte Person eine Paste der Sorte verwendet B. Seit Ereignissen A Und B inkonsistent gemäß den Problembedingungen, dann erhalten wir unter Verwendung des Wa(2.2).

Wenn das Eintreten eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht ändert, werden solche Ereignisse aufgerufen unabhängig.

Die Arbeit Veranstaltungen A Und B Ein Ereignis, das aus dem gleichzeitigen Auftreten dieser beiden Ereignisse besteht, wird aufgerufen.

Die Wahrscheinlichkeit des Produkts der unabhängigen Ereignisse A und B ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Beispiel 2.3. Diamanten könnten bald als Halbleiter in Kommunikationssatelliten eingesetzt werden. Die Theorie sagt voraus, dass Diamantsplitter schneller und hitze- und strahlungsbeständiger sein werden, was besonders wichtig für Geräte ist, die im Weltraum betrieben werden. Laut Experten liegen die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Ereignisse bei 0,9; 0,9 bzw. 0,95. Es wird davon ausgegangen, dass ein Projekt zur Entwicklung von Diamantsplittern nur dann diskutiert werden sollte, wenn eine mindestens 70-prozentige Sicherheit besteht, dass sie über alle drei dieser Eigenschaften verfügen. Soll das Projekt besprochen werden?

Lösung. Lassen A– ein Ereignis, bei dem Diamantsplitter schneller werden, B– ein Ereignis, bei dem Diamantsplitter hitzebeständiger werden, C– ein Ereignis, bei dem Diamantsplitter strahlenbeständiger werden . Seit Ereignissen A, B Und MIT unabhängig sind, dann erhalten wir unter Verwendung des Wahrsche(2.3).

Da 0,7695 > 0,7 ist, sollte das vorgeschlagene Projekt diskutiert werden. A

In manchen Fällen hängen die Eintrittswahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse davon ab, ob ein anderes Ereignis eingetreten ist oder nicht. Solche Ereignisse werden aufgerufen abhängig.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, berechnet unter der Annahme, dass ein anderes Ereignis stattgefunden hat B, angerufen bedingte Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen A und wird mit oder bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit des Produkts zweier Ereignisse A und B ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit eines von ihnen mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des anderen, berechnet unter der Bedingung, dass das erste Ereignis bereits stattgefunden hat:

Beispiel 2.4. Eines der schwierigsten Probleme in der Marktforschung ist die Weigerung der Verbraucher, Fragen zu Verbraucherpräferenzen zu beantworten, oder, wenn die Befragung an ihrem Wohnort durchgeführt wird, ihre Abwesenheit von zu Hause zum Zeitpunkt der Befragung. Angenommen, der Marktforscher hat eine Wahrscheinlichkeit von 0,94, dass der Befragte der Beantwortung der Umfragefragen zustimmt, wenn er zu Hause ist. Er geht außerdem davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person zu Hause ist, 0,65 beträgt. Schätzen Sie anhand dieser Daten den Prozentsatz der ausgefüllten Fragebögen.

Lösung. Lassen A– der Fall, dass der Befragte zu Hause ist. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Lassen B– der Fall, dass der Befragte sich bereit erklärt, Fragen zu beantworten. Entsprechend den Bedingungen des Problems wird eine bedingte Wahrscheinlichkeit angegeben, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass er bereit ist, Fragen zu beantworten, wenn er zu Hause ist. Dann ist nach dem Satz zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse (2.4) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zu Hause ist und sich bereit erklärt, Fragen zu beantworten, gleich

diese. Der Prozentsatz der ausgefüllten Fragebögen beträgt 61 %. A

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der gemeinsamen Ereignisse A und B ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens:

Beispiel 2.5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Käufer, der einen Computer und ein Paket von Anwendungsprogrammen kaufen möchte, nur den Computer kauft, beträgt 0,15. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde nur das Softwarepaket kauft, beträgt 0,1. Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl ein Computer als auch ein Softwarepaket gekauft werden, beträgt 0,05. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder ein Computer oder ein Softwarepaket oder ein Computer und ein Softwarepaket zusammen gekauft werden?

Lösung. Lassen A– der Fall, dass der Käufer einen Computer kauft, B– also der Fall, dass der Käufer ein Softwarepaket erwirbt AB– der Fall, dass der Käufer sowohl einen Computer als auch ein Softwarepaket kauft . Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder ein Computer oder ein Softwarepaket oder ein Computer und ein Softwarepaket zusammen gekauft werden, gleich

Zwei inkompatible Ereignisse A und heißen Gegenteil, wenn während des Experiments einer von ihnen definitiv passieren wird. Ansonsten gelten für entgegengesetzte Ereignisse die Gleichungen:

Lösung. Lassen A i- Der Fall, dass ich Der Passant wird das Buch kaufen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses und des gegenteiligen Ereignisses. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von 20 Passanten ein Buch kauft, gleich

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Wenn das Ereignis B kann nur bei einem der inkompatiblen Ereignisse auftreten A 1 , A 2 ,…, Ein, eine vollständige Gruppe bildend, d.h. , dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B kann gefunden werden von Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

Beispiel 2.7. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Produkt auf dem Markt gefragt ist, wenn ein Wettbewerber kein ähnliches Produkt auf den Markt bringt, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt gefragt ist, wenn es ein Konkurrenzprodukt auf dem Markt gibt, beträgt 0,42. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein konkurrierendes Unternehmen im interessierenden Zeitraum ein ähnliches Produkt auf den Markt bringt, beträgt 0,35. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Erfolg wird?

Lösung. Lassen A 1 – der Fall, dass ein Wettbewerber ein ähnliches Produkt zum Verkauf anbietet, A 2 – der Fall, dass ein Wettbewerber ein ähnliches Produkt nicht zum Verkauf freigibt. Da diese Ereignisse inkompatibel sind und eine vollständige Gruppe bilden, dann . Je nach den Bedingungen des Problems und . Als Ergebnis finden wir unter Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (2.9).

Kapitel 1. Grundbegriffe und Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie………………………………………….. 5

§ 1. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufällig

Veranstaltungen ………………………………………. 5

§ 2. Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses…………... 8

§ 3 Algebra der Ereignisse…………………………….. 12

§ 4 Formel zur Addition von Wahrscheinlichkeiten…………… 17

§ 5 Axiomatischer Theorieansatz

Wahrscheinlichkeiten………………………………… 19

§ 6 Klassisches Schema der Wahrscheinlichkeitstheorie…. 24

§ 7 Geometrische Wahrscheinlichkeiten……………….. 26

§ 8 Bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit

Zufällige Ereignisse…………………………. 29

§ 9 Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit. Formeln

Bayesianisch ……………………………………………………….... 39

§ 10 Kombinatorik………………………………. 42

§ 11 Bernoulli-Schema ……………………………..... 49

§ 12 Wahrscheinlichkeiten für große Werte N.

Kapitel 2. Zufallsvariablen und ihre Eigenschaften 62

§ 1 Zufallsvariable und ihre Funktion

Verteilungen................................................. ....... .62

§ 2 Diskrete Zufallsvariablen................ 67

§ 3 Kontinuierliche Zufallsvariablen............. 70

§ 4 Funktionen einer Zufallsvariablen ................... 78

§ 5 Zufallsvariablensysteme………………. 81

§ 6 Unabhängige Zufallsvariablen………... 89

§ 7 Mathematische Zufallserwartung

Werte…………………………………….. 94

§ 8 Streuung einer Zufallsvariablen ………….... 109

§ 9. Korrelationsmoment und Korrelation

zufällige Variablen……………………………. 113

Kapitel 3. Gesetz der großen Zahlen und zentral

Grenzwertsatz……………………… 119

§ 1 Tschebyschewsche Ungleichung……………………... 119

§ 2 Gesetz der großen Zahlen………………………... 123

§ 3 Ljapunows zentraler Grenzwertsatz und

seine Folgen…………………………………129

Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie ………………………… 138

Einzelaufgaben Nr. 1 zur Theorie

Wahrscheinlichkeiten ……………………………………………………… 153

Einzelaufgaben Nr. 2 zur Theorie

Wahrscheinlichkeiten…………………………………………... 166

Funktionswerttabelle …….. 183

Wertetabelle für die Funktion

................................................... 185

Zahlenpotenzen e....................................................... 188

Tabelle der Funktionswerte………………..... 189

Kapitel I. Grundbegriffe und Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufällige Ereignisse.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Modelle von Experimenten (Experimente, Beobachtungen, Tests), die durchgeführt werden, sobald bestimmte Bedingungen geschaffen werden.

Beispiele für Experimente:

1) 20 Mal eine Münze werfen,

2) Kauf eines Lottoscheins,

3) Ankunft am Morgen (zwischen 8 und 9 Uhr) an der U-Bahn-Station Novogireevo,

In der Praxis kommt es häufig vor, dass der Ausgang unseres Experiments nicht mit absoluter Sicherheit im Voraus vorhergesagt werden kann. Zum Beispiel (siehe Beispiele für Experimente oben)

1) Es ist unmöglich vorherzusagen, dass das Wappen genau 9 Mal erscheint, oder dass das Wappen 7 bis 15 Mal erscheint

2) Wird der Gewinn auf einen Lottoschein mit dieser oder jener Zahl fallen?

3) Wir werden 20 bis 80 Sekunden auf den elektrischen Zug warten

In all diesen Situationen sind wir gezwungen, das Ergebnis der Erfahrung als vom Zufall abhängig zu betrachten, es als zufallsabhängig zu betrachten Zufälliges Ereignis.

Definition. Ein bestimmtes Ereignis wird in Bezug auf ein bestimmtes Erlebnis als zufällig bezeichnet, wenn es während der Durchführung dieses Experiments eintreten kann oder nicht.

Ein Beispiel für ein zufälliges Ereignis wäre das Erscheinen eines Wappens genau neun Mal. In einem Experiment mit 20-maligem Münzwurf, Gewinn eines verkauften Lottoscheins, Warten auf einen Zug von 20 bis 80 Sekunden, dem Zufall Geburtsdatum (im Experiment) von zwei zufällig ausgewählten Studenten bei einer Vorlesung über Wahrscheinlichkeitstheorie und in diesem Publikum.

Im Folgenden werden Zufallsereignisse bezeichnet A, IN, MIT usw.

Kommentar. Gemäß der oben gegebenen Definition gilt ein Ereignis als zufällig, wenn sein Eintreten aufgrund einer Erfahrung nur eine von zwei Möglichkeiten darstellt – es wird entweder eintreten oder nicht eintreten.

Als Ereignisse werden Ereignisse bezeichnet, die immer als Folge einer gegebenen Erfahrung eintreten zuverlässig(Bezeichnung I), die nie vorkommen – unmöglich Veranstaltungen (Bezeichnung Ø).

Die Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet Modelle solcher Experimente, die unter denselben Bedingungen (ziemlich) unbegrenzt oft wiederholt werden können, d. h. wir gehen davon aus, dass es prinzipiell möglich ist, mehrfach die gleichen Bedingungen zu schaffen, die ein bestimmtes Erlebnis hervorbringen.

Zufällige Ereignisse, deren Auftreten in solchen Experimenten möglich ist, werden aufgerufen massive Zufallsereignisse.

Massive Zufallsereignisse sind von isolierten zu unterscheiden, die die Besonderheit aufweisen, dass die Erfahrung, mit der diese Ereignisse verbunden sind, grundsätzlich nicht reproduzierbar ist. Beispielsweise ist das Ereignis „Am 1. Januar 2010 hat es in Moskau geschneit“ in diesem Sinne ein Einzelereignis (außergewöhnlich), da es unmöglich ist, das Auftreten des angegebenen Tages mehrmals zu reproduzieren. Gleichzeitig ist das Ereignis „Am 1. Januar hat es in Moskau geschneit“ (ohne Angabe des Jahres) zweifellos weit verbreitet: Schließlich kann man das Wetter in Moskau am 1. Januar viele Male (über viele Jahre hinweg) beobachten.

Ganz allgemein lässt sich der Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie wie folgt definieren:

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht die Muster, die Massenzufallsereignissen innewohnen.

Es stellt sich heraus, dass auch zufällige Ereignisse bestimmten (wahrscheinlichkeitstheoretischen) Mustern gehorchen. Der Ausgang jeder Erfahrung in Bezug auf ein bestimmtes Ereignis ist zufällig und ungewiss. Jedoch durchschnittliches Ergebnis Eine große Anzahl von Experimenten verliert ihren zufälligen Charakter und wird natürlich.

Betrachten Sie zum Beispiel das Experiment, eine bestimmte Münze zu werfen. Nehmen wir an, dass der Wurf mehrmals hintereinander erfolgt. Es stellt sich heraus, dass sich der „Anteil“ (Durchschnittsergebnis) derjenigen Würfe, bei denen das Wappen herausfällt (d. h. das Verhältnis der Anzahl solcher Würfe zur Anzahl aller Würfe), mit zunehmender Anzahl der Würfe nähert (oder eine andere Zahl – dies hängt vom Zustand der Münze ab).

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben. Das Gefäß enthält Gas. In ständiger Bewegung treffen Gasmoleküle aufeinander und ändern dadurch ständig Größe und Richtung ihrer Geschwindigkeit. Es scheint, dass daraus folgt, dass sich der Gasdruck an den Wänden des Gefäßes, der durch den Aufprall einzelner Moleküle auf die Wände verursacht wird, zufällig und unkontrolliert ändern sollte. Dies ist jedoch nicht der Fall: Der Gasdruck folgt einem strengen Muster (dem Boyle-Mariotte-Gesetz). Der Grund für dieses Muster liegt darin, dass der Gasdruck an den Gefäßwänden das durchschnittliche Ergebnis des Einflusses einer großen Anzahl von Molekülen ist. Zufällige Merkmale, die der Bewegung einzelner Moleküle in der Masse innewohnen (da es viele Moleküle gibt), werden gegenseitig aufgehoben, nivelliert und es entsteht ein durchschnittliches Muster.

Es ist diese Stabilität des Durchschnittsergebnisses, seine Unabhängigkeit von Schwankungen einzelner Terme (einzelner Ergebnisse des Experiments), die den Anwendungsbereich der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmt. Physik, Biologie, Medizin, Linguistik usw. – alle diese Bereiche der Wissenschaft nutzen (einige in größerem Umfang, andere in geringerem Umfang) die Konzepte und Schlussfolgerungen der Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandter Disziplinen – mathematische Statistik, Informationstheorie usw.

Kommen wir nun zum einfachsten und wichtigsten Muster zufälliger Ereignisse, das letztendlich die Grundlage aller Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis bildet.

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