Erwartungswert x y 2. Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen
– die Anzahl der Jungen unter 10 Neugeborenen.
Es ist absolut klar, dass diese Zahl nicht im Voraus bekannt ist und die nächsten zehn geborenen Kinder Folgendes umfassen könnten:
Oder Jungs - der eine und einzige aus den aufgeführten Optionen.
Und um in Form zu bleiben, ein wenig Sportunterricht:
– Weitsprungdistanz (in einigen Einheiten).
Selbst ein Meister des Sports kann es nicht vorhersagen :)
Doch Ihre Hypothesen?
2) Kontinuierliche Zufallsvariable – akzeptiert Alle Zahlenwerte aus einem endlichen oder unendlichen Intervall.
Notiz : Die Abkürzungen DSV und NSV sind in der Bildungsliteratur beliebt
Analysieren wir zunächst die diskrete Zufallsvariable, dann – kontinuierlich.
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
- Das Korrespondenz zwischen möglichen Werten dieser Größe und ihren Wahrscheinlichkeiten. Am häufigsten wird das Gesetz in einer Tabelle geschrieben: 
Der Begriff wird recht häufig verwendet Reihe
Verteilung, aber in manchen Situationen klingt es mehrdeutig, und deshalb werde ich mich an das „Gesetz“ halten.
Und jetzt Sehr wichtiger Punkt
: da die Zufallsvariable Notwendig werde akzeptieren einer der Werte, dann bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe und die Summe der Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens ist gleich eins:
oder, wenn gekürzt geschrieben:
So gilt zum Beispiel das Gesetz der Verteilung der Wahrscheinlichkeiten der gewürfelten Punkte nächste Ansicht:
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Möglicherweise haben Sie den Eindruck, dass eine diskrete Zufallsvariable nur „gute“ ganzzahlige Werte annehmen kann. Zerstreuen wir die Illusion – sie können alles sein:
Beispiel 1
Für einige Spiele gilt das folgende Gewinnverteilungsgesetz: 
...du träumst wahrscheinlich schon lange von solchen Aufgaben :) Ich verrate dir ein Geheimnis – ich auch. Besonders nach Abschluss der Arbeiten Feldtheorie.
Lösung: Da eine Zufallsvariable nur einen von drei Werten annehmen kann, bilden sich die entsprechenden Ereignisse volle Gruppe, was bedeutet, dass die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist: 
Den „Partisanen“ bloßstellen: 
– somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, konventionelle Einheiten zu gewinnen, 0,4.
Kontrolle: Das ist es, was wir sicherstellen mussten.
Antwort:
Es kommt nicht selten vor, dass Sie ein Vertriebsgesetz selbst erstellen müssen. Dafür verwenden sie klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, Multiplikations-/Additionssätze für Ereigniswahrscheinlichkeiten und andere Chips tervera:
Beispiel 2
Die Schachtel enthält 50 Lottoscheine, von denen 12 gewinnen, und 2 von ihnen gewinnen jeweils 1000 Rubel und der Rest - jeweils 100 Rubel. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz zufällige Variable– die Höhe des Gewinns, wenn ein Los zufällig aus der Box gezogen wird.
Lösung: Wie Sie bemerkt haben, werden die Werte einer Zufallsvariablen normalerweise in platziert in aufsteigender Reihenfolge. Deshalb beginnen wir mit dem kleinsten Gewinn, nämlich Rubel.
Insgesamt gibt es 50 solcher Tickets - 12 = 38, und dementsprechend klassische Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogenes Ticket ein Verlierer ist.
In anderen Fällen ist alles einfach. Die Wahrscheinlichkeit, Rubel zu gewinnen, beträgt:
Check: – und das ist ein besonders angenehmer Moment bei solchen Aufgaben!
Antwort: das gewünschte Gesetz der Gewinnverteilung: 
Die folgende Aufgabe müssen Sie selbst lösen:
Beispiel 3
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, beträgt . Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable – die Anzahl der Treffer nach 2 Schüssen.
...Ich wusste, dass du ihn vermisst hast :) Erinnern wir uns Multiplikations- und Additionssätze. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.
Das Verteilungsgesetz beschreibt eine Zufallsvariable vollständig, aber in der Praxis kann es nützlich (und manchmal nützlicher) sein, nur einen Teil davon zu kennen numerische Merkmale .
Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Apropos in einfacher Sprache, Das durchschnittlicher Erwartungswert wenn der Test viele Male wiederholt wird. Lassen Sie die Zufallsvariable Werte mit Wahrscheinlichkeiten annehmen 
jeweils. Dann erwarteter Wert dieser Zufallsvariablen ist gleich Summe der Produkte alle seine Werte zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:
oder zusammengebrochen: 
Berechnen wir zum Beispiel den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen – der Anzahl der gewürfelten Punkte:
Erinnern wir uns nun an unser hypothetisches Spiel: 
Es stellt sich die Frage: Ist es überhaupt profitabel, dieses Spiel zu spielen? ...wer hat irgendwelche Eindrücke? Man kann es also nicht „offensichtlich“ sagen! Aber diese Frage lässt sich leicht beantworten, indem man im Wesentlichen die mathematische Erwartung berechnet: gewichteter Durchschnitt nach Gewinnwahrscheinlichkeit:
Somit ist die mathematische Erwartung dieses Spiels verlieren.
Vertrauen Sie nicht Ihren Eindrücken – vertrauen Sie den Zahlen!
Ja, hier kann man 10 und sogar 20-30 Mal hintereinander gewinnen, aber auf lange Sicht steht uns der unvermeidliche Ruin bevor. Und ich würde dir nicht raten, solche Spiele zu spielen :) Na ja, vielleicht nur zum Spass.
Aus all dem oben Gesagten folgt, dass die mathematische Erwartung kein ZUFÄLLIGER Wert mehr ist.
Gestaltungsaufgabe zur eigenständigen Recherche:
Beispiel 4
Herr X spielt europäisches Roulette nach folgendem System: Er setzt ständig 100 Rubel auf „Rot“. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen – ihres Gewinns. Berechnen Sie die mathematische Gewinnerwartung und runden Sie sie auf die nächste Kopeke. Wie viele im mittleren Verliert der Spieler für jeden Hundert, den er setzt?
Referenz : Europäisches Roulette enthält 18 rote, 18 schwarze und 1 grünen Sektor („Null“). Wenn „Rot“ ausgerollt wird, wird dem Spieler das Doppelte des Einsatzes ausgezahlt, andernfalls geht es an die Einnahmen des Casinos
Es gibt viele andere Roulette-Systeme, für die Sie Ihre eigenen Wahrscheinlichkeitstabellen erstellen können. Dies ist jedoch der Fall, wenn wir keine Verteilungsgesetze und Tabellen benötigen, da mit Sicherheit festgestellt wurde, dass die mathematische Erwartung des Spielers genau dieselbe sein wird. Das Einzige, was sich von System zu System ändert, ist
Jeder einzelne Wert wird vollständig durch seine Verteilungsfunktion bestimmt. Um praktische Probleme zu lösen, reicht es außerdem aus, mehrere numerische Merkmale zu kennen, wodurch es möglich wird, die Hauptmerkmale einer Zufallsvariablen in Kurzform darzustellen.
Diese Mengen umfassen in erster Linie erwarteter Wert Und Streuung .
Erwarteter Wert— der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bezeichnet als .
Am meisten auf einfache Weise mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X(w), finden Sie heraus, wie IntegralLebesgue in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß R Original Wahrscheinlichkeitsraum
Sie können den mathematischen Erwartungswert eines Werts auch als finden Lebesgue-Integral aus X durch Wahrscheinlichkeitsverteilung R X Mengen X:
wo ist die Menge aller möglichen Werte X.
Mathematische Erwartung von Funktionen aus einer Zufallsvariablen X durch Verbreitung gefunden R X. Zum Beispiel, Wenn X- eine Zufallsvariable mit Werten in und f(x)- eindeutig BorelsFunktion X , Das:
Wenn F(x)- Verteilungsfunktion X, dann ist die mathematische Erwartung darstellbar IntegralLebesgue - Stieltjes (oder Riemann - Stieltjes):
in diesem Fall Integrabilität X im Sinne ( * ) entspricht der Endlichkeit des Integrals
In bestimmten Fällen, wenn X Es hat diskrete Verteilung mit wahrscheinlichen Werten x k, k=1, 2, . , und Wahrscheinlichkeiten also
Wenn X hat eine absolut stetige Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte p(x), Das
In diesem Fall ist die Existenz einer mathematischen Erwartung gleichbedeutend mit der absoluten Konvergenz der entsprechenden Reihe oder des entsprechenden Integrals.
Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen.
- Die mathematische Erwartung eines konstanten Wertes ist gleich diesem Wert:
C- konstant;
- M=C.M[X]
- Der mathematische Erwartungswert der Summe zufällig ermittelter Werte ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen:
- Die mathematische Erwartung des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen = das Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:
M=M[X]+M[Y]
Wenn X Und Y unabhängig.
wenn die Reihe konvergiert:
Algorithmus zur Berechnung der mathematischen Erwartung.
Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können durch natürliche Zahlen umnummeriert werden; Weisen Sie jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.
1. Multiplizieren Sie die Paare einzeln: x i An p i.
2. Addieren Sie das Produkt jedes Paares x i p i.
Zum Beispiel, Für N = 4 :
Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen schrittweise steigt sie an den Punkten sprunghaft an, deren Wahrscheinlichkeiten ein positives Vorzeichen haben.
Beispiel: Finden Sie den mathematischen Erwartungswert mithilfe der Formel.
Erwartungswert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und den Grad der Streuung. Bei vielen praktischen Problemen kann ein vollständiges, erschöpfendes Merkmal einer Zufallsvariablen – das Verteilungsgesetz – entweder überhaupt nicht ermittelt werden oder wird überhaupt nicht benötigt. In diesen Fällen beschränkt man sich auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen mittels numerischer Merkmale.
Der Erwartungswert wird oft einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet. Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Merkmal der Streuung, der Streuung einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.
Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Wir nähern uns dem Konzept der mathematischen Erwartung zunächst auf der Grundlage der mechanischen Interpretation der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen. Die Einheitsmasse sei zwischen den Punkten der x-Achse verteilt X1 , X 2 , ..., X N, und jeder materielle Punkt hat eine entsprechende Masse von P1 , P 2 , ..., P N. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der Abszissenachse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, den Massenschwerpunkt des Systems materieller Punkte als einen solchen Punkt anzunehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, zu der die Abszisse jedes Punktes gehört Xich tritt mit einem „Gewicht“ ein, das der entsprechenden Wahrscheinlichkeit entspricht. Der auf diese Weise erhaltene Durchschnittswert der Zufallsvariablen X wird seine mathematische Erwartung genannt.
Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:
Beispiel 1. Es wurde eine Win-Win-Lotterie organisiert. Es gibt 1000 Gewinne, davon sind 400 10 Rubel. 300 - 20 Rubel pro Stück. 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn für jemanden, der ein Los kauft?
Lösung. Den durchschnittlichen Gewinn ermitteln wir, wenn wir den Gesamtgewinnbetrag, der 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel beträgt, durch 1000 (Gesamtgewinnbetrag) dividieren. Dann erhalten wir 50.000/1.000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann jedoch in folgender Form dargestellt werden:
Andererseits ist der Gewinnbetrag unter diesen Bedingungen eine Zufallsvariable, die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher die erwartete durchschnittliche Auszahlung gleich der Summe Produkte aus der Höhe der Gewinne und der Wahrscheinlichkeit, diese zu erhalten.
Beispiel 2. Der Verlag entschied sich für die Veröffentlichung neues Buch. Er plant, das Buch für 280 Rubel zu verkaufen, wovon er selbst 200 erhält, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.
Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Verlags.
Lösung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ entspricht der Differenz zwischen den Erlösen aus Verkäufen und den Kosten der Kosten. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, beträgt der Erlös aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten betragen 225.000 Rubel. Dem Verlag entsteht somit ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen – Gewinn zusammen:
| Nummer | Profitieren Xich | Wahrscheinlichkeit Pich | Xich P ich |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Gesamt: | 1,00 | 25000 |
Somit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:
.
Beispiel 3. Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zu treffen P= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Projektilen, die eine mathematische Erwartung für die Anzahl der Treffer von 5 liefern.
Lösung. Ausgehend von der gleichen mathematischen Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus X- Schalenverbrauch:
.
Beispiel 4. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Schuss P = 0,4 .
Hinweis: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Variablenwerte durch Bernoullis Formel .
Eigenschaften der mathematischen Erwartung
Betrachten wir die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.
Eigentum 1. Der mathematische Erwartungswert eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante:
Eigentum 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen:
Eigentum 3. Der mathematische Erwartungswert der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 4. Die mathematische Erwartung eines Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 5. Sind alle Werte einer Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). MIT, dann wird sein mathematischer Erwartungswert um die gleiche Zahl sinken (steigen):
Wenn Sie sich nicht nur auf mathematische Erwartungen beschränken können
In den meisten Fällen kann allein der mathematische Erwartungswert eine Zufallsvariable nicht ausreichend charakterisieren.
Lassen Sie die Zufallsvariablen X Und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:
| Bedeutung X | Wahrscheinlichkeit |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Bedeutung Y | Wahrscheinlichkeit |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind gleich – gleich Null:
Ihre Verteilungsmuster sind jedoch unterschiedlich. Zufälliger Wert X kann nur Werte annehmen, die kaum von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen abweichen Y kann Werte annehmen, die erheblich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn erlaubt keine Beurteilung des Anteils von Hoch- und Niedriglohnarbeitern. Mit anderen Worten: Man kann anhand der mathematischen Erwartung nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz der Zufallsvariablen ermitteln.
Varianz einer diskreten Zufallsvariablen
Varianz diskrete Zufallsvariable X heißt die mathematische Erwartung des Quadrats seiner Abweichung von der mathematischen Erwartung:
Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X angerufen arithmetischer Wert die Quadratwurzel seiner Varianz:
.
Beispiel 5. Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.
Lösung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X Und Y sind, wie oben gefunden, gleich Null. Nach der Dispersionsformel bei E(X)=E(j)=0 erhalten wir:
Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y bilden
.
Somit ergibt sich bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein, aber eine Zufallsvariable Y- bedeutsam. Dies ist eine Folge von Unterschieden in ihrer Verteilung.
Beispiel 6. Der Investor verfügt über 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst den erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Finden Sie für jede Alternative den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Werte für die 3. Alternative berechnet werden:
Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.
Alle Alternativen haben die gleichen mathematischen Erwartungen. Das bedeutet, dass auf lange Sicht alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Maß für das Risiko interpretiert werden – je höher sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko möchte, wird Projekt 1 wählen, da es die kleinste Standardabweichung (0) aufweist. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung – Projekt 4.
Dispersionseigenschaften
Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion vorstellen.
Eigentum 1. Die Varianz eines konstanten Wertes ist Null:
Eigentum 2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Dispersionszeichen entnommen werden:
.
Eigentum 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieses Werts, von dem das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts des Werts selbst subtrahiert wird:
,
Wo 
.
Eigentum 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:
Beispiel 7. Es ist bekannt, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Darüber hinaus ist der mathematische Erwartungswert bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.
Lösung. Bezeichnen wir mit P die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt X1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes X2 = 7 wird 1 − sein P. Lassen Sie uns die Gleichung für den mathematischen Erwartungswert herleiten:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
wo wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: P= 0,3 und 1 − P = 0,7 .
Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Wir berechnen die Varianz dieser Zufallsvariablen mithilfe der Formel aus Eigenschaft 3 der Streuung:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Finden Sie selbst den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen und schauen Sie sich dann die Lösung an
Beispiel 8. Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es akzeptiert den größeren der Werte 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Darüber hinaus ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.
Beispiel 9. In der Urne befinden sich 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden 3 Kugeln gezogen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.
Lösung. Zufälliger Wert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregel. Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen beträgt:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Erwartungswert und Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen
Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung dieselbe Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist F(X). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, deren Funktionsargument Xichändert sich abrupt; bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hängt aber auch von ihrem Durchschnittswert ab.
Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu ermitteln, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist die Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht diese direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion ermitteln.
Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als ihr bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .
2. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Erwarteter Wert
Betrachten Sie eine Zufallsvariable mit Zahlenwerte. Es ist oft nützlich, dieser Funktion eine Zahl zuzuordnen – ihren „Durchschnittswert“ oder, wie man sagt, „ Durchschnittswert", "Index der zentralen Tendenz". Aus mehreren Gründen, von denen einige später klar werden, wird üblicherweise der mathematische Erwartungswert als „Durchschnittswert“ verwendet.
Definition 3. Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X angerufene Nummer
diese. Die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen ist eine gewichtete Summe der Werte einer Zufallsvariablen mit Gewichten, die den Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Elementarereignisse entsprechen.
Beispiel 6. Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert der Zahl, die auf der Oberseite des Würfels erscheint. Das folgt direkt aus Definition 3
Aussage 2. Lassen Sie die Zufallsvariable X nimmt Werte an x 1, x 2,…, xM. Dann ist die Gleichheit wahr
(5)
diese. Die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen ist eine gewichtete Summe der Werte der Zufallsvariablen mit Gewichten, die den Wahrscheinlichkeiten entsprechen, dass die Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.
Im Gegensatz zu (4), wo die Summation direkt über Elementarereignisse erfolgt, kann ein Zufallsereignis aus mehreren Elementarereignissen bestehen.
Manchmal wird Beziehung (5) als Definition der mathematischen Erwartung verwendet. Mit Definition 3 ist es jedoch, wie unten gezeigt, einfacher, die Eigenschaften der mathematischen Erwartung festzulegen, die für die Konstruktion probabilistischer Modelle realer Phänomene erforderlich sind, als mit Beziehung (5).
Um die Beziehung (5) zu beweisen, gruppieren wir in (4) Terme mit die gleichen Werte zufällige Variable:
Da der konstante Faktor dann aus dem Vorzeichen der Summe entnommen werden kann
Durch die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Unter Verwendung der letzten beiden Beziehungen erhalten wir die erforderliche:
Der Begriff der mathematischen Erwartung in der probabilistisch-statistischen Theorie entspricht dem Begriff des Schwerpunkts in der Mechanik. Fassen wir es in Punkte zusammen x 1, x 2,…, xM auf der Massenzahlachse P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) jeweils. Dann zeigt Gleichung (5), dass der Schwerpunkt dieses Systems materieller Punkte mit der mathematischen Erwartung übereinstimmt, was die Natürlichkeit von Definition 3 zeigt.
Aussage 3. Lassen X- Zufallswert, M(X)– seine mathematische Erwartung, A– eine bestimmte Anzahl. Dann
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 .
Um dies zu beweisen, betrachten wir zunächst eine Zufallsvariable, die konstant ist, d. h. Die Funktion bildet den Raum elementarer Ereignisse auf einen einzelnen Punkt ab A. Da der konstante Multiplikator also über das Vorzeichen der Summe hinausgehen kann
Wenn jedes Glied einer Summe in zwei Terme geteilt wird, dann wird die gesamte Summe in zwei Summen geteilt, von denen die erste aus den ersten Termen und die zweite aus dem zweiten besteht. Daher ist die mathematische Erwartung die Summe zweier Zufallsvariablen X+Y, definiert auf demselben Raum elementarer Ereignisse, ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen M(X) Und M(U) diese Zufallsvariablen:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Und deshalb M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Wie oben gezeigt, M(M(X)) = M(X). Somit, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Weil das (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - A)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - A) + (M(X) – A) 2 , Das M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - A)} + M[(M(X) – A) 2 ]. Vereinfachen wir die letzte Gleichung. Wie zu Beginn des Beweises von Aussage 3 gezeigt wurde, ist die mathematische Erwartung einer Konstante die Konstante selbst und daher M[(M(X) – A) 2 ] = (M(X) – A) 2 . Da der konstante Multiplikator dann über das Vorzeichen der Summe hinausgehen kann M{2(X - M(X))(M(X) - A)} = 2(M(X) - A)M(X - M(X)). Die rechte Seite der letzten Gleichung ist 0, weil, wie oben gezeigt, M(X-M(X))=0. Somit, M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 , was bewiesen werden musste.
Aus dem oben Gesagten ergibt sich das M[(X- A) 2 ] erreicht ein Minimum A, gleich M[(X- M(X)) 2 ], bei a = M(X), da der zweite Term in Gleichung 3) immer nicht negativ ist und nur für den angegebenen Wert gleich 0 ist A.
Aussage 4. Lassen Sie die Zufallsvariable X nimmt Werte an x 1, x 2,…, xM und f ist eine Funktion des numerischen Arguments. Dann
Um dies zu beweisen, gruppieren wir auf der rechten Seite der Gleichung (4), die den mathematischen Erwartungswert definiert, Terme mit denselben Werten:
Unter Verwendung der Tatsache, dass der konstante Faktor aus dem Vorzeichen der Summe entnommen werden kann, und der Definition der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses (2) erhalten wir:
Q.E.D.
Aussage 5. Lassen X Und U– Zufallsvariablen, die auf demselben Raum elementarer Ereignisse definiert sind, A Und B- einige Zahlen. Dann M(Axt+ von)= Bin(X)+ bM(Y).
Mit der Definition des mathematischen Erwartungswerts und den Eigenschaften des Summensymbols erhalten wir eine Gleichungskette:
Das Erforderliche wurde nachgewiesen.
Das Obige zeigt, wie die mathematische Erwartung vom Übergang zu einem anderen Bezugspunkt und zu einer anderen Maßeinheit (Übergang) abhängt Y=Axt+B) sowie auf Funktionen von Zufallsvariablen. Die gewonnenen Ergebnisse werden ständig in der technischen und wirtschaftlichen Analyse, bei der Beurteilung der finanziellen und wirtschaftlichen Aktivitäten eines Unternehmens, beim Übergang von einer Währung zur anderen in außenwirtschaftlichen Berechnungen, in der regulatorischen und technischen Dokumentation usw. verwendet. Die betrachteten Ergebnisse ermöglichen die Verwendung der gleichen Berechnungsformeln für verschiedene Parameter Skalierung und Verschiebung.
| Vorherige |
Der mathematische Erwartungswert (Durchschnittswert) einer auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum gegebenen Zufallsvariablen X ist die Zahl m =M[X]=∑x i p i, wenn die Reihe absolut konvergiert.
Zweck des Dienstes. Nutzung des Dienstes in Onlinemodus mathematischer Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung werden berechnet(siehe Beispiel). Zusätzlich wird ein Graph der Verteilungsfunktion F(X) aufgetragen.
Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen
- Die mathematische Erwartung eines konstanten Wertes ist gleich sich selbst: M[C]=C, C – konstant;
- M=C M[X]
- Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen: M=M[X]+M[Y]
- Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: M=M[X] M[Y] , wenn X und Y unabhängig sind.
Dispersionseigenschaften
- Die Varianz eines konstanten Werts ist Null: D(c)=0.
- Der konstante Faktor kann unter dem Dispersionszeichen durch Quadrieren ermittelt werden: D(k*X)= k 2 D(X).
- Wenn die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, dann ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Wenn Zufallsvariablen X und Y abhängig sind: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Für die Streuung gilt folgende Rechenformel:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Beispiel. Die mathematischen Erwartungen und Varianzen zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y sind bekannt: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z=9X-8Y+7.
Lösung. Basierend auf den Eigenschaften der mathematischen Erwartung: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basierend auf den Eigenschaften der Dispersion: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorithmus zur Berechnung der mathematischen Erwartung
Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können durch natürliche Zahlen umnummeriert werden; Weisen Sie jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.- Wir multiplizieren die Paare einzeln: x i mit p i .
- Addiere das Produkt jedes Paares x i p i .
Zum Beispiel für n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Beispiel Nr. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Den mathematischen Erwartungswert ermitteln wir mit der Formel m = ∑x i p i .
Erwartung M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Wir ermitteln die Varianz mithilfe der Formel d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianz D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardabweichung σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Beispiel Nr. 2. Eine diskrete Zufallsvariable hat die folgende Verteilungsreihe:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Lösung. Der Wert von a ergibt sich aus der Beziehung: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 oder 0,24=3 a , woraus a = 0,08
Beispiel Nr. 3. Bestimmen Sie das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen, wenn ihre Varianz bekannt ist und x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Lösung.
Hier müssen Sie eine Formel zum Ermitteln der Varianz d(x) erstellen:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
wobei Erwartung m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Für unsere Daten
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
oder -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Dementsprechend müssen wir die Wurzeln der Gleichung finden, und davon wird es zwei geben.
x 3 =8, x 3 =12
Wählen Sie diejenige aus, die die Bedingung x 1 erfüllt
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
