So ermitteln und berechnen Sie das arithmetische Mittel für zwei. So ermitteln Sie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen

Es geht bei der Berechnung des Durchschnitts verloren.

Durchschnitt Bedeutung Die Zahlenmenge ist gleich der Summe der Zahlen S dividiert durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus Durchschnitt Bedeutung entspricht: 19/4 = 4,75.

beachten Sie

Wenn Sie den geometrischen Mittelwert für nur zwei Zahlen ermitteln müssen, benötigen Sie keinen technischen Taschenrechner: Bilden Sie die zweite Wurzel ( Quadratwurzel) aus einer beliebigen Zahl kann mit dem gängigsten Taschenrechner berechnet werden.

Hilfreicher Rat

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorensatz beeinflusst.

Quellen:

Online-Rechner, der das geometrische Mittel berechnet
Durchschnitt geometrische Formel

Durchschnitt Der Wert ist eines der Merkmale einer Menge von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des Bereichs liegen kann, der durch den größten und kleinsten Wert in dieser Zahlenmenge definiert ist. Durchschnitt Der arithmetische Wert ist die am häufigsten verwendete Art des Durchschnitts.

Anweisungen

Addieren Sie alle Zahlen in der Menge und dividieren Sie sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von den spezifischen Berechnungsbedingungen ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte in der Menge zu dividieren und das Ergebnis zu summieren.

Verwenden Sie beispielsweise das im Windows-Betriebssystem enthaltene Programm, wenn es nicht möglich ist, den arithmetischen Durchschnitt im Kopf zu berechnen. Sie können es über den Programmstartdialog öffnen. Drücken Sie dazu die Hotkeys WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche Start und wählen Sie im Hauptmenü Ausführen. Geben Sie dann calc in das Eingabefeld ein und drücken Sie die Eingabetaste oder klicken Sie auf die Schaltfläche OK. Dasselbe kann über das Hauptmenü erfolgen: Öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt „Alle Programme“ und wählen Sie im Abschnitt „Standard“ die Zeile „Rechner“.

Geben Sie alle Zahlen im Satz nacheinander ein, indem Sie nach jeder Zahl (außer der letzten) die Plus-Taste drücken oder auf die entsprechende Schaltfläche in der Rechneroberfläche klicken. Sie können Zahlen auch über die Tastatur oder durch Klicken auf die entsprechenden Schnittstellenschaltflächen eingeben.

Drücken Sie die Schrägstrichtaste oder klicken Sie in der Taschenrechneroberfläche darauf, nachdem Sie den letzten eingestellten Wert eingegeben haben, und geben Sie die Anzahl der Zahlen in der Folge ein. Drücken Sie dann das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet das arithmetische Mittel und zeigt es an.

Für den gleichen Zweck können Sie einen Tabelleneditor verwenden. Microsoft Excel. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in die angrenzenden Zellen ein. Wenn Sie nach der Eingabe jeder Zahl die Eingabetaste oder die Abwärts- oder Rechtspfeiltaste drücken, verschiebt der Editor selbst den Eingabefokus auf die angrenzende Zelle.

Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nicht nur den Durchschnitt sehen möchten. Erweitern Sie das Dropdown-Menü „Griechisches Sigma“ (Σ) für die Bearbeitungsbefehle auf der Registerkarte „Startseite“. Wählen Sie die Zeile „ Durchschnitt" und der Editor fügt die gewünschte Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels in die ausgewählte Zelle ein. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der zentralen Tendenzmaße, das in der Mathematik und in statistischen Berechnungen weit verbreitet ist. Das Ermitteln des arithmetischen Mittels für mehrere Werte ist sehr einfach, aber jede Aufgabe hat ihre eigenen Nuancen, die man einfach kennen muss, um korrekte Berechnungen durchführen zu können.

Was ist ein arithmetisches Mittel?

Das arithmetische Mittel bestimmt den Durchschnittswert für die gesamte ursprüngliche Zahlenreihe. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Menge von Zahlen wird ein allen Elementen gemeinsamer Wert ausgewählt, dessen mathematischer Vergleich mit allen Elementen ungefähr gleich ist. Der arithmetische Durchschnitt wird vor allem bei der Erstellung finanzieller und statistischer Berichte oder zur Berechnung der Ergebnisse ähnlicher Experimente verwendet.

So ermitteln Sie das arithmetische Mittel

Das Ermitteln des arithmetischen Mittels für eine Reihe von Zahlen sollte mit der Bestimmung der algebraischen Summe dieser Werte beginnen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, beträgt ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel durch den Buchstaben μ (mu) oder x (x mit a) bezeichnet Bar). Als nächstes sollte die algebraische Summe durch die Anzahl der Zahlen im Array geteilt werden. Im betrachteten Beispiel gab es fünf Zahlen, sodass das arithmetische Mittel 184/5 beträgt und 36,8 beträgt.

Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Wenn das Array enthält negative Zahlen, dann wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Der Unterschied besteht nur bei Berechnungen in der Programmierumgebung oder wenn das Problem zusätzliche Bedingungen hat. In diesen Fällen ist das Ermitteln des arithmetischen Mittels von Zahlen mit verschiedene Zeichen läuft auf drei Schritte hinaus:

1. Ermitteln des allgemeinen arithmetischen Durchschnitts mithilfe der Standardmethode;
2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen.
3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen.

Die Antworten für jede Aktion werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche und dezimale Brüche

Wenn ein Array von Zahlen dargestellt wird Dezimalstellen, die Lösung erfolgt nach der Methode der Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, das Ergebnis wird jedoch entsprechend den Anforderungen des Problems an die Genauigkeit der Antwort reduziert.

Bei der Arbeit mit natürlichen Brüchen sollten diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, der mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert wird. Der Zähler der Antwort ist die Summe der angegebenen Zähler der ursprünglichen Bruchelemente.

Technischer Rechner.

Anweisungen

Beachten Sie, dass das geometrische Mittel von Zahlen im Allgemeinen ermittelt wird, indem diese Zahlen multipliziert und daraus die Wurzel der Potenz gezogen wird, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Wenn Sie beispielsweise das geometrische Mittel von fünf Zahlen ermitteln müssen, müssen Sie die Wurzel der Potenz aus dem Produkt ziehen.

Um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie die Grundregel. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie dann die Quadratwurzel daraus, da die Zahl zwei ist, was der Potenz der Wurzel entspricht. Um beispielsweise das geometrische Mittel der Zahlen 16 und 4 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt 16 4=64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel √64=8. Dies wird der gewünschte Wert sein. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn nicht die gesamte Wurzel gezogen wird, runden Sie das Ergebnis auf die gewünschte Reihenfolge.

Um das geometrische Mittel von mehr als zwei Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie ebenfalls die Grundregel. Ermitteln Sie dazu das Produkt aller Zahlen, für die Sie den geometrischen Mittelwert ermitteln müssen. Extrahieren Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel der Potenz, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Um beispielsweise das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt. 2 4 64=512. Da Sie das Ergebnis des geometrischen Mittels von drei Zahlen ermitteln müssen, ziehen Sie die dritte Wurzel aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies verbal zu bewerkstelligen. Benutzen Sie daher einen Taschenrechner. Zu diesem Zweck verfügt es über einen Button „x^y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste „x^y“, wählen Sie dann die Nummer 3 und drücken Sie die Taste „1/x“. Um den Wert von 1/3 zu ermitteln, drücken Sie die Taste „=". Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der dritten Wurzel entspricht. Erhalten Sie 512^1/3=8. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

Mit einem technischen Taschenrechner können Sie das geometrische Mittel auf andere Weise ermitteln. Suchen Sie die Protokollschaltfläche auf Ihrer Tastatur. Anschließend logarithmieren Sie jede Zahl, ermitteln deren Summe und dividieren sie durch die Anzahl der Zahlen. Bilden Sie aus der resultierenden Zahl den Antilogarithmus. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Um beispielsweise das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner aus. Wählen Sie die Nummer 2, drücken Sie dann die Protokolltaste, drücken Sie die Taste „+“, wählen Sie die Nummer 4 und drücken Sie erneut Protokoll und „+“, wählen Sie 64, drücken Sie Protokoll und „=“. Das Ergebnis wird die Zahl sein gleich der Summe Dezimallogarithmen der Zahlen 2, 4 und 64. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, für die das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus dem Ergebnis den Antilogarithmus, indem Sie die Groß-/Kleinschreibungstaste umschalten und dieselbe Logarithmustaste verwenden. Das Ergebnis ist die Zahl 8, das ist der gewünschte geometrische Mittelwert.

Das Thema Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm der Klassen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell fertig, und zwar am Ende Schuljahr Schulkinder vergessen ihn. Für das Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens sind jedoch Kenntnisse in grundlegenden Statistiken erforderlich internationale Prüfungen SA. Ja und dafür Alltagsleben entwickeltes analytisches Denken schadet nie.

So berechnen Sie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen

Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, im Fall der Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie kommt man auf 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die der Anzahl der Zahlen entspricht, deren Durchschnitt ermittelt werden muss. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir das geometrische Mittel ermitteln. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel der Zahlen ist das Produkt aller gegebenen Zahlen, das sich unter der Wurzel befindet, mit einer Potenz, die der Anzahl der gegebenen Zahlen entspricht. Das heißt, im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 lautet die Antwort 4. Hier erfahren Sie, wie es stellte sich heraus:

Lösung: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Bei beiden Varianten erhielten wir ganze Antworten, da als Beispiel Sonderzahlen herangezogen wurden. Dies geschieht nicht immer. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Für die Zahlen 11, 7 und 20 beträgt beispielsweise das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten 5,5 bzw. √30.

Könnte es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Zahlenreihe gibt, die nur aus Einsen oder Nullen besteht. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrisches Mittel).

Beweis mit Nullen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).

√(0 × 0) = 0 (geometrisches Mittel).

Es gibt keine andere Möglichkeit und kann es auch nicht sein.

) und Stichprobenmittelwert(e).

Enzyklopädisches YouTube

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Bezeichnen wir den Datensatz X = (X 1 , X 2 , …, X N), dann wird der Stichprobenmittelwert normalerweise durch einen horizontalen Balken über der Variablen angezeigt (ausgesprochen „ X mit einer Linie").
Der griechische Buchstabe μ bezeichnet das arithmetische Mittel der Gesamtbevölkerung. Für eine Zufallsvariable, für die der Mittelwert bestimmt wird, beträgt μ probabilistischer Durchschnitt oder mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen. Wenn das Set X ist eine Sammlung von Zufallszahlen mit einem probabilistischen Mittelwert μ, also für jede Stichprobe X ich aus dieser Menge μ = E( X ich) ist der mathematische Erwartungswert dieser Stichprobe.
In der Praxis beträgt der Unterschied zwischen μ und x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ist, dass μ eine typische Variable ist, da man eine Stichprobe und nicht die gesamte Grundgesamtheit sehen kann. Wenn die Stichprobe also zufällig ist (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie), dann x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(aber nicht μ) kann als Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Stichprobe (Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts) behandelt werden.
Beide Größen werden auf die gleiche Weise berechnet:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
Beispiele
- Bei drei Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 3 dividieren:
x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
- Bei vier Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 4 dividieren:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)
Oder einfacher: 5+5=10, 10:2. Da wir zwei Zahlen addiert haben, d. h. wie viele Zahlen wir addieren, dividieren wir durch diese Anzahl.

Kontinuierliche Zufallsvariable
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Einige Probleme bei der Verwendung des Durchschnitts

Mangelnde Robustheit

Obwohl arithmetische Mittel häufig als Durchschnittswerte oder zentrale Tendenzen verwendet werden, handelt es sich bei diesem Konzept nicht um eine robuste Statistik, was bedeutet, dass das arithmetische Mittel stark von „großen Abweichungen“ beeinflusst wird. Es ist bemerkenswert, dass bei Verteilungen mit einem großen Schiefekoeffizienten das arithmetische Mittel möglicherweise nicht dem Konzept des „Mittelwerts“ entspricht und die Werte des Mittelwerts aus robusten Statistiken (z. B. der Median) den Zentralwert möglicherweise besser beschreiben Tendenz.
Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung des Durchschnittseinkommens. Das arithmetische Mittel kann als Median fehlinterpretiert werden, was zu dem Schluss führen kann, dass es mehr Menschen mit höherem Einkommen gibt, als es tatsächlich gibt. Unter „durchschnittlichem“ Einkommen versteht man, dass die meisten Menschen über ein Einkommen in der Größenordnung dieser Zahl verfügen. Dieses „durchschnittliche“ (im Sinne des arithmetischen Mittels) Einkommen ist höher als das Einkommen der meisten Menschen, da ein hohes Einkommen mit großer Abweichung vom Durchschnitt zu einer starken Schiefe des arithmetischen Mittels führt (im Gegensatz zum Durchschnittseinkommen am Median). „widersteht“ einer solchen Verzerrung). Dieses „durchschnittliche“ Einkommen sagt jedoch nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des Medianeinkommens aus (und sagt nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des modalen Einkommens aus). Wenn man jedoch die Begriffe „durchschnittlich“ und „die meisten Menschen“ auf die leichte Schulter nimmt, kann man zu der falschen Schlussfolgerung kommen, dass die meisten Menschen über ein höheres Einkommen verfügen, als sie tatsächlich haben. Beispielsweise wird ein Bericht über das „durchschnittliche“ Nettoeinkommen in Medina, Washington, das als arithmetischer Durchschnitt aller jährlichen Nettoeinkommen der Einwohner berechnet wird, überraschende Ergebnisse liefern große Nummer wegen Bill Gates. Betrachten Sie die Stichprobe (1, 2, 2, 2, 3, 9). Der arithmetische Mittelwert liegt bei 3,17, allerdings liegen fünf von sechs Werten unter diesem Mittelwert.

Zinseszins

Wenn die Zahlen multiplizieren, und nicht falten, müssen Sie das geometrische Mittel verwenden, nicht das arithmetische Mittel. Am häufigsten tritt dieser Vorfall bei der Berechnung der Kapitalrendite im Finanzbereich auf.
Wenn eine Aktie beispielsweise im ersten Jahr um 10 % fiel und im zweiten Jahr um 30 % stieg, dann ist es falsch, den „durchschnittlichen“ Anstieg über diese zwei Jahre als arithmetisches Mittel (−10 % + 30 %) / 2 zu berechnen = 10 %; Der korrekte Durchschnitt ergibt sich in diesem Fall aus der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate, die eine jährliche Wachstumsrate von nur etwa 8,16653826392 % ≈ 8,2 % ergibt.
Der Grund dafür ist, dass Prozentsätze jedes Mal einen neuen Ausgangspunkt haben: 30 % ist 30 % ab einer Zahl, die unter dem Preis zu Beginn des ersten Jahres liegt: Wenn eine Aktie bei 30 $ startete und um 10 % fiel, ist sie zu Beginn des zweiten Jahres 27 $ wert. Wenn die Aktie um 30 % steigen würde, wäre sie am Ende des zweiten Jahres 35,1 $ wert. Der arithmetische Durchschnitt dieses Wachstums beträgt 10 %, aber da die Aktie in zwei Jahren nur um 5,1 $ gestiegen ist, ergibt das durchschnittliche Wachstum von 8,2 % ein Endergebnis von 35,1 $:
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Wenn wir den arithmetischen Durchschnitt von 10 % auf die gleiche Weise verwenden, erhalten wir nicht den tatsächlichen Wert: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].
Zinseszins am Ende von 2 Jahren: 90 % * 130 % = 117 %, d. h. die Gesamtsteigerung beträgt 17 % und der durchschnittliche jährliche Zinseszins 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\ca. 108,2\%), also ein durchschnittlicher jährlicher Anstieg von 8,2 %. Diese Zahl ist aus zwei Gründen falsch.

Der nach obiger Formel berechnete Durchschnittswert einer zyklischen Variablen wird gegenüber dem realen Durchschnitt künstlich in die Mitte des Zahlenbereichs verschoben. Aus diesem Grund wird der Durchschnitt auf andere Weise berechnet, nämlich die Zahl mit der geringsten Varianz (der Mittelpunkt) wird als Durchschnittswert ausgewählt. Außerdem wird anstelle der Subtraktion der Modulabstand (also der Umfangsabstand) verwendet. Beispielsweise beträgt der Modulabstand zwischen 1° und 359° 2°, nicht 358° (auf dem Kreis zwischen 359° und 360° ==0° - ein Grad, zwischen 0° und 1° - insgesamt auch 1° - 2°).