Den Studierenden im 1. und 2. Studienjahr wird ein Test zur Integration von Funktionen, einschließlich rationaler Brüche, vorgelegt. Beispiele für Integrale werden vor allem für Mathematiker, Ökonomen und Statistiker von Interesse sein. Diese Beispiele wurden am gefragt Testarbeit an der LNU, benannt nach. I. Frank. Die Bedingungen der folgenden Beispiele lauten „Finde das Integral“ oder „Berechne das Integral“, daher wurden sie aus Platz- und Zeitgründen nicht ausgeschrieben.

Beispiel 15. Wir sind zur Integration gebrochenrationaler Funktionen gekommen. Sie nehmen unter den Integralen eine Sonderstellung ein, da sie viel Zeit für die Berechnung erfordern und Lehrern dabei helfen, Ihr Wissen nicht nur über Integration zu testen. Um die Funktion unter dem Integral zu vereinfachen, addieren und subtrahieren wir einen Ausdruck im Zähler, der es uns ermöglicht, die Funktion unter dem Integral in zwei einfache aufzuteilen

Dadurch finden wir recht schnell ein Integral, im zweiten müssen wir den Bruch in eine Summe elementarer Brüche entwickeln

Auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, erhalten wir die folgenden Zahlen

Öffnen Sie als Nächstes die Klammern und die Gruppe

Wir setzen den Wert gleich gleiche Grade„X“ rechts und links. Als Ergebnis kommen wir zu einem Dreiersystem lineare Gleichungen(SLAU) mit drei Unbekannten.

Wie man Gleichungssysteme löst, wird in anderen Artikeln auf der Website beschrieben. In der finalen Version erhalten Sie die folgende SLAE-Lösung
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Wir ersetzen Konstanten bei der Entwicklung von Brüchen in die einfachsten und führen eine Integration durch


Damit ist das Beispiel abgeschlossen.

Beispiel 16. Wieder müssen wir das Integral von finden gebrochene rationale Funktion. Zunächst zerlegen wir die im Nenner des Bruchs enthaltene kubische Gleichung in einfache Faktoren

Als nächstes zerlegen wir den Bruch in seine einfachsten Formen

Wir reduzieren die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner und öffnen die Klammern im Zähler.


Wir setzen die Koeffizienten für die gleichen Grade der Variablen gleich. Kommen wir noch einmal zum SLAE mit drei Unbekannten

Lasst uns ersetzen Werte A, B, C in die Entwicklung ein und berechne das Integral

Die ersten beiden Terme ergeben den Logarithmus, der letzte ist ebenfalls leicht zu finden.

Beispiel 17. Im Nenner der gebrochenen rationalen Funktion haben wir die Differenz von Kubikzahlen. Mit den abgekürzten Multiplikationsformeln zerlegen wir es in zwei Primfaktoren

Als nächstes schreiben wir die resultierende Bruchfunktion in die Summe einfache Brüche und sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Im Zähler erhalten wir den folgenden Ausdruck.

Daraus bilden wir ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung von 3 Unbekannten

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Wir setzen A, B, C in die Formel ein und führen eine Integration durch. Als Ergebnis kommen wir zu folgender Antwort:


Hier wurde der Zähler des zweiten Integrals in einen Logarithmus umgewandelt und der Rest unter dem Integral ergibt den Arkustangens.
Es gibt viele ähnliche Beispiele zur Integration rationaler Brüche im Internet. Ähnliche Beispiele finden Sie in den folgenden Materialien.

Integration rationale Funktionen Bruchzahl - rationale Funktion Die einfachsten rationalen Brüche Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfache Brüche Integration einfacher Brüche Allgemeine Regel Integration rationaler Brüche

Polynom vom Grad n. Bruchzahl – rationale Funktion Eine gebrochenzahlig – rationale Funktion ist eine Funktion, die dem Verhältnis zweier Polynome entspricht: Ein rationaler Bruch heißt echter Bruch, wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, also m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Bruchzahl – rationale Funktion Reduzieren Sie einen unechten Bruch in die richtige Form: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Einfachste rationale Brüche Echte rationale Brüche der Form: Sie werden als einfachste rationale Brüche von Typen bezeichnet. Axt A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfache Brüche Satz: Jeder echte rationale Bruch, dessen Nenner faktorisiert ist: kann darüber hinaus auf einzigartige Weise in Form einer Summe einfacher Brüche dargestellt werden: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfache Brüche Lassen Sie uns die Formulierung des Satzes anhand der folgenden Beispiele erläutern: Um die unsicheren Koeffizienten A, B, C, D... zu finden, werden zwei Methoden verwendet: die Methode des Koeffizientenvergleichs und die Methode von Teilwerten einer Variablen. Schauen wir uns die erste Methode anhand eines Beispiels an. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Zerlegung eines rationalen Bruchs in einfache Brüche. Stellen Sie den Bruch als Summe einfacher Brüche dar: Bringen wir die einfachsten Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Setzen Sie die Zähler der resultierenden und ursprünglichen Brüche gleich. Setzen Sie die Koeffizienten mit den gleichen Potenzen gleich x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integration der einfachsten Brüche Finden wir die Integrale der einfachsten rationalen Brüche: Schauen wir uns die Integration von Brüchen vom Typ 3 anhand eines Beispiels an. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integration einfacher Brüchedx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integration einfacher Brüche Ein solches Integral durch Substitution wird auf die Summe zweier Integrale reduziert: Das erste Integral wird durch Einführung von t unter dem Differentialzeichen berechnet. Das zweite Integral wird mit der Rekursionsformel berechnet: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integration einfacher Brüche a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Allgemeine Regel für die Integration rationaler Brüche. Wenn der Bruch uneigentlich ist, stellen Sie ihn als Summe eines Polynoms und eines echten Bruchs dar. Nachdem Sie den Nenner eines echten rationalen Bruchs faktorisiert haben, stellen Sie ihn als Summe einfacher Brüche mit unbestimmten Koeffizienten dar. Finden Sie unbestimmte Koeffizienten mit der Methode des Koeffizientenvergleichs oder mit der Methode der Teilwerte einer Variablen. Integrieren Sie das Polynom und die resultierende Summe einfacher Brüche.

Beispiel: Bringen wir den Bruch in die richtige Form. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Beispiel Lassen Sie uns den Nenner eines echten Bruchs faktorisieren. Stellen wir den Bruch als Summe einfacher Brüche dar. Finden wir die unbestimmten Koeffizienten mithilfe der Methode der Teilwerte der Variablen xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Beispiel dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

THEMA: Integration rationaler Brüche.

Aufmerksamkeit! Beim Studium einer der grundlegenden Methoden der Integration, der Integration rationaler Brüche, ist es erforderlich, Polynome im komplexen Bereich zu berücksichtigen, um strenge Beweise durchzuführen. Deshalb ist es notwendig im Voraus studieren einige Eigenschaften komplexe Zahlen und Operationen an ihnen.

Integration einfacher rationaler Brüche.

Wenn P(z) Und Q(z) Sind Polynome im komplexen Bereich, dann sind sie rationale Brüche. Es wird genannt richtig, wenn Abschluss P(z) weniger Grad Q(z) , Und falsch, wenn Abschluss R nicht weniger als einen Abschluss Q.

Jeder unechte Bruch kann dargestellt werden als: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – Polynom, dessen Grad kleiner als der Grad ist Q(z).

Somit läuft die Integration rationaler Brüche auf die Integration von Polynomen, also Potenzfunktionen, und echten Brüchen hinaus, da es sich um einen echten Bruch handelt.

Definition 5. Die einfachsten (oder elementaren) Brüche sind die folgenden Arten von Brüchen:

1) , 2) , 3) , 4) .

Lassen Sie uns herausfinden, wie sie sich integrieren.

3) (früher studiert).

Satz 5. Jeder echte Bruch kann als Summe einfacher Brüche dargestellt werden (ohne Beweis).

Folgerung 1. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und es unter den Wurzeln des Polynoms nur einfache reelle Wurzeln gibt, dann gibt es bei der Zerlegung des Bruchs in die Summe einfacher Brüche nur einfache Brüche des 1. Typs:

Beispiel 1.

Folgerung 2. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und es unter den Wurzeln des Polynoms nur mehrere reelle Wurzeln gibt, dann gibt es bei der Zerlegung des Bruchs in die Summe einfacher Brüche nur einfache Brüche der 1. und 2. Art :

Beispiel 2.

Folgerung 3. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und es unter den Wurzeln des Polynoms nur einfache komplex konjugierte Wurzeln gibt, dann gibt es bei der Zerlegung des Bruchs in die Summe einfacher Brüche nur einfache Brüche des 3. Typs:

Beispiel 3.

Folgerung 4. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und es unter den Wurzeln des Polynoms nur mehrere komplex konjugierte Wurzeln gibt, dann gibt es bei der Zerlegung des Bruchs in die Summe einfacher Brüche nur einfache Brüche des 3. und 4. Teils Typen:

Um die unbekannten Koeffizienten in den gegebenen Erweiterungen zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor. Die linke und rechte Seite der Entwicklung, die unbekannte Koeffizienten enthält, werden mit multipliziert. Man erhält die Gleichheit zweier Polynome. Daraus werden Gleichungen für die erforderlichen Koeffizienten erhalten unter Verwendung von:

1. Gleichheit gilt für alle Werte von X (Teilwertmethode). In diesem Fall werden beliebig viele Gleichungen erhalten, von denen jedes m die Bestimmung der unbekannten Koeffizienten ermöglicht.

2. Die Koeffizienten stimmen für die gleichen Grade von X überein (Methode der unbestimmten Koeffizienten). In diesem Fall wird ein System von m-Gleichungen mit m-Unbekannten erhalten, aus dem die unbekannten Koeffizienten ermittelt werden.

3. kombinierte Methode.

Beispiel 5. Erweitern Sie einen Bruch zum Einfachsten.

Lösung:

Finden wir die Koeffizienten A und B.

Methode 1 – Privatwertmethode:

Methode 2 – Methode der unbestimmten Koeffizienten:

Antwort:

Rationale Brüche integrieren.

Satz 6. Das unbestimmte Integral eines rationalen Bruchs in einem beliebigen Intervall, in dem sein Nenner nicht liegt gleich Null, existiert und wird durch elementare Funktionen ausgedrückt, nämlich rationale Brüche, Logarithmen und Arkustangens.

Nachweisen.

Stellen wir uns einen rationalen Bruch in der Form vor: . In diesem Fall ist der letzte Term ein echter Bruch und kann gemäß Satz 5 als Linearkombination einfacher Brüche dargestellt werden. Somit wird die Integration eines rationalen Bruchs auf die Integration eines Polynoms reduziert S(X) und einfache Brüche, deren Stammfunktionen, wie gezeigt wurde, die im Satz angegebene Form haben.

Kommentar. Die Hauptschwierigkeit besteht in diesem Fall in der Zerlegung des Nenners in Faktoren, also in der Suche nach allen seinen Wurzeln.

Beispiel 1. Finden Sie das Integral

Eine der wichtigsten Funktionsklassen, deren Integrale durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden, ist die Klasse der rationalen Funktionen.

Definition 1. Funktion des Formulars wo
- GradpolynomeNUndMrational genannt. Eine ganze rationale Funktion, d.h. Polynom, integriert direkt. Das Integral einer gebrochenrationalen Funktion kann durch Zerlegen in Terme ermittelt werden, die auf herkömmliche Weise in einfache tabellarische Integrale umgewandelt werden.

Definition 2. Bruch
heißt richtig, wenn der Grad des ZählersNkleiner als die Potenz des NennersM. Ein Bruch, bei dem der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners ist, heißt unechten.

Jeder unechte Bruch kann als Summe eines Polynoms und eines echten Bruchs dargestellt werden. Dies geschieht durch Division eines Polynoms durch ein Polynom, ähnlich wie beim Teilen von Zahlen.

Beispiel.

Stellen wir uns einen Bruchteil vor
als Summe eines Polynoms und eines echten Bruchs:

x - 1

3

3

3

Erste Amtszeit
im Quotienten ergibt es sich durch Division des führenden Termes
, geteilt durch den führenden Begriff X Teiler Dann multiplizieren wir
pro Teiler x-1 und das resultierende Ergebnis wird von der Dividende abgezogen; Die übrigen Terme des unvollständigen Quotienten werden auf ähnliche Weise gefunden.

Nach der Division der Polynome erhalten wir:

Diese Aktion wird als Auswählen eines ganzen Teils bezeichnet.

Definition 3. Die einfachsten Brüche sind echte rationale Brüche der folgenden Typen:

ICH.

II.
(K=2, 3, …).

III.
Wo ist das quadratische Trinom?

IV.
wobei K=2, 3, …; quadratisches Trinom
hat keine wirklichen Wurzeln.

a) Erweitern Sie den Nenner
in die einfachsten reellen Faktoren (nach dem Grundsatz der Algebra kann diese Entwicklung lineare Binome der Form enthalten
und quadratische Trinome
, ohne Wurzeln);

b) Schreiben Sie ein Diagramm der Zerlegung eines gegebenen Bruchs in eine Summe einfacher Brüche. Darüber hinaus ist jeder Faktor des Formulars
entspricht k Komponenten der Typen I und II:

zu jedem Faktor der Form
entspricht e Termen der Typen III und IV:

Beispiel.

Schreiben Sie das Bruchentwicklungsschema auf
zur Summe des Einfachsten.

c) Führen Sie die Addition der einfachsten erhaltenen Brüche durch. Notieren Sie die Gleichheit der Zähler der resultierenden und ursprünglichen Brüche.

d) Finden Sie die Koeffizienten der entsprechenden Entwicklung:
(Lösungsmethoden werden weiter unten besprochen);

e) Ersetzen Sie die gefundenen Werte der Koeffizienten im Zerlegungsschema.

Die Integration eines echten rationalen Bruchs nach der Zerlegung in seine einfachsten Terme reduziert sich darauf, Integrale eines der folgenden Typen zu finden:

(k Und e =2, 3, …).

Berechnung des Integrals reduziert sich auf Formel III:

Integral - zur Formel II:

Integral kann durch die in der Theorie der Integration von Funktionen angegebene Regel gefunden werden, die ein quadratisches Trinom enthält; - durch die unten in Beispiel 4 gezeigten Transformationen.

Beispiel 1.

a) Faktorisiere den Nenner:

b) Schreiben Sie ein Diagramm zur Zerlegung des Integranden in Terme:

c) Führen Sie die Addition einfacher Brüche durch:

Schreiben wir die Gleichheit der Zähler der Brüche auf:

d) Es gibt zwei Methoden zum Finden unbekannter Koeffizienten A, B, C.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten für die gleichen Potenzen gleich sind X, sodass Sie das entsprechende Gleichungssystem erstellen können. Dies ist eine der Lösungsmethoden.

Koeffizienten bei

freie Mitglieder (Koeffizient bei ):4A=8.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir A=2, B=1, C= - 10.

Eine andere Methode – private Werte – wird im folgenden Beispiel besprochen;

e) Ersetzen Sie die gefundenen Werte in das Zerlegungsschema:

Wenn wir die resultierende Summe unter das Integralzeichen einsetzen und jeden Term einzeln integrieren, finden wir:

Beispiel 2.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle darin enthaltenen Werte der Unbekannten gilt. Basierend auf Private-Value-Methode. Kann gegeben werden X beliebige Werte. Für Berechnungen ist es bequemer, diejenigen Werte zu verwenden, die alle Terme auf der rechten Seite der Gleichheit verschwinden lassen.

Lassen x = 0. Dann 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Ebenso für x = - 2 wir haben 1= - 2V*(-3), bei x = 1 wir haben 1 = 3A.

Somit,

Beispiel 3.

d) Zuerst verwenden wir die Teilwertmethode.

Lassen x = 0, Dann 1 = A 1, A = 1.

Bei x = - 1 wir haben - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) oder 6 = - 3V, B = - 2.

Um die Koeffizienten C und D zu ermitteln, müssen Sie zwei weitere Gleichungen erstellen. Dazu können Sie beliebige andere Werte annehmen X, Zum Beispiel x = 1 Und x = 2. Sie können die erste Methode verwenden, d. h. Koeffizienten bei identischen Potenzen gleichsetzen X, zum Beispiel wann Und . Wir bekommen

1 = A+B+C und 4 = C +D- IN.

Wissen A = 1, B = -2, wir werden finden C = 2, D = 0 .

Somit können beide Methoden bei der Berechnung von Koeffizienten kombiniert werden.

Letztes Integral Wir finden separat gemäß der in der Methode zur Angabe einer neuen Variablen angegebenen Regel. Wählen wir im Nenner ein perfektes Quadrat aus:

sagen wir
Dann
Wir bekommen:

=

Durch Einsetzen in die vorherige Gleichheit finden wir

Beispiel 4.

Finden

B)

D)

Durch die Integration haben wir:

Lassen Sie uns das erste Integral in Formel III umwandeln:

Lassen Sie uns das zweite Integral in Formel II umwandeln:

Im dritten Integral ersetzen wir die Variable:

(Bei der Durchführung der Transformationen haben wir die Trigonometrieformel verwendet

Finden Sie die Integrale:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Fragen zum Selbsttest.

Welche dieser rationalen Brüche sind richtig:

2. Ist das Diagramm zur Zerlegung eines Bruchs in eine Summe einfacher Brüche richtig geschrieben?

Integration einer gebrochenrationalen Funktion.
Methode mit unsicheren Koeffizienten

Wir arbeiten weiterhin an der Integration von Brüchen. Wir haben uns in der Lektion bereits mit Integralen einiger Arten von Brüchen befasst, und diese Lektion kann gewissermaßen als Fortsetzung betrachtet werden. Um den Stoff erfolgreich zu verstehen, sind grundlegende Integrationsfähigkeiten erforderlich. Wenn Sie also gerade erst mit dem Studium von Integralen begonnen haben, also ein Anfänger sind, müssen Sie mit dem Artikel beginnen Unbestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen.

Seltsamerweise werden wir uns jetzt nicht so sehr mit der Suche nach Integralen beschäftigen, sondern... mit der Lösung linearer Gleichungssysteme. Diesbezüglich dringend Ich empfehle Ihnen, an der Lektion teilzunehmen. Sie müssen sich nämlich mit den Substitutionsmethoden („Schulmethode“ und der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) von Systemgleichungen auskennen).

Was ist eine gebrochene rationale Funktion? In einfachen Worten Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome oder Produkte von Polynomen enthalten. Darüber hinaus sind die Brüche komplexer als die im Artikel behandelten Einige Brüche integrieren.

Integration einer echten gebrochenrationalen Funktion

Gleich ein Beispiel und ein typischer Algorithmus zur Lösung des Integrals einer gebrochenrationalen Funktion.

Beispiel 1

Schritt 1. Das erste, was wir IMMER tun, wenn wir ein Integral einer gebrochenen rationalen Funktion lösen, ist die Klärung der folgenden Frage: ist der Bruch richtig? Dieser Schritt wird mündlich ausgeführt, und jetzt werde ich erklären, wie:

Zuerst schauen wir uns den Zähler an und finden es heraus Senior-Abschluss Polynom:

Die führende Potenz des Zählers ist zwei.

Jetzt schauen wir uns den Nenner an und finden es heraus Senior-Abschluss Nenner. Der naheliegendste Weg besteht darin, die Klammern zu öffnen und ähnliche Begriffe einzufügen, aber Sie können es auch einfacher machen: jede Finden Sie in Klammern den höchsten Abschluss

und gedanklich multiplizieren: - somit ist der höchste Grad des Nenners gleich drei. Es liegt auf der Hand, dass wir, wenn wir die Klammern tatsächlich öffnen, keinen Grad größer als drei erhalten.

Abschluss: Hauptgrad des Zählers STRENG ist kleiner als die höchste Potenz des Nenners, was bedeutet, dass der Bruch echt ist.

Wenn drin in diesem Beispiel der Zähler enthielt das Polynom 3, 4, 5 usw. Grad, dann wäre der Bruch falsch.

Jetzt betrachten wir nur die richtigen gebrochenen rationalen Funktionen. Der Fall, dass der Grad des Zählers größer oder gleich dem Grad des Nenners ist, wird am Ende der Lektion besprochen.

Schritt 2. Lassen Sie uns den Nenner faktorisieren. Schauen wir uns unseren Nenner an:

Im Allgemeinen ist dies bereits ein Produkt von Faktoren, aber dennoch fragen wir uns: Ist es möglich, etwas anderes zu erweitern? Das Ziel der Folter wird zweifellos das quadratische Trinom sein. Lass uns entscheiden quadratische Gleichung:

Die Diskriminante ist größer als Null, was bedeutet, dass das Trinom tatsächlich faktorisiert werden kann:

Allgemeine Regel: ALLES im Nenner KANN faktorisiert werden – faktorisiert

Beginnen wir mit der Formulierung einer Lösung:

Schritt 3. Mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten entwickeln wir den Integranden in eine Summe einfacher (Elementar-)Brüche. Jetzt wird es klarer.

Schauen wir uns unsere Integrandenfunktion an:

Und, wissen Sie, irgendwie taucht intuitiv der Gedanke auf, dass es schön wäre, unseren großen Bruchteil in mehrere kleine umzuwandeln. Zum Beispiel so:

Es stellt sich die Frage: Ist das überhaupt möglich? Lassen Sie uns aufatmen, der entsprechende Satz mathematische Analyse behauptet - ES IST MÖGLICH. Eine solche Zerlegung existiert und ist einzigartig.

Es gibt nur einen Haken: Die Chancen stehen gut Tschüss Wir wissen es nicht, daher der Name – die Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Wie Sie vermutet haben, sind nachfolgende Körperbewegungen so, kein Lachen! wird darauf abzielen, sie einfach zu ERKENNEN – herauszufinden, wem sie gewachsen sind.

Seien Sie vorsichtig, ich werde es nur einmal ausführlich erklären!

Beginnen wir also mit dem Tanzen von:

Auf der linken Seite bringen wir den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner:

Jetzt können wir die Nenner getrost loswerden (da sie gleich sind):

Auf der linken Seite öffnen wir die Klammern, berühren die unbekannten Koeffizienten aber vorerst nicht:

Gleichzeitig wiederholen wir die Schulregel der Multiplikation von Polynomen. Als ich Lehrer war, lernte ich, diese Regel mit ernstem Gesicht auszusprechen: Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms multiplizieren.

Aus Sicht einer klaren Erklärung ist es besser, die Koeffizienten in Klammern zu setzen (obwohl ich das persönlich aus Zeitgründen nie mache):

Wir stellen ein System linearer Gleichungen auf.
Zuerst suchen wir nach höheren Abschlüssen:

Und wir schreiben die entsprechenden Koeffizienten in die erste Gleichung des Systems:

Denken Sie gut an den folgenden Punkt. Was würde passieren, wenn es auf der rechten Seite überhaupt kein s gäbe? Sagen wir mal, würde es auch ohne Quadrat zur Geltung kommen? In diesem Fall müsste in der Gleichung des Systems rechts eine Null gesetzt werden: . Warum Null? Aber weil man auf der rechten Seite immer dasselbe Quadrat mit Nullen belegen kann: Wenn auf der rechten Seite keine Variablen und/oder ein freier Term stehen, dann setzen wir Nullen auf die rechten Seiten der entsprechenden Gleichungen des Systems.

Die entsprechenden Koeffizienten schreiben wir in die zweite Gleichung des Systems:

Und schließlich Mineralwasser, wir wählen kostenlose Mitglieder aus.

Äh... irgendwie habe ich nur Witze gemacht. Spaß beiseite – Mathematik ist eine ernstzunehmende Wissenschaft. In unserer Institutsgruppe lachte niemand, als die Assistenzprofessorin sagte, sie würde die Terme entlang des Zahlenstrahls verteilen und die größten auswählen. Lasst uns ernst werden. Obwohl... wer das Ende dieser Lektion noch erlebt, wird immer noch leise lächeln.

Das System ist fertig:

Wir lösen das System:

(1) Wir drücken aus der ersten Gleichung aus und setzen sie in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein. Tatsächlich war es möglich, (oder einen anderen Buchstaben) aus einer anderen Gleichung auszudrücken, aber in in diesem Fall Es ist vorteilhaft, genau aus der 1. Gleichung auszudrücken, da dort die kleinsten Chancen.

(2) Wir präsentieren ähnliche Begriffe in der 2. und 3. Gleichung.

(3) Wir addieren die 2. und 3. Gleichung Term für Term und erhalten so die Gleichheit, woraus folgt

(4) Wir setzen es in die zweite (oder dritte) Gleichung ein, wo wir das finden

(5) Setzen Sie und in die erste Gleichung ein und erhalten Sie .

Wenn Sie Schwierigkeiten mit den Lösungsmethoden des Systems haben, üben Sie diese im Unterricht. Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?

Nach dem Lösen des Systems ist es immer sinnvoll, die gefundenen Werte zu überprüfen und zu ersetzen jeden Gleichung des Systems, als Ergebnis sollte alles „konvergieren“.

Fast dort. Die Koeffizienten wurden gefunden und:

Der fertige Auftrag sollte etwa so aussehen:

Wie Sie sehen, bestand die Hauptschwierigkeit der Aufgabe darin, ein System linearer Gleichungen (richtig!) zusammenzustellen und (richtig!) zu lösen. Und im Endstadium ist alles gar nicht so schwer: Wir nutzen die Linearitätseigenschaften des unbestimmten Integrals und integrieren. Bitte beachten Sie, dass wir unter jedem der drei Integrale eine „freie“ komplexe Funktion haben. Ich habe in der Lektion über die Merkmale ihrer Integration gesprochen Methode zur Variablenänderung im unbestimmten Integral.

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort:

Die ursprüngliche Integrandenfunktion wurde erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt gefunden wurde.
Bei der Überprüfung mussten wir den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen, und das ist kein Zufall. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten und die Reduzierung eines Ausdrucks auf einen gemeinsamen Nenner sind wechselseitig inverse Aktionen.

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Kehren wir zum Bruch aus dem ersten Beispiel zurück: . Es ist leicht zu erkennen, dass im Nenner alle Faktoren UNTERSCHIEDLICH sind. Es stellt sich die Frage, was zu tun ist, wenn beispielsweise folgender Bruch gegeben ist: ? Hier haben wir Grade im Nenner, oder mathematisch gesehen: Vielfache. Darüber hinaus gibt es ein quadratisches Trinom, das nicht faktorisiert werden kann (es ist leicht zu überprüfen, ob die Diskriminante der Gleichung vorliegt). ist negativ, daher kann das Trinom nicht faktorisiert werden). Was zu tun ist? Die Entwicklung in eine Summe elementarer Brüche wird ungefähr so ​​aussehen mit unbekannten Koeffizienten oben oder etwas anderes?

Beispiel 3

Führen Sie eine Funktion ein

Schritt 1.Überprüfen, ob wir einen echten Bruch haben
Hauptzähler: 2
Höchster Nennergrad: 8
, was bedeutet, dass der Bruch korrekt ist.

Schritt 2. Ist es möglich, etwas im Nenner zu berücksichtigen? Offensichtlich nicht, es ist bereits alles geplant. Das quadratische Trinom kann aus den oben genannten Gründen nicht zu einem Produkt entwickelt werden. Haube. Weniger Arbeit.

Schritt 3. Stellen wir uns eine gebrochenrationale Funktion als Summe elementarer Brüche vor.
In diesem Fall hat die Erweiterung nächste Ansicht:

Schauen wir uns unseren Nenner an:
Bei der Zerlegung einer gebrochenrationalen Funktion in eine Summe elementarer Brüche lassen sich drei grundlegende Punkte unterscheiden:

1) Wenn der Nenner einen „einsamen“ Faktor in der ersten Potenz enthält (in unserem Fall), dann setzen wir oben einen unbestimmten Koeffizienten (in unserem Fall). Die Beispiele Nr. 1, 2 bestanden nur aus solchen „einsamen“ Faktoren.

2) Wenn der Nenner hat mehrere Multiplikator, dann müssen Sie es wie folgt zerlegen:
- das heißt, nacheinander alle Grade von „X“ vom ersten bis zum n-ten Grad durchlaufen. In unserem Beispiel gibt es zwei Mehrfachfaktoren: und , schauen Sie sich die von mir angegebene Erweiterung noch einmal an und stellen Sie sicher, dass sie genau nach dieser Regel erweitert werden.

3) Wenn der Nenner ein unzerlegbares Polynom zweiten Grades enthält (in unserem Fall), müssen Sie beim Zerlegen im Zähler schreiben lineare Funktion mit unsicheren Koeffizienten (in unserem Fall mit unsicheren Koeffizienten und ).

Tatsächlich gibt es noch einen vierten Fall, über den ich aber schweigen werde, da er in der Praxis äußerst selten vorkommt.

Beispiel 4

Führen Sie eine Funktion ein als Summe elementarer Brüche mit unbekannten Koeffizienten.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Befolgen Sie den Algorithmus strikt!

Wenn Sie die Prinzipien verstehen, nach denen Sie eine gebrochenrationale Funktion in eine Summe entwickeln müssen, können Sie fast jedes Integral des betrachteten Typs durchforsten.

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Schritt 1. Offensichtlich ist der Bruch richtig:

Schritt 2. Ist es möglich, etwas im Nenner zu berücksichtigen? Dürfen. Hier ist die Summe der Würfel . Faktorisieren Sie den Nenner mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel

Schritt 3. Mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten entwickeln wir den Integranden in eine Summe elementarer Brüche:

Bitte beachten Sie, dass das Polynom nicht faktorisiert werden kann (überprüfen Sie, ob die Diskriminante negativ ist). Daher setzen wir oben eine lineare Funktion mit unbekannten Koeffizienten und nicht nur einen Buchstaben.

Wir bringen den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner:

Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen:

(1) Wir drücken aus der ersten Gleichung aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein (dies ist die rationalste Methode).

(2) Ähnliche Terme präsentieren wir in der zweiten Gleichung.

(3) Wir addieren die zweite und dritte Gleichung des Systems Term für Term.

Alle weiteren Berechnungen erfolgen grundsätzlich mündlich, da das System einfach ist.

(1) Wir schreiben die Summe der Brüche entsprechend den gefundenen Koeffizienten auf.

(2) Wir nutzen die Linearitätseigenschaften des unbestimmten Integrals. Was geschah im zweiten Integral? Mit dieser Methode können Sie sich im letzten Absatz der Lektion vertraut machen. Einige Brüche integrieren.

(3) Wir nutzen wieder die Eigenschaften der Linearität. Im dritten Integral beginnen wir, das vollständige Quadrat zu isolieren (vorletzter Absatz der Lektion). Einige Brüche integrieren).

(4) Wir nehmen das zweite Integral, im dritten wählen wir das vollständige Quadrat.

(5) Nehmen Sie das dritte Integral. Bereit.