In der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihren Anwendungen spielt die zweidimensionale Normalverteilung eine wichtige Rolle. Die Dichte einer zweidimensionalen normalen Zufallsvariablen (X,Y) hat die Form

Hier
- mathematische Erwartungen an die Werte X und Y;
- Standardabweichungen der X- und Y-Werte; r – Korrelationskoeffizient der X- und Y-Werte.

Nehmen wir an, dass die Zufallsvariablen X und Y nicht korreliert sind, also r=0. Dann haben wir:

(53)

Wir haben herausgefunden, dass die Verteilungsdichte eines Systems aus zwei besteht zufällige Variablen(X,Y) ist gleich dem Produkt der Verteilungsdichten der Komponenten X und Y, was bedeutet, dass X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind.

Damit ist Folgendes bewiesen Satz: Aus der Nichtkorrelation normalverteilter Zufallsvariablen folgt, dass sie unabhängig sind . Da die Unabhängigkeit aller Zufallsvariablen impliziert, dass sie unkorreliert sind, können wir daraus schließen, dass die Begriffe „unkorrelierte“ und „unabhängige“ Variablen im Fall einer Normalverteilung gleichwertig sind.

Lassen Sie uns Formeln für die Wahrscheinlichkeit präsentieren, mit der eine normalverteilte zweidimensionale Zufallsvariable in verschiedene Bereiche der Ebene fällt.

Ein Zufallsvektor (X,Y), dessen Komponenten unabhängig sind, sei gemäß dem Normalgesetz (53) verteilt. Dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt (X,Y) in das Rechteck fällt R, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind, ist gleich

(54)

Wo
- Laplace-Funktion. Diese Funktion ist tabellarisch dargestellt.

Die Verteilungsdichte des Normalgesetzes des Zufallsvariablensystems (X,Y) sei in der Form (52) gegeben. Es ist klar, dass diese Dichte auf Ellipsen konstant bleibt:

wobei C eine Konstante ist; auf dieser Grundlage werden solche Ellipsen genannt Ellipsen gleicher Wahrscheinlichkeit. Es kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt (X,Y) in eine Ellipse mit gleicher Wahrscheinlichkeit fällt, gleich ist

(56)

Beispiel 10 . Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig und normalverteilt mit Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt (X,Y) in den Ring fällt

Lösung: Da die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, sind sie nicht korreliert und daher ist r = 0. Durch Einsetzen in (C) erhalten wir

,

das heißt, die Ellipse gleicher Wahrscheinlichkeit ist zu einem Kreis gleicher Wahrscheinlichkeit entartet. Dann

Antwort: 0,1242.

3.2. Allgemeiner Fall einer n-dimensionalen Normalverteilung

Normalverteilungsdichte des Systems N Zufallsvariablen haben die Form:

Wo – Determinante der Matrix C – invers zur Kovarianzmatrix;
- erwarteter Wert Zufallsvariable X i - i-te Komponente N -dimensionaler normaler Zufallsvektor.

Aus dem allgemeinen Ausdruck folgen alle Formen des Normalgesetzes für beliebig viele Dimensionen und für beliebige Arten von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen. Insbesondere wann N = 2 Kovarianzmatrix hat die Form:

(58)

seine Determinante
; Matrix C, invers zur Kovarianzmatrix, hat die Form

. (59)

Ersetzen und die Elemente der Matrix C in die allgemeine Formel (57) ein, so erhalten wir die Formel für die Normalverteilung auf der Ebene (52).

Wenn Zufallsvariablen
unabhängig, dann die Verteilungsdichte des Systems
gleich

Für n = 2 hat diese Formel die Form (53).

Betrachten wir ein System aus zwei zufälligen kontinuierlichen Variablen. Das Verteilungsgesetz dieses Systems ist das Normalverteilungsgesetz, wenn die Wdieses Systems die Form hat

. (1.18.35)

Es kann gezeigt werden, dass es sich hier um die mathematischen Erwartungen von Zufallsvariablen, ihre Standardabweichungen und den Korrelationskoeffizienten der Variablen handelt. Berechnungen mit den Formeln (1.18.31) und (1.18.35) ergeben

. (1.18.36)

Es ist leicht zu erkennen, dass Zufallsvariablen, die nach dem Normalgesetz verteilt sind, auch unabhängig sind, wenn sie nicht korreliert sind

.

Somit sind Nichtkorrelation und Unabhängigkeit für das Normalverteilungsgesetz äquivalente Konzepte.

Wenn , dann sind die Zufallsvariablen abhängig. Bedingte Verteilungsgesetze werden mithilfe der Formeln (1.18.20) berechnet.

. (1.18.37)

Beide Gesetze (1.18.37) repräsentieren Normalverteilungen. Lassen Sie uns beispielsweise die zweite der Beziehungen (1.18.37) in die Form umwandeln

.

Dies ist wirklich ein Normalverteilungsgesetz, das gilt bedingte mathematische Erwartung gleicht

, (1.18.38)

A bedingte Standardabweichung ausgedrückt durch die Formel

. (1.18.39)

Beachten Sie, dass im bedingten Gesetz der Verteilung einer Menge bei einem festen Wert nur die bedingte mathematische Erwartung von diesem Wert abhängt, nicht jedoch bedingte Varianz – .

Auf der Koordinatenebene ist die Abhängigkeit (1.18.38) eine Gerade

, (1.18.40)

Was heisst Regressionslinie An .

In völlig analoger Weise wird die bedingte Verteilung einer Größe bei einem festen Wert festgestellt

, (1.18.41)

Es gibt eine Normalverteilung mit bedingtem mathematischem Erwartungswert

, (1.18.42)

bedingte Standardabweichung

. (1.18.43)

In diesem Fall sieht die Regressionsgerade so aus

. (1.18.44)

Die Regressionsgeraden (1.18.40) und (1.18.44) fallen nur dann zusammen, wenn die Beziehung zwischen den Größen und linear ist. Wenn die Größen und unabhängig sind, verlaufen die Regressionsgeraden parallel zu den Koordinatenachsen.

Feierabend -

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Vorlesungsskripte zur Mathematik, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik

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Alle Themen in diesem Abschnitt:

Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem die Muster zufälliger Massenphänomene untersucht werden. Ein Phänomen, das zufällig ist, heißt

Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Ein Ereignis ist ein zufälliges Phänomen, das als Ergebnis einer Erfahrung auftreten kann oder auch nicht (mehrdeutiges Phänomen). Geben Sie Ereignisse in lateinischen Großbuchstaben an

Raum elementarer Ereignisse
Mit einer Erfahrung sind viele Ereignisse verbunden, und: 1) als Ergebnis der Erfahrung erscheint nur eines

Aktionen zu Ereignissen
Die Summe zweier Ereignisse und

Umordnungen
Die Anzahl der verschiedenen Permutationen von Elementen wird mit bezeichnet

Platzierungen
Durch die Platzierung der Elemente entsprechend

Kombinationen
Eine Kombination von Elementen

Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten für inkompatible Ereignisse
Satz. Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. (1

Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse
Satz. Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ohne die Wahrscheinlichkeit ihres Produkts.

Formel zur W
Es seien zwei Ereignisse und gegeben. Betrachten Sie das Ereignis

Gesamtwahrscheinlichkeitsformel
Sei es eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse; sie werden Hypothesen genannt. Betrachten wir ein Ereignis

Hypothese-Wahrscheinlichkeitsformel (Bayesian)
Betrachten wir noch einmal die gesamte Gruppe der inkompatiblen Hypothesen und das Ereignis

Asymptotische Poisson-Formel
In Fällen, in denen die Anzahl der Tests groß ist und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, groß ist

Zufällige diskrete Größen
Eine Zufallsgröße ist eine Größe, die bei Wiederholung eines Experiments unterschiedliche Werte annehmen kann. numerische Werte. Die Zufallsvariable heißt diskret,

Zufällige kontinuierliche Variablen
Wenn eine Zufallsvariable als Ergebnis eines Experiments jeden beliebigen Wert eines bestimmten Segments oder der gesamten reellen Achse annehmen kann, wird sie als kontinuierlich bezeichnet. Gesetz

Weiner zufälligen kontinuierlichen Variablen
Lassen. Betrachten wir einen Punkt und geben ihm Inkremente

Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen
Zufällige diskrete oder kontinuierliche Variablen gelten als vollständig spezifiziert, wenn ihre Verteilungsgesetze bekannt sind. Wenn Sie die Verteilungsgesetze kennen, können Sie tatsächlich immer die Trefferwahrscheinlichkeit berechnen

Quantile von Zufallsvariablen
Quantil der Ordnung einer zufälligen kontinuierlichen Variablen

Mathematische Erwartung von Zufallsvariablen
Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen charakterisiert ihren Durchschnittswert. Alle Werte der Zufallsvariablen werden um diesen Wert gruppiert. Betrachten wir zunächst die zufällige diskrete Variable

Standardabweichung und Streuung von Zufallsvariablen
Betrachten wir zunächst eine zufällige diskrete Variable. Numerischer Charakteristikmodus, Median, Quantile und mathematischer Erwartungswert

Momente von Zufallsvariablen
Zusätzlich zum mathematischen Erwartungswert und zur Streuung verwendet die Wahrscheinlichkeitstheorie numerische Merkmale höherer Ordnung, die als Momente von Zufallsvariablen bezeichnet werden.

Sätze über die numerischen Eigenschaften von Zufallsvariablen
Satz 1. Der mathematische Erwartungswert eines nicht zufälligen Werts ist gleich diesem Wert selbst. Beweis: Sei

Binomialverteilungsgesetz

Poisson-Verteilungsgesetz
Lassen Sie eine zufällige diskrete Variable die Werte annehmen

Einheitliches Vertriebsrecht
Das gleichmäßige Verteilungsgesetz einer zufälligen kontinuierlichen Variablen ist das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, das

Normalverteilungsgesetz
Das Normalverteilungsgesetz einer zufälligen kontinuierlichen Variablen ist das Dichtefunktionsgesetz

Exponentielles Verteilungsgesetz
Die Exponential- oder Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen wird in Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie wie der Theorie verwendet Schlange stehen, Zuverlässigkeitstheorie

Systeme von Zufallsvariablen
In der Praxis stößt man bei Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig auf Probleme, bei denen die Ergebnisse eines Experiments nicht durch eine Zufallsvariable, sondern durch mehrere Zufallsvariable gleichzeitig beschrieben werden.

System aus zwei zufälligen diskreten Variablen
Lassen Sie zwei zufällige diskrete Variablen ein System bilden. Zufälliger Wert

System aus zwei zufälligen kontinuierlichen Variablen
Lassen Sie das System nun durch zwei zufällige kontinuierliche Variablen gebildet werden. Das Verteilungsgesetz dieses Systems heißt wahrscheinlich

Bedingte Verteilungsgesetze
Lassen Sie abhängige zufällige kontinuierliche Größen

Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen
Der Startmoment Ordnung des Systems der Zufallsvariablen

System mehrerer Zufallsvariablen
Die für ein System aus zwei Zufallsvariablen erhaltenen Ergebnisse können auf den Fall von Systemen verallgemeinert werden, die aus einer beliebigen Anzahl von Zufallsvariablen bestehen. Das System sei durch eine Menge gebildet

Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie
Das Hauptziel der Disziplin Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Untersuchung der Muster zufälliger Massenphänomene. Die Praxis zeigt, dass die Beobachtung einer Masse homogener Zufallsphänomene Aufschluss gibt

Tschebyscheffs Ungleichung
Betrachten wir eine Zufallsvariable mit mathematischem Erwartungswert

Satz von Tschebyschew
Wenn die Zufallsvariablen paarweise unabhängig sind und endliche, kollektiv begrenzte Varianzen haben

Satz von Bernoulli
Bei einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl von Experimenten konvergiert die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in der Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Zentraler Grenzwertsatz
Bei der Addition von Zufallsvariablen mit beliebigen Verteilungsgesetzen, aber mit gemeinsam begrenzten Varianzen gilt das Verteilungsgesetz

Hauptprobleme der mathematischen Statistik
Die oben diskutierten Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie stellen einen mathematischen Ausdruck realer Muster dar, die tatsächlich in verschiedenen zufälligen Massenphänomenen existieren. Studieren

Eine einfache statistische Grundgesamtheit. Statistische Verteilungsfunktion
Betrachten wir eine Zufallsvariable, deren Verteilungsgesetz unbekannt ist. Aufgrund der Erfahrung erforderlich

Statistische Reihe. Balkendiagramm
Bei große Zahl Beobachtungen (in der Größenordnung von Hunderten) wird es für die allgemeine Bevölkerung unbequem und umständlich, statistisches Material aufzuzeichnen. Aus Gründen der Klarheit und Kompaktheit statistisches Material

Numerische Merkmale der statistischen Verteilung
In der Wahrscheinlichkeitstheorie wurden verschiedene numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen berücksichtigt: mathematischer Erwartungswert, Streuung, Anfangs- und Zentralmomente verschiedener Ordnungen. Ähnliche Zahlen

Auswahl der theoretischen Verteilung nach der Momentenmethode
Jede statistische Verteilung enthält zwangsläufig Elemente der Zufälligkeit, die mit der begrenzten Anzahl von Beobachtungen verbunden sind. Bei einer großen Anzahl von Beobachtungen werden diese Zufallselemente geglättet,

Überprüfung der Plausibilität der Hypothese über die Form des Verteilungsgesetzes
Lass das Gegebene statistische Verteilung angenähert durch eine theoretische Kurve oder

Einwilligungskriterien
Betrachten wir eines der am häufigsten verwendeten Kriterien für die Güte der Anpassung – das sogenannte Pearson-Kriterium. Erraten

Punktschätzungen für unbekannte Verteilungsparameter
Im S. 2.1. – 2.7 haben wir ausführlich untersucht, wie das erste und zweite Hauptproblem gelöst werden können mathematische Statistik. Dies sind die Probleme bei der Bestimmung der Verteilungsgesetze von Zufallsvariablen auf der Grundlage experimenteller Daten

Schätzungen für Erwartung und Varianz
Überlassen Sie eine Zufallsvariable mit unbekanntem mathematischen Erwartungswert

Konfidenzintervall. Konfidenzwahrscheinlichkeit
In der Praxis erfolgt bei einer kleinen Anzahl von Experimenten mit einer Zufallsvariablen ein ungefährer Ersatz des unbekannten Parameters

Normales Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetz

Ohne Übertreibung kann man es als philosophisches Gesetz bezeichnen. Wenn wir verschiedene Objekte und Prozesse in der Welt um uns herum beobachten, stoßen wir oft auf die Tatsache, dass etwas nicht ausreicht und dass es eine Norm gibt:


Hier ist eine grundlegende Ansicht Dichtefunktionen Normale Wahrscheinlichkeitsverteilung, und ich begrüße Sie zu dieser interessanten Lektion.

Welche Beispiele können Sie nennen? Es gibt einfach Dunkelheit von ihnen. Dies ist zum Beispiel die Größe, das Gewicht von Menschen (und nicht nur), ihr körperliche Stärke, mentale Kapazität usw. Es gibt eine „Hauptmasse“ (aus dem einen oder anderen Grund) und es gibt Abweichungen in beide Richtungen.

Das verschiedene Eigenschaften unbelebte Objekte (gleiche Größe, gleiches Gewicht). Das ist eine zufällige Dauer von Prozessen..., wieder kam mir ein trauriges Beispiel in den Sinn, und deshalb sage ich die „Lebensdauer“ von Glühbirnen :) Aus der Physik erinnerte ich mich an Luftmoleküle: Unter ihnen gibt es langsame, es gibt sie schnelle, aber die meisten bewegen sich mit „Standard“-Geschwindigkeiten.

Als nächstes weichen wir um eine weitere Standardabweichung von der Mitte ab und berechnen die Höhe:

Markierungspunkte auf der Zeichnung (grüne Farbe) und wir sehen, dass das völlig ausreicht.

Zeichnen Sie im letzten Schritt sorgfältig ein Diagramm und besonders sorgfältig reflektiere es konvex konkav! Nun, Sie haben wahrscheinlich schon vor langer Zeit erkannt, dass es sich um die x-Achse handelt horizontale Asymptote, und es ist absolut verboten, dahinter zu „klettern“!

Wenn Sie eine Lösung elektronisch einreichen, ist es einfach, ein Diagramm in Excel zu erstellen, und unerwartet für mich selbst habe ich sogar ein kurzes Video zu diesem Thema aufgenommen. Aber lassen Sie uns zunächst darüber sprechen, wie sich die Form der Normalkurve abhängig von den Werten von und ändert.

Beim Erhöhen oder Verringern von „a“ (mit konstantem „Sigma“) Das Diagramm behält seine Form und bewegt sich nach rechts/links jeweils. So zum Beispiel, wenn die Funktion die Form annimmt und unser Graph „bewegt“ sich um 3 Einheiten nach links – genau zum Koordinatenursprung:


Eine normalverteilte Größe mit einem mathematischen Erwartungswert von Null erhielt einen völlig natürlichen Namen – zentriert; seine Dichtefunktion – sogar, und der Graph ist symmetrisch zur Ordinate.

Im Falle einer Änderung von „Sigma“ (mit konstantem „a“), der Graph „bleibt gleich“, ändert aber seine Form. Wenn es vergrößert wird, wird es niedriger und länglich, wie ein Oktopus, der seine Tentakel ausstreckt. Und umgekehrt, wenn die Grafik verkleinert wird wird schmaler und höher- Es stellt sich heraus, dass es sich um einen „überraschten Oktopus“ handelt. Ja, wenn verringern„Sigma“ zweimal: Der vorherige Graph wird zweimal schmaler und länger:

Alles ist in voller Übereinstimmung mit geometrische Transformationen von Graphen.

Eine Normalverteilung mit einem Einheits-Sigma-Wert wird aufgerufen normalisiert, und wenn ja, auch zentriert(unser Fall), dann heißt eine solche Verteilung Standard. Es gibt eine noch einfachere Dichtefunktion, die bereits in gefunden wurde Lokaler Satz von Laplace: . Die Standardverteilung hat in der Praxis breite Anwendung gefunden und sehr bald werden wir endlich ihren Zweck verstehen.

Nun schauen wir uns den Film an:

Ja, völlig richtig – irgendwie blieb es unverdient im Schatten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion. Erinnern wir uns an sie Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen WENIGER-Wert annimmt als die Variable, die alle realen Werte bis „plus“ Unendlich „durchläuft“.

Innerhalb des Integrals wird meist ein anderer Buchstabe verwendet, damit es keine „Überschneidungen“ mit der Notation gibt, denn hier ist jeder Wert zugeordnet uneigentliches Integral , was einigen entspricht Nummer aus dem Intervall.

Fast alle Werte lassen sich nicht genau berechnen, aber wie wir gerade gesehen haben, ist dies mit moderner Rechenleistung nicht schwierig. Also zur Funktion Standardverteilung enthält die entsprechende Excel-Funktion im Allgemeinen ein Argument:

=NORMSVERT(z)

Eins, zwei – und fertig:

Die Zeichnung zeigt deutlich die Umsetzung aller Eigenschaften der Verteilungsfunktion, und auf die technischen Nuancen sollten Sie hier achten horizontale Asymptoten und der Wendepunkt.

Erinnern wir uns nun an eine der Hauptaufgaben des Themas, nämlich herauszufinden, wie man die Wahrscheinlichkeit einer normalen Zufallsvariablen ermittelt übernimmt den Wert aus dem Intervall. Geometrisch ist diese Wahrscheinlichkeit gleich Bereich zwischen der Normalenkurve und der x-Achse im entsprechenden Abschnitt:

aber jedes Mal versuche ich, einen ungefähren Wert zu bekommen ist unvernünftig und daher rationaler zu verwenden „Licht“-Formel:
.

! Erinnert sich auch , Was

Hier können Sie wieder Excel verwenden, allerdings gibt es ein paar wesentliche „Aber“: Erstens ist es nicht immer zur Hand und zweitens werden „vorgefertigte“ Werte höchstwahrscheinlich Fragen beim Lehrer aufwerfen. Warum?

Darüber habe ich schon oft gesprochen: Früher (und das ist noch nicht lange her) war ein normaler Taschenrechner ein Luxus, und die „manuelle“ Methode zur Lösung des betreffenden Problems ist in der Lehrliteratur noch immer erhalten. Sein Wesen besteht darin standardisieren Werte „Alpha“ und „Beta“, d. h. reduzieren die Lösung auf die Standardverteilung:

Notiz : Die Funktion ist aus dem allgemeinen Fall leicht zu erhaltenmit linear Ersatz. Dann auch:

und aus der durchgeführten Ersetzung folgt die Formel: Übergang von Werten Zufallsverteilung– zu den entsprechenden Werten der Standardverteilung.

Warum ist das notwendig? Tatsache ist, dass die Werte von unseren Vorfahren sorgfältig berechnet und in einer speziellen Tabelle zusammengestellt wurden, die in vielen Büchern über Terwer enthalten ist. Aber noch gebräuchlicher ist eine Wertetabelle, mit der wir uns bereits befasst haben Integralsatz von Laplace:

Wenn uns eine Wertetabelle der Laplace-Funktion zur Verfügung steht , dann lösen wir damit:

Bruchwerte werden traditionell auf 4 Dezimalstellen gerundet, wie es in der Standardtabelle der Fall ist. Und zur Kontrolle gibt es Punkt 5 Layout.

Ich erinnere Sie daran , und um Verwirrung zu vermeiden immer kontrollieren, eine Tabelle mit WELCHER Funktion liegt vor Ihren Augen.

Antwort Da die Wahrscheinlichkeit in Prozent angegeben werden muss, muss die berechnete Wahrscheinlichkeit mit 100 multipliziert und das Ergebnis mit einem aussagekräftigen Kommentar versehen werden:

– Bei einem Flug von 5 bis 70 m fallen etwa 15,87 % der Granaten

Wir trainieren in Eigenregie:

Beispiel 3

Der Durchmesser werkseitig hergestellter Lager ist eine Zufallsvariable, normalverteilt mit einem mathematischen Erwartungswert von 1,5 cm und einer Standardabweichung von 0,04 cm. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Größe eines zufällig ausgewählten Lagers zwischen 1,4 und 1,6 cm liegt.

In der Beispiellösung und unten verwende ich die Laplace-Funktion als häufigste Option. Beachten Sie übrigens, dass hier laut Wortlaut auch die Intervallenden in die Betrachtung einbezogen werden können. Dies ist jedoch nicht kritisch.

Und bereits in diesem Beispiel sind wir auf einen Sonderfall gestoßen – wenn das Intervall symmetrisch in Bezug auf die mathematische Erwartung ist. In einer solchen Situation kann es in der Form geschrieben werden und unter Verwendung der Kuriosität der Laplace-Funktion die Arbeitsformel vereinfachen:

Der Delta-Parameter wird aufgerufen Abweichung aus der mathematischen Erwartung, und die doppelte Ungleichung kann mit „verpackt“ werden Modul:

– die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsvariablen um weniger als von der mathematischen Erwartung abweicht.

Gut, dass die Lösung in eine Zeile passt :)
– die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines zufällig entnommenen Lagers um nicht mehr als 0,1 cm von 1,5 cm abweicht.

Das Ergebnis dieser Aufgabe war nahezu eins, aber ich hätte mir noch mehr Zuverlässigkeit gewünscht – nämlich herauszufinden, innerhalb welcher Grenzen sich der Durchmesser befindet fast jeder Lager. Gibt es hierfür ein Kriterium? Existiert! Die gestellte Frage wird durch das sogenannte beantwortet

„Drei-Sigma“-Regel

Sein Wesen ist das praktisch zuverlässig ist die Tatsache, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert aus dem Intervall annimmt .

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung vom erwarteten Wert geringer als:
oder 99,73 %

Bei den Lagern handelt es sich um 9973 Stück mit einem Durchmesser von 1,38 bis 1,62 cm und nur 27 „minderwertige“ Exemplare.

In der praktischen Forschung wird üblicherweise die „Drei-Sigma“-Regel verwendet umgekehrte Richtung: Wenn statistisch gesehen Es wurde festgestellt, dass fast alle Werte untersuchte Zufallsvariable in einem Intervall von 6 Standardabweichungen liegen, dann gibt es zwingende Gründe zu der Annahme, dass dieser Wert nach einem Normalgesetz verteilt ist. Die Überprüfung erfolgt theoretisch statistische Hypothesen, zu dem ich hoffentlich früher oder später komme :)

In der Zwischenzeit lösen wir weiterhin die harten sowjetischen Probleme:

Beispiel 4

Der Zufallswert des Wägefehlers wird nach dem Normalgesetz mit einem mathematischen Erwartungswert von Null und einer Standardabweichung von 3 Gramm verteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Wägung mit einem Fehler von höchstens 5 Gramm im absoluten Wert durchgeführt wird.

Lösung sehr einfach. Per Bedingung vermerken wir das sofort beim nächsten Wiegen (etwas oder jemand) Wir werden das Ergebnis fast zu 100 % mit einer Genauigkeit von 9 Gramm erhalten. Das Problem liegt jedoch in einer engeren Abweichung und laut Formel :

– die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Wägung mit einem Fehler von höchstens 5 Gramm durchgeführt wird.

Antwort:

Das gelöste Problem unterscheidet sich grundlegend von einem scheinbar ähnlichen. Beispiel 3 Lektion über gleichmäßige Verteilung. Es gab einen Fehler Rundung Messergebnisse, hier sprechen wir vom zufälligen Fehler der Messungen selbst. Solche Fehler entstehen durch technische Eigenschaften das Gerät selbst (Der Bereich der akzeptablen Fehler ist normalerweise in seinem Reisepass angegeben.), und auch durch das Verschulden des Experimentators – wenn wir zum Beispiel „mit dem Auge“ Messungen an der Nadel derselben Skala vornehmen.

Unter anderem gibt es auch sogenannte systematisch Messfehler. Es ist bereits nicht zufällig Fehler, die durch falsche Einrichtung oder Bedienung des Gerätes entstehen. Beispielsweise können ungeregelte Bodenwaagen ständig Kilogramm „hinzufügen“ und der Verkäufer belastet die Kunden systematisch. Oder es kann nicht systematisch berechnet werden. Ein solcher Fehler wird jedoch in keinem Fall zufällig sein und sein Erwartungswert ist von Null verschieden.

…Ich entwickle dringend eine Verkaufsschulung =)

Lösen wir das umgekehrte Problem selbst:

Beispiel 5

Der Durchmesser der Walze ist eine zufällige, normalverteilte Zufallsvariable, ihre Standardabweichung beträgt mm. Finden Sie die Länge des Intervalls, das symmetrisch zur mathematischen Erwartung ist und in das die Länge des Rollendurchmessers wahrscheinlich fallen wird.

Punkt 5* Gestaltungs Entwurf helfen. Bitte beachten Sie, dass der mathematische Erwartungswert hier nicht bekannt ist, dies hindert uns jedoch nicht im Geringsten daran, das Problem zu lösen.

Und eine Prüfungsaufgabe, die ich zur Vertiefung des Stoffes wärmstens empfehlen kann:

Beispiel 6

Eine normalverteilte Zufallsvariable wird durch ihre Parameter (mathematischer Erwartungswert) und (Standardabweichung) spezifiziert. Erforderlich:

a) Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte auf und stellen Sie ihren Graphen schematisch dar;
b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Wert aus dem Intervall annimmt ;
c) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert von nicht mehr als abweicht;
d) Ermitteln Sie mithilfe der „Drei-Sigma“-Regel die Werte der Zufallsvariablen.

Solche Probleme werden überall angeboten und im Laufe der Jahre der Praxis habe ich Hunderte und Aberhunderte davon gelöst. Üben Sie unbedingt das Zeichnen einer Zeichnung von Hand und die Verwendung von Papiertabellen;)

Nun, ich schaue mir ein Beispiel für erhöhte Komplexität an:

Beispiel 7

Die Wahreiner Zufallsvariablen hat die Form . Finden, mathematische Erwartung, Varianz, Verteilungsfunktion, Dichtegraphen und Verteilungsfunktionen erstellen, finden.

Lösung: Zunächst ist festzuhalten, dass die Bedingung nichts über die Art der Zufallsvariablen aussagt. Das Vorhandensein eines Exponenten an sich hat keine Bedeutung: Es kann sich beispielsweise herausstellen, dass indikativ oder sogar willkürlich kontinuierliche Verteilung. Und deshalb muss die „Normalität“ der Verteilung noch begründet werden:

Da die Funktion bestimmt bei beliebig realer Wert, und es kann auf die Form reduziert werden , dann wird die Zufallsvariable nach dem Normalgesetz verteilt.

Auf geht's. Dafür Wähle ein vollständiges Quadrat aus und organisieren dreistöckiger Bruchteil:


Stellen Sie sicher, dass Sie den Indikator wieder in seine ursprüngliche Form bringen:

, das wollten wir sehen.

Auf diese Weise:
- Von Betriebsregel mit Befugnissen"abknipsen" Und hier können Sie sofort die offensichtlichen numerischen Merkmale aufschreiben:

Lassen Sie uns nun den Wert des Parameters ermitteln. Da der Normalverteilungsmultiplikator die Form und hat, gilt:
, von wo aus wir Folgendes ausdrücken und in unsere Funktion einsetzen:
Anschließend gehen wir die Aufnahme noch einmal mit unseren Augen durch und stellen sicher, dass die resultierende Funktion die Form hat .

Lassen Sie uns ein Dichtediagramm erstellen:

und Verteilungsfunktionsgraph :

Wenn Sie weder Excel noch einen normalen Taschenrechner zur Hand haben, können Sie die letzte Grafik ganz einfach manuell erstellen! An diesem Punkt nimmt die Verteilungsfunktion den Wert an und hier ist es

Numerische Eigenschaften eines Systems von Zufallsvariablen

Das Verteilungsgesetz charakterisiert ein System von Zufallsvariablen vollständig, seine praktische Anwendung ist jedoch aufgrund seiner Komplexität nicht immer praktisch. Oft reicht es aus, die numerischen Eigenschaften der Zufallsvariablen zu kennen, aus denen das System besteht. Dazu gehören: mathematische Erwartungen M[X], M[Y], Varianzen D[X], D[Y] und Standardabweichungen. Sie werden anhand der folgenden Formeln berechnet.

Die Varianzen der Komponenten können auch mit verkürzten Formeln berechnet werden

Eine wichtige Rolle in der Theorie zweidimensionaler Zufallsvariablen spielt das Korrelationsmoment (Kovarianz), das den linearen Zusammenhang zwischen den Komponenten des Systems charakterisiert

Das Korrelationsmoment wird anhand der folgenden Formeln berechnet.

Für diskrete Systeme von Zufallsvariablen

Für kontinuierliche Systeme von Zufallsvariablen

Neben dem Korrelationsmoment wird ein dimensionsloses Merkmal des Korrelationszusammenhangs verwendet – der Korrelationskoeffizient

Für beliebige Systeme von Zufallsvariablen

Zufallsvariablen X und Y heißen unkorrelierte if

Unabhängige Größen sind immer unkorreliert.

Das bedingte Verteilungsgesetz einer im System enthaltenen Zufallsvariablen ist das Gesetz ihrer Verteilung, das unter der Bedingung berechnet wird, dass eine andere Zufallsvariable einen bestimmten Wert angenommen hat. Für Systeme kontinuierlicher Zufallsvariablen werden bedingte Gesetze durch bedingte Verteilungsdichten der Komponenten ausgedrückt

Darüber hinaus (6.9)

Dabei

Gesetze der Gleich- und Normalverteilung von Zufallsvariablensystemen

Einheitliches Gesetz. Wenn alle Werte der im System enthaltenen Zufallsvariablen innerhalb der Region D liegen und die Wahrscheinlichkeitsdichte des Systems die folgende Form hat

dann unterliegt (X,Y) einem Gleichverteilungsgesetz.

Normales Gesetz. Wenn die Verteilungsdichte des Systems (X,Y) die Form hat

wo sind mathematische Erwartungen; - Standardabweichungen und - Korrelationskoeffizient, dann unterliegt das System dem Normalverteilungsgesetz.

Für unkorrelierte Zufallsvariablen normale Dichte Verteilung

Beispiel 6.2. Für das nächste Jahr sind die Aktivitäten von 3 Unternehmen geplant. System (X,Y)

Wo ist die Firmennummer?

Höhe der Investitionen (in Tausend konventionellen Geldeinheiten),

Definiert durch eine Tabelle

Das Verteilungsgesetz der Komponente Die Y-Komponente entspricht dem Verteilungsgesetz

und das bedeutet, dass das Investitionsvolumen unabhängig von der Unternehmensnummer 3.000 konventionelle Einheiten betragen kann. Höhle. Einheiten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder 4 Tausend konventionellen Geldeinheiten. mit Wahrscheinlichkeit 0,5.

Um die numerischen Eigenschaften der Komponenten zu bestimmen, verwenden wir die gefundenen Verteilungsgesetze von X und Y und Formeln zur Bestimmung der numerischen Eigenschaften diskreter Systeme

Durchschnittliches Investitionsvolumen;

Abweichung vom durchschnittlichen Investitionsvolumen

Zusammenhang zwischen Unternehmenszahl und Investitionsvolumen

Beispiel 6.3. In Produktion für bestimmten Zeitraum Es wurden zwei Arten von Rohstoffen verwendet. Die Zufallsvariablen X und Y sind jeweils die Rohstoffmengen, ausgedrückt in konventionellen Einheiten. Die Wahrdes Systems hat die Form

Für den Fall, dass zur Untersuchung zufälliger Phänomene zwei Zufallsvariablen verwendet werden müssen X Und Y Zusammen sagen wir, dass es ein System gibt ( X, Y) zwei Zufallsvariablen. Mögliche Systemwerte ( X, Y) repräsentieren zufällige Punkte ( X, j) im Bereich der möglichen Werte des Systems.

Abhängig von der Art der darin enthaltenen Zufallsvariablen werden diskrete und kontinuierliche Systeme unterschieden.

Das Verteilungsgesetz eines diskreten Systems wird in Form einer Tabelle oder Verteilungsfunktion angegeben.

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Systemverteilungstabelle{X, Y) enthält eine Reihe von Mengen xi, yj Und P(xi,yj), Wo P(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m– Anzahl möglicher Werte einer Zufallsvariablen X, Y, jeweils.

Systemverteilungsfunktion{X, Y) wird in der Form angegeben:

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Verteilungsgesetz eines kontinuierlichen Systems ( X, Y) darstellbar Verteilungsfunktion F(x, y)oder Verteilungsdichte φ(x, y):

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Private Systemverteilungen{X, Y) sind die Verteilungsgesetze jeder Zufallsvariablen X Und Y.

Wenn X Und Y sind diskrete Zufallsvariablen, dann die Wahrscheinlichkeiten P(xi) Und P(yj), die zum Ermitteln ihrer Verteilungsgesetze erforderlich sind, werden aus der Verteilungstabelle mithilfe der Formeln ermittelt:

Für kontinuierliche Systeme ( X, Y) Teilverteilungsdichten haben die Form:

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Bedingte Verteilungen werden bestimmt:

bedingte Wahrscheinlichkeiten P(xi/yj), P(yj/xi) für diskrete Systeme ( X, Y) und bedingte Verteilungsdichten ( x/y), (y/x) für kontinuierliche Systeme ( X, Y}:

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Bedingungen für die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X und Y:

– für diskrete Systeme (8)

– für kontinuierliche Anlagen (9)

Wenn diese Beziehungen erfüllt sind, folgt:

(10) (11)

Wahrscheinlichkeit, mögliche Werte eines kontinuierlichen Systems zu treffen{X, Y) zu Fläche ( D) wird durch die Formel bestimmt:

(12)

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Beispiel 3.1

Das Verteilungsgesetz des Systems (X, Y) ergibt sich aus der Tabelle:

Erforderlich:

a) Finden Sie die Teilverteilungen von X und Y;

b) bedingtes Verteilungsgesetz von Y bei X= -1;

c) Bestimmen Sie, ob die Größen X und Y abhängig sind?

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Lösung:

a) Finden Sie die Teilverteilungen von X und Y

b) Bedingtes Verteilungsgesetz von Y bei X= -1. Wenn X = -1, hat die Zufallsvariable Y das folgende Verteilungsgesetz:

c) Bestimmen Sie, ob die Größen X und Y abhängig sind?

Da in den unbedingten und bedingten Gesetzen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen P(yj) und P(yj / X = -1) unterschiedlich sind, sind daher die Zufallsvariablen X und Y abhängig.

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Beispiel 3.2

Gegeben sei ein System (X, Y), gleichmäßig verteilt im Quadrat |x|+|y|1 (siehe Abb. 22).

Bestimmen Sie: a) bestimmte Verteilungsgesetze von X und Y; b) Sind diese Zufallsvariablen abhängig?

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Lösung:

Das Verteilungsgesetz (X, Y) hat die Form:

Die Dichte für |x|≤1 wird durch die Formel bestimmt:

Vorlesung 6. Verteilungsgesetze für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Dann (siehe Abb. 23):

Analog erhalten wir für (y):

Da die Unabhängigkeitsbedingung nicht erfüllt ist:

dann sind die Zufallsvariablen X und Y abhängig.

Zu den numerischen Eigenschaften des Systems ( X, Y) betreffen:

• numerische Eigenschaften der Zufallsvariablen X und Y:

mx, Mein, Dx, Dy, σx, σy;

• numerische Eigenschaften bedingter Verteilungen:

mx/y, mein/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;

• numerische Merkmale der Verbindung von Zufallsvariablen:

Kxy Und rxy

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

Die numerischen Merkmale der ersten Gruppe werden anhand der zuvor angegebenen Formeln ermittelt.

Numerische Eigenschaften der zweiten Gruppe in Bezug auf ein kontinuierliches System ( X, Y) werden durch die Formeln bestimmt:

Für diskrete Systeme ( X, Y) sind diese Formeln offensichtlich.

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

Mengen Kxy Und rxy sind Merkmale einer linearen Korrelation zwischen X Und Y; Sie werden durch Abhängigkeiten definiert:

Wo Kxy– Korrelationsmoment oder Moment der Verbindung zwischen X Und Y;

– Korrelationskoeffizient zwischen X Und Y, -1  rx  1. (16)

Korrelationskoeffizient charakterisiert den Grad der linearen Korrelation zwischen X Und Y.

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

Unter Korrelationsabhängigkeit Unter einer solchen Abhängigkeit versteht man beispielsweise die Änderung einer Zufallsvariablen X, das andere - Y seine mathematische Erwartung ändert sich ( mein/x).

Wann | rxy|=1 besteht ein linearer funktionaler Zusammenhang zwischen X Und Y, bei rxy=0 Zufallsvariablen X Und Y unkorreliert.

Wenn X Und Y unabhängig, dann sind sie unkorreliert. Wenn rxy=0, dann Zufallsvariablen X Und Y kann abhängig sein.

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

Beispiel 3.3

Unter den Bedingungen von Beispiel 3.1. definieren: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.

Lösung:

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

Beispiel 3.4

Unter den Bedingungen von Beispiel 3.2. Bestimmen Sie die numerischen Eigenschaften des Systems (X, Y).

Lösung:

Vorlesung 7. Numerische Eigenschaften eines Systems aus zwei Zufallsvariablen

ist die Dichte der gleichmäßigen Verteilung im Intervall

(-(1-|x|), (1-|x|))

Ebenso können Sie Ausdrücke für mx/y, Dx/y schreiben.

Im allgemeinen Fall, wenn die im System enthaltenen Zufallsvariablen ( X, Y), abhängig sind, hat die Normalverteilungsdichte die Form:

(17)

Teilverteilungen werden durch die Formeln bestimmt:

(18)

(19)

Vorlesung 8. Normalverteilungsgesetz für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Bedingte Dichten ( x/y) und ( y/x) haben die Form von Normalverteilungen:

(20) (21)

Wo

(22) (23)

(24) (25)

Vorlesung 8. Normalverteilungsgesetz für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Wenn Zufallsvariablen X Und Y unabhängig sind, dann hat die Dichte die Form:

Wahrscheinlichkeit, auf ein normalverteiltes System zu treffen (X,Y)(im Fall unabhängiger Zufallsvariablen X Und Y) in ein Rechteck mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen, werden mit der Laplace-Funktion nach der Formel bestimmt:

(27)

Vorlesung 8. Normalverteilungsgesetz für ein System aus zwei Zufallsvariablen

Beispiel 3.5

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Projektil ein Ziel trifft, das die Form eines Rechtecks ​​mit den Mittelpunktskoordinaten hat: xts = 10 m, yts = 5 m. Die Seiten des Rechtecks ​​​​sind parallel zu den Koordinatenachsen und sind gleich: entlang der Ox-Achse: 2 = 20 m, entlang der oy-Achse: 2k = 40 m. Koordinaten des Zielpunkts: mx=5m, my =5 m. Die Streuungseigenschaften von Projektilen entlang der ox- und oy-Achse sind gleich: σx= 20 m, σy =10 m.

Lösung: Bezeichnen wir die Fläche des Rechtecks ​​​​mit D.

Dann:

Thema 4. Funktionen von Zufallsvariablen

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Die Reihenfolge, in der das Verteilungsgesetz einer Funktion ermittelt wird Y=y(X), Wo X– diskrete Zufallsvariable, dargestellt in Beispiel 4.1.

Wenn möglich Werte von Zufallsvariablen X Und Y durch funktionale Abhängigkeit verbunden y=y(X), Wo j(X) ist stetig und differenzierbar, und das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen ist bekannt X-, dann das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen Y- für den Fall, dass j(X) nimmt im Bereich seiner möglichen Werte monoton zu oder ab, ausgedrückt durch Formel (1):

In Formel (1) X(j) gibt es eine Umkehrfunktion.

Für den Fall, dass die Funktion j(X) Es hat N Abschnitte der Abnahme und Zunahme, dann wird diese Formel in der Form (2) geschrieben.

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Beispiel 4.1

Die Zufallsvariable X hat ein Verteilungsgesetz:

Finden Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen

Lösung: Finden Sie mögliche Werte der Funktion

bei =0, 1, 2, 3.

Sie sind jeweils gleich: 1, 2, 1, 0. Daher sind die möglichen Werte: 0, 1, 2.

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeiten dieser möglichen Werte:

Y-Verteilungsgesetz:

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Beispiel 4.2

Ermitteln Sie die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen und zeichnen Sie sie auf, wenn die Zufallsvariable X gleichmäßig über das Intervall verteilt ist

Lösung: Graph einer Funktion

in Abb. dargestellt. 24.

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Die Zufallsvariable X hat folgende Verteilungsdichte:

Finden der Umkehrfunktion x(j)und seine Ableitung:

Vorlesung 9. Das Verteilungsgesetz einer Funktion eines Zufallsarguments

Wir erhalten schließlich den folgenden Ausdruck für die Dichte

Diagramm dieser Dichte

in Abb. dargestellt. 25.

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Grundformeln:

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Wo Xi– unabhängige Zufallsvariablen,

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Für N Zufallsvariablen, die numerischen Merkmale werden durch die Grundgesamtheit und die Korrelationsmatrix angegeben:

Die Notation in Form einer Dreiecksmatrix ist gültig, weil

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Die Korrelationsmatrix kann in normalisierter Form dargestellt werden, d. h. Matrix der Korrelationskoeffizienten:

Vorlesung 10. Numerische Eigenschaften von Funktionen von Zufallsvariablen

Beispiel 4.3

Bestimmen Sie die numerischen Eigenschaften einer Zufallsvariablen

Wenn

Lösung:

Die Zufallsvariable U ist eine lineare Funktion der Zufallsargumente X, Y und Z. Daher erhalten wir mit den Formeln (11) und (17) dieses Abschnitts: