Elektrostatisches Feldpotential. Potenzial eines Systems elektrischer Ladungen. Elektrische Feldstärke einer beliebigen Ladungsverteilung

Feldstärke einer einzelnen positiven Punktladung Q am Punkt A auf Distanz R aus der Ladung (Abb. 2.1) ist gleich

Hier - Einheitsvektor, gerichtet entlang der geraden Linie, die diesen Punkt und die Ladung verbindet.

Abb.2.1. Punktgebührenfeld

Lassen Sie das Potenzial gleich Null im Unendlichen. Dann das Potential eines beliebigen Punktes im Feld einer Punktladung

Bei volumetrischer Ladungsverteilung (in einem endlichen Bereich) unter Berücksichtigung wir haben:

Ebenso haben wir:

zur Oberflächenladungsverteilung ,

für lineare Ladungsverteilung .

Poisson- und Laplace-Gleichung

Zuvor erhalten
. Dann:

Von dort erhalten wir die Poisson-Gleichung:

oder .

- Operator Laplace(Laplace-Operator, Delta-Operator).

IN Kartesisches System Koordinaten können im Formular dargestellt werden

Lösung der Poisson-Gleichung in allgemeiner Form kann wie folgt gefunden werden. Nehmen wir das im Volumen an V Es gibt Ladungen mit der Dichte r. Stellen wir diese Ladungen als eine Sammlung von Punktladungen r dar dV, Wo dV- Volumenelement. Mögliche Komponente D j elektrisches Feld aus Elementarladung r dV gleicht .

Der Wert von j ist definiert als die Summe (Integral) der Potentiale aller Feldladungen:

Es wird angenommen, dass das Potential im Unendlichen Null ist und die Ladungen, die die Felder erzeugen, in einem begrenzten Bereich verteilt sind (andernfalls kann das Integral divergent ausfallen).

Unter realen Bedingungen befinden sich freie Ladungen in einer unendlich dünnen Schicht auf der Oberfläche von Leitern. In Dielektrika, die geladene Leiter trennen, gibt es keine Raumladungen . In diesem Fall gilt im Dielektrikum die Laplace-Gleichung:

oder .

Für eine einzigartige Lösung Differentialgleichung Felder sind Randbedingungen erforderlich.

Randbedingungen für elektrische Feldvektoren

An der Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika mit unterschiedlichen Dielektrizitätskonstanten ε 1 und ε 2 sei eine Oberflächenladung der Dichte σ verteilt.

Umgeben wir den Punkt an der Grenzfläche zwischen den Medien mit einem Elementarzylinder ( Zylinderhöhe viel kleiner als der Radius), sodass sich seine Basen in unterschiedlichen Umgebungen befinden und senkrecht zur Normalen stehen, die am betreffenden Punkt gezeichnet werden (Abb. 2.2). Dieser Zylinder bedeckt einen kleinen Bereich an der Grenzfläche zwischen Medien mit einer Ladung σ.

Die elektrischen Verschiebungsvektoren im ersten und zweiten Medium bezeichnen wir jeweils mit und.

Wenden wir den Satz von Gauß auf die Oberfläche des Zylinders an

Wo S— Oberfläche eines Elementarzylinders.

Abb.2.2. Vektoren der elektrischen Verschiebung an der Mediengrenze

Lassen Sie uns das Volumen des Zylinders auf Null bringen, unter der Bedingung, dass die Höhe des Zylinders viel kleiner ist als sein Radius. In diesem Fall können wir den Vektorfluss vernachlässigen Seitenfläche. Aufgrund der geringen Größe der Grundflächen können wir davon ausgehen, dass der Vektor innerhalb seiner Fläche den gleichen Wert hat. Unter Berücksichtigung dessen erhalten wir nach Integration für die Projektionen des Vektors auf die Normale

Bedenkt, dass , nach Reduktion erhalten wir die Randbedingung für die Normalkomponente des elektrischen Verschiebungsvektors

Dn 2 –Dn 1 = σ . (**)

Die Normalprojektion des elektrischen Verschiebungsvektors an der Grenzfläche zwischen zwei Medien erfährt einen Sprung gleich Oberflächendichte kostenlose Gebühren, die auf dieser Grenze verteilt werden.

In Ermangelung einer Oberflächenladung an der Schnittstelle zwischen den Medien haben wir dies getan .

An der Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika sind die Normalkomponenten des elektrischen Verschiebungsvektors gleich, wenn an der Grenzfläche zwischen zwei Medien keine freie Ladung vorhanden ist.

Wählen wir eine kleine Kontur an der Schnittstelle zwischen den Medien so aus, dass ihre Seiten ab Und CD befanden sich in verschiedenen Umgebungen und standen senkrecht zur Normalen, die am betreffenden Punkt gezeichnet wurden (Abb. 2.3). Die Abmessungen der Seiten gehen gegen Null; die Kontur erfüllt die Bedingung.

Abb.2.3. Vektoren der elektrischen Feldstärke an der Mediengrenze

Wenden wir die zweite Gleichung von Maxwell in Integralform auf die Kontur an:

Wo ist die durch die Kontur begrenzte Oberfläche? A B C D; ist der senkrecht zur Fläche gerichtete Vektor der Elementarfläche.

Bei der Integration vernachlässigen wir den Beitrag zum Integral auf den Seitenseiten da Und v. Chr aufgrund ihrer geringen Größe. Dann:

Da der endliche Wert dann gegen Null geht

(***)

An der Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika sind die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldstärkevektors gleich.

Wenn an der Grenzfläche zwischen den Medien keine Oberflächenladung vorhanden ist,

Mit den Ausdrücken (*) und (***) erhalten wir eine Beziehung, die die Brechung von Vektoren und an der Schnittstelle zwischen Medien bestimmt

Feldpotential eines Ladungssystems

Das System bestehe aus stationären Punktladungen q 1, q 2, ... Nach dem Prinzip der Überlagerung an jedem Punkt im Feld beträgt die Stärke E = E 1 + E 2 +., wobei E 1 die Feldstärke ist der Ladung q 1 usw. Dann können wir mit Formel (1.8) schreiben:

wo d.h. Das Superpositionsprinzip erweist sich auch für Potentiale als gültig. Somit ist das Potenzial eines Systems stationärer Punktladungen gegeben

wobei r i der Abstand von der Punktladung q ist, zum Feldpunkt, der uns interessiert. Auch hier wird auf die beliebige Konstante verzichtet. Dies steht völlig im Einklang mit der Tatsache, dass jedes reale Ladungssystem räumlich begrenzt ist, sodass sein Potenzial im Unendlichen gleich Null angenommen werden kann.

Wenn die das System bildenden Ladungen kontinuierlich verteilt sind, gehen wir wie üblich davon aus, dass jedes Elementarvolumen dV eine „Punktladung“ cdV enthält, wobei c die volumetrische Ladungsdichte am Ort des Volumens dV ist. Unter Berücksichtigung dessen kann Formel (1.10) eine andere Form erhalten

wobei die Integration entweder über den gesamten Raum oder über den Teil davon durchgeführt wird, der Ladungen enthält. Wenn sich die Ladungen nur auf der Oberfläche S befinden , Das

wo y - Oberflächenladungsdichte; dS - Oberflächenelement S. Ein ähnlicher Ausdruck ergibt sich, wenn die Ladungen linear verteilt sind.

Wenn wir also die Ladungsverteilung (diskret, kontinuierlich) kennen, können wir im Prinzip das Feldpotential jedes Systems ermitteln.

Zusammenhang zwischen Potenzial und Feldstärke

Das elektrische Feld wird bekanntlich vollständig durch die Vektorfunktion E (r) beschrieben. Wenn wir es wissen, können wir die Kraft ermitteln, die an jedem Punkt im Feld auf die Ladung wirkt, die uns interessiert, die Arbeit der Feldkräfte für jede Bewegung der Ladung berechnen und vieles mehr. Was bewirkt die Einführung von Potenzialen? Zunächst stellt sich heraus, dass man das Feld E(r) selbst ganz einfach wiederherstellen kann, wenn man das Potential μ(r) eines gegebenen elektrischen Feldes kennt. Betrachten wir dieses Problem genauer.

Der Zusammenhang zwischen q und E kann mit Gleichung (1.8) hergestellt werden. Die Verschiebung dl sei parallel zur X-Achse , dann ist dl =Ei dx, wobei i der Einheitsvektor der X-Achse ist; dx - x-Koordinateninkrement . In diesem Fall

wobei die Projektion des Vektors E auf den Einheitsvektor i (und nicht auf die Verschiebung dl) ist. Wenn wir den letzten Ausdruck mit Formel (1.8) vergleichen, erhalten wir

wobei das Symbol der partiellen Ableitung betont, dass die Funktion μ (x, y, z) nur nach x differenziert werden darf , y zählen und z während es konstant ist.

Mit ähnlichen Überlegungen können wir die entsprechenden Ausdrücke für die Projektionen E y und E z erhalten. Und nachdem E x , E y , E z bestimmt wurden, ist es einfach, den Vektor E selbst zu finden

Die Größe in Klammern ist nichts anderes als der potentielle Gradient c (grad c). Diese. die Feldstärke E ist mit einem Minuszeichen gleich dem Potentialgradienten. Dies ist die Formel, mit der Sie das Feld E wiederherstellen können, wenn Sie die Funktion μ(r) kennen.

Äquipotentialflächen

Führen wir das Konzept einer Äquipotentialfläche ein – einer Fläche, an deren Punkten das Potenzial μ an allen Punkten den gleichen Wert hat. Stellen wir sicher, dass der Vektor E an jedem Punkt entlang der Normalen zur Äquipotentialfläche in Richtung des abnehmenden Potentials gerichtet ist. Tatsächlich folgt aus Formel (1.13), dass die Projektion des Vektors E auf jede Richtung tangential zur Äquipotentialfläche an einem bestimmten Punkt gleich Null ist. Das bedeutet, dass der Vektor E normal zu dieser Oberfläche ist. Als nächstes nehmen wir die Verschiebung dx entlang der Normalen zur Oberfläche in Richtung abnehmender c, dann 5c<0 и согласно (1.13) E x >0, d.h. Der Vektor E ist in Richtung des abnehmenden q oder in die dem Vektor grad q entgegengesetzte Richtung gerichtet.

Es empfiehlt sich, Äquipotentialflächen so zu gestalten, dass die Potentialdifferenz für zwei benachbarte Flächen gleich ist. Dann nach Dichte Äquipotentialflächen Sie können den Wert der Feldstärke eindeutig beurteilen verschiedene Punkte. Je dichter diese Flächen sind („steileres Potentialrelief“), desto größer ist die Feldstärke.

Bei realen Problemen, die im Rahmen des Physikstudiums oder in der technisch-technologischen Praxis auftreten können, wird ein vereinfachtes Bild mit einem diskreten Satz von Punktladungen meist nicht realisiert. Jedes Molekül besteht aus Atomen mit positiv geladenen Kernen, die von negativen Ladungen – Elektronen – umgeben sind. Infolgedessen wird die Gesamtladung des Systems nicht durch eine Reihe von Punktladungen beschrieben, sondern Funktion p(t) (Zeitabhängigkeit wird in der Elektrostatik nicht berücksichtigt) Ladungsdichteverteilungen. Diese Funktion bestimmt die Ladung im infinitesimalen Volumen um den betreffenden Punkt

Mit p(r) wird die Gesamtladung des Systems bestimmt als

Reis. 5.20.

Die Ladungsdichteverteilungsfunktion ist ein sehr wichtiges Merkmal eines Ladungssystems, da sich mit Kenntnis dieser Funktion die Eigenschaften von Ladungssystemen berechnen lassen.

Betrachten wir das Feld, das durch ein beliebiges System kontinuierlicher Verteilung über einen geladenen Körper erzeugt wird elektrische Aufladungen, beschrieben durch die Funktion p(r) (Abb. 5.20).

Stellen wir uns irgendwann die Aufgabe, das Feld dieses Systems zu berechnen A, in ziemlich großer Entfernung (g >> g") vom gewählten Gebührensystem. Richten wir die Achse des Koordinatensystems aus Oz mit dem Ausgangspunkt am Punkt UM damit der Punkt A Es stellte sich heraus, dass es auf dieser Achse lag. Elektrisches Potenzial an einem Punkt A nach dem Prinzip der Überlagerung von Feldern die Summation

Reduzierung der Beiträge aus allen Abgaben d q = p(r)dF" = = p(x", y", z") dV, Erstellen eines Feldes, d.h. (in SI)

Wo G - Radiusvektormodul G Punkte A, B welches das Potenzial berechnet; G"- Funktionsargument

Ladungsverteilung; R=|l| = g - g", diese. Abstand vom Volumenelement d V, in dem die Ladung d konzentriert ist Q auf den Punkt A. Die Integration erfolgt über das Volumen (bzw. Koordinaten). G") im gesamten Gebiet V, Gebühren enthalten d Q. Bezeichnen wir den Winkel zwischen den Vektoren mit 0

r und r“ und berücksichtigen Sie dies durch den Kosinussatz R=(r 2 + + r" 2 - 2/r"cos 0) 1/2. Dann wird Integral (5.54) in die Form umgeschrieben

5.1. Elektrostatisches Feld 369

Der Wert jedes Integralterms in (5.56) hängt von den Eigenschaften der Ladungsverteilung im System ab (d. h. von p (r")). Nach der Berechnung werden sie durch Zahlen dargestellt ko, k Und zu 2, bzw. und die Abhängigkeit von fl on G kann durch die Summe dargestellt werden

Mengen Zu" angerufen elektrische Momente des Systems(erste, zweite, dritte usw. Bestellungen, wenn die Expansion fortgesetzt wird). Analysieren wir die Terme in Klammern (5.57).

Größe auf 0 wird durch das Integral bestimmt

und stellt die Gesamtladung des Systems dar, konzentriert am Koordinatenursprung (Punkt). UM in Abb. 5.20). Er heißt Monopolmoment(oder einfach Monopol). Natürlich für ein elektrisch neutrales System zu 0 = 0.

Mengen Zu Und zu 2, im Gegensatz zu auf 0, hängen von der Form der Ladungsverteilung ab. Koeffizient Zu stellt den Durchschnitt dar elektrisches Dipolmoment eines Ladungssystems

Da der Wert r"cos 0 die Koordinate des Elements d ist V auf der Achse Oz, es stellt sich heraus, dass k x charakterisiert die relative Verschiebung positiver und negativer Ladungen p(r")dV" entlang dieser Achse. Stellen wir uns tatsächlich ein System vor, das aus zwei ungleichen Ladungen besteht ±q an den Punkten (0, 0, z) und (0, 0, - z) Mit z= -/, wobei / der Abstand ist

zwischen Ladungen, dann kann der Wert r "cosQ = ±-/ entnommen werden

für das Vorzeichen des Integrals (5.59). Dann wird der verbleibende Ausdruck Jp(r")dF" gleich der Ladung Q, und der gesamte Koeffizient k b gleich lq=p, wird ein elektrisches Dipolmoment bilden, das entlang der Richtung ausgerichtet ist G(eingeführt in Unterabschnitt 5.1.5).

Koeffizient zu 2 ist ein Ausdruck

und heißt Quadrupolmoment. Im SI wird das Quadrupolmoment in der Einheit C m gemessen. Für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung zu 2= 0. Für „Abplatten“ entlang der Achse Oz Verteilung positive Ladung auf 2 0 und für negativ zu 2> 0. Wenn die Ladungsverteilung entlang der Achse verlängert ist Oz, dann die Beziehung zwischen den Vorzeichen der Gebühren für zu 2 wird das Gegenteil sein.

Eine wichtige Tatsache ist, dass, basierend auf dem Ausdruck (5.57), das Potenzial elektrostatisches Feld Systeme verteilter Ladungen nehmen mit zunehmender Entfernung r zum Beobachtungspunkt unterschiedlich ab: Je höher die Ordnung des elektrischen Moments, desto schneller nimmt das Potential des von ihm erzeugten Feldes mit der Entfernung ab. Sogar neutrale Systeme (Atome, Moleküle) erzeugen um sich herum ein elektrisches Feld, durch das diese Systeme miteinander interagieren. Dementsprechend ist die Wechselwirkungsenergie der Ladung mit dem Feld umso geringer, je höher die Ordnung des elektrischen Moments ist; Beispielsweise ist die Wechselwirkung von Dipolen untereinander (Dipol-Dipol-Wechselwirkung) deutlich schwächer als die Wechselwirkung von Punktladungen (Monopolen) mit dem Coulomb-Potenzial usw.

Das Quadrupolmoment wird im Unterabschnitt 9.2.3 der Analyse ausführlicher besprochen
Eigenschaften des Atomkerns.

Ebenso interessant und nicht weniger wichtig ist das Dipolfeld, das unter anderen Umständen entsteht. Nehmen wir an, wir haben einen Körper mit einer komplexen Ladungsverteilung, beispielsweise wie ein Wassermolekül (siehe Abb. 6.2), und wir interessieren uns nur für das Feld in der Ferne. Wir werden zeigen, dass es möglich ist, einen relativ einfachen Ausdruck für die Felder zu erhalten, der für Abstände geeignet ist, die viel größer sind als die Abmessungen des Körpers.

Wir können diesen Körper als eine Ansammlung von Punktladungen q ¡ in einem bestimmten begrenzten Bereich betrachten (Abb. 6.7). (Später ersetzen wir bei Bedarf q ¡ durch ρdV.) Die Ladung q¡ sei vom irgendwo innerhalb der Ladungsgruppe gewählten Koordinatenursprung im Abstand d¡ entfernt. Wie groß ist das Potenzial an einem Punkt? R, irgendwo in der Ferne gelegen, in einem Abstand R, der viel größer ist als der größte von d¡? Das Potenzial unseres gesamten Clusters wird durch die Formel ausgedrückt

wobei r¡ der Abstand von ist R aufladen Q (Länge Vektor R-d¡). Wenn die Entfernung von den Gebühren zu R(bis zum Beobachtungspunkt) extrem groß ist, dann kann jedes von r ¡ angenommen werden als R. Jeder Begriff summiert sich auf Q/R, Und 1/R kann unter dem Summenzeichen entnommen werden. Das Ergebnis ist einfach

Wo Q ist die Gesamtladung des Körpers. Daher sind wir davon überzeugt, dass es sich bei Punkten, die ausreichend weit von der Ladungsansammlung entfernt sind, nur um eine Punktladung zu handeln scheint. Dieses Ergebnis ist im Allgemeinen nicht sehr überraschend.

Aber was ist, wenn positiv und negative Ladungen Wird es in der Gruppe gleich viele geben? Gesamtbetrag Q dann ist es gleich Null. Dies ist kein so seltener Fall; Wir wissen, dass die meisten Körper neutral sind. Das Wassermolekül ist neutral, aber die Ladungen darin sind nicht an einem Punkt lokalisiert, sodass wir, wenn wir näher kommen, einige Anzeichen dafür bemerken sollten, dass die Ladungen getrennt sind. Für das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung in einem neutralen Körper benötigen wir eine Näherung, die besser ist als die durch Formel (6.22) gegebene. Gleichung (6.21) ist immer noch gültig, aber es wird davon ausgegangen r¡ =R nicht mehr. Für R Ich brauche einen präziseren Ausdruck. Eine gute Annäherung R kann als unterschiedlich betrachtet werden R (wenn Punkt R sehr weit entfernt) auf die Projektion des Vektors d auf den Vektor R (siehe Abb. 6.7, aber das sollten Sie sich einfach vorstellen R viel weiter als gezeigt). Mit anderen Worten, wenn äh ein Einheitsvektor in Richtung R ist, dann gilt für die nächste Annäherung an r¡ muss akzeptieren

Aber wir brauchen es nicht R ¡ ein 1/ R ¡ ; in unserer Näherung (unter Berücksichtigung von d¡«R) ist es gleich

Wenn wir dies in (6.21) einsetzen, sehen wir, dass das Potential gleich ist

Auslassungspunkte geben Mitglieder an Auftrag von oben Von D/ R, was wir vernachlässigt haben. Wie die Begriffe, die wir geschrieben haben, sind dies nachfolgende Begriffe der Erweiterung 1 / R in einer Taylor-Serie in der Nachbarschaft 1/R nach und nach D/ R.

Den ersten Term haben wir bereits in (6.25) erhalten; in neutralen Körpern verschwindet es. Der zweite Term hängt wie der Dipol von 1/R 2 ab. In der Tat, wenn wir lasst uns definieren

als Größe, die Ladungsverteilungen beschreibt, dann wird der zweite Potentialterm (6.25) zu

d.h. gerade in das Dipolpotential. Der Wert p heißt Dipolmoment der Verteilung. Dies ist eine Verallgemeinerung unserer vorherigen Definition; im Sonderfall der Punktgebühren reduziert es sich darauf.

Am Ende stellten wir fest, dass es ziemlich weit davon entfernt war beliebig Ladungssatz stellt sich heraus, dass das Potential ein Dipol ist, solange dieser Satz im Allgemeinen neutral ist. Es nimmt ab 1/ R 3 , und variiert als cos θ, und sein Wert hängt vom Dipolmoment der Ladungsverteilung ab. Aus diesem Grund sind Dipolfelder wichtig; Punktladungspaare selbst sind äußerst selten.

Ein Wassermolekül beispielsweise hat ein ziemlich großes Dipolmoment. Das in diesem Moment erzeugte elektrische Feld ist für einige wichtige Eigenschaften von Wasser verantwortlich. Und bei vielen Molekülen, beispielsweise CO 2 , verschwindet das Dipolmoment aufgrund ihrer Symmetrie. Für solche Moleküle muss die Zerlegung noch präziser durchgeführt werden, und zwar auf die nächsten Terme des Potentials, abnehmend als 1/ R 3 und Quadrupolpotential genannt. Wir werden diese Fälle später betrachten.

Alexander Nikolajewitsch Pelze Weißrussisch Staatliche Universität, Nezavisimosti Ave., 4, 220030, Minsk, Republik Weißrussland

Anmerkung

Bei der Coulomb-Kalibrierung werden die Feldpotentiale einer beliebigen Ladungs- und Stromverteilung berechnet. Es wird gezeigt, dass das Vektorpotential nicht nur durch die Werte der Stromdichte zu verzögerten Zeitpunkten bestimmt wird, sondern auch durch den Verlauf der Änderungen der Ladungsdichte über ein durch die verzögerten und aktuellen Zeitpunkte begrenztes Zeitintervall. Es werden verschiedene Darstellungen der Lienard-Wiechert-Potenziale im Coulomb-Eichmaß erhalten. Sie werden auf den Fall einer gleichmäßig und geradlinig bewegten Punktladung angewendet.

Biografie des Autors

Alexander Nikolajewitsch Pelze, Belarussische Staatliche Universität, Independence Ave., 4, 220030, Minsk, Republik Belarus

Doktor der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, außerordentlicher Professor; Professor der Abteilung für Theoretische Physik und Astrophysik, Fakultät für Physik

Literatur

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6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Quellen, Potentiale und Felder im Lorenz- und Coulomb-Eichmaß: Aufhebung momentaner Wechselwirkungen für sich bewegende Punktladungen // Ann. Physik. 2012. Bd. 327, Nr. 4. S. 1217–1230.
7. Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Quantenelektrodynamik. M., 1969.

Stichworte

Eichinvarianz, Lorentz- und Coulomb-Eichungen, retardierte Potentiale, Lienard-Wiechert-Potenziale

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