Mathematische Erwartungsformel. Erwarteter Wert

Wie bereits bekannt ist, charakterisiert das Verteilungsgesetz eine Zufallsvariable vollständig. Allerdings ist das Verteilungsgesetz oft unbekannt und man muss sich auf weniger Informationen beschränken. Manchmal ist es sogar noch gewinnbringender, Zahlen zu verwenden, die die Zufallsvariable insgesamt beschreiben; solche Nummern werden aufgerufen numerische Merkmale zufällige Variable. Eines der wichtigen numerischen Merkmale ist der mathematische Erwartungswert.

Der mathematische Erwartungswert entspricht, wie weiter unten gezeigt wird, ungefähr dem Durchschnittswert der Zufallsvariablen. Um viele Probleme zu lösen, reicht es aus, den mathematischen Erwartungswert zu kennen. Wenn beispielsweise bekannt ist, dass die mathematische Erwartung der vom ersten Schützen erzielten Punkte größer ist als die des zweiten, dann erzielt der erste Schütze im Durchschnitt mehr Punkte als der zweite und schießt daher besser als der zweite. Obwohl die mathematische Erwartung viel weniger Informationen über eine Zufallsvariable liefert als das Gesetz ihrer Verteilung, reicht die Kenntnis der mathematischen Erwartung aus, um Probleme wie das obige und viele andere zu lösen.

§ 2. Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Mathematische Erwartung Eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Lassen Sie die Zufallsvariable X kann nur Werte annehmen X 1 , X 2 , ..., X P , deren Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich sind R 1 , R 2 , . . ., R P . Dann die mathematische Erwartung M(X) zufällige Variable X wird durch Gleichheit bestimmt

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .

Wenn eine diskrete Zufallsvariable X nimmt dann eine abzählbare Menge möglicher Werte an

M(X)=

Darüber hinaus liegt der mathematische Erwartungswert vor, wenn die Reihe auf der rechten Seite der Gleichheit absolut konvergiert.

Kommentar. Aus der Definition folgt, dass der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen eine nichtzufällige (konstante) Größe ist. Wir empfehlen Ihnen, sich diese Aussage zu merken, da sie später noch oft verwendet wird. Später wird gezeigt, dass der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ebenfalls ein konstanter Wert ist.

Beispiel 1. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, das Gesetz seiner Verteilung kennen:

Lösung. Der erforderliche mathematische Erwartungswert ist gleich der Summe der Produkte aller möglichen Werte der Zufallsvariablen und ihrer Wahrscheinlichkeiten:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Beispiel 2. Finden Sie die mathematische Erwartung für die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses A in einem Versuch, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich R.

Lösung. Zufälliger Wert X - Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A in einem Test - kann nur zwei Werte annehmen: X 1 = 1 (Ereignis A aufgetreten ist) mit Wahrscheinlichkeit R Und X 2 = 0 (Ereignis A nicht aufgetreten ist) mit Wahrscheinlichkeit Q= 1 -R. Die erforderliche mathematische Erwartung

M(X)= 1* P+ 0* Q= P

Also, Die mathematische Erwartung der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in einem Versuch ist gleich der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Dieses Ergebnis wird im Folgenden verwendet.

§ 3. Probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung

Lass es entstehen P Tests, bei denen die Zufallsvariable X akzeptiert T 1 mal Wert X 1 , T 2 mal Wert X 2 ,...,M k mal Wert X k , Und T 1 + T 2 + …+t Zu = S. Dann wird die Summe aller Werte genommen X, gleich

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Zu T Zu .

Finden wir das arithmetische Mittel alle von einer Zufallsvariablen akzeptierten Werte, für die wir die gefundene Summe durch die Gesamtzahl der Tests dividieren:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Zu T Zu)/P,

= X 1 (M 1 / N) + X 2 (M 2 / N) + ... + X Zu (T Zu /P). (*)

Ich bemerke, dass die Einstellung M 1 / N- relative Frequenz W 1 Werte X 1 , M 2 / N - relative Frequenz W 2 Werte X 2 usw. schreiben wir die Relation (*) so:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X Zu W k . (**)

Nehmen wir an, dass die Anzahl der Tests groß genug ist. Dann ist die relative Häufigkeit ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses (dies wird in Kapitel IX, § 6 bewiesen):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

Ersetzen wir die relativen Häufigkeiten durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in Beziehung (**), erhalten wir

X 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X Zu R Zu .

Die rechte Seite dieser ungefähren Gleichheit ist M(X). Also,

M(X).

Die probabilistische Bedeutung des erhaltenen Ergebnisses ist wie folgt: Die mathematische Erwartung ist ungefähr gleich(je genauer, desto mehr Tests) das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen.

Bemerkung 1. Es ist leicht zu verstehen, dass die mathematische Erwartung größer als der kleinste und kleiner als der größtmögliche Wert ist. Mit anderen Worten: Auf dem Zahlenstrahl liegen mögliche Werte links und rechts vom mathematischen Erwartungswert. In diesem Sinne charakterisiert der mathematische Erwartungswert den Ort der Verteilung und wird daher oft als „Erwartungswert“ bezeichnet Verteilzentrum.

Dieser Begriff ist der Mechanik entlehnt: wenn die Massen R 1 , R 2 , ..., R P an den Abszissenpunkten gelegen X 1 , X 2 , ..., X N, Und
dann die Abszisse des Schwerpunkts

X C =
.

Bedenkt, dass
= M (X) Und
wir bekommen M(X)= x Mit .

Die mathematische Erwartung ist also die Abszisse des Schwerpunkts eines Systems materieller Punkte, deren Abszissen den möglichen Werten der Zufallsvariablen und deren Massen ihren Wahrscheinlichkeiten entsprechen.

Anmerkung 2. Der Ursprung des Begriffs „mathematische Erwartung“ ist mit der Anfangszeit der Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie (16.-17. Jahrhundert) verbunden, als der Anwendungsbereich auf das Glücksspiel beschränkt war. Den Spieler interessierte der Durchschnittswert des erwarteten Gewinns, oder anders ausgedrückt, die mathematische Gewinnerwartung.

Das Konzept der mathematischen Erwartung kann am Beispiel des Würfelns betrachtet werden. Bei jedem Wurf werden die verlorenen Punkte notiert. Um sie auszudrücken, werden natürliche Werte im Bereich 1 – 6 verwendet.

Nach einer bestimmten Anzahl an Würfen lässt sich mit einfachen Berechnungen der Durchschnitt ermitteln arithmetischer Wert Punkte verloren.

Genau wie das Auftreten eines beliebigen Wertes im Bereich ist dieser Wert zufällig.

Was ist, wenn Sie die Anzahl der Würfe um ein Vielfaches erhöhen? Bei einer großen Anzahl von Würfen nähert sich der arithmetische Mittelwert der Punkte einer bestimmten Zahl an, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematischer Erwartungswert bezeichnet wird.

Unter mathematischer Erwartung verstehen wir also den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen. Dieser Indikator kann auch als gewichtete Summe wahrscheinlicher Wertwerte dargestellt werden.

Dieses Konzept hat mehrere Synonyme:

mittlere Bedeutung;
Durchschnittswert;
Indikator der zentralen Tendenz;
erster Moment.

Mit anderen Worten handelt es sich um nichts anderes als eine Zahl, um die sich die Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

IN verschiedene Gebiete Aufgrund der menschlichen Aktivität werden die Ansätze zum Verständnis mathematischer Erwartungen etwas anders sein.

Es kann wie folgt betrachtet werden:

der durchschnittliche Nutzen, der sich aus einer Entscheidung ergibt, wenn eine solche Entscheidung aus der Sicht der Theorie großer Zahlen betrachtet wird;
die mögliche Gewinn- oder Verlusthöhe (Glücksspieltheorie), berechnet im Durchschnitt für jede Wette. Im Slang klingen sie wie „Spielervorteil“ (positiv für den Spieler) oder „Casinovorteil“ (negativ für den Spieler);
Prozentsatz des Gewinns, der aus Gewinnen erzielt wird.

Der Erwartungswert ist nicht für absolut alle Zufallsvariablen zwingend. Es fehlt für diejenigen, die eine Diskrepanz in der entsprechenden Summe oder dem entsprechenden Integral haben.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung

Wie jeder statistische Parameter hat der mathematische Erwartungswert die folgenden Eigenschaften:

Grundformeln für die mathematische Erwartung

Die Berechnung des mathematischen Erwartungswerts kann sowohl für Zufallsvariablen durchgeführt werden, die sowohl durch Kontinuität (Formel A) als auch durch Diskretion (Formel B) gekennzeichnet sind:

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, wobei xi die Werte der Zufallsvariablen sind, pi die Wahrscheinlichkeiten:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, wobei f(x) die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Beispiele für die Berechnung der mathematischen Erwartung

Beispiel A.

Ist es möglich, die durchschnittliche Größe der Zwerge im Märchen von Schneewittchen herauszufinden? Es ist bekannt, dass jeder der 7 Zwerge eine bestimmte Größe hatte: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 und 0,81 m.

Der Berechnungsalgorithmus ist recht einfach:

wir finden die Summe aller Werte des Wachstumsindikators (Zufallsvariable):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Teilen Sie den resultierenden Betrag durch die Anzahl der Zwerge:
6,31:7=0,90.

Somit beträgt die durchschnittliche Größe von Zwergen in einem Märchen 90 cm. Mit anderen Worten, dies ist die mathematische Erwartung für das Wachstum von Zwergen.

Arbeitsformel - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktische Umsetzung mathematischer Erwartungen

Auf die Berechnung des statistischen Indikators der mathematischen Erwartung wird in verschiedenen Bereichen der praktischen Tätigkeit zurückgegriffen. Zunächst geht es um den kommerziellen Bereich. Schließlich ist die Einführung dieses Indikators durch Huygens mit der Bestimmung der Chancen verbunden, die für ein bestimmtes Ereignis günstig oder im Gegenteil ungünstig sein können.

Dieser Parameter wird häufig zur Risikobewertung verwendet, insbesondere bei Finanzanlagen.
So dient in der Wirtschaft die Erwartungsrechnung als Methode zur Risikobewertung bei der Preiskalkulation.

Mit diesem Indikator lässt sich auch die Wirksamkeit bestimmter Maßnahmen, beispielsweise des Arbeitsschutzes, berechnen. Dank dessen können Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses berechnen.

Ein weiterer Anwendungsbereich dieses Parameters ist das Management. Sie kann auch im Rahmen der Produktqualitätskontrolle berechnet werden. Zum Beispiel mit mat. Erwartungen können Sie die mögliche Anzahl produzierter fehlerhafter Teile berechnen.

Die mathematische Erwartung erweist sich auch bei der statistischen Verarbeitung der dabei gewonnenen Ergebnisse als unersetzlich wissenschaftliche Forschung Ergebnisse. Damit können Sie die Wahrscheinlichkeit eines gewünschten oder unerwünschten Ergebnisses eines Experiments oder einer Studie in Abhängigkeit vom Grad der Zielerreichung berechnen. Denn sein Erreichen kann mit Gewinn und Nutzen verbunden sein, und sein Scheitern kann mit Verlust oder Verlust verbunden sein.

Verwendung mathematischer Erwartungen im Devisenhandel

Die praktische Anwendung dieses statistischen Parameters ist bei der Durchführung von Operationen möglich Devisenmarkt. Mit seiner Hilfe können Sie den Erfolg von Handelsgeschäften analysieren. Darüber hinaus deutet eine Erhöhung des Erwartungswerts auf eine Steigerung ihres Erfolgs hin.

Es ist auch wichtig zu bedenken, dass die mathematische Erwartung nicht als einziger statistischer Parameter zur Analyse der Leistung eines Händlers betrachtet werden sollte. Die Verwendung mehrerer statistischer Parameter zusammen mit dem Durchschnittswert erhöht die Genauigkeit der Analyse erheblich.

Dieser Parameter hat sich bei der Überwachung von Beobachtungen von Handelskonten bestens bewährt. Dadurch erfolgt eine schnelle Beurteilung der auf dem Einlagenkonto durchgeführten Arbeiten. In Fällen, in denen die Tätigkeit des Händlers erfolgreich ist und er Verluste vermeidet, wird nicht empfohlen, ausschließlich die Berechnung der mathematischen Erwartung zu verwenden. In diesen Fällen werden Risiken nicht berücksichtigt, was die Wirksamkeit der Analyse verringert.

Durchgeführte Studien über die Taktiken der Händler zeigen, dass:

Die effektivsten Taktiken basieren auf Zufallseingaben.
Am wenigsten effektiv sind Taktiken, die auf strukturierten Eingaben basieren.

Um positive Ergebnisse zu erzielen, sind nicht weniger wichtig:

Geldmanagement-Taktiken;
Ausstiegsstrategien.

Mithilfe eines solchen Indikators wie der mathematischen Erwartung können Sie vorhersagen, wie hoch der Gewinn oder Verlust sein wird, wenn Sie 1 Dollar investieren. Es ist bekannt, dass dieser Indikator, der für alle im Casino ausgeübten Spiele berechnet wird, zugunsten des Establishments ausfällt. Damit können Sie Geld verdienen. Bei einer langen Spielserie steigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde Geld verliert, deutlich an.

Spiele, die von professionellen Spielern gespielt werden, sind auf kurze Zeiträume begrenzt, was die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht und das Verlustrisiko verringert. Das gleiche Muster ist bei der Durchführung von Investitionsgeschäften zu beobachten.

Ein Anleger kann viel Geld verdienen, wenn er positive Erwartungen hat und in kurzer Zeit eine große Anzahl von Transaktionen durchführt.

Die Erwartung kann als Differenz zwischen dem Prozentsatz des Gewinns (PW) multipliziert mit dem durchschnittlichen Gewinn (AW) und der Verlustwahrscheinlichkeit (PL) multipliziert mit dem durchschnittlichen Verlust (AL) betrachtet werden.

Als Beispiel können wir Folgendes betrachten: Position – 12,5 Tausend Dollar, Portfolio – 100.000 Dollar, Einlagenrisiko – 1 %. Die Rentabilität der Transaktionen beträgt 40 % der Fälle mit einem durchschnittlichen Gewinn von 20 %. Im Schadensfall beträgt der durchschnittliche Verlust 5 %. Die Berechnung der mathematischen Erwartung für die Transaktion ergibt einen Wert von 625 $.

Erwarteter Wert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und den Grad der Streuung. Bei vielen praktischen Problemen kann ein vollständiges, erschöpfendes Merkmal einer Zufallsvariablen – das Verteilungsgesetz – entweder überhaupt nicht ermittelt werden oder wird überhaupt nicht benötigt. In diesen Fällen beschränkt man sich auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen mittels numerischer Merkmale.

Der Erwartungswert wird oft einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet. Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Merkmal der Streuung, der Streuung einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.

Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Wir nähern uns dem Konzept der mathematischen Erwartung zunächst auf der Grundlage der mechanischen Interpretation der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen. Die Einheitsmasse sei zwischen den Punkten der x-Achse verteilt X1 , X 2 , ..., X N, und jeder materielle Punkt hat eine entsprechende Masse von P1 , P 2 , ..., P N. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der Abszissenachse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, den Massenschwerpunkt des Systems materieller Punkte als einen solchen Punkt anzunehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, zu der die Abszisse jedes Punktes gehört Xich tritt mit einem „Gewicht“ ein, das der entsprechenden Wahrscheinlichkeit entspricht. Der auf diese Weise erhaltene Durchschnittswert der Zufallsvariablen X wird seine mathematische Erwartung genannt.

Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

Beispiel 1. Es wurde eine Win-Win-Lotterie organisiert. Es gibt 1000 Gewinne, davon sind 400 10 Rubel. 300 - 20 Rubel pro Stück. 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn für jemanden, der ein Los kauft?

Lösung. Den durchschnittlichen Gewinn ermitteln wir, wenn wir den Gesamtgewinnbetrag, der 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel beträgt, durch 1000 (Gesamtgewinnbetrag) dividieren. Dann erhalten wir 50.000/1.000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann jedoch in folgender Form dargestellt werden:

Andererseits ist der Gewinnbetrag unter diesen Bedingungen eine Zufallsvariable, die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher die erwartete durchschnittliche Auszahlung gleich der Summe Produkte aus der Höhe der Gewinne und der Wahrscheinlichkeit, diese zu erhalten.

Beispiel 2. Der Verlag entschied sich für die Veröffentlichung neues Buch. Er plant, das Buch für 280 Rubel zu verkaufen, wovon er selbst 200 erhält, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.

Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Verlags.

Lösung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ entspricht der Differenz zwischen den Erlösen aus Verkäufen und den Kosten der Kosten. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, beträgt der Erlös aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten betragen 225.000 Rubel. Dem Verlag entsteht somit ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen – Gewinn zusammen:

Nummer	Profitieren Xich	Wahrscheinlichkeit Pich	Xich P ich
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Gesamt:		1,00	25000

Somit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:

Beispiel 3. Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zu treffen P= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Projektilen, die eine mathematische Erwartung für die Anzahl der Treffer von 5 liefern.

Lösung. Ausgehend von der gleichen mathematischen Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus X- Schalenverbrauch:

Beispiel 4. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Schuss P = 0,4 .

Hinweis: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Variablenwerte durch Bernoullis Formel .

Eigenschaften der mathematischen Erwartung

Betrachten wir die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Eigentum 1. Der mathematische Erwartungswert eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante:

Eigentum 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen:

Eigentum 3. Der mathematische Erwartungswert der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigentum 4. Die mathematische Erwartung eines Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigentum 5. Sind alle Werte einer Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). MIT, dann wird sein mathematischer Erwartungswert um die gleiche Zahl sinken (steigen):

Wenn Sie sich nicht nur auf mathematische Erwartungen beschränken können

In den meisten Fällen kann allein der mathematische Erwartungswert eine Zufallsvariable nicht ausreichend charakterisieren.

Lassen Sie die Zufallsvariablen X Und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Bedeutung X	Wahrscheinlichkeit
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Bedeutung Y	Wahrscheinlichkeit
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind gleich – gleich Null:

Ihre Verteilungsmuster sind jedoch unterschiedlich. Zufälliger Wert X kann nur Werte annehmen, die kaum von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen abweichen Y kann Werte annehmen, die erheblich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn erlaubt keine Beurteilung des Anteils von Hoch- und Niedriglohnarbeitern. Mit anderen Worten: Man kann anhand der mathematischen Erwartung nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz der Zufallsvariablen ermitteln.

Varianz einer diskreten Zufallsvariablen

Varianz diskrete Zufallsvariable X heißt die mathematische Erwartung des Quadrats seiner Abweichung von der mathematischen Erwartung:

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X Der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz heißt:

Beispiel 5. Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.

Lösung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X Und Y sind, wie oben gefunden, gleich Null. Nach der Dispersionsformel bei E(X)=E(j)=0 erhalten wir:

Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y bilden

Somit ergibt sich bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein, aber eine Zufallsvariable Y- bedeutsam. Dies ist eine Folge von Unterschieden in ihrer Verteilung.

Beispiel 6. Der Investor verfügt über 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst den erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Finden Sie für jede Alternative den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Werte für die 3. Alternative berechnet werden:

Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.

Alle Alternativen haben die gleichen mathematischen Erwartungen. Das bedeutet, dass auf lange Sicht alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Maß für das Risiko interpretiert werden – je höher sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko möchte, wird Projekt 1 wählen, da es die kleinste Standardabweichung (0) aufweist. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung – Projekt 4.

Dispersionseigenschaften

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion vorstellen.

Eigentum 1. Die Varianz eines konstanten Wertes ist Null:

Eigentum 2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Dispersionszeichen entnommen werden:

Eigentum 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieses Werts, von dem das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts des Werts selbst subtrahiert wird:

Wo .

Eigentum 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:

Beispiel 7. Es ist bekannt, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Darüber hinaus ist der mathematische Erwartungswert bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. Bezeichnen wir mit P die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt X1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes X2 = 7 wird 1 − sein P. Lassen Sie uns die Gleichung für den mathematischen Erwartungswert herleiten:

E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

wo wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: P= 0,3 und 1 − P = 0,7 .

Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	−3	7
P	0,3	0,7

Wir berechnen die Varianz dieser Zufallsvariablen mithilfe der Formel aus Eigenschaft 3 der Streuung:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Finden Sie selbst den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 8. Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es akzeptiert den größeren der Werte 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Darüber hinaus ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Beispiel 9. In der Urne befinden sich 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden 3 Kugeln gezogen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.

Lösung. Zufälliger Wert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregel. Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

X	0	1	2	3
P	1/30	3/10	1/2	1/6

Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen beträgt:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Erwartungswert und Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung dieselbe Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist F(X). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, deren Funktionsargument Xichändert sich abrupt; bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hängt aber auch von ihrem Durchschnittswert ab.

Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu ermitteln, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist die Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht diese direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion ermitteln.

Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als ihr bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .

Die Erwartung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

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Mathematische Erwartung ist die Definition

Eines der wichtigsten Konzepte in mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Verteilung von Werten oder Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen charakterisiert. Wird normalerweise als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Parameter einer Zufallsvariablen ausgedrückt. Weit verbreitet in der technischen Analyse, der Untersuchung von Zahlenreihen und der Untersuchung kontinuierlicher und zeitaufwändiger Prozesse. Es ist wichtig für die Bewertung von Risiken und die Vorhersage von Preisindikatoren beim Handel auf Finanzmärkten und wird bei der Entwicklung von Strategien und Methoden der Spieltaktik in der Glücksspieltheorie verwendet.

Mathematische Erwartung ist Der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet.

Mathematische Erwartung ist ein Maß für den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Erwartung einer Zufallsvariablen X bezeichnet durch M(x).

Mathematische Erwartung ist

Mathematische Erwartung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann.

Mathematische Erwartung ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Mathematische Erwartung ist der durchschnittliche Nutzen einer bestimmten Entscheidung, sofern eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahlen und der Ferndistanz betrachtet werden kann.

Mathematische Erwartung ist In der Glücksspieltheorie ist dies die Höhe der Gewinne, die ein Spieler im Durchschnitt für jede Wette erzielen oder verlieren kann. Im Glücksspieljargon wird dies manchmal als „Spielervorteil“ (wenn er für den Spieler positiv ist) oder „Hausvorteil“ (wenn er für den Spieler negativ ist) bezeichnet.

Mathematische Erwartung ist Der Prozentsatz des Gewinns pro Gewinn multipliziert mit dem durchschnittlichen Gewinn, abzüglich der Verlustwahrscheinlichkeit multipliziert mit dem durchschnittlichen Verlust.

Mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen in mathematische Theorie

Eine der wichtigen numerischen Eigenschaften einer Zufallsvariablen ist ihr mathematischer Erwartungswert. Lassen Sie uns das Konzept eines Systems von Zufallsvariablen einführen. Betrachten wir eine Reihe von Zufallsvariablen, die das Ergebnis desselben Zufallsexperiments sind. Wenn es sich um einen der möglichen Werte des Systems handelt, entspricht das Ereignis einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, die die Axiome von Kolmogorov erfüllt. Eine für alle möglichen Werte von Zufallsvariablen definierte Funktion wird als gemeinsames Verteilungsgesetz bezeichnet. Mit dieser Funktion können Sie die Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse berechnen. Insbesondere das gemeinsame Verteilungsgesetz von Zufallsvariablen und, die Werte aus der Menge und annehmen, ist durch Wahrscheinlichkeiten gegeben.

Der Begriff „mathematische Erwartung“ wurde von Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) eingeführt und geht auf das Konzept des „erwarteten Gewinnwerts“ zurück, das erstmals im 17. Jahrhundert in der Glücksspieltheorie in den Werken von Blaise Pascal und Christiaan auftauchte Huygens. Das erste vollständige theoretische Verständnis und die erste Bewertung dieses Konzepts lieferte jedoch Pafnuty Lvovich Chebyshev (Mitte des 19. Jahrhunderts).

Das Verteilungsgesetz zufälliger numerischer Variablen (Verteilungsfunktion und Verteilungsreihe bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte) beschreibt vollständig das Verhalten einer Zufallsvariablen. Bei einer Reihe von Problemen reicht es jedoch aus, einige numerische Eigenschaften der untersuchten Größe zu kennen (z. B. ihren Durchschnittswert und eine mögliche Abweichung davon), um die gestellte Frage zu beantworten. Die wichtigsten numerischen Merkmale von Zufallsvariablen sind der mathematische Erwartungswert, die Varianz, der Modus und der Median.

Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte ihrer möglichen Werte und ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Manchmal wird der mathematische Erwartungswert als gewichteter Durchschnitt bezeichnet, da er ungefähr dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen bei entspricht große Zahl Experimente. Aus der Definition der mathematischen Erwartung folgt, dass ihr Wert nicht kleiner als der kleinstmögliche Wert einer Zufallsvariablen und nicht größer als der größte ist. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist eine nicht zufällige (konstante) Variable.

Die mathematische Erwartung ist einfach physikalische Bedeutung: Wenn Sie eine Einheitsmasse auf einer geraden Linie platzieren, platzieren Sie an einigen Punkten etwas Masse (z diskrete Verteilung) oder mit einer bestimmten Dichte „verschmiert“ (für eine absolut kontinuierliche Verteilung), dann ist der Punkt, der der mathematischen Erwartung entspricht, die Koordinate des „Schwerpunkts“ der Linie.

Der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist eine bestimmte Zahl, die gewissermaßen ihr „Repräsentant“ ist und ihn in groben Näherungsrechnungen ersetzt. Wenn wir sagen: „Die durchschnittliche Lampenbetriebszeit beträgt 100 Stunden“ oder „Der durchschnittliche Auftreffpunkt ist relativ zum Ziel um 2 m nach rechts verschoben“, weisen wir auf eine bestimmte numerische Eigenschaft einer Zufallsvariablen hin, die ihren Standort beschreibt auf der Zahlenachse, d.h. „Positionsmerkmale“.

Unter den Merkmalen einer Position in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen die wichtigste Rolle, der manchmal einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet wird.

Betrachten Sie die Zufallsvariable X, mit möglichen Werten x1, x2, …, xn mit Wahrscheinlichkeiten p1, p2, …, pn. Wir müssen die Position der Werte einer Zufallsvariablen auf der x-Achse mit einer Zahl charakterisieren und dabei berücksichtigen, dass diese Werte unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben. Hierzu bietet es sich an, den sogenannten „gewichteten Durchschnitt“ der Werte zu verwenden xi, und jeder Wert xi sollte bei der Mittelung mit einem „Gewicht“ berücksichtigt werden, das proportional zur Wahrscheinlichkeit dieses Werts ist. Daher berechnen wir den Durchschnitt der Zufallsvariablen X, was wir bezeichnen M |X|:

Dieser gewichtete Durchschnitt wird als mathematischer Erwartungswert der Zufallsvariablen bezeichnet. Damit haben wir eines der wichtigsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie in Betracht gezogen – das Konzept der mathematischen Erwartung. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

X ist durch eine eigentümliche Abhängigkeit mit dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen über eine große Anzahl von Experimenten verbunden. Diese Abhängigkeit ist von der gleichen Art wie die Abhängigkeit zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, nämlich: Bei einer großen Anzahl von Experimenten nähert sich das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen ihrem mathematischen Erwartungswert (konvergiert in der Wahrscheinlichkeit). Aus dem Vorliegen eines Zusammenhangs zwischen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit lässt sich als Konsequenz auf das Vorliegen eines ähnlichen Zusammenhangs zwischen dem arithmetischen Mittel und dem mathematischen Erwartungswert schließen. Betrachten Sie tatsächlich die Zufallsvariable X, gekennzeichnet durch eine Vertriebsreihe:

Lass es entstehen N unabhängige Experimente, in denen jeweils der Wert X nimmt einen bestimmten Wert an. Nehmen wir an, dass der Wert x1 erschien m1 Zeiten, Wert x2 erschien m2 einmal, in allgemeiner Bedeutung xi erschien mi mal. Berechnen wir das arithmetische Mittel der beobachteten Werte des Wertes X, der im Gegensatz zur mathematischen Erwartung steht M|X| wir bezeichnen M*|X|:

Mit zunehmender Anzahl von Experimenten N Frequenzen Pi wird sich den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten annähern (in der Wahrscheinlichkeit konvergieren). Folglich das arithmetische Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen M|X| Mit zunehmender Anzahl von Experimenten wird es sich seiner mathematischen Erwartung nähern (in der Wahrscheinlichkeit konvergieren). Der oben formulierte Zusammenhang zwischen dem arithmetischen Mittel und der mathematischen Erwartung bildet den Inhalt einer der Formen des Gesetzes der großen Zahlen.

Wir wissen bereits, dass alle Formen des Gesetzes der großen Zahlen die Tatsache besagen, dass einige Durchschnittswerte über eine große Anzahl von Experimenten hinweg stabil sind. Hier geht es um die Stabilität des arithmetischen Mittels aus einer Reihe von Beobachtungen gleicher Größe. Bei einer kleinen Anzahl von Experimenten ist das arithmetische Mittel ihrer Ergebnisse zufällig; Bei ausreichender Erhöhung der Anzahl der Experimente wird es „fast nicht zufällig“ und nähert sich stabilisierend einem konstanten Wert – der mathematischen Erwartung.

Die Stabilität von Mittelwerten über eine große Anzahl von Experimenten kann experimentell leicht überprüft werden. Wenn wir beispielsweise einen Körper in einem Labor auf einer Präzisionswaage wiegen, erhalten wir durch das Wiegen jedes Mal einen neuen Wert; Um Beobachtungsfehler zu reduzieren, wiegen wir den Körper mehrmals und verwenden das arithmetische Mittel der erhaltenen Werte. Es ist leicht zu erkennen, dass mit einer weiteren Erhöhung der Anzahl der Experimente (Wägungen) das arithmetische Mittel immer weniger auf diese Erhöhung reagiert und sich bei einer ausreichend großen Anzahl von Experimenten praktisch nicht mehr ändert.

Es ist zu beachten, dass das wichtigste Merkmal der Position einer Zufallsvariablen – der mathematische Erwartungswert – nicht für alle Zufallsvariablen existiert. Es ist möglich, Beispiele für solche Zufallsvariablen zusammenzustellen, für die der mathematische Erwartungswert nicht besteht, da die entsprechende Summe oder das entsprechende Integral divergiert. Für die Praxis sind solche Fälle jedoch nicht von nennenswertem Interesse. Typischerweise haben die Zufallsvariablen, mit denen wir uns befassen, einen begrenzten Bereich möglicher Werte und natürlich einen mathematischen Erwartungswert.

Neben den wichtigsten Merkmalen der Position einer Zufallsvariablen – dem mathematischen Erwartungswert – werden in der Praxis manchmal auch andere Merkmale der Position verwendet, insbesondere der Modus und der Median der Zufallsvariablen.

Der Modus einer Zufallsvariablen ist ihr wahrscheinlichster Wert. Der Begriff „wahrscheinlichster Wert“ gilt streng genommen nur für diskontinuierliche Größen; Bei einer kontinuierlichen Größe ist der Modus der Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist. Die Abbildungen zeigen den Modus für diskontinuierliche bzw. kontinuierliche Zufallsvariablen.

Wenn das Verteilungspolygon (Verteilungskurve) mehr als ein Maximum aufweist, wird die Verteilung als „multimodal“ bezeichnet.

Manchmal gibt es Verteilungen, die in der Mitte eher ein Minimum als ein Maximum haben. Solche Verteilungen werden „antimodal“ genannt.

Im allgemeinen Fall stimmen Modus und mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen nicht überein. Im Einzelfall, wenn die Verteilung symmetrisch und modal ist (d. h. einen Modus hat) und eine mathematische Erwartung besteht, dann stimmt sie mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung überein.

Häufig wird ein weiteres Positionsmerkmal verwendet – der sogenannte Median einer Zufallsvariablen. Dieses Merkmal wird normalerweise nur für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet, obwohl es formal für eine diskontinuierliche Variable definiert werden kann. Geometrisch gesehen ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die von der Verteilungskurve eingeschlossene Fläche in zwei Hälften geteilt wird.

Bei einer symmetrischen Modalverteilung stimmt der Median mit dem mathematischen Erwartungswert und Modus überein.

Der mathematische Erwartungswert ist der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen – ein numerisches Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. Am meisten im Allgemeinen mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X(w) ist definiert als das Lebesgue-Integral in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß R im ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsraum:

Der mathematische Erwartungswert kann auch als Lebesgue-Integral berechnet werden X durch Wahrscheinlichkeitsverteilung px Mengen X:

Das Konzept einer Zufallsvariablen mit unendlichem mathematischen Erwartungswert kann auf natürliche Weise definiert werden. Ein typisches Beispiel sind die Rückkehrzeiten einiger Zufallswanderungen.

Mithilfe des mathematischen Erwartungswerts werden viele numerische und funktionale Merkmale der Verteilung bestimmt (als mathematischer Erwartungswert der entsprechenden Funktionen einer Zufallsvariablen), beispielsweise die erzeugende Funktion, charakteristische Funktion, Momente beliebiger Ordnung, insbesondere Dispersion, Kovarianz.

Der mathematische Erwartungswert ist ein Merkmal der Lage der Werte einer Zufallsvariablen (der Durchschnittswert ihrer Verteilung). In dieser Eigenschaft dient der mathematische Erwartungswert als ein „typischer“ Verteilungsparameter und seine Rolle ähnelt der Rolle des statischen Moments – der Koordinate des Schwerpunkts der Massenverteilung – in der Mechanik. Von anderen Merkmalen des Ortes, mit deren Hilfe die Verteilung allgemein beschrieben wird – Mediane, Moden – unterscheidet sich der mathematische Erwartungswert durch den größeren Wert, den er und das entsprechende Streumerkmal – Dispersion – in den Grenzsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie haben. Die Bedeutung der mathematischen Erwartung wird am deutlichsten durch das Gesetz der großen Zahlen (Tschebyscheffs Ungleichung) und das verschärfte Gesetz der großen Zahlen offenbart.

Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Es soll eine Zufallsvariable geben, die einen von mehreren numerischen Werten annehmen kann (zum Beispiel kann die Anzahl der Punkte beim Würfeln 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 betragen). In der Praxis stellt sich für einen solchen Wert oft die Frage: Welchen Wert nimmt er „im Durchschnitt“ bei einer großen Anzahl von Tests an? Wie hoch werden unsere durchschnittlichen Einnahmen (oder Verluste) aus jeder der riskanten Transaktionen sein?

Nehmen wir an, es gibt eine Art Lotterie. Wir wollen verstehen, ob es rentabel ist, daran teilzunehmen (oder sogar wiederholt und regelmäßig teilzunehmen). Nehmen wir an, jedes vierte Ticket ist ein Gewinner, der Preis beträgt 300 Rubel und der Preis für jedes Ticket beträgt 100 Rubel. Bei unendlich vielen Beteiligungen passiert das. In drei Viertel der Fälle werden wir verlieren, alle drei Verluste kosten 300 Rubel. In jedem vierten Fall gewinnen wir 200 Rubel. (Preis minus Kosten), das heißt, bei vier Teilnahmen verlieren wir durchschnittlich 100 Rubel, bei einer Teilnahme durchschnittlich 25 Rubel. Insgesamt beträgt der durchschnittliche Preis für unsere Ruine 25 Rubel pro Ticket.

Wir würfeln. Wenn es kein Betrug ist (ohne den Schwerpunkt zu verschieben usw.), wie viele Punkte werden wir dann im Durchschnitt gleichzeitig haben? Da jede Option gleich wahrscheinlich ist, nehmen wir einfach das arithmetische Mittel und erhalten 3,5. Da dies DURCHSCHNITT ist, besteht kein Grund zur Empörung darüber, dass kein bestimmter Wurf 3,5 Punkte ergibt – nun, dieser Würfel hat bei einer solchen Zahl keine Seite!

Fassen wir nun unsere Beispiele zusammen:

Schauen wir uns das gerade gegebene Bild an. Links ist eine Tabelle der Verteilung einer Zufallsvariablen. Der Wert X kann einen von n möglichen Werten annehmen (dargestellt in der oberen Zeile). Andere Bedeutungen kann es nicht geben. Unter jedem möglichen Wert steht seine Wahrscheinlichkeit. Rechts ist die Formel, wobei M(X) der mathematische Erwartungswert genannt wird. Die Bedeutung dieses Werts besteht darin, dass bei einer großen Anzahl von Tests (mit einer großen Stichprobe) der Durchschnittswert derselben mathematischen Erwartung entspricht.

Kehren wir noch einmal zum gleichen Spielwürfel zurück. Der mathematische Erwartungswert für die Punktzahl beim Werfen liegt bei 3,5 (wenn Sie mir nicht glauben, berechnen Sie es selbst anhand der Formel). Nehmen wir an, Sie haben es ein paar Mal geworfen. Die Ergebnisse waren 4 und 6. Der Durchschnitt lag bei 5, was weit von 3,5 entfernt ist. Sie warfen es noch einmal und bekamen 3, das heißt im Durchschnitt (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Irgendwie weit von der mathematischen Erwartung entfernt. Machen Sie jetzt ein verrücktes Experiment – rollen Sie den Würfel 1000 Mal! Und selbst wenn der Durchschnitt nicht genau bei 3,5 liegt, wird er nahe daran liegen.

Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert für die oben beschriebene Lotterie. Die Platte wird so aussehen:

Dann wird die mathematische Erwartung, wie wir oben festgestellt haben, sein:

Eine andere Sache ist, dass es schwierig wäre, es „an den Fingern“ ohne Formel zu machen, wenn es mehr Optionen gäbe. Nehmen wir an, es gäbe 75 % verlorene Tickets, 20 % gewinnende Tickets und 5 % besonders gewinnende Tickets.

Nun einige Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Es ist leicht zu beweisen:

Als Zeichen der mathematischen Erwartung lässt sich der konstante Faktor herausnehmen, also:

Dies ist ein Sonderfall der Linearitätseigenschaft der mathematischen Erwartung.

Eine weitere Konsequenz der Linearität der mathematischen Erwartung:

Das heißt, die mathematische Erwartung der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Zufallsvariablen.

Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen, Dann:

Dies ist auch leicht zu beweisen.) Arbeit XY selbst ist eine Zufallsvariable und könnte die Anfangswerte annehmen N Und M Werte entsprechend also XY kann nm-Werte annehmen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Werts wird auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeiten berechnet unabhängige Veranstaltungen multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Kontinuierliche Zufallsvariablen haben eine Eigenschaft wie die Verteilungsdichte (Wahrscheinlichkeitsdichte). Es charakterisiert im Wesentlichen die Situation, dass eine Zufallsvariable einige Werte aus der Menge der reellen Zahlen häufiger annimmt, andere seltener. Betrachten Sie zum Beispiel diese Grafik:

Hier X- tatsächliche Zufallsvariable, f(x)- Verteilungsdichte. Nach dieser Grafik zu urteilen, während der Experimente der Wert X wird oft eine Zahl nahe Null sein. Die Chancen werden übertroffen 3 oder kleiner sein -3 eher rein theoretisch.

Es läge zum Beispiel eine Gleichverteilung vor:

Dies steht im Einklang mit dem intuitiven Verständnis. Nehmen wir an, wenn wir viele zufällige reelle Zahlen mit gleichmäßiger Verteilung erhalten, ist jedes Segment |0; 1| , dann sollte das arithmetische Mittel etwa 0,5 betragen.

Die Eigenschaften der mathematischen Erwartung – Linearität usw., die für diskrete Zufallsvariablen gelten, sind auch hier anwendbar.

Zusammenhang zwischen mathematischer Erwartung und anderen statistischen Indikatoren

In der statistischen Analyse gibt es neben der mathematischen Erwartung ein System voneinander abhängiger Indikatoren, die die Homogenität von Phänomenen und die Stabilität von Prozessen widerspiegeln. Variationsindikatoren haben oft keine eigenständige Bedeutung und werden für die weitere Datenanalyse verwendet. Die Ausnahme bildet der Variationskoeffizient, der die Homogenität der wertvollen Daten charakterisiert statistisches Merkmal.

Der Grad der Variabilität oder Stabilität von Prozessen in der Statistik kann anhand mehrerer Indikatoren gemessen werden.

Der wichtigste Indikator, der die Variabilität einer Zufallsvariablen charakterisiert, ist Streuung, die am engsten und direktsten mit der mathematischen Erwartung zusammenhängt. Dieser Parameter wird aktiv in anderen Arten statistischer Analysen (Hypothesentests, Analyse von Ursache-Wirkungs-Beziehungen usw.) verwendet. Wie die durchschnittliche lineare Abweichung spiegelt auch die Varianz das Ausmaß der Datenstreuung wider durchschnittliche Größe.

Es ist sinnvoll, die Sprache der Zeichen in die Sprache der Wörter zu übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die Streuung das durchschnittliche Quadrat der Abweichungen ist. Das heißt, der Durchschnittswert wird zuerst berechnet, dann wird die Differenz zwischen jedem Original- und Durchschnittswert gebildet, quadriert, addiert und dann durch die Anzahl der Werte in der Grundgesamtheit dividiert. Die Differenz zwischen einem Einzelwert und dem Durchschnitt gibt das Maß der Abweichung wieder. Es wird quadriert, damit alle Abweichungen ausschließlich positive Zahlen werden und um eine gegenseitige Zerstörung positiver und negativer Abweichungen bei der Summierung zu vermeiden. Dann berechnen wir anhand der quadrierten Abweichungen einfach das arithmetische Mittel. Durchschnitt – Quadrat – Abweichungen. Abweichungen werden quadriert und der Durchschnitt berechnet. Die Antwort auf das Zauberwort „Dispersion“ liegt in nur drei Worten.

Allerdings in reiner Form B. das arithmetische Mittel oder der Index, wird die Varianz nicht verwendet. Es handelt sich vielmehr um einen Hilfs- und Zwischenindikator, der für andere Arten statistischer Analysen verwendet wird. Es gibt nicht einmal eine normale Maßeinheit. Der Formel nach zu urteilen, ist dies das Quadrat der Maßeinheit der Originaldaten.

Lassen Sie uns eine Zufallsvariable messen N Wir messen zum Beispiel zehnmal die Windgeschwindigkeit und wollen den Durchschnittswert ermitteln. Wie hängt der Durchschnittswert mit der Verteilungsfunktion zusammen?

Oder wir würfeln große Menge einmal. Die Anzahl der Punkte, die bei jedem Würfelwurf auf den Würfeln erscheinen, ist eine Zufallsvariable und kann jeden natürlichen Wert von 1 bis 6 annehmen. Das für alle Würfelwürfe berechnete arithmetische Mittel der fallengelassenen Punkte ist ebenfalls eine Zufallsvariable, allerdings für groß N es tendiert zu einer ganz bestimmten Zahl – der mathematischen Erwartung Mx. IN in diesem Fall Mx = 3,5.

Wie sind Sie auf diesen Wert gekommen? Einlassen N Tests n1 1 Punkt wird einmal gewürfelt n2 einmal - 2 Punkte und so weiter. Dann die Anzahl der Ergebnisse, bei denen ein Punkt fiel:

Ähnliches gilt für Ergebnisse, wenn 2, 3, 4, 5 und 6 Punkte gewürfelt werden.

Nehmen wir nun an, dass wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen x kennen, das heißt, wir wissen, dass die Zufallsvariable x Werte x1, x2, ..., xk mit Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ... annehmen kann. pk.

Der mathematische Erwartungswert Mx einer Zufallsvariablen x ist gleich:

Der mathematische Erwartungswert ist nicht immer eine vernünftige Schätzung einer Zufallsvariablen. Also, um den Durchschnitt zu schätzen Löhne Sinnvoller ist es, das Konzept des Medians zu verwenden, also eines solchen Wertes, bei dem die Anzahl der Personen, die ein niedrigeres als den Mediangehalt erhalten, und ein höheres Gehalt zusammenfallen.

Die Wahrscheinlichkeit p1, dass die Zufallsvariable x kleiner als x1/2 ist, und die Wahrscheinlichkeit p2, dass die Zufallsvariable x größer als x1/2 ist, sind gleich und gleich 1/2. Der Median wird nicht für alle Verteilungen eindeutig bestimmt.

Standard oder Standardabweichung In der Statistik wird der Grad der Abweichung von Beobachtungsdaten oder -sätzen vom DURCHSCHNITT-Wert genannt. Bezeichnet mit den Buchstaben s oder s. Eine kleine Standardabweichung weist darauf hin, dass sich die Daten um den Mittelwert gruppieren, während eine große Standardabweichung darauf hinweist, dass die Ausgangsdaten weit davon entfernt liegen. Die Standardabweichung beträgt Quadratwurzel Größe, die Dispersion genannt wird. Es ist der Durchschnitt der Summe der quadrierten Differenzen der Ausgangsdaten, die vom Durchschnittswert abweichen. Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen ist die Quadratwurzel der Varianz:

Beispiel. Berechnen Sie unter Testbedingungen beim Schießen auf ein Ziel die Streuung und Standardabweichung der Zufallsvariablen:

Variation- Fluktuation, Veränderlichkeit des Wertes eines Merkmals zwischen Bevölkerungseinheiten. Separate numerische Werte Merkmale, die in der untersuchten Population gefunden werden, werden als Bedeutungsvarianten bezeichnet. Unzureichender Durchschnittswert für volle Eigenschaften Die Bevölkerung zwingt uns dazu, die Durchschnittswerte durch Indikatoren zu ergänzen, die es uns ermöglichen, die Typizität dieser Durchschnittswerte zu beurteilen, indem wir die Variabilität (Variation) des untersuchten Merkmals messen. Der Variationskoeffizient wird nach folgender Formel berechnet:

Variationsbreite(R) stellt die Differenz zwischen den Maximal- und Minimalwerten des Attributs in der untersuchten Population dar. Dieser Indikator gibt am meisten Grund Ideeüber die Variabilität des untersuchten Merkmals, da es nur den Unterschied zwischen den Grenzwerten der Optionen zeigt. Die Abhängigkeit von den Extremwerten eines Merkmals verleiht dem Variationsbereich einen instabilen, zufälligen Charakter.

Durchschnittliche lineare Abweichung stellt das arithmetische Mittel der absoluten (Modulo-)Abweichungen aller Werte der analysierten Grundgesamtheit von ihrem Durchschnittswert dar:

Mathematische Erwartung in der Glücksspieltheorie

Mathematische Erwartung ist Der durchschnittliche Geldbetrag, den ein Spieler bei einer bestimmten Wette gewinnen oder verlieren kann. Dies ist ein sehr wichtiges Konzept für den Spieler, da es für die Beurteilung der meisten Spielsituationen von grundlegender Bedeutung ist. Auch zur Analyse grundlegender Kartenlayouts und Spielsituationen ist die mathematische Erwartung das optimale Werkzeug.

Nehmen wir an, Sie spielen mit einem Freund ein Münzspiel und setzen jedes Mal gleich 1 $, egal was dabei herauskommt. Zahl bedeutet, dass Sie gewinnen, Kopf bedeutet, dass Sie verlieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass es Kopf ergibt, ist eins zu eins, Sie setzen also 1 zu 1 $. Somit ist Ihre mathematische Erwartung Null, weil Aus mathematischer Sicht kann man nach zwei Würfen oder nach 200 nicht wissen, ob man führt oder verliert.

Ihr Stundengewinn gleich Null. Der Stundengewinn ist der Geldbetrag, den Sie in einer Stunde voraussichtlich gewinnen werden. Sie können eine Münze 500 Mal in einer Stunde werfen, aber Sie werden weder gewinnen noch verlieren, weil ... Ihre Chancen sind weder positiv noch negativ. Wenn man es aus der Sicht eines ernsthaften Spielers betrachtet, ist dieses Wettsystem nicht schlecht. Aber das ist einfach Zeitverschwendung.

Aber nehmen wir an, jemand möchte im selben Spiel 2 $ gegen Ihren 1 $ setzen. Dann haben Sie von jeder Wette sofort eine positive Erwartung von 50 Cent. Warum 50 Cent? Im Durchschnitt gewinnt man eine Wette und verliert die zweite. Setzen Sie den ersten Dollar und verlieren Sie 1 $; setzen Sie den zweiten und gewinnen Sie 2 $. Sie setzen zweimal 1 $ und liegen mit 1 $ vorne. Für jede Ihrer Ein-Dollar-Wetten erhielten Sie also 50 Cent.

Wenn eine Münze 500 Mal in einer Stunde erscheint, beträgt Ihr Stundengewinn bereits 250 $, weil... Im Durchschnitt hat man 250 Mal einen Dollar verloren und 250 Mal zwei Dollar gewonnen. 500 $ minus 250 $ ergeben 250 $, was dem Gesamtgewinn entspricht. Bitte beachten Sie, dass der Erwartungswert, also der durchschnittliche Gewinnbetrag, den Sie pro Wette gewinnen, 50 Cent beträgt. Sie haben 250 $ gewonnen, indem Sie 500 Mal einen Dollar gesetzt haben, was 50 Cent pro Wette entspricht.

Mathematische Erwartungen haben nichts mit kurzfristigen Ergebnissen zu tun. Ihr Gegner, der beschlossen hat, 2 $ gegen Sie zu setzen, könnte Sie bei den ersten zehn Würfen in Folge schlagen, aber Sie, die einen Wettvorteil von 2 zu 1 haben, verdienen unter sonst gleichen Bedingungen 50 Cent für jeden Einsatz von 1 $ Umstände. Es macht keinen Unterschied, ob Sie eine Wette oder mehrere Wetten gewinnen oder verlieren, solange Sie genug Geld haben, um die Kosten bequem zu decken. Wenn Sie weiterhin auf die gleiche Weise wetten, nähern sich Ihre Gewinne über einen längeren Zeitraum der Summe der Erwartungen in den einzelnen Würfen an.

Jedes Mal, wenn Sie eine beste Wette abschließen (eine Wette, die sich auf lange Sicht als profitabel erweisen kann) und die Chancen für Sie günstig sind, werden Sie mit Sicherheit etwas gewinnen, unabhängig davon, ob Sie die Wette verlieren oder nicht gegebene Hand. Umgekehrt verlieren Sie etwas, wenn Sie eine Underdog-Wette (eine Wette, die auf lange Sicht unrentabel ist) abschließen, obwohl die Chancen gegen Sie stehen, unabhängig davon, ob Sie die Hand gewinnen oder verlieren.

Sie platzieren eine Wette mit dem besten Ergebnis, wenn Ihre Erwartung positiv ist, und diese ist positiv, wenn die Chancen auf Ihrer Seite stehen. Wenn Sie eine Wette mit dem schlechtesten Ausgang platzieren, haben Sie eine negative Erwartung, was dann der Fall ist, wenn die Chancen gegen Sie stehen. Ernsthafte Spieler wetten nur auf das beste Ergebnis; wenn das Schlimmste passiert, geben sie auf. Was bedeuten die Chancen zu Ihren Gunsten? Möglicherweise gewinnen Sie am Ende mehr, als die tatsächlichen Gewinnchancen einbringen. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu landen, liegt bei 1 zu 1, aufgrund des Quotenverhältnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit jedoch 2 zu 1. In diesem Fall stehen die Chancen zu Ihren Gunsten. Mit einer positiven Erwartung von 50 Cent pro Wette erzielen Sie auf jeden Fall das beste Ergebnis.

Hier ist mehr komplexes Beispiel mathematische Erwartung. Ein Freund schreibt Zahlen von eins bis fünf auf und setzt 5 $ gegen Ihren 1 $, damit Sie die Zahl nicht erraten. Sollten Sie einer solchen Wette zustimmen? Was ist hier die Erwartung?

Im Durchschnitt liegen Sie viermal falsch. Auf dieser Grundlage beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Zahl erraten, 4 zu 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei einem Versuch einen Dollar verlieren. Allerdings gewinnen Sie 5 zu 1, mit der Möglichkeit, 4 zu 1 zu verlieren. Die Chancen stehen also zu Ihren Gunsten, Sie können die Wette annehmen und auf das beste Ergebnis hoffen. Wenn Sie diese Wette fünfmal abschließen, verlieren Sie im Durchschnitt viermal 1 $ und gewinnen einmal 5 $. Auf dieser Grundlage verdienen Sie für alle fünf Versuche 1 $ mit einer positiven mathematischen Erwartung von 20 Cent pro Wette.

Ein Spieler, der mehr gewinnen wird, als er setzt, wie im obigen Beispiel, geht Risiken ein. Im Gegenteil, er ruiniert seine Chancen, wenn er erwartet, weniger zu gewinnen, als er setzt. Ein Wettender kann entweder eine positive oder eine negative Erwartung haben, die davon abhängt, ob er die Gewinnchancen gewinnt oder ruiniert.

Wenn Sie 50 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit einer Gewinnchance von 4 zu 1, erhalten Sie eine negative Erwartung von 2 $, weil Im Durchschnitt gewinnen Sie viermal 10 $ und verlieren einmal 50 $, was bedeutet, dass der Verlust pro Wette 10 $ beträgt. Aber wenn Sie 30 $ setzen, um 10 $ zu gewinnen, mit der gleichen Gewinnchance von 4 zu 1, dann haben Sie in diesem Fall eine positive Erwartung von 2 $, weil Sie gewinnen erneut viermal 10 $ und verlieren einmal 30 $, was einem Gewinn von 10 $ entspricht. Diese Beispiele zeigen, dass die erste Wette schlecht und die zweite gut ist.

Die mathematische Erwartung steht im Mittelpunkt jeder Spielsituation. Wenn ein Buchmacher Fußballfans dazu ermutigt, 11 $ zu wetten, um 10 $ zu gewinnen, hat er eine positive Erwartung von 50 Cent für jede 10 $. Wenn das Casino beim Craps gleichmäßiges Geld von der Pass-Linie auszahlt, liegt die positive Erwartung des Casinos bei etwa 1,40 $ pro 100 $, weil Dieses Spiel ist so aufgebaut, dass jeder, der auf diese Linie setzt, im Durchschnitt 50,7 % verliert und 49,3 % der Gesamtzeit gewinnt. Zweifellos ist es diese scheinbar minimale positive Erwartung, die Casinobesitzern auf der ganzen Welt enorme Gewinne beschert. Bob Stupak, Besitzer des Vegas World Casinos, bemerkte: „Eine negative Wahrscheinlichkeit von einem Tausendstel Prozent über eine ausreichend lange Distanz führt zum Ruin.“ reichster Mann in der Welt".

Erwartungen beim Pokerspielen

Das Pokerspiel ist das anschaulichste und anschaulichste Beispiel für die Verwendung der Theorie und Eigenschaften der mathematischen Erwartung.

Der Erwartungswert beim Poker ist der durchschnittliche Nutzen einer bestimmten Entscheidung, vorausgesetzt, dass eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahlen und der großen Distanz betrachtet werden kann. Ein erfolgreiches Pokerspiel besteht darin, immer Züge mit positivem Erwartungswert zu akzeptieren.

Die mathematische Bedeutung der mathematischen Erwartung beim Pokern besteht darin, dass wir bei Entscheidungen oft auf Zufallsvariablen stoßen (wir wissen nicht, welche Karten der Gegner auf der Hand hat, welche Karten in den folgenden Wettrunden kommen werden). Wir müssen jede der Lösungen aus der Sicht der Theorie großer Zahlen betrachten, die besagt, dass sich der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bei einer ausreichend großen Stichprobe ihrem mathematischen Erwartungswert annähert.

Unter den besonderen Formeln zur Berechnung der mathematischen Erwartung ist die folgende beim Poker am anwendbarsten:

Beim Pokern kann der Erwartungswert sowohl für Bets als auch für Calls berechnet werden. Im ersten Fall sollte die Fold Equity berücksichtigt werden, im zweiten Fall die bankeigenen Quoten. Bei der Beurteilung der mathematischen Erwartung einer bestimmten Bewegung sollten Sie bedenken, dass ein Fold immer eine Erwartung von Null hat. Daher wird das Abwerfen von Karten immer eine profitablere Entscheidung sein als jeder negative Zug.

Die Erwartung sagt Ihnen, was Sie für jeden Dollar, den Sie riskieren, erwarten können (Gewinn oder Verlust). Casinos verdienen Geld, weil die mathematischen Erwartungen aller in ihnen gespielten Spiele zugunsten des Casinos ausfallen. Bei einer ausreichend langen Spielreihe kann man damit rechnen, dass der Kunde sein Geld verliert, da die „Chancen“ zugunsten des Casinos stehen. Allerdings beschränken professionelle Casinospieler ihre Spiele auf kurze Zeiträume und erhöhen so die Chancen zu ihren Gunsten. Das Gleiche gilt für das Investieren. Wenn Ihre Erwartungen positiv sind, können Sie verdienen mehr Geld, viele Geschäfte in kurzer Zeit tätigen. Die Erwartung ist Ihr Prozentsatz des Gewinns pro Gewinn, multipliziert mit Ihrem durchschnittlichen Gewinn, abzüglich Ihrer Verlustwahrscheinlichkeit, multipliziert mit Ihrem durchschnittlichen Verlust.

Poker kann auch vom Standpunkt der mathematischen Erwartung aus betrachtet werden. Sie können davon ausgehen, dass ein bestimmter Schritt profitabel ist, aber in manchen Fällen ist er möglicherweise nicht der beste, weil ein anderer Schritt profitabler ist. Nehmen wir an, Sie haben beim Five-Card-Draw-Poker ein Full House erreicht. Ihr Gegner macht eine Wette. Sie wissen, dass er reagieren wird, wenn Sie den Einsatz erhöhen. Daher scheint ein Erhöhen die beste Taktik zu sein. Aber wenn Sie den Einsatz erhöhen, werden die verbleibenden zwei Spieler definitiv aussteigen. Aber wenn Sie mitgehen, haben Sie volles Vertrauen, dass die anderen beiden Spieler hinter Ihnen dasselbe tun werden. Wenn Sie Ihren Einsatz erhöhen, erhalten Sie eine Einheit, und wenn Sie einfach mitgehen, erhalten Sie zwei. Wenn Sie also anrufen, erhalten Sie einen höheren positiven Erwartungswert, und das wird auch der Fall sein beste Taktik.

Die mathematische Erwartung kann auch eine Vorstellung davon geben, welche Pokertaktiken weniger profitabel und welche profitabler sind. Wenn Sie beispielsweise eine bestimmte Hand spielen und davon ausgehen, dass Ihr Verlust einschließlich Ante durchschnittlich 75 Cent betragen wird, sollten Sie diese Hand aus folgendem Grund spielen: Dies ist besser als zu falten, wenn der Einsatz 1 $ beträgt.

Ein weiterer wichtiger Grund, das Konzept des Erwartungswerts zu verstehen, besteht darin, dass es Ihnen ein beruhigendes Gefühl gibt, unabhängig davon, ob Sie die Wette gewinnen oder nicht: Wenn Sie zum richtigen Zeitpunkt einen guten Einsatz getätigt oder gefoldet haben, wissen Sie, dass Sie verdient haben oder einen bestimmten Geldbetrag gespart hat, den der schwächere Spieler nicht sparen konnte. Es ist viel schwieriger auszusteigen, wenn Sie verärgert sind, weil Ihr Gegner eine stärkere Hand gezogen hat. Bei alledem wird das Geld, das Sie sparen, wenn Sie nicht spielen, anstatt zu wetten, zu Ihren Gewinnen für die Nacht oder den Monat addiert.

Denken Sie daran, dass Ihr Gegner Sie gecallt hätte, wenn Sie Ihre Hand gewechselt hätten, und wie Sie im Artikel „Fundamental Theorem of Poker“ sehen werden, ist dies nur einer Ihrer Vorteile. Sie sollten glücklich sein, wenn dies geschieht. Sie können sogar lernen, Spaß daran zu haben, eine Hand zu verlieren, weil Sie wissen, dass andere Spieler in Ihrer Position viel mehr verloren hätten.

Wie im Münzspiel-Beispiel zu Beginn besprochen, hängt die stündliche Gewinnquote mit der mathematischen Erwartung zusammen und dieses Konzept Besonders wichtig für Profispieler. Wenn Sie Poker spielen, sollten Sie im Geiste abschätzen, wie viel Sie in einer Spielstunde gewinnen können. In den meisten Fällen müssen Sie sich auf Ihre Intuition und Erfahrung verlassen, Sie können aber auch etwas Mathematik anwenden. Sie spielen zum Beispiel Draw Lowball und sehen drei Spieler, die 10 $ setzen und dann zwei Karten tauschen, was eine sehr schlechte Taktik ist. Sie können sich vorstellen, dass sie jedes Mal, wenn sie 10 $ setzen, etwa 2 $ verlieren. Jeder von ihnen macht dies acht Mal pro Stunde, was bedeutet, dass alle drei ungefähr 48 US-Dollar pro Stunde verlieren. Sie sind einer der verbleibenden vier Spieler, die ungefähr gleich groß sind, also müssen diese vier Spieler (und Sie unter ihnen) 48 $ aufteilen, wobei jeder einen Gewinn von 12 $ pro Stunde erzielt. Ihre stündlichen Quoten entsprechen in diesem Fall einfach Ihrem Anteil an dem Geldbetrag, den drei schlechte Spieler in einer Stunde verloren haben.

Über einen langen Zeitraum hinweg ist der Gesamtgewinn des Spielers die Summe seiner mathematischen Erwartungen in den einzelnen Händen. Je mehr Hände Sie mit positiver Erwartung spielen, desto mehr gewinnen Sie, und umgekehrt: Je mehr Hände Sie mit negativer Erwartung spielen, desto mehr verlieren Sie. Daher sollten Sie ein Spiel wählen, das Ihre positiven Erwartungen maximieren oder Ihre negativen Erwartungen negieren kann, damit Sie Ihren Stundengewinn maximieren können.

Positive mathematische Erwartung in der Spielstrategie

Wenn Sie wissen, wie man Karten zählt, können Sie gegenüber dem Casino einen Vorteil haben, wenn es Sie nicht bemerkt und Sie rauswirft. Casinos lieben betrunkene Spieler und können Kartenzählspieler nicht ausstehen. Der Vorteil ermöglicht es Ihnen, im Laufe der Zeit zu gewinnen. größere Zahl mal als zu verlieren. Gutes Management Kapital kann Ihnen bei der Verwendung von Erwartungswertberechnungen dabei helfen, mehr Gewinn aus Ihrem Vorteil zu ziehen und Ihre Verluste zu reduzieren. Ohne einen Vorteil ist es besser, das Geld für wohltätige Zwecke zu spenden. Beim Spiel an der Börse ergibt sich der Vorteil aus dem Spielsystem, das entsteht großer Gewinn als Verluste, Preisunterschiede und Provisionen. Kein noch so großes Geldmanagement kann ein schlechtes Spielsystem retten.

Eine positive Erwartung wird als ein Wert größer als Null definiert. Je größer diese Zahl ist, desto stärker ist die statistische Erwartung. Wenn der Wert weniger als Null, dann wird auch der mathematische Erwartungswert negativ sein. Je größer der Modul des negativen Werts, desto schlimmere Situation. Wenn das Ergebnis Null ist, ist die Wartezeit ausgeglichen. Sie können nur gewinnen, wenn Sie eine positive mathematische Erwartung und ein vernünftiges Spielsystem haben. Das Spielen nach Intuition führt zur Katastrophe.

Mathematische Erwartung und Aktienhandel

Die mathematische Erwartung ist ein ziemlich weit verbreiteter und beliebter statistischer Indikator bei der Durchführung des Börsenhandels auf den Finanzmärkten. Dieser Parameter dient zunächst der Analyse des Handelserfolgs. Es ist nicht schwer zu erraten, dass es mehr gibt gegebener Wert, umso mehr Grund, den untersuchten Beruf als erfolgreich zu betrachten. Natürlich kann die Analyse der Arbeit eines Händlers nicht allein anhand dieses Parameters durchgeführt werden. Der berechnete Wert kann jedoch in Kombination mit anderen Methoden zur Beurteilung der Arbeitsqualität die Genauigkeit der Analyse deutlich erhöhen.

Der mathematische Erwartungswert wird häufig bei Überwachungsdiensten für Handelskonten berechnet, sodass Sie die an der Einlage geleistete Arbeit schnell beurteilen können. Zu den Ausnahmen gehören Strategien, die das „Aussitzen“ unrentabler Trades nutzen. Ein Händler kann für einige Zeit Glück haben und daher kann es sein, dass es bei seiner Arbeit überhaupt keine Verluste gibt. In diesem Fall ist es nicht möglich, sich nur von der mathematischen Erwartung zu leiten, da die in der Arbeit verwendeten Risiken nicht berücksichtigt werden.

Im Markthandel wird die mathematische Erwartung am häufigsten verwendet, um die Rentabilität eines Unternehmens vorherzusagen Handelsstrategie oder wenn das Einkommen eines Händlers auf der Grundlage statistischer Daten seiner vorherigen Geschäfte vorhergesagt wird.

Im Hinblick auf das Geldmanagement ist es sehr wichtig zu verstehen, dass es bei Geschäften mit negativen Erwartungen kein Geldmanagementsystem gibt, das definitiv hohe Gewinne bringen kann. Wenn Sie unter diesen Bedingungen weiterhin an der Börse agieren, verlieren Sie unabhängig davon, wie Sie Ihr Geld verwalten, Ihr gesamtes Konto, egal wie groß es ursprünglich war.

Dieses Axiom gilt nicht nur für Spiele oder Trades mit negativer Erwartung, sondern auch für Spiele mit gleichen Chancen. Daher haben Sie nur dann eine Chance auf einen langfristigen Gewinn, wenn Sie Geschäfte mit positivem Erwartungswert tätigen.

Der Unterschied zwischen negativer und positiver Erwartung ist der Unterschied zwischen Leben und Tod. Es spielt keine Rolle, wie positiv oder negativ die Erwartung ist; Entscheidend ist nur, ob es positiv oder negativ ist. Bevor Sie über Geldmanagement nachdenken, sollten Sie daher ein Spiel mit positiven Erwartungen finden.

Wenn Sie dieses Spiel nicht haben, wird Ihnen kein Geldmanagement der Welt helfen. Wenn Sie hingegen eine positive Erwartung haben, können Sie diese durch richtiges Geldmanagement in eine exponentielle Wachstumsfunktion umwandeln. Es spielt keine Rolle, wie klein die positive Erwartung ist! Mit anderen Worten: Es spielt keine Rolle, wie profitabel ein Handelssystem auf der Grundlage eines einzelnen Vertrags ist. Wenn Sie ein System haben, das 10 $ pro Kontrakt und Trade einbringt (nach Provisionen und Slippage), können Sie Techniken des Geldmanagements nutzen, um es profitabler zu machen als ein System, das durchschnittlich 1.000 $ pro Trade einbringt (nach Abzug von Provisionen und Slippage).

Entscheidend ist nicht, wie profitabel das System war, sondern wie sicher man sagen kann, dass das System in Zukunft zumindest minimale Gewinne erzielen wird. Daher besteht die wichtigste Vorbereitung, die ein Händler treffen kann, darin, sicherzustellen, dass das System in Zukunft einen positiven Erwartungswert anzeigt.

Um in Zukunft einen positiven Erwartungswert zu haben, ist es sehr wichtig, die Freiheitsgrade Ihres Systems nicht einzuschränken. Dies wird nicht nur dadurch erreicht, dass die Anzahl der zu optimierenden Parameter eliminiert oder verringert wird, sondern auch durch eine größtmögliche Reduzierung mehr Regeln des Systems. Jeder Parameter, den Sie hinzufügen, jede Regel, die Sie festlegen, jede kleine Änderung, die Sie am System vornehmen, verringert die Anzahl der Freiheitsgrade. Idealerweise müssen Sie ein ziemlich primitives und bauen einfaches System, das in fast jedem Markt durchweg kleine Gewinne generiert. Auch hier ist es wichtig, dass Sie verstehen, dass es keine Rolle spielt, wie profitabel das System ist, solange es profitabel ist. Das Geld, das Sie durch den Handel verdienen, wird durch verdient effektives Management Geld.

Ein Handelssystem ist einfach ein Werkzeug, das Ihnen einen positiven Erwartungswert liefert, damit Sie das Geldmanagement nutzen können. Systeme, die nur in einem oder wenigen Märkten funktionieren (zumindest minimale Gewinne erzielen) oder für verschiedene Märkte unterschiedliche Regeln oder Parameter haben, werden höchstwahrscheinlich nicht lange genug in Echtzeit funktionieren. Das Problem der meisten technisch orientierten Händler besteht darin, dass sie zu viel Zeit und Mühe darauf verwenden, die verschiedenen Regeln und Parameterwerte des Handelssystems zu optimieren. Dies führt zu völlig entgegengesetzten Ergebnissen. Anstatt Energie und Computerzeit damit zu verschwenden, die Gewinne des Handelssystems zu steigern, richten Sie Ihre Energie darauf, die Zuverlässigkeit der Erzielung eines Mindestgewinns zu erhöhen.

Mit dem Wissen, dass Geldmanagement nur ein Spiel mit Zahlen ist, das den Einsatz positiver Erwartungen erfordert, kann ein Händler aufhören, nach dem „heiligen Gral“ des Aktienhandels zu suchen. Stattdessen kann er damit beginnen, seine Handelsmethode zu testen, um herauszufinden, wie logisch diese Methode ist und ob sie positive Erwartungen weckt. Richtige Methoden Das Geldmanagement, angewendet auf alle, auch sehr mittelmäßigen Handelsmethoden, erledigt den Rest der Arbeit selbst.

Damit jeder Trader bei seiner Arbeit erfolgreich sein kann, muss er drei wichtige Aufgaben lösen: . Um sicherzustellen, dass die Anzahl erfolgreicher Transaktionen die unvermeidlichen Fehler und Fehleinschätzungen übersteigt; Richten Sie Ihr Handelssystem so ein, dass Sie möglichst oft die Möglichkeit haben, Geld zu verdienen; Erzielen Sie stabile positive Ergebnisse aus Ihrem Betrieb.

Und hier kann für uns berufstätige Händler die mathematische Erwartungshaltung eine große Hilfe sein. Diese Bezeichnung in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine der Schlüsseltheorien. Mit seiner Hilfe können Sie eine durchschnittliche Schätzung einiger geben Zufallswert. Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ähnelt dem Schwerpunkt, wenn man sich alle möglichen Wahrscheinlichkeiten als Punkte mit unterschiedlichen Massen vorstellt.

In Bezug auf eine Handelsstrategie wird die mathematische Erwartung eines Gewinns (oder Verlusts) am häufigsten zur Bewertung ihrer Wirksamkeit herangezogen. Dieser Parameter ist definiert als die Summe der Produkte aus gegebenen Gewinn- und Verlusthöhen und der Eintrittswahrscheinlichkeit. Die entwickelte Handelsstrategie geht beispielsweise davon aus, dass 37 % aller Transaktionen Gewinn bringen und der verbleibende Teil – 63 % – unrentabel sein wird. Gleichzeitig beträgt der durchschnittliche Gewinn aus einer erfolgreichen Transaktion 7 US-Dollar und der durchschnittliche Verlust 1,4 US-Dollar. Berechnen wir die mathematische Erwartung des Handels mit diesem System:

Was bedeutet diese Zahl? Darin heißt es, dass wir nach den Regeln dieses Systems im Durchschnitt 1.708 US-Dollar aus jeder abgeschlossenen Transaktion erhalten. Da der resultierende Wirkungsgrad größer als Null ist, kann ein solches System für reale Arbeiten eingesetzt werden. Stellt sich als Ergebnis der Berechnung heraus, dass die mathematische Erwartung negativ ist, deutet dies bereits auf einen durchschnittlichen Verlust hin und ein solcher Handel führt in den Ruin.

Die Höhe des Gewinns pro Transaktion kann auch als relativer Wert in der Form % ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

– Prozentsatz des Einkommens pro 1 Transaktion – 5 %;

– Prozentsatz erfolgreicher Handelsgeschäfte – 62 %;

– Prozentsatz des Verlusts pro 1 Transaktion – 3 %;

– Prozentsatz erfolgloser Transaktionen – 38 %;

Das heißt, der durchschnittliche Handel bringt 1,96 %.

Es ist möglich, ein System zu entwickeln, das trotz des Vorherrschens unrentabler Geschäfte ein positives Ergebnis liefert, da sein MO>0 ist.

Warten allein reicht jedoch nicht aus. Es ist schwierig, Geld zu verdienen, wenn das System nur sehr wenige Handelssignale liefert. In diesem Fall ist seine Rentabilität mit Bankzinsen vergleichbar. Lassen Sie jede Operation im Durchschnitt nur 0,5 Dollar einbringen, aber was ist, wenn das System 1000 Operationen pro Jahr umfasst? Dies wird in relativ kurzer Zeit eine sehr erhebliche Menge sein. Daraus folgt logischerweise, dass ein anderer Kennzeichen Ein gutes Handelssystem kann als kurzes Halten von Positionen angesehen werden.