Online-Rechner. Grenzen lösen. Bemerkenswerte Grenzen. Beispiele für Lösungen

Es gibt mehrere bemerkenswerte Grenzen, aber die bekanntesten sind die erste und zweite bemerkenswerte Grenze. Das Bemerkenswerte an diesen Grenzwerten ist, dass sie weit verbreitet sind und man mit ihrer Hilfe andere Grenzwerte finden kann, die bei zahlreichen Problemen auftreten. Dies werden wir im praktischen Teil dieser Lektion tun. Um Probleme zu lösen, indem man sie auf die erste oder zweite bemerkenswerte Grenze reduziert, ist es nicht nötig, die darin enthaltenen Unsicherheiten offenzulegen, da die Werte dieser Grenzen seit langem von großen Mathematikern abgeleitet wurden.

Die erste bemerkenswerte Grenze heißt die Grenze des Verhältnisses des Sinus eines infinitesimalen Bogens zum gleichen Bogen, ausgedrückt im Bogenmaß:

Kommen wir zur Lösung von Problemen an der ersten bemerkenswerten Grenze. Hinweis: Wenn unter dem Grenzwertzeichen eine trigonometrische Funktion steht, ist dies ein fast sicheres Zeichen dafür, dass dieser Ausdruck auf den ersten bemerkenswerten Grenzwert reduziert werden kann.

Beispiel 1. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Stattdessen Ersatz X Null führt zu Unsicherheit:

Der Nenner ist Sinus, daher kann der Ausdruck auf die erste bemerkenswerte Grenze gebracht werden. Beginnen wir mit der Transformation:

Der Nenner ist der Sinus von drei X, aber der Zähler hat nur ein X, was bedeutet, dass Sie drei X im Zähler haben müssen. Wofür? Zur Einführung 3 X = A und erhalte den Ausdruck.

Und wir kommen zu einer Variation der ersten bemerkenswerten Grenze:

denn es spielt keine Rolle, welcher Buchstabe (Variable) in dieser Formel anstelle von X steht.

Wir multiplizieren X mit drei und dividieren sofort:

In Übereinstimmung mit der ersten bemerkenswerten Grenze, die wir bemerkt haben, ersetzen wir den Bruchausdruck:

Jetzt können wir dieses Limit endlich lösen:

Beispiel 2. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Die direkte Substitution führt wiederum zur Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

Um den ersten bemerkenswerten Grenzwert zu erhalten, ist es notwendig, dass das x unter dem Sinuszeichen im Zähler und nur das x im Nenner denselben Koeffizienten haben. Dieser Koeffizient sei gleich 2. Stellen Sie sich dazu den aktuellen Koeffizienten für x wie folgt vor. Wenn wir Operationen mit Brüchen durchführen, erhalten wir:

Beispiel 3. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Beim Einsetzen erhalten wir wieder die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

Sie verstehen wahrscheinlich bereits, dass Sie aus dem ursprünglichen Ausdruck die erste wunderbare Grenze multipliziert mit der ersten wunderbaren Grenze erhalten können. Dazu zerlegen wir die Quadrate des x im Zähler und des Sinus im Nenner in identische Faktoren, und um die gleichen Koeffizienten für x und Sinus zu erhalten, dividieren wir das x im Zähler durch 3 und multiplizieren sofort um 3. Wir erhalten:

Beispiel 4. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Wieder einmal erhalten wir die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“:

Wir können das Verhältnis der ersten beiden bemerkenswerten Grenzen ermitteln. Wir teilen sowohl den Zähler als auch den Nenner durch x. Damit dann die Koeffizienten für Sinus und x übereinstimmen, multiplizieren wir das obere x mit 2 und dividieren sofort durch 2, und multiplizieren das untere x mit 3 und dividieren sofort durch 3. Wir erhalten:

Beispiel 5. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Und wieder die Unsicherheit von „Null geteilt durch Null“:

Aus der Trigonometrie wissen wir, dass der Tangens das Verhältnis von Sinus zu Cosinus ist und der Cosinus von Null gleich eins ist. Wir führen die Transformationen durch und erhalten:

Beispiel 6. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Die trigonometrische Funktion unter dem Vorzeichen einer Grenze legt wiederum die Verwendung der ersten bemerkenswerten Grenze nahe. Wir stellen es als Verhältnis von Sinus zu Cosinus dar.

Die erste bemerkenswerte Grenze ist die folgende Gleichheit:

\begin(Gleichung)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung)

Da für $\alpha\to(0)$ $\sin\alpha\to(0)$ gilt, sagt man, dass der erste bemerkenswerte Grenzwert eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ offenbart. Im Allgemeinen kann in Formel (1) anstelle der Variablen $\alpha$ ein beliebiger Ausdruck unter dem Sinuszeichen und im Nenner platziert werden, sofern zwei Bedingungen erfüllt sind:

Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner gehen gleichzeitig gegen Null, d.h. Es besteht eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$.
Die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner sind gleich.

Häufig werden auch Folgerungen aus der ersten bemerkenswerten Grenze verwendet:

\begin(Gleichung) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung) \begin(Gleichung) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(gleichung) \begin(gleichung) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(Gleichung)

Elf Beispiele werden auf dieser Seite gelöst. Beispiel Nr. 1 ist dem Beweis der Formeln (2)-(4) gewidmet. Die Beispiele Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 und Nr. 5 enthalten Lösungen mit ausführlichen Kommentaren. Die Beispiele Nr. 6-10 enthalten nahezu kommentarlose Lösungen, da in den vorherigen Beispielen ausführliche Erläuterungen gegeben wurden. Die Lösung verwendet einige trigonometrische Formeln das lässt sich finden.

Ich möchte darauf hinweisen, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen in Verbindung mit der Unsicherheit $\frac (0) (0)$ nicht unbedingt die Anwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts bedeutet. Manchmal reichen einfache trigonometrische Transformationen aus – siehe zum Beispiel.

Beispiel Nr. 1

Beweisen Sie, dass $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Da $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, dann:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ und $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Das:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Nehmen wir die Änderung $\alpha=\sin(y)$ vor. Da $\sin(0)=0$, dann gilt aus der Bedingung $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Darüber hinaus gibt es eine Umgebung von Null, in der $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, also:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.

c) Machen wir die Ersetzung $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, dann sind die Bedingungen $\alpha\to(0)$ und $y\to(0)$ äquivalent. Darüber hinaus gibt es eine Umgebung von Null, in der $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, daher erhalten wir basierend auf den Ergebnissen von Punkt a):

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Die Gleichheit $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ist bewiesen.

Die Gleichungen a), b), c) werden oft zusammen mit der ersten bemerkenswerten Grenze verwendet.

Beispiel Nr. 2

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ und $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, d.h. und sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs gleichzeitig gegen Null tendieren, dann haben wir es hier mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun, d. h. Erledigt. Darüber hinaus ist klar, dass die Ausdrücke im Sinuszeichen und im Nenner übereinstimmen (d. h. erfüllt sind):

Somit sind beide am Anfang der Seite aufgeführten Bedingungen erfüllt. Daraus folgt, dass die Formel anwendbar ist, d.h. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Antwort: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ und $\lim_(x\to(0))x=0$, dann haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $\frac zu tun (0 )(0)$, d.h. Erledigt. Allerdings stimmen die Ausdrücke unter dem Sinuszeichen und im Nenner nicht überein. Hier müssen Sie den Ausdruck im Nenner anpassen das erforderliche Formular. Wir brauchen den Ausdruck $9x$ im Nenner, dann wird er wahr. Im Wesentlichen fehlt uns im Nenner ein Faktor von $9$, was nicht so schwer einzugeben ist – multiplizieren Sie einfach den Ausdruck im Nenner mit $9$. Um die Multiplikation mit 9 $ zu kompensieren, müssen Sie natürlich sofort durch 9 $ dividieren:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Jetzt stimmen die Ausdrücke im Nenner und unter dem Sinuszeichen überein. Beide Bedingungen für den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sind erfüllt. Daher ist $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Und das bedeutet:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ und $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, haben wir es hier mit der Unsicherheit der Form zu tun $\frac(0)(0)$. Allerdings wird die Form der ersten bemerkenswerten Grenze verletzt. Ein Zähler, der $\sin(5x)$ enthält, erfordert einen Nenner von $5x$. In dieser Situation ist es am einfachsten, den Zähler durch 5x$ zu dividieren und sofort mit 5x$ zu multiplizieren. Darüber hinaus führen wir eine ähnliche Operation mit dem Nenner durch, indem wir $\tg(8x)$ mit $8x$ multiplizieren und dividieren:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Wenn wir um $x$ reduzieren und die Konstante $\frac(5)(8)$ außerhalb des Grenzwertzeichens nehmen, erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Beachten Sie, dass $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ die Anforderungen für den ersten bemerkenswerten Grenzwert vollständig erfüllt. Um $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ zu finden, ist die folgende Formel anwendbar:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Beispiel Nr. 5

Finden Sie $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Da $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (denken Sie daran, dass $\cos(0)=1$) und $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, dann haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Um jedoch die erste bemerkenswerte Grenze anzuwenden, sollten Sie den Kosinus im Zähler entfernen und zu Sinus (um dann die Formel anzuwenden) oder Tangens (um dann die Formel anzuwenden) übergehen. Dies kann mit der folgenden Transformation erfolgen:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Gehen wir zurück zum Limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Der Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kommt bereits der Form nahe, die für den ersten bemerkenswerten Grenzwert erforderlich ist. Lassen Sie uns ein wenig mit dem Bruch $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ arbeiten und ihn an die erste bemerkenswerte Grenze anpassen (beachten Sie, dass die Ausdrücke im Zähler und unter dem Sinus übereinstimmen müssen):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Kehren wir zum fraglichen Grenzwert zurück:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Beispiel Nr. 6

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ und $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, dann wir haben es mit der Unsicherheit $\frac(0)(0)$ zu tun. Lassen Sie es uns anhand der ersten bemerkenswerten Grenze aufdecken. Gehen wir dazu vom Kosinus zum Sinus über. Da $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, dann:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Wenn wir im gegebenen Grenzwert auf Sinuswerte übergehen, erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Beispiel Nr. 7

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ abhängig von $\alpha\neq \ beta$.

Ausführliche Erläuterungen wurden bereits früher gegeben, aber hier stellen wir lediglich fest, dass wiederum die Unsicherheit $\frac(0)(0)$ besteht. Gehen wir mithilfe der Formel vom Kosinus zum Sinus über

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Mit dieser Formel erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Beispiel Nr. 8

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Da $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (denken Sie daran, dass $\sin(0)=\tg(0)=0$) und $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, dann haben wir es hier mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Teilen wir es wie folgt auf:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Beispiel Nr. 9

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Da $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ und $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, dann gibt es eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Bevor mit der Erweiterung fortgefahren wird, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass in den Formeln die Variable $\alpha \to 0$ ist). Der einfachste Weg ist die Einführung der Variablen $t=x-3$. Aus Gründen der Bequemlichkeit weiterer Transformationen (dieser Vorteil ist im Verlauf der Lösung unten zu sehen) lohnt es sich jedoch, die folgende Ersetzung vorzunehmen: $t=\frac(x-3)(2)$. Ich stelle fest, dass beide Ersetzungen anwendbar sind in diesem Fall, schon die zweite Ersetzung ermöglicht es Ihnen, weniger mit Brüchen zu arbeiten. Da $x\to(3)$, dann $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Antwort: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Beispiel Nr. 10

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Wieder einmal haben wir es mit der Unsicherheit $\frac(0)(0)$ zu tun. Bevor mit der Erweiterung fortgefahren wird, ist es zweckmäßig, die Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (beachten Sie, dass die Variable in den Formeln $\alpha\to(0)$ ist). Der einfachste Weg besteht darin, die Variable $t=\frac(\pi)(2)-x$ einzuführen. Da $x\to\frac(\pi)(2)$, dann $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Antwort: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Beispiel Nr. 11

Finden Sie die Grenzwerte $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2). \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In diesem Fall müssen wir nicht die erste wunderbare Grenze verwenden. Bitte beachten Sie: Sowohl im ersten als auch im zweiten Limit gibt es nur trigonometrische Funktionen und Zahlen. In Beispielen dieser Art ist es oft möglich, den unter dem Grenzzeichen stehenden Ausdruck zu vereinfachen. Darüber hinaus verschwindet die Unsicherheit nach der oben genannten Vereinfachung und Reduzierung einiger Faktoren. Ich habe dieses Beispiel nur zu einem Zweck angeführt: um zu zeigen, dass das Vorhandensein trigonometrischer Funktionen unter dem Grenzwertzeichen nicht unbedingt die Verwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts bedeutet.

Da $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (denken Sie daran, dass $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) und $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ich möchte Sie daran erinnern, dass $\cos\frac(\pi)(2)=0$), dann gilt Umgang mit Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir die erste wunderbare Grenze nutzen müssen. Um die Unsicherheit aufzuzeigen, reicht es aus, zu berücksichtigen, dass $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Eine ähnliche Lösung findet sich im Lösungsbuch von Demidovich (Nr. 475). Was die zweite Grenze betrifft, haben wir wie in den vorherigen Beispielen in diesem Abschnitt eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Warum entsteht es? Es entsteht, weil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ und $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Wir verwenden diese Werte, um die Ausdrücke in Zähler und Nenner umzuwandeln. Ziel unseres Handelns ist es, die Summe im Zähler und Nenner als Produkt niederzuschreiben. Übrigens ist es innerhalb eines ähnlichen Typs oft sinnvoll, eine Variable so zu ändern, dass die neue Variable gegen Null tendiert (siehe zum Beispiel Beispiele Nr. 9 oder Nr. 10 auf dieser Seite). Allerdings in in diesem Beispiel Es macht keinen Sinn, sie zu ersetzen, obwohl das Ersetzen der Variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$ bei Bedarf nicht schwer zu implementieren ist.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Wie Sie sehen, mussten wir die erste wunderbare Grenze nicht anwenden. Natürlich können Sie dies tun, wenn Sie möchten (siehe Hinweis unten), aber es ist nicht notwendig.

Was ist die Lösung unter Verwendung des ersten bemerkenswerten Grenzwerts? Anzeigen Ausblenden

Mit der ersten bemerkenswerten Grenze erhalten wir:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ rechts))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Antwort: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Konzepte von Grenzen von Folgen und Funktionen. Wenn es notwendig ist, den Grenzwert einer Folge zu finden, wird er wie folgt geschrieben: lim xn=a. In einer solchen Folge von Folgen strebt xn gegen a und n gegen Unendlich. Die Sequenz wird normalerweise als Reihe dargestellt, zum Beispiel:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Sequenzen werden in steigende und fallende Sequenzen unterteilt. Zum Beispiel:
xn=n^2 – aufsteigende Folge
yn=1/n – Sequenz
So zum Beispiel der Grenzwert der Folge xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Diese Grenze gleich Null, da n→∞ und die Folge 1/n^2 gegen Null geht.

Typischerweise tendiert eine variable Größe x zu einem endlichen Grenzwert a, und x nähert sich ständig a, und die Größe a ist konstant. Dies lässt sich wie folgt schreiben: limx =a, wobei n auch gegen Null oder Unendlich gehen kann. Es gibt unendliche Funktionen, deren Grenzwert gegen Unendlich geht. In anderen Fällen, wenn die Funktion beispielsweise einen Zug verlangsamt, ist es möglich, dass der Grenzwert gegen Null tendiert.
Grenzwerte haben eine Reihe von Eigenschaften. Normalerweise hat jede Funktion nur eine Grenze. Dies ist die Haupteigenschaft des Grenzwerts. Weitere sind unten aufgeführt:
* Betragslimit gleich der Summe Grenzen:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Das Produktlimit entspricht dem Produkt der Limits:
lim(xy)=lim x*lim y
* Der Grenzwert des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Der konstante Faktor wird außerhalb des Grenzzeichens genommen:
lim(Cx)=C lim x
Gegeben eine Funktion 1 /x, in der x →∞, ist ihr Grenzwert Null. Wenn x→0, ist der Grenzwert einer solchen Funktion ∞.
Für trigonometrische Funktionen gibt es einige dieser Regeln. Da die Funktion sin x immer gegen Eins strebt, wenn sie gegen Null geht, gilt für sie die Identität:
lim sin x/x=1

In einer Reihe von Funktionen gibt es Funktionen, bei deren Berechnung der Grenzen Unsicherheit entsteht – eine Situation, in der der Grenzwert nicht berechnet werden kann. Der einzige Ausweg aus dieser Situation ist L'Hopital. Es gibt zwei Arten von Unsicherheiten:
* Unsicherheit der Form 0/0
* Unsicherheit der Form ∞/∞
Zum Beispiel angesichts der Grenze der folgende Typ: lim f(x)/l(x) und f(x0)=l(x0)=0. In diesem Fall entsteht eine Unsicherheit der Form 0/0. Um ein solches Problem zu lösen, werden beide Funktionen differenziert und anschließend der Grenzwert des Ergebnisses ermittelt. Für Unsicherheiten vom Typ 0/0 beträgt der Grenzwert:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (bei x→0)
Die gleiche Regel gilt auch für Unsicherheiten vom Typ ∞/∞. Aber in diesem Fall gilt die folgende Gleichung: f(x)=l(x)=∞
Mithilfe der L'Hopital-Regel können Sie die Werte aller Grenzwerte ermitteln, in denen Unsicherheiten auftreten. Voraussetzung dafür

Volumen - keine Fehler beim Finden von Derivaten. So ist beispielsweise die Ableitung der Funktion (x^2)" gleich 2x. Daraus können wir schließen, dass:
f"(x)=nx^(n-1)

Der erste bemerkenswerte Grenzwert wird häufig zur Berechnung von Grenzwerten verwendet, die Sinus, Arkussinus, Tangens, Arkustangens und die daraus resultierenden Unsicherheiten von Null dividiert durch Null enthalten.

Formel

Die Formel für den ersten bemerkenswerten Grenzwert lautet: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Wir stellen fest, dass wir für $ \alpha\to 0 $ $ \sin\alpha \to 0 $ erhalten, wir haben also Nullen im Zähler und Nenner. Daher wird die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts benötigt, um die Unsicherheiten $ \frac(0)(0) $ aufzudecken.

Um die Formel anzuwenden, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

Die im Sinus und im Nenner des Bruchs enthaltenen Ausdrücke sind gleich
Ausdrücke im Sinus und Nenner eines Bruchs tendieren gegen Null

Aufmerksamkeit! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Die Ausdrücke unter dem Sinus und im Nenner sind zwar gleich, jedoch $ 2x ^2+1 = 1 $, bei $ x\to 0 $. Die zweite Bedingung ist nicht erfüllt, daher KÖNNEN Sie die Formel NICHT anwenden!

Folgen

Sehr selten sieht man in Aufgaben eine reine erste wunderbare Grenze, in der man die Antwort sofort aufschreiben könnte. In der Praxis sieht alles etwas komplizierter aus, aber für solche Fälle wird es nützlich sein, die Konsequenzen der ersten bemerkenswerten Grenze zu kennen. Dank ihnen können Sie schnell die erforderlichen Grenzwerte berechnen.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Beispiele für Lösungen

Betrachten wir den ersten bemerkenswerten Grenzwert, Beispiele seiner Lösung zur Berechnung von Grenzwerten, die trigonometrische Funktionen und die Unsicherheit $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $ enthalten

Beispiel 1
Berechnen Sie $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $
Lösung
Schauen wir uns den Grenzwert an und stellen fest, dass er einen Sinus enthält. Als nächstes setzen wir $ x = 0 $ in den Zähler und Nenner ein und erhalten die Unsicherheit Null dividiert durch Null: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Bereits zwei Anzeichen dafür, dass wir eine wunderbare Grenze anwenden müssen, aber es gibt eine kleine Nuance: Wir können die Formel nicht sofort anwenden, da sich der Ausdruck unter dem Sinuszeichen vom Ausdruck im Nenner unterscheidet. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Daher werden wir ihn mithilfe elementarer Transformationen des Zählers in $2x$ umwandeln. Dazu nehmen wir die beiden aus dem Nenner des Bruchs als separaten Faktor heraus. Es sieht so aus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Bitte Beachten Sie, dass am Ende $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ gemäß der Formel erhalten wurde. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden zur Verfügung stellen detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten!
Antwort
$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Beispiel 2
Finden Sie $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $
Lösung
Wie immer müssen Sie zunächst die Art der Unsicherheit kennen. Wenn es Null geteilt durch Null ist, achten wir auf das Vorhandensein eines Sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Diese Unsicherheit ermöglicht es uns, die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts zu verwenden, aber der Ausdruck aus dem Nenner ist nicht gleich dem Argument des Sinus? Daher kann die Formel nicht „frontal“ angewendet werden. Es ist notwendig, den Bruch durch das Argument des Sinus zu multiplizieren und zu dividieren: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Jetzt schreiben wir die Eigenschaften der Grenzwerte auf: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Der zweite Grenzwert passt genau zur Formel und ist gleich zu eins: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Ersetzen Sie $ x = 0 $ erneut durch einen Bruch und wir erhalten die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Um es zu beseitigen, genügt es, $ x $ aus Klammern zu nehmen und zu reduzieren um: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$
Antwort
$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Beispiel 4
Berechnen Sie $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $
Lösung
Beginnen wir die Berechnung mit der Substitution $ x=0 $. Als Ergebnis erhalten wir die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Der Grenzwert enthält Sinus und Tangens, was darauf hinweist mögliche Entwicklung Situationen unter Verwendung der ersten bemerkenswerten Grenzwertformel. Lassen Sie uns den Zähler und Nenner des Bruchs in eine Formel und Konsequenz umwandeln: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Jetzt sehen wir, dass es im Zähler und Nenner Ausdrücke gibt, die zur Formel und den Konsequenzen passen. Das Sinusargument und das Tangentialargument sind für die entsprechenden Nenner gleich $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$
Antwort
$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Der Artikel „Die erste bemerkenswerte Grenze, Beispiele für Lösungen“ befasste sich mit Fällen, in denen es ratsam ist, diese Formel zu verwenden, und ihren Konsequenzen.