Warteschlangensystem. Abschlussarbeit: Konzept und Klassifizierung von Warteschlangensystemen
Bei der Recherche zu Betriebsabläufen stößt man häufig auf Systeme, die für den wiederverwendbaren Einsatz bei der Lösung ähnlicher Probleme konzipiert sind. Die dabei auftretenden Prozesse werden aufgerufen Serviceprozesse, und Systeme - Systeme Schlange stehen(SMO). Beispiele für solche Systeme sind Telefonanlagen, Reparaturwerkstätten, Computerkomplexe, Fahrkartenschalter, Geschäfte, Friseure usw.
Jedes QS besteht aus einer bestimmten Anzahl von Serviceeinheiten (Instrumente, Geräte, Punkte, Stationen), die wir nennen Servicekanäle. Kanäle können Kommunikationsleitungen, Arbeitspunkte, Computer, Verkäufer usw. sein. Basierend auf der Anzahl der Kanäle wird das QS unterteilt Ein-Kanal Und Mehrkanal.
Bewerbungen gehen beim CMO in der Regel nicht regelmäßig, sondern stichprobenartig ein und bilden das sogenannte Zufälliger Bewerbungsfluss (Anforderungen). Auch die Bearbeitung von Bewerbungen läuft im Allgemeinen noch einige Zeit weiter. zufällige Zeit. Die Zufälligkeit des Anfrageflusses und der Servicezeit führt dazu, dass das QS ungleichmäßig ausgelastet ist: in manchen Zeiträumen sehr viele große Menge Anfragen (sie stehen entweder in der Warteschlange oder lassen das QS unbearbeitet); in anderen Zeiträumen arbeitet das QS mit Unterlast oder ist im Leerlauf.
Das Thema der Warteschlangentheorie ist die Konstruktion Mathematische Modelle, Verknüpfung der spezifizierten Betriebsbedingungen des QS (Anzahl der Kanäle, deren Produktivität, Art des Anfrageflusses usw.) mit Leistungsindikatoren des QS, die seine Fähigkeit beschreiben, den Anfragefluss zu bewältigen.
Als QS-Leistungsindikatoren verwendet: die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit bearbeiteten Anträge; durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange; durchschnittliche Wartezeit für den Service; die Möglichkeit einer Dienstverweigerung ohne Wartezeit; die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange einen bestimmten Wert überschreitet usw.
QSs werden in zwei Haupttypen (Klassen) unterteilt: QS mit Ausfällen Und QS mit Warten (Warteschlangen). Bei einem QS mit Ablehnungen erhält ein Antrag, der zu einem Zeitpunkt eingeht, an dem alle Kanäle belegt sind, eine Absage, verlässt den QS und nimmt nicht am weiteren Serviceprozess teil (z. B. einer Anfrage nach einem Telefongespräch zu einem Zeitpunkt, an dem alle Kanäle belegt sind). beschäftigt, erhält eine Absage und verlässt das QS unversorgt). In einem wartenden QS wird eine Anfrage, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle Kanäle belegt sind, nicht verlassen, sondern zur Bearbeitung in die Warteschlange gestellt.
QS mit Erwartung sind unterteilt in verschiedene Typen je nachdem, wie die Warteschlange organisiert ist: mit begrenzter oder unbegrenzter Warteschlangenlänge, mit begrenzter Wartezeit usw.
Für die Klassifizierung von SMO ist es wichtig Servicedisziplin, das das Verfahren für die Auswahl der Bewerbungen aus den eingegangenen Bewerbungen und das Verfahren für deren Verteilung auf freie Kanäle festlegt. Auf dieser Grundlage kann die Bearbeitung einer Anwendung nach dem Prinzip „Wer zuerst kommt – mahlt zuerst“, „Zuletzt kommt – mahlt zuerst“ organisiert (diese Reihenfolge kann beispielsweise bei der Entnahme von Produkten aus einem Lager zur Wartung verwendet werden, da Letztere sind oft leichter zugänglich) oder Prioritätsdienst (wenn die wichtigsten Anfragen zuerst bearbeitet werden). Die Priorität kann entweder absolut sein, wenn eine wichtigere Anfrage eine reguläre Anfrage aus dem Dienst „verdrängt“ (z. B. wird im Notfall die geplante Arbeit der Reparaturteams unterbrochen, bis der Notfall behoben ist), oder relativ, wenn Eine wichtigere Anfrage erhält nur die „beste“ Platzwarteschlange.
Das Konzept eines Markov-Zufallsprozesses
Der Arbeitsprozess des QS ist zufälliger Prozess.
Unter zufälliger (probabilistischer oder stochastischer) Prozess bezieht sich auf den Prozess der Zustandsänderung eines Systems im Laufe der Zeit gemäß Wahrscheinlichkeitsgesetzen.
Der Vorgang wird aufgerufen Prozess mit diskreten Zuständen, wenn es mögliche Zustände gibt S_1,S_2,\ldots,S_n können im Voraus aufgelistet werden, und der Übergang des Systems von Zustand zu Zustand erfolgt sofort (in einem Sprung). Der Vorgang wird aufgerufen Prozess mit kontinuierliche Zeit , wenn die Zeitpunkte möglicher Übergänge des Systems von Zustand zu Zustand nicht im Voraus festgelegt, sondern zufällig sind.
Der QS-Betriebsprozess ist ein Zufallsprozess mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit. Das bedeutet, dass sich der Zustand des QS schlagartig ändert zufällige Momente das Eintreten einiger Ereignisse (z. B. das Eintreffen einer neuen Anfrage, das Ende des Dienstes usw.).
Die mathematische Analyse der Operation eines QS wird erheblich vereinfacht, wenn der Prozess dieser Operation Markovianisch ist. Der Zufallsprozess wird aufgerufen Markovianer oder zufälliger Prozess ohne Konsequenzen, wenn für jeden Moment t_0 die probabilistischen Eigenschaften des Prozesses in der Zukunft nur von seinem Zustand in abhängen dieser Moment t_0 und hängen nicht davon ab, wann und wie das System diesen Zustand erreicht hat.
Ein Beispiel für einen Markov-Prozess: System S ist ein Taximeter. Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t wird durch die Anzahl der Kilometer (Zehntelkilometer) charakterisiert, die das Auto bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt hat. Lassen Sie den Zähler zum Zeitpunkt t_0 S_0 anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zähler zum Zeitpunkt t>t_0 diese oder jene Kilometerzahl (genauer gesagt die entsprechende Rubelzahl) S_1 anzeigt, hängt von S_0 ab, hängt jedoch nicht davon ab, zu welchen Zeitpunkten sich die Zählerstände vor dem geändert haben Moment t_0.
Viele Prozesse können näherungsweise als Markovian betrachtet werden. Zum Beispiel der Prozess des Schachspielens; System S ist eine Gruppe von Schachfiguren. Der Zustand des Systems wird durch die Anzahl der zum Zeitpunkt t_0 auf dem Brett verbliebenen gegnerischen Figuren charakterisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Moment t>t_0 der materielle Vorteil auf der Seite eines der Gegner liegt, hängt in erster Linie vom Zustand ab, in dem sich das System im Moment t_0 befindet, und nicht davon, wann und in welcher Reihenfolge die Figuren vom Brett verschwunden sind zum Moment t_0 .
In manchen Fällen kann die Vorgeschichte der betrachteten Prozesse einfach vernachlässigt und Markov-Modelle zu ihrer Untersuchung herangezogen werden.
Beim Analysieren zufällige Prozesse Bei diskreten Zuständen ist es zweckmäßig, ein geometrisches Schema zu verwenden – das sogenannte Zustandsgraph. Typischerweise werden Systemzustände durch Rechtecke (Kreise) dargestellt und mögliche Übergänge von Zustand zu Zustand werden durch Pfeile (orientierte Bögen) dargestellt, die die Zustände verbinden.
Beispiel 1. Erstellen Sie einen Zustandsgraphen des folgenden Zufallsprozesses: Gerät S besteht aus zwei Knoten, von denen jeder zu einem zufälligen Zeitpunkt ausfallen kann. Anschließend beginnen Sie sofort mit der Reparatur des Knotens, die für eine unbekannte, zufällige Zeit fortgesetzt wird.
Lösung. Mögliche Zustände Systeme: S_0 – beide Knoten sind betriebsbereit; S_1 – die erste Einheit wird repariert, die zweite ist betriebsbereit; S_2 – die zweite Einheit wird repariert, die erste ist betriebsbereit; S_3 – beide Einheiten werden repariert. Das Systemdiagramm ist in Abb. dargestellt. 1.
Ein beispielsweise von S_0 nach S_1 gerichteter Pfeil bedeutet einen Übergang des Systems zum Zeitpunkt des Ausfalls des ersten Knotens, von S_1 nach S_0 einen Übergang zum Zeitpunkt des Abschlusses der Reparatur dieses Knotens.
Im Diagramm fehlen Pfeile von S_0 nach S_3 und von S_1 nach S_2. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass angenommen wird, dass Knotenausfälle unabhängig voneinander sind und beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Ausfalls zweier Knoten (Übergang von S_0 zu S_3) oder des gleichzeitigen Abschlusses von Reparaturen zweier Knoten (Übergang von S_3 zu S_0) kann vernachlässigt werden.
Für eine mathematische Beschreibung eines Markov-Zufallsprozesses mit diskreten Zuständen und kontinuierlich fließender Zeit in einem QS lernen wir eines der wichtigen Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen – das Konzept eines Ereignisflusses.
Event-Streams
Unter Strom der Ereignisse wird als Abfolge homogener Ereignisse verstanden, die zu zufälligen Zeitpunkten aufeinander folgen (z. B. eine Reihe von Anrufen in einer Telefonzentrale, eine Reihe von Computerausfällen, eine Reihe von Kunden usw.).
Die Strömung wird charakterisiert Intensität\lambda – die Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen oder die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen, die pro Zeiteinheit in das QS gelangen.
Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen regulär, wenn Ereignisse in bestimmten gleichen Zeitabständen aufeinander folgen. Beispielsweise ist der Produktfluss am Fließband einer Montagehalle (mit konstanter Geschwindigkeit) regelmäßig.
Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen stationär, wenn seine probabilistischen Eigenschaften nicht von der Zeit abhängen. Insbesondere ist die Intensität einer stationären Strömung ein konstanter Wert: \lambda(t)=\lambda. Beispielsweise ist der Autostrom auf einer Stadtstraße tagsüber nicht stationär, aber dieser Fluss kann tagsüber, beispielsweise während der Hauptverkehrszeiten, als stationär angesehen werden. Bitte beachten Sie, dass im letzteren Fall die tatsächliche Anzahl der pro Zeiteinheit (z. B. jede Minute) vorbeifahrenden Autos deutlich voneinander abweichen kann, ihre durchschnittliche Anzahl jedoch konstant ist und nicht von der Zeit abhängt.
Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen fließen ohne Nachwirkung, wenn für zwei beliebige nicht überlappende Zeiträume \tau_1 und \tau_2 – die Anzahl der Ereignisse, die auf einen von ihnen fallen, nicht von der Anzahl der Ereignisse abhängt, die auf die anderen fallen. Beispielsweise hat der Zustrom von Fahrgästen, die die U-Bahn betreten, praktisch keine Auswirkungen. Und beispielsweise hat der Strom der Kunden, die mit Einkäufen die Theke verlassen, bereits Nachwirkungen (schon allein deshalb, weil der Zeitabstand zwischen einzelnen Kunden nicht kleiner sein darf als die Mindestbedienungszeit für jeden von ihnen).
Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen normal, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Ereignisse in einem kleinen (elementaren) Zeitintervall \Updelta t auftreten, im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses vernachlässigbar ist. Mit anderen Worten: Ein Ereignisstrom ist gewöhnlich, wenn darin Ereignisse einzeln und nicht in Gruppen auftreten. Beispielsweise ist der Zustrom von Zügen, der sich einem Bahnhof nähert, normal, der Zustrom von Autos jedoch nicht.
Der Ablauf der Ereignisse wird als der einfachste (oder stationäres Poisson), wenn es gleichzeitig stationär und gewöhnlich ist und keine Nachwirkung hat. Der Name „einfachste“ erklärt sich aus der Tatsache, dass das QS mit den einfachsten Flüssen die einfachsten hat mathematische Beschreibung. Beachten Sie, dass ein regulärer Fluss nicht der „einfachste“ ist, da er eine Nachwirkung hat: Die Zeitpunkte des Auftretens von Ereignissen in einem solchen Fluss sind streng festgelegt.
Der einfachste Fluss als Grenzwert entsteht in der Theorie der Zufallsprozesse ebenso selbstverständlich wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie Normalverteilung erhält man als Grenzwert für die Summe der Zufallsvariablen: beim Überlagern (Superposition) genügt es große Zahl n unabhängige, stationäre und gewöhnliche Flüsse (in der Intensität miteinander vergleichbar). \lambda_i~(i=1,2,\ldots,n) das Ergebnis ist ein Fluss nahe dem einfachsten mit der Intensität \lambda, gleich dem Betrag Intensitäten der eingehenden Ströme, d. h. \textstyle(\lambda=\sum\limits_(i=1)^(n)\lambda_i). Betrachten wir auf der Zeitachse Ot (Abb. 1) den einfachsten Ereignisfluss als eine unbegrenzte Folge zufälliger Punkte.
Es kann gezeigt werden, dass für den einfachsten Fluss die Anzahl m der Ereignisse (Punkte), die auf einen beliebigen Zeitabschnitt \tau fallen, verteilt ist Poissonsches Gesetz
P_(m)(\tau)= \frac((\lambda\tau)^m)(m\,e^{-\lambda\tau}, !}
wofür erwarteter Wert zufällige Variable gleich seiner Varianz: a=\sigma^2=\lambda\tau.
Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Zeit \tau (m=0) kein Ereignis eintritt, gleich
P_0(\tau)=e^(-\lambda\tau).
Finden wir die Verteilung des Zeitintervalls T zwischen zwei beliebigen benachbarten Ereignissen des einfachsten Flusses.
Gemäß (2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Zeitspanne der Länge t keines der folgenden Ereignisse eintritt, gleich
P(T\geqslant t)=e^(-\lambda t),
und die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses, d.h. Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen T, ist
F(t)=P(T Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist die Ableitung ihrer Verteilungsfunktion (Abb. 3), d.h. \varphi(t)=F"(t)=\lambda e^(-\lambda t). Die durch die Wahrscheinlichkeitsdichte (5) oder Verteilungsfunktion (4) angegebene Verteilung wird aufgerufen indikativ(oder exponentiell). Somit hat das Zeitintervall zwischen zwei benachbarten beliebigen Ereignissen eine Exponentialverteilung, für die der mathematische Erwartungswert gleich der Standardabweichung der Zufallsvariablen ist A=\sigma=\frac(1)(\lambda) Und umgekehrt entsprechend der Strömungsintensität \lambda. Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialverteilung (die nur der Exponentialverteilung innewohnt) ist folgende: Wenn ein nach dem Exponentialgesetz verteilter Zeitraum bereits eine gewisse Zeit \tau gedauert hat, hat dies keinerlei Einfluss auf die Verteilung Gesetz des verbleibenden Teils des Intervalls (T-\tau): Es ist dasselbe wie das Verteilungsgesetz des gesamten Intervalls T. Mit anderen Worten: Für ein Zeitintervall T zwischen zwei aufeinanderfolgenden benachbarten Ereignissen eines exponentiell verteilten Flusses haben Informationen darüber, wie lange dieses Intervall stattgefunden hat, keinen Einfluss auf das Verteilungsgesetz des verbleibenden Teils. Diese Eigenschaft des Exponentialgesetzes ist im Wesentlichen eine andere Formulierung für die „Abwesenheit von Nachwirkungen“ – die Haupteigenschaft des einfachsten Flusses. Für die einfachste Strömung mit der Intensität \lambda ist die Trefferwahrscheinlichkeit elementar (klein) der Zeitabstand \Updelta t mindestens eines Strömungsereignisses ist nach (4) gleich P_(\Delta t)= P(T<\Delta t)= 1-e^{-\lambda\Delta t}\approx\lambda\Delta t.
(Beachten Sie, dass diese Näherungsformel durch Ersetzen der Funktion erhalten wird e^(-\lambda\Delta t) nur die ersten beiden Terme seiner Entwicklung in Potenzen von \Updelta t, desto genauer, je kleiner \Updelta t). Anwendung verschiedener mathematischer Methoden zur Formalisierung. Betonung eines komplexen Systems – unvorhersehbar. Träger Unsicherheit ist eine Person. Ein typisches Beispiel für stochastische (zufällige, probabilistische) Probleme sind Modelle von Warteschlangensystemen. QSs sind allgegenwärtig. Dazu gehören Telefonnetze, Tankstellen, Verbraucherserviceeinrichtungen, Kassen, Einkaufsveranstaltungen usw. Aus der Perspektive der Modellierung des Warteschlangenprozesses ergeben sich Situationen, in denen Warteschlangen von Anwendungen (Anforderungen) für den Service gebildet werden, wie folgt. Sobald die Anfrage beim bedienenden System angekommen ist, wird sie in die Warteschlange anderer (zuvor empfangener) Anfragen aufgenommen. Der Servicekanal wählt eine Anfrage aus der Warteschlange aus, um mit der Bearbeitung zu beginnen. Nach Abschluss des Verfahrens zur Bearbeitung der nächsten Anfrage beginnt der Servicekanal mit der Bearbeitung der nächsten Anfrage, sofern sich eine solche im Warteblock befindet. Der Betriebszyklus eines solchen QS-Systems wiederholt sich während der gesamten Betriebszeit des Servicesystems mehrfach. Es wird davon ausgegangen, dass der Übergang des Systems zur Bearbeitung der nächsten Anfrage nach Abschluss der Bearbeitung der vorherigen Anfrage sofort und zu zufälligen Zeitpunkten erfolgt. Beispiele für CMOs sind: Fahrzeugwartungsstationen; Autoreparaturstationen; Wirtschaftsprüfungsgesellschaften usw. Der Begründer der Warteschlangentheorie, insbesondere der Warteschlangentheorie, ist der berühmte dänische Wissenschaftler A.K. Erlang (1878-1929), der Serviceprozesse an Telefonzentralen untersuchte. Systeme, in denen Dienstleistungsprozesse ablaufen, werden Warteschlangensysteme (QS) genannt. Um ein Warteschlangensystem zu beschreiben, müssen Sie Folgendes festlegen: - Eingabefluss von Bewerbungen; - Servicedisziplin; - Servicezeit - Anzahl der Servicekanäle. Eingabestrom
Anforderungen (Anwendungen) werden beschrieben, indem sie als probabilistisch identifiziert werden Vertriebsrecht Momente, in denen Anforderungen in das System gelangen, und Anzahl der Anforderungen bei jeder Ankunft. Beim Einstellen Servicedisziplinen(DO) Es ist notwendig, die Regeln für das Einreihen von Anfragen in die Warteschlange und deren Bearbeitung im System zu beschreiben. In diesem Fall kann die Warteschlangenlänge entweder begrenzt oder unbegrenzt sein. Bei Einschränkungen der Warteschlangenlänge wird ein am Eingang des QS eingegangener Antrag abgelehnt. Die am häufigsten verwendeten DOs werden durch die folgenden Regeln definiert: Wer zuerst kommt, mahlt zuerst; Wer als Letzter ankommt, wird als Erster bedient; (Box für Tennisbälle, Stapeltechnik) zufällige Auswahl der Bewerbungen; Auswahl der Bewerbungen nach Prioritätskriterien. Servicezeit Anfragen an den QS ist eine Zufallsvariable. Das gebräuchlichste Verteilungsgesetz ist das Exponentialgesetz. - Servicegeschwindigkeit. =Anzahl der Serviceanfragen/Einheit. Zeit. Servicekanäle, können parallel oder in Reihe angeordnet werden. Bei einer sequentiellen Anordnung der Kanäle wird jede Anfrage nacheinander auf allen Kanälen bearbeitet. Bei einer parallelen Anordnung von Kanälen erfolgt die Wartung aller Kanäle gleichzeitig, sobald sie verfügbar sind. Die verallgemeinerte Struktur des QS ist in Abb. dargestellt. Thema Warteschlangentheorie besteht darin, einen Zusammenhang zwischen den Faktoren herzustellen, die die Funktionalität des QS bestimmen, und der Effizienz seiner Funktionsweise. Probleme bei der Gestaltung eines QS. Zu den Aufgaben der Bestimmung der Merkmale der QS-Struktur gehört die Auswahl der Anzahl der Servicekanäle (Grundelemente (F ich)), die Aufgabe, die Art der Kanalverbindung zu bestimmen (Satz von Verbindungselementen (Hj)),
sowie das Problem der Bestimmung der Kanalkapazität. 1). Auswahl der Struktur. Wenn die Kanäle parallel arbeiten, besteht das Problem bei der Auswahl von Str darin, die Anzahl der Kanäle im bedienenden Teil anhand der Bedingung zur Gewährleistung der Funktionsfähigkeit des QS zu bestimmen. (Es sei denn, die Warteschlange wächst unendlich). Beachten Sie, dass bei der Bestimmung der Anzahl der Systemkanäle auf deren parallele Anordnung zu achten ist Betriebszustand des Systems. Bezeichnen wir:
- die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit eingegangenen Bewerbungen, d.h. Eingangsflussintensität; – die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit erfüllten Bewerbungen, d.h. Serviceintensität; S
-
Anzahl der Servicekanäle. Anschließend wird die Bedingung für den Betrieb des QS geschrieben Wenn 2). Es ist notwendig, das Kriterium für die Betriebseffizienz zu bestimmen QS berücksichtigt die Kosten der verschwendeten Zeit sowohl seitens der Antragstellung als auch seitens des Serviceteils. Als Indikatoren für die Wirksamkeit der Funktionsweise des QS gelten folgende drei Hauptgruppen von Indikatoren: 1. Indikatoren für die Wirksamkeit des QS-Einsatzes. Die absolute Kapazität des QS ist die durchschnittliche Anzahl der Anfragen, die vom QS pro Zeiteinheit bedient werden können. Die relative Kapazität des QS ist das Verhältnis der durchschnittlichen Anzahl der vom QS pro Zeiteinheit bearbeiteten Anträge zur durchschnittlichen Anzahl der in dieser Zeit eingegangenen Anträge. Durchschnittliche Dauer der Beschäftigungsdauer des CMO. Unter der QS-Auslastung versteht man den durchschnittlichen Zeitanteil, in dem der QS mit der Bearbeitung von Anfragen beschäftigt ist. 2. Qualitätsindikatoren für Serviceanfragen. Durchschnittliche Wartezeit für eine Bewerbung in der Warteschlange. Durchschnittliche Verweildauer einer Bewerbung im CMO. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer Anfrage die Bearbeitung ohne Wartezeit verweigert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein eingegangener Antrag sofort zur Zustellung angenommen wird. Gesetz zur Verteilung der Wartezeit für einen Antrag in einer Warteschlange. Das Gesetz der Verteilung der Verweildauer einer Bewerbung im QS. Die durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange. Durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen im CMO. 3. Indikatoren für die Wirksamkeit des Funktionierens des Paares „SMO – Verbraucher“. Bei der Auswahl eines Kriteriums für die Effizienz des QS-Betriebs ist die duale Betrachtungsweise von Warteschlangensystemen zu berücksichtigen. Beispielsweise kann die Arbeit eines Supermarkts wie eines CMOs von entgegengesetzten Seiten betrachtet werden. Einerseits stellt traditionellerweise der Käufer, der an der Kasse ansteht, eine Serviceanfrage dar, und der Kassierer ist der Servicekanal. Andererseits kann ein Kassierer, der auf Kunden wartet, als Serviceanfrage betrachtet werden, und der Käufer ist ein Servicegerät, das in der Lage ist, die Anfrage zu erfüllen, d. h. Gehen Sie zur Kasse und stoppen Sie die erzwungene Ausfallzeit des Kassierers. (Traditionell - Käufer > als Kassierer, wenn Kassierer > als Käufer, warten sie auf Käufer). MIT Die Verwendung eines solchen dualen Ansatzes setzt die Notwendigkeit voraus, bei der Bildung des Effizienzkriteriums nicht nur die oben aufgeführten Indikatoren einzeln zu berücksichtigen, sondern gleichzeitig mehrere Indikatoren, die die Interessen sowohl der bedienenden als auch der bedienten QS-Teilsysteme widerspiegeln. Beispielsweise wird gezeigt, dass das wichtigste Effizienzkriterium bei Warteschlangenproblemen einerseits die Gesamtzeit ist, die ein Kunde in einer Warteschlange verbringt, und andererseits die Leerlaufzeit von Servicekanälen. Klassifizierung von Warteschlangensystemen 1. Je nach Art der Dienstleistung werden folgende QS-Typen unterschieden: 1.1. Wartesysteme oder Warteschlangensysteme. Anfragen, die im System eingehen und nicht sofort zur Bearbeitung angenommen werden, sammeln sich in einer Warteschlange an. Wenn die Kanäle frei sind, wird die Anfrage bearbeitet. Wenn zum Zeitpunkt des Empfangs der Anfrage alle Kanäle belegt sind, wird die nächste Anfrage bearbeitet, nachdem die vorherige abgeschlossen ist. Ein solches System wird als vollständig zugänglich (mit unbegrenzter Warteschlange) bezeichnet. Es gibt Systeme mit autonomer Wartung, bei denen die Wartung zu bestimmten Zeitpunkten beginnt; Systeme mit begrenzter Warteschlange. (Reparatur in der Garage) Systeme mit Fehlern. Alle zum Zeitpunkt der Antragszustellung eingehenden Anträge werden abgelehnt. (GTS) Systeme mit Gruppeneingabefluss und Gruppendienst. In solchen Systemen treffen Anfragen in Gruppen zu bestimmten Zeitpunkten ein, und auch die Bedienung erfolgt in Gruppen. 2. Basierend auf der Anzahl der Servicekanäle werden QS in die folgenden Gruppen eingeteilt. Einkanal-SMO. Mehrkanal-QS. Die Bearbeitung der nächsten Anfrage kann vor dem Ende der Bearbeitung der vorherigen Anfrage beginnen. Jeder Kanal fungiert als unabhängiges Servicegerät. 3. Basierend auf dem Umfang der betreuten Objekte werden zwei Typen unterschieden. Geschlossenes QS. Ein geschlossenes Warteschlangensystem ist ein Warteschlangensystem, in dem bearbeitete Anforderungen an das System zurückgegeben und zur Bearbeitung erneut eingegeben werden können. Beispiele für ein geschlossenes QS sind Werkstätten und Sparkassen. Öffnen Sie SMO. 4. Anhand der Anzahl der Leistungsstufen werden einphasige und mehrphasige QS-Systeme unterschieden. Einzelphase QS sind homogene Systeme, die den gleichen Leistungsvorgang durchführen. Mehrphasig QS sind Systeme, in denen Servicekanäle nacheinander angeordnet sind und verschiedene Servicevorgänge durchführen. Ein Beispiel für ein mehrphasiges QS sind Autowerkstätten. Die angegebene Einstufung von QS ist bedingt. In der Praxis fungieren QS meist als gemischte Systeme. Beispielsweise warten Anfragen bis zu einem bestimmten Punkt auf den Beginn des Dienstes. Danach beginnt das System als System mit Fehlern zu arbeiten. Bei der Recherche zu Betriebsabläufen stößt man häufig auf Systeme, die für den wiederverwendbaren Einsatz bei der Lösung ähnlicher Probleme konzipiert sind. Die dabei auftretenden Prozesse werden aufgerufen Serviceprozesse, und Systeme - Warteschlangensysteme (QS). Beispiele für solche Systeme sind Telefonanlagen, Reparaturwerkstätten, Computerkomplexe, Fahrkartenschalter, Geschäfte, Friseure usw. Jedes QS besteht aus einer bestimmten Anzahl von Serviceeinheiten (Instrumente, Geräte, Punkte, Stationen), die wir nennen Servicekanäle. Kanäle können Kommunikationsleitungen, Arbeitspunkte, Computer, Verkäufer usw. sein. Basierend auf der Anzahl der Kanäle wird das QS unterteilt Ein-Kanal Und Mehrkanal. Bewerbungen gehen beim CMO in der Regel nicht regelmäßig, sondern stichprobenartig ein und bilden das sogenannte Zufälliger Bewerbungsfluss (Anforderungen). Die Bearbeitung von Anfragen wird im Allgemeinen auch für einen bestimmten Zeitraum fortgesetzt. Die zufällige Natur des Bewerbungsflusses und der Servicezeit führt dazu, dass das QS ungleichmäßig ausgelastet ist: In manchen Zeiträumen häufen sich sehr viele Bewerbungen an (sie geraten entweder in die Warteschlange oder verlassen das QS unbearbeitet), in anderen Zeiträumen dagegen QS arbeitet mit Unterlast oder Leerlauf. Das Thema der Warteschlangentheorie ist die Konstruktion mathematischer Modelle, die die spezifizierten Betriebsbedingungen des QS (die Anzahl der Kanäle, ihre Produktivität, die Art des Anfrageflusses usw.) mit Leistungsindikatoren des QS verbinden und seine Fähigkeit beschreiben, den Fluss zu bewältigen von Anfragen. Als QS-Leistungsindikatoren verwendet: die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit bearbeiteten Anträge; durchschnittliche Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange; durchschnittliche Wartezeit für den Service; die Möglichkeit einer Dienstverweigerung ohne Wartezeit; die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerbungen in der Warteschlange einen bestimmten Wert überschreitet usw. QSs werden in zwei Haupttypen (Klassen) unterteilt: QS mit Ausfällen Und QS mit Warten (Warteschlangen). Bei einem QS mit Ablehnungen erhält ein Antrag, der zu einem Zeitpunkt eingeht, an dem alle Kanäle belegt sind, eine Absage, verlässt den QS und nimmt nicht am weiteren Serviceprozess teil (z. B. einer Anfrage nach einem Telefongespräch zu einem Zeitpunkt, an dem alle Kanäle belegt sind). beschäftigt, erhält eine Absage und verlässt das QS unversorgt). In einem wartenden QS wird eine Anfrage, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle Kanäle belegt sind, nicht verlassen, sondern zur Bearbeitung in die Warteschlange gestellt. Warteschlangen mit Wartezeit werden je nach Organisation der Warteschlange in verschiedene Typen unterteilt: mit begrenzter oder unbegrenzter Warteschlangenlänge, mit begrenzter Wartezeit usw. Für die Klassifizierung von SMO ist es wichtig Servicedisziplin, das das Verfahren für die Auswahl der Bewerbungen aus den eingegangenen Bewerbungen und das Verfahren für deren Verteilung auf freie Kanäle festlegt. Auf dieser Grundlage kann die Bearbeitung einer Anwendung nach dem Prinzip „Wer zuerst kommt – mahlt zuerst“, „Zuletzt kommt – mahlt zuerst“ organisiert (diese Reihenfolge kann beispielsweise bei der Entnahme von Produkten aus einem Lager zur Wartung verwendet werden, da Letztere sind oft leichter zugänglich) oder Prioritätsdienst (wenn die wichtigsten Anfragen zuerst bearbeitet werden). Die Priorität kann entweder absolut sein, wenn eine wichtigere Anfrage eine reguläre Anfrage aus dem Dienst „verdrängt“ (z. B. wird im Notfall die geplante Arbeit der Reparaturteams unterbrochen, bis der Notfall behoben ist), oder relativ, wenn Eine wichtigere Anfrage erhält nur die „beste“ Platzwarteschlange. Der Arbeitsprozess des QS ist zufälliger Prozess. Unter zufälliger (probabilistischer oder stochastischer) Prozess bezieht sich auf den Prozess der Zustandsänderung eines Systems im Laufe der Zeit gemäß Wahrscheinlichkeitsgesetzen. Der Vorgang wird aufgerufen Prozess mit diskreten Zuständen, wenn seine möglichen Zustände im Voraus aufgelistet werden können und der Übergang des Systems von Zustand zu Zustand sofort (in einem Sprung) erfolgt. Der Vorgang wird aufgerufen kontinuierlicher Zeitprozess, wenn die Zeitpunkte möglicher Übergänge des Systems von Zustand zu Zustand nicht im Voraus festgelegt, sondern zufällig sind. Der QS-Betriebsprozess ist ein Zufallsprozess mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit. Dies bedeutet, dass sich der Zustand des QS in zufälligen Momenten abrupt ändert, wenn bestimmte Ereignisse eintreten (z. B. das Eintreffen einer neuen Anfrage, das Ende des Dienstes usw.). Die mathematische Analyse der Operation eines QS wird erheblich vereinfacht, wenn der Prozess dieser Operation Markovianisch ist. Der Zufallsprozess wird aufgerufen Markovianer oder zufälliger Prozess ohne Konsequenzen, wenn zu irgendeinem Zeitpunkt die probabilistischen Eigenschaften des Prozesses in der Zukunft nur von seinem aktuellen Zustand abhängen und nicht davon abhängen, wann und wie das System in diesen Zustand gelangt ist. Ein Beispiel für einen Markov-Prozess: Das System ist ein Taxameter. Der Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt wird durch die Anzahl der Kilometer (Zehntelkilometer) charakterisiert, die das Auto bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt hat. Lassen Sie den Zähler im Moment anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zähler im Moment diese oder jene Kilometerzahl (genauer gesagt die entsprechende Rubelzahl) anzeigt, hängt davon ab, hängt jedoch nicht davon ab, zu welchen Zeitpunkten sich die Zählerstände vor diesem Moment geändert haben. Viele Prozesse können näherungsweise als Markovian betrachtet werden. Zum Beispiel der Prozess des Schachspielens; System - eine Gruppe von Schachfiguren. Der Zustand des Systems wird durch die Anzahl der aktuell auf dem Spielbrett verbliebenen gegnerischen Figuren charakterisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass der materielle Vorteil im Moment auf der Seite eines Gegners liegt, hängt in erster Linie vom aktuellen Zustand des Systems ab und nicht davon, wann und in welcher Reihenfolge die Figuren vor diesem Moment vom Brett verschwunden sind. In manchen Fällen kann die Vorgeschichte der betrachteten Prozesse einfach vernachlässigt und Markov-Modelle zu ihrer Untersuchung herangezogen werden. Bei der Analyse zufälliger Prozesse mit diskreten Zuständen ist es zweckmäßig, ein geometrisches Schema zu verwenden – das sogenannte Zustandsgraph. Typischerweise werden Systemzustände durch Rechtecke (Kreise) dargestellt und mögliche Übergänge von Zustand zu Zustand werden durch Pfeile (orientierte Bögen) dargestellt, die die Zustände verbinden. Beispiel 1. Erstellen Sie einen Zustandsgraphen des folgenden zufälligen Prozesses: Das Gerät besteht aus zwei Knoten, von denen jeder zu einem zufälligen Zeitpunkt ausfallen kann. Anschließend beginnen Sie sofort mit der Reparatur des Knotens, die für eine zuvor unbekannte zufällige Zeit fortgesetzt wird. Lösung. Mögliche Systemzustände: - beide Knoten sind betriebsbereit; - die erste Einheit wird repariert, die zweite ist betriebsbereit; - die zweite Einheit wird repariert, die erste funktioniert; - Beide Einheiten werden repariert. Das Systemdiagramm ist in Abb. dargestellt. 1. Ein beispielsweise von nach gerichteter Pfeil bedeutet einen Übergang des Systems zum Zeitpunkt des Ausfalls des ersten Knotens, von nach einen Übergang zum Zeitpunkt des Abschlusses der Reparatur dieses Knotens. In der Grafik gibt es keine Pfeile von nach und von nach. Dies erklärt sich dadurch, dass angenommen wird, dass Ausfälle von Knoten unabhängig voneinander sind und beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Ausfalls zweier Knoten (Übergang von zu) oder des gleichzeitigen Abschlusses von Reparaturen zweier Knoten (Übergang von zu) bestimmt wird ) kann vernachlässigt werden. Für eine mathematische Beschreibung eines Markov-Zufallsprozesses mit diskreten Zuständen und kontinuierlich fließender Zeit in einem QS lernen wir eines der wichtigen Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen – das Konzept eines Ereignisflusses. Unter Strom der Ereignisse wird als Abfolge homogener Ereignisse verstanden, die zu zufälligen Zeitpunkten aufeinander folgen (z. B. eine Reihe von Anrufen in einer Telefonzentrale, eine Reihe von Computerausfällen, eine Reihe von Kunden usw.). Die Strömung wird charakterisiert Intensität- die Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen oder die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen, die pro Zeiteinheit in das QS gelangen. Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen regulär, wenn Ereignisse in bestimmten gleichen Zeitabständen aufeinander folgen. Beispielsweise ist der Produktfluss am Fließband einer Montagehalle (mit konstanter Geschwindigkeit) regelmäßig. Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen stationär, wenn seine probabilistischen Eigenschaften nicht von der Zeit abhängen. Insbesondere ist die Intensität einer stationären Strömung ein konstanter Wert: . Beispielsweise ist der Autostrom auf einer Stadtstraße tagsüber nicht stationär, aber dieser Fluss kann tagsüber, beispielsweise während der Hauptverkehrszeiten, als stationär angesehen werden. Bitte beachten Sie, dass im letzteren Fall die tatsächliche Anzahl der pro Zeiteinheit (z. B. jede Minute) vorbeifahrenden Autos deutlich voneinander abweichen kann, ihre durchschnittliche Anzahl jedoch konstant ist und nicht von der Zeit abhängt. Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen fließen ohne Nachwirkung, wenn für zwei beliebige, sich nicht überlappende Zeiträume gilt und - die Anzahl der Ereignisse, die auf einen von ihnen fallen, nicht von der Anzahl der Ereignisse abhängt, die auf die anderen fallen. Beispielsweise hat der Zustrom von Fahrgästen, die die U-Bahn betreten, praktisch keine Auswirkungen. Und beispielsweise hat der Strom der Kunden, die mit Einkäufen die Theke verlassen, bereits Nachwirkungen (schon allein deshalb, weil der Zeitabstand zwischen einzelnen Kunden nicht kleiner sein darf als die Mindestbedienungszeit für jeden von ihnen). Der Strom der Ereignisse wird aufgerufen normal, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehr Ereignisse in einem kleinen (elementaren) Zeitraum eintreten, im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses vernachlässigbar ist. Mit anderen Worten: Ein Ereignisstrom ist gewöhnlich, wenn darin Ereignisse einzeln und nicht in Gruppen auftreten. Beispielsweise ist der Zustrom von Zügen, der sich einem Bahnhof nähert, normal, der Zustrom von Autos jedoch nicht. Der Ablauf der Ereignisse wird als der einfachste (oder stationäres Poisson), wenn es gleichzeitig stationär und gewöhnlich ist und keine Nachwirkung hat. Der Name „einfachster“ erklärt sich aus der Tatsache, dass QS mit den einfachsten Flüssen die einfachste mathematische Beschreibung hat. Beachten Sie, dass ein regulärer Fluss nicht der „einfachste“ ist, da er eine Nachwirkung hat: Die Zeitpunkte des Auftretens von Ereignissen in einem solchen Fluss sind streng festgelegt. Der einfachste Fluss erscheint als Grenzwert in der Theorie der Zufallsprozesse ebenso selbstverständlich wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Normalverteilung als Grenzwert für eine Summe von Zufallsvariablen: Bei der Überlagerung (Überlagerung) einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger, stationärer und gewöhnlicher Strömungen (in der Intensität miteinander vergleichbar) erhält man eine Strömung, die der einfachsten nahe kommt und deren Intensität der Summe der Intensitäten der einströmenden Strömungen entspricht. d.h. Betrachten wir auf der Zeitachse (Abb. 1) den einfachsten Ereignisfluss als eine unbegrenzte Folge zufälliger Punkte. Es kann gezeigt werden, dass für den einfachsten Fluss die Anzahl m der Ereignisse (Punkte), die auf einen beliebigen Zeitabschnitt fallen, verteilt ist Poissonsches Gesetz für die der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen gleich ihrer Varianz ist: . Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe der Zeit kein Ereignis eintritt, gleich Finden wir die Verteilung des Zeitintervalls zwischen zwei beliebigen benachbarten Ereignissen des einfachsten Flusses. Gemäß (2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitabschnitt der Länge keine weiteren Ereignisse auftreten, gleich und die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses, d.h. Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen gibt es Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist die Ableitung ihrer Verteilungsfunktion (Abb. 3), d.h. Die durch die Wahrscheinlichkeitsdichte (5) oder Verteilungsfunktion (4) angegebene Verteilung wird aufgerufen indikativ(oder exponentiell). Somit hat das Zeitintervall zwischen zwei benachbarten beliebigen Ereignissen eine Exponentialverteilung, für die der mathematische Erwartungswert gleich der Standardabweichung der Zufallsvariablen ist und umgekehrt entsprechend der Strömungsintensität. Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialverteilung (die nur der Exponentialverteilung innewohnt) ist die folgende: Wenn ein nach dem Exponentialgesetz verteilter Zeitraum bereits einige Zeit gedauert hat, hat dies keinerlei Auswirkungen auf das Verteilungsgesetz des verbleibenden Teils des Intervalls: Es wird dasselbe sein wie das Gesetz der Verteilung aller Lücken Mit anderen Worten: Für ein Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden benachbarten Ereignissen eines exponentiell verteilten Flusses haben Informationen darüber, wie lange dieses Intervall stattgefunden hat, keinen Einfluss auf das Verteilungsgesetz des verbleibenden Teils. Diese Eigenschaft des Exponentialgesetzes ist im Wesentlichen eine andere Formulierung für die „Abwesenheit von Nachwirkungen“ – die Haupteigenschaft des einfachsten Flusses. Für den einfachsten Fluss mit Intensität ist die Trefferwahrscheinlichkeit (Beachten Sie, dass diese Näherungsformel, die man erhält, indem man die Funktion nur durch die ersten beiden Terme ihrer Potenzentwicklung ersetzt, umso genauer ist, je kleiner sie ist.) Die QS-Theorie widmet sich der Entwicklung von Methoden zur Analyse, Gestaltung und rationellen Organisation von Systemen in Bezug auf verschiedene Tätigkeitsbereiche wie Kommunikation, Computertechnologie, Handel, Verkehr und militärische Angelegenheiten. Trotz aller Vielfalt weisen die oben genannten Systeme eine Reihe typischer Eigenschaften auf, nämlich. Der in der vorherigen Vorlesung besprochene Markov-Zufallsprozess mit diskreten Zuständen und kontinuierlicher Zeit findet in Warteschlangensystemen (QS) statt. Warteschlangensysteme
– Hierbei handelt es sich um Systeme, die zu zufälligen Zeiten Serviceanfragen empfangen und die empfangenen Anfragen über die dem System zur Verfügung stehenden Servicekanäle bearbeitet werden. Beispiele für Warteschlangensysteme sind: Knoten Anforderungen Krankenhaus Pfleger Patienten Produktion Flughafen Ausgänge zu Landebahnen Registrierungsstellen Passagiere Betrachten wir das Funktionsdiagramm des QS (Abb. 1). Das System besteht aus einem Anforderungsgenerator, einem Dispatcher und einer Serviceeinheit, einer Fehlerabrechnungseinheit (Terminator, Order Destroyer). Im Allgemeinen kann ein Dienstknoten über mehrere Dienstkanäle verfügen. Zusätzlich zu diesen Grundelementen im QS heben einige Quellen auch die folgenden Komponenten hervor: Terminator – Zerstörer von Transaktionen; Lager – Lagerung von Ressourcen und Fertigprodukten; Buchhaltungskonto – zur Durchführung von Transaktionen des Typs „Buchung“; Manager – Ressourcenmanager; Erste Division (basierend auf dem Vorhandensein von Warteschlangen): IN QS mit Ausfällen Ein Antrag, der zu einem Zeitpunkt eingeht, an dem alle Kanäle belegt sind, wird abgelehnt, verlässt das QS und wird in Zukunft nicht mehr bearbeitet. IN Warteschlange mit Warteschlange Eine Anwendung, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, an dem alle Kanäle ausgelastet sind, verlässt die Anwendung nicht, sondern stellt sich in eine Warteschlange und wartet auf die Bereitstellung der Gelegenheit. QS mit Warteschlangen werden je nach Organisation der Warteschlange in verschiedene Typen unterteilt - begrenzt oder unbegrenzt. Einschränkungen können sowohl die Länge der Warteschlange als auch die Wartezeit betreffen, „Servicedisziplin“. So kommen beispielsweise folgende QS in Betracht: Arten von Warteschlangenbeschränkungen können kombiniert werden. Eine andere Klassifizierung unterteilt die CMO nach der Quelle der Anträge. Anwendungen (Anforderungen) können vom System selbst oder von einer externen Umgebung generiert werden, die unabhängig vom System existiert. Natürlich hängt der vom System selbst generierte Anforderungsfluss vom System und seinem Zustand ab. Darüber hinaus werden SMOs unterteilt in offen CMO und geschlossen SMO. In einem offenen QS hängen die Eigenschaften des Bewerbungsflusses nicht vom Zustand des QS selbst ab (wie viele Kanäle sind belegt). In einem geschlossenen QS sind sie darauf angewiesen. Wenn beispielsweise ein Arbeiter eine Gruppe von Maschinen bedient, die von Zeit zu Zeit angepasst werden müssen, hängt die Intensität des „Anforderungsflusses“ von den Maschinen davon ab, wie viele von ihnen bereits in Betrieb sind und auf eine Anpassung warten. Ein Beispiel für ein geschlossenes System: Ein Kassierer, der in einem Unternehmen Löhne ausgibt. Basierend auf der Anzahl der Kanäle werden QSs unterteilt in: Die Hauptmerkmale aller Arten von Warteschlangensystemen sind: Um den Eingabestream zu beschreiben, müssen Sie ihn angeben ein probabilistisches Gesetz, das die Abfolge der Zeitpunkte bestimmt, in denen Serviceanfragen eingehen, und geben Sie die Anzahl dieser Anforderungen in jeder weiteren Quittung an. Dabei operieren sie in der Regel mit dem Konzept der „wahrscheinlichen Verteilung der Zeitpunkte des Anforderungseingangs“. Hier können sie Folgendes tun: Einzel- und Gruppenanforderungen (die Anzahl solcher Anforderungen in jeder regulären Quittung). Im letzteren Fall sprechen wir normalerweise von einem Warteschlangensystem mit paralleler Gruppenbedienung. A i– Ankunftszeit zwischen Anforderungen – unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen; E(A)– durchschnittliche (MO) Ankunftszeit; λ=1/E(A)– Intensität des Forderungseingangs; Eigenschaften des Eingabestreams: Warteschlange
– eine Reihe von Anforderungen, die auf ihre Zustellung warten. Die Warteschlange hat einen Namen. Disziplin in der Warteschlange
definiert das Prinzip, nach dem am Eingang des bedienenden Systems eintreffende Anforderungen aus der Warteschlange mit der Serviceprozedur verbunden werden. Die am häufigsten verwendeten Warteschlangendisziplinen werden durch die folgenden Regeln definiert: First In First Out (FIFO) die häufigste Art von Warteschlange. Welche Datenstruktur wäre geeignet, eine solche Warteschlange zu beschreiben? Das Array ist fehlerhaft (begrenzt). Sie können eine LIST-Struktur verwenden. Die Liste hat einen Anfang und ein Ende. Die Liste besteht aus Einträgen. Ein Eintrag ist eine Listenzelle. Die Anwendung kommt am Ende der Liste an und wird vom Anfang der Liste für den Service ausgewählt. Der Datensatz besteht aus Merkmalen der Anwendung und einem Link (Indikator dafür, wer dahinter steckt). Wenn die Warteschlange außerdem eine Wartezeitbegrenzung hat, muss auch die maximale Wartezeit angegeben werden. Als Programmierer sollten Sie in der Lage sein, bidirektionale und einseitige Listen zu erstellen. Aktionen auflisten: Eine Struktur, die als STACK bekannt ist. Kann durch eine Array- oder Listenstruktur beschrieben werden; Jede Bewerbung zeichnet sich unter anderem durch ihre Prioritätsstufe aus und wird bei Eingang nicht am Ende der Warteschlange, sondern am Ende ihrer Prioritätsgruppe platziert. Der Dispatcher sortiert nach Priorität. Servicemechanismus
wird durch die Merkmale des Serviceverfahrens selbst und die Struktur des Servicesystems bestimmt. Zu den Merkmalen des Wartungsverfahrens gehören: Um die Merkmale eines Servicevorgangs analytisch zu beschreiben, wird das Konzept der „probabilistischen Zeitverteilung für Serviceanforderungen“ verwendet. S i- Servicezeit ich-te Anforderung; E(S)– durchschnittliche Servicezeit; μ=1/E(S)– Geschwindigkeit der Bearbeitung von Anfragen. Es ist zu beachten, dass die für die Wartung einer Anwendung erforderliche Zeit von der Art der Anwendung selbst oder den Anforderungen des Kunden sowie vom Zustand und den Fähigkeiten des Wartungssystems abhängt. In manchen Fällen ist es auch notwendig, dies zu berücksichtigen Wahrscheinlichkeit eines Dienstkanalausfalls nach einer bestimmten begrenzten Zeitspanne. Dieses Merkmal kann als Strom von Fehlern modelliert werden, die in das QS eingehen und Vorrang vor allen anderen Anfragen haben. QS-Auslastungsgrad N·μ – Servicegeschwindigkeit im System, wenn alle Servicegeräte beschäftigt sind. ρ=λ/( Nμ) – genannt Auslastungskoeffizient von QS
, zeigt an, wie viele Systemressourcen verwendet werden. Die Struktur des Servicesystems wird durch die Anzahl und relative Anordnung der Servicekanäle (Mechanismen, Geräte usw.) bestimmt. Zunächst sollte betont werden, dass ein Servicesystem mehr als einen Servicekanal haben kann, aber mehrere; Diese Art von System ist in der Lage, mehrere Anforderungen gleichzeitig zu erfüllen. In diesem Fall bieten alle Servicekanäle die gleichen Dienste an, und daher kann man argumentieren, dass dies der Fall ist Paralleldienst
. Beispiel. Registrierkassen im Laden. Das Servicesystem kann aus mehreren unterschiedlichen Arten von Servicekanälen bestehen, die jede bediente Anforderung durchlaufen muss, d. h. im Servicesystem Awerden konsequent umgesetzt
. Der Wartungsmechanismus bestimmt die Eigenschaften des ausgehenden (bedienten) Anforderungsflusses. Beispiel. Medizinische Kommission. Kombinierter Service
– Einlagenverwaltung in der Sparkasse: zuerst der Controller, dann der Kassierer. In der Regel 2 Controller pro Kassierer. Also, Die Funktionalität eines Warteschlangensystems wird durch die folgenden Hauptfaktoren bestimmt
: Als Hauptkriterien für die Wirksamkeit von Warteschlangensystemen
Abhängig von der Art des zu lösenden Problems kann Folgendes angezeigt werden: Offensichtlich ist P obsl + P open =1. Verzögerung
– Eines der Kriterien für die Bedienung des QS ist die Zeit, die die Anwendung auf die Bedienung wartet. D i– Verzögerung in der Anforderungswarteschlange ich; W i =D i + S i– benötigte Zeit im System ich. (mit Wahrscheinlichkeit 1) – die ermittelte durchschnittliche Verzögerung einer Anfrage in der Warteschlange; (mit Wahrscheinlichkeit 1) – die ermittelte durchschnittliche Verweildauer der Anforderung im QS (Wartezeit). Q(T) - Anzahl der Anfragen gleichzeitig in der Warteschlange T; L(T)–
Anzahl der Anforderungen gleichzeitig im System T(Q(T) plus die Anzahl der Anforderungen, die gleichzeitig bedient werden T. Dann die Indikatoren (falls vorhanden) Beachten Sie, dass ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q Und L in einem Warteschlangensystem. Wenn wir uns daran erinnern, dass ρ= λ/( Nμ), dann ist klar, dass wenn die Intensität des Bewerbungseingangs größer ist als Nμ, dann ρ>1 und es ist natürlich, dass das System mit einem solchen Antragsfluss nicht zurechtkommt, und daher können wir nicht über die Mengen sprechen d, w, Q Und L. Zu den allgemeinsten und notwendigsten Ergebnissen für Warteschlangensysteme gehören Erhaltungsgleichungen Es ist zu beachten, dass die oben genannten Kriterien zur Bewertung der Systemleistung für Warteschlangensysteme analytisch berechnet werden können M/M/N(N>1), also Systeme mit Markov-Abläufen von Anfragen und Diensten. Für M/G/ l für jede Distribution G und für einige andere Systeme. Im Allgemeinen müssen die Verteilung der Ankunftszeit, die Servicezeitverteilung oder beide exponentiell sein (oder eine Art Erlang-Exponentialverteilung k-ter Ordnung), damit eine analytische Lösung möglich ist. Darüber hinaus können wir auch über Merkmale sprechen wie: Ein weiteres interessantes (und anschauliches) Beispiel einer analytischen Lösung –
Berechnen der stationären durchschnittlichen Verzögerung in einer Warteschlange für ein Warteschlangensystem M/G/ 1 nach der Formel: In Russland ist diese Formel als Pollacek-Formel bekannt –
Chinchin, im Ausland ist diese Formel mit dem Namen Ross verbunden. Also, wenn E(S) größer ist, dann die Überlast (in diesem Fall gemessen als). D) wird größer sein; was zu erwarten ist. Die Formel offenbart auch eine weniger offensichtliche Tatsache: Auch die Überlastung nimmt zu, wenn die Variabilität der Servicezeitverteilung zunimmt, selbst wenn die durchschnittliche Servicezeit gleich bleibt. Intuitiv lässt sich dies wie folgt erklären: Die Varianz der Zufallsvariablen der Servicezeit kann einen großen Wert annehmen (da sie positiv sein muss), d. h. das einzige Servicegerät wird lange Zeit beschäftigt sein, was dazu führt eine Vergrößerung der Warteschlange. Das Thema der Warteschlangentheorie besteht darin, eine Beziehung zwischen den Faktoren herzustellen, die die Funktionalität des Warteschlangensystems und die Effizienz seines Betriebs bestimmen. In den meisten Fällen sind alle Parameter, die Warteschlangensysteme beschreiben, Zufallsvariablen oder Funktionen, daher gehören diese Systeme zu stochastischen Systemen. Die Zufälligkeit des Bewerbungsflusses (Anforderungen) sowie im allgemeinen Fall der Leistungsdauer führt dazu, dass im Warteschlangensystem ein zufälliger Prozess stattfindet. Aufgrund der Natur des Zufallsprozesses
, die im Warteschlangensystem (QS) auftreten, werden unterschieden Markovianische und nicht-markovianische Systeme
. In Markov-Systemen sind der eingehende Fluss von Anforderungen und der ausgehende Fluss von bedienten Anforderungen (Anwendungen) Poisson. Poisson-Flüsse erleichtern die Beschreibung und Konstruktion eines mathematischen Modells eines Warteschlangensystems. Für diese Modelle gibt es relativ einfache Lösungen, weshalb die meisten bekannten Anwendungen der Warteschlangentheorie das Markov-Schema verwenden. Bei Nicht-Markov-Prozessen werden die Probleme bei der Untersuchung von Warteschlangensystemen deutlich komplizierter und erfordern den Einsatz statistischer Modellierung und numerischer Methoden am Computer.
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Kolmogorov-Gleichungen. Begrenzen Sie die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen Javascript ist in Ihrem Browser deaktiviert.
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oder 
. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, können wir die Untergrenze für die Anzahl der Kanäle berechnen.
, kann das System die Warteschlange nicht bewältigen. Die Warteschlange wächst grenzenlos.
Vor diesem Hintergrund empfiehlt es sich, beide Teile des QS gleichzeitig zu minimieren.Das Konzept eines Markov-Zufallsprozesses
Event-Streams
Die Aufgabe der Analyse eines QS besteht in der Bestimmung einer Reihe von Indikatoren für seine Wirksamkeit, die in die folgenden Gruppen unterteilt werden können:
Einige technische Indikatoren (die ersten beiden Gruppen) charakterisieren das System aus Verbrauchersicht, der andere Teil charakterisiert das System unter dem Gesichtspunkt seiner betrieblichen Eigenschaften. Oftmals kann die Wahl der aufgeführten Indikatoren die Betriebseigenschaften des Systems verbessern, das System jedoch aus Sicht der Verbraucher verschlechtern und umgekehrt. Der Einsatz von Wirtschaftsindikatoren ermöglicht es uns, diesen Widerspruch aufzulösen und das System unter Berücksichtigung beider Gesichtspunkte zu optimieren.
Beim Heimtest werden die einfachsten QS untersucht. Dabei handelt es sich um Open-Loop-Systeme; eine endlose Quelle von Anwendungen ist im System nicht enthalten. Der Eingabefluss von Anfragen, Serviceabläufen und Erwartungen dieser Systeme ist am einfachsten. Es gibt keine Prioritäten. Einphasensysteme. Mehrkanalsystem mit Ausfällen
Das System besteht aus einem Serviceknoten mit n Servicekanälen, von denen jeder nur eine Anfrage bedienen kann.
Alle Servicekanäle haben die gleiche Leistung und sind für das Systemmodell nicht unterscheidbar. Wenn eine Anfrage im System eintrifft und mindestens ein Kanal frei ist, wird sofort mit der Bearbeitung begonnen. Wenn zum Zeitpunkt des Eingangs einer Bewerbung im System alle Kanäle belegt sind, dann verlässt die Bewerbung das System unbearbeitet. Gemischte Systeme
Besteht aus einem Speichergerät (Warteschlange) und einem Serviceknoten. Eine Anwendung verlässt die Warteschlange und verlässt das System, wenn sich zum Zeitpunkt ihres Erscheinens bereits m Anwendungen im Speicher befinden (m ist die maximal mögliche Anzahl von Plätzen in der Warteschlange). Wenn eine Anfrage im System eingegangen ist und mindestens ein Kanal frei ist, wird sofort mit der Bearbeitung begonnen. Wenn zum Zeitpunkt des Eintreffens einer Bewerbung im System alle Kanäle belegt sind, verlässt die Bewerbung das System nicht, sondern nimmt einen Platz in der Warteschlange ein. Eine Anwendung verlässt das System unbearbeitet, wenn zum Zeitpunkt ihres Eintritts in das System alle Servicekanäle und alle Plätze in der Warteschlange belegt sind.
Für jedes System wird eine Warteschlangendisziplin festgelegt. Hierbei handelt es sich um ein Regelsystem, das die Reihenfolge bestimmt, in der Anforderungen von der Warteschlange zum Dienstknoten gelangen. Wenn alle Anfragen und Servicekanäle gleich sind, gilt meist die Regel „Wer zuerst kommt, wird zuerst bedient“.
Besteht aus einem Speichergerät (Warteschlange) und einem Serviceknoten. Der Unterschied zum vorherigen System besteht darin, dass eine im Speicher (Warteschlange) empfangene Anforderung nur für eine begrenzte Zeit auf den Beginn des Dienstes warten kann Also(meistens ist dies eine Zufallsvariable). Wenn es Zeit ist Also abgelaufen ist, verlässt die Anwendung die Warteschlange und verlässt das System unversorgt.Mathematische Beschreibung von QS
Als QS gelten einige physikalische Systeme mit diskrete Zustände x 0, x 1, ..., x n, Betrieb bei kontinuierliche Zeit T. Die Anzahl der Zustände n kann endlich oder abzählbar sein (n → ∞). Das System kann von einem Zustand x i (i= 1, 2, … , n) in einen anderen wechseln x j (j= 0, 1,... ,N) jederzeit T. Um die Regeln für solche Übergänge darzustellen, verwenden Sie ein Diagramm namens Zustandsgraph. Für die oben aufgeführten Systemtypen bilden Zustandsgraphen eine Kette, in der jeder Zustand (mit Ausnahme der extremen) durch Direkt- und Rückkopplung mit zwei benachbarten Zuständen verbunden ist. Dies ist das Diagramm Tod und Fortpflanzung .
Übergänge von Zustand zu Zustand erfolgen zu zufälligen Zeiten. Man kann bequem davon ausgehen, dass diese Übergänge auf die Aktion einiger Personen zurückzuführen sind Ströme(Flüsse von Eingabeanfragen, Ablehnungen von Serviceanfragen, Fluss der Gerätewiederherstellung usw.). Wenn alle Threads Protozoen, dann der zufällige Fluss, der im System auftritt Ein Prozess mit einem diskreten Zustand und kontinuierlicher Zeit wird Markovianisch sein .
Ereignisstrom ist eine Abfolge ähnlicher Ereignisse, die zu zufälligen Zeitpunkten auftreten. Es kann als eine Abfolge zufälliger Zeitpunkte betrachtet werden T 1 ,T 2 ,
... Eintritt von Ereignissen.
Das einfachste ist ein Stream mit den folgenden Eigenschaften:
Im einfachsten Ablauf Zeitintervalle T 1 , T 2 ,… zwischen Momenten T 1 ,T 2 ,
... das Auftreten von Ereignissen ist zufällig, unabhängig voneinander und hat eine exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, wobei λ der Parameter der Exponentialverteilung ist, was auch der Fall ist Intensität Fluss und stellt die durchschnittliche Anzahl der pro Zeiteinheit auftretenden Ereignisse dar. Somit ist t =M[T]=1/λ.
Markov-Zufallsereignisse werden durch gewöhnliche Ereignisse beschrieben Differentialgleichung. Die darin enthaltenen Variablen sind die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen R 0 (t), S 1 (t),…,p n (t).
Für sehr große Zeitpunkte des Funktionierens von Systemen (theoretisch bei t → ∞) in den einfachsten Systemen (Systeme, in denen alle Flüsse die einfachsten sind und der Graph ein Schema von Tod und Reproduktion ist) wird dies beobachtet stetig, oder stationär Betriebsart. In diesem Modus ändert das System seinen Zustand, aber die Wahrscheinlichkeiten dieser Zustände ( endgültige Wahrscheinlichkeiten) r k, k= 1, 2 ,…, N, hängen nicht von der Zeit ab und können als berücksichtigt werden durchschnittliche relative Zeit Das System bleibt im entsprechenden Zustand.
Reis. 1
Klassifizierung von SMO
Merkmale eines Warteschlangensystems
Anforderungseingabestream
Disziplin in der Warteschlange
Warteschlangeneigenschaften
Servicemechanismus
Struktur des Servicesystems
Die Hauptkriterien für die Wirksamkeit der Funktionsweise des QS
Abläufe, Verzögerungen, Wartung. Pollacheck-Khinchin-Formel
(mit Wahrscheinlichkeit 1) – die stationäre durchschnittliche Anzahl der Anfragen in der Warteschlange im Laufe der Zeit;
(mit Wahrscheinlichkeit 1) – die stationäre durchschnittliche Anzahl der Anforderungen im System über die Zeit.
.
