Ist es möglich, die Grammzahl aufzuschreiben? Große Zahlen: unbegründet. Mersenne-Primzahlen

Epigraph
Wenn du lange in den Abgrund spähst,
Du kannst eine gute Zeit haben.
Ingenieur für mechanische Seelen

Sobald ein Kind (und das passiert etwa im Alter von drei oder vier Jahren) versteht, dass alle Zahlen in drei Gruppen „eins, zwei und viele“ unterteilt sind, versucht es sofort herauszufinden: wie viel ist zu viel, Wie viel unterscheidet sich von sehr viel, und könnte es klappen so sehr, dass es nicht mehr passiert. Sicherlich haben Sie ein (für das Alter) interessantes Spiel mit Ihren Eltern gespielt, die die meisten nennen können und ob der Vorfahre einer war Nicht dümmer als ein Fünftklässler, dann gewann er immer und antwortete „zwei Millionen“ für jede „Million“ und „zwei Milliarden“ oder „Milliarde plus eins“ für jede „Milliarde“.

Schon in der ersten Schulklasse weiß jeder, dass es unendlich viele Zahlen gibt, dass sie nie enden und dass es die größte Zahl nicht gibt. Zu irgendjemandem Millionen Billionen Milliarden Sie können immer „plus eins“ sagen und trotzdem gewinnen. Und wenig später kommt (sollte) die Einsicht, dass lange Zahlenfolgen für sich genommen nichts bedeuten. All diese Billionen Milliarden Sie machen nur dann Sinn, wenn sie der Darstellung einer bestimmten Anzahl von Objekten dienen oder ein bestimmtes Phänomen beschreiben. Es ist nicht schwer, eine lange Zahl zu finden, die nichts anderes als eine Reihe lang klingender Zahlen darstellt; Unendliche Nummer. Die Wissenschaft beschäftigt sich gewissermaßen im übertragenen Sinne damit, in diesem riesigen Abgrund nach ganz bestimmten Zahlenkombinationen zu suchen und sie zu einem physikalischen Phänomen hinzuzufügen, zum Beispiel der Lichtgeschwindigkeit, der Avogadro-Zahl oder dem Planckschen Wirkungsquantum.

Und es stellt sich sofort die Frage: Was ist die größte Zahl der Welt, die etwas bedeutet? In diesem Artikel werde ich versuchen, über das sogenannte digitale Monster zu sprechen Graham-Zahl, obwohl die Wissenschaft streng genommen größere Zahlen kennt. Grahams Zahl ist die am meisten gehypte, man könnte sagen „gehörte“ Zahl in der breiten Öffentlichkeit, weil sie recht einfach zu erklären und dennoch groß genug ist, um Aufsehen zu erregen. Im Allgemeinen ist es hier erforderlich, einen kleinen Haftungsausschluss zu erklären ( rus. Warnung). Es mag wie ein Witz klingen, aber ich mache überhaupt keine Witze. Ich sage es ganz im Ernst: Das akribische Eintauchen in solche mathematischen Tiefen, gepaart mit der hemmungslosen Erweiterung der Wahrnehmungsgrenzen, kann (und wird) gravierende Auswirkungen auf das Weltbild, auf die Positionierung des Einzelnen in der Gesellschaft und letztlich auf die Weltanschauung haben allgemein psychischer Zustand Pflücken, oder nennen wir einen Spaten Spaten, öffnet den Weg zur Albernheit. Es besteht keine Notwendigkeit, den folgenden Text zu sorgfältig zu lesen, und Sie sollten sich die darin beschriebenen Dinge nicht zu anschaulich und anschaulich vorstellen. Und sagen Sie später nicht, dass Sie nicht gewarnt wurden!

Bevor wir zu den Monsterzahlen übergehen, üben wir zunächst auf Katzen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es zur Beschreibung großer Zahlen (keine Monster, sondern einfach große Zahlen) zweckmäßig ist, wissenschaftliche oder sogenannte Zahlen zu verwenden. exponentiell Aufnahmemethode.

Wenn sie beispielsweise über die Anzahl der Sterne im Universum (im beobachtbaren Universum) sprechen, macht sich kein Idiot die Mühe, zu berechnen, wie viele es buchstäblich sind, bis hin zum letzten Stern. Es wird angenommen, dass es ungefähr 10 21 Stück sind. Und das ist eine niedrigere Schätzung. Das bedeutet, dass die Gesamtzahl der Sterne durch eine Zahl ausgedrückt werden kann, die nach der Eins 21 Nullen hat, also „1.000.000.000.000.000.000.000.“

So sieht ein kleiner Teil davon (etwa 100.000) im Kugelsternhaufen Omega Centauri aus.

Natürlich spielen bei solchen Skalen die tatsächlichen Zahlen keine wesentliche Rolle, schließlich ist alles sehr willkürlich und ungefähr. Kann sein tatsächlich Die Anzahl der Sterne im Universum beträgt „1.564.861.615.140.168.357.973“ oder vielleicht „9.384.684.643.798.468.483.745“. Oder sogar „3 333 333 333 333 333 333 333“, warum nicht, obwohl es natürlich unwahrscheinlich ist. In der Kosmologie, der Wissenschaft von den Eigenschaften des Universums als Ganzes, kümmert man sich nicht um solche Kleinigkeiten. Die Hauptsache ist, sich das vorzustellen etwa Diese Zahl besteht aus 22 Ziffern, was es bequemer macht, sie als Eins gefolgt von 21 Nullen zu betrachten und sie als 10 21 zu schreiben. Die Regel ist allgemein und sehr einfach. Welche Zahl oder Zahl steht anstelle des Grades (gedruckt). Kleingedrucktes(hier über 10), so viele Nullen nach eins werden in dieser Zahl sein, wenn man sie auf einfache Weise malt, mit Vorzeichen hintereinander, und nicht auf wissenschaftliche Weise. Manche Zahlen haben „menschliche Namen“, zum Beispiel nennen wir 10 3 „Tausend“, 10 6 – „Million“ und 10 9 – „Milliarde“, andere jedoch nicht. Nehmen wir an, 10 59 hat keinen allgemein akzeptierten Namen. Und 10 21 hat es übrigens – das ist eine „Sextillion“.

Alles, was bis zu einer Million geht, ist für fast jeden Menschen intuitiv verständlich, denn Wer möchte nicht Millionär werden?? Dann fangen einige Leute an, Probleme zu bekommen. Obwohl fast jeder eine Milliarde kennt (10 9). Sie können sogar bis zur Milliarde zählen. Wenn man direkt nach der Geburt, im wahrsten Sinne des Wortes im Moment der Geburt, anfängt, einmal pro Sekunde zu zählen „eins, zwei, drei, vier...“ und nicht schläft, nicht trinkt, nicht isst, sondern einfach nur zähle, zähle, zähle unermüdlich Tag und Nacht, dann kannst du mit 32 bis zu einer Milliarde zählen, denn 32 Umdrehungen der Erde um die Sonne dauern etwa eine Milliarde Sekunden.

7 Milliarden Menschen leben auf unserem Planeten. Zählen Sie sie auf der Grundlage des oben Gesagten der Reihe nach Menschenleben Das ist völlig unmöglich, man muss mehr als zweihundert Jahre leben.

100 Milliarden (10 11) – so viele Menschen haben im Laufe seiner Geschichte auf dem Planeten gelebt. McDonald's verkaufte in den 50 Jahren seines Bestehens bis 1998 100 Milliarden Hamburger. In unserer Milchstraße gibt es 100 Milliarden Sterne (naja, etwas mehr), und die Sonne ist einer von ihnen. Das beobachtbare Universum enthält die gleiche Anzahl an Galaxien. Im menschlichen Gehirn gibt es 100 Milliarden Neuronen. Und im Blinddarm eines jeden, der diese Zeilen liest, lebt die gleiche Anzahl anaerober Bakterien.

Billion (10 12) ist eine Zahl, die selten verwendet wird. Es ist unmöglich, auf eine Billion zu zählen; es wird 32.000 Jahre dauern. Vor einer Billion Sekunden lebten Menschen in Höhlen und jagten Mammuts mit Speeren. Ja, vor einer Billion Sekunden lebten Mammuts auf der Erde. In den Ozeanen unseres Planeten gibt es etwa eine Billion Fische. Unsere benachbarte Andromeda-Galaxie hat etwa eine Billion Sterne. Ein Mensch besteht aus 10 Billionen Zellen. Das BIP Russlands belief sich 2013 auf 66 Billionen Rubel (im Jahr 2013 Rubel). Von der Erde bis zum Saturn waren in allen jemals veröffentlichten Büchern 100 Billionen Zentimeter und insgesamt die gleiche Anzahl an Buchstaben abgedruckt.

Billiarden (10 15 Millionen Milliarden) – so viele Ameisen gibt es auf dem Planeten. Dieses Wort normale Leute Sie sagen es nicht laut, nun ja, geben Sie es zu, wenn Sie das letzte Mal Haben Sie in einem Gespräch „eine Billiarde von etwas“ gehört?

Quintillion (10 18, Milliarden Milliarden) – so viele mögliche Konfigurationen gibt es beim Lösen eines 3x3x3 Zauberwürfels. Auch die Anzahl der Kubikmeter Wasser in den Weltmeeren.

Sextillion (10 21) – diese Zahl ist uns bereits begegnet. Die Anzahl der Sterne im beobachtbaren Universum. Die Anzahl der Sandkörner in allen Wüsten der Erde. Die Anzahl der Transistoren in allen existierenden elektronischen Geräten der Menschheit, wenn Intel uns nicht angelogen hätte.

10 Sextillionen (10 22) ist die Anzahl der Moleküle in einem Gramm Wasser.

10 24 ist die Masse der Erde in Kilogramm.

10 26 ist der Durchmesser des beobachtbaren Universums in Metern, aber die Berechnung in Metern ist nicht sehr praktisch; die allgemein akzeptierten Grenzen des beobachtbaren Universums betragen 93 Milliarden Lichtjahre.

Die Wissenschaft operiert nicht mit Dimensionen, die größer sind als das beobachtbare Universum. Wir wissen mit Sicherheit, dass das beobachtbare Universum nicht das Ganze, das Ganze, das ganze Universum ist. Dies ist der Teil, den wir, zumindest theoretisch, sehen und beobachten können. Oder sie haben es vielleicht schon einmal gesehen. Oder wir werden es eines Tages in ferner Zukunft sehen können und dabei im Rahmen der modernen Wissenschaft bleiben. Vom Rest des Universums können uns selbst mit Lichtgeschwindigkeit keine Signale erreichen, weshalb diese Orte aus unserer Sicht nicht zu existieren scheinen. Wie groß ist dieses große Universum? tatsächlich niemand weiß es. Vielleicht eine Million Mal mehr als Observable. Oder vielleicht eine Milliarde. Oder vielleicht sogar endlos. Ich sage Ihnen, das ist keine Wissenschaft mehr, sondern Wahrsagerei auf Kaffeesatz. Wissenschaftler haben einige Vermutungen, aber das ist mehr Fantasie als Realität.

Um kosmische Ausmaße zu visualisieren, ist es sinnvoll, dieses Bild zu studieren und es auf den Vollbildmodus zu erweitern.

Aber selbst im beobachtbaren Universum kann man viel mehr als nur Meter unterbringen.

Der Planet Erde besteht aus 10 51 Atomen.

10 80 ist die ungefähre Anzahl der Elementarteilchen im beobachtbaren Universum.

10 90 ist die ungefähre Anzahl der Photonen im beobachtbaren Universum. Es gibt davon fast 10 Milliarden Mal mehr als Elementarteilchen, Elektronen und Protonen.

10 100 - googol. Diese Zahl hat physikalisch keine Bedeutung, sie ist einfach rund und hübsch. Das Unternehmen, das sich 1998 zum Ziel gesetzt hatte, die Links von Google zu indizieren (nur ein Scherz, das ist natürlich mehr als die Anzahl der Elementarteilchen im Universum!), nahm den Namen Google an.

10.122 Protonen werden benötigt, um das beobachtbare Universum vollständig zu füllen, dicht an dicht, Proton an Proton, Ende an Ende.

Das beobachtbare Universum umfasst 10.185 Planck-Bände. Unsere Wissenschaft kennt keine kleineren Größen als das Planck-Volumen (ein Würfel mit einer Planck-Länge von 10–35 Metern). Sicherlich gibt es dort, wie im Universum, etwas noch Kleineres, aber Wissenschaftler haben noch keine vernünftigen Formeln für solche Kleinigkeiten gefunden, es ist nur reine Spekulation.

Es stellt sich heraus, dass etwa 10.185 die größte Zahl ist, die im Prinzip etwas bedeuten könnte moderne Wissenschaft. In einer Wissenschaft, die berühren und messen kann. Es ist etwas, das existiert oder existieren könnte, wenn wir alles über das Universum wüssten, was es zu wissen gibt. Die Zahl besteht aus 186 Ziffern, hier ist sie:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Natürlich endet die Wissenschaft hier nicht, aber darüber hinaus gibt es freie Theorien, Vermutungen und sogar nur pseudowissenschaftliches Kratzen und Rennen. Sie haben zum Beispiel wahrscheinlich schon von der Inflationstheorie gehört, der zufolge unser Universum möglicherweise nur Teil eines allgemeineren Multiversums ist, in dem diese Universen wie Blasen in einem Ozean aus Champagner sind.

Oder haben Sie schon von der Stringtheorie gehört, nach der es etwa 10.500 Konfigurationen von Saitenschwingungen geben kann, was die gleiche Anzahl potenzieller Universen bedeutet, von denen jedes seine eigenen Gesetze hat?

Je weiter man in den Wald vordringt, desto weniger theoretische Physik und Wissenschaft im Allgemeinen bleiben in der wachsenden Zahl, und hinter den Nullenkolonnen beginnt eine immer reinere, ungetrübtere Königin der Wissenschaften aufzutauchen. Mathematik ist keine Physik, es gibt keine Einschränkungen und es gibt nichts, wofür man sich schämen muss, Spaß haben, Nullen in Formeln schreiben bis zum Umfallen.

Ich werde nur das Bekannte erwähnen googolplex. Eine Zahl mit Googol-Ziffern, zehn hoch googol (10 googol) oder zehn hoch zehn hoch hundert (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ich werde es nicht in Zahlen aufschreiben. Googolplex bedeutet absolut nichts. Eine Person kann sich keinen Googolplex von irgendetwas vorstellen, es ist physikalisch unmöglich. Um eine solche Zahl aufzuschreiben, benötigen Sie das gesamte beobachtbare Universum, wenn Sie mit einem „Nanostift“ direkt über das Vakuum schreiben, tatsächlich in die Planck-Zellen des Kosmos. Wandeln wir alle Materie in Tinte um und füllen das Universum nur mit festen Zahlen, dann erhalten wir einen Googolplex. Aber Mathematiker ( gruselige Leute!) Sie wärmen sich gerade mit Googolprex auf, das ist für sie die niedrigste Messlatte, ab der echte Nobodys starten. Und wenn Sie denken, dass es sich hier um Googolplex im Ausmaß von Googolplex handelt, haben Sie keine Ahnung, wie falsch Sie liegen.

Es gibt viele Leute, die Googleplex folgen interessante Zahlen, die die eine oder andere Rolle in mathematischen Beweisen spielt, gehen wir direkt zur Graham-Zahl über, benannt nach (natürlich) dem Mathematiker Ronald Graham. Zuerst erzähle ich Ihnen, was es ist und warum es benötigt wird, dann im übertragenen Sinne und an deinen Fingern™ Ich beschreibe seine Größe und schreibe dann die Nummer selbst auf. Genauer gesagt werde ich versuchen zu erklären, was ich geschrieben habe.

Grahams Nummer erschien in einem Aufsatz, der sich der Lösung eines der Probleme der Ramsey-Theorie widmete, und „Ramsey“ ist hier kein Gerundium unvollkommene Form, und der Name eines anderen Mathematikers, Frank Ramsey. Die Aufgabe ist aus Laiensicht natürlich recht weit hergeholt, wenn auch nicht sehr kompliziert und sogar leicht verständlich.

Stellen Sie sich einen Würfel vor, dessen Eckpunkte alle durch Liniensegmente in zwei Farben, Rot oder Blau, verbunden sind. Verbunden und in zufälliger Reihenfolge gefärbt. Einige Leute haben bereits vermutet, dass wir über einen Zweig der Mathematik namens Kombinatorik sprechen werden.

Werden wir in der Lage sein, eine Farbkonfiguration zu erfinden und auszuwählen (und es gibt nur zwei davon – Rot und Blau), sodass wir beim Färben dieser Segmente NICHT am Ende alle Segmente derselben Farbe haben, die die vier darin liegenden Eckpunkte verbinden? das gleiche Flugzeug? IN in diesem Fall, repräsentieren NICHT eine solche Figur:

Sie können selbst darüber nachdenken, den Würfel in Ihrer Fantasie vor Ihren Augen drehen, das ist nicht so schwierig. Es gibt zwei Farben, der Würfel hat 8 Eckpunkte (Ecken), was bedeutet, dass es 28 Segmente gibt, die sie verbinden. Sie können die Farbkonfiguration so wählen, dass wir nirgendwo die obige Abbildung erhalten, sondern mehrfarbige Linien in allen möglichen Ebenen.

Was wäre, wenn wir mehr Dimensionen hätten? Was wäre, wenn wir keinen Würfel, sondern einen vierdimensionalen Würfel nehmen würden, d.h. Tesserakt? Können wir den gleichen Trick wie bei 3D umsetzen?

Ich werde gar nicht erst erklären, was ein vierdimensionaler Würfel ist, weiß das jeder? Ein vierdimensionaler Würfel hat 16 Eckpunkte. Und Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen und versuchen, sich einen vierdimensionalen Würfel vorzustellen. Das ist reine Mathematik. Ich habe mir die Anzahl der Dimensionen angesehen, sie in die Formel eingefügt und die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten, Flächen usw. ermittelt. Ein vierdimensionaler Würfel hat also 16 Eckpunkte und 120 diese verbindende Segmente. Die Anzahl der Farbkombinationen ist im vierdimensionalen Fall viel größer als im dreidimensionalen Fall, aber auch hier ist das Zählen, Teilen, Reduzieren und dergleichen nicht sehr schwierig. Kurz gesagt, finden Sie heraus, dass Sie im vierdimensionalen Raum auch kreativ werden können, indem Sie die Segmente eines Hyperwürfels so einfärben, dass alle Linien derselben Farbe, die vier Eckpunkte verbinden, nicht in derselben Ebene liegen.

In der fünften Dimension? Und in der fünften Dimension, wo der Würfel Penteract oder Pentacube genannt wird, ist es auch möglich.
Und zwar im Sechsdimensionalen.

Und dann gibt es Schwierigkeiten. Graham konnte mathematisch nicht beweisen, dass ein siebendimensionaler Hyperwürfel eine solche Operation durchführen könnte. Sowohl achtdimensional als auch neundimensional und so weiter. Aber dieses „und so weiter“, wie sich herausstellte, geht nicht bis ins Unendliche, sondern endet mit einer sehr großen Zahl, die „Graham-Zahl“ genannt wurde.

Das heißt, es gibt welche Mindestmaß Hyperwürfel, bei dem die Bedingung verletzt ist und es nicht mehr möglich ist, die Kombination der Färbung von Segmenten so zu vermeiden, dass vier Punkte derselben Farbe in derselben Ebene liegen. Und diese Mindestabmessung ist definitiv mehr als sechs und definitiv kleiner als Grahams Zahl, das ist der mathematische Beweis des Wissenschaftlers.

Und nun die Definition dessen, was ich oben in mehreren Absätzen beschrieben habe, in der trockenen und langweiligen (aber umfangreichen) Sprache der Mathematik. Es besteht kein Grund, es zu verstehen, aber ich kann nicht anders, als es anzusprechen.

Betrachten Sie einen n-dimensionalen Hyperwürfel und verbinden Sie alle Eckpunktpaare, um einen vollständigen Graphen mit 2n Eckpunkten zu erhalten. Lassen Sie uns jede Kante dieses Diagramms entweder rot oder blau färben. Denn was ist der kleinste Wert von n? Jede solche Färbung enthält notwendigerweise einen einfarbigen vollständigen Untergraphen mit vier Eckpunkten, die alle in derselben Ebene liegen?

Im Jahr 1971 bewies Graham, dass dieses Problem eine Lösung hat und dass diese Lösung (die Anzahl der Dimensionen) zwischen der Zahl 6 und einer größeren Zahl liegt, die später (nicht vom Autor selbst) nach ihm benannt wurde. Im Jahr 2008 wurde der Beweis verbessert, die Untergrenze angehoben und nun liegt die erforderliche Anzahl an Dimensionen zwischen der Zahl 13 und der Graham-Zahl. Mathematiker schlafen nicht, die Arbeit geht weiter, der Spielraum wird kleiner.

Viele Jahre sind vergangen, seit sie in den 70er Jahren gefunden wurden Mathe Probleme in dem Zahlen auftauchen, die größer als Graham sind, aber diese erste Monsterzahl überraschte Zeitgenossen, die die Größenordnung verstanden, von der wir sprachen, so sehr, dass sie 1980 als „die größte Zahl, die jemals an einem strengen mathematischen Beweis beteiligt war“ in das Guinness-Buch der Rekorde aufgenommen wurde dieser Moment.

Versuchen wir herauszufinden, wie groß es ist. Die größte Zahl, die es geben kann physikalische Bedeutung 10 185, und wenn das gesamte beobachtbare Universum mit einer scheinbar endlosen Menge winziger Zahlen gefüllt ist, erhalten wir etwas, das dem entspricht googolplex.

Können Sie sich diese Weite vorstellen? Vorwärts, rückwärts, auf, ab, so weit das Auge reicht und so weit das Hubble-Teleskop reicht, und sogar so weit das Hubble-Teleskop reicht, bis zu den entferntesten Galaxien und der Blick darüber hinaus – Zahlen, Zahlen, Zahlen viel kleiner als ein Proton. Ein solches Universum wird natürlich nicht lange existieren können; es wird sofort in ein Schwarzes Loch kollabieren. Erinnern Sie sich, wie viele Informationen theoretisch in das Universum passen? Ich bin.

Die Zahl ist wirklich riesig, es haut einen um. Es ist nicht genau gleichbedeutend mit dem Googolplex und es hat keinen Namen, also nenne ich es „ dochulion". Ich habe gerade darüber nachgedacht, warum nicht. Die Anzahl der Planck-Zellen im beobachtbaren Universum, und jede Zelle enthält eine Ziffer. Die Zahl enthält 10.185 Ziffern, sie kann als 10 10 185 dargestellt werden.

dochulion = 10 10 185

Öffnen wir die Türen der Wahrnehmung etwas weiter. Erinnern? Dass unser Universum nur eine von vielen Blasen im Multiversum ist. Und wenn Sie es sich vorstellen dochulion solche Blasen? Nehmen wir eine Zahl, die so lang ist wie alles, was existiert, und stellen wir uns ein Multiversum mit einer ähnlichen Anzahl von Universen vor, von denen jedes bis zum Rand mit Zahlen bedeckt ist – wir erhalten dochulion dokhulion. Können Sie sich das vorstellen? Wie du in der Nichtexistenz eines Skalarfeldes schwebst, und um dich herum sind Universen-Universen und in ihnen Zahlen-Zahlen-Zahlen ... Ich hoffe, dass solch ein Albtraum (obwohl, warum ein Albtraum?) dich nicht quälen wird ( und warum quälen?) ein übermäßig beeinflussbarer Leser nachts.

Der Einfachheit halber nennen wir diesen Vorgang „ umdrehen". Solch ein leichtfertiger Einwurf, als hätten sie das Universum genommen und es von innen nach außen gedreht, dann wäre es innen in Zahlen, aber jetzt haben wir im Gegenteil so viele Universen draußen, wie es Zahlen gab, und jede Kiste ist voll, voller Zahlen. Wie man einen Granatapfel schält, man biegt die Kruste so, die Körner kehren von innen heraus, und es sind wieder Granatäpfel in den Körnern. Es war auch eine spontane Idee, warum nicht, mit. dochulion schließlich war es eine Fahrt.

Worauf hinaus will ich? Sollten Sie langsamer fahren? Komm schon, Hoba, und noch einer umdrehen! Und jetzt haben wir so viele Universen, wie es Zahlen in den Universen gab, deren Zahl bis zu einer Million Zahlen entsprach, die unser Universum füllten. Und sofort, ohne anzuhalten, wieder umdrehen. Und der vierte und fünfte. Zehntel, Tausendstel. Bleiben Sie mit Ihren Gedanken auf dem Laufenden, können Sie sich das Bild noch vorstellen?

Verschwenden wir keine Zeit mit Kleinigkeiten, lasst uns die Flügel der Fantasie ausbreiten, bis zum Äußersten beschleunigen und umdrehen Flip-Flips. Wir drehen jedes Universum so oft um, wie es Dutzende von Universen beim vorherigen Umdrehen gab, das ein Umdrehen gegenüber dem vorletzten war, dem ... äh ... nun, verfolgst du? Irgendwo so. Lassen Sie unsere Zahl nun lauten: „ dohuliard".

dohuliard = Flip-Flips

Wir hören nicht auf und drehen weiterhin Dohullions von Dohuliards um, solange wir die Kraft dazu haben. Bis es in deinen Augen dunkel wird, bis du schreien willst. Hier ist jeder seine eigene tapfere Buratina, das sichere Wort wird „Käsekäse“ sein.

Also. Worum geht es? Die riesigen und unendlichen Dohullions von Flips und Dohuliards von Universen mit vollständigen Ziffern können nicht mit Grahams Zahl verglichen werden. Sie kratzen nicht einmal an der Oberfläche. Wenn die Graham-Zahl in Form eines Stabes dargestellt wird, der sich traditionell über das gesamte beobachtbare Universum erstreckt, dann sind wir hier bei Ihnen vermasselt Es wird sich herausstellen, dass es eine Kerbe an Dicke ist... na ja... wie kann ich das, gelinde gesagt, so ausdrücken... nicht erwähnenswert. Also habe ich es so weich gemacht, wie ich konnte.

Jetzt lasst uns eine Pause machen und eine Pause machen. Wir lasen, wir zählten, unsere kleinen Augen waren müde. Vergessen wir Grahams Zahl, wir haben noch einen langen Weg vor uns, fokussieren unsere Augen, entspannen uns, meditieren über eine viel kleinere, gleichmäßige Miniaturzahl, die wir g 1 nennen, und schreiben sie in nur sechs Zeichen auf:

Die Zahl g 1 ist gleich „drei, vier Pfeile, drei“. Was bedeutet das? So sieht eine Aufzeichnungsmethode namens Knuth-Pfeilnotation aus.

Ein Pfeil bedeutet gewöhnliche Potenzierung.

1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Zwei Pfeile bedeuten eindeutig die Steigerung zu einer Potenz einer Potenz.

23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7.625.597.484.987 (mehr als 7 Billionen)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = eine Zahl mit etwa 3 Billionen Stellen

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 hoch einer Zahl mit 3 Billionen Ziffern – googolplex ist schon scheiße

Kurz gesagt: „Zahl Pfeil Pfeil eine andere Zahl“ zeigt die Höhe der Potenzen an (Mathematiker sagen „ Turm") wird aus der ersten Zahl gebildet. Beispielsweise bedeutet 58 einen Turm aus acht Fünfern und ist so groß, dass er auf keinem Supercomputer berechnet werden kann, auch nicht auf allen Computern auf dem Planeten gleichzeitig.

5 5 5 5 5 5 5 5

Kommen wir zu den drei Pfeilen. Wenn der Doppelpfeil die Höhe des Turms in Grad anzeigt, scheint der Dreifachpfeil dann „die Höhe des Turms oder die Höhe des Turms“ anzuzeigen? Was zum Teufel! Im Fall von drei haben wir die Höhe des Turms die Höhe des Turms die Höhe des Turms (in der Mathematik gibt es kein solches Konzept, ich habe beschlossen, es „“ zu nennen „ verrückt"). Irgendwie so:

Das heißt, 33 bildet einen verrückten Turm aus Drillingen, 7 Billionen hoch. Was sind 7 Billionen Dreier, die übereinander gestapelt sind und als „verrückt“ bezeichnet werden? Wenn Sie diesen Text sorgfältig gelesen haben und nicht gleich zu Beginn eingeschlafen sind, erinnern Sie sich wahrscheinlich daran, dass es von der Erde bis zum Saturn 100 Billionen Zentimeter sind. Die drei werden auf dem Bildschirm in der zwölften Schriftart angezeigt, diese – 3 – ist etwa fünf Millimeter hoch. Das bedeutet, dass sich von Ihrem Bildschirm aus eine verrückte Serie von Dreien ausbreitet ... na ja, natürlich nicht bis zum Saturn. Es wird nicht einmal die Sonne erreichen, sondern nur ein Viertel einer astronomischen Einheit, ungefähr so ​​viel wie von der Erde zum Mars gutes Wetter. Bitte beachten Sie (schlafen Sie nicht!), dass Rücksichtslosigkeit keine Zahl auf der Länge von der Erde bis zum Mars ist, sondern eine Zahl Turm der Grade so hoch. Wir erinnern uns, dass fünf Drillinge in diesem Turm den Googolplex bedecken, die Berechnung des ersten Dezimeters von Drillingen alle Sicherungen der Computer des Planeten durchbrennt und die verbleibenden Millionen Grad Kilometer sozusagen nutzlos sind, sie verspotten den Leser einfach offen. Sie zu zählen ist nutzlos und unmöglich.

Jetzt ist klar, dass 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 turmlos, (nicht 3 im Grad turmlos, sondern „drei Pfeile, turmloser Pfeil“(!)), auch bekannt als verrückt verrückt wird weder in der Länge noch in der Höhe in das beobachtbare Universum passen und wird nicht einmal in das vermeintliche Multiversum passen.

Bei 35 = 33333 enden die Wörter und bei 36 = 333333 die Interjektionen, aber Sie können bei Interesse üben.

Kommen wir zu den vier Pfeilen. Wie Sie bereits vermutet haben, sitzt hier der Verrückte auf dem Verrückten, er treibt den Verrückten herum, und selbst mit einem Turm ist es ohne Turm dasselbe. Ich werde nur im Stillen ein Bild geben, das das Schema zur Berechnung von jeweils vier Pfeilen enthüllt nächste Nummer Der Gradturm bestimmt die Höhe des Gradturms, der bestimmt die Höhe des Gradturms, bestimmt die Höhe des Gradturms ... und so weiter bis zur Selbstvergessenheit.

Es ist sinnlos, es zu berechnen, und es wird nicht funktionieren. Die Gradzahl kann hier nicht sinnvoll gezählt werden. Diese Zahl kann man sich nicht vorstellen, man kann sie nicht beschreiben. Keine Analogien an deinen Fingern™ sind nicht anwendbar, die Zahl ist einfach nicht vergleichbar. Wir können sagen, dass es riesig ist, dass es grandios ist, dass es monumental ist und dass es über den Horizont der Ereignisse hinausblickt. Das heißt, geben Sie ihm einige verbale Beinamen. Aber Visualisierung, selbst frei und fantasievoll, ist unmöglich. Wenn es mit drei Pfeilen noch möglich wäre, etwas zu sagen, eine Rücksichtslosigkeit von der Erde zum Mars zu zeichnen, es irgendwie mit etwas zu vergleichen, dann kann es einfach keine Analogien geben. Versuchen Sie sich einen dünnen Turm aus Drillingen von der Erde bis zum Mars vorzustellen, neben einem anderen, der fast gleich ist, und noch einem und noch einem ... Ein endloses Feld von Türmen geht in die Ferne, in die Unendlichkeit, Türme überall, Türme überall. Und was am beleidigendsten ist, ist, dass diese Türme nicht einmal etwas mit der Anzahl zu tun haben, sie bestimmen nur die Höhe anderer Türme, die gebaut werden müssen, um die Höhe der Türme zu erhalten, um die Höhe von zu erhalten die Türme ... so dass sie nach unvorstellbar langer Zeit und Iterationen die Nummer selbst erhalten.

Das ist g 1, das ist 33.

Hast du dich ausgeruht? Jetzt, ab g 1, kehren wir mit neuem Elan zum Angriff auf Grahams Zahl zurück. Ist Ihnen aufgefallen, wie die Eskalation von Pfeil zu Pfeil zunimmt?

33 = 7 625 597 484 987

33 = Turm, die Höhe der Erde zum Mars.

33 = eine Zahl, die man sich weder vorstellen noch beschreiben kann.

Können Sie sich vorstellen, was für ein digitaler Albtraum passiert, wenn sich herausstellt, dass der Schütze fünf Jahre alt ist? Wann sind es sechs? Können Sie sich die Zahl vorstellen, wenn der Schütze hundert sein wird? Wenn Sie können, möchte ich Sie auf die Zahl g 2 aufmerksam machen, bei der sich herausstellt, dass die Anzahl dieser Pfeile gleich g 1 ist. Erinnern Sie sich, was g 1 ist, oder?

Alles, was bisher geschrieben wurde, all diese Berechnungen, Grade und Türme, die nicht in die Multiversen der Multiversen passen, wurde nur für eine Sache benötigt. Um die ANZAHL DER PFEILE in der Zahl g anzuzeigen 2. Hier müssen Sie nichts zählen, Sie können einfach lachen und mit der Hand winken.

Ich möchte es nicht verheimlichen, es gibt auch g 3, das g 2-Pfeile enthält. Ist es übrigens immer noch klar, dass g 3 nicht g 2 „hoch“ von g 2 ist, sondern die Anzahl der verrückten Leute, die die Höhe bestimmen, der verrückten Türme, die die Höhe bestimmen ... und so weiter im Ganzen Kette auf den thermischen Tod des Universums zurückzuführen? Hier kann man anfangen zu weinen.

Warum weinen? Denn das stimmt absolut. Es gibt auch die Zahl g 4, die zwischen den Drillingen g 3 Pfeile enthält. Es gibt auch g 5, es gibt g 6 und g 7 und g 17 und g 43 ...

Kurz gesagt, es gibt 64 dieser g. Jeder vorherige ist numerisch gleich der Anzahl der Pfeile im nächsten. Das letzte g 64 ist Grahams Zahl, mit der alles so scheinbar harmlos begann. Dies ist die Anzahl der Dimensionen des Hyperwürfels, die auf jeden Fall ausreicht, um die Segmente korrekt mit roten und blauen Farben einzufärben. Vielleicht weniger, das ist sozusagen die Obergrenze. Es ist wie folgt geschrieben:

Und sie schreiben es so:

Das war's, jetzt können Sie sich wirklich entspannen. Man muss sich nichts mehr vorstellen oder berechnen. Wenn Sie bis hierher gelesen haben, sollte bereits alles passen. Oder steh nicht auf. Oder nicht alleine.

Ja, ein erfahrener Leser mit gepumpten Sicherungen, kein Grund für Vorwürfe, Sie haben vollkommen Recht. Grahams Nummer ist ein weit hergeholter und erfundener Blödsinn. All diese dimensionslosen Hyperwürfel und abstrakten Ebenen, verdammt noch mal, wer braucht sie schon? Wo sind die Kilogramm, wo sind die Elektronen, wo ist das, was gemessen werden kann? Was für ein leeres Geschwätz über nichts? Ich stimme zu. Das können wir im heutigen Beitrag sagen an deinen Fingern™максимально, на сколько это было возможно, далек от реальной науки, почти весь целиком парит в каких–то заумных математических фантазиях, в то время как ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого–то все еще туалет im Hof. Und wer hat es auf dem Feld?

Aber wissen Sie, es gibt eine solche Theorie, auch sehr kurzlebig und philosophisch, Sie haben vielleicht gehört – alles, was sich ein Mensch vorstellen oder vorstellen kann, wird eines Tages definitiv wahr werden. Denn die Entwicklung einer Zivilisation wird davon bestimmt, inwieweit sie in der Lage war, die Fantasien der Vergangenheit in die Realität umzusetzen.

Niemand weiß, was die Zukunft für uns bereithält. Die menschliche Zivilisation hat tausend Möglichkeiten, zu enden: Atomkriege, Umweltkatastrophen, tödliche Pandemien, welcher Asteroid auch immer eintreffen mag, Dinosaurier lassen Sie nicht lügen. Die Entwicklung der Menschheit kann von selbst aufhören, plötzlich gibt es ein solches Gesetz, dass die Entwicklung bei Erreichen eines bestimmten Niveaus einfach aufhört und das war's. Oder es werden Vertreter der intergalaktischen Union eintreffen und diese Entwicklung mit Gewalt stoppen.

Aber es besteht immer noch eine nicht geringe Chance, dass die Entwicklung der Menschheit ununterbrochen weitergeht. Auch wenn es nicht mehr so ​​rasant schnell geht wie in den letzten 100 Jahren, Hauptsache es geht voran, Hauptsache es ist fortschrittlich.

Die Natur hat ein unerschütterliches Gesetz, das uns seit der Antike bekannt ist. Egal, was passiert, egal, was wir denken, die Zeit wird nicht vergehen, sie wird vergehen. Ob wir es wollen oder nicht, mit oder ohne uns, es werden tausendzehntausend Jahre vergehen.

Vor 200 Jahren schien ein fliegender Teppich (ein gewöhnliches Flugzeug), ein Zauberspiegel (Skype-Video) oder das ferne Königreich (die Oberfläche des Planeten Mars) ein Wunschtraum zu sein; vor 20.000 Jahren verließen sie sich nur auf die Götter; Früher konnten sie sich das überhaupt nicht vorstellen; es fehlte ihnen an Vorstellungskraft. Können Sie sagen, was den Menschen in 200 Jahren zur Verfügung stehen wird? Im Jahr 2000, in 20.000 Jahren?

Wird die Menschheit überleben, wird es überhaupt die Menschheit mit der Vorsilbe „Mensch-“ sein, oder endet vielleicht bis dahin die Phase der Künstlichen Intelligenz und es entstehen ätherische Energiesubstanzen einer besonderen Bewusstseinskategorie? Vielleicht ja vielleicht nein.

Was, wenn eine Million Jahre vergehen? Aber er wird gehen, wohin er auch geht. Grahams Zahl und im Allgemeinen alles, worüber ein Mensch nachdenken, sich vorstellen, aus der Vergessenheit befreien und, wenn auch nicht greifbar, so doch zumindest eine Einheit mit einer Bedeutung machen kann, wird früher oder später definitiv zum Tragen kommen. Nur weil wir heute genug Kraft hatten zur Fähigkeit entwickeln, solche zu verwirklichen.

Heute oder morgen, wenn Sie die Gelegenheit dazu haben, werfen Sie Ihren Kopf zurück in den Nachthimmel. Erinnern Sie sich an den Moment, in dem Sie Ihre eigene Bedeutungslosigkeit gespürt haben? Spüren Sie, wie winzig ein Mensch ist? Ein Staubkorn, ein Atom im Vergleich zum grenzenlosen Universum, das voller unzähliger Sterne ist, und der Abgrund ist dementsprechend auch nicht klein.

Versuchen Sie das nächste Mal zu spüren, dass das Universum im Vergleich zu dem, was in Ihrem Kopf passiert, ein Sandkorn ist. Welche Abgründe tun sich auf, welche unermesslichen Konzepte werden geboren, welche Welten entstehen, wie das Universum mit nur einer Gedankenbewegung von innen nach außen umgedreht wird, wie und wie sich lebendige, intelligente Materie von toter und irrationaler Materie unterscheidet.

Ich glaube, dass jemand nach einiger Zeit nach Grahams Nummer greift, sie mit der Hand berührt oder was auch immer er bis dahin anstelle einer Hand haben wird. Das ist kein gültiger, wissenschaftlich belegter Gedanke, es ist eigentlich nur eine Hoffnung, etwas, das mich inspiriert. Kein Glaube mit einem großen F, keine religiöse Ekstase, keine Lehre und keine spirituelle Praxis. Das ist es, was ich von der Menschheit erwarte. Ich bemühe mich, im Rahmen meiner Möglichkeiten zu helfen. Allerdings bezeichne ich mich aus Vorsicht weiterhin als Agnostiker.

Um uns die Größenordnung der Zahl zumindest einigermaßen vorzustellen, schauen wir uns ihre Schreibweise genauer an.

1 . In der Mathematik gibt es daher das Konzept des „Hyperoperators“, um das Niveau arithmetischer Operationen zu bestimmen. Somit ist die Addition ein Hyperoperator der ersten Ebene und ein Hyperoperator der zweiten Ebene die Multiplikation, bei der es sich um eine wiederholte Addition handelt. Das heißt, ein Multiplikator ist eine Zahl, die uns sagt, wie oft wir den zu multiplizierenden Wert addieren müssen. Zum Beispiel: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Der nächste Hyperoperator ist die Potenzierung, X N = X^N, was im Wesentlichen eine wiederholte Multiplikation ist. Beispiel: 3 3 = 3 3 3 = 27. Das Schreiben von 3 3 in der Knuth-Notation sieht wie 33 aus. Der Klarheit halber sollte hier gesagt werden, dass die erste Ziffer im Ausdruck 33 der Wert ist, mit dem wir die Aktion ausführen, und die Anzahl der Pfeile zwischen Zahlen ist eine arithmetische Operation; in diesem Fall bedeutet ein Pfeil Potenzierung. Die zweite Ziffer gibt an, um wie viel Potenz die erste Ziffer erhöht werden soll (wie oft mit sich selbst multipliziert werden soll). Dementsprechend bedeutet der Ausdruck 74 sieben hoch vier. Mit anderen Worten: 7 muss viermal mit 7 multipliziert werden.

2 . Der Hyperoperator der vierten Ebene ist die Tetration, die wiederholte Potenzierung. In Knuths Eintrag befinden sich zwischen den Zahlen zwei Pfeile. Beispiel: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. Das heißt, die zweite Ziffer in Gegenwart von zwei Pfeilen bedeutet, dass Sie die erste Zahl so oft potenzieren müssen. Mit anderen Worten, es zeigt uns die Höhe des Kraftturms ab der ersten Zahl. Der Eintrag 58 bedeutet beispielsweise einen Turm aus acht Fünfern, die wie Würfel übereinander gestapelt sind.

Diejenigen, deren Gehirn völlig mit Fett geschwollen ist oder die nur darüber nachdenken, wie man einen Chan findet, seinen Elf aufpumpt oder Akne loswird, sollten bedenken, dass in Tetraration Ausdrücke berechnet werden von oben nach unten, oder von rechts nach links. Einfach ausgedrückt: 3 3 3 ist nicht gleich 27 3, sondern immer noch das Gleiche 3 27 . Nun siehst du, mein kleiner pelziger Freund, dass die Tetration bereits eine ziemlich leistungsfähige Schreibweise ist, die es dir ermöglicht, 100500-mal größere Zahlen als 100500 selbst in einem kurzen Ausdruck zu schreiben. Aber das ist noch nicht alles, denn es ist kein leistungsstarker Hyperoperator dafür Berechnen Sie die Graham-Zahl.

3 . Gehen wir weiter: Der Hyperoperator der fünften Ebene ist Pentation (wiederholende Tetration). Drei Pfeile zwischen den Zahlen. Hier beginnt der Blödsinn, von dem Leute, die keine professionellen Mathematiker sind, diesen ganzen Mist ausspucken und nicht mehr versuchen, ihn zu verstehen. Aber du bist nicht wie sie, oder? Wenn Sie dachten, dass das Pentagramm der Zahl 3 zu 3 hoch 7.625.597.484.987 erweitert wird, dann irren Sie sich. Sie haben keine Ahnung, wie falsch Sie liegen. Weil 3 hoch 7.625.597.484.987 nur 34 ist. Und Pentation ist 33 = 3(33) = 3(7.625.597.484.987) = 33…( Anzahl der Potenzierungen - 7.625.597.484.987 Mal)…3. Das heißt, ein ruhiger Turm aus Drillingen ist mehr als siebeneinhalb Billionen Stockwerke hoch! Mit anderen Worten, Die zweite Zahl mit drei Pfeilen gibt an, wie hoch der Tetrarationsturm der ersten Zahl sein wird. Zur besseren Übersichtlichkeit: 34 kann als 3 3 3 3 oder 3 (3 (3 3)) geschrieben werden. Und hier geht es vor allem darum zu verstehen, dass dieser Turm der Tetraationen kein Turm der Grade ist, hier erfolgt die Eskalation viel schneller. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Endlich verstanden, Schlampe?! 34 ist gleich 3 in der Tetraration der Zahl, die man erhält, indem man aus der Zahl 3 den Kraftturm mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken berechnet. Wenn dementsprechend 34 als Kraftturm aus Drillingen geschrieben wird, entspricht die Anzahl der Stockwerke in diesem Turm der Zahl, die man bei der Berechnung eines Kraftturms mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken erhalten würde. Hast du es dir vorgestellt? Das hätte ich mir natürlich nicht vorstellen können, solche Mengen kann man nicht auf einmal erfassen.

Wenn Sie immer noch langsam nicht verstehen, was zum Teufel hier vor sich geht, dann lesen Sie Absatz 2 noch einmal.

4 . Und der letzte Hyperoperator, den wir brauchen, ist Verhexung. Wie Sie vielleicht schon erraten haben, befinden sich zwischen den Dreien vier Pfeile. Dies ist dementsprechend eine wiederholte Penation. Die zweite Zahl gibt bei vier Pfeilen an, wie hoch der „Pentation“-Turm sein wird. 33 = 3(33) = 333…33, wobei die Anzahl der Tetraationen das Ergebnis der Berechnung von Pentation 33 ist. Wenn Sie immer noch nichts verstehen, lesen Sie die Punkte 3 und 2 noch einmal.
Wenn wir zum Ende dieser undenkbaren Tetrarationskette gehen und anfangen, sie zu berechnen, dann wird das zweite Tripel vom Ende 7.625.597.484.987 in der Tetraration sein, und das Ergebnis der Tetratation vom dritten Tripel vom Ende wird die Zahl sein erhalten durch Pentatieren des Tripels im vorherigen Absatz. Und vor uns liegen weitere Googolplexe und Googolplexe sich wiederholender Tetraationen der Zahl 3. Hier ist es bereits sinnlos, zu versuchen, etwas zu begreifen, das Ergebnis irgendwie zu begreifen ... Und hier fragen Sie sich vielleicht: „Ist das wirklich Grahams Zahl?“ Wow, wie riesig es ist!“ Aber nein, das ist nicht Grahams Nummer. Es war nur ein mathematisches Sprichwort, und es ist unbedeutend, unermesslich klein im Vergleich zu Grahams Zahl.

Daher ist die Verhexung nur das Hinzufügen eines einzigen Pisspfeils zur Pentation, aber das Ergebnis ist um unvorstellbare Größenordnungen größer. Und nun eigentlich die Berechnung der Graham-Zahl. Die Zahl drei in den Beispielen wurde aus einem bestimmten Grund verwendet, da Grahams Zahl im Wesentlichen aus multiplizierten Drillingen besteht. Nennen wir also das Ergebnis unserer Verhexung (33) G1. Dies ist der erste Schritt der Berechnungen. Nur der erste. Und der nächste Schritt beschleunigt den Fortschritt, sodass das Hinzufügen von eins, zehn, MILLIONEN Pfeilen zwischen den Zahlen die Zeit markiert. Schritt zwei ist die Berechnung von G2. Jetzt nehmen wir das Ergebnis unserer Verhexung des Tripels und schreiben einen Ausdruck, bei dem die Anzahl der Supermachtpfeile diesem Ergebnis entspricht. G2 = 3…(Anzahl der Supermachtpfeile – G1)…3. Ich frage mich, wie der Hyperoperator DIESER Ebene heißt?

Das Schreiben nicht nur des Ergebnisses, sondern auch dieses Hyperoperators ist ohne Abkürzung nicht mehr möglich. Und die Zahl, die sich aus ihrer Berechnung ergibt (wenn es natürlich möglich wäre, sie zu berechnen), würde das Universum, Parallelwelten, den Unterraum und jede andere Astralebene mit ihren Zahlen füllen. Und vergessen Sie nicht, dass in G1 die Anzahl der Pfeile gleich vier war – und das ist bereits eine Zahl, die für die Berechnung und Aufzeichnung auf herkömmliche Weise nicht zugänglich ist! Und in G2 ist diese Zahl nur die Anzahl der Supergrade. Das ist es. Der Fortschritt ist unglaublich schnell. Und das ist erst der Anfang. Der nächste Schritt besteht darin, die Zahl G3 zu berechnen, wobei die Anzahl der Supermachtpfeile gleich G2 ist! In ähnlicher Weise folgen weitere 62 Berechnungsschritte, wobei das Ergebnis jedes Schritts nur die Anzahl der Supermachtpfeile des nächsten Schritts ist und Grahams Zahl G64 ist!

Vaisten, der Matan liefert manchmal schlechtere Ergebnisse als alle Medikamente.

Die größten Zahlen, die in Dezimalschreibweise geschrieben werden können. Ja, wir brauchen einen Nanostift und das gesamte Universum, aber theoretisch können wir uns zumindest vorstellen, wie wir es aufschreiben würden. Aber damit ist die Zählung noch nicht zu Ende, und hinter den Googolplexen, Googolplexen bis zum Grad von Googolplex und den Fakultäten all dieser Güte, leben solche Monster, die man sich weder vorstellen noch verstehen kann. Gleichzeitig sind diese Monster Lösungen für ganz spezifische Probleme und haben praktische Bedeutung.

Einleitend
Irgendwann werden uns die Möglichkeiten ausgehen, Zahlen aufzuschreiben. Zuerst verwenden wir die Dezimalschreibweise, dann Addition und Multiplikation, dann schreiben wir Zahlen in Form von Potenzen und dann in Form von Potenzen. Aber für die Zahlen, die weiter unten besprochen werden, reicht das Universum (und auch das Multiversum) nicht mehr aus, um einen Kraftturm so zu schreiben, als ob die Größe jeder Ziffer Planckianisch wäre!

Also, meine Freunde, fangen wir an:
Hier ist die Addition: a + b = a + 1 + 1 + ... und so weiter b-mal;
Hier ist die Multiplikation: a × b = a + a + a + ... und so weiter b-mal;
Hier ist der Grad: a b = a × a × a × ... und so weiter b-mal;

Die Funktion wächst eher langsam, und dann können wir nur noch Stromtürme verwenden: b a = a a a a ..., und danach gehen die Mittel zur Erfassung von Zahlen aus, von denen die meisten Menschen eine Vorstellung haben. Um wirklich unglaubliche Zahlen zu schreiben, wird daher eine andere Notation verwendet – die Pfeilnotation, verfasst von Donald Knuth.

Knuths Pfeilnotation
a b = a b = a × a × a × ..., und so b mal – das ist verständlich;

A b = a (a b), also a (a (... b mal... a)), ist ein ruhiger Turm. Soweit so gut, aber wir brauchen ein Beispiel, um die Vorgehensweise zu verstehen:
3 2 = 3 3 = 27;
3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (der Standardrechner erzeugt bereits einen Fehler);
3 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

Schauen Sie, die Funktion wächst sehr schnell, wenn sich eines der Argumente „nur um eins“ ändert, sind wir bereits über den Googolplex hinausgegangen, aber das ist erst der Anfang.

a b = a (a (... b mal... a)), das heißt,
3 3 = 3 (3 3) = 3 7 625 597 484 987 = 3 3 ...7 625 597 484 987 mal... 3 . Um das Ausmaß der Tragödie zu verstehen: Dieser beschauliche Turm aus Drillingen ist so hoch wie der Mars. Ich betone in Rot: keine Zahl so lang wie der Mars, sondern die Höhe eines Gradturms so lang wie der Mars. Es ist unmöglich zu verstehen und sich vorzustellen, wie viel das in Stücken ist. Sie können sich nur entspannen und Spaß haben, aber ich möchte Sie mit ein wenig Sadismus daran erinnern, dass 3 5 vom Googolplex erstellt wird und 3 9 überhaupt nicht mit der kombinierten Leistung aller irdischen Computer berechnet werden kann.

Höhe des Kraftturms 3 3

3 4 – dieser Mist bezieht sich bereits auf eklatantes Mobbing gesunder Menschenverstand. Wenn es früher möglich war, sich irgendwie vorzustellen, wie ein ruhiger Dreierturm zum Mars aussehen würde, und so zu tun, als ob eine solche Zahl verstanden werden könnte, dann ist das alles. Mehrere Universen werden nicht mehr ausreichen, um einen Turm mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Türmen zum Mars zu organisieren. Dennoch arbeiten wir vorerst noch mit zumindest einigen Kategorien. Dann enden sie, weil...

Von g 1 bis zur Graham-Zahl
ein b. oder a (a (... b mal... a)). Es hat keinen Sinn, irgendeine 3 3 (und das ist die Zahl g1) zu erkennen, sich vorzustellen und zu beschreiben. Es gibt einfach nichts Vergleichbares. Analogien werden unangemessen und man kann nur Beinamen erfinden.

Und dann wird es, wie Sie sich vorstellen können, ein b oder ein 5 b und so weiter sein. Es ist wichtig zu bedenken, dass jeder neue Pfeil nicht der Zahl selbst, sondern der Beschreibung der Höhe des Kraftturms, der zur Aufzeichnung dieser Zahl verwendet wird, ein explosives Wachstum verleiht. Also lehnen wir uns zurück und machen weiter.

Die Zahl g 1 ist also 3 3. Und g 2 ist nicht 3 3, sondern 3 g 1 3. Peng! Das heißt, in diesem Spiel war es nur nötig, die Anzahl der Pfeile in der Zahl G 2 anzuzeigen. Aber dann ist es g 3 = 3 g 2 3 und um eine kleine Pause von diesen Monstern zu machen, müssen wir einen kleinen Exkurs machen und Ihnen sagen, warum all diese „zhe“ benötigt werden. Es wäre notwendig, aber ich verstehe das sogenannte Graham-Problem nicht: oder besser gesagt, ich verstehe nicht, warum zum Teufel es nötig sein könnte, aber ich werde versuchen, es zu beschreiben.

Es gibt einen Würfel, dessen Eckpunkte alle durch rote oder rote Segmente verbunden sind von blauer Farbe. Die Farben der Segmente müssen so gewählt werden hat nicht funktioniert, dass 4 Eckpunkte, die in derselben Ebene liegen, durch Segmente derselben Farbe verbunden sind (siehe Abbildung unten, die untere Abbildung ist das Ergebnis der Kombination der Farben der Segmente). sollte nicht).

Würfel zur Veranschaulichung des „Graham-Problems“

Für einen gewöhnlichen dreidimensionalen Würfel wird das Problem, wenn nicht im Kopf, dann auf dem Papier durch geometrische Konstruktion gelöst. Für einen 4-dimensionalen Würfel müssen Sie bereits Kombinatorik anwenden. Auch für 5-dimensional und 6-dimensional. Und so weiter bis zum 13-dimensionalen Würfel: Dies ist die untere Grenze der Würfeldimensionen, für die nachweislich eine ähnliche Farbkombination für die die Eckpunkte verbindenden Segmente gewählt werden kann, obwohl Graham selbst bereits Fehler gemacht hat die 7-dimensionale. Wie sieht es mit der Obergrenze aus? Graham selbst hat bewiesen, dass das Problem zwischen 6 und einer größeren Zahl lösbar ist. Das heißt, in diesem Dimensionsbereich des Würfels wird es definitiv einen geben, bei dem es unmöglich sein wird, die Segmente so zu färben, dass die Bedingungen des Problems erfüllt sind. Dieselbe „bestimmte große Zahl“ wurde Grahams Zahl genannt. Und sein Wert ist G = g 64 = 3 g 63 3.

Detaillierte Notation von Grahams Zahl

Ein Vorhang! Aber was wäre, wenn mehr möglich wäre? Nein, nicht im Sinne von G + 1 oder G G G, sondern damit die Zahl tatsächlich für etwas verwendet werden könnte? Und es gibt solche Zahlen. Darüber hinaus achten sie auf G auf die gleiche Weise, wie es ein paar Pisser g 1 gleich zu Beginn der Berechnungen auf den Googolplex getan haben.

Rayo-Nummer
Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass selbst Grahams Nummer Mist ist, der aus dem einundzwanzigsten Finger gesaugt wurde. Ehrlich gesagt kann ich mir nicht wirklich vorstellen, wer bei klarem Verstand das brauchen würde und warum. Und ich kann mir nicht einmal vorstellen, ob es theoretisch möglich ist, dass jemand, der bei klarem Verstand ist, das eines Tages brauchen könnte. Aber dennoch ist es eine Ikone. Dies ist die erste größte Zahl, die beim Beweisen von etwas auftauchte, und dann war es nur ein mathematischer Wettlauf darum, wer die am schnellsten wachsende Funktion schreiben konnte. Du gibst mir G!, und ich gebe dir G G. Und jemand anderes wird irgendein G 1 = G G G gebären und es dann operieren. Im Großen und Ganzen natürlich, aber etwas Ähnliches geschah, und wenn Grahams ursprüngliche Zahl eine praktische Bedeutung hatte, dann wurde das gesamte nachfolgende Kanu zu einem Wettlauf um das Wachstum von Funktionen, der die Größe der Zahl nivelliert, was bereits zu Beginn der Berechnungen der Fall war ist nicht mehr vorstellbar oder zu verstehen.

Eigentlich besteht das ganze Problem nur in den Aufnahmemethoden. Von den Krafttürmen gab es einen Übergang zur Knuth-Notation, die es ermöglichte, zumindest die Graham-Zahl zu beschreiben. Dann kamen Conway-Ketten, Massiv- und Matrixnotationen auf, und das ist alles, was es ermöglicht, eine beliebig große Zahl zu beschreiben, während für die vorherige Aufzeichnungsmethode das Problem der Anzahl bedingter Pfeile auftrat. Ich werde sie hier nicht beschreiben, zumindest nicht jetzt. Dennoch möchte ich Sie daran erinnern, dass die Artikelserie über große Zahlen Informations- und Unterhaltungscharakter hat und ich nichts daraus machen möchte.

Eine Art mehrdimensionale Matrixdose

Infolgedessen erreichte dieses ganze Spiel Rayos Nummer. Dabei handelt es sich um eine reine Philosophie, die in einer Art mathematischen Wettbewerb erlangt wurde, bei dem es darum ging, die größte Zahl auf einem begrenzten Feld an der Tafel zu schreiben, ohne die Unendlichkeit und irgendwelche Tricks wie „die größte Zahl plus eins“ zu verwenden. Als Ergebnis stellte sich heraus, dass die Rayo-Zahl die kleinste Zahl ist, die größer als jede endliche Zahl ist, die in der Sprache der Mengenlehre definiert ist, wobei Googol-Symbole oder weniger verwendet werden. Wenn Sie zumindest etwas über die Ordnung dieser Zahl bzw. die Untergrenze der Rayo-Zahlen verstehen, dann sind Sie entweder ein professioneller Mathematiker und es ist nicht ganz klar, warum Sie bis hierhin gelesen haben, oder Sie, wie ich, Sie lügen zumindest darüber, dass wir das verstehen.

Nun haltet durch, gute Laune und alles Gute für euch. In der nächsten Folge werden wir über die Unendlichkeit hinausgehen, und dort wird es immer noch freundlicher und lustiger sein, wenn auch etwas einfacher zu verstehen als die gleiche Rayo-Zahl. Oder nicht.

Um uns die Größenordnung der Zahl zumindest einigermaßen vorzustellen, schauen wir uns ihre Schreibweise genauer an. Hier ist eine gewisse Präambel erforderlich, aber im Allgemeinen wird nichts zu kompliziert sein, wir werden versuchen, alles so klar wie möglich zu beschreiben.

1 . In der Mathematik gibt es daher das Konzept des „Hyperoperators“, um das Niveau arithmetischer Operationen zu bestimmen. Somit ist die Addition ein Hyperoperator der ersten Ebene. Der Hyperoperator der zweiten Ebene ist die Multiplikation. Multiplikation ist wiederholte Addition. Das heißt, ein Multiplikator ist eine Zahl, die uns sagt, wie oft wir den zu multiplizierenden Wert addieren müssen. Zum Beispiel: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Der nächste Hyperoperator ist die Potenzierung, X N = X^N, was im Wesentlichen eine wiederholte Multiplikation ist. Beispiel: 3 3 = 3 3 3 = 27. Das Schreiben von 3 3 in der Knuth-Notation sieht wie 33 aus. Der Klarheit halber sollte hier gesagt werden, dass die erste Ziffer im Ausdruck 33 der Wert ist, mit dem wir die Aktion ausführen, der Anzahl der Pfeile zwischen den Zahlen – dies ist eine arithmetische Operation, in diesem Fall bedeutet ein Pfeil die Potenzierung. Die zweite Ziffer gibt an, um wie viel Potenz die erste Ziffer erhöht werden soll (wie oft mit sich selbst multipliziert werden soll). Wenn dementsprechend der Ausdruck 74 wäre, dann bedeutet dies sieben hoch vier. Mit anderen Worten: 7 muss viermal mit 7 multipliziert werden.

2 . Der Hyperoperator der vierten Ebene ist die Tetration. Tetration ist wiederholte Potenzierung. In Knuths Eintrag befinden sich zwischen den Zahlen zwei Pfeile. Beispiel: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. Das heißt, die zweite Ziffer in Gegenwart von zwei Pfeilen bedeutet, dass Sie die erste Zahl so oft potenzieren müssen. Mit anderen Worten, es zeigt uns die Höhe des Kraftturms ab der ersten Zahl. Der Eintrag 58 bedeutet beispielsweise einen Turm aus acht Fünfern, die wie Würfel übereinander gestapelt sind.

Diejenigen, deren Gehirn völlig mit Fett geschwollen ist oder die nur darüber nachdenken, wie man einen Chan findet, seinen Elf aufpumpt oder Akne loswird, sollten bedenken, dass in Tetraration Ausdrücke berechnet werden von oben nach unten oder von rechts nach links. Einfach ausgedrückt: 3 3 3 ist nicht gleich 27 3, sondern immer noch das Gleiche 3 27 . Nun siehst du, mein dummer kleiner Freund, dass die Tetration bereits eine ziemlich leistungsfähige Schreibweise ist, die es dir ermöglicht, Zahlen, die 100500 mal größer als 100500 selbst sind, in einem kurzen Ausdruck zu schreiben. Aber das ist noch nicht alles, denn es ist kein leistungsstarker Hyperoperator dafür Berechnen Sie die Graham-Zahl.

3 . Gehen wir weiter: Der Hyperoperator der fünften Ebene ist Pentation (wiederholende Tetration). Drei Pfeile zwischen den Zahlen. Hier beginnt der Blödsinn, bei dem Leute, die keine professionellen Mathematiker sind, diesen ganzen Mist ausspucken und nicht mehr versuchen, ihn zu verstehen. Aber du bist nicht wie sie, oder? Wenn Sie dachten, dass das Pentagramm der Zahl 3 zu 3 hoch 7.625.597.484.987 erweitert wird, dann irren Sie sich. Sie haben keine Ahnung, wie falsch Sie liegen. Weil 3 hoch 7.625.597.484.987 nur 34 ist. Und Pentation ist 33 = 3(33) = 3(7.625.597.484.987) = 33…( Anzahl der Potenzierungen - 7.625.597.484.987 Mal)…3. Das heißt, ein ruhiger Turm aus Drillingen ist mehr als siebeneinhalb Billionen Stockwerke hoch! Mit anderen Worten, Die zweite Zahl mit drei Pfeilen gibt an, wie hoch der Tetrarationsturm der ersten Zahl sein wird. Zur besseren Übersichtlichkeit: 34 kann als 3 3 3 3 oder 3 (3 (3 3)) geschrieben werden. Und hier geht es vor allem darum zu verstehen, dass dieser Turm der Tetraationen kein Turm der Grade ist, hier erfolgt die Eskalation viel schneller. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Verstehen Sie es endlich? 34 ist gleich 3 in der Tetraration der Zahl, die man erhält, indem man aus der Zahl 3 den Kraftturm mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken berechnet. Wenn dementsprechend 34 als Kraftturm aus Drillingen geschrieben wird, entspricht die Anzahl der Stockwerke in diesem Turm der Zahl, die man bei der Berechnung eines Kraftturms mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken erhalten würde. Hast du es dir vorgestellt? Das hätte ich mir natürlich nicht vorstellen können, solche Mengen kann man nicht auf einmal erfassen.

Wenn Sie immer noch langsam nicht verstehen, was zum Teufel hier vor sich geht, dann lesen Sie Absatz 2 noch einmal.

4 . Und der letzte Hyperoperator, den wir brauchen, ist Verhexung. Wie Sie vielleicht schon erraten haben, befinden sich zwischen den Dreien vier Pfeile. Dies ist dementsprechend eine wiederholte Penation. Die zweite Zahl gibt bei vier Pfeilen an, wie hoch der „Pentation“-Turm sein wird. 33 = 3(33) = 333...33, wobei die Anzahl der Tetraationen das Ergebnis der Berechnung von Pentation 33 ist. Wenn Sie immer noch nichts verstehen, lesen Sie die Absätze 3 und 2 noch einmal, wenn wir bis zum Ende gehen Wenn man diese undenkbare Kette von Tetrarationen betrachtet und mit der Berechnung beginnt, wird bereits das zweite Tripel vom Ende in der Tetraration gleich 7.625.597.484.987 sein vorherigen Absatz. Und vor uns liegen weitere Googolplexe und Googolplexe sich wiederholender Tetraationen der Zahl 3. Hier ist es bereits sinnlos, zu versuchen, etwas zu begreifen, das Ergebnis irgendwie zu begreifen ... Und hier fragen Sie sich vielleicht: „Ist das wirklich Grahams Zahl?“ Wow, wie riesig es ist!“ Aber nein, das ist nicht Grahams Nummer. Es war nur ein mathematisches Sprichwort, und es ist unbedeutend, unermesslich klein im Vergleich zu Grahams Zahl.

Das bedeutet Verhexung. Damit wird der Pentation nur ein Pfeil hinzugefügt, aber das Ergebnis ist um unvorstellbare Größenordnungen größer. Und nun eigentlich die Berechnung der Graham-Zahl. Die Zahl drei in den Beispielen wurde aus einem bestimmten Grund verwendet, da Grahams Zahl im Wesentlichen aus multiplizierten Drillingen besteht. Nennen wir also das Ergebnis unserer Verhexung (33) G1. Dies ist der erste Schritt der Berechnungen. Nur der erste. Und der nächste Schritt beschleunigt den Fortschritt, sodass das Hinzufügen von eins, zehn, MILLIONEN Pfeilen zwischen den Zahlen die Zeit markiert. Schritt zwei, Berechnung von G2. Jetzt nehmen wir das Ergebnis unserer Verhexung des Tripels und schreiben einen Ausdruck, bei dem die Anzahl der Supermachtpfeile diesem Ergebnis entspricht. G2 = 3…(Anzahl der Supermachtpfeile – G1)…3. Ich frage mich, wie der Hyperoperator einer SOLCHEN Ebene heißt? Das Schreiben nicht nur des Ergebnisses, sondern auch dieses Hyperoperators ist ohne Abkürzung nicht mehr möglich. Und die Zahl, die sich aus ihrer Berechnung ergibt (wenn es natürlich möglich wäre, sie zu berechnen), würde das Universum, Parallelwelten, den Unterraum und jede andere Astralebene mit ihren Zahlen füllen. Und vergessen Sie nicht, dass in G1 die Anzahl der Pfeile 4 betrug! Und das ist bereits eine Zahl, die für die Berechnung und Aufzeichnung auf herkömmliche Weise nicht zugänglich ist! Und in G2 ist diese Zahl nur die Anzahl der Supergrade. Das ist es. Der Fortschritt ist unglaublich schnell. Und das ist erst der Anfang. Der nächste Schritt besteht darin, die Zahl G3 zu berechnen, wobei die Anzahl der Supermachtpfeile gleich G2 ist! Und ebenso gibt es danach weitere 62 Rechenschritte, wobei das Ergebnis jedes Schrittes nur die Anzahl der Pfeile der Supermacht des nächsten Schrittes ist und Grahams Zahl G64 ist!

Vaisten, der Matan liefert manchmal schlechtere Ergebnisse als alle Medikamente.

Die größte mathematische Konstante
Es ist schwer, sich die Unendlichkeit richtig vorzustellen, ohne sich vorher wirklich große Zahlen vorzustellen. Ich spreche nicht von winzigen Zahlen, die kaum von Null abweichen, wie etwa der Anzahl der Atome im Universum oder der Anzahl der Jahre, die ein Affe brauchen würde, um Shakespeares Werke vollständig zu kopieren. Ich lade Sie ein, darüber nachzudenken, was um 1977 die größte Zahl war, die jemals in einem ernsthaften mathematischen Beweis verwendet wurde. Dieser von Ronald Graham durchgeführte Beweis liefert eine Obergrenze für die Antworten auf eine bestimmte Frage in Ramseys Theorie. Um den Beweis zu verstehen, müssen wir ein neues Konzept aus Donald Knuths Werk „The Study of Finite Numbers“ einführen. Dieses Konzept wird normalerweise durch einen kleinen nach oben zeigenden Pfeil dargestellt, den wir hier als ^ bezeichnen

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Diese Zahl ist klein genug, um sie sich vorstellen zu können.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. Mehr als 27, aber klein genug, dass ich es ausdrucken konnte. Niemand kann sich sieben Billionen vorstellen, aber wir können diese Zahl, die in etwa dem Volumen des BIP entspricht, leicht verstehen.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...))). Das Intervall „…“ besteht aus 7.625.597.484.987 Tripeln. Mit anderen Worten: 3^^^3 oder der Pfeil (3, 3, 3) ist ein exponentieller Turm aus Drillingen mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Ebenen. Diese Zahl übersteigt das menschliche Verständnis, aber das Verfahren zu ihrer Erstellung kann visualisiert werden. Nehmen wir x=1. Setze x auf 3^x. Wiederholen Sie dies sieben Billionen Mal. Obwohl die meisten frühe Stufen Diese Zahlen sind zu groß, um im gesamten Universum enthalten zu sein. Der exponentielle Turm selbst, geschrieben als „3^3^3^3...^3“, ist klein genug, um in einem modernen Supercomputer enthalten zu sein.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Nun sind sowohl die Zahl als auch das Verfahren zu ihrer Entstehung jenseits der menschlichen Vorstellungskraft, obwohl das Verfahren nachvollziehbar ist. Nimm x=1. Weisen Sie x den Wert eines exponentiellen Turms der Länge x zu. Wiederholen Sie dies 3^^^3 Mal, was einem exponentiellen Turm aus sieben Billionen Tripeln entspricht.

Und das Ergebnis ist, um es mit den Worten von Martin Gardner zu sagen: „3^^^^3 ist unvorstellbar größer als 3^^^3, aber es ist immer noch klein, da die meisten endlichen Zahlen größer sind.“

Und dann Grahams Nummer. Sei x gleich 3^^^^3, dann ist es unvorstellbar eine große Anzahl was oben beschrieben ist. Dann weisen Sie x den Wert 3^^^^^^^(x Pfeil)^^^^^^^3 zu. Machen Sie dasselbe noch einmal, aber ersetzen Sie x durch (3^^^^^^^(x Pfeil)^^^^^^^3) Wiederholen Sie dies 63 Mal oder 64 Mal und berücksichtigen Sie dabei die Anfangssequenz 3^^^ ^3.

Grahams Zahl übersteigt mein Fassungsvermögen bei weitem. Ich kann es beschreiben, aber ich kann es nicht richtig wahrnehmen. (Vielleicht kann Graham es akzeptieren, da er damit einen mathematischen Beweis geschrieben hat.) Diese Zahl ist viel größer als die Vorstellung der meisten Menschen von Unendlichkeit. Ich weiß, es war größer als ich es mir vorgestellt hatte.

Die eigentliche Antwort auf Ramseys Problem, das zu dieser Zahl als Obergrenze führte, war wahrscheinlich die Zahl 6.

P.s. Zusätzlich zu meinem abergläubischen Entsetzen gab diese Zahl Anlass zu einem kleinen Witz: Onotole Wasserman quadriert Grahams Zahl problemlos in ein paar Sekunden.