Anwendung

Online-Lösung aller Arten von Gleichungen auf der Website für Schüler und Schüler zur Festigung des gelernten Materials. Online-Lösung von Gleichungen. Gleichungen online. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen. Einige Gleichungsklassen haben analytische Lösungen, die praktisch sind, weil sie nicht nur geben genauer Wert root, aber Sie können die Lösung in Form einer Formel schreiben, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke ermöglichen nicht nur die Berechnung der Wurzeln, sondern auch die Analyse ihrer Existenz und ihrer Menge in Abhängigkeit von den Parameterwerten, was für die praktische Anwendung oft sogar wichtiger ist als die spezifischen Werte der Wurzeln. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Beim Lösen einer Gleichung besteht die Aufgabe darin, solche Werte der Argumente zu finden, bei denen diese Gleichheit erreicht wird. Den möglichen Werten der Argumente können zusätzliche Bedingungen (ganzzahlig, reell usw.) auferlegt werden. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Sie können die Gleichung sofort online und mit hoher Genauigkeit des Ergebnisses lösen. Die Argumente für bestimmte Funktionen (manchmal auch „Variablen“ genannt) werden im Fall einer Gleichung als „Unbekannte“ bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, bei denen diese Gleichheit erreicht wird, werden Lösungen oder Wurzeln dieser Gleichung genannt. Man sagt, dass die Wurzeln diese Gleichung erfüllen. Eine Gleichung online zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Gleichungen, deren Wurzelsätze übereinstimmen, werden als äquivalent oder gleich bezeichnet. Gleichungen, die keine Wurzeln haben, gelten ebenfalls als äquivalent. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung äquivalent zur ersten. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung einer anderen entspricht und die zweite einer dritten entspricht, dann ist die erste Gleichung äquivalent zur dritten. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es uns, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen Methoden zu ihrer Lösung basieren. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Zu den Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, gehören algebraische Gleichungen nicht höher als vierten Grades: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, kubische Gleichung und Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höhere Abschlüsse im Allgemeinen analytische Lösung nicht, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen beinhalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige trigonometrische Gleichungen seit den Nullstellen analytische Lösungen bekannt trigonometrische Funktionen sehr bekannt. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Methoden liefern keine exakte Lösung, sondern ermöglichen nur die Eingrenzung des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Anstelle einer Online-Gleichung werden wir uns vorstellen, wie derselbe Ausdruck entsteht lineare Abhängigkeit und zwar nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Graphen. Diese Methode ist für das Studium des Themas jederzeit unverzichtbar. Es kommt häufig vor, dass sich das Lösen von Gleichungen dem Endwert nähert, indem man unendliche Zahlen verwendet und Vektoren schreibt. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und das ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Inversion entlang einer geraden Linie von gegebene Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung bei der Ausführung berechnet, wird der Offset durch das Privileg des Platzes bedient. Wir werden über den Erfolg der Studierenden in einem wissenschaftlichen Umfeld sprechen. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden. Wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die resultierende Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird als Schnittpunkt der Linien bezeichnet. Das Intervall auf der Linie wird wie zuvor angegeben angezeigt. Die höchste Stelle für das Studium der Mathematik wird ausgeschrieben. Weisen Sie den Argumentwert parametrisch zu gegebene Oberfläche und das Online-Lösen der Gleichung wird in der Lage sein, die Prinzipien des produktiven Zugriffs auf die Funktion zu skizzieren. Der Möbius-Streifen oder die Unendlichkeit, wie er genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, nicht zweiseitig. Nach dem allgemein bekannten Prinzip werden wir objektiv akzeptieren lineare Gleichungen für die Grundbezeichnung wie sie ist und in der Studienrichtung. Nur zwei Werte nacheinander gegebener Argumente können die Richtung des Vektors offenbaren. Wenn man davon ausgeht, dass eine andere Lösung für Online-Gleichungen viel mehr ist als nur das Lösen, bedeutet dies, dass man als Ergebnis eine vollständige Version der Invariante erhält. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für Studierende schwierig, dieses Material zu erlernen. Wie bisher hilft auch in schwierigen Zeiten für jeden Sonderfall unser komfortabler und smarter Online-Gleichungsrechner weiter, denn Sie müssen nur die Eingabeparameter angeben und das System berechnet die Antwort selbst. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, was ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Anzahl der Schätzungen jeder Antwort führt zu einer quadratischen Gleichung zu unseren Schlussfolgerungen, aber das ist nicht so einfach, weil es einfach ist, das Gegenteil zu beweisen. Die Theorie wird aufgrund ihrer Eigenschaften nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung der Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl auf eine Menge zu schreiben, dazu beiträgt, das Wachstum der Funktion zu steigern. Es wäre jedoch falsch, nicht über das Unterrichten der Schüler zu sprechen, daher sagen wir jedem so viel, wie er tun muss. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht zum Definitionsbereich und enthält den Raum Zahlenwerte sowie symbolische Variablen. Nachdem unsere Schüler den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sie sich nur mit beweisen die beste Seite, und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zu mehreren Feldschnittpunkten werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene durch Multiplikation von zwei und drei numerischen kombinierten Linien beschrieben. Eine Menge ist in der Mathematik nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung ist laut Studierenden eine vollständige Aufzeichnung des Ausdrucks. Wie gesagt wissenschaftliche Sprache, die Abstraktion symbolischer Ausdrücke geht nicht in den Sachverhalt ein, aber die Lösung der Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer des Lehrerunterrichts hängt von den Bedürfnissen dieses Vorschlags ab. Die Analyse zeigte die Notwendigkeit aller Rechentechniken in vielen Bereichen und es ist absolut klar, dass ein Gleichungsrechner in den begabten Händen eines Studenten ein unverzichtbares Werkzeug ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten aus verschiedenen Richtungen. Sie möchten einen der Schlüsselsätze identifizieren und die Gleichung so lösen, dass abhängig von der Antwort ein weiterer Anwendungsbedarf besteht. Die Analytik in diesem Bereich gewinnt zunehmend an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten die Formel her. Nach dem Durchbrechen des Anstiegsniveaus der Funktion wird die Linie entlang der Tangente am Wendepunkt sicherlich dazu führen, dass die Online-Lösung der Gleichung einer der Hauptaspekte bei der Konstruktion desselben Diagramms aus dem Argument der Funktion sein wird. Ein Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung den Schlussfolgerungen der Studierenden nicht widerspricht. Die Teilaufgabe, die die Analyse stellt, wird in den Hintergrund gerückt. mathematische Bedingungen als lineare Gleichungen im bestehenden Definitionsbereich des Objekts. Durch die Verrechnung in Richtung der Orthogonalität wird der Vorteil eines einzelnen Absolutwerts zunichte gemacht. Die Modulo-Lösung von Gleichungen online ergibt die gleiche Anzahl an Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis ist genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Gleichungsrechner ist der Erfolg beim Erreichen des angestrebten Ziels in der vom Lehrer gestellten Aufgabe. Erforderliche Methode Es ist möglich, dank zu wählen deutliche Unterschiede Ansichten großer Wissenschaftler. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt die Kurve der Linien, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität quadratisches System Koordinaten Aus der Gleichung erhalten wir nach dem Satz von Vieta sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst. Der erste Schritt besteht darin, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und einen Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird der Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik mit einem theoretischen Ansatz wird in jeder Phase nützlich sein. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, da wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verbergen, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Zusätzliche Rechenoperationen führen nicht zu Rechenfehlern. Bestimmt die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Seien wir ehrlich: Bei der Lösung von Gleichungen ist es nicht so einfach, die unabhängige Variable einer gegebenen Funktion zu finden, insbesondere während der Untersuchung paralleler Linien im Unendlichen. Angesichts der Ausnahme liegt die Notwendigkeit auf der Hand. Der Polaritätsunterschied ist deutlich. Aus der Erfahrung des Lehrens an Instituten lernte unser Lehrer die Hauptlektion, in der Online-Gleichungen im vollen mathematischen Sinne untersucht wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten bei der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge über die Region, so wie sie ist, schnell zunimmt und die Lösung der Gleichungen lediglich untersucht werden muss. In der ersten Phase haben wir nicht alle möglichen Optionen in Betracht gezogen, aber dieser Ansatz ist gerechtfertigter denn je. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Im Sinne eines weitgehenden proportionalen Anstiegs der Funktion liegt ein Wendepunkt vor. Wir werden noch einmal beweisen, wie die notwendige Bedingung während des gesamten Intervalls der Abnahme der einen oder anderen absteigenden Position des Vektors angewendet wird. Auf engstem Raum wählen wir eine Variable aus dem ersten Block unseres Skripts aus. Für das Fehlen des Hauptkraftmoments ist ein auf drei Vektoren basierendes System verantwortlich. Der Gleichungsrechner generierte jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung und half dabei, sie zu finden, sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien. Zeichnen wir einen Kreis um den Startpunkt. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge, was zu einer Kurve führt, die als Evolvente bezeichnet wird. Lassen Sie uns übrigens ein wenig Geschichte über diese Kurve erzählen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen kein Konzept der Mathematik selbst in ihrem reinen Verständnis gab, wie es heute der Fall ist. Zuvor waren alle Wissenschaftler mit einer gemeinsamen Aufgabe beschäftigt, nämlich der Wissenschaft. Später, mehrere Jahrhunderte später, als wissenschaftliche Welt Obwohl die Menschheit mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, identifizierte sie immer noch viele Disziplinen. Sie bleiben weiterhin unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist, und dass man die Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über Fachkenntnisse verfügt. Naturwissenschaften. Möglicherweise wird es nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu setzen. Darüber nachzudenken ist genauso sinnlos, wie die Luft draußen zu erwärmen. Finden wir das Intervall, in dem das Argument, wenn sein Wert positiv ist, den Modul des Werts in stark ansteigender Richtung bestimmt. Die Reaktion wird Ihnen dabei helfen, mindestens drei Lösungen zu finden, die Sie jedoch überprüfen müssen. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online mithilfe des einzigartigen Dienstes unserer Website lösen müssen. Lassen Sie uns beide Teile vorstellen gegebene Gleichung Klicken Sie auf die Schaltfläche „LÖSEN“ und erhalten Sie innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort. Nehmen wir in besonderen Fällen ein Buch über Mathematik und überprüfen wir unsere Antwort noch einmal, nämlich nur auf die Antwort zu schauen, und alles wird klar. Das gleiche Projekt für ein künstliches redundantes Parallelepiped wird in die Tat umgesetzt. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zur Untersuchung der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Ansammlung von Hohlräumen in natürlichen Formformeln. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gewünschten Variablen von unserem Gemeinsamen dieser Moment Zeitlösung und Sie müssen den unechten Bruch irgendwie ableiten und auf einen nicht trivialen Fall reduzieren. Markieren Sie zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen Sie durch jeden Punkt eine Kurve in der angegebenen Richtung, mit dem konvexen Punkt nach oben. Ohne besondere Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck so dar, dass seine Prüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System der speziellen Darstellungen der Stabilität steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden darauf mit einer detaillierten Präsentation eines Berichts zum Thema des isomorphen Zustands eines plastischen Körpersystems antworten und durch die Online-Lösung von Gleichungen die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System beschreiben. Auf der Ebene der vertieften Forschung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. In aufsteigender Reihenfolge werden wir auf den Diskontinuitätsabschnitt der Funktion anwenden allgemeine MethodeÜbrigens ein ausgezeichneter Forscher, unser Landsmann, und wir werden weiter unten über das Verhalten des Flugzeugs sprechen. Aufgrund der starken Eigenschaften einer analytisch definierten Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur für den vorgesehenen Zweck im Rahmen der abgeleiteten Befugnisse. Ausgehend von der Überlegung konzentrieren wir uns in unserer Betrachtung auf die Homogenität der Gleichung selbst, das heißt, dass ihre rechte Seite gleich Null ist. Stellen wir noch einmal sicher, dass unsere Entscheidung in Mathematik richtig ist. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Erstellen wir eine quadratische Gleichung, für die wir mithilfe einer bekannten Formel zwei Einträge aufschreiben und die negativen Wurzeln ermitteln. Wenn eine Wurzel fünf Einheiten größer ist als die zweite und dritte Wurzel, verzerren wir durch Änderungen am Hauptargument die Anfangsbedingungen der Unteraufgabe. Naturgemäß kann etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das nächste Hundertstel einer positiven Zahl beschrieben werden. Der Bruchrechner ist seinen Gegenstücken auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverauslastung um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der Ordinatenachse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben Linien, die in entgegengesetzte Richtungen gebogen sind. Die Angemessenheit des zugewiesenen Funktionsarguments liegt vor den Messwerten des Wiederherstellungssaldozählers. In der Mathematik können wir dieses Phänomen durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten sowie durch den bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Kritische Punkte Temperaturunterschiede beschreiben in vielerlei Hinsicht den Zersetzungsprozess eines Komplexes Bruchfunktion durch Multiplikatoren. Wenn Sie aufgefordert werden, eine Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht, dies sofort zu tun. Bewerten Sie auf jeden Fall zunächst den gesamten Aktionsplan und gehen Sie erst dann richtig vor. Es wird sicherlich Vorteile geben. Die Arbeitserleichterung liegt auf der Hand, das Gleiche gilt auch für die Mathematik. Lösen Sie die Gleichung online. Alle Online-Gleichungen sind bestimmter Typ ein Datensatz mit Zahlen oder Parametern und einer zu definierenden Variablen. Berechnen Sie genau diese Variable, das heißt, finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Wertemenge, bei denen die Identität gilt. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt davon ab. IN gemeinsame Entscheidung Gleichungen enthalten normalerweise einige Variablen und Konstanten, durch deren Festlegung wir ganze Lösungsfamilien für eine bestimmte Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Anstrengungen, die unternommen werden, um die Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern zu erhöhen. Sie können einen Satz oder ein Lemma in jeder Phase der Antwortkonstruktion anwenden. Die Site erstellt nach und nach einen Gleichungsrechner, wenn es erforderlich ist, den kleinsten Wert in einem beliebigen Summationsintervall der Produkte anzuzeigen. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel aufgrund ihrer Hohlheit nicht mehr die Voraussetzungen für die Festlegung einer Zwischenantwort. Zumindest auf der Ordinatenachse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieses Verhältnis zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. Zu der Stunde, als lineare Funktionen Es wird eine vollständige Punkt-für-Punkt-Analyse durchgeführt, wir werden tatsächlich alle unsere zusammenführen komplexe Zahlen und bipolare planare Räume. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung Schritt für Schritt und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Überprüfen Sie noch einmal Ihr Handeln in Mathematik in guter Form von Seiten der Studierenden. Der Anteil im Bruchverhältnis erfasst die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Tätigkeitsbereichen des Nullvektors. Die Trivialität wird am Ende der abgeschlossenen Aktionen bestätigt. Bei einer einfachen Aufgabe dürften die Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung online in kürzester Zeit lösen, aber vergessen Sie nicht die vielen unterschiedlichen Regeln. Eine Menge von Teilmengen schneidet sich in einem Bereich konvergenter Notation. In verschiedenen Fällen wird das Produkt nicht fälschlicherweise faktorisiert. In unserem ersten Abschnitt, der den Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studierende an Universitäten und Fachhochschulen gewidmet ist, wird Ihnen bei der Online-Lösung der Gleichung geholfen. Wir müssen nicht ein paar Tage auf Antworten warten, da das Verfahren des besten Zusammenspiels von Vektoranalyse und sequentieller Lösungsfindung zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellte sich heraus, dass die Bemühungen, Beziehungen zum umliegenden Team aufzubauen, nicht umsonst waren; offensichtlich war zunächst etwas anderes nötig. Mehrere Generationen später ließen Wissenschaftler auf der ganzen Welt die Menschen glauben, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften sei. Unabhängig davon, ob es sich um die linke oder die richtige Antwort handelt, müssen die erschöpfenden Begriffe in drei Zeilen geschrieben werden, da es sich in unserem Fall definitiv nur um die Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix handelt. Nichtlineare und lineare Gleichungen sowie biquadratische Gleichungen nehmen in unserem Buch darüber einen besonderen Platz ein empfohlene Vorgehensweise Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems. Die lineare Analyse wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken Skalarprodukt drei aufeinanderfolgende Vektoren. Am Ende jeder Anweisung wird die Aufgabe durch die Implementierung optimierter numerischer Ausnahmen in den durchgeführten Zahlenraumüberlagerungen erleichtert. Ein anderes Urteil wird die gefundene Antwort in der willkürlichen Form eines Dreiecks in einem Kreis nicht kontrastieren. Der Winkel zwischen zwei Vektoren enthält den erforderlichen Prozentsatz der Marge, und die Online-Lösung von Gleichungen zeigt im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen häufig eine bestimmte gemeinsame Wurzel der Gleichung. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung im Bereich der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer benutzen können, dann ist ein Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Probleme. Sie müssen nur Ihre bedingten Daten im richtigen Format eingeben und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollständige Antwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Davon zeugen die Talmuds der Smart-Library-Literatur. Führt eine Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es eine gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene charakterisiert eine geradlinige Parallelbewegung entlang der Punktachsen. Erwähnenswert ist hier der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers. Im Gegenzug zu einem suboptimalen Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Überprüfung funktionsfähiger Programme auf der Serverseite. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Besonders hervorheben und hervorheben möchten wir auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Grundschulaufgaben, bei denen es darum geht, schnell ihre Wurzeln zu finden und einen Graphen der Funktion in einer Ebene zu erstellen. Höhere Reproduktionsgrade gehören zu den schwierigsten mathematische Probleme am Institut und für dessen Studium sind ausreichend Stunden vorgesehen. Wie alle linearen Gleichungen bilden auch unsere nach vielen objektiven Regeln keine Ausnahme, siehe unten verschiedene Punkte Vision, und es wird einfach und ausreichend sein, die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall stimmt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion überein. Gleichungen online lösen. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei einem solchen Ansatz ist es bei unsicheren Problemen sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Ein Gottesdienst in bester Mathematiktradition hilft uns, das Fachgebiet so zu erlernen, wie es im Osten üblich ist. In den besten Momenten des Zeitintervalls wurden ähnliche Aufgaben mit dem gemeinsamen Faktor zehn multipliziert. Die Fülle an Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann sich eher mit der Qualität als mit quantitativen Variablen wie Masse oder Körpergewicht zu multiplizieren. Um Fälle von Ungleichgewicht des materiellen Systems zu vermeiden, ist die Ableitung eines dreidimensionalen Transformators auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen für uns ganz offensichtlich. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Schlussfolgerung im Voraus unbekannt ist, ebenso wie alle in der Nachraumzeit enthaltenen Variablen. Schieben Sie den gemeinsamen Teiler kurzzeitig aus den Klammern heraus und dividieren Sie beide Seiten vorab durch den größten gemeinsamen Teiler. Extrahieren Sie aus der resultierenden abgedeckten Teilmenge der Zahlen im Detail Dreiunddreißig Punkte in Folge in kurzer Zeit. In dem Maße, dass auf die bestmögliche Art und Weise Das Lösen einer Gleichung online ist für jeden Schüler möglich. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir eine wichtige, aber entscheidende Sache, ohne die es in Zukunft schwierig sein wird, zu leben. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Mustern in der Theorie der Mathematik. In der Praxis entsprach das Ergebnis nicht ganz dem erwarteten Eindruck der Ereignisse. Grundsätzlich trägt jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen dazu bei, das Verständnis und die Wahrnehmung eines ganzheitlichen Lernansatzes und die praktische Vertiefung des theoretischen Materials der Studierenden zu verbessern. Dies ist während der Studienzeit viel einfacher.

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Kräfte und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen– Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

IN in diesem Beispiel Die Zahl 6 ist die Basis, sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Indikator.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Dieses Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung formalisiert wird:

2 x = 2 3
x = 3

Um eine solche Gleichung zu lösen, haben wir entfernt identische Gründe(also Zweier) und aufgeschrieben, was noch übrig war, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Fassen wir nun unsere Entscheidung zusammen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Gleichung rechts und links Basen hat. Sollten die Gründe nicht dieselben sein, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Schauen wir uns nun ein paar Beispiele an:

Beginnen wir mit etwas Einfachem.

Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis wegwerfen und ihre Kräfte gleichsetzen können.

x+2=4 Man erhält die einfachste Gleichung.
x=4 – 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind: 3 und 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Verschieben wir zunächst die Neun auf die rechte Seite, erhalten wir:

Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2. Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Wir erhalten 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nun ist klar, dass auf der linken und rechten Seite die Basen gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 erhalten wir die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen zwei und vier. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Wir transformieren die vier mit der Formel (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Zur Gleichung hinzufügen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber die anderen Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinschauen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholt haben. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die gesamte Gleichung durch 6:

Stellen wir uns 4=2 2 vor:

2 2x = 2 2 Basen sind gleich, wir verwerfen sie und setzen die Grade gleich.
2x = 2 ist die einfachste Gleichung. Teilen Sie es durch 2 und wir erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Unsere Basen sind gleich drei. In diesem Beispiel können Sie sehen, dass die ersten drei einen doppelten Grad (2x) haben als der zweite (nur x). In diesem Fall können Sie es lösen Ersatzmethode. Wir ersetzen die Zahl durch den kleinsten Grad:

Dann ist 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Wir ersetzen alle x Potenzen in der Gleichung durch t:

t 2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wenn wir die Diskriminante auflösen, erhalten wir:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Zurück zur Variablen X.

Nimm t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten von t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 = 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Bereich HELP DECIDE interessante Fragen stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

Tritt der Gruppe bei

Diese Lektion richtet sich an diejenigen, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit der Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben – linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können ist unbedingt notwendig, um nicht in der nun behandelten Thematik „hängenzubleiben“.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele nennen:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige davon mögen Ihnen komplexer erscheinen, während andere im Gegenteil zu einfach sind. Aber eines haben sie alle gemeinsam wichtiges Zeichen: Ihre Notation enthält die Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lassen Sie uns daher die Definition einführen:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d. h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten – Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Wir haben die Definition geklärt. Die Frage ist nun: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist sowohl einfach als auch komplex.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit dem Unterrichten vieler Studenten kann ich sagen, dass die meisten von ihnen Exponentialgleichungen viel einfacher finden als die gleichen Logarithmen und vor allem die Trigonometrie.

Aber es gibt eine schlechte Nachricht: Manchmal werden die Verfasser von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ getroffen und ihr von Drogen berauschtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass ihre Lösung nicht nur für Schüler, sondern sogar für viele Lehrer problematisch wird bleib bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jedes davon zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, auf welche Potenz muss man die Zahl 2 erhöhen, um die Zahl 4 zu erhalten? Wahrscheinlich der zweite? Schließlich ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ – und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d. h. tatsächlich $x=2$. Nun, danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte :).

Schauen wir uns die folgende Gleichung an:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas komplizierter. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ die Multiplikationstabelle ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Potenzen ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich erkennen nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und zu folgendem Ergebnis führen:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Aber das ist schon völlig lösbar! Links in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, rechts in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, außer ihnen gibt es nirgendwo etwas anderes. Daher können wir die Grundlagen „verwerfen“ und die Indikatoren dummerweise gleichsetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung erhalten, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was passiert ist die letzten vier Linien – kehren Sie unbedingt zum Thema „Lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne ein klares Verständnis dieses Themas ist es zu früh, sich mit Exponentialgleichungen auseinanderzusetzen.

\[((9)^(x))=-3\]

Wie können wir das also lösen? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, daher kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns daran, dass bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung erhalten wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn mit dem Gleichmut eines Pokémon haben wir das Minuszeichen vor die Drei in die Potenz dieser Drei gesetzt. Aber das kannst du nicht tun. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen der Drei an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bei der Zusammenstellung dieser Tafel habe ich so wenig wie möglich pervertiert: Ich habe positive Grade berücksichtigt, und negative, und sogar Bruchgrade ... nun, wo gibt es mindestens einen? eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte an (egal wie viel eins durch zwei multipliziert oder dividiert wird, es wird immer noch a sein positive Zahl), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Aber auf keinen Fall: Es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen den quadratischen Gleichungen sehr ähnlich – es darf auch keine Wurzeln geben. Aber wenn in quadratische Gleichungen die Anzahl der Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt (positive Diskriminante – 2 Wurzeln, negativ – keine Wurzeln), dann hängt bei Exponentialfunktionen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Formulieren wir also die wichtigste Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, das Problem zu lösen oder sofort aufzuschreiben, dass es keine Wurzeln gibt?

Dieses Wissen wird uns oft helfen, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. Jetzt aber genug der Texte – es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Formulieren wir also das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem „naiven“ Algorithmus, den wir zuvor verwendet haben, ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn außerdem anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck vorhanden ist, erhalten wir eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90 % der Fälle. Was ist dann mit den restlichen 10 %? Die restlichen 10 % sind leicht „schizophrene“ Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nun, auf welche Potenz muss man 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? Erste? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. Zweite? Nein auch nicht: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Welches denn?

Versierte Studierende haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es nicht möglich ist, „schön“ zu lösen, kommt die „schwere Artillerie“ – Logarithmen – ins Spiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mit Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (außer einer) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich immer: Diese Formel (sie ist auch die wichtigste logarithmische Identität oder, wenn Sie so wollen, die Definition eines Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie ist aufgetaucht. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite reduzieren möchten, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort erhalten: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe hätten viele bei einer solchen Antwort Zweifel gehabt und begonnen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hätte? Ich beeile mich, Ihnen zu gefallen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine völlig typische Situation. Also gewöhne dich daran :)

Nun lösen wir die verbleibenden beiden Gleichungen analog:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir haben einen Multiplikator zum Argument des Logarithmus eingeführt. Aber niemand hält uns davon ab, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

Darüber hinaus sind alle drei Optionen richtig – es ist ganz einfach verschiedene Formen Datensätze mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Lösung auswählen und aufschreiben möchten, liegt bei Ihnen.

Somit haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ streng positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch, dass dies der Fall ist einfache Aufgaben Sie werden sich sehr, sehr selten treffen. Meistens werden Sie auf so etwas stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Wie können wir das also lösen? Lässt sich das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen können schnell und einfach auf reduziert werden einfache Formeln worüber wir bereits nachgedacht haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebrakurs merken. Und natürlich gibt es keine Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen. Das alles erzähle ich euch jetzt :)

Exponentialgleichungen umwandeln

Das Erste, woran man sich erinnern sollte: Jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie auch sein mag, muss auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden – diejenigen, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten: Das Lösungsschema für jede Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen seltsamen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens „Gleichung umwandeln“;
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke der Form $((4)^(x))=4$ oder etwas Ähnliches. Darüber hinaus kann eine Ausgangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig ergeben.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar – sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt Papier schreiben. Auch der dritte Punkt scheint mehr oder weniger klar zu sein – wir haben oben bereits eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was für Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich Folgendes anmerken. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung besteht aus Exponentialfunktionen mit derselben Basis. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs – sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei der Lösung wird uns eine Technik wie das Hervorheben stabiler Ausdrücke helfen.

Einen stabilen Ausdruck isolieren

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier werden unterschiedlich stark angehoben. Aber alle diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher ist es notwendig, sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen zu erinnern:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Vereinfacht ausgedrückt lässt sich die Addition in ein Potenzprodukt umwandeln, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Grade aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt noch, beide Seiten der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, d.h. im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf ihre einfachste Form reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir im Lösungsprozess den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und ihn sogar aus der Klammer genommen) – das ist ein stabiler Ausdruck. Sie kann als neue Variable bezeichnet werden oder Sie können sie einfach sorgfältig ausdrücken und die Antwort erhalten. Das Kernprinzip der Lösung lautet jedenfalls wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit fast jeder Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck isolieren können.

Die schlechte Nachricht ist jedoch, dass diese Ausdrücke ziemlich knifflig und schwer zu identifizieren sein können. Schauen wir uns also ein weiteres Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft?“ Hier gibt es verschiedene Basen – 5 und 0,2.“ Aber versuchen wir, die Potenz auf die Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden, indem wir ihn auf einen regulären Bruch reduzieren:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, kam die Zahl 5 immer noch vor, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator in negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eines davon die wichtigsten Regeln Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig gelogen. Denn zum vollständigen Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit Brüchen zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Aber in diesem Fall müssen Sie in der Lage sein, eine Potenz auf eine andere Potenz zu erhöhen (ich möchte Sie daran erinnern: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht „umkehren“ – vielleicht ist das für einige einfacher :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher gelöst werden kann als die zuvor betrachtete: Hier muss nicht einmal ein stabiler Ausdruck ausgewählt werden – alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich eine Technik erwähnen, die für uns alle Berechnungen erheblich vereinfacht hat:

Achten Sie darauf, Exponentialgleichungen loszuwerden Dezimalstellen, wandeln Sie sie in normale um. Dadurch können Sie die gleichen Gradzahlen sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu mehr komplexe Gleichungen, in dem es verschiedene Basen gibt, die durch Grade überhaupt nicht aufeinander reduziert werden können.

Verwenden der Degrees-Eigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welcher Grundlage gegeben werden soll. Wo sind die stabilen Ausdrücke? Wo sind die gleichen Gründe? Davon gibt es nichts.

Aber versuchen wir, einen anderen Weg zu gehen. Wenn es keine vorgefertigten identischen Basen gibt, können Sie versuchen, diese durch Faktorisieren der vorhandenen Basen zu finden.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun – aus den Zahlen 7 und 3 die Zahl 21 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten außerhalb des Produkts genommen und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

IN in diesem Fall Es stellte sich heraus, dass die Brüche irreduzibel waren, aber wenn etwas reduziert werden konnte, reduzieren Sie es unbedingt. Oftmals tauchen interessante Gründe auf, mit denen man bereits arbeiten kann.

Leider hat sich für uns nichts Besonderes ergeben. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Ich möchte Sie daran erinnern: Um das Minuszeichen im Indikator zu entfernen, müssen Sie nur den Bruch „umdrehen“. Nun, schreiben wir die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach den Gesamtexponenten aus dem Produkt aus der Klammer genommen, nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, und im letzten haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, es ist offensichtlich: Es handelt sich um Potenzen gleicher Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

In diesem Fall erhalten Sie rechts auch einen Grad mit der gleichen Basis, für den es genügt, den Bruch einfach „umzudrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Unsere Gleichung wird schließlich die Form annehmen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass sogar mit aus unterschiedlichen Gründen Wir versuchen mit allen Mitteln, diese Grundlagen auf das Gleiche zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Umformungen von Gleichungen und Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann sind sie anzuwenden? Wie verstehen Sie, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen die Basis der Exponentialfunktion faktorisieren müssen?

Die Antwort auf diese Frage wird mit der Erfahrung kommen. Versuchen Sie es zunächst einmal einfache Gleichungen, und verkomplizieren Sie dann die Aufgaben nach und nach – und schon bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben Einheitlichen Staatsexamen oder einer unabhängigen/Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, einen Satz Gleichungen von meiner Website herunterzuladen, um sie selbst zu lösen. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst testen können.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variablen in Potenzen vorliegen und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:

Das Lösen einer Exponentialgleichung besteht aus zwei ziemlich einfachen Schritten:

1. Sie müssen prüfen, ob die Grundlagen der Gleichung rechts und links gleich sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.

2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.

Angenommen, wir erhalten eine Exponentialgleichung folgender Typ:

Es lohnt sich, die Lösung dieser Gleichung mit einer Analyse der Basis zu beginnen. Die Basen sind unterschiedlich – 2 und 4, aber zum Lösen müssen sie gleich sein, also transformieren wir 4 mit der folgenden Formel –\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Wir ergänzen die ursprüngliche Gleichung:

Nehmen wir es aus Klammern \

Lassen Sie uns \ ausdrücken

Da die Grade gleich sind, verwerfen wir sie:

Antwort: \

Wo kann ich eine Exponentialgleichung mit einem Online-Löser lösen?

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Dies ist die Bezeichnung für Gleichungen der Form, bei denen die Unbekannte sowohl im Exponenten als auch in der Basis der Potenz enthalten ist.

Sie können einen völlig klaren Algorithmus zum Lösen einer Gleichung der Form angeben. Dazu müssen Sie darauf achten, wann Oh) Nicht gleich Null, eins und minus eins sind gleiche Potenzen von c aus den gleichen Gründen(sei es positiv oder negativ) ist nur möglich, wenn die Exponenten gleich sind. Das heißt, alle Wurzeln der Gleichung sind die Wurzeln der Gleichung f(x) = g(x) Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr, wann Oh)< 0 und Bruchwerte f(x) Und g(x) Ausdrücke Oh) f(x) Und

Oh) g(x) verlieren ihre Bedeutung. Das heißt, beim Wechsel von nach f(x) = g(x)(für und Fremdwurzeln können auftreten, die durch Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung ausgeschlossen werden müssen. Und Fälle a = 0, a = 1, a = -1 müssen gesondert betrachtet werden.

Um die Gleichung vollständig zu lösen, betrachten wir die Fälle:

a(x) = O f(x) Und g(x) werden positive Zahlen sein, dann ist dies die Lösung. Ansonsten nein

a(x) = 1. Die Wurzeln dieser Gleichung sind auch die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

a(x) = -1. Wenn für einen Wert von x, der diese Gleichung erfüllt, f(x) Und g(x) Sind ganze Zahlen gleicher Parität (entweder beide gerade oder beide ungerade), dann ist dies die Lösung. Ansonsten nein

Wann und wir lösen die Gleichung f(x)= g(x) und indem wir die erhaltenen Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, schneiden wir die überflüssigen Wurzeln ab.

Beispiele für die Lösung von Exponentialpotenzgleichungen.

Beispiel Nr. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. weil 3 > 0 und 3 2 > 0, dann ist x 1 = 3 die Lösung.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Beide Indikatoren sind gerade. Diese Lösung ist x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 und x? ± 1. x = x 2, x = 0 oder x = 1. Für x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - diese Lösung ist richtig: x 4 = 0. Für x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 – diese Lösung ist richtig x 5 = 1.

Antwort: 0, 1, 2, 3, 4.

Beispiel Nr. 2.

Per Definition der Arithmetik Quadratwurzel: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 oder x = 1, = 0, 0 0 ist keine Lösung.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 passt nicht in ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - keine Wurzeln.