Lösung Differentialgleichung. Vielen Dank an unsere Onlineservice Sie können Differentialgleichungen jeder Art und Komplexität lösen: inhomogen, homogen, nichtlinear, linear, erster, zweiter Ordnung, mit trennbaren oder nicht trennbaren Variablen usw. Eine Lösung von Differentialgleichungen erhalten Sie in analytischer Form mit detaillierte Beschreibung. Viele Menschen interessieren sich für die Frage: Warum ist es notwendig, Differentialgleichungen online zu lösen? Diese Art von Gleichung ist in der Mathematik und Physik weit verbreitet, wo es unmöglich sein wird, viele Probleme zu lösen, ohne die Differentialgleichung zu berechnen. Differentialgleichungen sind auch in den Wirtschaftswissenschaften, der Medizin, der Biologie, der Chemie und anderen Wissenschaften weit verbreitet. Die Lösung einer solchen Gleichung lautet Onlinemodus Es erleichtert Ihre Aufgaben erheblich, gibt Ihnen die Möglichkeit, den Stoff besser zu verstehen und sich selbst zu testen. Vorteile der Online-Lösung von Differentialgleichungen. Eine moderne mathematische Service-Website ermöglicht es Ihnen, Differentialgleichungen beliebiger Komplexität online zu lösen. Wie Sie wissen, gibt es das große Menge Arten von Differentialgleichungen und jede von ihnen hat ihre eigenen Lösungsmethoden. Auf unserem Service können Sie online Lösungen für Differentialgleichungen jeglicher Ordnung und Art finden. Um eine Lösung zu erhalten, empfehlen wir Ihnen, die Ausgangsdaten einzugeben und auf die Schaltfläche „Lösung“ zu klicken. Fehler bei der Bedienung des Dienstes sind ausgeschlossen, sodass Sie zu 100 % sicher sein können, dass Sie die richtige Antwort erhalten haben. Lösen Sie Differentialgleichungen mit unserem Service. Differentialgleichungen online lösen. Standardmäßig ist in einer solchen Gleichung die Funktion y eine Funktion der x-Variablen. Sie können aber auch eine eigene Variablenbezeichnung angeben. Wenn Sie beispielsweise y(t) in einer Differentialgleichung angeben, ermittelt unser Dienst automatisch, dass y eine Funktion der Variablen t ist. Die Ordnung der gesamten Differentialgleichung hängt von der maximalen Ordnung der Ableitung der in der Gleichung vorhandenen Funktion ab. Das Lösen einer solchen Gleichung bedeutet, die gewünschte Funktion zu finden. Unser Service hilft Ihnen, Differentialgleichungen online zu lösen. Es erfordert von Ihrer Seite keinen großen Aufwand, die Gleichung zu lösen. Sie müssen lediglich die linke und rechte Seite Ihrer Gleichung in die erforderlichen Felder eingeben und auf die Schaltfläche „Lösung“ klicken. Bei der Eingabe muss die Ableitung einer Funktion durch einen Apostroph gekennzeichnet werden. In Sekundenschnelle erhalten Sie das fertige Produkt detaillierte Lösung Differentialgleichung. Unser Service ist absolut kostenlos. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen. Wenn in einer Differentialgleichung auf der linken Seite ein Ausdruck steht, der von y abhängt, und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der von x abhängt, dann heißt eine solche Differentialgleichung mit separierbaren Variablen. Die linke Seite kann eine Ableitung von y enthalten; die Lösung für Differentialgleichungen dieser Art wird in Form einer Funktion von y vorliegen, ausgedrückt durch das Integral der rechten Seite der Gleichung. Liegt auf der linken Seite ein Differential der Funktion von y vor, so werden in diesem Fall beide Seiten der Gleichung integriert. Wenn die Variablen in einer Differentialgleichung nicht getrennt sind, müssen sie getrennt werden, um eine getrennte Differentialgleichung zu erhalten. Lineare Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung, deren Funktion und alle ihre Ableitungen ersten Grades sind, heißt linear. Allgemeine Form der Gleichung: y’+a1(x)y=f(x). f(x) und a1(x) sind kontinuierliche Funktionen von x. Die Lösung derartiger Differentialgleichungen reduziert sich auf die Integration zweier Differentialgleichungen mit getrennten Variablen. Ordnung der Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung kann erster, zweiter und n-ter Ordnung sein. Die Ordnung einer Differentialgleichung bestimmt die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung. In unserem Service können Sie Differentialgleichungen lösen zuerst online, zweiter, dritter usw. Befehl. Die Lösung der Gleichung ist eine beliebige Funktion y=f(x). Wenn Sie sie in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie eine Identität. Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird Integration genannt. Cauchy-Problem. Ist zusätzlich zur Differentialgleichung selbst die Anfangsbedingung y(x0)=y0 gegeben, so spricht man vom Cauchy-Problem. Die Indikatoren y0 und x0 werden zur Lösung der Gleichung addiert und der Wert einer beliebigen Konstante C bestimmt, und dann wird eine bestimmte Lösung der Gleichung bei diesem Wert von C bestimmt. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems. Das Cauchy-Problem wird auch als Problem mit Randbedingungen bezeichnet, was in der Physik und Mechanik sehr verbreitet ist. Sie haben auch die Möglichkeit, das Cauchy-Problem festzulegen, also von allen mögliche Lösungen Gleichung, wählen Sie den Quotienten aus, der zuerst die gegebene Gleichung erfüllt Anfangsbedingungen.

Entweder wurden sie bereits bezüglich der Ableitung gelöst, oder sie können bezüglich der Ableitung gelöst werden .

Allgemeine Lösung von Differentialgleichungen vom Typ auf dem Intervall X, die gegeben ist, kann gefunden werden, indem man das Integral beider Seiten dieser Gleichheit bildet.

Wir bekommen .

Wenn wir uns die Eigenschaften des unbestimmten Integrals ansehen, finden wir das Gewünschte gemeinsame Entscheidung:

y = F(x) + C,

Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x) zwischen X, A MIT- Willkürliche Konstante.

Bitte beachten Sie, dass bei den meisten Problemen das Intervall X nicht angeben. Das bedeutet, dass für alle eine Lösung gefunden werden muss. X, wofür und die gewünschte Funktion j und die ursprüngliche Gleichung machen Sinn.

Wenn Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung berechnen müssen, die die Anfangsbedingung erfüllt y(x 0) = y 0, dann nach der Berechnung des allgemeinen Integrals y = F(x) + C, ist es noch notwendig, den Wert der Konstante zu bestimmen C = C 0, unter Verwendung der Anfangsbedingung. Das heißt, eine Konstante C = C 0 aus der Gleichung ermittelt F(x 0) + C = y 0, und die gewünschte Teillösung der Differentialgleichung wird die Form annehmen:

y = F(x) + C 0.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung finden und die Richtigkeit des Ergebnisses überprüfen. Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung für diese Gleichung finden, die die Anfangsbedingung erfüllen würde.

Lösung:

Nachdem wir die gegebene Differentialgleichung integriert haben, erhalten wir:

.

Nehmen wir dieses Integral mit der Methode der partiellen Integration:

Das., ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Um sicherzustellen, dass das Ergebnis korrekt ist, führen wir eine Überprüfung durch. Dazu setzen wir die gefundene Lösung in die gegebene Gleichung ein:

.

Das ist wenn aus der ursprünglichen Gleichung wird eine Identität:

Daher wurde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung korrekt bestimmt.

Die von uns gefundene Lösung ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung für jeden reellen Wert des Arguments X.

Es bleibt noch eine bestimmte Lösung der ODE zu berechnen, die die Anfangsbedingung erfüllen würde. Mit anderen Worten: Es ist notwendig, den Wert der Konstante zu berechnen MIT, bei dem die Gleichheit wahr sein wird:

.

.

Dann ersetzen C = 2 In die allgemeine Lösung der ODE erhalten wir eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt:

.

Gewöhnliche Differentialgleichung kann nach der Ableitung gelöst werden, indem man die beiden Seiten der Gleichung durch dividiert f(x). Diese Transformation ist äquivalent, wenn f(x) geht unter keinen Umständen auf Null X aus dem Integrationsintervall der Differentialgleichung X.

Es gibt wahrscheinliche Situationen, in denen für einige Werte das Argument gilt X ∈ X Funktionen f(x) Und g(x) werden gleichzeitig Null. Für ähnliche Werte X Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist eine beliebige Funktion j, was in ihnen definiert ist, weil .

Wenn für einige Argumentwerte X ∈ X die Bedingung ist erfüllt, was bedeutet, dass die ODE in diesem Fall keine Lösungen hat.

Für alle anderen X aus dem Intervall X Aus der transformierten Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ermittelt.

Schauen wir uns Beispiele an:

Beispiel 1.

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung für die ODE finden: .

Lösung.

Aus den Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen geht hervor, dass die natürliche Logarithmusfunktion für nichtnegative Werte des Arguments definiert ist, daher der Definitionsbereich des Ausdrucks ln(x+3) es gibt ein Intervall X > -3 . Dies bedeutet, dass die gegebene Differentialgleichung sinnvoll ist X > -3 . Für diese Argumentwerte ist der Ausdruck x+3 verschwindet nicht, daher können Sie die ODE für die Ableitung lösen, indem Sie die beiden Teile durch dividieren x + 3.

Wir bekommen .

Als nächstes integrieren wir die resultierende Differentialgleichung, gelöst nach der Ableitung: . Um dieses Integral zu bilden, verwenden wir die Methode, es unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.

Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen.
Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den Durchschnittsmenschen. Differentialgleichungen scheinen für viele Studierende unerschwinglich und schwer zu beherrschen zu sein. Uuuuuu... Differentialgleichungen, wie kann ich das alles überleben?!

Diese Meinung und diese Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich DIFFERENZGLEICHUNGEN – ES IST EINFACH UND SOGAR SPASS. Was müssen Sie wissen und können, um das Lösen von Differentialgleichungen zu lernen? Um Diffuses erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut integrieren und differenzieren können. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema fast gemeistert! Je mehr Integrale unterschiedlicher Art Sie lösen können, desto besser. Warum? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Auch sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95 % der Fälle Tests Es gibt 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen was wir uns in dieser Lektion ansehen werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für diejenigen, die anfangen, Diffusoren zu studieren, empfehle ich Ihnen, die Lektionen genau in dieser Reihenfolge zu lesen, und nach dem Studium der ersten beiden Artikel wird es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen – Gleichungen reduzieren sich auf homogen.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: totale Differentialgleichungen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Der wichtigste der letzten beiden Typen sind Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, da ich zusätzlich zu dieser Differentialgleichung betrachte Neues Material – Teilintegration.

Wenn Sie nur noch ein oder zwei Tage Zeit haben, Das für ultraschnelle Zubereitung Es gibt Blitzkurs im PDF-Format.

Die Weichen sind also gestellt – los geht’s:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet Finden Reihe von Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß die gefundene Wurzel überprüfen und in unsere Gleichung einsetzen:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Die Diffusoren sind ähnlich gestaltet!

Differentialgleichung erste Bestellung Im Algemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In einigen Gleichungen erster Ordnung gibt es möglicherweise kein „x“ und/oder „y“, aber das ist nicht von Bedeutung – wichtig in den Kontrollraum gehen War erste Ableitung und hatte nicht Derivate höherer Ordnung – usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet zu finden Menge aller Funktionen, die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form (– eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo soll ich anfangen? Lösung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Bezeichnung, die vielen von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig vorkam. Das ist es, was bei Diffusoren herrscht!

Schauen wir im zweiten Schritt, ob es möglich ist separate Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Griechen“, A auf der rechten Seite organisieren nur „X“. Die Aufteilung der Variablen erfolgt durch „schulische“ Manipulationen: Herausnehmen aus Klammern, Übertragen von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragen von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im betrachteten Beispiel lassen sich die Variablen leicht trennen, indem man die Faktoren nach der Proportionsregel verwürfelt:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite gibt es nur „Y’s“, auf der rechten Seite nur „X’s“.

Nächste Stufe - Integration der Differentialgleichung. Es ist ganz einfach, wir setzen auf beiden Seiten Integrale:

Natürlich müssen wir Integrale nehmen. IN in diesem Fall sie sind tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben (da Konstante + Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit bilden. Die Lösung einer Differentialgleichung in impliziter Form heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, es handelt sich um ein allgemeines Integral.

Die Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Bitte, Erinnern Sie sich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, dann empfiehlt es sich in vielen Fällen (aber nicht immer!) auch, die Konstante unter den Logarithmus zu schreiben.

Also, ANSTATT Einträge werden in der Regel geschrieben .

Warum ist das notwendig? Und um es einfacher zu machen, „Spiel“ auszudrücken. Nutzung der Eigenschaft von Logarithmen . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antwort: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind relativ einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

– Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, was überprüft werden musste.

Eine Konstante geben unterschiedliche Bedeutungen, man kann unendlich viele bekommen private Lösungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen , usw. erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. IN in diesem Beispiel gemeinsame Entscheidung - Das ist eine Familie lineare Funktionen, oder besser gesagt, eine Familie der direkten Proportionalität.

Nach einer gründlichen Durchsicht des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel konnten wir die Variablen trennen. Kann das immer gemacht werden? Nein nicht immer. Und noch häufiger können Variablen nicht getrennt werden. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung, müssen Sie es zuerst ersetzen. Bei anderen Arten von Gleichungen, beispielsweise bei einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verschiedene Techniken und Methoden verwenden, um eine allgemeine Lösung zu finden. Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann; außerdem gibt es Integrale, die nicht genommen werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D’Alembert und Cauchy garantieren... ...ugh, lurkmore.um gerade viel zu lesen, hätte ich fast „aus der anderen Welt“ hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus einem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also das „y“ explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Wie kann man hier „Griechisch“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, diese ist jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht reicht das für den Moment. Im ersten Beispiel sind wir darauf gestoßen noch eins wichtiger Punkt , aber um die „Dummies“ nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überschütten, belasse ich es bis zur nächsten Lektion.

Wir werden uns nicht beeilen. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Lösung: Je nach Zustand müssen Sie finden private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Formulierung der Frage wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht verwirren, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen getrennt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Integrieren wir die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Sternchen gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (drücken Sie das „y“ explizit aus). Erinnern wir uns an die guten alten Dinge aus der Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie unkoscher aus, daher wird sie normalerweise auf den Boden der Tatsachen zurückgeführt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Gradeigenschaft schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante. Bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben:

Denken Sie daran, dass das „Abreißen“ einer Konstante bedeutet zweite Technik, das häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: . Dies ist eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Ausgangsbedingung erfüllt. Auch das ist einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch den Wert der Konstante, sodass die Bedingung erfüllt ist.

Es kann auf unterschiedliche Weise formatiert werden, aber dies ist wahrscheinlich die übersichtlichste Methode. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle des „X“ eine Null und anstelle des „Y“ eine Zwei:



Also,

Standardausführung:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Antwort: private Lösung:

Lass uns das Prüfen. Die Prüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst muss geprüft werden, ob die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle des „X“ ersetzen wir eine Null und schauen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde eine Zwei erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

– die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wurde richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Wir bewerten, ob es möglich ist, die Variablen zu trennen? Dürfen. Wir verschieben den zweiten Term mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir übertragen die Multiplikatoren nach der Proportionsregel:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts naht. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale Wenn Sie einige Beispiele gelöst haben, können Sie nirgendwo hingehen – Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden; wir behandeln das Integral des Kotangens mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, und laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter den Logarithmus geschrieben werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften Wir „packen“ die Logarithmen so weit wie möglich. Ich schreibe es ganz ausführlich auf:

Die Verpackung ist barbarisch zerfetzt:

Kann man „Spiel“ ausdrücken? Dürfen. Es ist notwendig, beide Teile auszurichten.

Aber Sie müssen das nicht tun.

Dritter technischer Tipp: Wenn es zur Erlangung einer allgemeinen Lösung notwendig ist, zur Macht aufzusteigen oder Wurzeln zu schlagen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung einfach schrecklich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Schildern und anderem Müll.

Daher schreiben wir die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals. Auf eine gute Art und Weise Es wird davon ausgegangen, dass es in der Form dargestellt wird, das heißt, auf der rechten Seite, wenn möglich, nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, dem Professor eine Freude zu machen ;-)

Antwort: allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral einer Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn also Ihr Ergebnis nicht mit der zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet das nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral ist auch recht einfach zu überprüfen, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und dividiere durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) eine allgemeine Lösung finden;
2) Finden der erforderlichen Einzellösung.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die jeweilige gefundene Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung , die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Lösung: Finden wir zunächst eine allgemeine Lösung. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und daher ist die Lösung vereinfacht. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten. Ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf. Da sie positiv sind, sind die Vorzeichen des Moduls nicht erforderlich:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „X“ Null und anstelle von „Y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antwort: private Lösung:

Prüfen: Zunächst prüfen wir, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Finden der Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Setzen wir die gefundene Sonderlösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wurde.

Die zweite Methode zur Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Lassen Sie uns die Ableitung ausdrücken. Dazu dividieren wir alle Teile durch:

Und in das transformierte DE ersetzen wir die erhaltene Teillösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen. Präsentieren Sie die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, eine vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lauern beim Lösen von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer „Teekanne“), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen: . Es ist klar, was als nächstes zu tun ist.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale sind oft nicht die einfachsten, und es gibt Mängel in den Findungskompetenzen unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „Da die Differentialgleichung einfach ist, sollten die Integrale zumindest komplizierter sein“ bei Verfassern von Sammlungen und Schulungshandbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, lässt sich die Konstante in Differentialgleichungen recht frei handhaben und einige Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres bedingtes Beispiel an: . Es empfiehlt sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, empfiehlt es sich, die Konstante in Form einer anderen Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis erfolgt die Entscheidungsaufzeichnung nächste Ansicht:

Was für eine Ketzerei? Da sind Fehler drin! Streng genommen ja. Aus inhaltlicher Sicht liegen jedoch keine Fehler vor, da durch die Transformation einer Variablenkonstante immer noch eine Variablenkonstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, dass im Zuge der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt hier ein weiterer Fehler vor – er sollte rechts geschrieben werden. Aber informell wird impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist ( was genauso gut jede Bedeutung annehmen kann!) Daher macht es keinen Sinn, ein „Minus“ zu setzen, und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und den Konstanten bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes zuzuweisen.

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen. Prüfung durchführen.

Lösung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir:

Es ist nicht notwendig, die Konstante hier als Logarithmus zu definieren, da dabei nichts Nützliches herauskommt.

Antwort: allgemeines Integral:

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort ( implizite Funktion):

Wir entfernen Brüche, indem wir beide Terme multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung des DE.
,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Der einzige Hinweis ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten, und genauer gesagt, Sie müssen es schaffen, nicht eine bestimmte Lösung zu finden, sondern Teilintegral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Ich denke, wir sollten mit der Geschichte eines so großartigen mathematischen Werkzeugs wie der Differentialgleichungen beginnen. Wie alle Differential- und Integralrechnungen wurden diese Gleichungen Ende des 17. Jahrhunderts von Newton erfunden. Er hielt diese besondere Entdeckung für so wichtig, dass er sogar eine Botschaft verschlüsselte, die heute etwa so übersetzt werden kann: „Alle Naturgesetze werden durch Differentialgleichungen beschrieben.“ Das mag wie eine Übertreibung erscheinen, aber es ist wahr. Jedes Gesetz der Physik, Chemie und Biologie kann durch diese Gleichungen beschrieben werden.

Die Mathematiker Euler und Lagrange leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung und Schaffung der Theorie der Differentialgleichungen. Bereits im 18. Jahrhundert entdeckten und entwickelten sie das, was sie heute in höheren Universitätskursen studieren.

Dank Henri Poincaré begann ein neuer Meilenstein in der Erforschung von Differentialgleichungen. Er schuf die „qualitative Theorie der Differentialgleichungen“, die in Kombination mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen einen wesentlichen Beitrag zur Grundlage der Topologie – der Wissenschaft vom Raum und seinen Eigenschaften – leistete.

Was sind Differentialgleichungen?

Viele Menschen haben Angst vor einer einzigen Phrase. In diesem Artikel werden wir jedoch im Detail die ganze Essenz dieses sehr nützlichen mathematischen Apparats skizzieren, der eigentlich gar nicht so kompliziert ist, wie der Name vermuten lässt. Um über Differentialgleichungen erster Ordnung zu sprechen, sollten Sie sich zunächst mit den grundlegenden Konzepten vertraut machen, die mit dieser Definition verbunden sind. Und wir beginnen mit dem Differential.

Differential

Viele Menschen kennen dieses Konzept seit der Schule. Schauen wir es uns jedoch genauer an. Stellen Sie sich den Graphen einer Funktion vor. Wir können es so weit vergrößern, dass jedes Segment davon die Form einer geraden Linie annimmt. Nehmen wir zwei Punkte darauf, die unendlich nahe beieinander liegen. Der Unterschied zwischen ihren Koordinaten (x oder y) wird verschwindend gering sein. Es wird Differential genannt und mit den Zeichen dy (Differential von y) und dx (Differential von x) bezeichnet. Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass das Differential keine endliche Größe ist und dass dies seine Bedeutung und Hauptfunktion ist.

Jetzt müssen wir das nächste Element betrachten, das uns bei der Erklärung des Konzepts einer Differentialgleichung nützlich sein wird. Dies ist eine Ableitung.

Derivat

Dieses Konzept haben wir wahrscheinlich alle in der Schule gehört. Als Ableitung bezeichnet man die Geschwindigkeit, mit der eine Funktion zunimmt oder abnimmt. Allerdings wird aus dieser Definition vieles unklar. Versuchen wir, die Ableitung durch Differentiale zu erklären. Kehren wir zu einem infinitesimalen Segment einer Funktion mit zwei Punkten zurück, die einen minimalen Abstand voneinander haben. Aber selbst über diese Distanz hinweg gelingt es der Funktion, sich um einen gewissen Betrag zu ändern. Und um diese Veränderung zu beschreiben, haben sie eine Ableitung entwickelt, die man ansonsten als Verhältnis von Differentialen schreiben kann: f(x)“=df/dx.

Nun lohnt es sich, die grundlegenden Eigenschaften des Derivats zu betrachten. Es gibt nur drei davon:

1. Die Ableitung einer Summe oder Differenz kann als Summe oder Differenz von Ableitungen dargestellt werden: (a+b)“=a“+b“ und (a-b)“=a“-b“.
2. Die zweite Eigenschaft bezieht sich auf die Multiplikation. Die Ableitung eines Produkts ist die Summe der Produkte einer Funktion und der Ableitung einer anderen: (a*b)“=a“*b+a*b“.
3. Die Ableitung der Differenz kann als folgende Gleichung geschrieben werden: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Alle diese Eigenschaften werden uns nützlich sein, um Lösungen für Differentialgleichungen erster Ordnung zu finden.

Es gibt auch partielle Ableitungen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion z, die von den Variablen x und y abhängt. Um die partielle Ableitung dieser Funktion beispielsweise nach x zu berechnen, müssen wir die Variable y als Konstante nehmen und einfach differenzieren.

Integral

Ein weiteres wichtiges Konzept ist integral. Tatsächlich ist dies das genaue Gegenteil einer Ableitung. Es gibt verschiedene Arten von Integralen, aber um die einfachsten Differentialgleichungen zu lösen, benötigen wir die trivialsten

Nehmen wir also an, wir haben eine gewisse Abhängigkeit von f von x. Wir nehmen daraus das Integral und erhalten die Funktion F(x) (oft Stammfunktion genannt), deren Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist. Somit ist F(x)"=f(x). Daraus folgt auch, dass das Integral der Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist.

Beim Lösen von Differentialgleichungen ist es sehr wichtig, die Bedeutung und Funktion des Integrals zu verstehen, da Sie diese sehr oft verwenden müssen, um die Lösung zu finden.

Gleichungen variieren je nach Art. Im nächsten Abschnitt werden wir uns die Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung ansehen und dann lernen, wie man sie löst.

Klassen von Differentialgleichungen

„Diffurs“ werden nach der Reihenfolge der an ihnen beteiligten Derivate unterteilt. Es gibt also erste, zweite, dritte und weitere Ordnungen. Sie können auch in mehrere Klassen unterteilt werden: gewöhnliche und partielle Derivate.

In diesem Artikel werden wir uns mit gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung befassen. In den folgenden Abschnitten werden wir auch Beispiele und Lösungsmöglichkeiten besprechen. Wir werden nur ODEs berücksichtigen, da dies die häufigsten Gleichungstypen sind. Gewöhnliche werden in Unterarten unterteilt: mit trennbaren Variablen, homogen und heterogen. Als nächstes erfahren Sie, wie sie sich voneinander unterscheiden und wie Sie sie lösen können.

Darüber hinaus können diese Gleichungen kombiniert werden, sodass wir am Ende ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung erhalten. Wir werden auch solche Systeme betrachten und lernen, sie zu lösen.

Warum ziehen wir nur die erste Bestellung in Betracht? Denn man muss mit etwas Einfachem beginnen und es ist einfach unmöglich, alles, was mit Differentialgleichungen zu tun hat, in einem Artikel zu beschreiben.

Trennbare Gleichungen

Dies sind vielleicht die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung. Dazu gehören Beispiele, die wie folgt geschrieben werden können: y"=f(x)*f(y). Um diese Gleichung zu lösen, benötigen wir eine Formel zur Darstellung der Ableitung als Verhältnis von Differentialen: y"=dy/dx. Damit erhalten wir die folgende Gleichung: dy/dx=f(x)*f(y). Jetzt können wir uns der Methode zum Lösen von Standardbeispielen zuwenden: Wir werden die Variablen in Teile aufteilen, das heißt, wir verschieben alles mit der Variablen y in den Teil, in dem sich dy befindet, und machen dasselbe mit der Variablen x. Wir erhalten eine Gleichung der Form: dy/f(y)=f(x)dx, die durch Integralbildung beider Seiten gelöst wird. Vergessen Sie nicht die Konstante, die nach der Integralbildung eingestellt werden muss.

Die Lösung für jede „Differenz“ ist eine Funktion der Abhängigkeit von x von y (in unserem Fall) oder, wenn eine numerische Bedingung vorliegt, die Antwort in Form einer Zahl. Schauen wir uns an konkretes Beispiel die ganze Lösung:

Lassen Sie uns die Variablen in verschiedene Richtungen verschieben:

Nehmen wir nun die Integrale. Alle sind in einer speziellen Integraltabelle zu finden. Und wir bekommen:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Bei Bedarf können wir „y“ als Funktion von „x“ ausdrücken. Nun können wir sagen, dass unsere Differentialgleichung gelöst ist, wenn die Bedingung nicht angegeben ist. Es kann eine Bedingung angegeben werden, zum Beispiel y(n/2)=e. Dann setzen wir einfach die Werte dieser Variablen in die Lösung ein und ermitteln den Wert der Konstante. In unserem Beispiel ist es 1.

Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

Kommen wir nun zum schwierigeren Teil. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung können in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: y"=z(x,y). Es ist zu beachten, dass die rechte Funktion zweier Variablen homogen ist und nicht in zwei Abhängigkeiten unterteilt werden kann : z auf x und z auf y. Überprüfen, ob die Gleichung homogen ist oder nicht, ist ganz einfach: Wir ersetzen x=k*x und y=k*y. Jetzt streichen wir alle k. Wenn alle diese Buchstaben gestrichen sind , dann ist die Gleichung homogen und Sie können sicher mit der Lösung beginnen. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir mal: Das Lösungsprinzip dieser Beispiele ist ebenfalls sehr einfach.

Wir müssen eine Ersetzung vornehmen: y=t(x)*x, wobei t eine bestimmte Funktion ist, die auch von x abhängt. Dann können wir die Ableitung ausdrücken: y"=t"(x)*x+t. Wenn wir das alles in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen und vereinfachen, erhalten wir ein Beispiel mit trennbaren Variablen t und x. Wir lösen es und erhalten die Abhängigkeit t(x). Sobald wir es erhalten haben, setzen wir einfach y=t(x)*x in unsere vorherige Ersetzung ein. Dann erhalten wir die Abhängigkeit von y von x.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an: x*y"=y-x*e y/x .

Bei der Überprüfung mit Ersatz wird alles reduziert. Dies bedeutet, dass die Gleichung wirklich homogen ist. Jetzt nehmen wir eine weitere Ersetzung vor, über die wir gesprochen haben: y=t(x)*x und y"=t"(x)*x+t(x). Nach der Vereinfachung erhalten wir die folgende Gleichung: t"(x)*x=-e t. Wir lösen das resultierende Beispiel mit getrennten Variablen und erhalten: e -t =ln(C*x). Alles, was wir tun müssen, ist zu ersetzen t mit y/x (wenn y =t*x, dann t=y/x), und wir erhalten die Antwort: e -y/x =ln(x*C).

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Es ist Zeit, sich mit einem weiteren breiten Thema zu befassen. Wir werden inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung analysieren. Wie unterscheiden sie sich von den beiden vorherigen? Lass es uns herausfinden. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung können in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: y" + g(x)*y=z(x). Es lohnt sich klarzustellen, dass z(x) und g(x) konstante Größen sein können.

Und nun ein Beispiel: y" - y*x=x 2 .

Es gibt zwei Lösungen, und wir werden beide der Reihe nach betrachten. Die erste ist die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie zunächst die rechte Seite mit Null gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen, die nach der Übertragung der Teile die Form annimmt:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Jetzt müssen wir die Konstante C 1 durch die Funktion v(x) ersetzen, die wir finden müssen.

Ersetzen wir die Ableitung:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Und setzen Sie diese Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sie können sehen, dass auf der linken Seite zwei Begriffe aufgehoben werden. Wenn dies in einem Beispiel nicht der Fall ist, haben Sie etwas falsch gemacht. Lass uns weitermachen:

v"*e x2/2 = x 2 .

Jetzt lösen wir die übliche Gleichung, in der wir die Variablen trennen müssen:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Um das Integral zu extrahieren, müssen wir hier die partielle Integration anwenden. Dies ist jedoch nicht das Thema unseres Artikels. Bei Interesse können Sie lernen, wie Sie solche Aktionen selbst durchführen können. Es ist nicht schwierig und mit ausreichend Geschick und Sorgfalt dauert es nicht lange.

Wenden wir uns der zweiten Lösung zu inhomogene Gleichungen: Bernoullis Methode. Welcher Ansatz schneller und einfacher ist, liegt bei Ihnen.

Wenn wir also eine Gleichung mit dieser Methode lösen, müssen wir eine Substitution vornehmen: y=k*n. Hier sind k und n einige x-abhängige Funktionen. Dann sieht die Ableitung so aus: y"=k"*n+k*n". Wir setzen beide Ersetzungen in die Gleichung ein:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruppierung:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Jetzt müssen wir das, was in Klammern steht, mit Null gleichsetzen. Wenn wir nun die beiden resultierenden Gleichungen kombinieren, erhalten wir ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das gelöst werden muss:

Wir lösen die erste Gleichung als gewöhnliche Gleichung. Dazu müssen Sie die Variablen trennen:

Wir nehmen das Integral und erhalten: ln(n)=x 2 /2. Wenn wir dann n ausdrücken:

Nun setzen wir die resultierende Gleichheit in die zweite Gleichung des Systems ein:

k"*e x2/2 =x 2 .

Und durch die Transformation erhalten wir die gleiche Gleichheit wie bei der ersten Methode:

dk=x 2 /e x2/2 .

Auch über das weitere Vorgehen werden wir nicht sprechen. Es ist erwähnenswert, dass die Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung zunächst erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Je tiefer man jedoch in das Thema eintaucht, desto besser klappt es.

Wo werden Differentialgleichungen verwendet?

Differentialgleichungen werden in der Physik sehr aktiv verwendet, da fast alle Grundgesetze in Differentialform geschrieben sind und die Formeln, die wir sehen, Lösungen dieser Gleichungen sind. In der Chemie werden sie aus demselben Grund verwendet: Mit ihrer Hilfe werden grundlegende Gesetze abgeleitet. In der Biologie werden Differentialgleichungen verwendet, um das Verhalten von Systemen wie Raubtieren und Beutetieren zu modellieren. Sie können auch verwendet werden, um Reproduktionsmodelle beispielsweise einer Kolonie von Mikroorganismen zu erstellen.

Wie können Differentialgleichungen Ihnen im Leben helfen?

Die Antwort auf diese Frage ist einfach: überhaupt nicht. Wenn Sie kein Wissenschaftler oder Ingenieur sind, werden sie Ihnen wahrscheinlich keinen Nutzen bringen. Allerdings für allgemeine Entwicklung Es schadet nicht zu wissen, was eine Differentialgleichung ist und wie sie gelöst wird. Und dann lautet die Frage des Sohnes oder der Tochter: „Was ist eine Differentialgleichung?“ wird dich nicht verwirren. Nun, wenn Sie Wissenschaftler oder Ingenieur sind, dann verstehen Sie selbst die Bedeutung dieses Themas in jeder Wissenschaft. Aber das Wichtigste ist, dass sich nun die Frage stellt: „Wie löst man eine Differentialgleichung erster Ordnung?“ Du kannst immer eine Antwort geben. Stimmen Sie zu, es ist immer schön, wenn man etwas versteht, vor dem die Leute überhaupt Angst haben, es zu verstehen.

Hauptprobleme beim Lernen

Das Hauptproblem beim Verständnis dieses Themas ist die mangelnde Fähigkeit, Funktionen zu integrieren und zu differenzieren. Wenn Sie schlecht darin sind, Ableitungen und Integrale zu berechnen, lohnt es sich wahrscheinlich, sie zu studieren und zu beherrschen verschiedene Methoden Integration und Differenzierung und beginnen Sie erst dann mit dem Studium des im Artikel beschriebenen Materials.

Manche Leute wundern sich, wenn sie erfahren, dass dx übertragen werden kann, denn früher (in der Schule) hieß es, der Bruch dy/dx sei unteilbar. Hier müssen Sie die Literatur zur Ableitung lesen und verstehen, dass es sich um ein Verhältnis von infinitesimalen Größen handelt, das beim Lösen von Gleichungen manipuliert werden kann.

Viele Menschen erkennen nicht sofort, dass das Lösen von Differentialgleichungen erster Ordnung oft eine Funktion oder ein Integral ist, die nicht genommen werden können, und diese falsche Vorstellung bereitet ihnen große Probleme.

Was können Sie zum besseren Verständnis noch studieren?

Das weitere Eintauchen in die Welt der Differentialrechnung beginnt man am besten beispielsweise mit Fachlehrbüchern mathematische Analyse für Studierende nichtmathematischer Fachrichtungen. Anschließend können Sie sich der Fachliteratur zuwenden.

Es ist erwähnenswert, dass es neben Differentialgleichungen auch Integralgleichungen gibt, sodass Sie immer etwas anstreben und studieren können.

Abschluss

Wir hoffen, dass Sie nach der Lektüre dieses Artikels eine Vorstellung davon haben, was Differentialgleichungen sind und wie man sie richtig löst.

Auf jeden Fall wird uns die Mathematik im Leben in irgendeiner Weise nützlich sein. Es entwickelt Logik und Aufmerksamkeit, ohne die jeder Mensch keine Hände hat.

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unabhängige Variable in Beziehung setzt X, die erforderliche Funktion j und seine Ableitungen oder Differentiale.

Symbolisch wird die Differentialgleichung wie folgt geschrieben:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Eine Differentialgleichung heißt gewöhnlich, wenn die gesuchte Funktion von einer unabhängigen Variablen abhängt.

Lösen einer Differentialgleichung heißt eine Funktion, die diese Gleichung in eine Identität umwandelt.

Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten in dieser Gleichung enthaltenen Ableitung

Beispiele.

1. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion y = 5 ln x. In der Tat, ersetzen y" In die Gleichung erhalten wir die Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion y = 5 ln x– eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" - 5y" +6y = 0. Die Funktion ist die Lösung dieser Gleichung.

Wirklich, .

Wenn wir diese Ausdrücke in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: , – Identität.

Und das bedeutet, dass die Funktion die Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Integrieren von Differentialgleichungen ist der Prozess, Lösungen für Differentialgleichungen zu finden.

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung eine Funktion der Form genannt , die so viele unabhängige beliebige Konstanten enthält, wie die Ordnung der Gleichung.

Teillösung der Differentialgleichung ist eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösung für verschiedene numerische Werte beliebiger Konstanten erhalten wird. Die Werte beliebiger Konstanten liegen bei bestimmten Anfangswerten des Arguments und der Funktion.

Der Graph einer bestimmten Lösung einer Differentialgleichung heißt Integralkurve.

Beispiele

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung

xdx + ydy = 0, Wenn j= 4 bei X = 3.

Lösung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir

Kommentar. Eine durch Integration erhaltene beliebige Konstante C kann in jeder für weitere Transformationen geeigneten Form dargestellt werden. In diesem Fall ist es unter Berücksichtigung der kanonischen Kreisgleichung zweckmäßig, eine beliebige Konstante C in der Form darzustellen.

- allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Bestimmte Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt j = 4 bei X = 3 ergibt sich aus der allgemeinen Lösung durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in die allgemeine Lösung: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Wenn wir C=5 in die allgemeine Lösung einsetzen, erhalten wir x 2 +y 2 = 5 2 .

Dies ist eine spezielle Lösung einer Differentialgleichung, die aus einer allgemeinen Lösung unter gegebenen Anfangsbedingungen erhalten wird.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Funktion der Form, wobei C eine beliebige Konstante ist. Tatsächlich erhalten wir, wenn wir , in die Gleichungen einsetzen: , .

Folglich hat diese Differentialgleichung unendlich viele Lösungen, da für verschiedene Werte der Konstante C die Gleichheit bestimmt verschiedene Lösungen Gleichungen

Durch direkte Substitution können Sie beispielsweise überprüfen, ob die Funktionen funktionieren sind Lösungen der Gleichung.

Ein Problem, bei dem Sie eine bestimmte Lösung für die Gleichung finden müssen y" = f(x,y) Erfüllung der Anfangsbedingung y(x 0) = y 0, wird Cauchy-Problem genannt.

Lösung der Gleichung y" = f(x,y), die Anfangsbedingung erfüllend, y(x 0) = y 0, wird als Lösung des Cauchy-Problems bezeichnet.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat eine einfache geometrische Bedeutung. Tatsächlich, nach diesen Definitionen, um das Cauchy-Problem zu lösen y" = f(x,y) angesichts dessen y(x 0) = y 0 bedeutet, die Integralkurve der Gleichung zu finden y" = f(x,y) was durchgeht angegebenen Punkt M 0 (x 0,y 0).

II. Differentialgleichungen erster Ordnung

2.1. Grundlegendes Konzept

Eine Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form F(x,y,y") = 0.

Eine Differentialgleichung erster Ordnung umfasst die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung.

Die gleichung y" = f(x,y) heißt eine nach der Ableitung gelöste Gleichung erster Ordnung.

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion der Form, die eine beliebige Konstante enthält.

Beispiel. Betrachten Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Die Lösung dieser Gleichung ist die Funktion.

Tatsächlich erhalten wir, wenn wir diese Gleichung durch ihren Wert ersetzen

also 3x=3x

Daher ist die Funktion eine allgemeine Lösung der Gleichung für jede Konstante C.

Finden Sie eine bestimmte Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt y(1)=1 Anfangsbedingungen ersetzen x = 1, y =1 In die allgemeine Lösung der Gleichung kommen wir von wo C=0.

Somit erhalten wir eine bestimmte Lösung aus der allgemeinen Lösung, indem wir den resultierenden Wert in diese Gleichung einsetzen C=0– private Lösung.

2.2. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen ist eine Gleichung der Form: y"=f(x)g(y) oder durch Differentiale, wo f(x) Und g(y)– spezifizierte Funktionen.

Für diejenigen j, für die die Gleichung y"=f(x)g(y) ist äquivalent zur Gleichung, in dem die Variable j ist nur auf der linken Seite vorhanden und die Variable x ist nur auf der rechten Seite vorhanden. Sie sagen: „In Gl. y"=f(x)g(y Trennen wir die Variablen.“

Gleichung des Formulars wird als Gleichung mit getrennten Variablen bezeichnet.

Integration beider Seiten der Gleichung Von X, wir bekommen G(y) = F(x) + C ist die allgemeine Lösung der Gleichung, wobei G(y) Und F(x)– einige Stammfunktionen jeweils von Funktionen und f(x), C Willkürliche Konstante.

Algorithmus zur Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung mit separierbaren Variablen

Beispiel 1

Löse die Gleichung y" = xy

Lösung. Ableitung einer Funktion y" Ersetzen Sie es durch

Trennen wir die Variablen

Integrieren wir beide Seiten der Gleichheit:

Beispiel 2

2yy" = 1- 3x 2, Wenn y 0 = 3 bei x 0 = 1

Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Stellen wir es uns in Differentialen vor. Dazu schreiben wir diese Gleichung in der Form um Von hier

Wir finden, dass wir beide Seiten der letzten Gleichheit integrieren

Ersetzen der Anfangswerte x 0 = 1, y 0 = 3 wir werden finden MIT 9=1-1+C, d.h. C = 9.

Daher wird das erforderliche Teilintegral sein oder

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, die durch einen Punkt verläuft M(2;-3) und eine Tangente mit einem Winkelkoeffizienten haben

Lösung. Je nach Zustand

Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Durch Division der Variablen erhalten wir:

Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, erhalten wir:

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen x = 2 Und y = - 3 wir werden finden C:

Daher hat die erforderliche Gleichung die Form

2.3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Gleichung der Form y" = f(x)y + g(x)

Wo f(x) Und g(x)- einige spezifizierte Funktionen.

Wenn g(x)=0 dann heißt die lineare Differentialgleichung homogen und hat die Form: y" = f(x)y

Wenn dann die Gleichung y" = f(x)y + g(x) als heterogen bezeichnet.

Allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung y" = f(x)y wird durch die Formel gegeben: wo MIT- Willkürliche Konstante.

Insbesondere, wenn C = 0, dann ist die Lösung y = 0 Wenn eine lineare homogene Gleichung die Form hat y" = ky Wo k eine Konstante ist, dann hat ihre allgemeine Lösung die Form: .

Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung y" = f(x)y + g(x) ergibt sich aus der Formel ,

diese. ist gleich der Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung und der besonderen Lösung dieser Gleichung.

Für eine lineare inhomogene Gleichung der Form y" = kx + b,

Wo k Und B- Einige Zahlen und eine bestimmte Lösung sind eine konstante Funktion. Daher hat die allgemeine Lösung die Form.

Beispiel. Löse die Gleichung y" + 2y +3 = 0

Lösung. Stellen wir die Gleichung im Formular dar y" = -2y - 3 Wo k = -2, b= -3 Die allgemeine Lösung ergibt sich aus der Formel.

Daher ist C eine beliebige Konstante.

2.4. Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung nach der Bernoulli-Methode

Finden einer allgemeinen Lösung für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y" = f(x)y + g(x) reduziert sich auf die Lösung zweier Differentialgleichungen mit getrennten Variablen mittels Substitution y=uv, Wo u Und v- unbekannte Funktionen von X. Diese Lösungsmethode wird Bernoulli-Methode genannt.

Algorithmus zur Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

y" = f(x)y + g(x)

1. Geben Sie die Vertretung ein y=uv.

2. Differenzieren Sie diese Gleichheit y" = u"v + uv"

3. Ersatz j Und y" in diese Gleichung: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oder u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Gruppieren Sie die Terme der Gleichung so, dass u nimm es aus der Klammer:

5. Finden Sie in der Klammer die Funktion, indem Sie sie mit Null gleichsetzen

Dies ist eine trennbare Gleichung:

Teilen wir die Variablen und erhalten:

Wo . .

6. Ersetzen Sie den resultierenden Wert v in die Gleichung ein (aus Schritt 4):

und finden Sie die Funktion Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen:

7. Schreiben Sie die allgemeine Lösung in das Formular: , d.h. .

Beispiel 1

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Gleichung y" = -2y +3 = 0 Wenn y =1 bei x = 0

Lösung. Lassen Sie es uns durch Substitution lösen y=uv,.y" = u"v + uv"

Ersetzen j Und y" in diese Gleichung erhalten wir

Indem wir den zweiten und dritten Term auf der linken Seite der Gleichung gruppieren, entfernen wir den gemeinsamen Faktor u außerhalb der Klammern

Wir setzen den Ausdruck in Klammern mit Null gleich und finden nach Lösung der resultierenden Gleichung die Funktion v = v(x)

Wir erhalten eine Gleichung mit getrennten Variablen. Integrieren wir beide Seiten dieser Gleichung: Finden Sie die Funktion v:

Ersetzen wir den resultierenden Wert v in die Gleichung erhalten wir:

Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Integrieren wir beide Seiten der Gleichung: Finden wir die Funktion u = u(x,c) Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung finden: Finden wir eine bestimmte Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingungen erfüllt y = 1 bei x = 0:

III. Differentialgleichungen höherer Ordnung

3.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung, die Ableitungen nicht höherer als zweiter Ordnung enthält. Im allgemeinen Fall wird eine Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt geschrieben: F(x,y,y",y") = 0

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Funktion der Form, die zwei beliebige Konstanten enthält C 1 Und C 2.

Eine besondere Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösung für bestimmte Werte beliebiger Konstanten erhalten wird C 1 Und C 2.

3.2. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstante Koeffizienten.

Lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird als Gleichung der Form bezeichnet y" + py" +qy = 0, Wo P Und Q- konstante Werte.

Algorithmus zur Lösung homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

1. Schreiben Sie die Differentialgleichung in der Form: y" + py" +qy = 0.

2. Erstellen Sie die charakteristische Gleichung und bezeichnen Sie sie y" durch r 2, y" durch R, j in 1: r 2 + pr +q = 0