Man nennt das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Regeln zum Finden trigonometrischer Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens
Die Konzepte Sinus (), Cosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Konzept des Winkels verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Zustand des Entsetzens auslösen) gut zu verstehen und um sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so schrecklich ist, wie er dargestellt wird“, beginnen wir mit dem ganz am Anfang und verstehe das Konzept eines Winkels.
Winkelkonzept: Bogenmaß, Grad
Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor hat sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag „gedreht“. Das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition ist also Ecke.
Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, natürlich, Winkeleinheiten!
Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.
Ein Winkel von (einem Grad) wird aufgerufen Zentralwinkel in einem Kreis, basierend auf einem Kreisbogen, der einem Teil des Kreises entspricht. Somit besteht der gesamte Kreis aus „Teilen“ von Kreisbögen, oder der vom Kreis beschriebene Winkel ist gleich.
Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel gleich, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.
Ein Winkel im Bogenmaß ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du es herausgefunden? Wenn nicht, dann lassen Sie es uns anhand der Zeichnung herausfinden.
Die Abbildung zeigt also einen Winkel gleich einem Bogenmaß, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder der Radius ist gleich der Länge des Bogens). Somit wird die Bogenlänge nach folgender Formel berechnet:
Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß?
Nun, wenn Sie das wissen, können Sie dann antworten, wie viele Bogenmaße in dem Winkel enthalten sind, der durch den Kreis beschrieben wird? Ja, dafür müssen Sie sich die Formel für den Umfang merken. Da ist sie:
Nun wollen wir diese beiden Formeln korrelieren und feststellen, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, indem wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Jeweils, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Radiant“ weggelassen, da die Maßeinheit normalerweise aus dem Kontext klar hervorgeht.
Wie viele Radianten gibt es? Alles ist richtig!
Habe es? Dann machen Sie weiter und beheben Sie das Problem:
Haben Sie Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Winkelkotangens
Also haben wir das Konzept eines Winkels herausgefunden. Aber was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Lass es uns herausfinden. Dabei hilft uns ein rechtwinkliges Dreieck.
Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite); Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (die angrenzenden). rechter Winkel), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein das benachbarte Bein und das Bein das Gegenteil. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?
Winkelsinus- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck.
Kosinus des Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck.
Tangente des Winkels- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).
In unserem Dreieck.
Kotangens des Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).
In unserem Dreieck.
Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:
Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;
Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.
Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:
Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist derselbe. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.
Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!
Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.
Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst: Berechnen Sie das Gleiche auch für den Winkel.
Einheitskreis (trigonometrisch).
Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.
Wie Sie sehen können, ist dieser Kreis aufgebaut Kartesisches System Koordinaten Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).
Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.
Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:
Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:
Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.
Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.
Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:
Was hat sich geändert? in diesem Beispiel? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Das ist richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrische Funktionen:
Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.
Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und bei Drehung im Uhrzeigersinn - Negativ.
Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.
Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.
Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.
Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden
Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:
Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:
Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:
Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:
Existiert nicht;
Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.
Antworten:
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Existiert nicht
Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:
Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:
Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:
Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:
Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:
Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ wird übereinstimmen und der Nenner „ “ wird übereinstimmen. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.
Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis
Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?
Natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes.
Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:
Wir erhalten, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:
Dann haben wir das für die Punktkoordinate.
Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,
Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:
Koordinaten des Kreismittelpunkts,
Kreisradius,
Der Drehwinkel des Vektorradius.
Wie Sie sehen können, werden diese Formeln für den betrachteten Einheitskreis erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich eins sind:
Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden?
1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.
4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.
Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?
Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie darin gut), und Sie werden lernen, sie zu finden!
1.
Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:
Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:
Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:
Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Zu wissen, dass die Tabellenwerte von Kosinus und Sinus gleich sind, und festgestellt zu haben, dass der Kosinus hier annimmt negative Bedeutung, und der Sinus ist positiv, wir haben:
Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
4.
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)
Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:
Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:
Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo
Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel
Kreisradius (nach Bedingung)
Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).
Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:
und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:
Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.
Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.
Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.
Referenzdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.
Geometrische Definition
|BD| - Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt im Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.
Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .
Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .
Tangente
Wo N- ganz.
In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.
Graph der Tangensfunktion, y = tan x
Kotangens
Wo N- ganz.
In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.
Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x
Eigenschaften von Tangens und Kotangens
Periodizität
Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.
Parität
Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.
Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend
Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Umfang und Kontinuität | ||
| Wertebereich | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Zunehmend | - | |
| Absteigend | - | |
| Extreme | - | - |
| Nullen, y = 0 | ||
| Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0 | y= 0 | - |
Formeln
Ausdrücke mit Sinus und Cosinus
;
;
;
;
;
Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz
Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten
Produkt von Tangenten
Formel für Summe und Differenz von Tangenten
Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments. 
Ausdrücke mit komplexen Zahlen
Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
; .
.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >
Integrale
Serienerweiterungen
Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.
Bei .
bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel: 
Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.
Arcustangens, arctg
, Wo N- ganz.
Arkuskotangens, arcctg
, Wo N- ganz.
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.
Vorlesung: Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines beliebigen Winkels
Sinus, Cosinus eines beliebigen Winkels
Um zu verstehen, was trigonometrische Funktionen sind, schauen wir uns einen Kreis mit Einheitsradius an. Gegebener Kreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung der Koordinatenebene. Zur Bestimmung spezifizierte Funktionen Wir werden den Radiusvektor verwenden ODER, der im Mittelpunkt des Kreises beginnt, und dem Punkt R ist ein Punkt auf dem Kreis. Dieser Radiusvektor bildet mit der Achse einen Winkel Alpha OH. Da der Kreis also einen Radius von eins hat ODER = R = 1.
Wenn vom Punkt R Senken Sie die Senkrechte zur Achse OH, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse gleich eins.
Wenn sich der Radiusvektor im Uhrzeigersinn bewegt, wird diese Richtung aufgerufen Negativ, wenn es sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt - positiv.
Sinus des Winkels ODER, ist die Ordinate des Punktes R Vektor auf einem Kreis.
Das heißt, um den Sinuswert eines bestimmten Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen U auf der Oberfläche.
Wie gegebener Wert wurde erhalten? Da wir wissen, dass der Sinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des Gegenkatheten zur Hypotenuse ist, erhalten wir das
Und da R=1, Das sin(α) = y 0 .
In einem Einheitskreis kann der Ordinatenwert nicht kleiner als -1 und nicht größer als 1 sein, was bedeutet
Der Sinus nimmt im ersten und zweiten Viertel des Einheitskreises einen positiven Wert und im dritten und vierten einen negativen Wert an.
Kosinus des Winkels gegebener Kreis, der durch den Radiusvektor gebildet wird ODER, ist die Abszisse des Punktes R Vektor auf einem Kreis.
Das heißt, um den Kosinuswert eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen X auf der Oberfläche.
Der Kosinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse, das erhalten wir
Und da R=1, Das cos(α) = x 0 .
Im Einheitskreis kann der Abszissenwert nicht kleiner als -1 und nicht größer als 1 sein, was bedeutet
Der Kosinus nimmt im ersten und vierten Viertel des Einheitskreises einen positiven Wert und im zweiten und dritten einen negativen Wert an.
Tangentebeliebiger Winkel Das Verhältnis von Sinus zu Cosinus wird berechnet.
Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck betrachten, dann ist dies das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Wenn wir vom Einheitskreis sprechen, dann ist dies das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse.
Anhand dieser Beziehungen kann man verstehen, dass die Tangente nicht existieren kann, wenn der Abszissenwert Null ist, also bei einem Winkel von 90 Grad. Die Tangente kann alle anderen Werte annehmen.
Die Tangente ist im ersten und dritten Viertel des Einheitskreises positiv und im zweiten und vierten Viertel negativ.
Betrachten Sie zunächst einen Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt bei (0;0). Für jedes αЄR kann der Radius 0A so gezeichnet werden, dass das Bogenmaß des Winkels zwischen 0A und der 0x-Achse gleich α ist. Die Richtung gegen den Uhrzeigersinn gilt als positiv. Das Ende des Radius A habe die Koordinaten (a,b).
Definition von Sinus
Definition: Die Zahl b, die der auf die beschriebene Weise konstruierten Ordinate des Einheitsradius entspricht, wird mit sinα bezeichnet und heißt Sinus des Winkels α.
Beispiel: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Definition von Kosinus
Definition: Die Zahl a, die der Abszisse des Endes des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius entspricht, wird mit cosα bezeichnet und heißt Kosinus des Winkels α.
Beispiel: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Diese Beispiele verwenden die Definition von Sinus und Cosinus eines Winkels anhand der Koordinaten des Endes des Einheitsradius und des Einheitskreises. Für eine visuellere Darstellung müssen Sie einen Einheitskreis zeichnen und die entsprechenden Punkte darauf eintragen und dann deren Abszissen zählen, um den Kosinus zu berechnen, und Ordinaten, um den Sinus zu berechnen.
Tangentendefinition
Definition: Die Funktion tgx=sinx/cosx für x≠π/2+πk, kЄZ, heißt Kotangens des Winkels x. Der Definitionsbereich der Funktion tgx umfasst alle reellen Zahlen außer x=π/2+πn, nЄZ.
Beispiel: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen. Um den Tangens eines Winkels zu berechnen, müssen Sie die Ordinate eines Punktes durch seine Abszisse teilen.
Definition von Kotangens
Definition: Die Funktion ctgx=cosx/sinx für x≠πk, kЄZ heißt Kotangens des Winkels x. Der Definitionsbereich der Funktion ctgx = umfasst alle reellen Zahlen außer den Punkten x=πk, kЄZ.
Schauen wir uns ein Beispiel mit einem regelmäßigen rechtwinkligen Dreieck an
Um es klarer zu machen, was Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens sind. Schauen wir uns ein Beispiel mit einem regelmäßigen rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel y und an Seiten a,b,c. Hypotenuse c, Beine a bzw. b. Der Winkel zwischen der Hypotenuse c und dem Bein b y.
Definition: Der Sinus des Winkels y ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse: siny = a/c
Definition: Der Kosinus des Winkels y ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse: cosy = v/c
Definition: Der Tangens des Winkels y ist das Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite: tgy = a/b
Definition: Der Kotangens des Winkels y ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Gegenseite: ctgy= in/a
Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens werden auch trigonometrische Funktionen genannt. Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinus und Cosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens.
Es wird angenommen, dass, wenn uns ein Winkel gegeben wird, dessen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens uns bekannt sind! Umgekehrt. Bei einem Sinus bzw. einer anderen trigonometrischen Funktion kennen wir den Winkel. Es wurden sogar spezielle Tabellen erstellt, in denen für jeden Winkel trigonometrische Funktionen geschrieben sind.
Wir beginnen unser Studium der Trigonometrie mit dem rechtwinkligen Dreieck. Lassen Sie uns definieren, was Sinus und Cosinus sowie Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels sind. Dies sind die Grundlagen der Trigonometrie.
Erinnern wir uns daran rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad. Mit anderen Worten, ein halber Drehwinkel.
Scharfe Ecke- weniger als 90 Grad.
Stumpfer Winkel- größer als 90 Grad. In Bezug auf einen solchen Winkel ist „stumpf“ keine Beleidigung, sondern ein mathematischer Begriff :-)
Zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Ein rechter Winkel wird üblicherweise mit bezeichnet. Bitte beachten Sie, dass die Seite gegenüber der Ecke mit demselben Buchstaben gekennzeichnet ist, nur klein. Daher wird die dem Winkel A gegenüberliegende Seite mit bezeichnet.
Der Winkel wird mit dem entsprechenden griechischen Buchstaben bezeichnet.
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
Beine- gegenüberliegende Seiten mit spitzen Winkeln.
Das dem Winkel gegenüberliegende Bein wird aufgerufen Gegenteil(relativ zum Winkel). Das andere Bein, das auf einer der Seiten des Winkels liegt, wird aufgerufen benachbart.
Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse:
Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des angrenzenden Beins zur Hypotenuse:
Tangente spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur angrenzenden:
Eine andere (äquivalente) Definition: Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus des Winkels zu seinem Kosinus:
Kotangens spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite (oder, was dasselbe ist, das Verhältnis von Kosinus zu Sinus):
Beachten Sie unten die grundlegenden Beziehungen für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Sie werden uns bei der Lösung von Problemen nützlich sein.
Lassen Sie uns einige davon beweisen.
Okay, wir haben Definitionen gegeben und Formeln aufgeschrieben. Aber warum brauchen wir noch Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens?
Wir wissen das Die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks ist gleich.
Wir kennen die Beziehung zwischen Parteien rechtwinkliges Dreieck. Dies ist der Satz des Pythagoras: .
Es stellt sich heraus, dass man, wenn man zwei Winkel in einem Dreieck kennt, den dritten finden kann. Wenn Sie die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können Sie die dritte finden. Das bedeutet, dass die Winkel ihr eigenes Verhältnis haben und die Seiten ihr eigenes. Aber was sollten Sie tun, wenn Sie in einem rechtwinkligen Dreieck einen Winkel (außer dem rechten Winkel) und eine Seite kennen, die anderen Seiten aber finden müssen?
Das ist es, was Menschen früher erlebt haben, als sie Karten der Umgebung und des Sternenhimmels erstellt haben. Schließlich ist es nicht immer möglich, alle Seiten eines Dreiecks direkt zu messen.
Sinus, Cosinus und Tangens – sie werden auch genannt trigonometrische Winkelfunktionen- Beziehungen zwischen geben Parteien Und Ecken Dreieck. Wenn Sie den Winkel kennen, können Sie alle seine trigonometrischen Funktionen mithilfe spezieller Tabellen finden. Und wenn Sie die Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte der Winkel eines Dreiecks und einer seiner Seiten kennen, können Sie den Rest finden.
Wir werden auch eine Tabelle mit den Werten von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für „gute“ Winkel von bis zeichnen.
Bitte beachten Sie die beiden roten Striche in der Tabelle. Bei geeigneten Winkelwerten existieren weder Tangens noch Kotangens.
Schauen wir uns einige Trigonometrieprobleme aus der FIPI Task Bank an.
1. In einem Dreieck beträgt der Winkel , . Finden .
Das Problem ist in vier Sekunden gelöst.
Weil das , .
2. In einem Dreieck beträgt der Winkel , , . Finden .
Finden wir es mithilfe des Satzes des Pythagoras.
Das Problem ist behoben.
Bei Problemen gibt es oft Dreiecke mit Winkeln und oder mit Winkeln und. Merken Sie sich die Grundverhältnisse für sie auswendig!
Für ein Dreieck mit Winkeln und dem gegenüberliegenden Bein ist der Winkel bei gleich die Hälfte der Hypotenuse.
Ein Dreieck mit Winkeln und ist gleichschenklig. Darin ist die Hypotenuse um ein Vielfaches größer als das Bein.
Wir haben uns die zu lösenden Probleme angeschaut rechtwinklige Dreiecke- das heißt, unbekannte Seiten oder Winkel zu finden. Aber das ist nicht alles! IN Optionen für das einheitliche Staatsexamen In der Mathematik gibt es viele Probleme, bei denen der Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens des Außenwinkels eines Dreiecks auftritt. Mehr dazu im nächsten Artikel.
