In diesem Artikel erkläre ich Ihnen, wie Sie Probleme lösen können, die .

Erinnern wir uns zunächst wie üblich an die Definitionen und Theoreme, die Sie kennen müssen, um Probleme erfolgreich zu lösen.

1.Beschrifteter Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden:

2.Zentraler Winkel ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammenfällt:

Gradwert eines Kreisbogens gemessen an der Größe des Zentralwinkels, der auf ihm ruht.

IN in diesem Fall der Gradwert des Bogens AC ist gleich dem Wert des Winkels AOS.

3. Wenn der eingeschriebene und der zentrale Winkel auf demselben Bogen basieren, dann Der eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie der Zentralwinkel:

4. Alle eingeschriebenen Winkel, die auf einem Bogen ruhen, sind einander gleich:

5. Der durch den Durchmesser eingeschriebene Winkel beträgt 90°:

Lassen Sie uns mehrere Probleme lösen.

1 . Aufgabe B7 (Nr. 27887)

Ermitteln wir den Wert des Mittelpunktswinkels, der auf demselben Bogen liegt:

Offensichtlich beträgt der Winkel AOC 90°, daher beträgt der Winkel ABC 45°

Antwort: 45°

2.Aufgabe B7 (Nr. 27888)

Finden Sie die Größe des Winkels ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Offensichtlich beträgt der Winkel AOC 270°, dann beträgt der Winkel ABC 135°.

Antwort: 135°

3. Aufgabe B7 (Nr. 27890)

Ermitteln Sie den Gradwert des Bogens AC des Kreises, der vom Winkel ABC begrenzt wird. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Ermitteln wir den Wert des Zentralwinkels, der auf dem Bogen AC liegt:

Der Winkel AOC beträgt 45°, daher Gradmaß Bogen AC beträgt 45°.

Antwort: 45°.

4 . Aufgabe B7 (Nr. 27885)

Finden Sie den Winkel ACB, wenn die eingeschriebenen Winkel ADB und DAE auf Kreisbögen ruhen, deren Gradwerte jeweils gleich und sind. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Der Winkel ADB liegt auf dem Bogen AB, daher beträgt der Wert des Mittelpunktswinkels AOB 118°, daher beträgt der Winkel BDA 59° und der angrenzende Winkel ADC beträgt 180°-59° = 121°

Ebenso beträgt der Winkel DOE 38° und der entsprechende eingeschriebene Winkel DAE 19°.

Betrachten Sie den Dreieck-ADC:

Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

Der Winkel ACB beträgt 180°- (121°+19°)=40°

Antwort: 40°

5 . Aufgabe B7 (Nr. 27872)

Die Seiten des Vierecks ABCD AB, BC, CD und AD liegen umschriebene Kreisbögen, deren Gradwerte gleich , bzw. sind. Finden Sie den Winkel B dieses Vierecks. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Winkel B ruht auf dem Bogen ADC, dessen Wert gleich der Summe der Werte der Bögen AD und CD ist, also 71°+145°=216°

Der eingeschriebene Winkel B entspricht der halben Größe des Bogen-ADC, also 108°

Antwort: 108°

6. Aufgabe B7 (Nr. 27873)

Die Punkte A, B, C, D, die sich auf einem Kreis befinden, teilen diesen Kreis in vier Bögen AB, BC, CD und AD, deren Grade jeweils im Verhältnis 4:2:3:6 stehen. Finden Sie den Winkel A des Vierecks ABCD. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

(siehe Zeichnung der vorherigen Aufgabe)

Da wir das Verhältnis der Größen der Bögen angegeben haben, führen wir das Einheitselement x ein. Dann wird die Größe jedes Bogens durch das folgende Verhältnis ausgedrückt:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Alle Bögen bilden einen Kreis, das heißt ihre Summe beträgt 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, also x=24°.

Winkel A wird durch die Bögen BC und CD unterstützt, die zusammen einen Wert von 5x=120° haben.

Daher beträgt der Winkel A 60°

Antwort: 60°

7. Aufgabe B7 (Nr. 27874)

Viereck A B C D in einen Kreis eingeschrieben. Ecke ABC gleich , Winkel CAD

Am häufigsten beginnt der Vorbereitungsprozess für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit der Wiederholung grundlegender Definitionen, Formeln und Theoreme, unter anderem zum Thema „Zentrale und eingeschriebene Winkel im Kreis“. In der Regel wird dieser Abschnitt der Planimetrie im Gymnasium studiert. Es ist nicht verwunderlich, dass viele Studierende mit der Notwendigkeit einer Wiederholung konfrontiert sind grundlegendes Konzept und Sätze zum Thema „Mittelwinkel eines Kreises“. Wenn Schüler den Algorithmus zur Lösung solcher Probleme verstanden haben, können sie damit rechnen, wettbewerbsfähige Ergebnisse auf der Grundlage der Ergebnisse des Bestehens des einheitlichen Staatsexamens zu erhalten.

Wie bereitet man sich einfach und effektiv auf das Bestehen der Zertifizierungsprüfung vor?

Studieren, bevor die Single bestanden wird Staatsexamen Viele Gymnasiasten stehen vor dem Problem, die notwendigen Informationen zum Thema „Zentrale und eingeschriebene Winkel im Kreis“ zu finden. Nicht immer Schulbuch griffbereit zur Verfügung. Und die Suche nach Formeln im Internet nimmt manchmal viel Zeit in Anspruch.

Unser Team hilft Ihnen dabei, Ihre Fähigkeiten zu verbessern und Ihr Wissen in einem so schwierigen Abschnitt der Geometrie wie der Planimetrie zu verbessern Bildungsportal. „Shkolkovo“ bietet Gymnasiasten und ihren Lehrern eine neue Möglichkeit, den Prozess der Vorbereitung auf das einheitliche Staatsexamen zu gestalten. Das gesamte Basismaterial wird von unseren Spezialisten in der am besten zugänglichen Form präsentiert. Nach der Lektüre der Informationen im Abschnitt „Theoretischer Hintergrund“ erfahren die Schüler, welche Eigenschaften der Mittelpunkt eines Kreises hat, wie man seinen Wert ermittelt usw.

Anschließend empfehlen wir zur Festigung der erworbenen Kenntnisse und Übungskompetenzen die Durchführung entsprechender Übungen. Eine große Auswahl an Aufgaben zum Ermitteln der Größe eines in einen Kreis eingeschriebenen Winkels und anderer Parameter wird im Abschnitt „Katalog“ vorgestellt. Für jede Übung haben unsere Experten eine detaillierte Lösung ausgeschrieben und die richtige Antwort angegeben. Die Liste der Aufgaben auf der Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Oberstufenschüler können sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, indem sie beispielsweise online in jeder russischen Region Übungen machen, um die Größe eines Mittelpunktswinkels und die Länge eines Kreisbogens zu ermitteln.

Bei Bedarf kann die erledigte Aufgabe im Bereich „Favoriten“ gespeichert werden, um später darauf zurückzukommen und das Lösungsprinzip noch einmal zu analysieren.

Der Winkel ABC ist ein eingeschriebener Winkel. Es ruht auf dem zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bogen AC (Abb. 330).

Satz. Ein eingeschriebener Winkel wird anhand der Hälfte des Bogens gemessen, auf dem er liegt.

Dies ist so zu verstehen: Ein eingeschriebener Winkel enthält so viele Winkelgrade, Minuten und Sekunden, wie Bogengrade, Minuten und Sekunden in der Hälfte des Bogens enthalten sind, auf der er ruht.

Beim Beweis dieses Theorems müssen drei Fälle berücksichtigt werden.

Erster Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Seite des eingeschriebenen Winkels (Abb. 331).

Sei ∠ABC ein eingeschriebener Winkel und der Mittelpunkt des Kreises O liegt auf der Seite BC. Es muss nachgewiesen werden, dass es sich um einen halben Bogenwechselstrom handelt.

Verbinden wir Punkt A mit dem Mittelpunkt des Kreises. Wir erhalten ein gleichschenkliges \(\Delta\)AOB, in dem AO = OB, als die Radien desselben Kreises. Daher ist ∠A = ∠B.

∠AOC liegt außerhalb des Dreiecks AOB, also ist ∠AOC = ∠A + ∠B, und da die Winkel A und B gleich sind, ist ∠B 1/2 ∠AOC.

Aber ∠AOC wird durch den Bogen-Wechselstrom gemessen, daher wird ∠B durch den halben Bogen-Wechselstrom gemessen.

Wenn beispielsweise \(\breve(AC)\) 60°18' enthält, dann enthält ∠B 30°9'.

Zweiter Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt zwischen den Seiten des eingeschriebenen Winkels (Abb. 332).

Sei ∠ABD ein eingeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt zwischen seinen Seiten. Wir müssen beweisen, dass ∠ABD durch den halben Bogen AD gemessen wird.

Um dies zu beweisen, zeichnen wir den Durchmesser BC ein. Der Winkel ABD ist in zwei Winkel aufgeteilt: ∠1 und ∠2.

∠1 wird durch einen halben Bogen AC gemessen und ∠2 wird durch einen halben Bogen CD gemessen, daher wird das gesamte ∠ABD durch 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), d.h. halber Bogen AD.

Wenn beispielsweise \(\breve(AD)\) 124° enthält, dann enthält ∠B 62°.

Dritter Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt außerhalb des eingeschriebenen Winkels (Abb. 333).

Sei ∠MAD ein eingeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt außerhalb der Ecke. Wir müssen beweisen, dass ∠MAD durch die halbe Bogen-MD gemessen wird.

Um dies zu beweisen, zeichnen wir den Durchmesser AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Aber ∠MAB misst 1 / 2 \(\breve(MB)\) und ∠DAB misst 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Daher misst ∠MAD 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, also 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Wenn \(\breve(MD)\) beispielsweise 48° 38" enthält, dann enthält ∠MAD 24° 19' 8".

Folgen
1. Alle eingeschriebenen Winkel, die denselben Bogen einschließen, sind einander gleich, da sie durch die Hälfte desselben Bogens gemessen werden (Abb. 334, a).

2. Ein eingeschriebener Winkel, der durch einen Durchmesser begrenzt wird, ist ein rechter Winkel, da er einen halben Kreis begrenzt. Ein Halbkreis enthält 180 Bogengrad, das heißt, der Winkel bezogen auf den Durchmesser beträgt 90 Bogengrad (Abb. 334, b).

Eingeschriebener Winkel, Theorie des Problems. Freunde! In diesem Artikel werden wir über Aufgaben sprechen, für die Sie die Eigenschaften eines eingeschriebenen Winkels kennen müssen. Dabei handelt es sich um eine ganze Gruppe von Aufgaben, die im Einheitlichen Staatsexamen enthalten sind. Die meisten davon lassen sich ganz einfach in einer Aktion lösen.

Es gibt schwierigere Probleme, aber sie werden Ihnen keine großen Schwierigkeiten bereiten; Sie müssen die Eigenschaften eines eingeschriebenen Winkels kennen. Nach und nach werden wir alle Prototypen der Aufgaben analysieren, ich lade Sie zum Blog ein!

Nun die notwendige Theorie. Erinnern wir uns daran, was ein zentraler und eingeschriebener Winkel, eine Sehne, ein Bogen sind, auf dem diese Winkel ruhen:

Der Mittelpunktswinkel in einem Kreis ist ein ebener Winkel mitSpitze in der Mitte.

Der Teil eines Kreises, der sich innerhalb eines ebenen Winkels befindetKreisbogen genannt.

Das Gradmaß eines Kreisbogens wird Gradmaß genanntder entsprechende Zentriwinkel.

Ein Winkel heißt in einen Kreis eingeschrieben, wenn der Scheitelpunkt des Winkels darin liegtauf einem Kreis, und die Seiten des Winkels schneiden diesen Kreis.

Ein Segment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, heißtAkkord. Der größte Akkord verläuft durch die Mitte des Kreises und wird aufgerufenDurchmesser.

Um Probleme mit in einen Kreis eingeschriebenen Winkeln zu lösen,Sie müssen die folgenden Eigenschaften kennen:

1. Der eingeschriebene Winkel ist gleich der Hälfte des Mittelpunktswinkels, bezogen auf denselben Bogen.

2. Alle eingeschriebenen Winkel, die denselben Bogen umfassen, sind gleich.

3. Alle eingeschriebenen Winkel, die auf derselben Sehne basieren und deren Scheitelpunkte auf derselben Seite dieser Sehne liegen, sind gleich.

4. Jedes auf derselben Sehne basierende Winkelpaar, dessen Scheitelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergibt zusammen 180°.

Folgerung: Die entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks ergeben zusammen 180 Grad.

5. Alle eingeschriebenen Winkel, die durch einen Durchmesser begrenzt werden, sind rechte Winkel.

Im Allgemeinen ist diese Eigenschaft eine Folge der Eigenschaft (1); dies ist ihr Sonderfall. Schauen Sie – der Zentralwinkel beträgt 180 Grad (und dieser entfaltete Winkel ist nichts anderes als ein Durchmesser), was bedeutet, dass gemäß der ersten Eigenschaft der eingeschriebene Winkel C gleich der Hälfte davon ist, also 90 Grad.

Die Kenntnis dieser Eigenschaft hilft bei der Lösung vieler Probleme und ermöglicht es Ihnen oft, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Wenn Sie es gut beherrschen, können Sie mehr als die Hälfte der Probleme dieser Art mündlich lösen. Daraus lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

Folgerung 1: Wenn ein Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist und eine seiner Seiten mit dem Durchmesser dieses Kreises übereinstimmt, dann ist das Dreieck rechtwinklig (der Scheitelpunkt des rechten Winkels liegt auf dem Kreis).

Folgerung 2: das Zentrum des Beschriebenen rechtwinkliges Dreieck Der Kreis fällt mit der Mitte seiner Hypotenuse zusammen.

Auch viele Prototypen stereometrischer Probleme werden durch die Nutzung dieser Eigenschaft und dieser Konsequenzen gelöst. Denken Sie an die Tatsache selbst: Wenn der Durchmesser eines Kreises die Seite eines eingeschriebenen Dreiecks ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig (der Winkel gegenüber dem Durchmesser beträgt 90 Grad). Alle anderen Schlussfolgerungen und Konsequenzen können Sie selbst ziehen; Sie müssen sie nicht unterrichten.

In der Regel wird die Hälfte der Aufgaben zu einem beschrifteten Winkel mit einer Skizze, jedoch ohne Symbole angegeben. Um den Denkprozess beim Lösen von Problemen (unten im Artikel) zu verstehen, werden Notationen für Scheitelpunkte (Winkel) eingeführt. Bei der Einheitlichen Staatsprüfung müssen Sie dies nicht tun.Betrachten wir die Aufgaben:

Welchen Wert hat ein spitzer eingeschriebener Winkel, der von einer Sehne begrenzt wird, die dem Radius des Kreises entspricht? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Konstruieren wir einen zentralen Winkel für einen gegebenen eingeschriebenen Winkel und bezeichnen wir die Eckpunkte:

Gemäß der Eigenschaft eines in einen Kreis eingeschriebenen Winkels:

Der Winkel AOB ist gleich 60 0, da das Dreieck AOB gleichseitig ist und in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich 60 0 sind. Die Seiten des Dreiecks sind gleich, da die Bedingung besagt, dass die Sehne gleich dem Radius ist.

Somit beträgt der eingeschriebene Winkel ACB 30 0.

Antwort: 30

Finden Sie die Sehne, die von einem Winkel von 30° getragen wird, der in einen Kreis mit Radius 3 eingeschrieben ist.

Dies ist im Wesentlichen das umgekehrte Problem (zum vorherigen). Konstruieren wir den Mittelpunktswinkel.

Er ist doppelt so groß wie der eingeschriebene, d. h. der Winkel AOB beträgt 60 0. Daraus können wir schließen, dass das Dreieck AOB gleichseitig ist. Somit ist die Sehne gleich dem Radius, also drei.

Antwort: 3

Der Radius des Kreises beträgt 1. Bestimmen Sie die Größe des stumpfen eingeschriebenen Winkels, der von der Sehne gleich der Wurzel aus zwei begrenzt wird. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Konstruieren wir den Mittelpunktswinkel:

Wenn wir den Radius und die Sehne kennen, können wir den Mittelpunktswinkel ASV ermitteln. Dies kann mit dem Kosinussatz erfolgen. Wenn wir den Zentralwinkel kennen, können wir leicht den eingeschriebenen Winkel ACB ermitteln.

Kosinussatz: Quadrieren Sie eine beliebige Seite des Dreiecks gleich den Summen e Quadrate der anderen beiden Seiten, ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Daher beträgt der zweite Mittelpunktswinkel 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Der Winkel ACB beträgt gemäß der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels die Hälfte davon, also 135 Grad.

Antwort: 135

Finden Sie die Sehne mit einem Winkel von 120 Grad, die in einen Kreis mit dem Radius Wurzel drei eingeschrieben ist.

Verbinden Sie die Punkte A und B mit dem Mittelpunkt des Kreises. Bezeichnen wir es als O:

Wir kennen den Radius und den eingeschriebenen Winkel ASV. Wir können den Mittelpunktswinkel AOB (größer als 180 Grad) und dann den Winkel AOB im Dreieck AOB ermitteln. Berechnen Sie dann AB mithilfe des Kosinussatzes.

Gemäß der Eigenschaft des eingeschriebenen Winkels ist der Zentralwinkel AOB (der größer als 180 Grad ist) gleich dem Doppelten des eingeschriebenen Winkels, also 240 Grad. Dies bedeutet, dass der Winkel AOB im Dreieck AOB 360 0 – 240 0 = 120 0 beträgt.

Nach dem Kosinussatz:

Antwort:3

Finden Sie den eingeschriebenen Winkel, der von einem Bogen begrenzt wird, der 20 % des Kreises ausmacht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Gemäß der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels ist er halb so groß wie der Mittelpunktswinkel, der auf demselben Bogen basiert, in diesem Fall handelt es sich um den Bogen AB.

Man sagt, dass der Bogen AB 20 Prozent des Umfangs ausmacht. Das bedeutet, dass der Mittelpunktswinkel AOB ebenfalls 20 Prozent von 360° beträgt.*Ein Kreis ist ein Winkel von 360 Grad. Bedeutet,

Somit beträgt der eingeschriebene Winkel ACB 36 Grad.

Antwort: 36

Kreisbogen A.C., enthält keinen Punkt B, beträgt 200 Grad. Und der Bogen eines Kreises BC, der keinen Punkt enthält A, beträgt 80 Grad. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel ACB. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Der Klarheit halber bezeichnen wir die Bögen, deren Winkelmaße angegeben sind. Bogen entsprechend 200 Grad – blaue Farbe, der 80-Grad-Bogen ist rot, der verbleibende Teil des Kreises ist rot Gelb.

Somit beträgt das Gradmaß des Bogens AB (gelb) und damit der Mittelpunktswinkel AOB: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Der eingeschriebene Winkel ACB ist halb so groß wie der Zentralwinkel AOB, also gleich 40 Grad.

Antwort: 40

Wie groß ist der eingeschriebene Winkel, den der Durchmesser des Kreises einschließt? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Es ist notwendig, die Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels zu kennen; Verstehen Sie, wann und wie Sie den Kosinussatz anwenden, und erfahren Sie mehr darüber.

Das ist alles! Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

Mathematiklehrer an der Schule in der dritten Klasse:
- Kinder, sagt mir, wie viel sind 6*6?
Die Kinder antworten einstimmig:
- Sechsundsiebzig!
- Nun, was sagt ihr, Kinder! Sechs mal sechs werden sechsunddreißig sein... na ja, vielleicht noch 37, 38, 39... na ja, maximal 40... aber nicht sechsundsiebzig!

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Durchschnittsniveau

Kreis und eingeschriebener Winkel. Visueller Leitfaden (2019)

Grundbegriffe.

Wie gut erinnern Sie sich an alle Namen, die mit dem Kreis verbunden sind? Für alle Fälle erinnern wir Sie daran – schauen Sie sich die Bilder an – frischen Sie Ihr Wissen auf.

Zuerst - Der Mittelpunkt eines Kreises ist ein Punkt, von dem aus die Abstände zu allen Punkten auf dem Kreis gleich sind.

Zweitens - Radius - ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis verbindet.

Es gibt viele Radien (so viele wie es Punkte auf dem Kreis gibt), aber Alle Radien haben die gleiche Länge.

Manchmal kurz Radius sie nennen es genau Länge des Segments„Der Mittelpunkt ist ein Punkt auf dem Kreis“ und nicht das Segment selbst.

Und hier ist, was passiert wenn man zwei Punkte auf einem Kreis verbindet? Auch ein Segment?

Dieses Segment heißt also "Akkord".

Genau wie beim Radius ist der Durchmesser oft die Länge eines Segments, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich, der Radius ist gleich dem halben Durchmesser.

Neben Akkorden gibt es auch Sekanten.

Erinnern Sie sich an die einfachste Sache?

Der Zentralwinkel ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Und jetzt - der eingeschriebene Winkel

Eingeschriebener Winkel – der Winkel zwischen zwei Sehnen, die sich in einem Punkt auf einem Kreis schneiden.

In diesem Fall sagt man, dass der eingeschriebene Winkel auf einem Bogen (oder einer Sehne) ruht.

Sehen Sie das Bild an:

Messungen von Bögen und Winkeln.

Umfang. Bögen und Winkel werden in Grad und Bogenmaß gemessen. Zunächst zu den Abschlüssen. Bei Winkeln gibt es keine Probleme – Sie müssen lernen, wie man den Bogen in Grad misst.

Das Gradmaß (Bogengröße) ist der Wert (in Grad) des entsprechenden Mittelpunktswinkels

Was bedeutet hier das Wort „angemessen“? Schauen wir genau hin:

Sehen Sie zwei Bögen und zwei Mittelwinkel? Nun, ein größerer Bogen entspricht einem größeren Winkel (und es ist in Ordnung, dass er größer ist), und ein kleinerer Bogen entspricht einem kleineren Winkel.

Wir waren uns also einig: Der Bogen enthält die gleiche Gradzahl wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Und nun zum Schrecklichen – zum Bogenmaß!

Was für ein Biest ist dieses „Radiant“?

Stell dir vor: Das Bogenmaß ist eine Möglichkeit, Winkel zu messen ... in Radien!

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dann stellt sich die Frage: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel?

Mit anderen Worten: Wie viele Radien „passen“ in einen Halbkreis? Oder anders: Wie oft ist die Länge eines Halbkreises größer als der Radius?

Diese Frage stellten Wissenschaftler bereits im antiken Griechenland.

Und so, danach lange Suche Sie entdeckten, dass das Verhältnis von Umfang zu Radius nicht in „menschlichen“ Zahlen wie usw. ausgedrückt werden möchte.

Und es ist nicht einmal möglich, diese Einstellung durch Wurzeln auszudrücken. Das heißt, es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist zu sagen, dass ein Halbkreis um ein Vielfaches größer ist als der Radius! Können Sie sich vorstellen, wie erstaunlich es für die Leute war, dies zum ersten Mal zu entdecken?! Für das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius reichten „normale“ Zahlen nicht aus. Ich musste einen Buchstaben eingeben.

Das ist also eine Zahl, die das Verhältnis der Länge des Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Jetzt können wir die Frage beantworten: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel? Es enthält Bogenmaß. Eben weil der halbe Kreis mal größer ist als der Radius.

Alte (und nicht so alte) Menschen im Laufe der Jahrhunderte (!) versuchte, diese mysteriöse Zahl genauer zu berechnen, sie (zumindest annähernd) besser durch „gewöhnliche“ Zahlen auszudrücken. Und jetzt sind wir unglaublich faul – zwei Zeichen nach einem anstrengenden Tag reichen uns, das sind wir gewohnt

Denken Sie darüber nach, das bedeutet zum Beispiel, dass die Länge eines Kreises mit einem Radius von eins ungefähr gleich ist, aber diese genaue Länge ist einfach unmöglich, mit einer „menschlichen“ Zahl aufzuschreiben – Sie brauchen einen Buchstaben. Und dann wird dieser Umfang gleich sein. Und natürlich ist der Umfang des Radius gleich.

Kommen wir zurück zum Bogenmaß.

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein gerader Winkel das Bogenmaß enthält.

Was wir haben:

Also, froh, das heißt, froh. Auf die gleiche Weise erhält man eine Platte mit den gängigsten Winkeln.

Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.

Es gibt eine erstaunliche Tatsache:

Der eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.

Schauen Sie, wie diese Aussage auf dem Bild aussieht. Ein „korrespondierender“ Zentralwinkel ist ein Winkel, dessen Enden mit den Enden des eingeschriebenen Winkels zusammenfallen und dessen Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Und gleichzeitig muss der „entsprechende“ Zentralwinkel auf die gleiche Sehne () „blicken“ wie der eingeschriebene Winkel.

Warum ist das so? Schauen wir uns zunächst einen einfachen Fall an. Lassen Sie einen der Akkorde durch die Mitte verlaufen. Das passiert manchmal so, oder?

was geschieht hier? Lassen Sie uns überlegen. Es handelt sich schließlich um gleichschenklige Radien. Also (beschriftete sie).

Schauen wir uns nun an. Dies ist die äußere Ecke für! Wir erinnern uns, dass ein Außenwinkel gleich der Summe zweier Innenwinkel ist, die nicht an ihn angrenzen, und schreiben:

Also! Unerwarteter Effekt. Es gibt aber auch einen zentralen Winkel für das Eingeschriebene.

Das bedeutet, dass sie für diesen Fall bewiesen haben, dass der Zentralwinkel doppelt so groß ist wie der eingeschriebene Winkel. Aber es ist ein schmerzhafter Sonderfall: Stimmt es nicht, dass der Akkord nicht immer direkt durch die Mitte geht? Aber es ist in Ordnung, jetzt wird uns dieser spezielle Fall sehr helfen. Schauen Sie: Zweiter Fall: Lassen Sie die Mitte im Inneren liegen.

Machen wir Folgendes: Zeichnen Sie den Durchmesser. Und dann... sehen wir zwei Bilder, die bereits im ersten Fall analysiert wurden. Deshalb haben wir das bereits

Das bedeutet (in der Zeichnung a)

Damit bleibt der letzte Fall: Die Mitte liegt außerhalb der Ecke.

Wir machen dasselbe: Zeichnen Sie den Durchmesser durch den Punkt. Alles ist gleich, aber statt einer Summe gibt es einen Unterschied.

Das ist alles!

Lassen Sie uns nun zwei wesentliche und sehr wichtige Konsequenzen aus der Aussage ziehen, dass der eingeschriebene Winkel die Hälfte des Zentralwinkels ist.

Folgerung 1

Alle eingeschriebenen Winkel, die auf einem Bogen basieren, sind einander gleich.

Wir veranschaulichen:

Es gibt unzählige eingeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren (wir haben diesen Bogen), sie mögen völlig unterschiedlich aussehen, aber sie haben alle den gleichen zentralen Winkel (), was bedeutet, dass alle diese eingeschriebenen Winkel untereinander gleich sind.

Folgerung 2

Der durch den Durchmesser eingeschlossene Winkel ist ein rechter Winkel.

Schauen Sie: Welcher Winkel ist zentral?

Sicherlich, . Aber er ist gleich! Nun, daher (sowie viele weitere eingeschriebene Winkel, die darauf ruhen) und ist gleich.

Winkel zwischen zwei Akkorden und Sekanten

Was aber, wenn der Winkel, der uns interessiert, NICHT eingeschrieben und NICHT zentral ist, sondern beispielsweise so aussieht:

oder so?

Ist es möglich, es irgendwie durch einige zentrale Winkel auszudrücken? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Schauen Sie: Wir sind interessiert.

a) (als Außenecke für). Aber - beschriftet, ruht auf dem Bogen -. - beschriftet, ruht auf dem Bogen - .

Für Schönheit sagen sie:

Der Winkel zwischen den Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe Winkelwerte in diesem Winkel eingeschlossene Bögen.

Sie schreiben dies der Kürze halber, aber wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie natürlich die Mittelpunktswinkel berücksichtigen

b) Und jetzt – „draußen“! Wie sein? Ja, fast das Gleiche! Erst jetzt (wieder wenden wir die Eigenschaft des Außenwinkels an). Das ist jetzt.

Und das bedeutet... Lassen Sie uns den Notizen und Formulierungen Schönheit und Kürze verleihen:

Der Winkel zwischen den Sekanten entspricht der Hälfte der Differenz der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Nun verfügen Sie über alle Grundkenntnisse über Winkel im Zusammenhang mit einem Kreis. Machen Sie weiter, nehmen Sie die Herausforderungen an!

KREIS UND INNENWINKEL. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sogar ein fünfjähriges Kind weiß, was ein Kreis ist, oder? Mathematiker haben wie immer eine abstruse Definition zu diesem Thema, aber wir werden sie nicht geben (siehe), sondern uns daran erinnern, wie die mit einem Kreis verbundenen Punkte, Linien und Winkel heißen.

Wichtige Begriffe

Zuerst:

Mittelpunkt des Kreises- ein Punkt, von dem alle Punkte auf dem Kreis den gleichen Abstand haben.

Zweitens:

Es gibt einen anderen gängigen Ausdruck: „Der Akkord verengt den Bogen.“ Hier in der Abbildung liegt beispielsweise die Sehne unterhalb des Bogens. Und wenn ein Akkord plötzlich durch die Mitte geht, dann hat er einen besonderen Namen: „Durchmesser“.

Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich,

Und jetzt - die Namen für die Ecken.

Natürlich, nicht wahr? Die Seiten des Winkels erstrecken sich von der Mitte aus – was bedeutet, dass der Winkel zentral ist.

Hier treten manchmal Schwierigkeiten auf. Passt auf - Es ist KEIN Winkel innerhalb eines Kreises eingeschrieben, aber nur einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst „sitzt“.

Schauen wir uns den Unterschied auf den Bildern an:

Anders ausgedrückt:

Hier gibt es einen heiklen Punkt. Was ist der „entsprechende“ oder „eigene“ Zentralwinkel? Nur ein Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises und den Enden an den Enden des Bogens? Auf diese Weise sicher nicht. Schauen Sie sich die Zeichnung an.

Einer davon sieht jedoch nicht einmal wie eine Ecke aus – er ist größer. Aber ein Dreieck kann nicht mehr Winkel haben, ein Kreis aber schon! Also: Der kleinere Bogen AB entspricht einem kleineren Winkel (orange) und der größere Bogen entspricht einem größeren. Einfach so, nicht wahr?

Die Beziehung zwischen den Größen der eingeschriebenen und zentralen Winkel

Denken Sie an diese sehr wichtige Aussage:

In Lehrbüchern schreiben sie die gleiche Tatsache gerne so:

Stimmt es nicht, dass die Formulierung mit einem zentralen Winkel einfacher ist?

Aber lassen Sie uns dennoch eine Entsprechung zwischen den beiden Formulierungen finden und gleichzeitig lernen, in den Zeichnungen den „entsprechenden“ Zentralwinkel und den Bogen zu finden, auf dem der eingeschriebene Winkel „ruht“.

Schauen Sie: Hier ist ein Kreis und ein eingeschriebener Winkel:

Wo ist der „entsprechende“ Mittelpunktswinkel?

Schauen wir noch einmal:

Was ist die Regel?

Aber! In diesem Fall ist es wichtig, dass die beschrifteten und zentralen Winkel von einer Seite auf den Bogen „blicken“. Zum Beispiel:

Seltsamerweise blau! Weil der Bogen lang ist, länger als der halbe Kreis! Lassen Sie sich also nie verwirren!

Welche Konsequenz lässt sich aus der „Halbheit“ des eingeschriebenen Winkels ableiten?

Aber zum Beispiel:

Winkel durch Durchmesser begrenzt

Ist Ihnen schon aufgefallen, dass Mathematiker gerne mit anderen Worten über dasselbe sprechen? Warum brauchen sie das? Sie sehen, die Sprache der Mathematik ist zwar formal, aber lebendig, und deshalb möchte man sie wie in der gewöhnlichen Sprache jedes Mal auf eine bequemere Weise sagen. Nun, wir haben bereits gesehen, was „ein Winkel ruht auf einem Bogen“ bedeutet. Und stellen Sie sich vor, das gleiche Bild heißt „Ein Winkel ruht auf einer Sehne“. Auf was? Ja, natürlich, zu dem, der diesen Bogen spannt!

Wann ist es bequemer, sich auf einen Akkord als auf einen Bogen zu verlassen?

Nun, insbesondere, wenn dieser Akkord einen Durchmesser hat.

Für eine solche Situation gibt es eine überraschend einfache, schöne und nützliche Aussage!

Schauen Sie: Hier ist der Kreis, der Durchmesser und der Winkel, der darauf ruht.

KREIS UND INNENWINKEL. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Grundkonzepte.

3. Messungen von Bögen und Winkeln.

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dies ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zu seinem Radius ausdrückt.

Der Umfang des Radius ist gleich.

4. Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.