Dieser Online-Mathe-Rechner hilft Ihnen bei Bedarf Berechnen Sie den Grenzwert einer Funktion. Programm Lösungsgrenzen Gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, es führt auch detaillierte Lösung mit Erläuterungen, d.h. Zeigt den Grenzwertberechnungsprozess an.

Dieses Programm kann für Oberstufenschüler in weiterführenden Schulen bei der Vorbereitung nützlich sein Tests und Prüfungen beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, damit Eltern die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra kontrollieren können. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder Ihr eigenes Training durchführen. jüngere Brüder oder Schwestern, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Probleme steigt.

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Eine kleine Theorie.

Grenze der Funktion bei x->x 0

Die Funktion f(x) sei auf einer Menge X definiert und der Punkt \(x_0 \in X\) oder \(x_0 \notin X\)

Nehmen wir aus X eine von x 0 verschiedene Folge von Punkten:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergiert gegen x*. Die Funktionswerte an den Punkten dieser Folge bilden ebenfalls eine Zahlenfolge
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
und man kann die Frage nach der Existenz seiner Grenze aufwerfen.

Definition. Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion f(x) am Punkt x = x 0 (oder bei x -> x 0), wenn für jede Folge (1) von Werten des Arguments x anders als x 0 Konvergiert gegen x 0, konvergiert die entsprechende Folge (2) der Wertefunktion gegen Zahl A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Die Funktion f(x) kann im Punkt x 0 nur einen Grenzwert haben. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Reihenfolge
(f(x n)) hat nur einen Grenzwert.

Es gibt eine andere Definition des Grenzwerts einer Funktion.

Definition Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion f(x) im Punkt x = x 0, wenn es für jede Zahl \(\varepsilon > 0\) eine Zahl \(\delta > 0\) gibt, so dass für alle \ (x \in
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Beachten Sie, dass die Ungleichungen \(x \neq x_0 , \; |x-x_0|. Die erste Definition basiert auf dem Konzept der Grenze Zahlenfolge, weshalb sie oft als „Sequenzsprache“-Definition bezeichnet wird. Die zweite Definition wird als Definition „in der Sprache \(\varepsilon – \delta \)“ bezeichnet.
Diese beiden Definitionen des Grenzwerts einer Funktion sind äquivalent und Sie können eine davon verwenden, je nachdem, welche für die Lösung eines bestimmten Problems geeigneter ist.

Beachten Sie, dass die Definition des Grenzwertes einer Funktion „in der Sprache der Folgen“ auch als Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine bezeichnet wird und die Definition des Grenzwertes einer Funktion „in der Sprache \(\varepsilon - „\delta \)“ wird nach Cauchy auch als Definition des Grenzwertes einer Funktion bezeichnet.

Grenze der Funktion bei x->x 0 - und bei x->x 0 +

Im Folgenden verwenden wir die Konzepte der einseitigen Grenzen einer Funktion, die wie folgt definiert sind.

Definition Die Zahl A heißt die rechte (linke) Grenze der Funktion f(x) am Punkt x 0, wenn für jede gegen x 0 konvergierende Folge (1), deren Elemente x n größer (kleiner als) x 0 sind, die entsprechende Folge (2) konvergiert gegen A.

Symbolisch wird es so geschrieben:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Wir können eine äquivalente Definition einseitiger Grenzen einer Funktion „in der Sprache \(\varepsilon - \delta \)“ geben:

Definition Eine Zahl A heißt der rechte (linke) Grenzwert der Funktion f(x) im Punkt x 0, wenn es für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) gibt, so dass für alle x Erfüllung der Ungleichungen \(x_0 Symbolische Einträge:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Funktion F(X) eine Funktion genannt ganzzahliges Argument, wenn eine Menge von Werten X, für die sie definiert ist, ist die Menge aller natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... Ein Beispiel für eine ganzzahlige Argumentfunktion ist die Summe N die ersten Zahlen der natürlichen Reihe. IN in diesem Fall

Numerische Reihenfolge eine unendliche Menge von Zahlen genannt

in einer bestimmten Reihenfolge aufeinanderfolgend und nach einem bestimmten Gesetz aufgebaut, mit dessen Hilfe es als Funktion eines ganzzahligen Arguments spezifiziert wird, d.h. .

Nummer A wird als Grenzwert der Folge bezeichnet (1), wenn für irgendjemanden es gibt eine nummer , so dass wann Ungleichheit gilt . Wenn die Zahl A die Grenze der Folge (1) ist, dann schreiben Sie

Eine Zahlenfolge kann nicht mehr als einen Grenzwert haben. Eine Folge mit einem Grenzwert wird aufgerufen konvergent.

Für konvergente Folgen gelten die folgenden Sätze:

Beispiel 1.

Finden Sie den gemeinsamen Term der Folge 1, 4, 9, 16, 25, …

Lösung: Das ist leicht zu erkennen

Somit

Beispiel 2.

Finden Sie den gemeinsamen Begriff einer Folge

Lösung: Das ist nicht schwer zu erkennen

,

, usw.

Somit:

Beispiel 3.

Beweisen Sie, dass eine Folge mit einem gemeinsamen Term einen Grenzwert gleich Null hat.

Lösung: Schreiben Sie eine Reihe von Sequenztermen auf

und legen . Für alle Mitglieder dieser Sequenz, beginnend mit dem vierten, gilt die Gleichheit

Wirklich

In diesem Fall N (siehe Definition des Grenzwerts einer Folge) kann gleich drei (oder einer beliebigen Zahl größer als drei) angenommen werden, denn wenn die Ordnungszahl des Folgenglieds n größer als drei ist, gilt die Ungleichung

.

Sagen wir es jetzt. Es ist klar, dass für alle Glieder der Folge ab dem siebten

.

Jetzt für N Sie können sechs nehmen (oder jede Zahl größer als sechs). Wenn, dann usw.

In diesem Fall können Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Zahl finden N abhängig von . Gemeinsames Mitglied dieser Sequenz. Bei einer beliebigen positiven Zahl müssen wir gemäß der Definition des Grenzwerts verlangen, dass wann N > N Die Ungleichung gilt, wenn .

Wenn wir die Ungleichung nach n auflösen, erhalten wir . So für N Es kann eine Zahl (oder jede größere Zahl) akzeptiert werden. Damit haben wir gezeigt, dass es für jedes eine solche gibt, für die die Ungleichung gilt, und dies beweist, dass der Grenzwert der Folge Null ist.

Beachten Sie, dass sich in diesem Problem die Terme der Folge ihrem Grenzwert näherten und rechts, wie man so sagt, größer als dieser Grenzwert blieben.

2. Methoden zur Spezifikation einer Funktion.

1. Analytische Methode

Um eine Funktion anzugeben, müssen Sie angeben, wie für jeden Argumentwert der entsprechende Funktionswert gefunden werden kann. Die gebräuchlichste Art, eine Funktion anzugeben, ist die Verwendung der Formel y = f (x), wobei f (x) ein Ausdruck mit der Variablen x ist. In diesem Fall sagt man, dass die Funktion durch eine Formel gegeben ist oder dass die Funktion analytisch gegeben ist.

Für analytisch gegebene Funktion Manchmal geben sie den Umfang einer Funktion nicht explizit an. In diesem Fall wird impliziert, dass der Definitionsbereich der Funktion y = f (x) mit dem Definitionsbereich des Ausdrucks f (x) übereinstimmt, d. h. mit der Menge derjenigen Werte von x, für die die Ausdruck f(x) macht Sinn.

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher geben wir gleichzeitig einige davon detaillierte Beispiele Lösungen von Grenzwerten mit Erläuterungen.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Aber zuerst – das Meiste allgemeine Definition Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie Interesse haben, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen X kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Es ist intuitiv klar, was was ist größere Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden das in unserem Zähler bemerken quadratische Gleichung. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirksame Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit absolut keine Zeit ist, kontaktieren Sie uns für eine schnelle und detaillierte Lösung.

Zahlenfolge.
Wie ?

In dieser Lektion erfahren wir viel Interessantes aus dem Leben der Mitglieder einer großen Community namens Vkontakte Zahlenfolgen. Das behandelte Thema ist nicht auf die Lehrveranstaltung beschränkt. mathematische Analyse, geht aber auch auf das Wesentliche ein Diskrete Mathematik. Darüber hinaus wird das Material insbesondere für die Beherrschung weiterer Turmabschnitte im Rahmen des Studiums benötigt Zahlenreihe Und Funktionsreihe. Sie können banal sagen, dass dies wichtig ist, Sie können ermutigend sagen, dass es einfach ist, Sie können noch viele weitere Routinesätze sagen, aber heute ist die erste, ungewöhnlich faule Schulwoche, daher macht es mir furchtbar kaputt, den ersten Absatz zu schreiben =) I Ich habe die Datei bereits in meinem Herzen gespeichert und mich zum Schlafen fertig gemacht, als plötzlich... mein Kopf von der Idee eines aufrichtigen Geständnisses erleuchtet wurde, was meine Seele unglaublich erleichterte und mich dazu drängte, weiterhin mit den Fingern auf der Tastatur zu tippen .

Machen wir eine Pause von den Sommererinnerungen und blicken wir in diese faszinierende und positive Welt des Neuen Soziales Netzwerk:

Konzept der Zahlenfolge

Denken wir zunächst über das Wort selbst nach: Was ist Sequenz? Sequenz ist, wenn etwas auf etwas folgt. Zum Beispiel eine Abfolge von Aktionen, eine Abfolge von Jahreszeiten. Oder wenn sich jemand hinter jemandem befindet. Zum Beispiel eine Abfolge von Menschen in einer Schlange, eine Abfolge von Elefanten auf dem Weg zu einer Wasserstelle.

Lassen Sie uns das sofort klären Charakteristische Eigenschaften Sequenzen. Erstens, Sequenzmitglieder befinden sich streng in in einer bestimmten Reihenfolge . Wenn also zwei Personen in der Warteschlange vertauscht werden, ist dies bereits der Fall andere Folge. Zweitens, jeder Sequenzmitglied Sie können eine Seriennummer vergeben:

Genauso ist es auch mit Zahlen. Lassen zu jedem natürlicher Wert nach einer Regel einer reellen Zahl zugeordnet. Dann sagen sie, dass eine Zahlenfolge gegeben ist.

Ja in mathematische Probleme im Gegensatz zu Lebenssituationen Die Sequenz enthält fast immer unendlich viele Zahlen.

Dabei:
angerufen erstes Mitglied Sequenzen;
– zweites Mitglied Sequenzen;
– drittes Mitglied Sequenzen;
…
– nth oder gemeinsames Mitglied Sequenzen;
…

In der Praxis ist die Reihenfolge meist vorgegeben allgemeine Begriffsformel, Zum Beispiel:
– Folge positiver gerader Zahlen:

Somit bestimmt der Datensatz eindeutig alle Mitglieder der Sequenz – dies ist die Regel (Formel), nach der natürliche Werte gelten Zahlen werden in Korrespondenz gebracht. Daher wird die Reihenfolge oft kurz mit einem gebräuchlichen Begriff bezeichnet und anstelle von „x“ können andere lateinische Buchstaben verwendet werden, zum Beispiel:

Folge positiver ungerader Zahlen:

Eine weitere häufige Reihenfolge:

Wie viele wahrscheinlich bemerkt haben, spielt die Variable „en“ die Rolle einer Art Zähler.

Tatsächlich haben wir uns schon in der Mittelschule mit Zahlenfolgen beschäftigt. Lass uns erinnern arithmetische Folge. Ich werde die Definition nicht umschreiben, sondern auf das Wesentliche eingehen konkretes Beispiel. Sei – der erste Term und – Schritt arithmetische Folge. Dann:
– die zweite Amtszeit dieser Progression;
– die dritte Amtszeit dieser Progression;
- vierter;
- fünfter;
…
Und natürlich ist der n-te Term angegeben wiederkehrend Formel

Notiz : In einer wiederkehrenden Formel wird jeder nachfolgende Term durch den vorherigen Term oder sogar durch eine ganze Reihe vorheriger Terme ausgedrückt.

Die resultierende Formel ist in der Praxis von geringem Nutzen – um beispielsweise zu zu gelangen, müssen Sie alle vorherigen Begriffe durchgehen. Und in der Mathematik wurde ein bequemerer Ausdruck für das n-te Glied einer arithmetischen Folge abgeleitet: . In unserem Fall:

Setzen Sie natürliche Zahlen in die Formel ein und überprüfen Sie die Richtigkeit der oben konstruierten Zahlenfolge.

Ähnliche Berechnungen können durchgeführt werden geometrischer Verlauf, dessen n-ter Term durch die Formel gegeben ist, wobei der erste Term ist und – Nenner Fortschreiten. Bei Mathematikaufgaben ist der erste Term oft gleich eins.

Progression legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest .

Ich hoffe, jeder weiß, dass –1 zu einer ungeraden Potenz gleich –1 ist und zu einer geraden Potenz – Eins.

Fortschritt heißt unendlich abnehmend, if (letzte beiden Fälle).

Fügen wir unserer Liste zwei neue Freunde hinzu, von denen einer gerade an die Matrix des Monitors geklopft hat:

Die Sequenz wird im mathematischen Fachjargon als „Blinker“ bezeichnet:

Auf diese Weise, Sequenzmitglieder können wiederholt werden. Im betrachteten Beispiel besteht die Folge also aus zwei unendlich alternierenden Zahlen.

Kommt es vor, dass die Sequenz aus besteht? identische Zahlen? Sicherlich. Es setzt zum Beispiel unendlich viele „Dreier“. Für Ästheten gibt es einen Fall, in dem „en“ noch formal in der Formel vorkommt:

Laden wir einen einfachen Freund zum Tanzen ein:

Was passiert, wenn „en“ auf unendlich ansteigt? Offensichtlich werden die Mitglieder der Sequenz sein unendlich nah gegen Null gehen. Dies ist der Grenzwert dieser Folge, die wie folgt geschrieben ist:

Wenn die Grenze der Sequenz gleich Null, dann heißt es unendlich klein.

In der Theorie der mathematischen Analyse ist es gegeben strenge Definition der Sequenzgrenze durch die sogenannte Epsilon-Nachbarschaft. Der nächste Artikel wird dieser Definition gewidmet sein, aber schauen wir uns zunächst ihre Bedeutung an:

Stellen wir auf dem Zahlenstrahl die Terme der Folge und der Umgebung symmetrisch bezüglich Null (Limit) dar:


Drücken Sie nun den blauen Bereich mit den Handflächenkanten zusammen und beginnen Sie, ihn zu verkleinern, indem Sie ihn bis zum Rand (roter Punkt) ziehen. Eine Zahl ist die Grenze einer Sequenz, wenn FÜR JEDE vorab ausgewählte Nachbarschaft (so klein wie Sie möchten) es wird drinnen sein unendlich viele Mitglieder der Sequenz und nur AUSSERHALB davon Finale Anzahl der Mitglieder (oder gar keine). Das heißt, die Epsilon-Nachbarschaft kann mikroskopisch klein und sogar noch kleiner sein, der „unendliche Schwanz“ der Sequenz muss es jedoch früher oder später tun völlig Betreten Sie den Bereich.

Auch die Folge ist infinitesimal: mit dem Unterschied, dass ihre Mitglieder nicht hin und her springen, sondern sich dem Grenzwert ausschließlich von rechts nähern.

Natürlich kann der Grenzwert gleich jeder anderen endlichen Zahl sein, ein elementares Beispiel:

Hier tendiert der Bruch gegen Null und dementsprechend ist die Grenze gleich „zwei“.

Wenn die Reihenfolge es gibt eine endliche Grenze, dann heißt es konvergent(insbesondere, unendlich klein bei ). Sonst - abweichend In diesem Fall sind zwei Möglichkeiten möglich: Entweder existiert die Grenze überhaupt nicht oder sie ist unendlich. Im letzteren Fall wird die Sequenz aufgerufen unendlich groß. Lassen Sie uns die Beispiele des ersten Absatzes durchgehen:

Sequenzen Sind unendlich groß, während sich ihre Mitglieder selbstbewusst in Richtung „plus unendlich“ bewegen:

Auch eine arithmetische Folge mit erstem Term und Schritt ist unendlich groß:

Übrigens divergiert jede arithmetische Folge, mit Ausnahme des Falles mit einem Nullschritt – wenn . Der Grenzwert einer solchen Folge existiert und fällt mit dem ersten Term zusammen.

Die Sequenzen haben ein ähnliches Schicksal:

Jede unendlich abnehmende geometrische Progression ist, wie der Name schon sagt, unendlich klein:

Wenn der Nenner der geometrischen Folge ist, dann ist die Folge unendlich groß:

Wenn zum Beispiel, dann existiert die Grenze überhaupt nicht, da die Mitglieder unermüdlich entweder nach „plus Unendlich“ oder nach „minus Unendlich“ springen. A gesunder Menschenverstand und Matans Theoreme legen nahe, dass, wenn etwas irgendwohin strebt, dies der einzig geschätzte Ort ist.

Nach einer kleinen Offenbarung Es wird deutlich, dass das „blinkende Licht“ für das unkontrollierbare Werfen verantwortlich ist, das übrigens von selbst auseinandergeht.
Tatsächlich ist es für eine Folge einfach, eine -Umgebung zu wählen, die beispielsweise nur die Zahl –1 einschließt. Dadurch verbleiben unendlich viele Folgenglieder („Plus-Einser“) außerhalb dieser Nachbarschaft. Aber per Definition ist der „unendliche Schwanz“ einer Sequenz mit bestimmter Moment(natürliche Zahl) sollte völlig Gehen Sie in die Nähe Ihres Limits. Fazit: Der Himmel ist die Grenze.

Fakultät ist unendlich groß Reihenfolge:

Darüber hinaus wächst es sprunghaft, sodass es sich um eine Zahl handelt, die mehr als 100 Stellen (Ziffern) hat! Warum genau 70? Darauf fleht mein technischer Mikrorechner um Gnade.

Bei einem Kontrollschuss ist alles etwas komplizierter und wir sind gerade beim praktischen Teil der Vorlesung angelangt, in dem wir Kampfbeispiele analysieren:

Aber jetzt müssen Sie in der Lage sein, die Grenzen von Funktionen zu lösen, zumindest auf der Ebene von zwei grundlegenden Lektionen: Grenzen. Beispiele für Lösungen Und Wunderbare Grenzen. Weil viele Lösungsmethoden ähnlich sein werden. Aber lassen Sie uns zunächst analysieren grundlegende Unterschiede Sequenzgrenze aus Funktionsgrenze:

Im Grenzfall der Folge kann die „dynamische“ Variable „en“ dazu tendieren nur bis „plus unendlich“– hin zu zunehmenden natürlichen Zahlen .
Im Limes der Funktion kann „x“ überall hin gerichtet sein – auf „plus/minus unendlich“ oder auf eine beliebige reelle Zahl.

Folge diskret(diskontinuierlich), das heißt, es besteht aus einzelnen isolierten Mitgliedern. Eins, zwei, drei, vier, fünf, der Hase ging spazieren. Das Argument einer Funktion zeichnet sich durch Kontinuität aus, das heißt, „X“ tendiert reibungslos und ohne Zwischenfälle zu dem einen oder anderen Wert. Und dementsprechend werden sich auch die Funktionswerte kontinuierlich ihrer Grenze nähern.

Wegen Diskretion Innerhalb der Sequenzen gibt es ihre eigenen charakteristischen Dinge, wie Fakultäten, „blinkende Lichter“, Progressionen usw. Und jetzt werde ich versuchen, die sequenzspezifischen Grenzen zu analysieren.

Beginnen wir mit den Fortschritten:

Beispiel 1

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung: so etwas wie eine unendlich abnehmende geometrische Progression, aber ist das wirklich so? Der Klarheit halber schreiben wir die ersten paar Begriffe auf:

Seitdem reden wir darüber Menge Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression, die durch die Formel berechnet wird.

Wir treffen eine Entscheidung:

Wir verwenden die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression: . In diesem Fall: – der erste Term, – der Nenner der Progression.

Beispiel 2

Schreiben Sie die ersten vier Terme der Folge und finden Sie ihren Grenzwert

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Um die Unsicherheit im Zähler zu beseitigen, müssen Sie die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge anwenden:
, wobei der erste und a der n-te Term der Progression ist.

Da innerhalb von Sequenzen „en“ immer zu „plus unendlich“ tendiert, ist es nicht verwunderlich, dass Unsicherheit zu den beliebtesten gehört.
Und viele Beispiele werden genauso gelöst wie Funktionsgrenzen!

Oder vielleicht etwas Komplizierteres wie ? Schauen Sie sich Beispiel Nr. 3 des Artikels an Methoden zur Lösung von Grenzen.

Aus formaler Sicht besteht der Unterschied nur in einem Buchstaben – hier „x“ und hier „en“.
Die Technik ist die gleiche – Zähler und Nenner müssen bis zum höchsten Grad durch „en“ dividiert werden.

Außerdem kommt es häufig zu Unsicherheiten innerhalb von Sequenzen. So lösen Sie Grenzen wie finden Sie in den Beispielen Nr. 11-13 desselben Artikels.

Um den Grenzwert zu verstehen, sehen Sie sich Beispiel Nr. 7 der Lektion an Wunderbare Grenzen(zweite wunderbare Grenze gilt auch für den diskreten Fall). Die Lösung wird wieder wie ein Durchschlag mit einem einzigen Buchstaben Unterschied sein.

Die nächsten vier Beispiele (Nr. 3-6) sind ebenfalls „zweiseitig“, aber in der Praxis sind sie aus irgendeinem Grund eher für Sequenzgrenzen als für Funktionsgrenzen charakteristisch:

Beispiel 3

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung: zuerst die komplette Lösung, dann Schritt-für-Schritt-Kommentare:

(1) Im Zähler verwenden wir die Formel zweimal.

(2) Wir stellen ähnliche Begriffe im Zähler dar.

(3) Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren Sie Zähler und Nenner durch („en“ bis zum höchsten Grad).

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes.

Beispiel 4

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. abgekürzte Multiplikationsformeln helfen.

Innerhalb von s indikativ Folgen verwenden eine ähnliche Methode zur Division von Zähler und Nenner:

Beispiel 5

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung Ordnen wir es nach dem gleichen Schema an:

Ein ähnlicher Satz gilt übrigens auch für Funktionen: Das Produkt einer beschränkten Funktion und einer Infinitesimalfunktion ist eine Infinitesimalfunktion.

Beispiel 9

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Die Definition des endlichen Grenzwerts einer Folge ist gegeben. Verwandte Eigenschaften und äquivalente Definitionen werden besprochen. Es wird definiert, dass Punkt a nicht der Grenzwert der Folge ist. Es werden Beispiele betrachtet, in denen die Existenz einer Grenze anhand der Definition nachgewiesen wird.

Hier betrachten wir die Definition des endlichen Grenzwerts einer Folge. Der Fall einer gegen Unendlich konvergierenden Folge wird auf der Seite „Definition einer unendlich großen Folge“ besprochen.

Definition.
(xn), wenn für jede positive Zahl ε > 0 Es gibt eine von ε abhängige natürliche Zahl N ε, so dass für alle natürlichen Zahlen n > N ε die Ungleichung gilt
| x n - a|< ε .
Die Sequenzgrenze wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Lassen Sie uns die Ungleichung transformieren:
;
;
.

Ein offenes Intervall (a - ε, a + ε) heißt ε - Umgebung von Punkt a.

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, wird aufgerufen konvergente Folge. Es wird auch gesagt, dass die Reihenfolge konvergiert zu einem. Eine Folge, die keine Grenze hat, wird aufgerufen abweichend.

Aus der Definition folgt, dass es, wenn eine Folge einen Grenzwert a hat, unabhängig davon, welche ε-Umgebung des Punktes a wir wählen, jenseits ihrer Grenzen nur eine endliche Anzahl oder gar keine Elemente der Folge geben kann (das Leere). Satz). Und jede ε-Umgebung enthält unendlich viele Elemente. Tatsächlich haben wir, nachdem wir eine bestimmte Zahl ε angegeben haben, die Zahl . Per Definition liegen also alle Elemente der Folge mit Zahlen in der ε-Umgebung des Punktes a. Die ersten Elemente können überall platziert werden. Das heißt, außerhalb der ε-Umgebung kann es nicht mehr als Elemente geben – also eine endliche Zahl.

Wir stellen außerdem fest, dass die Differenz nicht monoton gegen Null tendieren, also ständig abnehmen muss. Es kann nichtmonoton gegen Null tendieren: Es kann entweder zunehmen oder abnehmen und lokale Maxima aufweisen. Allerdings sollten diese Maxima mit zunehmendem n gegen Null tendieren (möglicherweise auch nicht monoton).

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann die Definition einer Grenze wie folgt geschrieben werden:
(1) .

Feststellen, dass a kein Grenzwert ist

Betrachten Sie nun die umgekehrte Aussage, dass die Zahl a nicht der Grenzwert der Folge ist.

Nummer a ist nicht die Grenze der Folge, wenn es so etwas gibt, dass es für jedes natürliche n ein natürliches m gibt > n, Was
.

Schreiben wir diese Aussage mit logischen Symbolen.
(2) .

Erkläre das Zahl a ist nicht die Grenze der Folge, bedeutet, dass
Sie können eine solche ε-Umgebung des Punktes a wählen, außerhalb derer es unendlich viele Elemente der Folge gibt.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei eine Folge mit einem gemeinsamen Element
(3)
Jede Umgebung eines Punktes enthält unendlich viele Elemente. Allerdings ist dieser Punkt nicht die Grenze der Folge, da jede Umgebung des Punktes auch unendlich viele Elemente enthält. Nehmen wir ε – eine Umgebung eines Punktes mit ε = 1 . Dies wird das Intervall sein (-1, +1) . Alle Elemente außer dem ersten mit geradem n gehören zu diesem Intervall. Aber alle Elemente mit ungeradem n liegen außerhalb dieses Intervalls, da sie die Ungleichung x n erfüllen > 2 . Da die Anzahl der ungeraden Elemente unendlich ist, gibt es auch außerhalb der gewählten Umgebung unendlich viele Elemente. Daher ist der Punkt nicht die Grenze der Sequenz.

Nun werden wir dies zeigen und uns dabei strikt an Aussage (2) halten. Der Punkt ist kein Grenzwert der Folge (3), da es eine solche gibt, dass es für jedes natürliche n ein ungerades gibt, für das die Ungleichung gilt
.

Es kann auch gezeigt werden, dass kein Punkt a ein Grenzwert dieser Folge sein kann. Wir können immer eine ε-Umgebung von Punkt a wählen, die weder Punkt 0 noch Punkt 2 enthält. Und dann wird es außerhalb der gewählten Umgebung unendlich viele Elemente der Folge geben.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition des Grenzwertes einer Folge können wir geben, wenn wir das Konzept der ε-Nachbarschaft erweitern. Eine äquivalente Definition erhalten wir, wenn sie statt einer ε-Umgebung eine beliebige Umgebung des Punktes a enthält.

Bestimmen der Umgebung eines Punktes
Nachbarschaft von Punkt a Jedes offene Intervall, das diesen Punkt enthält, wird aufgerufen. Mathematisch ist die Nachbarschaft wie folgt definiert: , wobei ε 1 und ε 2 - beliebige positive Zahlen.

Dann lautet die Definition des Grenzwerts wie folgt.

Äquivalente Definition der Sequenzgrenze
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge, wenn es für irgendeine Umgebung davon eine natürliche Zahl N gibt, so dass alle Elemente der Folge mit Zahlen zu dieser Umgebung gehören.

Diese Definition kann auch in erweiterter Form dargestellt werden.

Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge, wenn es für beliebige positive Zahlen eine natürliche Zahl N gibt, die davon abhängt und so ist, dass für alle natürlichen Zahlen die Ungleichungen erfüllt sind
.

Nachweis der Gleichwertigkeit von Definitionen

Beweisen wir, dass die beiden oben dargestellten Definitionen des Grenzwertes einer Folge äquivalent sind.

Die Zahl a sei der Grenzwert der Folge gemäß der ersten Definition. Dies bedeutet, dass es eine Funktion gibt, sodass für jede positive Zahl ε die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:
(4) bei .

Zeigen wir, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge nach der zweiten Definition ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass es eine solche Funktion gibt, so dass für alle positiven Zahlen ε gilt 1 und ε 2 die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:
(5) bei .

Lassen Sie uns zwei positive Zahlen haben: ε 1 und ε 2 . Und sei ε das kleinste davon: . Dann ; ; . Lassen Sie uns dies in (5) verwenden:
.
Aber die Ungleichungen sind erfüllt für . Dann sind auch die Ungleichungen (5) erfüllt.

Das heißt, wir haben eine Funktion gefunden, für die die Ungleichungen (5) für alle positiven Zahlen ε erfüllt sind 1 und ε 2 .
Der erste Teil ist bewiesen.

Nun sei die Zahl a der Grenzwert der Folge gemäß der zweiten Definition. Das bedeutet, dass es für jede positive Zahl ε eine Funktion gibt 1 und ε 2 die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:
(5) bei .

Zeigen wir, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge nach der ersten Definition ist. Dazu müssen Sie Folgendes eingeben. Dann gelten folgende Ungleichungen:
.
Dies entspricht der ersten Definition mit .
Die Gleichwertigkeit der Definitionen ist nachgewiesen.

Beispiele

Hier sehen wir uns einige Beispiele an, in denen wir beweisen müssen, dass eine gegebene Zahl a der Grenzwert einer Folge ist. In diesem Fall müssen Sie eine beliebige positive Zahl ε angeben und eine Funktion N von ε definieren, sodass die Ungleichung für alle erfüllt ist.

Beispiel 1

Beweise das .

(1) .
In unserem Fall ;
.

.
Nutzen wir die Eigenschaften von Ungleichungen. Dann wenn und dann
.

.
Dann
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der gegebenen Folge ist:
.

Beispiel 2

Beweisen Sie dies anhand der Definition des Grenzwerts einer Folge
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Nutzen wir die Eigenschaften von Ungleichungen. Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dann
bei .
.

Beispiel 3

.

Wir führen die Notation , ein.
Lassen Sie uns den Unterschied transformieren:
.
Für natürliche n = 1, 2, 3, ... wir haben:
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dabei
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der Folge ist:
.

Beispiel 4

Beweisen Sie dies anhand der Definition des Grenzwerts einer Folge
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dann
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der Folge ist:
.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.