Was bedeutet nok? Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) – Definition, Beispiele und Eigenschaften

Ein Vielfaches ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Zahlengruppe ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe ohne Rest teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren gegebener Zahlen ermitteln. Der LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die für Gruppen von zwei oder mehr Zahlen gelten.

Schritte

Serie von Multiples

Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, von denen jede kleiner als 10 ist. Wenn größere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8. Da es sich um kleine Zahlen handelt, können Sie diese Methode verwenden.

Ein Vielfaches ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Vielfache finden Sie in der Multiplikationstabelle.
- Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die ein Vielfaches der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.
- Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.
Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Mengen von Vielfachen vorhanden ist. Möglicherweise müssen Sie lange Serien von Vielfachen schreiben, um sie zu finden Gesamtzahl. Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen von Vielfachen vorhanden ist, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
- Beispielsweise ist die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 vorkommt, die Zahl 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8.
Primfaktorzerlegung
1. Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, von denen jede größer als 10 ist. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.
  - Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher können Sie diese Methode verwenden.
2. Zerlegen Sie die erste Zahl in Primfaktoren. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden, die bei Multiplikation eine bestimmte Zahl ergeben. Wenn Sie die Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichungen.
  - Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 20 die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck: .
3. Zerlegen Sie die zweite Zahl in Primfaktoren. Machen Sie dies auf die gleiche Weise, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die bei Multiplikation die gegebene Zahl ergeben.
  - Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 84 die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck: .
4. Notieren Sie die gemeinsamen Faktoren beider Zahlen. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor schreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).
  - Zum Beispiel haben beide Zahlen einen gemeinsamen Faktor von 2, also schreiben Sie 2 × (\displaystyle 2\times ) und streiche die 2 in beiden Ausdrücken durch.
  - Was beide Zahlen gemeinsam haben, ist ein weiterer Faktor von 2, also schreiben Sie 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streichen Sie die zweite 2 in beiden Ausdrücken durch.
5. Fügen Sie die verbleibenden Faktoren zur Multiplikationsoperation hinzu. Dabei handelt es sich um Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.
  - Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Beide Zweien (2) sind durchgestrichen, da es sich um gemeinsame Faktoren handelt. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
  - Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
6. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.
  - Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.
  Gemeinsame Faktoren finden
  1. Zeichnen Sie ein Raster wie für eine Partie Tic-Tac-Toe. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei anderen parallelen Linien schneiden. Dadurch erhalten Sie drei Zeilen und drei Spalten (das Raster ähnelt stark dem #-Symbol). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Zeile und die zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und die dritte Spalte.
    - Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 18 und 30. Schreiben Sie die Zahl 18 in die erste Zeile und die zweite Spalte und die Zahl 30 in die erste Zeile und die dritte Spalte.
  2. Finden Sie den gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Schreiben Sie es in die erste Zeile und die erste Spalte. Es ist besser, nach Primfaktoren zu suchen, dies ist jedoch keine Voraussetzung.
    - Beispielsweise sind 18 und 30 gerade Zahlen, daher ist ihr gemeinsamer Faktor 2. Schreiben Sie also 2 in die erste Zeile und die erste Spalte.
  3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Schreiben Sie jeden Quotienten unter die entsprechende Zahl. Ein Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.
    - Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
    - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also notieren Sie 15 unter 30.
  4. Finden Sie den gemeinsamen Teiler beider Quotienten. Wenn es keinen solchen Teiler gibt, überspringen Sie die nächsten beiden Schritte. Andernfalls schreiben Sie den Teiler in die zweite Zeile und die erste Spalte.
    - Beispielsweise sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreiben Sie 3 in die zweite Zeile und die erste Spalte.
  5. Teilen Sie jeden Quotienten durch seinen zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.
    - Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
    - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.
  6. Fügen Sie bei Bedarf weitere Zellen zum Raster hinzu. Wiederholen Sie die beschriebenen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.
  7. Kreisen Sie die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Zeile des Rasters ein. Schreiben Sie dann die ausgewählten Zahlen als Multiplikationsoperation.
    - Beispielsweise befinden sich die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Zeile. Schreiben Sie die Multiplikationsoperation also wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
  8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache zweier gegebener Zahlen berechnet.
    - Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.
  Euklids Algorithmus
  1. Denken Sie an die Terminologie im Zusammenhang mit der Divisionsoperation. Die Dividende ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die dividiert wird. Ein Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Ein Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.
    - Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) Ost. 3:
      15 ist die Dividende
      6 ist ein Teiler
      2 ist Quotient
      3 ist der Rest.

Definition. Die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, heißt größter gemeinsamer Teiler (GCD) diese Nummern.

Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Solche Zahlen heißen gegenseitig prim.

Definition. Natürliche Zahlen werden aufgerufen gegenseitig prim, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (GCD) 1 ist.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen aufzuschreiben.

Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, streichen wir diejenigen heraus, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweier).
Die verbleibenden Faktoren sind 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist gleich 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Es gibt auch den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen.

Finden größter gemeinsamer Teiler

2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen einfließen, streichen Sie diejenigen durch, die nicht in die Entwicklung anderer Zahlen eingehen;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine davon teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlen.
Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 15, 45, 75 und 180 die Zahl 15, da alle anderen Zahlen durch sie teilbar sind: 45, 75 und 180.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann ermittelt werden, ohne die Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren: 75 = 3 * 5 * 5 und 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.

Sie finden auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.

Zu Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache Um mehrere natürliche Zahlen zu erhalten, benötigen Sie:
1) faktorisiere sie in Primfaktoren;
2) Notieren Sie die Faktoren, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen;
3) füge die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 15, 20 und 60 60, weil es durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler untersuchten die Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Nummer, gleich der Summe Sie nannten alle ihre Teiler (ohne die Zahl selbst) eine perfekte Zahl. Beispielsweise sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten perfekten Zahlen sind 496, 8128, 33.550.336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei perfekten Zahlen. Der vierte – 8128 – wurde im 1. Jahrhundert bekannt. N. e. Der fünfte – 33.550.336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. Bis 1983 waren bereits 27 perfekte Zahlen bekannt. Aber Wissenschaftler wissen immer noch nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt oder ob es eine größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der antiken Mathematiker an Primzahlen rührt von der Tatsache her, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt dargestellt werden kann Primzahlen, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die übrigen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen – in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns in der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine letzte (größte) Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Elemente“, das zweitausend Jahre lang das wichtigste Lehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, d. h. hinter jeder Primzahl steht eine noch größere Primzahl Nummer.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker der gleichen Zeit, Eratosthenes, diese Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu einer Zahl auf und strich dann eine durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann durch eins alle Zahlen durch, die nach 2 kamen (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, also 4). 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach zwei alle Zahlen nach 3 (Zahlen, die ein Vielfaches von 3 waren, also 6, 9, 12 usw.) durchgestrichen. letztlich blieben nur die Primzahlen ungekreuzt.

Schauen wir uns drei Möglichkeiten an, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Finden durch Faktorisierung

Die erste Methode besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem man die gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegt.

Nehmen wir an, wir müssen den LCM der Zahlen 99, 30 und 28 ermitteln. Dazu zerlegen wir jede dieser Zahlen in Primfaktoren:

Damit die gewünschte Zahl durch 99, 30 und 28 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie alle Primfaktoren dieser Teiler enthält. Dazu müssen wir alle Primfaktoren dieser Zahlen größtmöglich potenzieren und miteinander multiplizieren:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Somit ist LCM (99, 30, 28) = 13.860. Keine andere Zahl kleiner als 13.860 ist durch 99, 30 oder 28 teilbar.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen zu finden, faktorisieren Sie sie in ihre Primfaktoren, nehmen dann jeden Primfaktor mit dem größten Exponenten, in dem er vorkommt, und multiplizieren diese Faktoren miteinander.

Da relativ Primzahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen. Beispielsweise sind drei Zahlen: 20, 49 und 33 relativ prim. Deshalb

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Das Gleiche muss bei der Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen verschiedener Primzahlen erfolgen. Beispiel: LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Finden durch Auswahl

Die zweite Methode besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache durch Auswahl zu finden.

Beispiel 1. Wenn die größte der gegebenen Zahlen durch eine andere gegebene Zahl geteilt wird, dann ist der kgV dieser Zahlen gleich dem größten von ihnen. Zum Beispiel seien vier Zahlen gegeben: 60, 30, 10 und 6. Jede von ihnen ist durch 60 teilbar, daher:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

In anderen Fällen wird zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen das folgende Verfahren verwendet:

Ermitteln Sie aus den angegebenen Zahlen die größte Zahl.
Als nächstes finden wir die Zahlen, die ein Vielfaches von sind die größte Zahl, indem man es in aufsteigender Reihenfolge mit natürlichen Zahlen multipliziert und prüft, ob das resultierende Produkt durch die übrigen gegebenen Zahlen teilbar ist.

Beispiel 2. Gegeben sind drei Zahlen 24, 3 und 18. Wir bestimmen die größte davon – das ist die Zahl 24. Als nächstes finden wir die Zahlen, die ein Vielfaches von 24 sind, und prüfen, ob jede von ihnen durch 18 und 3 teilbar ist:

24 · 1 = 24 - teilbar durch 3, aber nicht teilbar durch 18.

24 · 2 = 48 - teilbar durch 3, aber nicht teilbar durch 18.

24 · 3 = 72 - teilbar durch 3 und 18.

Somit ist LCM (24, 3, 18) = 72.

Finden durch sequentielles Finden des LCM

Die dritte Methode besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache durch sequentielles Ermitteln des LCM zu ermitteln.

Der kgV zweier gegebener Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen dividiert durch ihren größten gemeinsamen Teiler.

Beispiel 1. Finden Sie das kgV von zwei gegebenen Zahlen: 12 und 8. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: GCD (12, 8) = 4. Multiplizieren Sie diese Zahlen:

Wir dividieren das Produkt durch ihren ggT:

Somit ist LCM (12, 8) = 24.

Um den LCM von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie das folgende Verfahren:

Ermitteln Sie zunächst den LCM von zwei beliebigen dieser Zahlen.
Dann LCM des gefundenen kleinsten gemeinsamen Vielfachen und der dritten gegebenen Zahl.
Dann der LCM des resultierenden kleinsten gemeinsamen Vielfachen und der vierten Zahl usw.
Somit wird die Suche nach LCM so lange fortgesetzt, wie Zahlen vorhanden sind.

Beispiel 2. Finden Sie das LCM drei Daten Zahlen: 12, 8 und 9. Den LCM der Zahlen 12 und 8 haben wir bereits im vorherigen Beispiel gefunden (das ist die Zahl 24). Es bleibt noch das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahl 24 und der dritten gegebenen Zahl zu finden – 9. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: GCD (24, 9) = 3. Multiplizieren Sie das LCM mit der Zahl 9:

Wir dividieren das Produkt durch ihren ggT:

Somit ist LCM (12, 8, 9) = 72.

Betrachten wir die Lösung des folgenden Problems. Der Schritt des Jungen beträgt 75 cm und der des Mädchens 60 cm. Es gilt, den kleinsten Abstand zu finden, bei dem beide eine ganze Zahl von Schritten zurücklegen.

Lösung. Der gesamte Weg, den die Kinder zurücklegen, muss durch 60 und 70 teilbar sein, da jedes Kind eine ganzzahlige Anzahl an Schritten zurücklegen muss. Mit anderen Worten: Die Antwort muss ein Vielfaches von 75 und 60 sein.

Zuerst schreiben wir alle Vielfachen der Zahl 75 auf. Wir erhalten:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Schreiben wir nun die Zahlen auf, die ein Vielfaches von 60 sind. Wir erhalten:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Jetzt finden wir die Zahlen, die in beiden Zeilen stehen.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen wären 300, 600 usw.

Die kleinste davon ist die Zahl 300. Sie ist in in diesem Fall wird das kleinste gemeinsame Vielfache von 75 und 60 genannt.

Zurück zum Problemzustand: Die kleinste Distanz, die die Jungs eine ganze Zahl von Schritten zurücklegen, beträgt 300 cm. Der Junge wird diesen Weg in 4 Schritten zurücklegen, und das Mädchen muss 5 Schritte machen.

Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, ist es nicht notwendig, alle Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben.

Sie können die folgende Methode verwenden.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache

Zuerst müssen Sie diese Zahlen in Primfaktoren zerlegen.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Schreiben wir nun alle Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten Zahl (2,2,3,5) enthalten sind, und fügen wir dazu alle fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl (5) hinzu.

Als Ergebnis erhalten wir eine Reihe von Primzahlen: 2,2,3,5,5. Das Produkt dieser Zahlen ist der kleinste gemeinsame Faktor für diese Zahlen. 2*2*3*5*5 = 300.

Allgemeines Schema zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

1. Teilen Sie Zahlen in Primfaktoren.
2. Notieren Sie die Primfaktoren, die zu einem von ihnen gehören.
3. Fügen Sie zu diesen Faktoren alle hinzu, die in der Erweiterung der anderen, aber nicht im ausgewählten Faktor enthalten sind.
4. Finden Sie das Produkt aller notierten Faktoren.

Diese Methode ist universell. Es kann verwendet werden, um das kleinste gemeinsame Vielfache einer beliebigen Anzahl natürlicher Zahlen zu ermitteln.

Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache?

Wir müssen jeden Faktor jeder der beiden Zahlen finden, für den wir das kleinste gemeinsame Vielfache finden, und dann die Faktoren, die in der ersten und zweiten Zahl übereinstimmen, miteinander multiplizieren. Das Ergebnis des Produkts ist das erforderliche Vielfache.

Wir haben zum Beispiel die Zahlen 3 und 5 und müssen das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ermitteln. Uns müssen sich vermehren und drei und fünf für alle Zahlen beginnend mit 1 2 3 ... und so weiter, bis wir sehen selbe Nummer hier und da.

Multiplizieren Sie drei und erhalten Sie: 3, 6, 9, 12, 15

Multiplizieren Sie mit fünf und erhalten Sie: 5, 10, 15

Die Methode der Primfaktorzerlegung ist die klassischste Methode zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) mehrerer Zahlen. Diese Methode wird im folgenden Video anschaulich und einfach demonstriert:

Addieren, Multiplizieren, Dividieren, Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner und andere Rechenoperationen sind eine sehr spannende Tätigkeit; besonders faszinierend sind die Beispiele, die ein ganzes Blatt Papier einnehmen.

Finden Sie also das gemeinsame Vielfache zweier Zahlen, das die kleinste Zahl ist, durch die die beiden Zahlen geteilt werden. Ich möchte anmerken, dass es in Zukunft nicht notwendig ist, auf Formeln zurückzugreifen, um das Gesuchte zu finden. Wenn Sie in Ihrem Kopf zählen können (und das kann man trainieren), dann tauchen die Zahlen selbst in Ihrem Kopf auf und dann knacken die Brüche wie Nüsse.

Lassen Sie uns zunächst lernen, dass Sie zwei Zahlen miteinander multiplizieren und diese Zahl dann reduzieren und abwechselnd durch diese beiden Zahlen dividieren können, um das kleinste Vielfache zu finden.

Zum Beispiel zwei Zahlen 15 und 6. Multiplizieren Sie und erhalten Sie 90. Das ist offensichtlich größere Zahl. Außerdem ist 15 durch 3 teilbar und 6 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass wir auch 90 durch 3 teilen. Wir erhalten 30. Wir versuchen, 30 dividiert 15 gleich 2. Und 30 dividiert 6 gleich 5. Da 2 die Grenze ist, dreht es sich Beachten Sie, dass das kleinste Vielfache für Zahlen 15 ist und 6 30 ist.

Bei größeren Zahlen wird es etwas schwieriger. Aber wenn man weiß, welche Zahlen beim Dividieren oder Multiplizieren einen Nullrest ergeben, dann gibt es im Prinzip keine großen Schwierigkeiten.

So finden Sie NOC

Hier ist ein Video, das Ihnen zwei Möglichkeiten zeigt, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden. Wenn Sie die erste vorgeschlagene Methode anwenden, können Sie besser verstehen, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist.

Ich präsentiere eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden. Schauen wir es uns anhand eines klaren Beispiels an.

Sie müssen den LCM von drei Zahlen gleichzeitig ermitteln: 16, 20 und 28.

Wir stellen jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar:

Wir schreiben die Potenzen aller Primfaktoren auf:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Wir wählen alle Primteiler (Multiplikatoren) mit den größten Potenzen aus, multiplizieren sie und ermitteln das LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Das Ergebnis der Berechnung war also die Zahl 560. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache, das heißt, sie ist ohne Rest durch jede der drei Zahlen teilbar.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl, die ohne Rest durch mehrere gegebene Zahlen geteilt werden kann. Um eine solche Zahl zu berechnen, müssen Sie jede Zahl in einfache Faktoren zerlegen. Die übereinstimmenden Zahlen werden entfernt. Verlassen Sie alle einzeln, multiplizieren Sie sie der Reihe nach untereinander und erhalten Sie das gewünschte Vielfache – das kleinste gemeinsame Vielfache.

NOC, oder kleinstes gemeinsames Vielfaches ist die kleinste natürliche Zahl von zwei oder mehr Zahlen, die durch jede der gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Hier ist ein Beispiel dafür, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache von 30 und 42 ermittelt.

Der erste Schritt besteht darin, diese Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Für 30 ist es 2 x 3 x 5.

Für 42 ist das 2 x 3 x 7. Da 2 und 3 in der Erweiterung der Zahl 30 liegen, streichen wir sie durch.

Wir schreiben die Faktoren auf, die in die Entwicklung der Zahl 30 eingehen. Das ist 2 x 3 x 5.
Jetzt müssen wir sie mit dem fehlenden Faktor multiplizieren, den wir bei der Erweiterung von 42 haben, also 7. Wir erhalten 2 x 3 x 5 x 7.
Wir finden heraus, was 2 x 3 x 5 x 7 ist, und erhalten 210.

Als Ergebnis finden wir, dass der LCM der Zahlen 30 und 42 210 beträgt.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie mehrere einfache Schritte nacheinander ausführen. Schauen wir uns das am Beispiel zweier Zahlen an: 8 und 12

Wir zerlegen beide Zahlen in Primfaktoren: 8=2*2*2 und 12=3*2*2
Wir reduzieren die gleichen Faktoren einer der Zahlen. In unserem Fall fallen 2 * 2 zusammen, reduzieren wir sie auf die Zahl 12, dann hat 12 einen Faktor übrig: 3.
Finden Sie das Produkt aller verbleibenden Faktoren: 2*2*2*3=24

Bei der Überprüfung stellen wir sicher, dass 24 sowohl durch 8 als auch durch 12 teilbar ist und dass dies die kleinste natürliche Zahl ist, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Hier sind wir das kleinste gemeinsame Vielfache gefunden.

Ich versuche es am Beispiel der Zahlen 6 und 8 zu erklären. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl, die durch diese Zahlen geteilt werden kann (in unserem Fall 6 und 8), und es wird keinen Rest geben.

Also beginnen wir zunächst mit der Multiplikation von 6 mit 1, 2, 3 usw. und 8 mit 1, 2, 3 usw.