Die Mittellinie eines Trapezes ist immer gleich. Trapez. Der komplette illustrierte Leitfaden (2019)
In diesem Artikel wurde eine weitere Auswahl von Problemen mit Trapezoiden für Sie zusammengestellt. Die Bedingungen hängen irgendwie mit seiner Mittellinie zusammen. Aufgabentypen werden aus einer offenen Datenbank typischer Aufgaben übernommen. Wenn Sie möchten, können Sie Ihr theoretisches Wissen auffrischen. Der Blog hat bereits Aufgaben besprochen, deren Bedingungen damit zusammenhängen, sowie. Kurz zur Mittellinie:
Die Mittellinie des Trapezes verbindet die Mittelpunkte der Seiten. Sie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme.
Bevor wir Probleme lösen, schauen wir uns ein theoretisches Beispiel an.
Gegeben sei ein Trapez ABCD. Die Diagonale AC, die die Mittellinie schneidet, bildet den Punkt K, die Diagonale BD den Punkt L. Beweisen Sie, dass die Strecke KL gleich der halben Basisdifferenz ist.
Beachten wir zunächst die Tatsache, dass die Mittellinie eines Trapezes jedes Segment halbiert, dessen Enden auf seinen Basen liegen. Diese Schlussfolgerung liegt nahe. Stellen Sie sich ein Segment vor, das zwei Punkte der Basen verbindet; es würde dieses Trapez in zwei andere teilen. Es stellt sich heraus, dass ein Segment, das parallel zur Basis des Trapezes verläuft und durch die Mitte der Seite verläuft, durch die Mitte der anderen Seite verläuft.
Dies basiert auch auf dem Satz von Thales:
Legt man auf einer von zwei Geraden nacheinander mehrere gleiche Segmente an und zieht durch deren Enden parallele Linien, die die zweite Gerade schneiden, so schneidet man auf der zweiten Geraden gleiche Segmente ab.
Das ist in in diesem Fall K ist die Mitte von AC und L ist die Mitte von BD. Daher ist EK die Mittellinie des Dreiecks ABC, LF die Mittellinie des Dreiecks DCB. Gemäß der Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks:
Wir können nun das Segment KL in Form von Basen ausdrücken:
Bewährt!
Dieses Beispiel wird aus einem bestimmten Grund gegeben. Bei Aufgaben zur eigenständigen Lösung gibt es eine solche Aufgabe. Nur heißt es nicht, dass das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, auf der Mittellinie liegt. Betrachten wir die Aufgaben:
27819. Finden Sie die Mittellinie des Trapezes, wenn seine Basen 30 und 16 sind.
Wir berechnen nach der Formel:
27820. Die Mittellinie des Trapezes ist 28 und die kleinere Basis ist 18. Finden Sie die größere Basis des Trapezes.
Lassen Sie uns die größere Basis ausdrücken:
Auf diese Weise:
27836. Eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines stumpfen Winkels zur größeren Basis eines gleichschenkligen Trapezes fällt, teilt es in Teile mit den Längen 10 und 4. Finden Sie die Mittellinie dieses Trapezes.
Um die Mittellinie zu finden, müssen Sie die Basen kennen. Die Basis AB ist leicht zu finden: 10+4=14. Lasst uns DC finden.
Konstruieren wir die zweite senkrechte DF:
Die Segmente AF, FE und EB betragen jeweils 4, 6 und 4. Warum?
Bei einem gleichschenkligen Trapez wird es durch Senkrechte zur größeren Basis in drei Segmente unterteilt. Zwei davon sind abgeschnittene Beine rechtwinklige Dreiecke, sind einander gleich. Das dritte Segment entspricht der kleineren Basis, da beim Aufbau der angegebenen Höhen ein Rechteck entsteht und in einem Rechteck die gegenüberliegenden Seiten gleich sind. In dieser Aufgabe:
Also DC=6. Wir berechnen:
27839. Die Basen des Trapezes stehen im Verhältnis 2:3 und die Mittellinie ist 5. Finden Sie die kleinere Basis.
Lassen Sie uns den Proportionalitätskoeffizienten x einführen. Dann ist AB=3x, DC=2x. Wir können schreiben:
Daher ist die kleinere Basis 2∙2=4.
27840. Der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 80, seine Mittellinie entspricht der lateralen Seite. Finden Sie die Seite des Trapezes.
Basierend auf der Bedingung können wir schreiben:
Wenn wir die Mittellinie durch den Wert x bezeichnen, erhalten wir:
Die zweite Gleichung kann bereits geschrieben werden als:
27841. Die Mittellinie des Trapezes ist 7, und eine seiner Basen ist 4 größer als die andere. Finden Sie die größere Basis des Trapezes.
Bezeichnen wir die kleinere Basis (DC) als x, dann ist die größere Basis (AB) gleich x+4. Wir können es aufschreiben
Wir haben herausgefunden, dass die kleinere Basis die frühe Fünf ist, was bedeutet, dass die größere gleich 9 ist.
27842. Die Mittellinie des Trapezes beträgt 12. Eine der Diagonalen teilt es in zwei Segmente, deren Differenz 2 beträgt. Finden Sie die größere Basis des Trapezes.
Wir können die größere Basis des Trapezes leicht finden, wenn wir die Strecke EO berechnen. Es ist die Mittellinie im Dreieck ADB und AB=2∙EO.
Was haben wir? Man sagt, dass die Mittellinie gleich 12 ist und die Differenz zwischen den Segmenten EO und ОF gleich 2 ist. Wir können zwei Gleichungen schreiben und das System lösen:
Es ist klar, dass Sie in diesem Fall ein Zahlenpaar ohne Berechnungen auswählen können, das sind 5 und 7. Aber lassen Sie uns trotzdem das System lösen:
Also EO=12–5=7. Somit ist die größere Basis gleich AB=2∙EO=14.
27844. Bei einem gleichschenkligen Trapez stehen die Diagonalen senkrecht zueinander. Die Höhe des Trapezes beträgt 12. Finden Sie seine Mittellinie.
Beachten wir sofort, dass die Höhe, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez gezogen wird, auf der Symmetrieachse liegt und das Trapez in zwei gleiche rechteckige Trapeze teilt, d. h. die Grundflächen dieser Höhe werden in zwei Hälften geteilt.
Es scheint, dass wir zur Berechnung der Mittellinie Gründe finden müssen. Hier entsteht eine kleine Sackgasse... Wie berechnet man in diesem Fall die Sockel, wenn man die Höhe kennt? Auf keinen Fall! Es gibt viele solcher Trapeze mit fester Höhe und Diagonalen, die sich in einem Winkel von 90 Grad schneiden. Was soll ich machen?
Schauen Sie sich die Formel für die Mittellinie eines Trapezes an. Schließlich müssen wir die Gründe selbst nicht kennen; es reicht aus, ihre Summe (oder Halbsumme) zu kennen. Wir können das schaffen.
Da sich die Diagonalen im rechten Winkel schneiden, entstehen gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke mit der Höhe EF:
Aus dem Obigen folgt, dass FO=DF=FC und OE=AE=EB. Schreiben wir nun auf, was die Höhe ist, ausgedrückt durch die Segmente DF und AE:
Die Mittellinie ist also 12.
*Im Allgemeinen ist dies, wie Sie verstehen, ein Problem für die mentale Berechnung. Aber ich bin mir sicher, dass die ausführliche Erklärung notwendig ist. Und so... Schaut man sich die Zeichnung an (vorausgesetzt, der Winkel zwischen den Diagonalen wird beim Bau beachtet), fällt einem sofort die Gleichheit FO=DF=FC und OE=AE=EB ins Auge.
Zu den Prototypen gehören auch Aufgabentypen mit Trapezen. Es ist auf einem Blatt Papier in einem Käfig aufgebaut und Sie müssen die Mittellinie ermitteln. Die Seite des Käfigs ist normalerweise gleich 1, es kann jedoch ein anderer Wert sein.
27848. Finden Sie die Mittellinie des Trapezes A B C D, wenn die Seiten quadratischer Zellen gleich 1 sind.
Es ist ganz einfach: Wir berechnen die Basen nach Zellen und verwenden die Formel: (2+4)/2=3
Wenn die Sockel schräg zum Zellengitter gebaut werden, gibt es zwei Möglichkeiten. Zum Beispiel!
Das Konzept der Mittellinie des Trapezes
Erinnern wir uns zunächst daran, welche Art von Figur als Trapez bezeichnet wird.
Definition 1
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.
In diesem Fall werden die parallelen Seiten als Basen des Trapezes und die nicht parallelen Seiten als laterale Seiten des Trapezes bezeichnet.
Definition 2
Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.
Trapezmittelliniensatz
Nun führen wir den Satz über die Mittellinie eines Trapezes ein und beweisen ihn mit der Vektormethode.
Satz 1
Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.
Nachweisen.
Gegeben sei ein Trapez $ABCD$ mit den Basen $AD\ und\ BC$. Und sei $MN$ die Mittellinie dieses Trapezes (Abb. 1).
Abbildung 1. Mittellinie des Trapezes
Beweisen wir, dass $MN||AD\ und\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Betrachten Sie den Vektor $\overrightarrow(MN)$. Als nächstes verwenden wir die Polygonregel, um Vektoren hinzuzufügen. Einerseits verstehen wir das
Andererseits
Addieren wir die letzten beiden Gleichheiten und erhalten
Da $M$ und $N$ die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes sind, gilt:
Wir bekommen:
Somit
Aus derselben Gleichheit (da $\overrightarrow(BC)$ und $\overrightarrow(AD)$ kodirektional und daher kollinear sind) erhalten wir $MN||AD$.
Der Satz ist bewiesen.
Beispiele für Probleme zum Konzept der Mittellinie eines Trapezes
Beispiel 1
Die Seitenflächen des Trapezes betragen jeweils 15 cm und 17 cm. Der Umfang des Trapezes beträgt $52\cm$. Finden Sie die Länge der Mittellinie des Trapezes.
Lösung.
Bezeichnen wir die Mittellinie des Trapezes mit $n$.
Die Summe der Seiten ist gleich
Da der Umfang also $52\ cm$ beträgt, ist die Summe der Basen gleich
Nach Satz 1 erhalten wir also
Antwort:$10\cm$.
Beispiel 2
Die Enden des Kreisdurchmessers sind $9$ cm bzw. $5$ cm von seiner Tangente entfernt. Ermitteln Sie den Durchmesser dieses Kreises.
Lösung.
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Durchmesser $AB$. Zeichnen wir eine Tangente $l$ und konstruieren die Abstände $AD=9\ cm$ und $BC=5\ cm$. Zeichnen wir den Radius $OH$ (Abb. 2).
Figur 2.
Da $AD$ und $BC$ die Abstände zur Tangente sind, dann $AD\bot l$ und $BC\bot l$ und da $OH$ der Radius ist, dann $OH\bot l$, also $OH |\left|AD\right||BC$. Aus all dem erhalten wir, dass $ABCD$ ein Trapez ist und $OH$ seine Mittellinie ist. Nach Satz 1 erhalten wir
Das Konzept der Mittellinie des Trapezes
Erinnern wir uns zunächst daran, welche Art von Figur als Trapez bezeichnet wird.
Definition 1
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.
In diesem Fall werden die parallelen Seiten als Basen des Trapezes und die nicht parallelen Seiten als laterale Seiten des Trapezes bezeichnet.
Definition 2
Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.
Trapezmittelliniensatz
Nun führen wir den Satz über die Mittellinie eines Trapezes ein und beweisen ihn mit der Vektormethode.
Satz 1
Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.
Nachweisen.
Gegeben sei ein Trapez $ABCD$ mit den Basen $AD\ und\ BC$. Und sei $MN$ die Mittellinie dieses Trapezes (Abb. 1).
Abbildung 1. Mittellinie des Trapezes
Beweisen wir, dass $MN||AD\ und\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Betrachten Sie den Vektor $\overrightarrow(MN)$. Als nächstes verwenden wir die Polygonregel, um Vektoren hinzuzufügen. Einerseits verstehen wir das
Andererseits
Addieren wir die letzten beiden Gleichheiten und erhalten
Da $M$ und $N$ die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes sind, gilt:
Wir bekommen:
Somit
Aus derselben Gleichheit (da $\overrightarrow(BC)$ und $\overrightarrow(AD)$ kodirektional und daher kollinear sind) erhalten wir $MN||AD$.
Der Satz ist bewiesen.
Beispiele für Probleme zum Konzept der Mittellinie eines Trapezes
Beispiel 1
Die Seitenflächen des Trapezes betragen jeweils 15 cm und 17 cm. Der Umfang des Trapezes beträgt $52\cm$. Finden Sie die Länge der Mittellinie des Trapezes.
Lösung.
Bezeichnen wir die Mittellinie des Trapezes mit $n$.
Die Summe der Seiten ist gleich
Da der Umfang also $52\ cm$ beträgt, ist die Summe der Basen gleich
Nach Satz 1 erhalten wir also
Antwort:$10\cm$.
Beispiel 2
Die Enden des Kreisdurchmessers sind $9$ cm bzw. $5$ cm von seiner Tangente entfernt. Ermitteln Sie den Durchmesser dieses Kreises.
Lösung.
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Durchmesser $AB$. Zeichnen wir eine Tangente $l$ und konstruieren die Abstände $AD=9\ cm$ und $BC=5\ cm$. Zeichnen wir den Radius $OH$ (Abb. 2).
Figur 2.
Da $AD$ und $BC$ die Abstände zur Tangente sind, dann $AD\bot l$ und $BC\bot l$ und da $OH$ der Radius ist, dann $OH\bot l$, also $OH |\left|AD\right||BC$. Aus all dem erhalten wir, dass $ABCD$ ein Trapez ist und $OH$ seine Mittellinie ist. Nach Satz 1 erhalten wir
Ein Viereck, bei dem nur zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez.
Die parallelen Seiten eines Trapezes werden als seine bezeichnet Gründe dafür, und die Seiten, die nicht parallel sind, werden aufgerufen Seiten. Wenn die Seiten gleich sind, ist ein solches Trapez gleichschenklig. Der Abstand zwischen den Basen wird als Höhe des Trapezes bezeichnet.
Mittellinien-Trapez
Die Mittellinie ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet. Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu seinen Basen.
Satz:
Wenn die Gerade, die die Mitte einer Seite schneidet, parallel zu den Basen des Trapezes verläuft, halbiert sie die zweite Seite des Trapezes.
Satz:
Die Länge der Mittellinie entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen ihrer Basen
MN || AB || GleichstromAM = MD; BN=NC
MN Mittellinie, AB und CD – Basen, AD und BC – laterale Seiten
MN = (AB + DC)/2
Satz:
Die Länge der Mittellinie eines Trapezes entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen seiner Grundflächen.
Die Hauptaufgabe: Beweisen Sie, dass die Mittellinie eines Trapezes ein Segment halbiert, dessen Enden in der Mitte der Basen des Trapezes liegen.
Mittellinie des Dreiecks
Das Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, wird Mittellinie des Dreiecks genannt. Es verläuft parallel zur dritten Seite und seine Länge entspricht der Hälfte der Länge der dritten Seite.
Satz: Wenn eine Linie, die den Mittelpunkt einer Seite eines Dreiecks schneidet, parallel zur anderen Seite des Dreiecks ist, dann halbiert sie die dritte Seite.
AM = MC und BN = NC =>
Anwenden der Mittellinieneigenschaften eines Dreiecks und Trapezes
Teilen eines Segments in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile.
Aufgabe: Teilen Sie das Segment AB in 5 gleiche Teile.
Lösung:
Sei p ein zufälliger Strahl, dessen Ursprung Punkt A ist und der nicht auf der Linie AB liegt. Wir legen nacheinander 5 gleiche Segmente auf p beiseite AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Wir verbinden A 5 mit B und zeichnen solche Geraden durch A 4, A 3, A 2 und A 1, die parallel zu A 5 B verlaufen. Sie schneiden AB jeweils in den Punkten B 4, B 3, B 2 und B 1. Diese Punkte teilen das Segment AB in 5 gleiche Teile. Tatsächlich sehen wir aus dem Trapez BB 3 A 3 A 5, dass BB 4 = B 4 B 3. Auf die gleiche Weise erhalten wir aus dem Trapez B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2
Während aus dem Trapez B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Dann folgt aus B 2 AA 2, dass B 2 B 1 = B 1 A. Zusammenfassend erhalten wir:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Es ist klar, dass wir, um das Segment AB in eine weitere Anzahl gleicher Teile zu unterteilen, die gleiche Anzahl gleicher Segmente auf den Strahl p projizieren müssen. Und fahren Sie dann wie oben beschrieben fort.
Die Mittellinie des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe Gründe. Es verbindet die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes und ist immer parallel zu den Basen.
Wenn die Basen eines Trapezes gleich a und b sind, dann die Mittellinie m ist gleich m=(a+b)/2.
Wenn die Fläche des Trapezes bekannt ist, dann Die Mittellinie ist zu finden und auf andere Weise die Fläche des Trapezes S durch die Höhe des Trapezes h dividieren:
Also, Mittellinie des Trapezes m=S/h
Es gibt viele Möglichkeiten, die Länge der Mittellinie eines Trapezes zu ermitteln. Die Wahl der Methode hängt von den Ausgangsdaten ab.
Hier Formeln für die Länge der Mittellinie eines Trapezes:
Um die Mittellinie eines Trapezes zu ermitteln, können Sie eine von fünf Formeln verwenden (ich werde sie nicht aufschreiben, da sie bereits in anderen Antworten enthalten sind), aber dies ist nur in Fällen der Fall, in denen wir die Werte der Anfangsdaten benötigen sind bekannt.
In der Praxis müssen wir viele Probleme lösen, wenn nicht genügend Daten vorhanden sind, die erforderliche Größe jedoch noch gefunden werden muss.
Hier gibt es solche Möglichkeiten
eine Schritt-für-Schritt-Lösung, um alles unter die Formel zu bringen;
Erstellen und lösen Sie mithilfe anderer Formeln die erforderlichen Gleichungen.
Ermitteln der Länge der Mitte eines Trapezes mithilfe der von uns benötigten Formel mit Hilfe anderer Kenntnisse über Geometrie und Verwendung algebraische Gleichungen:
Wir haben ein gleichschenkliges Trapez, seine Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel, seine Höhe beträgt 9 cm.
Wir erstellen eine Zeichnung und stellen fest, dass dieses Problem nicht direkt gelöst werden kann (es liegen nicht genügend Daten vor).
Deshalb vereinfachen wir etwas und zeichnen die Höhe durch den Schnittpunkt der Diagonalen.
Dies ist der erste wichtige Schritt, der zu einer schnellen Lösung führt.
Bezeichnen wir die Höhe durch zwei Unbekannte, wir sehen die gleichschenkligen Dreiecke, die wir brauchen, mit Seiten X Und bei
und wir können es leicht finden Summe der Gründe Trapeze
es ist gleich 2х+2у
Und erst jetzt können wir die Formel wo anwenden
und es ist gleich x+y und entsprechend den Bedingungen des Problems ist dies die Länge der Höhe gleich 9 cm.
Und nun haben wir mehrere Momente für ein gleichschenkliges Trapez abgeleitet, dessen Diagonalen sich im rechten Winkel schneiden
in solchen Trapezen
die Mittellinie ist immer gleich der Höhe
Die Fläche ist immer gleich dem Quadrat der Höhe.
Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.
Die Mittellinie eines Trapezes lässt sich leicht ermitteln, wenn Sie die Formel verwenden:
m = (a + b)/2
m ist die Länge der Mittellinie des Trapezes;
a, b Längen der Basen des Trapezes.
Also, Die Länge der Mittellinie eines Trapezes ist gleich der Hälfte der Summe der Längen der Basen.
Die Grundformel für die Formel für die Mittellinie eines Trapezes: Die Länge der Mittellinie eines Trapezes ist gleich der Hälfte der Summe der Basen a und b: MN=(a+b)2 Der Beweis dieser Formel ist Formel für die Mittellinie eines Dreiecks kann dargestellt werden, nachdem von den Enden eine kleinere Basis zu einer größeren Basis gezeichnet wurde. Anschließend wird die Formel für die Mittellinie des Trapezes betrachtet leicht bewiesen.
Um die Mittellinie des Trapezes zu finden, müssen wir die Werte der Basen kennen.
Nachdem wir diese Werte gefunden haben, oder sie uns vielleicht bekannt waren, addieren wir diese Zahlen und teilen sie einfach in zwei Hälften.
Das wird passieren Mittellinie des Trapezes.
Soweit ich mich an den Geometrieunterricht in der Schule erinnere, muss man, um die Länge der Mittellinie eines Trapezes zu ermitteln, die Längen der Basen addieren und durch zwei dividieren. Somit ist die Länge der Mittellinie des Trapezes gleich der Hälfte der Summe der Basen.
