Die kanonischen Gleichungen einer Linie im Raum sind die Gleichungen, die die durch sie verlaufende Linie bestimmen dieser Punkt kollinear zum Richtungsvektor.

Gegeben seien ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, d. h. die Bedingung für sie erfüllt ist:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Zahlen M , N Und P sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor ungleich Null ist, dann alle Zahlen M , N Und P kann nicht gleichzeitig gleich Null sein. Aber ein oder zwei davon könnten Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Eingabe erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf der Achse Oy Und Oz sind gleich Null. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen definierte Gerade senkrecht zu den Achsen Oy Und Oz, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1. Schreiben Sie Gleichungen für eine Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Oz .

Lösung. Finden wir den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz. Da jeder Punkt auf der Achse liegt Oz, hat also Koordinaten , vorausgesetzt in der gegebenen Gleichung der Ebene x = y = 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 oder z= 2 . Daher der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gewünschte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor sein gegebenes Flugzeug.

Schreiben wir nun die erforderlichen Gleichungen für eine gerade Linie auf, die durch einen Punkt verläuft A= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden Und In diesem Fall kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form an

.

Die obigen Gleichungen bestimmen die Gerade, die durch zwei geht vergebene Punkte.

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Schreiben wir die erforderlichen Geradengleichungen in der oben in der theoretischen Referenz angegebenen Form auf:

.

Da steht die gewünschte Gerade senkrecht zur Achse Oy .

Gerade wie die Schnittlinie der Ebenen

Eine Gerade im Raum kann als Schnittlinie zweier nichtparalleler Ebenen definiert werden, also als eine Menge von Punkten, die ein System aus zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum genannt.

Beispiel 3. Stellen Sie kanonische Gleichungen einer Linie im Raum auf, die durch allgemeine Gleichungen gegeben ist

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer Geraden oder, was dasselbe ist, die Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, zu schreiben, müssen Sie die Koordinaten zweier beliebiger Punkte auf der Geraden ermitteln. Sie können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz Und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene yOz hat eine Abszisse X= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem davon ausgegangen X= 0, wir erhalten ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit X= 0 definiert einen Punkt A(0; 2; 6) die gewünschte Zeile. Dann wird im gegebenen Gleichungssystem angenommen j= 0, wir erhalten das System

Ihre Entscheidung X = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Schreiben wir nun die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte verlaufen A(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene fort: Betrachten Sie diese Art von Gleichung wie z allgemeine Gleichung gerade. Definieren wir den Satz und geben seinen Beweis; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer Geraden ist und wie man Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Geradengleichungen macht. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und Lösungen für praktische Probleme untermauern.

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Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y angegeben.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C = 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine Gerade in rechteckiges System Koordinaten im Flugzeug. Jede Gerade in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C die Form A x + B y + C = 0 hat.

Nachweisen

Dieser Satz besteht aus zwei Punkten; wir werden jeden von ihnen beweisen.

1. Beweisen wir, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine gerade Linie auf der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt M 0 (x 0 , y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C = 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C = 0, erhalten Sie eine neue Gleichung, die wie A (x) aussieht - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es entspricht A x + B y + C = 0.

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Somit definiert die Punktmenge M (x, y) eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B). Wir können davon ausgehen, dass dies nicht der Fall ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x – x 0, y – y 0) nicht senkrecht und die Gleichheit A (x – x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Folglich definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 eine bestimmte Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C = 0 die gleiche Linie. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

1. Lassen Sie uns beweisen, dass jede gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 angegeben werden kann.

Definieren wir eine Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene; der Punkt M 0 (x 0 , y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalvektor dieser Geraden n → = (A, B) .

Es gebe auch einen Punkt M (x, y) – einen Gleitkomma auf einer Geraden. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x – x 0, y – y 0) senkrecht zueinander und ihre Skalarprodukt es gibt eine Null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben wir die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren C: C = - A x 0 - B y 0 und als Endergebnis erhalten wir die Gleichung A x + B y + C = 0.

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes und den gesamten Satz als Ganzes bewiesen.

Definition 1

Eine Gleichung der Form A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Gleichung einer Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemOxy.

Basierend auf dem bewährten Satz können wir schließen, dass eine gerade Linie und ihre allgemeine Gleichung, die auf einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem definiert ist, untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die ursprüngliche Linie entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Gleichung einer Geraden entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + C = gegeben ist 0.

Lassen Sie uns überlegen konkretes Beispiel allgemeine Gleichung einer Geraden.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer Geraden in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Geraden ist der Vektor n → = (2, 3) ​​​​. Zeichnen wir die angegebene gerade Linie in der Zeichnung.

Wir können auch Folgendes sagen: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, wird durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte auf einer gegebenen Geraden dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ A x + λ B y + λ C = 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit der Zahl λ multiplizieren, nicht gleich Null. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe gerade Linie in der Ebene.

Definition 2

Vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden– eine solche allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, in der die Zahlen A, B, C von Null verschieden sind. Ansonsten lautet die Gleichung unvollständig.

Lassen Sie uns alle Variationen der unvollständigen allgemeinen Gleichung einer Geraden analysieren.

1. Wenn A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, nimmt die allgemeine Gleichung die Form B y + C = 0 an. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y eine gerade Linie, die parallel zur O x-Achse verläuft, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt - CB . Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, wenn A = 0, B ≠ 0, spezifiziert Ort Punkte (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind - CB .
2. Wenn A = 0, B ≠ 0, C = 0, nimmt die allgemeine Gleichung die Form y = 0 an. Diese unvollständige Gleichung definiert die x-Achse O x .
3. Wenn A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C = 0, die eine gerade Linie parallel zur Ordinate definiert.
4. Sei A ≠ 0, B = 0, C = 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x = 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
5. Schließlich nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung für A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 die Form A x + B y = 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0, 0) der Gleichheit A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lassen Sie uns alle oben genannten Arten unvollständiger allgemeiner Geradengleichungen grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass die gegebene Gerade parallel zur Ordinatenachse verläuft und durch den Punkt 2 7, - 11 verläuft. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Eine Gerade parallel zur Ordinatenachse wird durch eine Gleichung der Form A x + C = 0 gegeben, in der A ≠ 0. Die Bedingung gibt auch die Koordinaten des Punktes an, durch den die Gerade verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0, d. h. die Gleichheit ist wahr:

A 2 7 + C = 0

Daraus ist es möglich, C zu bestimmen, wenn wir A einen Wert ungleich Null geben, zum Beispiel A = 7. In diesem Fall erhalten wir: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die erforderliche Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antwort: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie; Sie müssen ihre Gleichung aufschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, auf einfache Weise die Ausgangsdaten zur Lösung des Problems heranzuziehen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die gegebene Gerade parallel zur O x -Achse verläuft und durch den Punkt (0, 3) verläuft.

Die zur Abszisse parallele Gerade wird durch die unvollständige allgemeine Gleichung B y + C = 0 bestimmt. Finden wir die Werte von B und C. Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da die gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + C = 0, dann gilt die Gleichheit: B · 3 + C = 0. Setzen wir B auf einen anderen Wert als Null. Nehmen wir an, B = 1. In diesem Fall können wir aus der Gleichheit B · 3 + C = 0 C: C = - 3 finden. Mit den bekannten Werten von B und C erhalten wir die erforderliche Gleichung der Geraden: y – 3 = 0.

Antwort: y - 3 = 0 .

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt in einer Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt M 0 (x 0 , y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit ist wahr: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren wir die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Geradengleichung. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) und hat eine Normale Vektor n → = (A, B) .

Das Ergebnis, das wir erhalten haben, ermöglicht es, die allgemeine Gleichung einer Geraden mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und den Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden aufzuschreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt M 0 (- 3, 4), durch den eine Gerade verläuft, und der Normalenvektor dieser Geraden n → = (1 , - 2) . Es ist notwendig, die Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die notwendigen Daten zum Zusammenstellen der Gleichung zu erhalten: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte anders gelöst werden können. Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet A x + B y + C = 0. Der gegebene Normalenvektor ermöglicht es uns, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Lassen Sie uns nun den Wert von C anhand des durch die Problembedingung angegebenen Punktes M 0 (- 3, 4) ermitteln, durch den die Gerade verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 · y + C = 0, d.h. - 3 - 2 4 + C = 0. Daher ist C = 11. Die erforderliche Geradengleichung hat die Form: x - 2 · y + 11 = 0.

Antwort: x - 2 y + 11 = 0.

Beispiel 4

Gegeben sei eine Gerade 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Geraden liegender Punkt M 0. Von diesem Punkt ist nur die Abszisse bekannt und sie ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate eines bestimmten Punktes zu bestimmen.

Lösung

Bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes M 0 als x 0 und y 0 . Die Quelldaten zeigen, dass x 0 = - 3. Da der Punkt zu einer gegebenen Geraden gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Geraden. Dann gilt die Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definieren Sie y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antwort: - 5 2

Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen für dieselbe Gerade in einer Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, die Lösung auszuwählen, die für die Lösung am bequemsten ist. Die Fähigkeit, eine Gleichung eines Typs in eine Gleichung eines anderen Typs umzuwandeln, ist hier sehr nützlich.

Betrachten wir zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Wenn A ≠ 0, dann verschieben wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Auf der linken Seite nehmen wir A aus Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y.

Diese Gleichheit kann als Verhältnis geschrieben werden: x + C A - B = y A.

Wenn B ≠ 0, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, übertragen die anderen auf die rechte Seite und erhalten: A x = - B y - C. Wir nehmen – B aus Klammern, dann: A x = - B y + C B .

Schreiben wir die Gleichheit in Form eines Verhältnisses um: x - B = y + C B A.

Natürlich ist es nicht nötig, sich die resultierenden Formeln zu merken. Es reicht aus, den Aktionsalgorithmus zu kennen, wenn man von einer allgemeinen zu einer kanonischen Gleichung übergeht.

Beispiel 5

Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden 3 y - 4 = 0. Es ist notwendig, sie in eine kanonische Gleichung umzuwandeln.

Lösung

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 = 0. Als nächstes gehen wir nach dem Algorithmus vor: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite setzen wir - 3 aus Klammern; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Proportion: x - 3 = y - 4 3 0 . Somit haben wir eine Gleichung kanonischer Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Gleichung einer Geraden in parametrische Gleichungen umzuwandeln, führen Sie zuerst den Übergang zur kanonischen Form und dann den Übergang von aus durch kanonische Gleichung Gerade zu parametrischen Gleichungen.

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen für diese Linie auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nehmen wir nun beide Seiten der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann gilt:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antwort:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung lässt sich in eine Geradengleichung mit umwandeln Neigung y = k x + b, aber nur, wenn B ≠ 0. Für den Übergang belassen wir den Term B y auf der linken Seite, der Rest wird nach rechts übertragen. Wir erhalten: B y = - A x - C . Teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch B, verschieden von Null: y = - A B x - C B.

Beispiel 7

Die allgemeine Gleichung der Geraden lautet: 2 x + 7 y = 0. Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Führen wir die notwendigen Aktionen gemäß dem Algorithmus durch:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antwort: y = - 2 7 x .

Aus der allgemeinen Geradengleichung genügt es, einfach eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b = 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang durchzuführen, verschieben wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch – C und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der Geraden x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung der Geraden in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Verschieben wir 1 2 auf die rechte Seite: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Teilen wir beide Seiten der Gleichheit durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antwort: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zur allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und eine Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten lässt sich leicht in eine allgemeine Gleichung umwandeln, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichung sammelt:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in eine allgemeine umgewandelt:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um von den parametrischen zu wechseln, wechseln Sie zunächst zur kanonischen und dann zur allgemeinen:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind die parametrischen Gleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Gehen wir vom Kanonischen zum Allgemeinen über:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antwort: y - 4 = 0

Beispiel 10

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in den Strecken x 3 + y 1 2 = 1. Es ist notwendig, zur allgemeinen Form der Gleichung überzugehen.

Lösung:

Wir schreiben die Gleichung einfach in die erforderliche Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antwort: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Aufstellen einer allgemeinen Geradengleichung

Wir haben oben gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, geschrieben werden kann. Eine solche Gerade wird durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiert. Dort haben wir auch das entsprechende Beispiel analysiert.

Schauen wir uns nun mehr an komplexe Beispiele, wobei Sie zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmen müssen.

Beispiel 11

Gegeben sei eine Gerade parallel zur Geraden 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Der Punkt M 0 (4, 1), durch den die gegebene Gerade verläuft, ist ebenfalls bekannt. Es ist notwendig, die Gleichung der gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden muss, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3): 2 x - 3 Jahre + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Geradengleichung zu erstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antwort: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Beispiel 12

Die gegebene Gerade verläuft durch den Ursprung senkrecht zur Geraden x - 2 3 = y + 4 5. Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung für eine bestimmte Gerade aufzustellen.

Lösung

Der Normalenvektor einer gegebenen Geraden ist der Richtungsvektor der Geraden x - 2 3 = y + 4 5.

Dann ist n → = (3, 5) . Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch Punkt O (0, 0). Erstellen wir eine allgemeine Gleichung für eine gegebene Gerade:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antwort: 3 x + 5 y = 0 .

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Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden lässt sich darstellen in in verschiedenen Formen je nach gegebenem

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zur Geraden, gegeben durch die Gleichung

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Geometrische Bedeutung Koeffizienten ist, dass Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren Was heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkte Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

Gerade gegeben. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:

Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind

j = k 1 X + B 1 ,

Lektion aus der Reihe „Geometrische Algorithmen“

Hallo lieber Leser!

Heute beginnen wir mit dem Erlernen von Algorithmen im Zusammenhang mit der Geometrie. Tatsache ist, dass es in der Informatik ziemlich viele olympische Probleme im Zusammenhang mit der Computergeometrie gibt und die Lösung solcher Probleme oft Schwierigkeiten bereitet.

Im Laufe mehrerer Lektionen werden wir eine Reihe elementarer Teilaufgaben betrachten, auf denen die Lösung der meisten Probleme in der Computergeometrie basiert.

In dieser Lektion erstellen wir ein Programm für Finden der Gleichung einer Geraden, durch gegeben gegeben zwei Punkte. Für Lösungen geometrische Probleme Wir benötigen einige Kenntnisse der Computergeometrie. Wir werden einen Teil der Lektion dem Kennenlernen widmen.

Erkenntnisse aus der Computergeometrie

Computergeometrie ist ein Zweig der Informatik, der Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme untersucht.

Die Ausgangsdaten für solche Probleme können eine Menge von Punkten auf einer Ebene, eine Menge von Segmenten, ein Polygon (z. B. spezifiziert durch eine Liste seiner Eckpunkte im Uhrzeigersinn) usw. sein.

Das Ergebnis kann entweder eine Antwort auf eine Frage sein (z. B. Gehört ein Punkt zu einem Segment, schneiden sich zwei Segmente usw.) oder ein geometrisches Objekt (z. B. das kleinste konvexe Polygon, das bestimmte Punkte verbindet, die Fläche von). ​​ein Polygon usw.).

Wir werden Probleme der Computergeometrie nur in der Ebene und nur im kartesischen Koordinatensystem betrachten.

Vektoren und Koordinaten

Um die Methoden der Computergeometrie anzuwenden, ist es notwendig, geometrische Bilder in die Sprache der Zahlen zu übersetzen. Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug gegeben ist kartesisches System Koordinaten, bei denen die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn als positiv bezeichnet wird.

Nun erhalten geometrische Objekte einen analytischen Ausdruck. Um einen Punkt anzugeben, reicht es also aus, seine Koordinaten anzugeben: ein Zahlenpaar (x; y). Ein Segment kann durch Angabe der Koordinaten seiner Enden angegeben werden; eine gerade Linie kann durch Angabe der Koordinaten eines seiner Punktepaare angegeben werden.

Aber unser wichtigstes Werkzeug zur Lösung von Problemen werden Vektoren sein. Lassen Sie mich daher einige Informationen über sie in Erinnerung rufen.

Liniensegment AB, was einen Sinn hat A gilt als Anfang (Anwendungspunkt) und als Punkt IN– Ende, ein sogenannter Vektor AB und wird beispielsweise durch entweder oder durch einen fetten Kleinbuchstaben gekennzeichnet A .

Um die Länge eines Vektors (d. h. die Länge des entsprechenden Segments) anzugeben, verwenden wir das Modulsymbol (z. B. ).

Ein beliebiger Vektor hat Koordinaten, die der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten seines Endes und Anfangs entsprechen:

,

Hier sind die Punkte A Und B Koordinaten haben jeweils.

Für Berechnungen verwenden wir das Konzept orientierter Winkel, also der Winkel unter Berücksichtigung gegenseitige Übereinkunft Vektoren.

Orientierter Winkel zwischen Vektoren A Und B positiv, wenn die Drehung vom Vektor ausgeht A zum Vektor B erfolgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn), im anderen Fall in negativer Richtung. Siehe Abb.1a, Abb.1b. Man sagt auch, dass es sich um ein Vektorpaar handelt A Und B positiv (negativ) orientiert.

Somit hängt der Wert des Orientierungswinkels von der Reihenfolge ab, in der die Vektoren aufgelistet sind, und kann Werte im Intervall annehmen.

Viele Probleme in der Computergeometrie verwenden das Konzept von Vektorprodukten (schief oder pseudoskalar) von Vektoren.

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist das Produkt der Längen dieser Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen ihnen:

.

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten:

Der Ausdruck rechts ist eine Determinante zweiter Ordnung:

Im Gegensatz zur Definition in der analytischen Geometrie handelt es sich um einen Skalar.

Zeichen Vektorprodukt bestimmt die Lage der Vektoren relativ zueinander:

A Und B positiv orientiert.

Wenn der Wert ist, dann ein Vektorpaar A Und B negativ orientiert.

Das Kreuzprodukt von Vektoren ungleich Null ist genau dann Null, wenn sie kollinear sind ( ). Das bedeutet, dass sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen.

Schauen wir uns einige einfache Probleme an, die zur Lösung komplexerer Probleme erforderlich sind.

Bestimmen wir die Gleichung einer Geraden aus den Koordinaten zweier Punkte.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei verschiedene, durch ihre Koordinaten angegebene Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei nicht zusammenfallende Punkte auf einer Geraden: mit Koordinaten (x1; y1) und mit Koordinaten (x2; y2). Dementsprechend hat ein Vektor mit einem Start an einem Punkt und einem Ende an einem Punkt die Koordinaten (x2-x1, y2-y1). Wenn P(x, y) ein beliebiger Punkt auf unserer Linie ist, dann sind die Koordinaten des Vektors gleich (x-x1, y – y1).

Unter Verwendung des Vektorprodukts kann die Bedingung für die Kollinearität von Vektoren wie folgt geschrieben werden:

Diese. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Wir schreiben die letzte Gleichung wie folgt um:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Die Gerade kann also durch eine Gleichung der Form (1) angegeben werden.

Aufgabe 1. Die Koordinaten zweier Punkte sind angegeben. Finden Sie seine Darstellung in der Form ax + by + c = 0.

In dieser Lektion haben wir einige Informationen über Computergeometrie gelernt. Wir haben das Problem gelöst, die Gleichung einer Geraden aus den Koordinaten zweier Punkte zu finden.

In der nächsten Lektion erstellen wir ein Programm, um den Schnittpunkt zweier durch unsere Gleichungen gegebener Geraden zu finden.