Was erhält man, wenn man durch 0 dividiert? Äquivalente Dezimalschreibweisen. Mehrstellige Zahlen multiplizieren
Auch in den unteren Schulstufen gilt ein striktes Verbot der Division durch Null. Kinder denken normalerweise nicht über die Gründe nach, aber tatsächlich ist es sowohl interessant als auch nützlich zu wissen, warum etwas verboten ist.
Rechenoperationen
Die Rechenoperationen, die in der Schule gelernt werden, sind aus Sicht der Mathematiker nicht gleichwertig. Sie erkennen nur zwei dieser Operationen als gültig an – Addition und Multiplikation. Sie sind Teil des eigentlichen Zahlenkonzepts, und alle anderen Handlungen mit Zahlen basieren auf die eine oder andere Weise auf diesen beiden. Das heißt, es ist nicht nur möglich, durch Null zu dividieren, sondern auch allgemein.
Subtraktion und Division
Was fehlt bei den restlichen Aktionen? Auch hier wissen wir aus der Schule, dass zum Beispiel das Subtrahieren von vier von sieben bedeutet, sieben Süßigkeiten zu nehmen, vier davon zu essen und die restlichen zu zählen. Aber Mathematiker nehmen Süßigkeiten beim Verzehr und im Allgemeinen ganz anders wahr. Für sie gibt es nur eine Addition, das heißt, die Notation 7 - 4 bedeutet eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 4 addiert wird, gleich 7 ist. Das heißt, für Mathematiker ist 7 - 4 eine Kurznotation der Gleichung : x + 4 = 7. Dies ist keine Subtraktion, sondern ein Problem: Finden Sie die Zahl, die anstelle von x eingesetzt werden muss.
Dasselbe gilt auch für Division und Multiplikation. Ein Juniorschüler teilt zehn durch zwei und legt zehn Bonbons auf zwei identische Stapel. Auch hier sieht der Mathematiker die Gleichung: 2 x = 10.
Dies erklärt, warum eine Division durch Null verboten ist: Sie ist einfach unmöglich. Der Eintrag 6: 0 sollte sich in die Gleichung 0 · x = 6 verwandeln. Das heißt, Sie müssen eine Zahl finden, die mit Null multipliziert werden kann, und 6 erhalten. Es ist jedoch bekannt, dass die Multiplikation mit Null immer Null ergibt. Dies ist die wesentliche Eigenschaft von Null.
Es gibt also keine Zahl, die, wenn man sie mit Null multipliziert, eine andere Zahl als Null ergeben würde. Das bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat, es keine Zahl gibt, die mit der Notation 6:0 korrelieren würde, also keinen Sinn ergibt. Sie sprechen von der Sinnlosigkeit, wenn die Division durch Null verboten ist.
Ist Null durch Null teilbar?
Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? Die Gleichung 0 · x = 0 bereitet keine Schwierigkeiten, und Sie können genau diese Null für x annehmen und erhalten 0 · 0 = 0. Dann ist 0: 0 = 0? Nehmen wir aber zum Beispiel an, dass x eins ist, erhalten wir auch 0 1 = 0. Man kann x als beliebige Zahl annehmen und durch Null dividieren, und das Ergebnis bleibt dasselbe: 0 : 0 = 9 , 0: 0 = 51 und so weiter.
Somit kann absolut jede Zahl in diese Gleichung eingesetzt werden, und es ist unmöglich, eine bestimmte Zahl auszuwählen, es ist unmöglich zu bestimmen, welche Zahl durch die Notation 0:0 bezeichnet wird. Das heißt, diese Notation macht auch keinen Sinn und Division durch Null ist immer noch unmöglich: es ist nicht einmal durch sich selbst teilbar.
Das ist wichtiges Merkmal Operationen der Division, also der Multiplikation und der zugehörigen Zahl Null.
Bleibt die Frage: Ist es möglich, es zu subtrahieren? Man könnte sagen, dass die echte Mathematik mit dieser interessanten Frage beginnt. Um die Antwort darauf zu finden, müssen Sie die formalen mathematischen Definitionen von Zahlenmengen lernen und sich mit den Operationen auf ihnen vertraut machen. Es gibt zum Beispiel nicht nur einfache, sondern auch deren Einteilung unterscheidet sich von der Einteilung der gewöhnlichen. Dies ist nicht im Lehrplan der Schule enthalten, aber Universitätsvorlesungen in Mathematik beginnen damit.
Warum kann man nicht durch Null dividieren? 16. April 2018
Deshalb haben wir kürzlich darüber gesprochen. Hier ist eine weitere interessante Aussage. „Man kann nicht durch Null dividieren!“ - Die meisten Schulkinder lernen diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Sie können nicht“ ist und was passiert, wenn Sie als Antwort fragen: „Warum?“ Das wird passieren, wenn
Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum das nicht möglich ist.
Die Sache ist, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als gültig an – Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der Definition des Zahlbegriffs selbst enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.
Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was bedeutet 5 – 3? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher bedeutet die Schreibweise 5 – 3 eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 3 addiert wird, die Zahl 5 ergibt. Das heißt, 5 – 3 ist einfach eine Kurzschreibweise der Gleichung: x + 3 = 5. Es gibt keine Subtraktion in dieser Gleichung. Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.
Dasselbe gilt auch für Multiplikation und Division. Eintrag 8:4 kann als Ergebnis der Aufteilung von acht Gegenständen in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber es ist eigentlich nur eine Kurzform der Gleichung 4 x = 8.
Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufnahme 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt. Aber wir wissen, dass das Ergebnis, wenn sie mit 0 multipliziert wird, immer 0 ist. Dies ist streng genommen eine inhärente Eigenschaft von Null und Teil seiner Definition.
Es gibt keine Zahl, deren Multiplikation mit 0 etwas anderes als Null ergibt. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, das passiert; nicht für jedes Problem gibt es eine Lösung.) Das bedeutet, dass der Eintrag 5:0 keiner bestimmten Zahl entspricht, sondern einfach nichts bedeutet und daher keine Bedeutung hat. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null dividieren kann.
Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? Tatsächlich kann die Gleichung 0 x = 0 sicher gelöst werden. Nehmen wir zum Beispiel x = 0 und erhalten dann 0 · 0 = 0. Also 0: 0=0? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir, x = 1 anzunehmen. Wir erhalten 0 · 1 = 0. Richtig? Also 0:0 = 1? Aber auf diese Weise können Sie jede beliebige Zahl nehmen und 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 usw. erhalten.
Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon auszuwählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Zahl der Eintrag 0:0 entspricht. Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass dieser Eintrag auch keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (IN mathematische Analyse Es gibt Fälle, in denen man dank zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Lösungen der Gleichung 0 x = 0 den Vorzug geben kann; In solchen Fällen sprechen Mathematiker von „sich entfaltender Unsicherheit“, in der Arithmetik kommen solche Fälle jedoch nicht vor.)
Dies ist die Besonderheit der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl Null.
Nun, die Akribischsten, die bis hierhin gelesen haben, fragen sich vielleicht: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewissem Sinne beginnt hier die echte Mathematik. Sie können darauf nur antworten, indem Sie sich mit dem Formalen vertraut machen mathematische Definitionen Zahlenmengen und Operationen auf ihnen.
Schon in der Schule versuchten Lehrer, uns die einfachste Regel einzuhämmern: „Jede Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!“, – aber dennoch kommt es immer wieder zu Kontroversen um ihn. Manche Leute erinnern sich einfach an die Regel und beschäftigen sich nicht mit der Frage „Warum?“ „Das geht nicht und das ist es, denn das hat man in der Schule so gesagt, die Regel ist die Regel!“ Jemand kann ein halbes Notizbuch mit Formeln füllen und so diese Regel oder umgekehrt ihre Unlogik beweisen.
Wer hat am Ende Recht?
Bei diesen Auseinandersetzungen schauen sich beide Menschen mit gegensätzlichen Standpunkten wie ein Widder an und beweisen mit aller Kraft, dass sie Recht haben. Wenn man sie jedoch von der Seite betrachtet, sieht man nicht einen, sondern zwei Widder, die ihre Hörner aufeinander stützen. Der einzige Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass der eine etwas weniger gebildet ist als der andere. Meistens versuchen diejenigen, die diese Regel für falsch halten, auf folgende Weise an die Logik zu appellieren:
Ich habe zwei Äpfel auf meinem Tisch. Wenn ich null Äpfel darauf lege, also keinen einzigen, dann verschwinden meine beiden Äpfel nicht! Die Regel ist unlogisch!
Tatsächlich werden Äpfel nirgendwo verschwinden, aber nicht, weil die Regel unlogisch wäre, sondern weil hier eine etwas andere Gleichung verwendet wird: 2 + 0 = 2. Lassen Sie uns diese Schlussfolgerung also gleich verwerfen – sie ist unlogisch, obwohl sie den gegenteiligen Zweck hat - zur Logik aufrufen.
Das ist interessant: Wie findet man den Unterschied zwischen Zahlen in der Mathematik?
Was ist Multiplikation?
Ursprünglich die Multiplikationsregel wurde nur für natürliche Zahlen definiert: Multiplikation ist eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Malen zu sich selbst addiert wird, was bedeutet, dass die Zahl natürlich ist. Somit kann jede Zahl mit Multiplikation auf diese Gleichung reduziert werden:
Aus dieser Gleichung folgt das dass die Multiplikation eine vereinfachte Addition ist.
Was ist Null
Jeder Mensch weiß aus seiner Kindheit: Null ist Leere. Obwohl diese Leere eine Bezeichnung hat, trägt sie überhaupt nichts. Wissenschaftler des alten Ostens dachten anders – sie gingen philosophisch an das Thema heran, zogen einige Parallelen zwischen Leere und Unendlichkeit und sahen in dieser Zahl eine tiefe Bedeutung. Schließlich multipliziert die Null, die Leere bedeutet, neben jeder natürlichen Zahl, diese zehnmal. Daher die ganze Kontroverse über die Multiplikation – diese Zahl weist so viele Inkonsistenzen auf, dass es schwierig wird, nicht verwirrt zu werden. Darüber hinaus wird die Null ständig verwendet, um leere Ziffern in Dezimalbrüchen zu definieren, und zwar sowohl vor als auch nach dem Dezimalpunkt.
Ist eine Multiplikation mit Leere möglich?
Sie können mit Null multiplizieren, aber es ist nutzlos, denn was auch immer man sagen mag, auch wenn Sie negative Zahlen multiplizieren, erhalten Sie immer noch Null. Es genügt, sich diese einfache Regel zu merken und diese Frage nie wieder zu stellen. Tatsächlich ist alles einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Es gibt keine verborgene Bedeutungen und Geheimnisse, wie alte Wissenschaftler glaubten. Im Folgenden geben wir die logischste Erklärung dafür, dass diese Multiplikation nutzlos ist, denn wenn Sie eine Zahl damit multiplizieren, erhalten Sie immer noch dasselbe – Null.
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Zurück zum Anfang, zum Argument über zwei Äpfel: 2 mal 0 sieht so aus:
Denn wenn man null Mal einen Apfel isst, heißt das, dass man keinen einzigen Apfel isst. Es wird sogar Ihnen selbst klar sein zu einem kleinen Kind. Was auch immer man sagen mag, das Ergebnis wird 0 sein, zwei oder drei können durch absolut jede Zahl ersetzt werden und das Ergebnis wird absolut das gleiche sein. Und um es einfach auszudrücken: Null ist nichts, und wann haben Sie es gibt nichts, dann ist es immer noch dasselbe, egal wie viel Sie multiplizieren wird Null sein. So etwas wie Magie gibt es nicht, und aus nichts entsteht ein Apfel, selbst wenn man 0 mit einer Million multipliziert. Dies ist die einfachste, verständlichste und logischste Erklärung der Multiplikationsregel mit Null. Für eine Person, die weit von allen Formeln und Mathematik entfernt ist, wird eine solche Erklärung ausreichen, damit sich die Dissonanz im Kopf auflöst und alles seinen Platz findet.
Aus all dem folgt eine weitere wichtige Regel:
Man kann nicht durch Null dividieren!
Auch diese Regel wurde uns seit unserer Kindheit beharrlich in den Kopf eingehämmert. Wir wissen nur, dass es unmöglich ist, alles zu tun, ohne unseren Kopf mit unnötigen Informationen zu füllen. Wenn Ihnen unerwartet die Frage gestellt wird, warum es verboten ist, durch Null zu dividieren, ist die Mehrheit verwirrt und kann die einfachste Frage nicht eindeutig beantworten Lehrplan, weil es um diese Regel nicht so viele Kontroversen und Kontroversen gibt.
Jeder lernte die Regel einfach auswendig und dividierte nicht durch Null, ohne zu ahnen, dass die Antwort an der Oberfläche verborgen war. Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion sind ungleich; nur Multiplikation und Addition sind gültig, und alle anderen Manipulationen mit Zahlen basieren auf ihnen. Das heißt, der Eintrag 10:2 ist eine Abkürzung der Gleichung 2 * x = 10. Das bedeutet, dass der Eintrag 10:0 die gleiche Abkürzung für 0 * x = 10 ist. Es stellt sich heraus, dass die Division durch Null eine Aufgabe ist Finden Sie eine Zahl, multiplizieren Sie sie mit 0 und Sie erhalten 10. Und wir haben bereits herausgefunden, dass eine solche Zahl nicht existiert, was bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat und von vornherein falsch sein wird.
Lass mich dir sagen,
Um nicht durch 0 zu dividieren!
Schneiden Sie 1 nach Belieben der Länge nach ab,
Nur nicht durch 0 dividieren!
bildung.guru
Durch Null teilen. Lustige Mathematik
Die Zahl 0 kann man sich als eine bestimmte Grenze vorstellen, die die Welt der reellen Zahlen von imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der mehrdeutigen Position gehorchen viele Operationen mit diesem Zahlenwert nicht der mathematischen Logik. Die Unmöglichkeit einer Division durch Null ist ein Paradebeispiel dafür. Und erlaubte arithmetische Operationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen durchgeführt werden.
Geschichte von Null
Null ist der Bezugspunkt in allen Standardzahlensystemen. Die Europäer begannen erst vor relativ kurzer Zeit, diese Zahl zu verwenden, aber die Weisen Altes Indien verwendeten die Null tausend Jahre, bevor die leere Zahl von europäischen Mathematikern regelmäßig verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein zwingender Wert im Zahlensystem der Maya. Diese Amerikaner verwendeten das duodezimale Zahlensystem und der erste Tag jedes Monats begann mit einer Null. Es ist interessant, dass bei den Mayas das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ übereinstimmte. Daher kamen die alten Mayas zu dem Schluss, dass diese Größen identisch und nicht erkennbar seien.
Mathematische Operationen mit Null
Standardmathematische Operationen mit Null lassen sich auf wenige Regeln reduzieren.
Addition: Wenn Sie einer beliebigen Zahl eine Null hinzufügen, ändert sich ihr Wert nicht (0+x=x).
Subtraktion: Beim Subtrahieren von Null von einer beliebigen Zahl bleibt der Wert des Subtrahenden unverändert (x-0=x).
Multiplikation: Jede mit 0 multiplizierte Zahl ergibt 0 (a*0=0).
Division: Null kann durch jede Zahl ungleich Null geteilt werden. In diesem Fall ist der Wert eines solchen Bruchs 0. Und eine Division durch Null ist verboten. 
Potenzierung. Diese Aktion kann mit einer beliebigen Nummer durchgeführt werden. Eine beliebige, auf Null potenzierte Zahl ergibt 1 (x 0 =1).
Null hoch zu jeder Potenz ist gleich 0 (0 a = 0).
In diesem Fall entsteht sofort ein Widerspruch: Der Ausdruck 0 0 ergibt keinen Sinn.
Paradoxien der Mathematik
Viele Menschen wissen aus der Schule, dass eine Division durch Null unmöglich ist. Aber aus irgendeinem Grund ist es unmöglich, den Grund für ein solches Verbot zu erklären. Warum gibt es eigentlich keine Formel zum Teilen durch Null, aber andere Aktionen mit dieser Zahl sind durchaus sinnvoll und möglich? Die Antwort auf diese Frage geben Mathematiker.
Die Sache ist, dass die üblichen Rechenoperationen, in denen Schulkinder lernen Grundschule Tatsächlich sind sie bei weitem nicht so gleich, wie wir denken. Alle einfache Operationen mit Zahlen lässt sich auf zwei reduzieren: Addition und Multiplikation. Diese Aktionen bilden die Essenz des Zahlenkonzepts selbst, und andere Operationen basieren auf der Verwendung dieser beiden.
Addition und Multiplikation
Nehmen wir ein Standardsubtraktionsbeispiel: 10-2=8. In der Schule denken sie einfach: Wenn man von zehn Fächern zwei abzieht, bleiben acht übrig. Doch Mathematiker betrachten diese Operation ganz anders. Schließlich gibt es für sie keine Operation wie die Subtraktion. Dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden: x+2=10. Für Mathematiker ist die unbekannte Differenz einfach die Zahl, die zu zwei addiert werden muss, um acht zu ergeben. Und hier ist keine Subtraktion erforderlich, Sie müssen lediglich den passenden Zahlenwert finden.
Multiplikation und Division werden gleich behandelt. Im Beispiel 12:4=3 können Sie verstehen, dass es sich um die Aufteilung von acht Objekten in zwei gleiche Stapel handelt. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine umgekehrte Formel zum Schreiben von 3x4 = 12. Solche Divisionsbeispiele können endlos angeführt werden. 
Beispiele für die Division durch 0
Hier wird ein wenig klar, warum man nicht durch Null dividieren kann. Multiplikation und Division durch Null folgen ihren eigenen Regeln. Alle Beispiele für die Teilung dieser Menge können als 6:0 = x formuliert werden. Dies ist jedoch eine umgekehrte Schreibweise des Ausdrucks 6 * x = 0. Aber wie Sie wissen, ergibt jede mit 0 multiplizierte Zahl im Produkt nur 0. Diese Eigenschaft ist dem Konzept des Nullwerts inhärent.
Es stellt sich heraus, dass es keine solche Zahl gibt, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, einen greifbaren Wert ergibt, das heißt, dieses Problem hat keine Lösung. Vor dieser Antwort sollten Sie keine Angst haben; sie ist eine natürliche Antwort auf Probleme dieser Art. Es ist nur so, dass die 6:0-Bilanz keinen Sinn ergibt und nichts erklären kann. Kurz gesagt, dieser Ausdruck kann durch das unsterbliche „Division durch Null ist unmöglich“ erklärt werden.
Liegt ein 0:0-Betrieb vor? Wenn die Operation der Multiplikation mit 0 zulässig ist, kann dann Null durch Null dividiert werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x 5=0 durchaus zulässig. Anstelle der Zahl 5 können Sie auch 0 eingeben, das Produkt ändert sich nicht. 
Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie bereits erwähnt, ist die Division einfach die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 ist, müssen Sie den zweiten Faktor bestimmen, wir erhalten 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null dividieren – wie gefällt dir das?
Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann macht es keinen Sinn; wir können nicht nur eine aus einer unendlichen Zahl von Zahlen auswählen. Und wenn ja, bedeutet dies, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null selbst durch Null geteilt werden kann.
Höhere Mathematik
Division durch Null bereitet der Schulmathematik Kopfzerbrechen. Die an technischen Universitäten studierte mathematische Analyse erweitert das Konzept der Probleme, für die es keine Lösung gibt, geringfügig. Zum bereits bekannten Ausdruck 0:0 kommen beispielsweise neue hinzu, für die es im Schulmathematikunterricht keine Lösungen gibt:
Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber die höhere Mathematik liefert dank zusätzlicher Möglichkeiten für eine Reihe ähnlicher Beispiele endgültige Lösungen. Dies wird insbesondere bei der Betrachtung grenzwerttheoretischer Probleme deutlich.
Unsicherheit freischalten
In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch eine bedingte Infinitesimalvariable ersetzt. Und Ausdrücke, in denen beim Ersetzen gewünschter Wert Division durch Null wird erhalten und umgewandelt. Nachfolgend finden Sie ein Standardbeispiel für die Erweiterung eines Grenzwerts mithilfe gewöhnlicher algebraischer Transformationen:
Wie Sie im Beispiel sehen können, führt die einfache Reduzierung eines Bruchs zu einer völlig rationalen Antwort.
Wenn man die Grenzen bedenkt trigonometrische Funktionen Ihre Ausdrücke neigen dazu, auf das Erste reduziert zu werden wunderbare Grenze. Bei der Betrachtung von Grenzen, bei denen der Nenner beim Ersetzen einer Grenze 0 wird, wird eine zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.
L'Hopital-Methode
In manchen Fällen können die Grenzen von Ausdrücken durch die Grenzen ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume L'Hopital ist ein französischer Mathematiker und Begründer der französischen Schule der mathematischen Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind. IN mathematische Notation seine Regel ist wie folgt. 
Derzeit wird die Methode von L'Hopital erfolgreich zur Lösung von Unsicherheiten vom Typ 0:0 oder ∞:∞ eingesetzt.
Mathematik: Lange Division und Multiplikation
Das Multiplizieren und Dividieren einstelliger Zahlen ist für jeden Schüler, der das Einmaleins gelernt hat, kein Problem. Es ist im Mathematiklehrplan der 2. Klasse enthalten. Eine andere Sache ist, wenn mathematische Operationen mit mehrstelligen Zahlen durchgeführt werden müssen. Solche Aktivitäten beginnen im Mathematikunterricht in der 3. Klasse. Schauen wir uns das neue Thema „Spaltendivision und Multiplikation“ an.
Mehrstellige Zahlen multiplizieren
Komplexe Zahlen lassen sich am einfachsten in einer Spalte dividieren und multiplizieren. Dazu benötigen Sie Zahlenstellen: Hunderter, Zehner, Einer:
235 = 200 (Hunderter) + 30 (Zehner) + 5 (Einer).
Wir benötigen dies, um Zahlen beim Multiplizieren richtig schreiben zu können.
Wenn Sie zwei Zahlen schreiben, die multipliziert werden müssen, werden sie untereinander geschrieben, wobei die Zahlen in Ziffernreihenfolge angeordnet werden (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner). Beim Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl treten keine Schwierigkeiten auf:
Die Aufnahme erfolgt wie folgt: 
Die Berechnung erfolgt vom Ende her – von der Einerstelle aus. Bei der Multiplikation mit der ersten Ziffer – von der Einerstelle – beginnt die Eingabe ebenfalls vom Ende:
- 3 x 5 = 15, schreibe 5 (Einer) auf, merke dir Zehner (1);
- 2 x 5 = 10 und 1 Zehner, an die wir uns erinnern, insgesamt 11, notieren Sie 1 (Zehner), Hunderter (1) erinnern Sie sich;
- Da wir im Beispiel keine weiteren Ziffern haben, schreiben wir Hunderter auf (1 – die wir uns gemerkt haben).
Der nächste Schritt besteht darin, mit der zweiten Ziffer (Zehnerstelle) zu multiplizieren:
Da wir mit einer Zahl von der Zehnerstelle aus multipliziert haben, beginnen wir mit dem Schreiben auf die gleiche Weise, vom Ende an, beginnend mit der zweiten Stelle von rechts (dort, wo sich die Zehnerstelle befindet).
1. Sie müssen die Multiplikation nach Ziffern in eine Spalte schreiben;
2. Berechnungen ausgehend von Einheiten durchführen;
3. Notieren Sie die Summe nach Ziffern. Wenn wir die Einerstelle mit einer Zahl multiplizieren, beginnen wir mit der Aufzeichnung ab der letzten Spalte, ab der Zehnerstelle beginnen wir mit der Aufzeichnung ab dieser Spalte.
Die Regel, die für die Multiplikation mit einer zweistelligen Zahl gilt, gilt auch für Zahlen mit Große anzahl Entladungen.
Damit Sie sich die Regeln zum Schreiben von Beispielen für die Multiplikation mehrstelliger Zahlen in einer Spalte leichter merken können, können Sie durch Hervorheben Karten erstellen verschiedene Farben verschiedene Ränge.
Werden Zahlen mit Nullen am Ende in einer Spalte multipliziert, werden diese bei der Berechnung nicht berücksichtigt und die Aufzeichnung erfolgt so Signifikante Figur war unter dem Signifikanten, und die Nullen bleiben auf der rechten Seite. Nach den Berechnungen wird ihre Nummer rechts hinzugefügt:
Der Mathematiker Yakov Trakhtenberg entwickelte ein schnelles Zählsystem. Die Trachtenberg-Methode erleichtert die Multiplikation, wenn Sie ein bestimmtes Rechensystem verwenden. Zum Beispiel mit 11 multiplizieren. Um das Ergebnis zu erhalten, müssen Sie die Zahl zur benachbarten Zahl addieren:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Der Beweis der Wahrheit ist einfach: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Berechnungsalgorithmen für verschiedene Zahlen unterschiedlich, aber sie ermöglichen Ihnen, Berechnungen schnell durchzuführen.
Video „Multiplikation mit Spalte“
Division mehrstelliger Zahlen
Lange Division mag für Kinder kompliziert erscheinen, aber der Algorithmus ist nicht schwer zu merken. Erwägen Sie, mehrstellige Zahlen durch eine einstellige Zahl zu dividieren:
215: 5 = ?
Die Berechnung lautet wie folgt: 
Das Ergebnis schreiben wir unter den Divisor. Die Division wird wie folgt durchgeführt: Wir vergleichen die Ziffer ganz links des Dividenden mit dem Divisor: 2 ist kleiner als 5, wir können 2 nicht durch 5 teilen, also nehmen wir eine andere Ziffer: 21 ist mehr als 5, bei der Division ergibt sich: 20: 5 = 4 (Rest 1)
Zum resultierenden Rest addieren wir die folgende Zahl: Wir erhalten 15. 15 ist mehr als 5, dividieren: 15: 5 = 3
Die Lösung wird so aussehen:
So erfolgt die Teilung ohne Rest. Mit dem gleichen Algorithmus wird die Division in eine Spalte mit Rest durchgeführt, mit dem einzigen Unterschied, dass der letzte Eintrag nicht Null, sondern den Rest anzeigt.
Wenn es notwendig ist, dreistellige Zahlen in einer Spalte durch eine zweistellige Zahl zu dividieren, ist die Vorgehensweise die gleiche wie bei der Division durch eine einstellige Zahl.
Hier einige Beispiele für Teilungen:
Ähnlich erfolgt die Berechnung bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine zweistellige Zahl mit Rest: 853: 15 = 50 und (3) Rest 
Beachten Sie diesen Eintrag: Wenn bei Zwischenberechnungen das Ergebnis 0 ist, das Beispiel aber nicht vollständig gelöst ist, wird die Null nicht notiert, sondern die nächste Ziffer sofort entfernt und die Berechnung weiter ausgeführt.
Dieses Video-Tutorial hilft Ihnen, die Regeln für die Aufteilung mehrstelliger Zahlen in Spalten zu erlernen. Nachdem Sie den Algorithmus auswendig gelernt und die Reihenfolge der Aufzeichnungsberechnungen befolgt haben, werden Beispiele für Multiplikation und lange Division in der 4. Klasse nicht mehr so kompliziert erscheinen.
Wichtig! Folgen Sie der Aufzeichnung: Die Ziffern sollten in einer Spalte unter die Ziffern geschrieben werden.
Video „Spalteneinteilung“
Wenn das Kind in der 2. Klasse das Einmaleins gelernt hat, Beispiele für die Multiplikation und Division von zweistelligen Zahlen oder dreistellige Zahl Der Mathematikunterricht für die 4. Klasse wird ihm keine Schwierigkeiten bereiten.
razvitiedetei.info
Multiplikations- und Divisionsregeln
Nachdem die Multiplikationstabelle erlernt wurde, werden den Schülern die Regeln der Multiplikation und Division erklärt und beigebracht, diese bei der Berechnung mathematischer Ausdrücke anzuwenden.
Was ist Multiplikation? Es ist eine kluge Ergänzung
Beim Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen in einfachen Ausdrücken haben Kinder keine Schwierigkeiten:
Bei solchen Berechnungen müssen Sie lediglich die Additions- und Subtraktionsregeln sowie das Einmaleins kennen.
Wenn komplexere Übungen beginnen, bestehen die Beispiele aus zwei oder mehr Aktionen, und selbst mit Klammern machen Kinder Fehler bei der Lösung. Und der Hauptgrund ist die falsche Reihenfolge der Aktionen.
Was ist der Unterschied?
Ist es wirklich so wichtig – welche Aktion im Beispiel wird zuerst ausgeführt, welche zweite?
Wenn wir die Schritte der Reihe nach ausführen, erhalten wir:
Wir haben zwei unterschiedliche Antworten erhalten. Dies sollte jedoch nicht der Fall sein, daher kommt es auf die Reihenfolge an, in der die Aktionen ausgeführt werden. Wenn der Ausdruck außerdem Klammern enthält:
Versuchen wir es auf zwei Arten zu lösen:
Die Antworten sind unterschiedlich und um die Reihenfolge der Aktionen festzulegen, gibt es im Ausdruck Klammern – sie zeigen an, welche Aktion zuerst ausgeführt werden muss. Die richtige Lösung wäre also:
Für die Antwort im Beispiel sollte es keine andere Lösung geben.
Was ist wichtiger: Multiplikation oder Addition?
Beim Lösen von Beispielen
Ordnen Sie die Reihenfolge der Aktionen.
Multiplizieren oder dividieren steht an erster Stelle.
Für Ausdrücke, bei denen es sich nicht um Addition oder Subtraktion, sondern um Multiplikation oder Division handelt, gilt die gleiche Regel: Alle Operationen mit Zahlen werden der Reihe nach ausgeführt, beginnend von links:
Ein schwierigerer Fall ist, wenn in einer Aufgabe Multiplikation oder Division mit Addition oder Subtraktion vorkommen. Wie ist dann die Reihenfolge der Berechnung?
Wenn Sie alle Schritte der Reihe nach ausführen, zuerst Division, dann Addition. Als Ergebnis erhalten wir:
Das bedeutet, dass das Beispiel korrekt gelöst wurde. Was ist, wenn darin Klammern stehen?
Was in Klammern steht, hat immer Vorrang. Deshalb stehen sie im Ausdruck. Daher ist die Reihenfolge der Berechnungen in solchen Ausdrücken wie folgt:
Beispiel:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
Was wird die Priorität sein: Multiplikation – oder Division, Subtraktion – oder Addition, wenn beide Aktionen im Problem vorkommen? Nichts, sie sind gleich, in diesem Fall gilt die erste Regel: Aktionen werden nacheinander ausgeführt, beginnend von links.
Algorithmus zur Lösung des Ausdrucks:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Antwort: 28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = 5.
Wichtig! Wenn der Ausdruck Buchstabensymbole enthält, bleibt die Vorgehensweise gleich.
Die runde Null ist so hübsch
Aber es bedeutet nichts.
In den Beispielen erscheint Null nicht als Zahl, sondern kann das Ergebnis einer Zwischenaktion sein, zum Beispiel:
Bei Multiplikation mit 0 gilt die Regel, dass das Ergebnis immer 0 ist. Warum? Es lässt sich einfach erklären: Was ist Multiplikation? Dabei handelt es sich um dieselbe Zahl, die mehrmals zu ihrer eigenen Zahl addiert wird. Ansonsten:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Eine Division durch 0 ist bedeutungslos und eine Division von Null durch eine beliebige Zahl führt immer zu 0:
0: 5 = 0.
Erinnern wir uns an andere Rechenoperationen mit Null:
Mit eins multiplizieren und dividieren
Mathematische Operationen mit Eins unterscheiden sich von Operationen mit Null. Wenn Sie eine Zahl mit 1 multiplizieren oder dividieren, erhalten Sie die ursprüngliche Zahl selbst:
7 × 1 = 7;
7: 1 = 7.
Natürlich, wenn du 7 Freunde hast und jeder dir ein Bonbon schenkt, dann hast du 7 Bonbons, und wenn du sie alleine gegessen hast, das heißt, sie nur mit dir selbst geteilt hast, dann landeten sie alle in deinem Magen.
Berechnungen mit Brüchen, Potenzen und komplexen Funktionen
Das komplexe Fälle Berechnungen, die in der Grundschule nicht behandelt werden.
Einfache Brüche miteinander zu multiplizieren scheint nicht kompliziert; man muss lediglich den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren.
Beispiel:
Nach der Reduktion erhalten wir:\(\) = \(\).
Einfache Brüche zu dividieren ist nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick scheint. Es reicht aus, das Problem einfach umzuwandeln – es mit Multiplikation in ein Beispiel umzuwandeln. Das geht ganz einfach – Sie müssen den Bruch umdrehen, sodass der Nenner zum Zähler und der Zähler zum Nenner wird.
Beispiel:
Wenn in einem Problem eine Zahl in Form einer Potenz dargestellt wird, wird ihr Wert vor allen anderen berechnet (Sie können sich vorstellen, dass sie in Klammern eingeschlossen ist – und die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt).
Beispiel:
Durch die Umwandlung der als Potenz dargestellten Zahl in einen gewöhnlichen Ausdruck mit der Multiplikationsoperation erwies sich die Lösung des Beispiels als einfach: zuerst Multiplikation, dann Subtraktion (weil sie in Klammern steht) und Division.
Da solche Funktionen nur in der Oberstufe studiert werden, werden wir sie nicht berücksichtigen; es genügt zu sagen, dass sie, wie im Fall von Potenzen, bei der Berechnung Vorrang haben: Zuerst wird der Wert des gegebenen Ausdrucks ermittelt, dann der Die übliche Reihenfolge bei Berechnungen ist Klammern, Multiplikation mit Division, dann in der Reihenfolge von links nach rechts.
Hauptregeln zum Thema
Apropos Haupt- und Nicht-Hauptthema mathematische Operationen Es muss gesagt werden, dass die vier Grundoperationen auf zwei reduziert werden können: Addition und Multiplikation. Erscheinen Schulkindern das Subtrahieren und Dividieren schwer, merken sie sich schneller die Regeln der Addition und Multiplikation. Tatsächlich kann der Ausdruck 5 – 2 anders geschrieben werden:
Bei der Multiplikation gelten ähnliche Regeln wie bei der Addition: Eine Umstellung der Faktoren verändert das Produkt nicht:
Beim Lösen komplexer Probleme ist die erste Aktion die in Klammern hervorgehobene, dann Division oder Multiplikation, dann alle anderen Aktionen der Reihe nach.
Wenn Sie Beispiele ohne Klammern lösen müssen, wird zuerst die Multiplikation oder Division durchgeführt, dann die Subtraktion oder Addition.
Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren
Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen gelten mehrere Regeln. In dieser Lektion werden wir uns jeden einzelnen davon ansehen.
Achten Sie beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen auf die Vorzeichen der Zahlen. Es wird von ihnen abhängen, welche Regel anzuwenden ist. Sie müssen auch mehrere Gesetze der Multiplikation und Division lernen. Durch das Studium dieser Regeln können Sie in Zukunft einige ärgerliche Fehler vermeiden.
Multiplikationsgesetze
Wir haben uns einige Gesetze der Mathematik im Unterricht „Gesetze der Mathematik“ angeschaut. Aber wir haben nicht alle Gesetze berücksichtigt. Es gibt viele Gesetze in der Mathematik, und es wäre klüger, sie nach Bedarf der Reihe nach zu studieren.
Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Multiplikation besteht. Die Multiplikation besteht aus drei Parametern: Multiplikand, Multiplikator Und funktioniert. Im Ausdruck 3 × 2 = 6 ist beispielsweise die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt.
Multiplikand zeigt, was wir genau steigern. In unserem Beispiel erhöhen wir die Zahl 3.
Faktor zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. In unserem Beispiel ist der Multiplikator die Zahl 2. Dieser Multiplikator zeigt an, wie oft der Multiplikand 3 erhöht werden muss. Das heißt, während der Multiplikationsoperation wird die Zahl 3 verdoppelt.
Arbeiten Dies ist das tatsächliche Ergebnis der Multiplikationsoperation. In unserem Beispiel ist das Produkt die Zahl 6. Dieses Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von 3 mit 2.
Der Ausdruck 3 × 2 kann auch als Summe zweier Tripel verstanden werden. Multiplikator 2 Zoll in diesem Fall zeigt an, wie oft Sie die Nummer 3 nehmen müssen:
Nimmt man also zweimal hintereinander die Zahl 3, erhält man die Zahl 6.
Kommutatives Gesetz der Multiplikation
Der Multiplikand und der Multiplikator heißen Eins allgemein gesagt – Faktoren. Das kommutative Multiplikationsgesetz lautet wie folgt:
Durch eine Neuanordnung der Faktoren ändert sich das Produkt nicht.
Lassen Sie uns überprüfen, ob dies wahr ist. Multiplizieren wir zum Beispiel 3 mit 5. Hier sind 3 und 5 Faktoren.
Lassen Sie uns nun die Faktoren vertauschen:
In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 15, was bedeutet, dass wir zwischen den Ausdrücken 3 × 5 und 5 × 3 ein Gleichheitszeichen setzen können, da sie den gleichen Wert haben:
Und mit Hilfe von Variablen lässt sich das kommutative Gesetz der Multiplikation wie folgt schreiben:
Wo A Und B- Faktoren
Kombinationsgesetz der Multiplikation
Dieses Gesetz besagt, dass, wenn ein Ausdruck aus mehreren Faktoren besteht, das Produkt nicht von der Reihenfolge der Aktionen abhängt.
Beispielsweise besteht der Ausdruck 3 × 2 × 4 aus mehreren Faktoren. Um es zu berechnen, können Sie 3 und 2 multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 4 multiplizieren. Es sieht so aus:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Dies war die erste Lösung. Die zweite Möglichkeit besteht darin, 2 und 4 zu multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 3 zu multiplizieren. Das sieht dann so aus:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 24. Daher können wir zwischen den Ausdrücken (3 × 2) × 4 und 3 × (2 × 4) ein Gleichheitszeichen setzen, da sie den gleichen Wert haben:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
und mit Hilfe von Variablen lässt sich das assoziative Multiplikationsgesetz wie folgt schreiben:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
wo stattdessen a, b, C Kann eine beliebige Zahl sein.
Verteilungsgesetz der Multiplikation
Das Verteilungsgesetz der Multiplikation ermöglicht es Ihnen, eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren. Dazu wird jeder Term dieser Summe mit dieser Zahl multipliziert und anschließend die resultierenden Ergebnisse addiert.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 ermitteln
Der Ausdruck in Klammern ist die Summe. Diese Summe muss mit der Zahl 5 multipliziert werden. Dazu muss jedes Glied dieser Summe, also die Zahlen 2 und 3, mit der Zahl 5 multipliziert werden, dann müssen die resultierenden Ergebnisse addiert werden:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 25 beträgt.
Unter Verwendung von Variablen wird das Verteilungsgesetz der Multiplikation wie folgt geschrieben:
(a + b) × c = a × c + b × c
wo stattdessen a, b, c Kann eine beliebige Zahl sein.
Gesetz der Multiplikation mit Null
Dieses Gesetz besagt, dass das Ergebnis Null ist, wenn in einer Multiplikation mindestens eine Null vorkommt.
Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren vorliegt gleich Null.
Beispielsweise ist der Ausdruck 0 × 2 gleich Null
In diesem Fall ist die Zahl 2 ein Multiplikator und zeigt an, wie oft der Multiplikand erhöht werden muss. Das heißt, wie oft Null erhöht werden soll. Wörtlich lautet dieser Ausdruck „doppelte Null“. Aber wie kann man eine Null verdoppeln, wenn sie Null ist?
Mit anderen Worten: Wenn „nichts“ verdoppelt oder sogar millionenfach wird, bleibt es immer noch „nichts“.
Und wenn man im Ausdruck 0 × 2 die Faktoren vertauscht, erhält man wieder Null. Das wissen wir aus dem vorherigen Verschiebungsgesetz:
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes der Multiplikation mit Null:
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
In den letzten beiden Beispielen gibt es mehrere Faktoren. Nachdem wir darin eine Null gesehen haben, setzen wir sofort eine Null in die Antwort und wenden dabei das Gesetz der Multiplikation mit Null an.
Wir haben uns die Grundgesetze der Multiplikation angesehen. Als nächstes schauen wir uns die Multiplikation ganzer Zahlen an.
Ganzzahlen multiplizieren
Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −5 × 2
Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit verschiedene Zeichen. −5 ist eine negative Zahl und 2 ist eine positive Zahl. Für solche Fälle sollte die folgende Regel angewendet werden:
Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der resultierenden Antwort ein Minuszeichen setzen.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Normalerweise kürzer geschrieben: −5 × 2 = −10
Jede Multiplikation kann als Summe von Zahlen dargestellt werden. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 2 × 3. Er entspricht 6.
Der Multiplikator in diesem Ausdruck ist die Zahl 3. Dieser Multiplikator zeigt an, wie oft Sie die beiden erhöhen müssen. Der Ausdruck 2 × 3 kann aber auch als Summe dreier Zweier verstanden werden:
Das Gleiche passiert mit dem Ausdruck −5 × 2. Dieser Ausdruck kann als Summe dargestellt werden
Und der Ausdruck (−5) + (−5) ist gleich −10, und das wissen wir aus der letzten Lektion. Dies ist die Addition negativer Zahlen. Denken Sie daran, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen ist eine negative Zahl.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 12 × (−5)
Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−5) ist negativ. Auch hier wenden wir die vorherige Regel an. Wir multiplizieren die Zahlenmodule und setzen vor der resultierenden Antwort ein Minus:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Normalerweise kürzer geschrieben: 12 × (−5) = −60
Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2
Dieser Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Multiplizieren Sie zunächst 10 und (−4) und dann die resultierende Zahl mit 2. Wenden Sie dabei die zuvor erlernten Regeln an:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Zweite Aktion:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Der Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2 beträgt also −80
Normalerweise kürzer geschrieben: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80
Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−4) × (−2)
Dies ist die Multiplikation negativer Zahlen. In solchen Fällen ist folgende Regel anzuwenden:
Um negative Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der resultierenden Antwort ein Pluszeichen setzen.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Traditionell schreiben wir das Plus nicht auf, also schreiben wir einfach die Antwort 8 auf.
Normalerweise kürzer geschrieben (−4) × (−2) = 8
Es stellt sich die Frage: Warum ergibt die Multiplikation negativer Zahlen plötzlich eine positive Zahl? Versuchen wir zu beweisen, dass (−4) × (−2) gleich 8 ist und nichts anderes.
Zuerst schreiben wir den folgenden Ausdruck:
Setzen wir es in Klammern:
Fügen wir zu diesem Ausdruck unseren Ausdruck (−4) × (−2) hinzu. Setzen wir es auch in Klammern:
Setzen wir das alles mit Null gleich:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Jetzt beginnt der Spaß. Der Punkt ist, dass wir die linke Seite dieses Ausdrucks auswerten müssen und als Ergebnis 0 erhalten.
Das erste Produkt (4 × (−2)) ist also −8. Schreiben wir in unserem Ausdruck die Zahl −8 anstelle des Produkts (4 × (−2))
Anstelle der zweiten Arbeit werden wir nun vorübergehend Auslassungspunkte einfügen
Nun schauen wir uns den Ausdruck −8 + […] = 0 genau an. Welche Zahl sollte anstelle der Auslassungspunkte stehen, damit die Gleichheit gewahrt bleibt? Die Antwort liegt auf der Hand. Anstelle der Auslassungspunkte sollte eine positive Zahl 8 stehen und sonst nichts. Nur so kann die Gleichberechtigung gewahrt bleiben. Immerhin ist −8 + 8 gleich 0.
Wir kehren zum Ausdruck −8 + ((−4) × (−2)) = 0 zurück und schreiben anstelle des Produkts ((−4) × (−2)) die Zahl 8
Beispiel 5. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4)
Wenden wir das Verteilungsgesetz der Multiplikation an, d. h. wir multiplizieren die Zahl −2 mit jedem Term der Summe (6 + 4).
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Lassen Sie uns nun die Ausdrücke in Klammern auswerten. Dann addieren wir die erhaltenen Ergebnisse. Dabei wenden wir die zuvor erlernten Regeln an. Der Eintrag mit Modulen kann übersprungen werden, um den Ausdruck nicht zu überladen
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Dritte Aktion:
Der Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4) beträgt also −20
Normalerweise kürzer geschrieben: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Beispiel 6. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4)
Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Multiplizieren Sie zunächst die Zahlen −2 und −3 und multiplizieren Sie das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl −4. Lassen Sie uns den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen
Der Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4) ist also gleich −24
Normalerweise kürzer geschrieben: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Teilungsgesetze
Bevor Sie ganze Zahlen dividieren, müssen Sie die beiden Divisionsgesetze kennen.
Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Division besteht. Die Division besteht aus drei Parametern: teilbar, Divisor Und Privat. Zum Beispiel im Ausdruck 8: 2 = 4, 8 ist der Dividend, 2 ist der Divisor, 4 ist der Quotient.
Dividende zeigt, was genau wir teilen. In unserem Beispiel dividieren wir die Zahl 8.
Teiler zeigt an, in wie viele Teile die Dividende aufgeteilt werden muss. In unserem Beispiel ist der Teiler die Zahl 2. Dieser Teiler zeigt an, in wie viele Teile der Dividend 8 geteilt werden muss. Das heißt, während der Divisionsoperation wird die Zahl 8 in zwei Teile geteilt.
Privat- Dies ist das tatsächliche Ergebnis der Divisionsoperation. In unserem Beispiel ist der Quotient 4. Dieser Quotient ist das Ergebnis der Division von 8 durch 2.
Sie können nicht durch Null dividieren
Jede Zahl kann nicht durch Null geteilt werden. Tatsache ist, dass die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist. Wenn zum Beispiel 2 × 6 = 12, dann 12: 6 = 2
Es ist ersichtlich, dass der zweite Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge geschrieben ist.
Jetzt machen wir dasselbe für den Ausdruck 5 × 0. Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass der Ausdruck 5 × 0 gleich Null ist
Wenn wir diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge schreiben, erhalten wir:
Die Antwort, die sofort ins Auge fällt, ist 5, die man erhält, indem man Null durch Null dividiert. Das ist unmöglich und dumm.
In umgekehrter Reihenfolge können Sie einen anderen ähnlichen Ausdruck schreiben, zum Beispiel 2 × 0 = 0
Im ersten Fall erhalten wir durch Division von Null durch Null 5 und im zweiten Fall 2. Das heißt, jedes Mal, wenn wir Null durch Null dividieren, erhalten wir unterschiedliche Bedeutungen, und das ist inakzeptabel.
Die zweite Erklärung ist, dass die Division des Dividenden durch den Divisor bedeutet, eine Zahl zu finden, die, multipliziert mit dem Divisor, den Dividenden ergibt.
Der Ausdruck 8:2 bedeutet beispielsweise, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, 8 ergibt
Anstelle der Auslassungspunkte sollte hier eine Zahl stehen, die, multipliziert mit 2, die Antwort 8 ergibt. Um diese Zahl zu finden, schreiben Sie einfach diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge:
Stellen Sie sich nun vor, Sie müssen den Wert des Ausdrucks 5: 0 ermitteln. In diesem Fall ist 5 der Dividend, 0 der Divisor. 5 durch 0 zu dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, deren Multiplikation mit 0 5 ergibt
Anstelle einer Ellipse sollte hier eine Zahl stehen, deren Multiplikation mit 0 die Antwort 5 ergibt. Aber es gibt keine Zahl, die bei Multiplikation mit Null 5 ergibt.
Der Ausdruck […] × 0 = 5 widerspricht dem Gesetz der Multiplikation mit Null, das besagt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Das bedeutet, dass es keinen Sinn macht, den Ausdruck […] × 0 = 5 in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben und 5 durch 0 zu dividieren. Deshalb heißt es, man könne nicht durch Null dividieren.
Unter Verwendung von Variablen wird dieses Gesetz wie folgt geschrieben:
Bei B ≠ 0
Nummer A kann durch eine Zahl geteilt werden B, unter der Vorraussetzung, dass B ungleich Null.
Eigentum von Privat
Dieses Gesetz besagt, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividende und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.
Betrachten Sie beispielsweise Ausdruck 12: 4. Der Wert dieses Ausdrucks ist 3
Versuchen wir, Dividend und Divisor mit derselben Zahl zu multiplizieren, zum Beispiel mit der Zahl 4. Glaubt man der Eigenschaft des Quotienten, müssten wir als Antwort wieder die Zahl 3 erhalten
(12 × 4) : (4 × 4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3
Versuchen wir nun, den Dividenden und den Divisor nicht zu multiplizieren, sondern durch die Zahl 4 zu dividieren
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
Wir haben Antwort 3 erhalten.
Wir sehen, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.
Ganzzahlige Division
Beispiel 1. Finden Sie den Wert von Ausdruck 12: (−2)
Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−2) ist eine negative Zahl. In solchen Fällen benötigen Sie
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Normalerweise kürzer als 12 geschrieben: (−2) = −6
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −24: 6
Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. −24 ist eine negative Zahl, 6 ist positiv. In solchen Fällen benötigen Sie erneut Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie vor der resultierenden Antwort ein Minuszeichen.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Wird normalerweise kürzer als −24 geschrieben: 6 = −4
Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−45): (−5)
Dies ist die Division negativer Zahlen. In solchen Fällen benötigen Sie Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie vor der resultierenden Antwort ein Pluszeichen.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Normalerweise kürzer geschrieben (−45): (−5) = 9
Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−36): (−4): (−3)
Wenn der Ausdruck nur Multiplikation oder Division enthält, müssen entsprechend der Reihenfolge der Operationen alle Aktionen von links nach rechts in der Reihenfolge ausgeführt werden, in der sie erscheinen.
Teilen Sie (−36) durch (−4) und teilen Sie die resultierende Zahl durch (−3)
Erste Aktion:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Wird normalerweise kürzer geschrieben (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
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Tatsächlich verfolgte die Geschichte der Division durch Null ihre Erfinder (a). Aber Inder sind Philosophen, die an abstrakte Probleme gewöhnt sind. Was bedeutet es, durch nichts zu dividieren? Für die damaligen Europäer gab es eine solche Frage überhaupt nicht, da sie weder die Null noch die negativen Zahlen (die auf der Skala links von der Null stehen) kannten.
In Indien war es kein Problem, eine größere Zahl von einer kleineren zu subtrahieren und eine negative Zahl zu erhalten. Denn was bedeutet 3-5=-2 im Alltag? Das bedeutet, dass jemand jemandem 2 schuldet. Negative Zahlen wurden als Schulden bezeichnet.
Lassen Sie uns nun auf die gleiche einfache Weise mit der Frage der Division durch Null umgehen. Bereits im Jahr 598 n. Chr. (denken Sie nur daran, wie lange es her ist, vor mehr als 1400 Jahren!) wurde in Indien der Mathematiker Brahmagupta geboren, der sich ebenfalls über die Division durch Null Gedanken machte.
Er schlug vor, dass wir, wenn wir eine Zitrone nehmen und anfangen, sie in Stücke zu teilen, früher oder später feststellen werden, dass die Scheiben sehr klein sein werden. In unserer Vorstellung können wir den Punkt erreichen, an dem die Slices Null werden. Die Frage ist also: Wenn Sie eine Zitrone nicht in 2, 4 oder 10 Teile, sondern in unendlich viele Teile teilen, wie groß werden die Scheiben sein?
Sie erhalten unendlich viele „Null-Slices“. Alles ist ganz einfach, die Zitrone ganz fein schneiden, wir erhalten eine Pfütze mit unendlich vielen Teilen.
Aber wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, stellt sich heraus, dass es irgendwie unlogisch ist
a*0=0? Was wäre, wenn b*0=0? Das bedeutet: a*0=b*0. Und von hier: a=b. Das heißt, jede Zahl ist gleich jeder Zahl. Die erste Unrichtigkeit der Division durch Null, machen wir weiter. In der Mathematik gilt die Division als die Umkehrung der Multiplikation.
Das heißt, wenn wir 4 durch 2 dividieren, Wir müssen eine Zahl finden, die multipliziert mit 2 4 ergibt. Teilen Sie 4 durch Null – Sie müssen eine Zahl finden, die, wenn sie mit Null multipliziert wird, 4 ergibt. Das heißt, x*0=4? Aber x*0=0! Wieder Pech gehabt. Also fragen wir: „Wie viele Nullen müssen Sie nehmen, um eine 4 zu ergeben?“
Unendlichkeit? Eine unendliche Anzahl von Nullen ergibt immer noch Null.
Und die Division von 0 durch 0 führt im Allgemeinen zu Unsicherheit, da 0 * x = 0, wobei x im Grunde alles ist. Das heißt, es gibt unzählige Lösungen.
Unlogik und Abstraktheit Operationen mit Null sind im engen Rahmen der Algebra nicht erlaubt; genauer gesagt handelt es sich um eine undefinierte Operation. Es erfordert ein Gerät ernsthafter - höhere Mathematik. In gewisser Weise kann man also nicht durch Null dividieren, aber wenn man es wirklich will, kann man durch Null dividieren, aber man muss darauf vorbereitet sein, Dinge wie die Dirac-Delta-Funktion und andere schwer verständliche Dinge zu verstehen. Teilen Sie es für Ihre Gesundheit.
Durch Null teilen in der Mathematik Division, bei der der Divisor Null ist. Eine solche Division kann formal als ⁄ 0 geschrieben werden, wobei die Dividende steht.
In der gewöhnlichen Arithmetik (mit reellen Zahlen) ist dieser Ausdruck nicht sinnvoll, da:
- für ≠ 0 gibt es keine Zahl, die multipliziert mit 0 ergibt, daher kann keine Zahl als Quotient ⁄ 0 genommen werden;
- Bei = 0 ist die Division durch Null ebenfalls undefiniert, da jede Zahl, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 0 ergibt und als Quotient 0 ⁄ 0 angenommen werden kann.
Historisch gesehen findet sich einer der ersten Hinweise auf die mathematische Unmöglichkeit, den Wert ⁄ 0 zuzuweisen, in George Berkeleys Kritik der Infinitesimalrechnung.
Logische Fehler
Denn wenn wir eine beliebige Zahl mit Null multiplizieren, erhalten wir als Ergebnis immer Null, wenn wir beide Teile des Ausdrucks × 0 = × 0 dividieren, was unabhängig vom Wert von und gilt, erhalten wir durch 0 den Ausdruck =, was ist bei willkürlich angegebenen Variablen falsch. Da Null nicht explizit, sondern in Form eines recht komplexen mathematischen Ausdrucks angegeben werden kann, beispielsweise in Form der Differenz zweier durch algebraische Transformationen zueinander reduzierter Werte, kann eine solche Division ein eher nicht offensichtlicher Fehler sein. Die unmerkliche Einführung einer solchen Einteilung in den Beweisprozess, um die Identität offensichtlich unterschiedlicher Größen zu zeigen und damit jede absurde Aussage zu beweisen, ist eine der Spielarten des mathematischen Sophismus.
In der Informatik
Beim Programmieren kann der Versuch einer Division durch Null je nach Programmiersprache, Datentyp und Wert des Dividenden unterschiedliche Konsequenzen haben. Die Folgen der Division durch Null in der Ganzzahl- und der reellen Arithmetik sind grundsätzlich unterschiedlich:
- Versuchen ganze Zahl Eine Division durch Null ist immer ein kritischer Fehler, der die weitere Ausführung des Programms unmöglich macht. Es löst entweder eine Ausnahme aus (die das Programm selbst behandeln kann und so einen Absturz vermeidet) oder führt dazu, dass das Programm sofort stoppt und eine nicht korrigierbare Fehlermeldung und möglicherweise den Inhalt des Aufrufstapels anzeigt. In einigen Programmiersprachen wie Go wird die Ganzzahldivision durch eine Nullkonstante als Syntaxfehler angesehen und führt zu einer abnormalen Kompilierung des Programms.
- IN real Arithmetische Konsequenzen können in verschiedenen Sprachen unterschiedlich sein:
- eine Ausnahme auslösen oder das Programm stoppen, wie bei der Ganzzahldivision;
- Erhalten eines speziellen nicht numerischen Werts als Ergebnis einer Operation. In diesem Fall werden die Berechnungen nicht unterbrochen und ihr Ergebnis kann anschließend vom Programm selbst oder vom Benutzer als aussagekräftiger Wert oder als Beweis für fehlerhafte Berechnungen interpretiert werden. Ein weit verbreitetes Prinzip ist, dass bei einer Division wie ⁄ 0, wobei ≠ 0 eine Gleitkommazahl ist, das Ergebnis gleich positiv oder negativ (je nach Vorzeichen des Dividenden) Unendlich ist – oder, und wenn = 0, ist das Ergebnis a Sonderwert NaN (Abk. . aus dem Englischen „not a number“). Dieser Ansatz wird im IEEE 754-Standard übernommen, der von vielen unterstützt wird moderne Sprachen Programmierung.
Eine versehentliche Division durch Null in einem Computerprogramm kann manchmal teure oder gefährliche Fehlfunktionen der vom Programm gesteuerten Hardware verursachen. Zum Beispiel am 21. September 1997, als Ergebnis einer Division durch Null in einem Computer Kontrollsystem Kreuzer USS Yorktown (CG-48) Marine In den USA kam es zu einer Abschaltung aller elektronischen Geräte im System, was dazu führte Steckdose Das Schiff funktionierte nicht mehr.
siehe auch
Anmerkungen
Funktion = 1 ⁄ . Wenn es von rechts gegen Null geht, tendiert es gegen Unendlich; wenn von links nach Null tendiert, tendiert es nach minus Unendlich
Wenn Sie mit einem normalen Taschenrechner eine beliebige Zahl durch Null dividieren, erhalten Sie den Buchstaben E oder das Wort Error, also „Fehler“.
In einem ähnlichen Fall schreibt der Rechnerrechner (in Windows XP): „Division durch Null ist verboten.“
Alles entspricht der aus der Schule bekannten Regel, dass man nicht durch Null dividieren kann.
Lassen Sie uns herausfinden, warum.
Division ist die zur Multiplikation umgekehrte mathematische Operation. Die Division wird durch Multiplikation bestimmt.
Teilen Sie eine Zahl A(teilbar, zum Beispiel 8) durch Zahl B(Teiler, zum Beispiel die Zahl 2) – bedeutet, eine solche Zahl zu finden X(Quotient), wenn mit einem Divisor multipliziert B es stellt sich die Dividende heraus A(4 2 = 8), das heißt A Teilen durch B bedeutet, die Gleichung x · b = a zu lösen.
Die Gleichung a: b = x entspricht der Gleichung x · b = a.
Wir ersetzen die Division durch Multiplikation: Statt 8:2 = x schreiben wir x · 2 = 8.
8: 2 = 4 entspricht 4 2 = 8
18: 3 = 6 entspricht 6 3 = 18
20: 2 = 10 entspricht 10 2 = 20
Das Ergebnis einer Division kann immer durch Multiplikation überprüft werden. Das Ergebnis der Multiplikation eines Divisors mit einem Quotienten muss der Dividend sein.
Versuchen wir auf die gleiche Weise, durch Null zu dividieren.
Zum Beispiel 6: 0 = ... Wir müssen eine Zahl finden, die bei Multiplikation mit 0 6 ergibt. Aber wir wissen, dass wir bei Multiplikation mit Null immer Null erhalten. Es gibt keine Zahl, die, wenn man sie mit Null multipliziert, etwas anderes als Null ergibt.
Wenn sie sagen, dass eine Division durch Null unmöglich oder verboten sei, meinen sie, dass es keine Zahl gibt, die dem Ergebnis einer solchen Division entspricht (Division durch Null ist möglich, Division jedoch nicht :)).
Warum sagt man in der Schule, dass man nicht durch Null teilen kann?
Deshalb in Definition Die Operation der Division von a durch b unterstreicht sofort, dass b ≠ 0.
Wenn Ihnen alles, was oben geschrieben wurde, zu kompliziert erschien, dann probieren Sie es einfach aus: 8 durch 2 dividieren bedeutet herauszufinden, wie viele Zweier Sie nehmen müssen, um 8 zu erhalten (Antwort: 4). 18 durch 3 zu dividieren bedeutet herauszufinden, wie viele Dreien man nehmen muss, um 18 zu erhalten (Antwort: 6).
6 durch Null zu dividieren bedeutet, herauszufinden, wie viele Nullen man nehmen muss, um 6 zu erhalten. Egal wie viele Nullen man nimmt, man erhält immer noch eine Null, aber niemals 6, d. h. die Division durch Null ist undefiniert.
Ein interessantes Ergebnis erhält man, wenn man auf einem Android-Rechner versucht, eine Zahl durch Null zu dividieren. Auf dem Bildschirm wird ∞ (unendlich) angezeigt (oder - ∞ bei Division durch eine negative Zahl). Dieses Ergebnis ist falsch, da die Zahl ∞ nicht existiert. Anscheinend haben Programmierer völlig unterschiedliche Operationen verwechselt – Zahlen dividieren und das Limit ermitteln Zahlenfolge n/x, wobei x → 0. Bei der Division von Null durch Null wird NaN (Not a Number) geschrieben.
„Man kann nicht durch Null dividieren!“ - Die meisten Schulkinder lernen diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „du kannst nicht“ ist und was passiert, wenn man als Antwort darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum das nicht möglich ist.
Die Sache ist, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als gültig an: Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der Definition des Zahlbegriffs selbst enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.
Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was heißt 5 - 3 ? Der Schüler wird dies einfach beantworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Doch Mathematiker betrachten dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher der Eintrag 5 - 3 bedeutet eine Zahl, die, wenn sie zu einer Zahl addiert wird 3 werde eine Nummer geben 5 . Also 5 - 3 ist einfach eine Kurzversion der Gleichung: x + 3 = 5. In dieser Gleichung gibt es keine Subtraktion.
Durch Null teilen
Es gibt nur eine Aufgabe – eine passende Nummer zu finden.
Dasselbe gilt auch für Multiplikation und Division. Aufzeichnen 8: 4 kann als Ergebnis der Aufteilung von acht Objekten in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.
Hier wird deutlich, warum eine Division durch Null unmöglich (bzw. unmöglich) ist. Aufzeichnen 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die multipliziert wird mit 0 werde geben 5 . Aber das wissen wir, wenn man es mit multipliziert 0 es klappt immer 0 . Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, streng genommen Teil ihrer Definition.
Eine solche Zahl, die multipliziert mit 0 wird etwas anderes als Null ergeben, es existiert einfach nicht. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, das kommt vor; nicht für jedes Problem gibt es eine Lösung.) Damit sind die Aufzeichnungen gemeint 5: 0 entspricht keiner bestimmten Zahl und bedeutet einfach nichts und hat daher keine Bedeutung. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null dividieren kann.
Die aufmerksamsten Leser an dieser Stelle werden sich sicherlich fragen: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen?
Tatsächlich, die Gleichung 0 x = 0 erfolgreich gelöst. Zum Beispiel können Sie nehmen x = 0, und dann bekommen wir 0 0 = 0. Es stellt sich heraus 0: 0=0 ? Aber lasst uns nichts überstürzen. Versuchen wir es zu nehmen x = 1. Wir bekommen 0 1 = 0. Rechts? Bedeutet, 0: 0 = 1 ? Aber Sie können jede beliebige Zahl nehmen und erhalten 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 usw.
Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, eine davon auszuwählen. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Nummer der Eintrag entspricht 0: 0 . Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass auch dieser Eintrag keinen Sinn ergibt. Es stellt sich heraus, dass nicht einmal Null durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen man aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Lösungen der Gleichung den Vorzug geben kann 0 x = 0; In solchen Fällen sprechen Mathematiker von „sich entfaltender Unsicherheit“, in der Arithmetik kommen solche Fälle jedoch nicht vor.)
Dies ist die Besonderheit der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die damit verbundene Zahl Null.
Nun, die Akribischsten, die bis hierhin gelesen haben, fragen sich vielleicht: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewissem Sinne beginnt hier die echte Mathematik. Sie können diese Frage nur beantworten, indem Sie sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen auf ihnen vertraut machen. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es in der Schule nicht gelehrt. Aber in den Mathematikvorlesungen an der Universität wird Ihnen das zuallererst beigebracht.
Die Divisionsfunktion ist nicht für einen Bereich definiert, in dem der Divisor Null ist. Sie können teilen, aber das Ergebnis ist nicht sicher
Sie können nicht durch Null dividieren. Mathematik der 2. Klasse der Sekundarstufe.
Wenn ich mich richtig erinnere, kann Null als unendlich kleiner Wert dargestellt werden, es wird also Unendlichkeit geben. Und das Schulwort „Null – nichts“ ist nur eine Vereinfachung; es gibt so viele davon in der Schulmathematik. Aber ohne sie geht es nicht, alles wird zu seiner Zeit passieren.
Melden Sie sich an, um eine Antwort zu schreiben
Durch Null teilen
Quotient aus Durch Null teilen es gibt keine andere Zahl als Null.
Die Begründung lautet wie folgt: Denn in diesem Fall kann keine Zahl der Definition eines Quotienten genügen.
Schreiben wir zum Beispiel:
Welche Zahl Sie auch immer versuchen (z. B. 2, 3, 7), sie ist nicht geeignet, weil:
\[ 2 0 = 0 \]
\[ 3 0 = 0 \]
\[ 7 0 = 0 \]
Was passiert, wenn Sie durch 0 dividieren?
usw., aber Sie müssen 2,3,7 im Produkt erhalten.
Wir können sagen, dass das Problem der Division einer Zahl ungleich Null durch Null keine Lösung hat. Allerdings kann eine Zahl ungleich Null beliebig durch eine Zahl dividiert werden, die so nahe bei Null liegt, und je näher der Divisor bei Null liegt, desto größer ist der Quotient. Wenn wir also 7 durch teilen
\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]
dann erhalten wir die Quotienten 70, 700, 7000, 70.000 usw., die unbegrenzt wachsen.
Daher sagen sie oft, dass der Quotient von 7 dividiert durch 0 „unendlich groß“ oder „gleich unendlich“ sei, und schreiben
\[ 7: 0 = \infin \]
Die Bedeutung dieses Ausdrucks besteht darin, dass der Quotient unbegrenzt zunimmt, wenn der Divisor gegen Null geht und der Dividend gleich 7 bleibt (oder sich 7 nähert).
