So lösen Sie Logarithmen mit gleichen Basen. Eigenschaften von Logarithmen und Beispiele ihrer Lösungen. Der umfassende Leitfaden (2019)

Logarithmus einer Zahl N bezogen auf A Exponent genannt X , auf die Sie aufbauen müssen A um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt Folgendes
, d.h.
- Diese Gleichheit ist grundlegend logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden dezimale Logarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Logarithmen zur Basis e werden als natürlich bezeichnet und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus von Eins ist für jede Basis gleich Null.

Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen von Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird als Übergangsmodul vom Logarithmus zur Basis bezeichnet A zu Logarithmen an der Basis B .

Mithilfe der Eigenschaften 2–5 ist es häufig möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen an Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen eines Logarithmus werden Logarithmen genannt. Zum Logarithmus inverse Transformationen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Grenze der Funktion
ist eine endliche Zahl A if, as xx 0 für jeden vorgegeben
, es gibt so eine Nummer
das sobald
, Das
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich von ihr um einen verschwindend kleinen Betrag:
, wo- b.m.v., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j tendiert gegen Null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Der Grenzwert eines konstanten Wertes ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Produkts einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners nicht Null ist.

Wunderbare Grenzen

,
, Wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Grenzwerte so einfach berechnen. In den meisten Fällen kommt es bei der Berechnung des Grenzwerts darauf an, eine Unsicherheit der folgenden Art aufzudecken: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit habe etwas Zuwachs bekommen
. Dann erhält die Funktion ein Inkrement
.

Argumentwert entspricht dem Funktionswert
.

Argumentwert
entspricht dem Funktionswert.

Somit, .

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses bei
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition 3 Ableitung einer gegebenen Funktion
durch Argumentation heißt Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null tendiert.

Ableitung einer Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Mechanische Bedeutung von Derivat.

Betrachten wir die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann mal lassen beweglicher Punkt
war in einiger Entfernung von der Ausgangsposition aus
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes
. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dessen die Grenze dieses Verhältnisses ermitteln
.

Daher die Definition momentane Geschwindigkeit Bei der Bewegung eines materiellen Punktes kommt es darauf an, die Ableitung des Weges nach der Zeit zu finden.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Lassen Sie uns eine grafisch definierte Funktion haben
.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn
, dann zeigen
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung für einen gegebenen Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem bestimmten Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Inverse trigonometrische Funktion

2.4. Differenzierungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Die Funktion sei gegeben
so dass es in der Form dargestellt werden kann

Und
, wo die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

3. Differentialfunktion.

Lass es sein
, differenzierbar auf einem bestimmten Intervall
lassen Sie es gehen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann können wir schreiben

(1),

Wo - eine unendlich kleine Größe,

seit wann

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Größe
wird als Differential der Funktion bezeichnet
und ist bezeichnet

.

3.1. Geometrischer Wert des Differentials.

Die Funktion sei gegeben
.

Abb.2. Geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an einem bestimmten Punkt.

3.2. Ableitungen und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, Dann
heißt die erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung der n-ten Ordnung der Funktion
heißt die Ableitung (n-1)-ter Ordnung und wird geschrieben:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung genannt.

.

.

3.3 Lösung biologischer Probleme durch Differenzierung.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen einem Gesetz unterliegt
, Wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), T – Zeit (Tage).

b) Wird die Population der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antwort. Die Größe der Kolonie wird zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu überwachen. Durch T Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration anhand des Verhältnisses bestimmt

.

Wann wird der See eine minimale Bakterienkonzentration aufweisen und kann man darin schwimmen?

Lösung: Eine Funktion erreicht ihr Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns das Maximum oder Minimum in 6 Tagen bestimmen. Nehmen wir dazu die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Im Verhältnis zu

Es kann die Aufgabe gestellt werden, aus den beiden anderen Zahlen eine der drei Zahlen zu finden. Wenn a und dann N gegeben sind, werden sie durch Potenzierung gefunden. Wenn N und dann a durch Ziehen der Wurzel aus dem Grad x (oder Potenzieren) gegeben sind. Betrachten wir nun den Fall, dass wir bei gegebenem a und N x finden müssen.

Sei die Zahl N positiv: die Zahl a sei positiv und ungleich eins: .

Definition. Der Logarithmus der Zahl N zur Basis a ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um die Zahl N zu erhalten; Der Logarithmus wird mit bezeichnet

Somit ergibt sich in Gleichung (26.1) der Exponent als Logarithmus von N zur Basis a. Beiträge

haben die gleiche Bedeutung. Gleichheit (26.1) wird manchmal als Hauptidentität der Logarithmentheorie bezeichnet; in Wirklichkeit drückt es die Definition des Begriffs Logarithmus aus. Von diese Definition Die Basis des Logarithmus a ist immer positiv und von Eins verschieden; die logarithmische Zahl N ist positiv. Negative Zahlen und Null haben keinen Logarithmus. Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl mit einer gegebenen Basis einen wohldefinierten Logarithmus hat. Deshalb bedeutet Gleichheit. Beachten Sie, dass die Bedingung hier wesentlich ist; andernfalls wäre die Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt, da die Gleichheit für alle Werte von x und y gilt.

Beispiel 1. Finden

Lösung. Um eine Zahl zu erhalten, müssen Sie die Basis 2 potenzieren.

Beim Lösen solcher Beispiele können Sie sich in folgender Form Notizen machen:

Beispiel 2. Finden.

Lösung. Wir haben

In den Beispielen 1 und 2 haben wir den gewünschten Logarithmus leicht gefunden, indem wir die Logarithmuszahl als Potenz der Basis mit dargestellt haben rationaler Indikator. Im allgemeinen Fall, zum Beispiel für usw., ist dies nicht möglich, da der Logarithmus einen irrationalen Wert hat. Lassen Sie uns auf ein Problem im Zusammenhang mit dieser Aussage achten. In Absatz 12 haben wir das Konzept der Möglichkeit dargelegt, jede reelle Potenz einer gegebenen positiven Zahl zu bestimmen. Dies war notwendig für die Einführung von Logarithmen, die im Allgemeinen irrationale Zahlen sein können.

Schauen wir uns einige Eigenschaften von Logarithmen an.

Eigenschaft 1. Wenn Zahl und Basis gleich sind, ist der Logarithmus gleich eins, und umgekehrt, wenn der Logarithmus gleich eins ist, sind Zahl und Basis gleich.

Nachweisen. Nach der Definition eines Logarithmus haben wir und woher

Umgekehrt sei Then per Definition

Eigenschaft 2. Der Logarithmus von eins zu jeder Basis ist gleich Null.

Nachweisen. Per Definition eines Logarithmus (die Nullpotenz jeder positiven Basis ist gleich eins, siehe (10.1)). Von hier

Q.E.D.

Die umgekehrte Aussage gilt auch: wenn, dann ist N = 1. Tatsächlich gilt.

Bevor wir die nächste Eigenschaft von Logarithmen formulieren, wollen wir uns darauf einigen, dass zwei Zahlen a und b auf derselben Seite der dritten Zahl c liegen, wenn sie beide größer als c oder kleiner als c sind. Wenn eine dieser Zahlen größer als c und die andere kleiner als c ist, dann sagen wir, dass sie auf gegenüberliegenden Seiten von c liegen.

Eigenschaft 3. Liegen Zahl und Basis auf der gleichen Seite von Eins, dann ist der Logarithmus positiv; Liegen Zahl und Basis auf gegenüberliegenden Seiten von eins, ist der Logarithmus negativ.

Der Beweis der Eigenschaft 3 basiert auf der Tatsache, dass die Potenz von a größer als eins ist, wenn die Basis größer als eins und der Exponent positiv ist oder die Basis kleiner als eins und der Exponent negativ ist. Eine Potenz ist kleiner als eins, wenn die Basis größer als eins und der Exponent negativ ist oder die Basis kleiner als eins ist und der Exponent positiv ist.

Es sind vier Fälle zu berücksichtigen:

Wir beschränken uns auf die Analyse des ersten Teils; den Rest wird der Leser selbst betrachten.

Dann sei der Exponent bei Gleichheit weder negativ noch negativ gleich Null Daher ist es positiv, d. h. wie es zu beweisen ist.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, welche der folgenden Logarithmen positiv und welche negativ sind:

Lösung: a) Da die Zahl 15 und die Basis 12 auf derselben Seite von Eins liegen;

b) da sich 1000 und 2 auf einer Seite der Einheit befinden; in diesem Fall ist es nicht wichtig, dass die Basis größer als die logarithmische Zahl ist;

c) da 3,1 und 0,8 auf gegenüberliegenden Seiten der Einheit liegen;

G) ; Warum?

D) ; Warum?

Die folgenden Eigenschaften 4-6 werden oft als Logarithmationsregeln bezeichnet: Sie ermöglichen es, bei Kenntnis der Logarithmen einiger Zahlen die Logarithmen ihres Produkts, ihres Quotienten und ihrer Potenz zu ermitteln.

Eigenschaft 4 (Produktlogarithmusregel). Der Logarithmus des Produkts mehrerer positiver Zahlen zu einer bestimmten Basis ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Zahlen zu derselben Basis.

Nachweisen. Die angegebenen Zahlen seien positiv.

Für den Logarithmus ihres Produkts schreiben wir die Gleichung (26.1), die den Logarithmus definiert:

Von hier aus werden wir finden

Durch Vergleich der Exponenten des ersten und letzten Ausdrucks erhalten wir die erforderliche Gleichheit:

Beachten Sie, dass die Bedingung wesentlich ist; Der Logarithmus des Produkts zweier negativer Zahlen macht Sinn, aber in diesem Fall erhalten wir

Wenn das Produkt mehrerer Faktoren positiv ist, ist sein Logarithmus im Allgemeinen gleich der Summe der Logarithmen der Absolutwerte dieser Faktoren.

Eigenschaft 5 (Regel für die Logarithmierung von Quotienten). Der Logarithmus eines Quotienten positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors, bezogen auf die gleiche Basis. Nachweisen. Wir finden immer wieder

Q.E.D.

Eigenschaft 6 (Potenzlogarithmusregel). Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus dieser Zahl multipliziert mit dem Exponenten.

Nachweisen. Schreiben wir noch einmal die Hauptidentität (26.1) für die Zahl:

Q.E.D.

Folge. Der Logarithmus einer Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus der Wurzel dividiert durch den Exponenten der Wurzel:

Die Gültigkeit dieser Folgerung kann bewiesen werden, indem man sich vorstellt, wie und Eigenschaft 6 verwendet.

Beispiel 4. Logarithmieren zur Basis von a:

a) (es wird angenommen, dass alle Werte b, c, d, e positiv sind);

b) (es wird angenommen, dass ).

Lösung: a) Es ist zweckmäßig, in diesem Ausdruck auf gebrochene Potenzen zu gehen:

Basierend auf den Gleichungen (26.5)–(26.7) können wir nun schreiben:

Wir stellen fest, dass mit den Logarithmen von Zahlen einfachere Operationen durchgeführt werden als mit den Zahlen selbst: Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Logarithmen addiert, beim Dividieren werden sie subtrahiert usw.

Deshalb werden in der Rechenpraxis Logarithmen verwendet (siehe Absatz 29).

Die umgekehrte Wirkung des Logarithmus wird Potenzierung genannt, nämlich: Potenzierung ist die Wirkung, durch die die Zahl selbst aus einem gegebenen Logarithmus einer Zahl ermittelt wird. Im Wesentlichen handelt es sich bei der Potenzierung nicht um eine besondere Aktion: Es geht darum, eine Basis zu potenzieren (gleich dem Logarithmus einer Zahl). Der Begriff „Potenzierung“ kann als Synonym für den Begriff „Potenzierung“ angesehen werden.

Beim Potenzieren müssen Sie die umgekehrten Regeln zu den Regeln der Logarithmierung anwenden: Ersetzen Sie die Summe der Logarithmen durch den Logarithmus des Produkts, die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten usw. Insbesondere, wenn ein Faktor vorne steht des Vorzeichens des Logarithmus, dann muss es bei der Potenzierung in die Exponentengrade unter dem Vorzeichen des Logarithmus übertragen werden.

Beispiel 5. Finden Sie N, wenn das bekannt ist

Lösung. Im Zusammenhang mit der eben genannten Potenzierungsregel werden wir die Faktoren 2/3 und 1/3, die vor den Vorzeichen der Logarithmen auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen, in Exponenten unter den Vorzeichen dieser Logarithmen übertragen; wir bekommen

Jetzt ersetzen wir die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten:

Um den letzten Bruch in dieser Gleichungskette zu erhalten, haben wir den vorherigen Bruch im Nenner von der Irrationalität befreit (Absatz 25).

Eigenschaft 7. Wenn die Basis größer als eins ist, dann größere Zahl hat einen größeren Logarithmus (und eine kleinere Zahl hat einen kleineren), wenn die Basis kleiner als eins ist, dann hat eine größere Zahl einen kleineren Logarithmus (und eine kleinere Zahl hat einen größeren).

Diese Eigenschaft wird auch als Regel für die Logarithmierung von Ungleichungen formuliert, deren beide Seiten positiv sind:

Bei der Logarithmierung von Ungleichungen mit einer Basis größer als eins bleibt das Vorzeichen der Ungleichheit erhalten, und wenn sie mit einer Basis kleiner als eins logarithmiert wird, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichheit in das Gegenteil (siehe auch Absatz 80).

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften 5 und 3. Betrachten Sie den Fall, wenn Wenn , dann und durch Logarithmen erhalten wir

(a und N/M liegen auf der gleichen Seite der Einheit). Von hier

Fall a folgt, der Leser wird es selbst herausfinden.

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
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Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

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Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

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Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Heute werden wir darüber reden logarithmische Formeln und wir geben Hinweise Lösungsbeispiele.

Sie selbst implizieren Lösungsmuster gemäß den Grundeigenschaften von Logarithmen. Bevor wir zur Lösung logarithmische Formeln anwenden, möchten wir Sie an alle Eigenschaften erinnern:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele für die Lösung von Logarithmen anhand von Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (bezeichnet durch log a b) ist ein Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Laut Definition ist log a b = x, was a x = b entspricht, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus- Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus mit der Basis 10. Er wird als lg bezeichnet.

log 10 100 = 2, weil 10 2 = 100

Natürlicher Logarithmus- ebenfalls ein gewöhnlicher Logarithmus, ein Logarithmus, aber mit der Basis e (e = 2,71828... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Es ist ratsam, sich die Formeln bzw. Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal anhand von Beispielen durchgehen.

• Grundlegende logarithmische Identität
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften der Potenz einer logarithmischen Zahl und der Basis des Logarithmus

  Exponent der logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Übergang zu einer neuen Stiftung
  log a b = log c b/log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann ist log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen, sind die Formeln für Logarithmen nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir uns nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen angesehen haben, können wir mit logarithmischen Gleichungen fortfahren. Beispiele zur Lösung logarithmischer Gleichungen werden wir im Artikel „“ genauer betrachten. Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschieden, eine andere Ausbildung zu absolvieren und optional im Ausland zu studieren.