Lektion „Exponent mit rationalem Exponenten. Potenz mit rationalem Exponenten

Khasyanova T.G.,

Mathematiklehrer

Das präsentierte Material wird für Mathematiklehrer beim Studium des Themas „Exponent mit rationalem Exponenten“ nützlich sein.

Der Zweck des präsentierten Materials: meine Erfahrungen bei der Durchführung einer Lektion zum Thema „Exponent mit einem rationalen Exponenten“ zu offenbaren. Arbeitsprogramm Disziplin "Mathematik".

Die Methodik zur Durchführung des Unterrichts entspricht seiner Art – einem Unterricht zum Erlernen und zunächst Festigen neuen Wissens. Grundkenntnisse und Fertigkeiten wurden auf Basis der zuvor gesammelten Erfahrungen aktualisiert; primäres Auswendiglernen, Konsolidieren und Anwenden neuer Informationen. Die Festigung und Anwendung des neuen Materials erfolgte in Form der Lösung von von mir getesteten Problemen unterschiedlicher Komplexität, die zu einem positiven Ergebnis bei der Beherrschung des Themas führten.

Zu Beginn des Unterrichts setze ich den Schülern folgende Ziele: Bildung, Entwicklung, Bildung. Während des Unterrichts habe ich verwendet verschiedene Wege Aktivitäten: frontal, einzeln, paarweise, unabhängig, Test. Die Aufgaben waren differenziert und ermöglichten es, in jeder Unterrichtsphase den Grad des Wissenserwerbs zu erkennen. Umfang und Komplexität der Aufgaben entsprechen den Altersmerkmalen der Studierenden. Meiner Erfahrung nach ermöglichen Hausaufgaben, ähnlich wie die im Unterricht gelösten Probleme, eine zuverlässige Festigung der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten. Am Ende der Unterrichtseinheit wurde eine Reflexion durchgeführt und die Arbeit der einzelnen Schüler bewertet.

Die Ziele wurden erreicht. Die Studierenden untersuchten das Konzept und die Eigenschaften eines Abschlusses mit einem rationalen Exponenten und lernten, diese Eigenschaften bei der Lösung praktischer Probleme zu nutzen. Hinter unabhängige Arbeit Die Noten werden in der nächsten Unterrichtsstunde bekannt gegeben.

Ich glaube, dass die Methodik, die ich für den Mathematikunterricht verwende, von Mathematiklehrern genutzt werden kann.

Unterrichtsthema: Potenz mit rationalem Exponenten

Der Zweck der Lektion:

Ermittlung des Niveaus der Beherrschung eines Komplexes von Kenntnissen und Fähigkeiten durch Studierende und darauf basierend deren Anwendung bestimmte Entscheidungen den Bildungsprozess zu verbessern.

Lernziele:

Lehrreich: bei den Studierenden neues Wissen über Grundkonzepte, Regeln, Gesetze zur Bestimmung von Abschlüssen mit einem rationalen Indikator zu bilden, die Fähigkeit, Wissen unter Standardbedingungen, unter modifizierten und nicht standardmäßigen Bedingungen selbstständig anzuwenden;

Entwicklung: logisch denken und kreative Fähigkeiten verwirklichen;

erziehen: Interesse an Mathematik entwickeln, Wortschatz mit neuen Begriffen auffüllen, gewinnen Weitere Informationenüber die Welt um uns herum. Kultivieren Sie Geduld, Ausdauer und die Fähigkeit, Schwierigkeiten zu überwinden.

Zeit organisieren

Aktualisierung des Referenzwissens

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen werden die Exponenten addiert, die Basis bleibt jedoch gleich:

Zum Beispiel,

2. Bei der Division von Graden mit gleichen Basen werden die Exponenten der Grade subtrahiert, aber die Basis bleibt gleich:

Zum Beispiel,

3. Bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert, die Basis bleibt jedoch gleich:

Zum Beispiel,

4. Der Grad des Produkts ist gleich dem Produkt der Grade der Faktoren:

Zum Beispiel,

5. Der Grad des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grade von Dividend und Divisor:

Zum Beispiel,

Übungen mit Lösungen

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Lösung:

IN in diesem Fall In expliziter Form kann keine der Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten angewendet werden, da dies bei allen Graden der Fall ist verschiedene Gründe. Schreiben wir einige Befugnisse in einer anderen Form:

(Der Grad des Produkts ist gleich dem Produkt der Grade der Faktoren);

(Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichen Basen werden die Exponenten addiert, aber die Basis bleibt gleich; bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert, aber die Basis bleibt gleich).

Dann erhalten wir:

IN in diesem Beispiel Es wurden die ersten vier Gradeigenschaften mit natürlichem Exponenten verwendet.

Arithmetische Quadratwurzel
ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich istA,
. Bei
- Ausdruck
nicht definiert, weil Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich einer negativen Zahl istA.

Mathematische Diktate(8-10 Min.)

Möglichkeit

II. Möglichkeit

1.Finden Sie den Wert des Ausdrucks

2. Berechnen

IN)

2. Berechnen

Selbsttest(auf dem Reversbrett):

Antwortmatrix:

№ Option/Aufgabe

Problem 1

Problem 2

Variante 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

Option 2

a) 1.5

um 4

II. Bildung neuen Wissens

Überlegen wir, welche Bedeutung der Ausdruck wo hat - positive Zahl– Bruchzahl und m-Ganzzahl, n-natürlich (n›1)

Definition: Potenz von a›0 mit rationalem ExponentenR = , M-ganz, N-natürlich ( N›1) Die Nummer wird angerufen.

Also:

Zum Beispiel:

Anmerkungen:

1. Für jede positive a- und jede rationale r-Zahl positiv.

2. Wann
rationale Potenz einer ZahlAunentschlossen.

Ausdrücke wie
ergibt keinen Sinn.

3.Wenn eine gebrochene positive Zahl ist
.

Wenn gebrochen also eine negative Zahl -Es ist nicht sinnvoll.

Zum Beispiel: - Es ist nicht sinnvoll.

Betrachten wir die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten.

Sei a >0, b>0; r, s – beliebige rationale Zahlen. Dann hat ein Grad mit einem beliebigen rationalen Exponenten die folgenden Eigenschaften:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidierung. Bildung neuer Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Aufgabenkarten werden in Kleingruppen in Form eines Tests bearbeitet.

In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jede Bruchzahl positiv oder negativ dargestellt werden kann gemeinsamer Bruch. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass für alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben angegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nichtnegative a (gerade Wurzel von) sinnvoll negative Zahl macht keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a ungleich Null sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für

Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor Situationen ähnlich der folgenden: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .

Von ganzzahligen Exponenten der Zahl a bietet sich der Übergang zu rationalen Exponenten an. Im Folgenden definieren wir einen Grad mit rationalem Exponenten, und zwar so, dass alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten erhalten bleiben. Dies ist notwendig, da ganze Zahlen zu den rationalen Zahlen gehören.

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl eine Bedeutung geben A mit einem Bruchindikator m/n, Wo M ist eine ganze Zahl und N- natürlich. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit berücksichtigen und wie wir die n-te Wurzel ermittelt haben, ist es logisch, sie zu akzeptieren, sofern das Gegebene gegeben ist M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn.

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: falls angegeben M, N Und A der Ausdruck Sinn ergibt, dann die Potenz der Zahl A mit einem Bruchindikator m/n Wurzel genannt N Grad der A bis zu einem Grad M.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei was M, N Und A Der Ausdruck macht Sinn. Abhängig von den auferlegten Einschränkungen M, N Und A Es gibt zwei Hauptansätze.

1. Der einfachste Weg besteht darin, eine Einschränkung zu verhängen A, akzeptiert a≥0 für positiv M Und a>0 für negativ M(seit wann m≤0 Grad 0 m unentschlossen). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl A mit einem Bruchindikator m/n , Wo M- ganz, und N– eine natürliche Zahl, Wurzel genannt N-tel der Zahl A bis zu einem Grad M, also, .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n , Wo M ist eine positive ganze Zahl und N– natürliche Zahl, definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten eine Einschränkung gibt: für etwas Negatives A und einige M Und N Der Ausdruck macht Sinn, aber wir haben diese Fälle durch die Einführung der Bedingung verworfen a≥0. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben angegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

2. Ein anderer Ansatz zur Bestimmung des Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: die Potenz der Zahl A, deren Exponent ein reduzierbarer gewöhnlicher Bruch ist, wird als Potenz der Zahl betrachtet A, dessen Indikator der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird weiter unten erläutert). Das heißt, wenn m/n ist ein irreduzibler Bruch, also für jede natürliche Zahl k Abschluss wird vorläufig durch ersetzt.

Für sogar N und positiv M Der Ausdruck ist für alle Nicht-Negativen sinnvoll A(Eine gerade Wurzel einer negativen Zahl hat keine Bedeutung), für negativ M Nummer A muss noch von Null verschieden sein (sonst erfolgt eine Division durch Null). Und für seltsam N und positiv M Nummer A kann beliebig sein (eine ungerade Wurzel wird für jede reelle Zahl definiert) und für negativ M Nummer A muss ungleich Null sein (damit es keine Division durch Null gibt).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Lassen m/n– irreduzibler Bruch, M- ganz, und N- natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Grad von A mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n- es ist für

o jede reelle Zahl A, ganz positiv M und seltsam natürlich N, Zum Beispiel, ;

o jede reelle Zahl ungleich Null A, negative ganze Zahl M und seltsam N, z.B, ;

o jede nicht negative Zahl A, ganz positiv M und selbst N, Zum Beispiel, ;

o irgendetwas Positives A, negative ganze Zahl M und selbst N, z.B, ;

o In anderen Fällen ist der Grad mit einem gebrochenen Indikator nicht definiert, da beispielsweise die Grade nicht definiert sind .a Wir geben dem Eintrag keine Bedeutung; wir definieren die Potenz der Zahl Null für positive gebrochene Exponenten m/n Wie , für negative gebrochene Exponenten wird die Potenz der Zahl Null nicht bestimmt.

Zum Abschluss dieses Punktes möchten wir die Aufmerksamkeit auf die Tatsache lenken, dass ein gebrochener Exponent beispielsweise als Dezimalbruch oder als gemischte Zahl geschrieben werden kann: . Um die Werte von Ausdrücken dieses Typs zu berechnen, müssen Sie den Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs schreiben und dann die Definition des Exponenten mit einem gebrochenen Exponenten verwenden. Für die obigen Beispiele haben wir Und

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ enthält visuelles Lehrmaterial für den Unterricht zu diesem Thema. Die Videolektion enthält Informationen zum Konzept eines Abschlusses mit rationalem Exponenten, zu den Eigenschaften solcher Abschlüsse sowie Beispiele, die den Einsatz von Lehrmaterial zur Lösung praktischer Probleme beschreiben. Der Zweck dieser Videolektion besteht darin, das Lehrmaterial klar und deutlich zu präsentieren, den Schülern dessen Entwicklung und Auswendiglernen zu erleichtern und die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mithilfe der erlernten Konzepte zu lösen.

Die Hauptvorteile der Videolektion sind die Möglichkeit, Transformationen und Berechnungen visuell durchzuführen sowie Animationseffekte zur Verbesserung der Lerneffizienz zu verwenden. Die Sprachbegleitung hilft bei der Entwicklung einer korrekten mathematischen Sprache und ermöglicht es außerdem, die Erklärungen des Lehrers zu ersetzen und ihm so mehr Zeit für die individuelle Arbeit zu geben.

Die Videolektion beginnt mit der Einführung in das Thema. Wenn man das Studium eines neuen Themas mit zuvor untersuchtem Material verbindet, sollte man bedenken, dass n √a ansonsten als a 1/n für natürliches n und positives a bezeichnet wird. Diese n-Wurzel-Darstellung wird auf dem Bildschirm angezeigt. Als nächstes schlagen wir vor, zu überlegen, was der Ausdruck a m/n bedeutet, wobei a eine positive Zahl und m/n ein Bruch ist. Die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten als a m/n = n √a m ist im Rahmen hervorgehoben. Es ist zu beachten, dass n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl sein kann.

Nachdem ein Grad mit einem rationalen Exponenten definiert wurde, wird seine Bedeutung anhand von Beispielen offenbart: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Es wird auch ein Beispiel gezeigt, in dem der Grad dargestellt wird durch Dezimal, wird in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt, um als Wurzel dargestellt zu werden: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 und Beispiel mit negativer Wert Grad: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Auf die Besonderheit des Sonderfalls, dass die Basis des Grades Null ist, wird gesondert hingewiesen. Es ist zu beachten, dass dieser Grad nur bei einem positiven gebrochenen Exponenten sinnvoll ist. In diesem Fall ist sein Wert Null: 0 m/n =0.

Ein weiteres Merkmal eines Grades mit einem rationalen Exponenten ist, dass ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht mit einem gebrochenen Exponenten betrachtet werden kann. Beispiele für falsche Gradangaben sind: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Als nächstes besprechen wir in der Videolektion die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten. Es ist zu beachten, dass die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten auch für einen Grad mit einem rationalen Exponenten gelten. Es wird vorgeschlagen, sich an die Liste der Eigenschaften zu erinnern, die auch in diesem Fall gültig sind:

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen addieren sich ihre Exponenten: a p a q =a p+q.
Die Division von Graden mit gleichen Basen wird auf einen Grad mit gegebener Basis und der Differenz der Exponenten reduziert: a p:a q =a p-q.
Wenn wir den Grad auf eine bestimmte Potenz erhöhen, erhalten wir am Ende einen Grad mit einer gegebenen Basis und dem Produkt der Exponenten: (a p) q =a pq.

Alle diese Eigenschaften gelten für Potenzen mit rationalen Exponenten p, q und positiver Basis a>0. Auch Gradtransformationen beim Öffnen von Klammern bleiben wahr:

(ab) p =a p b p – Potenzierung mit einem rationalen Exponenten Das Produkt zweier Zahlen wird auf das Produkt von Zahlen reduziert, von denen jede auf eine bestimmte Potenz erhöht wird.
(a/b) p =a p /b p – Potenzierung eines Bruchs mit einem rationalen Exponenten wird auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler und Nenner auf eine bestimmte Potenz erhöht werden.

Das Video-Tutorial diskutiert Lösungsbeispiele, die die betrachteten Eigenschaften von Potenzen mit einem rationalen Exponenten verwenden. Im ersten Beispiel werden Sie aufgefordert, den Wert eines Ausdrucks zu finden, der Variablen x in einer gebrochenen Potenz enthält: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trotz der Komplexität des Ausdrucks kann er mithilfe der Potenzeigenschaften ganz einfach gelöst werden. Die Lösung des Problems beginnt mit der Vereinfachung des Ausdrucks, die die Regel verwendet, eine Potenz mit einem rationalen Exponenten zu potenzieren und Potenzen mit zu multiplizieren die gleiche Grundlage. Nachdem der gegebene Wert x=8 in den vereinfachten Ausdruck x 1/3 +48 eingesetzt wurde, ist es einfach, den Wert - 50 zu erhalten.

Im zweiten Beispiel müssen Sie einen Bruch reduzieren, dessen Zähler und Nenner Potenzen mit einem rationalen Exponenten enthalten. Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades extrahieren wir aus der Differenz den Faktor x 1/3, der dann im Zähler und Nenner reduziert wird, und unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate wird der Zähler faktorisiert, was weitere Reduzierungen von Identischen ergibt Faktoren im Zähler und Nenner. Das Ergebnis solcher Transformationen ist der kurze Bruch x 1/4 +3.

Die Videolektion „Exponent mit rationalem Exponenten“ kann anstelle der Erklärung eines neuen Unterrichtsthemas durch den Lehrer verwendet werden. Dieses Handbuch enthält auch genug volle Information zum selbstständigen Lernen des Studierenden. Das Material kann auch für den Fernunterricht nützlich sein.

MBOU „Sidorskaya“

allgemein bildende Schule"

Entwicklung eines Rahmenplans offene Lektion

in Algebra in der 11. Klasse zum Thema:

Vorbereitet und durchgeführt

Mathelehrer

Iskhakova E.F.

Entwurf einer offenen Unterrichtsstunde in Algebra in der 11. Klasse.

Thema : „Ein Abschluss mit einem rationalen Exponenten.“

Unterrichtsart : Neues Material lernen

Lernziele:

Führen Sie die Studierenden anhand zuvor untersuchten Materials (Abschluss mit ganzzahligem Exponenten) in das Konzept eines Abschlusses mit rationalem Exponenten und seiner grundlegenden Eigenschaften ein.

Entwickeln Sie Rechenfähigkeiten und die Fähigkeit, Zahlen mit rationalen Exponenten umzurechnen und zu vergleichen.

Entwicklung der mathematischen Kompetenz und des mathematischen Interesses der Schüler.

Ausrüstung : Aufgabenkarten, Schülerpräsentation nach Grad mit ganzzahligem Indikator, Lehrerpräsentation nach Grad mit rationalem Indikator, Laptop, Multimedia-Projektor, Leinwand.

Während des Unterrichts:

Zeit organisieren.

Überprüfung der Beherrschung des behandelten Themas anhand einzelner Aufgabenkarten.

Aufgabe Nr. 1.

=2;

B) =x + 5;

Lösen Sie das System irrationaler Gleichungen: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Aufgabe Nr. 2.

Lösen Sie die irrationale Gleichung: = - 3;

B) = x - 2;

Lösen Sie das System irrationaler Gleichungen: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Kommunizieren Sie das Thema und die Ziele der Lektion.

Das Thema unserer heutigen Lektion ist „ Potenz mit rationalem Exponenten».

Erläuterung neuer Materialien am Beispiel bereits untersuchter Materialien.

Sie kennen bereits das Konzept eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten. Wer hilft mir, mich an sie zu erinnern?

Wiederholung mittels Präsentation“ Grad mit einem ganzzahligen Exponenten».

Für alle Zahlen a, b und alle ganzen Zahlen m und n gelten die Gleichungen:

a m * a n =a m+n ;

am: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Heute werden wir das Konzept der Potenz einer Zahl verallgemeinern und Ausdrücken mit einem gebrochenen Exponenten eine Bedeutung geben. Stellen wir uns vor Definition Grade mit rationalem Exponenten (Präsentation „Grad mit rationalem Exponenten“):

Macht eines > 0 mit rationalem Exponenten R = , Wo M ist eine ganze Zahl und N - natürlich ( N > 1), rief die Nummer an M .

Per Definition verstehen wir das also = M .

Versuchen wir, diese Definition beim Erledigen einer Aufgabe anzuwenden.

BEISPIEL Nr. 1

Ich präsentiere den Ausdruck als Wurzel einer Zahl:

A) B) IN) .

Versuchen wir nun, diese Definition umgekehrt anzuwenden

II Drücken Sie den Ausdruck als Potenz mit einem rationalen Exponenten aus:

A) 2 B) IN) 5 .

Die Potenz 0 ist nur für positive Exponenten definiert.

0 R= 0 für alle R> 0.

Benutzen diese Definition, Häuser Sie werden #428 und #429 abschließen.

Zeigen wir nun, dass bei der oben formulierten Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten die Grundeigenschaften von Graden erhalten bleiben, die für alle Exponenten gelten.

Für alle rationalen Zahlen r und s und alle positiven a und b gelten die folgenden Gleichungen:

1 0 . A R A S =a r+s ;

BEISPIEL: *

20 . a r: a s =a r-s ;

BEISPIEL: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

BEISPIEL: ( -2/3

4 0 . ( ab) R = A R B R ; 5 0 . ( = .

BEISPIEL: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

BEISPIEL für die gleichzeitige Verwendung mehrerer Eigenschaften: * : .

Minute des Sportunterrichts.

Wir legen die Stifte auf den Schreibtisch, richten die Rückseiten gerade, und nun greifen wir nach vorne, wir wollen die Tafel berühren. Jetzt haben wir es angehoben und nach rechts, links, nach vorne und nach hinten geneigt. Du hast mir deine Hände gezeigt, jetzt zeig mir, wie deine Finger tanzen können.

Arbeiten am Material

Beachten wir zwei weitere Eigenschaften von Graden mit rationalen Exponenten:

6 0 . Lassen r ist eine rationale Zahl und 0< a < b . Тогда

A R < b R bei R> 0,

A R < b R bei R< 0.

7 0 . Für alle rationalen ZahlenR Und S aus Ungleichheit R> S folgt dem

A R>a R für a > 1,

A R < а R bei 0< а < 1.

BEISPIEL: Vergleichen Sie die Zahlen:

UND ; 2 300 und 3 200 .

Zusammenfassung der Lektion:

Heute haben wir uns in der Lektion an die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten erinnert, die Definition und die grundlegenden Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten kennengelernt und die Anwendung dieses theoretischen Materials in der Praxis bei der Durchführung von Übungen untersucht. Ich möchte Sie darauf aufmerksam machen, dass das Thema „Exponent mit rationalem Exponenten“ obligatorisch ist Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. In Vorbereitung Hausaufgaben ( Nr. 428 und Nr. 429