Forschungsprojekt „Parallelogramm und seine Eigenschaften“. Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Grundfläche (a) und Höhe (h). Sie können seine Fläche auch durch zwei Seiten und einen Winkel sowie durch Diagonalen ermitteln.

Eigenschaften eines Parallelogramms

1. Gegenüberliegende Seiten sind identisch.

Zeichnen wir zunächst die Diagonale \(AC\) . Wir erhalten zwei Dreiecke: \(ABC\) und \(ADC\).

Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt Folgendes:

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2\) als würde man quer liegen.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\) als würde man quer liegen.

Daher (gemäß dem zweiten Kriterium: und \(AC\) ist üblich).

Und das bedeutet \(\triangle ABC = \triangle ADC\), dann \(AB = CD\) und \(AD = BC\) .

2. Gegenüberliegende Winkel sind identisch.

Laut Beweis Eigenschaften 1 Wir wissen das \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4\). Somit ist die Summe der entgegengesetzten Winkel: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4\). Bedenkt, dass \(\triangle ABC = \triangle ADC\) wir erhalten \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

Von Eigentum 1 Wir wissen, dass gegenüberliegende Seiten identisch sind: \(AB = CD\) . Beachten Sie noch einmal die über Kreuz liegenden gleichen Winkel.

Somit ist es klar, dass \(\triangle AOB = \triangle COD\) nach dem zweiten Kriterium der Gleichheit der Dreiecke (zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen). Das heißt, \(BO = OD\) (gegenüber den Winkeln \(\angle 2\) und \(\angle 1\) ) und \(AO = OC\) (gegenüber den Winkeln \(\angle 3\) und \( \angle 4\) bzw.).

Anzeichen eines Parallelogramms

Wenn in Ihrem Problem nur ein Merkmal vorhanden ist, dann ist die Figur ein Parallelogramm und Sie können alle Eigenschaften dieser Figur nutzen.

Beachten Sie zum besseren Auswendiglernen, dass das Parallelogrammzeichen die folgende Frage beantwortet: „Wie finde ich das heraus?“. Das heißt, wie man herausfindet, dass eine bestimmte Figur ein Parallelogramm ist.

1. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen zwei Seiten gleich und parallel sind.

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- Parallelogramm.

Lass uns genauer hinschauen. Warum \(AD || BC \) ?

\(\triangle ABC = \triangle ADC\) Von Eigentum 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) kreuzliegend, wenn \(AB \) und \(CD \) und die Sekante \(AC \) parallel sind.

Aber falls \(\triangle ABC = \triangle ADC\), dann \(\angle 3 = \angle 4 \) (liegen gegenüber \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) und \(\angle 4 \) – die kreuzweise Liegenden sind ebenfalls gleich).

Das erste Zeichen ist richtig.

2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich sind.

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) - Parallelogramm.

Betrachten wir dieses Zeichen. Zeichnen wir noch einmal die Diagonale \(AC\).

Von Eigentum 1\(\triangle ABC = \triangle ACD\).

Es folgt dem: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) Und \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), das heißt, \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Das zweite Zeichen ist richtig.

3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen entgegengesetzte Winkel gleich sind.

\(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD\)- Parallelogramm.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(da \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) durch Bedingung).

Es stellt sich heraus, \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \). Aber \(\alpha \) und \(\beta \) sind an der Sekante \(AB \) intern einseitig.

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind. Die folgende Abbildung zeigt das Parallelogramm ABCD. Die Seite AB ist parallel zur Seite CD und die Seite BC parallel zur Seite AD.

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, ist ein Parallelogramm ein konvexes Viereck. Betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften eines Parallelogramms.

Eigenschaften eines Parallelogramms

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel und gegenüberliegende Seiten gleich. Lassen Sie uns diese Eigenschaft beweisen – betrachten Sie das in der folgenden Abbildung dargestellte Parallelogramm.

Die Diagonale BD teilt es in zwei gleiche Dreiecke: ABD und CBD. Sie sind entlang der Seite BD und den beiden daran angrenzenden Winkeln gleich, da die Winkel kreuzweise an der Sekante BD paralleler Linien BC und AD bzw. AB und CD liegen. Daher ist AB = CD und
BC = AD. Und aus der Gleichheit der Winkel 1, 2,3 und 4 folgt, dass Winkel A = Winkel1 + Winkel3 = Winkel2 + Winkel4 = Winkel C.

2. Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt. Punkt O sei der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD des Parallelogramms ABCD.

Dann sind das Dreieck AOB und das Dreieck COD entlang der Seite und zweier benachbarter Winkel einander gleich. (AB = CD, da dies gegenüberliegende Seiten des Parallelogramms sind. Und Winkel1 = Winkel2 und Winkel3 = Winkel4 sind wie Kreuzwinkel, wenn die Geraden AB und CD jeweils die Sekanten AC und BD schneiden.) Daraus folgt, dass AO = OC und OB = OD, was bewiesen werden musste.

Alle wesentlichen Eigenschaften sind in den folgenden drei Abbildungen dargestellt.

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, d. h. liegen auf parallelen Linien

Eigenschaften eines Parallelogramms:
Satz 22. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich.
Nachweisen. Im Parallelogramm ABCD zeichnen wir eine Diagonale AC. Die Dreiecke ACD und ACB sind gleich, als ob sie gleich wären gemeinsame Seite AC und zwei Paare gleicher Winkel. daneben: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (als Kreuzwinkel mit parallelen Linien AD und BC). Das bedeutet, dass AB=CD und BC=AD als entsprechende Seiten gelten gleiche Dreiecke, usw. Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt auch, dass die entsprechenden Winkel der Dreiecke gleich sind:
Satz 23. Die entgegengesetzten Winkel des Parallelogramms sind gleich: ∠ A=∠ C und ∠ B=∠ D.
Die Gleichheit des ersten Paares ergibt sich aus der Gleichheit der Dreiecke ABD und CBD und des zweiten Paares aus ABC und ACD.
Satz 24. Benachbarte Winkel eines Parallelogramms, d.h. An eine Seite angrenzende Winkel ergeben zusammen 180 Grad.
Dies liegt daran, dass es sich um einseitige Innenwinkel handelt.
Satz 25. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich an ihrem Schnittpunkt.
Nachweisen. Betrachten Sie die Dreiecke BOC und AOD. Gemäß der ersten Eigenschaft liegen AD=BC ∠ OAD=∠ OCB und ∠ ODA=∠ OBC kreuzweise für parallele Linien AD und BC. Daher sind die Seiten- und Nachbarwinkel der Dreiecke BOC und AOD gleich. Das bedeutet BO=OD und AO=OS, wie die entsprechenden Seiten gleicher Dreiecke usw.

Anzeichen eines Parallelogramms
Satz 26. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, handelt es sich um ein Parallelogramm.
Nachweisen. Das Viereck ABCD soll die gleichen Seiten AD und BC, AB und CD haben (Abb. 2). Zeichnen wir die Diagonale AC. Die Dreiecke ABC und ACD sind auf drei Seiten gleich. Dann sind die Winkel BAC und DCA gleich und daher ist AB parallel zu CD. Die Parallelität der Seiten BC und AD folgt aus der Gleichheit der Winkel CAD und ACB.
Satz 27. Sind die entgegengesetzten Winkel eines Vierecks paarweise gleich, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.
Sei ∠ A=∠ C und ∠ B=∠ D. Weil ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, dann ∠ A+∠ B=180 o und die Seiten AD und BC sind parallel (basierend auf der Parallelität gerader Linien). Wir werden auch die Parallelität der Seiten AB und CD beweisen und daraus schließen, dass ABCD per Definition ein Parallelogramm ist.
Satz 28. Wenn benachbarte Ecken eines Vierecks, d.h. Die an einer Seite angrenzenden Winkel addieren sich zu 180 Grad, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.
Wenn sich die einseitigen Innenwinkel zu 180 Grad addieren, sind die Geraden parallel. AB ist also parallel zu CD und BC ist parallel zu AD. Ein Viereck entpuppt sich per Definition als Parallelogramm.
Satz 29. Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks im Schnittpunkt halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Nachweisen. Wenn AO = OC, BO = OD, dann sind die Dreiecke AOD und BOC gleich, da sie am Scheitelpunkt O gleiche (vertikale) Winkel haben und zwischen Paaren gleicher Seiten eingeschlossen sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke schließen wir, dass AD und BC gleich sind. Auch die Seiten AB und CD sind gleich und das Viereck erweist sich nach Kriterium 1 als Parallelogramm.
Satz 30. Wenn ein Viereck ein Paar gleicher, paralleler Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm.
Die Seiten AB und CD des Vierecks ABCD seien parallel und gleich. Zeichnen wir die Diagonalen AC und BD. Aus der Parallelität dieser Geraden folgt, dass die Kreuzwinkel ABO = CDO und BAO = OCD gleich sind. Die Dreiecke ABO und CDO haben die gleichen Seiten- und Nachbarwinkel. Daher AO=OS, VO=ОD, d.h. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt und das Viereck ergibt nach Kriterium 4 ein Parallelogramm.

In der Geometrie werden Sonderfälle von Parallelogrammen betrachtet.

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind. Diese Definition ist bereits ausreichend, da daraus die übrigen Eigenschaften des Parallelogramms folgen und in Form von Sätzen bewiesen werden.

Die Haupteigenschaften eines Parallelogramms sind:

• ein Parallelogramm ist ein konvexes Viereck;
• Ein Parallelogramm hat gegenüberliegende Seiten, die paarweise gleich sind;
• In einem Parallelogramm sind entgegengesetzte Winkel paarweise gleich;
• Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

Parallelogramm - konvexes Viereck

Beweisen wir zunächst den Satz Ein Parallelogramm ist ein konvexes Viereck. Ein Polygon ist konvex, wenn alle anderen Seiten des Polygons auf derselben Seite dieser geraden Linie liegen, unabhängig davon, welche Seite davon zu einer geraden Linie verlängert wird.

Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD, in dem AB die Gegenseite von CD und BC die Gegenseite von AD ist. Aus der Definition eines Parallelogramms folgt dann AB || CD, BC || ANZEIGE.

U parallele Segmente es gibt keine gemeinsamen Punkte, sie schneiden sich nicht. Das bedeutet, dass CD auf einer Seite von AB liegt. Da Segment BC Punkt B von Segment AB mit Punkt C von Segment CD verbindet und Segment AD andere Punkte AB und CD verbindet, liegen die Segmente BC und AD auch auf derselben Seite der Linie AB, auf der CD liegt. Somit liegen alle drei Seiten – CD, BC, AD – auf derselben Seite von AB.

Ebenso wird bewiesen, dass im Verhältnis zu den anderen Seiten des Parallelogramms die anderen drei Seiten auf derselben Seite liegen.

Gegenüberliegende Seiten und Winkel sind gleich

Eine der Eigenschaften eines Parallelogramms ist das In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten und gegenüberliegende Winkel paarweise gleich. Wenn beispielsweise ein Parallelogramm ABCD gegeben ist, dann gilt AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Dieser Satz wird wie folgt bewiesen.

Ein Parallelogramm ist ein Viereck. Das heißt, es hat zwei Diagonalen. Da ein Parallelogramm ein konvexes Viereck ist, teilt es jedes von ihnen in zwei Dreiecke. Betrachten Sie im Parallelogramm ABCD die Dreiecke ABC und ADC, die Sie durch Zeichnen der Diagonale AC erhalten.

Diese Dreiecke haben eine Seite gemeinsam – AC. Winkel BCA gleich Winkel CAD als vertikal mit parallelem BC und AD. Die Winkel BAC und ACD entsprechen auch den vertikalen Winkeln, wenn AB und CD parallel sind. Daher gilt ∆ABC = ∆ADC in zwei Winkeln und der Seite dazwischen.

In diesen Dreiecken entspricht die Seite AB der Seite CD und die Seite BC entspricht der AD. Daher ist AB = CD und BC = AD.

Winkel B entspricht Winkel D, also ∠B = ∠D. Winkel A eines Parallelogramms ist die Summe zweier Winkel – ∠BAC und ∠CAD. Winkel C ist gleich ∠BCA und ∠ACD. Da Winkelpaare einander gleich sind, gilt ∠A = ∠C.

Somit ist bewiesen, dass in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten und Winkel gleich sind.

Diagonalen werden in zwei Hälften geteilt

Da ein Parallelogramm ein konvexes Viereck ist, hat es zwei Diagonalen, die sich schneiden. Gegeben sei das Parallelogramm ABCD, dessen Diagonalen AC und BD sich im Punkt E schneiden. Betrachten Sie die von ihnen gebildeten Dreiecke ABE und CDE.

Die Seiten AB und CD dieser Dreiecke entsprechen den gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms. Der Winkel ABE ist gleich dem Winkel CDE, da er kreuzweise mit den parallelen Linien AB und CD liegt. Aus dem gleichen Grund ist ∠BAE = ∠DCE. Das bedeutet ∆ABE = ∆CDE bei zwei Winkeln und der Seite dazwischen.

Sie können auch feststellen, dass die Winkel AEB und CED vertikal sind und daher auch einander gleich sind.

Da die Dreiecke ABE und CDE einander gleich sind, sind alle ihre entsprechenden Elemente gleich. Die Seite AE des ersten Dreiecks entspricht der Seite CE des zweiten, was AE = CE bedeutet. Ebenso BE = DE. Jedes Paar gleicher Segmente bildet eine Diagonale eines Parallelogramms. Damit ist es bewiesen Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch ihren Schnittpunkt halbiert.

In der heutigen Lektion werden wir die grundlegenden Eigenschaften eines Parallelogramms überprüfen und uns dann auf die Betrachtung der ersten beiden Eigenschaften eines Parallelogramms konzentrieren und diese beweisen. Erinnern wir uns im Zuge des Beweises an die Verwendung von Tests für die Gleichheit von Dreiecken, die wir letztes Jahr studiert und in der ersten Lektion wiederholt haben. Abschließend wird ein Beispiel für die Anwendung der untersuchten Eigenschaften eines Parallelogramms gegeben.

Thema: Vierecke

Lektion: Zeichen eines Parallelogramms

Erinnern wir uns zunächst an die Definition eines Parallelogramms.

Definition. Parallelogramm- ein Viereck, bei dem jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Parallelogramm

Lass uns erinnern Grundeigenschaften eines Parallelogramms:

Um alle diese Eigenschaften nutzen zu können, muss sichergestellt sein, dass es sich bei der betreffenden Figur um ein Parallelogramm handelt. Dazu müssen Sie Fakten wie die Eigenschaften eines Parallelogramms kennen. Die ersten beiden davon werden wir heute betrachten.

Satz. Das erste Zeichen eines Parallelogramms. Wenn zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist dieses Viereck gleich Parallelogramm. .

Reis. 2. Das erste Zeichen eines Parallelogramms

Nachweisen. Zeichnen wir eine Diagonale in das Viereck (siehe Abb. 2), sie teilt es in zwei Dreiecke. Schreiben wir auf, was wir über diese Dreiecke wissen:

nach dem ersten Kriterium der Dreiecksgleichheit.

Aus der Gleichheit der angegebenen Dreiecke folgt dies aufgrund der Parallelität der Geraden, wenn sie sich mit einer Sekante schneiden. Wir haben das:

Bewährt.

Satz. Das zweite Zeichen eines Parallelogramms. Wenn in einem Viereck alle zwei gegenüberliegenden Seiten gleich sind, dann ist dieses Viereck gleich Parallelogramm. .

Reis. 3. Zweites Zeichen eines Parallelogramms

Nachweisen. Zeichnen wir eine Diagonale in das Viereck (siehe Abb. 3), sie teilt es in zwei Dreiecke. Schreiben wir auf, was wir über diese Dreiecke wissen, basierend auf der Formulierung des Satzes:

nach dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken.

Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass die Geraden parallel sind, wenn sie sich mit einer Sekante schneiden. Wir bekommen:

Parallelogramm per Definition. Q.E.D.

Bewährt.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Verwendung von Parallelogrammfunktionen an.

Beispiel 1. Finden Sie in einem konvexen Viereck: a) die Winkel des Vierecks; b Seite.

Lösung. Lassen Sie uns Abb. darstellen. 4.

Reis. 4

Parallelogramm nach dem ersten Vorzeichen eines Parallelogramms.