Klammern öffnen: Regeln und Beispiele (Klasse 7). Erweiterungsklammern – Wissens-Hypermarkt
Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ...die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen...waren an der Untersuchung des Themas beteiligt mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.
Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, ist der mathematische Anwendungsapparat variable Einheiten Die Messung wurde entweder noch nicht entwickelt oder nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.
Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“
Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleib drinnen konstante Einheiten Zeitmessungen und gehen nicht auf reziproke Größen ein. In Zenos Sprache sieht es so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Für das nächste Zeitintervall gleich zuerst, Achilles wird noch tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos von verschiedene Punkte Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, aber es ist unmöglich, daraus die Tatsache der Bewegung zu bestimmen (natürlich werden für Berechnungen noch zusätzliche Daten benötigt, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.
Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.
Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Anwendbar mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.
Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist Mathematik.
Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme In der Analysis ist die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, schauen wir uns die Nummer 26 aus dem Artikel über an. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen; das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.
Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich bedeutet dies, dass es nichts mit Mathematik zu tun hat.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Laboratorium für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
In diesem Artikel werfen wir einen detaillierten Blick auf die Grundregeln eines so wichtigen Themas in einem Mathematikkurs wie das Öffnen von Klammern. Sie müssen die Regeln zum Öffnen von Klammern kennen, um Gleichungen, in denen sie verwendet werden, richtig lösen zu können.
So öffnen Sie Klammern beim Hinzufügen richtig
Erweitern Sie die Klammern, denen das „+“-Zeichen vorangestellt ist
Dies ist der einfachste Fall, denn wenn vor den Klammern ein Zusatzzeichen steht, ändern sich die darin enthaltenen Zeichen beim Öffnen der Klammern nicht. Beispiel:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
So erweitern Sie Klammern, denen ein „-“-Zeichen vorangestellt ist
IN in diesem Fall Sie müssen alle Begriffe ohne Klammern umschreiben, aber gleichzeitig alle darin enthaltenen Zeichen in die entgegengesetzten ändern. Die Vorzeichen ändern sich nur für Begriffe aus den Klammern, denen das Zeichen „-“ vorangestellt war. Beispiel:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
So öffnen Sie Klammern beim Multiplizieren
Vor den Klammern steht eine Multiplikatorzahl
In diesem Fall müssen Sie jeden Term mit einem Faktor multiplizieren und die Klammern öffnen, ohne die Vorzeichen zu ändern. Wenn der Multiplikator ein „-“-Zeichen hat, werden bei der Multiplikation die Vorzeichen der Terme umgekehrt. Beispiel:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
So öffnen Sie zwei Klammern mit einem Multiplikationszeichen dazwischen
In diesem Fall müssen Sie jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. Beispiel:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
So öffnen Sie Klammern in einem Quadrat
Wenn die Summe oder Differenz zweier Terme quadriert wird, sind die Klammern nach folgender Formel zu öffnen:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Bei einem Minus innerhalb der Klammern ändert sich die Formel nicht. Beispiel:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
So erweitern Sie Klammern um einen anderen Grad
Wenn die Summe oder Differenz von Termen beispielsweise auf die 3. oder 4. Potenz erhöht wird, dann müssen Sie nur die Potenz der Klammer in „Quadrate“ aufteilen. Die Potenzen identischer Faktoren werden addiert und bei der Division wird die Potenz des Divisors von der Potenz des Dividenden subtrahiert. Beispiel:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
So öffnen Sie 3 Klammern
Es gibt Gleichungen, in denen 3 Klammern gleichzeitig multipliziert werden. In diesem Fall müssen Sie zunächst die Terme der ersten beiden Klammern miteinander multiplizieren und dann die Summe dieser Multiplikation mit den Termen der dritten Klammer multiplizieren. Beispiel:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Diese Regeln zum Öffnen von Klammern gelten gleichermaßen für die Lösung linearer und trigonometrischer Gleichungen.
die Fähigkeit entwickeln, Klammern zu öffnen und dabei das Zeichen vor den Klammern zu berücksichtigen;
Während des Unterrichts
I. Organisatorischer Moment.
Schau es dir an, Kumpel
Bist du bereit für den Unterricht?
Ist alles vorhanden? Alles in Ordnung?
Stift, Buch und Notizbuch.
Sitzen alle richtig?
Schauen alle aufmerksam zu?
Ich möchte die Lektion mit einer Frage an Sie beginnen:
Was ist Ihrer Meinung nach das Wertvollste auf der Erde? (Antworten der Kinder.)
Diese Frage beschäftigt die Menschheit seit Jahrtausenden. Dies ist die Antwort des berühmten Wissenschaftlers Al-Biruni: „Wissen ist der höchste Besitz. Jeder strebt danach, aber es kommt nicht von alleine.“
Lassen Sie diese Worte zum Motto unserer Lektion werden.
II. Aktualisierung bisheriger Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten:
Verbales Zählen:
1.1. Welches Datum ist heute?
2. Sagen Sie mir, was Sie über die Zahl 20 wissen?
3. Wo befindet sich diese Zahl auf der Koordinatenlinie?
4. Geben Sie die Gegenzahl an.
5. Nennen Sie die Gegenzahl.
6. Wie heißt die Zahl 20?
7. Welche Zahlen nennt man Gegensätze?
8. Welche Zahlen heißen negativ?
9. Wie groß ist der Modul der Zahl 20? - 20?
10. Was ist die Summe der entgegengesetzten Zahlen?
2. Erklären Sie die folgenden Einträge:
a) Der brillante antike Mathematiker Archimedes wurde im Jahr 287 geboren.
b) Der brillante russische Mathematiker N.I. Lobatschewski wurde 1792 geboren.
Erste Olympische Spiele fand 776 in Griechenland statt.
d) Die ersten Internationalen Olympischen Spiele fanden 1896 statt.
e) Die XXII. Olympischen Winterspiele fanden im Jahr 2014 statt.
3. Finden Sie heraus, welche Zahlen sich auf dem „mathematischen Karussell“ drehen (alle Aktionen werden mündlich ausgeführt).
II. Bildung neuer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten.
Sie haben gelernt, wie man verschiedene Operationen mit ganzen Zahlen durchführt. Was machen wir als nächstes? Wie lösen wir Beispiele und Gleichungen?
Lassen Sie uns die Bedeutung dieser Ausdrücke herausfinden
7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0
Wie ist die Vorgehensweise in Beispiel 1? Wie viel steht in Klammern? Wie ist die Vorgehensweise im zweiten Beispiel? Das Ergebnis der ersten Aktion? Was können Sie zu diesen Ausdrücken sagen?
Natürlich sind die Ergebnisse des ersten und des zweiten Ausdrucks gleich, was bedeutet, dass Sie ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen können: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4
Was haben wir mit den Klammern gemacht? (Sie haben es gesenkt.)
Was glauben Sie, was wir heute im Unterricht machen werden? (Kinder formulieren das Thema der Lektion.) Welches Zeichen steht in unserem Beispiel vor den Klammern? (Plus.)
Und so kommen wir zur nächsten Regel:
Wenn vor den Klammern ein +-Zeichen steht, können Sie die Klammern und dieses +-Zeichen weglassen und so die Vorzeichen der Begriffe in den Klammern beibehalten. Wenn der erste Begriff in Klammern ohne Vorzeichen geschrieben wird, muss er mit einem +-Zeichen geschrieben werden.
Was aber, wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht?
In diesem Fall müssen Sie auf die gleiche Weise argumentieren wie beim Subtrahieren: Sie müssen die Zahl addieren, die der subtrahierten Zahl entgegengesetzt ist:
7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14
– Also haben wir die Klammern geöffnet, als davor ein Minuszeichen stand.
Die Regel zum Öffnen von Klammern lautet, dass den Klammern ein „-“-Zeichen vorangestellt ist.
Um Klammern zu öffnen, denen ein --Zeichen vorangestellt ist, müssen Sie dieses Zeichen durch ein + ersetzen, die Vorzeichen aller Begriffe in den Klammern in das Gegenteil ändern und dann die Klammern öffnen.
Hören wir uns die Regeln zum Öffnen von Klammern in Gedichten an:
Vor der Klammer steht ein Plus.
Davon spricht er
Warum lassen Sie die Klammern weg?
Lasst alle Zeichen raus!
Vor der Klammer ist das Minus streng
Wird uns den Weg versperren
Klammern entfernen
Wir müssen die Schilder ändern!
Ja, Leute, das Minuszeichen ist sehr heimtückisch, es ist ein „Wächter“ am Tor (Klammern), es gibt Zahlen und Variablen nur frei, wenn sie ihre „Pässe“, also ihre Vorzeichen, ändern.
Warum müssen Sie die Klammern überhaupt öffnen? (Wenn es Klammern gibt, gibt es einen Moment der Unvollständigkeit, einer Art Mysterium. Es ist wie eine geschlossene Tür, hinter der sich etwas Interessantes befindet.) Heute haben wir dieses Geheimnis erforscht.
Ein kleiner Ausflug in die Geschichte:
Geschweifte Klammern kommen in den Schriften von Vieta (1593) vor. Erst in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts wurden Klammern dank Leibniz und vor allem Euler weit verbreitet.
Minute des Sportunterrichts.
III. Festigung neuer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten.
Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch:
Nr. 1234 (Klammern öffnen) – mündlich.
Nr. 1236 (Klammern öffnen) – mündlich.
Nr. 1235 (finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks) - schriftlich.
Nr. 1238 (Ausdrücke vereinfachen) – Arbeiten Sie zu zweit.
IV. Zusammenfassung der Lektion.
1. Noten werden bekannt gegeben.
2. Zuhause. Übung. Absatz 39 Nr. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.
3. Was haben wir heute gelernt?
Was hast du Neues gelernt?
Und ich möchte die Lektion mit Wünschen an jeden von euch beenden:
„Zeigen Sie Ihre Fähigkeiten in Mathematik,
Seien Sie nicht faul, sondern entwickeln Sie sich jeden Tag weiter.
Multiplizieren, dividieren, arbeiten, denken,
Vergessen Sie nicht, mit der Mathematik befreundet zu sein.“
In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie einen Ausdruck, der Klammern enthält, in einen Ausdruck ohne Klammern umwandeln. Sie lernen, wie man Klammern öffnet, denen ein Pluszeichen und ein Minuszeichen vorangestellt sind. Wir werden uns daran erinnern, wie man mithilfe des Verteilungsgesetzes der Multiplikation Klammern öffnet. Die betrachteten Beispiele ermöglichen es Ihnen, neues und bereits untersuchtes Material zu einem Ganzen zu verbinden.
Thema: Gleichungen lösen
Lektion: Klammern erweitern
So erweitern Sie Klammern, denen ein „+“-Zeichen vorangestellt ist. Verwendung des assoziativen Additionsgesetzes.
Wenn Sie die Summe zweier Zahlen zu einer Zahl addieren müssen, können Sie dieser Zahl zuerst den ersten Term und dann den zweiten hinzufügen.
Links vom Gleichheitszeichen steht ein Ausdruck mit Klammern und rechts ein Ausdruck ohne Klammern. Dies bedeutet, dass beim Übergang von der linken Seite der Gleichheit nach rechts die Klammern geöffnet wurden.
Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiel 1. 
Durch das Öffnen der Klammern haben wir die Reihenfolge der Aktionen geändert. Das Zählen ist bequemer geworden.
Beispiel 2. 
Beispiel 3.
Beachten Sie, dass wir in allen drei Beispielen einfach die Klammern entfernt haben. Formulieren wir eine Regel:
Kommentar.
Wenn der erste Begriff in Klammern kein Vorzeichen hat, muss er mit einem Pluszeichen geschrieben werden.
Sie können dem Beispiel Schritt für Schritt folgen. Addieren Sie zunächst 445 zu 889. Diese Aktion kann mental ausgeführt werden, ist jedoch nicht sehr einfach. Öffnen wir die Klammern und sehen wir, dass das geänderte Verfahren die Berechnungen deutlich vereinfacht.
Wenn Sie dem angegebenen Verfahren folgen, müssen Sie zunächst 345 von 512 subtrahieren und dann 1345 zum Ergebnis addieren. Durch das Öffnen der Klammern ändern wir das Verfahren und vereinfachen die Berechnungen erheblich.
Veranschaulichendes Beispiel und Regel.
Schauen wir uns ein Beispiel an: . Sie können den Wert eines Ausdrucks ermitteln, indem Sie 2 und 5 addieren und dann die resultierende Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen bilden. Wir bekommen -7.
Andererseits kann das gleiche Ergebnis erzielt werden, indem man die entgegengesetzten Zahlen der ursprünglichen Zahlen addiert.
Formulieren wir eine Regel:
Beispiel 1. 
Beispiel 2.
Die Regel ändert sich nicht, wenn nicht zwei, sondern drei oder mehr Begriffe in Klammern stehen.
Beispiel 3. 
Kommentar. Lediglich vor den Begriffen sind die Vorzeichen vertauscht.
Um die Klammern zu öffnen, müssen wir uns in diesem Fall die Verteilungseigenschaft merken.
Multiplizieren Sie zunächst die erste Klammer mit 2 und die zweite mit 3.
Der ersten Klammer ist ein „+“-Zeichen vorangestellt, was bedeutet, dass die Zeichen unverändert bleiben müssen. Dem zweiten Zeichen geht ein „-“-Zeichen voran, daher müssen alle Zeichen in das Gegenteil geändert werden
Referenzliste
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik 6. Klasse. - Gymnasium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - Aufklärung, 1989.
- Rurukin A.N., Tschaikowsky I.V. Aufgaben für den Mathematikkurs der Klassen 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Handbuch für Schüler der 6. Klasse der MEPhI-Fernschule. - ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematik: Lehrbuch-Gesprächspartner für die Klassen 5-6 der Sekundarschule. Bibliothek für Mathematiklehrer. - Aufklärung, 1989.
- Online-Tests in Mathematik ().
- Sie können die in Abschnitt 1.2 genannten herunterladen. Bücher().
Hausaufgaben
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (Link siehe 1.2)
- Hausaufgaben: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
- Sonstige Aufgaben: Nr. 1258(c), Nr. 1248
Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Die Summe der Monome nennt man Polynom. Die Terme in einem Polynom werden Terme des Polynoms genannt. Monome werden auch als Polynome klassifiziert, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Glied besteht.
Zum Beispiel ein Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kann vereinfacht werden.
Stellen wir alle Begriffe in Form von Monomen der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Lassen Sie uns ähnliche Terme im resultierenden Polynom darstellen:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome heißen Polynome der Standardform.
Hinter Grad des Polynoms einer Standardform nehmen die höchsten Befugnisse ihrer Mitglieder in Anspruch. Somit hat das Binomial \(12a^2b - 7b\) den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6\) den zweiten.
Typischerweise sind die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge der Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Die Summe mehrerer Polynome kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden.
Manchmal müssen die Terme eines Polynoms in Gruppen unterteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt werden muss. Da einschließende Klammern die Umkehrtransformation öffnender Klammern sind, ist sie leicht zu formulieren Regeln zum Öffnen von Klammern:
Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.
Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden die in den Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.
Transformation (Vereinfachung) des Produkts eines Monoms und eines Polynoms
Mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation können Sie das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom umwandeln (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.
Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.
Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie dieses Monom mit jedem Term des Polynoms multiplizieren.
Wir haben diese Regel bereits mehrfach angewendet, um mit einer Summe zu multiplizieren.
Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome
Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Termes eines Polynoms und jedes Termes des anderen.
Normalerweise wird die folgende Regel verwendet.
Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.
Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summenquadrate, Differenzen und Quadratdifferenzen
Mit manchen Ausdrücken muss man sich in algebraischen Transformationen häufiger auseinandersetzen als mit anderen. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, das Quadrat von der Unterschied und die Differenz der Quadrate. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, zum Beispiel ist \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b . Allerdings kommt das Quadrat der Summe von a und b in der Regel nicht sehr häufig vor, es enthält statt der Buchstaben a und b verschiedene, teilweise recht komplexe Ausdrücke.
Die Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) können leicht in Polynome der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden, tatsächlich sind Sie dieser Aufgabe bereits bei der Multiplikation von Polynomen begegnet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Es ist nützlich, sich die resultierenden Identitäten zu merken und sie ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – Quadrat der Summe gleich der Summe Quadrate und verdoppeln Sie das Produkt.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) – das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das verdoppelte Produkt.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) – die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.
Diese drei Identitäten ermöglichen es einem, bei Transformationen seine linken Teile durch rechte Teile zu ersetzen und umgekehrt – rechte Teile durch linke Teile. Am schwierigsten ist es, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, wie die Variablen a und b darin ersetzt werden. Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.
