Ordnung einer quadratischen Matrix. Matrizen. Arten von Matrizen. Grundbegriffe
Eine quadratische Matrix th-Ordnung, in der es auf der Hauptdiagonale Einsen gibt und alle anderen Elemente gleich Null sind, wird Identitätsmatrix genannt und einfach mit oder bezeichnet. Der Name „Identitätsmatrix“ ist mit der folgenden Eigenschaft einer Matrix verbunden: für jede rechteckige Matrix
es gibt Gleichheiten
.
Offensichtlich,
Sei eine quadratische Matrix. Anschließend wird der Grad der Matrix auf übliche Weise bestimmt:
Aus der Kombinationseigenschaft der Matrixmultiplikation folgt:
Hier sind beliebige nichtnegative ganze Zahlen.
Betrachten Sie ein Polynom (eine vollständige rationale Funktion) mit Koeffizienten aus dem Körper:
Dann meinen wir mit der Matrix
So wird ein Polynom in einer Matrix definiert.
Das Polynom sei gleich dem Produkt der Polynome und:
.
Ein Polynom wird aus und durch termweise Multiplikation und Reduktion ähnlicher Terme erhalten. In diesem Fall wird die Regel der Potenzmultiplikation verwendet: . Da alle diese Aktionen auch gültig sind, wenn eine skalare Größe durch eine Matrix ersetzt wird
Daher insbesondere
das heißt, zwei Polynome aus derselben Matrix kommutieren immer miteinander.
Lassen Sie uns zustimmen, dass die Supradiagonale (Subdiagonale) in einer rechteckigen Matrix eine Reihe von Elementen ist, die (bzw.). Bezeichnen wir mit einer quadratischen Matrix der Ordnung, in der die Elemente des ersten Supradiagonalen gleich eins und alle anderen Elemente gleich null sind. Dann
,
usw.;
Aufgrund dieser Gleichheiten, wenn:
Das Polynom ist also relativ
.
Ebenso gilt, wenn es sich um eine quadratische Matrix th-Ordnung handelt, in der alle Elemente der ersten Unterdiagonale gleich eins und alle übrigen gleich null sind
.
Wir laden den Leser ein, die folgenden Eigenschaften von Matrizen zu überprüfen und:
1° Als Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen -Matrix auf der linken Seite mit einer Matrix (Matrix) der ten Ordnung werden alle Zeilen der Matrix um eine Stelle nach oben (unten) gestaucht (abgesenkt), die erste (letzte) Zeile der Die Matrix verschwindet und die letzte (erste) Zeile des Produkts wird mit Nullen gefüllt. Zum Beispiel,
,
.
2° Durch die Multiplikation einer beliebigen -Matrix rechts mit einer Matrix th-Ordnung werden alle Spalten der Matrix um eine Stelle nach rechts (links) verschoben, während die letzte (erste) Spalte der Matrix verschwindet , und die erste (letzte) Spalte des Produkts wird mit Nullen gefüllt. Zum Beispiel,
.
.
2. Wir nennen eine quadratische Matrix etwas Besonderes, wenn . Ansonsten heißt die quadratische Matrix nicht singulär.
Sei eine nicht singuläre Matrix (). Lassen Sie uns überlegen lineare Transformation mit Koeffizientenmatrix
Wenn wir Gleichungen (23) als relative Gleichungen betrachten und beachten, dass die Determinante des Gleichungssystems (23) durch die Bedingung von Null verschieden ist, können wir sie mit bekannten Formeln eindeutig ausdrücken durch:
. (24)
Wir haben die „inverse“ Transformation für (23) erhalten. Die Koeffizientenmatrix dieser Transformation
Wir nennen die inverse Matrix für die Matrix. Aus (24) ist das leicht zu erkennen
, (25)
Wo ist das algebraische Komplement (Adjunkt) des Elements in der Determinante? 
.
Also zum Beispiel, wenn
Und ,
.
Wenn wir aus dieser Transformation (23) und der Umkehrung (24) in der einen und der anderen Reihenfolge eine zusammengesetzte Transformation bilden, erhalten wir in beiden Fällen eine identische Transformation (mit einer Einheitsmatrix von Koeffizienten); Deshalb
. (26)
Die Gültigkeit von Gleichungen (26) kann auch durch direkte Multiplikation der Matrizen und überprüft werden. Aufgrund von (25)
.
Ebenfalls
.
Es ist leicht zu erkennen, dass die Matrixgleichungen
Sie haben keine anderen Lösungen als die Lösung. Tatsächlich erhalten wir in beiden Fällen, wenn wir beide Seiten der ersten Gleichung links und der zweiten rechts mit der kombinatorischen Eigenschaft des Matrizenprodukts sowie der Gleichheit (26) multiplizieren und verwenden:
Auf die gleiche Weise wird bewiesen, dass jede der Matrixgleichungen
wobei und rechteckige Matrizen gleicher Größe sind, eine quadratische Matrix der entsprechenden Größe ist und nur eine Lösung hat:
Und dementsprechend (29)
Matrizen (29) sind sozusagen die „linken“ und „rechten“ Quotienten der „Division“ einer Matrix durch eine Matrix. Aus (28) und (29) folgt jeweils (siehe Seite 22) und , d.h. . Im Vergleich zu (28) gilt:
Wenn eine rechteckige Matrix von links oder rechts mit einer nicht singulären Matrix multipliziert wird, ändert sich der Rang der ursprünglichen Matrix nicht.
Beachten wir auch, dass aus (26) folgt, d.h.
Für das Produkt zweier nicht singulärer Matrizen gilt:
. (30)
3. Alle Matrizen th-Ordnung bilden mit dem Identitätselement einen Ring. Da in diesem Ring die Operation der Multiplikation mit einer Zahl aus dem Feld definiert ist und es eine Basis linear unabhängiger Matrizen gibt, durch die alle Matrizen der ten Ordnung linear ausgedrückt werden, ist der Ring der Matrizen der ten Ordnung eine Algebra.
Alle quadratischen Matrizen der Ordnung bilden bezüglich der Additionsoperation eine kommutative Gruppe. Alle nichtsingulären Matrizen th. Ordnung bilden bezüglich der Multiplikationsoperation eine (nichtkommutative) Gruppe.
Eine quadratische Matrix heißt oberes Dreieck (unteres Dreieck), wenn alle Matrixelemente, die sich unter der Hauptdiagonale (über der Hauptdiagonale) befinden, gleich Null sind:
, 
.
Eine Diagonalmatrix ist ein Sonderfall sowohl der oberen als auch der unteren Matrix Dreiecksmatrix.
Da die Determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ist, ist eine Dreiecksmatrix (und insbesondere eine Diagonalmatrix) nur dann nicht singulär, wenn alle ihre Diagonalelemente ungleich Null sind.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Summe und das Produkt zweier Diagonalmatrizen (oberes Dreieck, unteres Dreieck) eine Diagonalmatrix (oberes Dreieck bzw. unteres Dreieck) ist und dass die inverse Matrix für eine nicht singuläre Diagonale (oberes Dreieck, unteres Dreieck) ist dreieckige) Matrix ist eine Matrix desselben Typs. Deshalb
1° Alle diagonalen, alle oberen Dreiecksmatrizen, alle unteren Dreiecksmatrizen th. Ordnung bilden bezüglich der Additionsoperation drei kommutative Gruppen.
2° Alle nichtsingulären Diagonalmatrizen bilden bei Multiplikation eine kommutative Gruppe.
3° Alle nichtsingulären oberen (unteren) Dreiecksmatrizen bilden unter Multiplikation eine Gruppe (nicht kommutativ).
4. Zum Abschluss dieses Abschnitts weisen wir auf zwei wichtige Operationen auf Matrizen hin – die Transponierung einer Matrix und die Übergabe an die konjugierte Matrix.
Wenn eine quadratische Matrix mit ihrer Transponierten () übereinstimmt, wird eine solche Matrix als symmetrisch bezeichnet. Wenn eine quadratische Matrix mit ihrem Konjugat () übereinstimmt, wird sie Hermitesch genannt. In einer symmetrischen Matrix sind Elemente, die symmetrisch zur Hauptdiagonale angeordnet sind, gleich, in einer hermiteschen Matrix sind sie jedoch komplex konjugiert miteinander. Die Diagonalelemente einer hermiteschen Matrix sind immer reell. Beachten Sie, dass das Produkt zweier symmetrischer (hermitescher) Matrizen im Allgemeinen keine symmetrische (hermitesche) Matrix ist. Aufgrund von 3° tritt dies nur dann auf, wenn die beiden gegebenen symmetrischen oder hermiteschen Matrizen miteinander kommutieren.
Fördert Gleichberechtigung.
Unterscheidet sich eine quadratische Matrix um den Faktor -1 von ihrer Transponierten (), dann nennt man eine solche Matrix schiefsymmetrisch. In einer schiefsymmetrischen Matrix unterscheiden sich zwei beliebige Elemente, die symmetrisch zur Hauptdiagonale liegen, um den Faktor -1 voneinander und die Diagonalelemente sind gleich Null. Aus 3° folgt, dass das Produkt zweier miteinander vertauschter schiefsymmetrischer Matrizen eine symmetrische Matrix ist.
Operationen an Matrizen und ihren Eigenschaften.
Das Konzept einer Determinante zweiter und dritter Ordnung.Eigenschaften von Determinanten und ihre Berechnung.
3. allgemeine Beschreibung Aufgaben.
4. Aufgaben erledigen.
5. Erstellung eines Berichts über die Laborarbeit.
Glossar
Lernen Sie die folgenden Definitionen kennen Bedingungen:
Abmessungen Eine Matrix ist eine Sammlung zweier Zahlen, bestehend aus der Anzahl ihrer Zeilen m und der Anzahl ihrer Spalten n.
Wenn m=n, dann heißt die Matrix Quadrat Ordnungsmatrix n.
Operationen auf Matrizen: Transponieren einer Matrix, Multiplizieren (Dividieren) einer Matrix mit einer Zahl, Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren einer Matrix mit einer Matrix.
Der Übergang von der Matrix A zur Matrix A m, deren Zeilen Spalten und deren Spalten Zeilen der Matrix A sind, wird aufgerufen Umsetzung Matrizen A.
Beispiel: A = , A t = .
Zu Matrix mit Zahl multiplizieren, müssen Sie jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multiplizieren.
Beispiel: 2A= 2· = .
Summe (Differenz) Matrizen A und B derselben Dimension heißen Matrix C=A B, deren Elemente gleich sind mit ij = a ij b ij für alle ich Und J.
Beispiel: A = ; B = . A+B= 
= .
Die Arbeit Matrix A m n in Matrix B n k heißt Matrix C m k , deren jedes Element c ij ist gleich der Summe Produkte der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A mit dem entsprechenden Element der j-ten Spalte der Matrix B:
c ij = a i1 · b 1j + a i2 · b 2j +…+ a in · b nj .
Um eine Matrix mit einer Matrix multiplizieren zu können, müssen sie es sein vereinbart zur Multiplikation, nämlich Anzahl der Spalten in der ersten Matrix sollte gleich sein anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix.
Beispiel: A= und B=.
А·В – unmöglich, weil sie sind nicht konsistent.
VA= . = 
= 
.
Eigenschaften der Matrixmultiplikationsoperation.
1. Wenn Matrix A die Dimension hat m n, und Matrix B ist die Dimension nk, dann existiert das Produkt A·B.
Das Produkt BA kann nur existieren, wenn m=k.
2. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. A·B ist nicht immer gleich BA·A, selbst wenn beide Produkte definiert sind. Ist jedoch die Beziehung А·В=В·А erfüllt, dann heißen die Matrizen A und B permutierbar.
Beispiel. Berechnung.
Unerheblich Element ist die Determinante der Ordnungsmatrix, die durch Löschen der dritten Zeile der zweiten Spalte erhalten wird.
Algebraisches Komplement Element heißt .
Laplace-Erweiterungssatz:
Die Determinante einer quadratischen Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen.
Beispiel. Berechnung.
Lösung. .
Eigenschaften von Determinanten n-ter Ordnung:
1) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die Zeilen und Spalten vertauscht werden.
2) Wenn die Determinante eine Zeile (Spalte) nur aus Nullen enthält, dann ist sie gleich Null.
3) Wenn zwei Zeilen (Spalten) neu angeordnet werden, ändert die Determinante das Vorzeichen.
4) Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen (Spalten) ist gleich Null.
5) Der gemeinsame Faktor der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.
6) Wenn jedes Element einer bestimmten Zeile (Spalte) die Summe zweier Terme ist, dann ist die Determinante gleich der Summe zweier Determinanten, in denen alle Zeilen (Spalten) außer der genannten gleich sind in dieser Determinante und in der genannten Zeile (Spalte) der ersten Determinante sind die ersten Terme enthalten, die zweite - die zweite.
7) Wenn zwei Zeilen (Spalten) in der Determinante proportional sind, dann ist sie gleich Null.
8) Die Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer bestimmten Zeile (Spalte) addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.
9) Die Determinanten von Dreiecks- und Diagonalmatrizen sind gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale.
Die Methode zur Akkumulation von Nullen zur Berechnung von Determinanten basiert auf den Eigenschaften von Determinanten.
Beispiel. Berechnung.
Lösung. Subtrahieren wir das doppelte Drittel von der ersten Zeile und verwenden wir dann den Erweiterungssatz in der ersten Spalte.
~ 
.
Kontrollfragen(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
1. Was nennt man eine Determinante zweiter Ordnung?
2. Was sind die Haupteigenschaften von Determinanten?
3. Was ist das Moll eines Elements?
4. Was nennt man das algebraische Komplement eines Elements einer Determinante?
5. Wie erweitert man die Determinante dritter Ordnung in die Elemente einer Zeile (Spalte)?
6. Was ist die Summe der Produkte der Elemente einer Zeile (oder Spalte), die Determinante der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (oder Spalte)?
7. Was ist die Dreiecksregel?
8. Wie werden Determinanten höherer Ordnungen mit der Ordnungsreduktionsmethode berechnet?
10. Welche Matrix heißt Quadrat? Null? Was ist eine Zeilenmatrix, eine Spaltenmatrix?
11. Welche Matrizen heißen gleich?
12. Geben Sie Definitionen der Operationen Addition, Multiplikation von Matrizen und Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl an
13. Welche Bedingungen müssen die Größen von Matrizen bei der Addition und Multiplikation erfüllen?
14. Welche Eigenschaften haben algebraische Operationen: Kommutativität, Assoziativität, Distributivität? Welche davon sind für Matrizen bei der Addition und Multiplikation erfüllt und welche nicht?
15. Was ist eine inverse Matrix? Für welche Matrizen ist es definiert?
16. Formulieren Sie einen Satz über die Existenz und Einzigartigkeit der inversen Matrix.
17. Formulieren Sie ein Lemma zur Transposition eines Matrizenprodukts.
Allgemeine praktische Aufgaben(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
Nr. 1. Finden Sie die Summe und Differenz der Matrizen A und B :
A) 
B) 
V) 
Nr. 2. Folge diesen Schritten :
c) Z= -11A+7B-4C+D
Wenn 
Nr. 3. Folge diesen Schritten :
V) 
Nummer 4. Ermitteln Sie mithilfe von vier Methoden zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix die Determinanten der folgenden Matrizen :
Nr. 5. Finden Sie Determinanten n-ter Ordnung, basierend auf den Elementen der Spalte (Zeile) :
A) 
B) 
Nr. 6. Finden Sie die Determinante einer Matrix mithilfe der Eigenschaften von Determinanten:
A) 
B) 
Punkte im Raum, Produkt Rv gibt einen weiteren Vektor an, der die Position des Punktes nach der Drehung bestimmt. Wenn v ist ein Zeilenvektor, mit dem die gleiche Transformation erhalten werden kann vR T, wo R T - transponiert zu R Matrix.
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Matrix: Definition und Grundkonzepte
Wo man Kraft und Inspiration bekommt. Die 4-Quadrat-Matrix aufladen
Summe und Differenz von Matrizen, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Transponierte Matrix / Transponierte Matrix
Untertitel
Hauptdiagonale
Elemente A ii (ich = 1, ..., N) bilden die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix. Diese Elemente liegen auf einer imaginären geraden Linie, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke der Matrix verläuft. Beispielsweise enthält die Hauptdiagonale der 4x4-Matrix in der Abbildung die Elemente A 11 = 9, A 22 = 11, A 33 = 4, A 44 = 10.
Die Diagonale einer quadratischen Matrix, die durch die untere linke und obere rechte Ecke verläuft, wird aufgerufen Seite.
Sondertypen
| Name | Beispiel mit N = 3 |
|---|---|
| Diagonale Matrix | [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Untere dreieckige Matrix | [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Obere dreieckige Matrix | [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind, A Diagonale genannt. Wenn alle Elemente über (unter) der Hauptdiagonale Null sind, A wird als untere (obere) Dreiecksmatrix bezeichnet.
Identitätsmatrix
Q(X) = X T Axtnimmt nur positive Werte an (bzw. negative Werte oder beides). Wenn eine quadratische Form nur nicht negative (bzw. nur nicht positive) Werte annimmt, heißt die symmetrische Matrix positiv semidefinit (bzw. negativ semidefinit). Eine Matrix ist unbestimmt, wenn sie weder positiv noch negativ semidefinit ist.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind. Die Tabelle rechts zeigt zwei mögliche Fälle für 2x2-Matrizen.
Wenn wir zwei verschiedene Vektoren verwenden, erhalten wir eine assoziierte bilineare Form A:
B A (X, j) = X T Ja.Orthogonale Matrix
Orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix mit reellen Elementen, deren Spalten und Zeilen orthogonale Einheitsvektoren (d. h. orthonormal) sind. Sie können auch definieren orthogonale Matrix als Matrix, deren Umkehrung gleich der transponierten ist:
A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)Woher kommt das
A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),Orthogonale Matrix A immer reversibel ( A −1 = A T), einheitlich ( A −1 = A*) und normal ( A*A = A.A.*). Die Determinante jeder orthonormalen Matrix ist entweder +1 oder −1. Als lineare Abbildung ist jede orthonormale Matrix mit der Determinante +1 eine einfache Rotation, während jede orthonormale Matrix mit der Determinante −1 entweder eine einfache Spiegelung oder eine Zusammensetzung aus Spiegelung und Drehung ist.
Operationen
Schiene
Bestimmend det( A) oder | A| quadratische Matrix A ist eine Zahl, die einige Eigenschaften der Matrix bestimmt. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.
Determinanten quadratischer Matrizen.
Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die die quadratische Matrix A charakterisiert und in engem Zusammenhang mit der Lösung von Systemen steht lineare Gleichungen. Die Determinante der Matrix A wird mit oder bezeichnet. Jede quadratische Matrix A der Ordnung n ist nach einem bestimmten Gesetz mit einer berechneten Zahl verbunden, die als Determinante oder Determinante der n-ten Ordnung dieser Matrix bezeichnet wird. Betrachten wir Determinanten zweiter und dritter Ordnung.
Die Matrix sei gegeben
,
dann wird seine Determinante zweiter Ordnung durch die Formel berechnet
.
Beispiel. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A:
Antwort: -10.
Die Determinante dritter Ordnung wird nach der Formel berechnet
Beispiel. Berechnen Sie die Determinante der Matrix B
.
Antwort: 83.
Die Determinante n-ter Ordnung wird auf der Grundlage der Eigenschaften der Determinante und des folgenden Laplace-Theorems berechnet: Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix und ihrer algebraischen Komplemente:
Algebraisches Komplement Element gleich 
, wobei das Nebenelement des Elements ist, das durch Durchstreichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte in der Determinante erhalten wird.
Unerheblich Die Ordnung eines Elements der Matrix A ist die Determinante einer Matrix (n-1)-ter Ordnung, die aus Matrix A durch Löschen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird.
Beispiel. Finden Sie algebraische Komplemente aller Elemente der Matrix A:
.
Antwort: 
.
Beispiel. Berechnen Sie die Determinante der Matrix einer Dreiecksmatrix:
Antwort: -15.
Eigenschaften von Determinanten:
1. Wenn eine Zeile (Spalte) der Matrix nur aus Nullen besteht, ist ihre Determinante 0.
2. Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix mit der Zahl multipliziert werden, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert.
3. Beim Transponieren einer Matrix ändert sich ihre Determinante nicht.
4. Wenn zwei Zeilen (Spalten) einer Matrix neu angeordnet werden, ändert ihre Determinante das Vorzeichen in das entgegengesetzte.
5. Wenn eine quadratische Matrix zwei identische Zeilen (Spalten) enthält, ist ihre Determinante 0.
6. Wenn die Elemente zweier Zeilen (Spalten) einer Matrix proportional sind, dann ist ihre Determinante 0.
7. Die Summe des Produkts der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer Matrix durch die algebraischen Komplemente der Elemente einer anderen Zeile (Spalte) dieser Matrix ist gleich 0.
8. Die Determinante der Matrix ändert sich nicht, wenn Elemente einer anderen Zeile (Spalte), die zuvor mit derselben Zahl multipliziert wurden, zu den Elementen einer beliebigen Zeile (Spalte) der Matrix hinzugefügt werden.
9. Die Summe der Produkte beliebiger Zahlen durch die algebraischen Komplemente der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) ist gleich der Determinante der Matrix, die man daraus erhält, indem man die Elemente dieser Zeile (Spalte) durch Zahlen ersetzt.
10. Die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.
Inverse Matrix.
Definition. Eine Matrix heißt die Umkehrung einer quadratischen Matrix A, wenn man bei Multiplikation dieser Matrix mit der gegebenen sowohl rechts als auch links die Identitätsmatrix erhält:
.
Aus der Definition folgt, dass nur eine quadratische Matrix eine Umkehrung hat; In diesem Fall ist die Umkehrmatrix ebenfalls ein Quadrat derselben Ordnung. Wenn die Determinante einer Matrix ungleich Null ist, dann heißt eine solche quadratische Matrix nicht singulär.
Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix: Eine inverse Matrix existiert (und ist eindeutig) genau dann, wenn die ursprüngliche Matrix nicht singulär ist.
Der erste Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix:
1. Finden Sie die Determinante der Originalmatrix. Wenn die Determinante ungleich Null ist, ist die ursprüngliche Matrix nicht singulär und es existiert eine inverse Matrix.
2. Finden Sie die auf A transponierte Matrix.
3. Finden Sie die algebraischen Komplemente der Elemente der transponierten Matrix und bilden Sie daraus die adjungierte Matrix.
4. Berechnen Sie die inverse Matrix mit der Formel: .
5. Wir überprüfen die Richtigkeit der Berechnung der inversen Matrix anhand ihrer Definition 
.
Beispiel.
.
Antwort: 
.
Der zweite Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix:
Die inverse Matrix kann basierend auf den folgenden elementaren Transformationen über die Zeilen der Matrix berechnet werden:
Zwei Zeilen vertauschen;
Multiplizieren einer Matrixzeile mit einer beliebigen Zahl ungleich Null;
Hinzufügen einer weiteren Zeile zu einer Zeile einer Matrix, multipliziert mit einer beliebigen Zahl ungleich Null.
Um die inverse Matrix für Matrix A zu berechnen, ist es notwendig, die Matrix zusammenzusetzen, dann durch Elementartransformationen Matrix A auf die Form der Identitätsmatrix E zu reduzieren, dann erhalten wir anstelle der Identitätsmatrix die Matrix.
Beispiel. Berechnen Sie die inverse Matrix für Matrix A:
.
Wir bilden Matrix B der Form:
.
Element = 1 und die erste Zeile, die dieses Element enthält, wird als Hilfslinien bezeichnet. Führen wir elementare Transformationen durch, wodurch die erste Spalte in eine Einheitsspalte mit einer in der ersten Zeile umgewandelt wird. Addieren Sie dazu die erste Zeile zur zweiten und dritten Zeile, multipliziert mit 1 bzw. -2. Als Ergebnis dieser Transformationen erhalten wir:
.
Endlich bekommen wir
.
Wo 
.
Matrixrang. Der Rang einer Matrix heißt A höchste Ordnung Nicht-Null-Minderjährige dieser Matrix. Der Rang einer Matrix A wird mit rang(A) oder r(A) bezeichnet.
Aus der Definition folgt: a) Der Rang der Matrix überschreitet nicht die kleinere ihrer Dimensionen, d.h. r(A) ist kleiner oder gleich dem Minimum von m oder n; b) r(A)=0 genau dann, wenn alle Elemente der Matrix A gleich Null sind; c) für eine quadratische Matrix n-ter Ordnung r(A)=n genau dann, wenn die Matrix A nicht singulär ist.
Beispiel: Berechnen Sie die Ränge der Matrizen:
.
Antwort: r(A)=1. Antwort: r(A)=2.
Nennen wir die folgenden elementaren Matrixtransformationen:
1) Verwerfen der Nullzeile (Spalte).
2) Multiplikation aller Elemente einer Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer Zahl ungleich Null.
3) Ändern der Reihenfolge der Zeilen (Spalten) der Matrix.
4) Addieren zu jedem Element einer Zeile (Spalte) die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl.
5) Matrixtransposition.
Der Rang der Matrix ändert sich bei elementaren Matrixtransformationen nicht.
Beispiele: Berechnen Sie die Matrix wo
; 
;
Antwort: .
Beispiel: Matrix berechnen 
, Wo
; ; ; E ist die Identitätsmatrix.
Antwort: .
Beispiel: Berechnen Sie die Determinante einer Matrix
.
Antwort: 160.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob Matrix A eine Umkehrung hat, und wenn ja, berechnen Sie sie:
.
Antwort: 
.
Beispiel: Ermitteln Sie den Rang einer Matrix
.
Antwort: 2.
2.4.2. Systeme linearer Gleichungen.
Ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen hat die Form:
,
wobei , beliebige Zahlen sind, die jeweils Koeffizienten von Variablen und freie Terme von Gleichungen genannt werden. Die Lösung eines Gleichungssystems ist eine Menge von n Zahlen (), bei deren Ersetzung sich jede Gleichung des Systems in eine echte Gleichheit verwandelt.
Ein Gleichungssystem heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat, und inkonsistent, wenn es keine Lösungen hat. Ein simultanes Gleichungssystem heißt definit, wenn dies der Fall ist einzige Entscheidung und unbestimmt, wenn es mehr als eine Lösung hat.
Satz von Cramer: Sei die Determinante der Matrix A, bestehend aus Koeffizienten für die Variablen „x“, und sei die Determinante der Matrix, die aus Matrix A erhalten wird, indem die j-te Spalte dieser Matrix durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt wird. Wenn dann, dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln: (j=1, 2, …, n). Diese Gleichungen werden Cramer-Formeln genannt.
Beispiel. Lösen Sie Gleichungssysteme mit den Cramer-Formeln:
Antworten: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
Gauß-Methode– Die Methode der sequentiellen Eliminierung von Variablen besteht darin, dass mit Hilfe elementarer Transformationen das Gleichungssystem auf ein äquivalentes System in Stufenform (oder Dreiecksform) reduziert wird, aus dem alle anderen Variablen nacheinander ermittelt werden, beginnend mit der letzten Variablen nach Anzahl.
Beispiel: Gleichungssysteme mit der Gaußschen Methode lösen.
Antworten: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
Für simultane lineare Gleichungssysteme gelten folgende Aussagen:
· wenn der Rang der Matrix des Gelenksystems gleich der Anzahl der Variablen ist, d. h. r = n, dann hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung;
· wenn der Rang der Matrix des Gelenksystems kleiner ist als die Anzahl der Variablen, d.h. R 2.4.3. Technologie zur Durchführung von Operationen an Matrizen in EXCEL. Betrachten wir einige Aspekte der Arbeit mit dem Excel-Tabellenkalkulationsprozessor, die es ermöglichen, die zur Lösung von Optimierungsproblemen erforderlichen Berechnungen zu vereinfachen. Ein Tabellenprozessor ist ein Softwareprodukt zur Automatisierung der Verarbeitung tabellarischer Daten. Arbeiten mit Formeln. Tabellenkalkulationsprogramme verwenden Formeln, um viele verschiedene Berechnungen durchzuführen. Mit Excel können Sie schnell eine Formel erstellen. Die Formel besteht aus drei Hauptteilen: Gleichheitszeichen; Betreiber. Verwendung von Funktionen in Formeln. Um die Eingabe von Formeln zu erleichtern, können Sie Excel-Funktionen nutzen. Funktionen sind in Excel integrierte Formeln. Um eine bestimmte Formel zu aktivieren, klicken Sie auf die Schaltflächen Einfügen, Funktionen. Im erscheinenden Fenster Funktionsassistent Die linke Seite enthält eine Liste von Funktionstypen. Nach Auswahl des Typs wird rechts eine Liste der Funktionen selbst angezeigt. Die Auswahl der Funktionen erfolgt durch einen Mausklick auf den entsprechenden Namen. Beim Durchführen von Operationen an Matrizen, beim Lösen linearer Gleichungssysteme und beim Lösen von Optimierungsproblemen können Sie die folgenden Excel-Funktionen verwenden: MUMULT – Matrixmultiplikation; TRANSPOSE – Matrixtransposition; MOPRED - Berechnung der Determinante der Matrix; MOBR – Berechnung der inversen Matrix. Die Schaltfläche befindet sich in der Symbolleiste. Funktionen zur Durchführung von Matrixoperationen finden Sie in der Kategorie Mathematisch. Matrixmultiplikation mit Funktion MUMNIFE
. Die MULTIPLE-Funktion gibt das Produkt von Matrizen zurück (die Matrizen werden in den Arrays 1 und 2 gespeichert). Das Ergebnis ist ein Array mit der gleichen Anzahl an Zeilen wie Array 1 und der gleichen Anzahl an Spalten wie Array 2. Beispiel. Finden Sie das Produkt zweier Matrizen A und B in Excel (siehe Abbildung 2.9): Geben Sie die Matrizen A in die Zellen A2:C3 und B in die Zellen E2:F4 ein. Wählen Sie den Zellbereich für das Multiplikationsergebnis aus – H2:I2. Geben Sie die Matrixmultiplikationsformel =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4) ein. Drücken Sie STRG+UMSCHALT+EINGABETASTE. Matrixinverse Berechnungen mit der MOBR-Funktion. Die MOBR-Funktion gibt die inverse Matrix einer in einem Array gespeicherten Matrix zurück. Syntax: MOBR(Array). In Abb. 2.10 zeigt die Lösung des Beispiels in Excel. Beispiel. Finden Sie die Matrix, die zur gegebenen invers ist: Abbildung 2.9. Eingabedaten für die Matrixmultiplikation. Abbildung 2.10. Ausgangsdaten zur Berechnung der inversen Matrix. In diesem Thema betrachten wir das Konzept einer Matrix sowie die Arten von Matrizen. Da dieses Thema viele Begriffe enthält, werde ich eine kurze Zusammenfassung hinzufügen, um die Navigation im Material zu erleichtern. Matrix ist eine Tabelle mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Die Elemente einer Matrix können Objekte ganz anderer Art sein: Zahlen, Variablen oder beispielsweise andere Matrizen. Beispielsweise enthält die Matrix $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 Zeilen und 2 Spalten; seine Elemente sind ganze Zahlen. Die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ enthält 2 Zeilen und 4 Spalten. Verschiedene Möglichkeiten, Matrizen zu schreiben: Einblenden/Ausblenden Die Matrix kann nicht nur in runden, sondern auch in eckigen oder doppelten geraden Klammern geschrieben werden. Das heißt, die folgenden Einträge bedeuten dieselbe Matrix: $$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$ Das Produkt $m\times n$ heißt Matrixgröße. Wenn eine Matrix beispielsweise 5 Zeilen und 3 Spalten enthält, dann sprechen wir von einer Matrix der Größe $5\times 3$. Die Matrix $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ hat die Größe $3 \times 2$. Typischerweise werden Matrizen mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: $A$, $B$, $C$ und so weiter. Beispiel: $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Die Zeilennummerierung erfolgt von oben nach unten; Spalten - von links nach rechts. Beispielsweise enthält die erste Zeile der Matrix $B$ die Elemente 5 und 3 und die zweite Spalte enthält die Elemente 3, -87, 0. Elemente von Matrizen werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Beispielsweise werden die Elemente der Matrix $A$ mit $a_(ij)$ bezeichnet. Der Doppelindex $ij$ enthält Informationen über die Position des Elements in der Matrix. Die Zahl $i$ ist die Zeilennummer und die Zahl $j$ ist die Spaltennummer, an deren Schnittpunkt sich das Element $a_(ij)$ befindet. Zum Beispiel am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der fünften Spalte der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ Element $a_(25)= $59: Auf die gleiche Weise haben wir am Schnittpunkt der ersten Zeile und der ersten Spalte das Element $a_(11)=51$; am Schnittpunkt der dritten Zeile und der zweiten Spalte - das Element $a_(32)=-15$ und so weiter. Beachten Sie, dass der Eintrag $a_(32)$ „a three two“, aber nicht „a dreißig two“ lautet. Um die Matrix $A$, deren Größe $m\times n$ beträgt, abzukürzen, wird die Notation $A_(m\times n)$ verwendet. Sie können es etwas detaillierter schreiben: $$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$ wobei die Notation $(a_(ij))$ die Elemente der Matrix $A$ bezeichnet. In ihrer vollständig erweiterten Form kann die Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ wie folgt geschrieben werden: $$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$ Lassen Sie uns einen anderen Begriff einführen - gleiche Matrizen. Es werden zwei Matrizen gleicher Größe $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ aufgerufen gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind, d.h. $a_(ij)=b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$. Erklärung zum Eintrag $i=\overline(1,m)$: show\hide Die Notation „$i=\overline(1,m)$“ bedeutet, dass der Parameter $i$ von 1 bis m variiert. Beispielsweise gibt die Notation $i=\overline(1,5)$ an, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt. Damit Matrizen gleich sind, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Übereinstimmung der Größen und Gleichheit der entsprechenden Elemente. Beispielsweise ist die Matrix $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nicht gleich der Matrix $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, weil die Matrix $A$ die Größe $3\times 2$ und die Matrix $B$ hat hat die Größe $2\times $2. Außerdem ist die Matrix $A$ nicht gleich der Matrix $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , da $a_( 21)\neq c_(21)$ (d. h. $0\neq 98$). Aber für die Matrix $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ können wir sicher $A= schreiben F$, weil sowohl die Größen als auch die entsprechenden Elemente der Matrizen $A$ und $F$ übereinstimmen. Beispiel Nr. 1 Bestimmen Sie die Größe der Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Geben Sie an, was die Elemente $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ sind. Diese Matrix enthält 5 Zeilen und 3 Spalten, daher beträgt ihre Größe $5\times 3$. Sie können für diese Matrix auch die Notation $A_(5\times 3)$ verwenden. Das Element $a_(12)$ befindet sich am Schnittpunkt der ersten Zeile und der zweiten Spalte, also $a_(12)=-2$. Das Element $a_(33)$ befindet sich am Schnittpunkt der dritten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(33)=23$. Das Element $a_(43)$ befindet sich am Schnittpunkt der vierten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(43)=-5$. Antwort: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$. Gegeben sei eine bestimmte Matrix $A_(m\times n)$. Wenn $m=1$ (die Matrix besteht aus einer Zeile), dann wird die gegebene Matrix aufgerufen Matrixzeile. Wenn $n=1$ (die Matrix besteht aus einer Spalte), dann heißt eine solche Matrix Matrixspalte. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ eine Zeilenmatrix und $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ ist eine Spaltenmatrix. Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m\neq n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist nicht gleich der Anzahl der Spalten), dann wird oft gesagt, dass $A$ ein Rechteck ist Matrix. Beispielsweise hat die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ die Größe $2\times 4 $, jene. enthält 2 Zeilen und 4 Spalten. Da die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist, ist diese Matrix rechteckig. Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m=n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten), dann wird $A$ als quadratische Matrix der Ordnung $ bezeichnet n$. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ eine quadratische Matrix zweiter Ordnung; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ist eine quadratische Matrix dritter Ordnung. Im Allgemeinen kann die quadratische Matrix $A_(n\times n)$ wie folgt geschrieben werden: $$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$ Die Elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ gelten als on Hauptdiagonale Matrizen $A_(n\times n)$. Diese Elemente werden aufgerufen Hauptdiagonalelemente(oder nur diagonale Elemente). Die Elemente $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sind on seitliche (kleine) Diagonale; Sie heißen seitliche Diagonalelemente. Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ wir haben: Die Elemente $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sind die Hauptdiagonalelemente; Elemente $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sind Seitendiagonalelemente. Die Summe der Hauptdiagonalelemente wird aufgerufen gefolgt von der Matrix und wird mit $\Tr A$ (oder $\Sp A$) bezeichnet: $$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$ Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ wir haben: $$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$ Das Konzept der Diagonalelemente wird auch für nichtquadratische Matrizen verwendet. Zum Beispiel für die Matrix $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ die Hauptdiagonalelemente sind $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$. Wenn alle Elemente der Matrix $A_(m\times n)$ gleich Null sind, dann heißt eine solche Matrix Null und wird normalerweise mit dem Buchstaben $O$ bezeichnet. Zum Beispiel: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - Nullmatrizen. Die Matrix $A_(m\times n)$ habe die folgende Form: Dann wird diese Matrix aufgerufen trapezförmig. Es darf keine Nullzeilen enthalten, aber wenn sie vorhanden sind, befinden sie sich am unteren Rand der Matrix. In einer allgemeineren Form kann eine Trapezmatrix wie folgt geschrieben werden: Auch hier sind nachgestellte Nullzeilen nicht erforderlich. Diese. Formal können wir die folgenden Bedingungen für eine trapezförmige Matrix unterscheiden: Beispiele für trapezförmige Matrizen: Kommen wir zur nächsten Definition. Die Matrix $A_(m\times n)$ wird aufgerufen trat, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt: Schrittmatrizen wären zum Beispiel: Zum Vergleich: die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ist kein Echelon, da die dritte Zeile denselben Nullteil wie die zweite Zeile hat. Das heißt, das Prinzip „Je niedriger die Linie, desto größer der Nullteil“ wird verletzt. Ich möchte hinzufügen, dass eine Trapezmatrix ein Sonderfall einer Stufenmatrix ist. Kommen wir zur nächsten Definition. Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die sich unter der Hauptdiagonale befinden, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen obere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ ist eine obere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer oberen Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die über der Hauptdiagonale oder auf der Hauptdiagonale liegen. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix. Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die über der Hauptdiagonale liegen, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen untere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - untere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer unteren Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die sich unter oder auf der Hauptdiagonale befinden. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ und $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sind ebenfalls untere Dreiecksmatrizen. Die quadratische Matrix heißt Diagonale, wenn alle Elemente dieser Matrix, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind. Beispiel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Die Elemente auf der Hauptdiagonale können alles sein (gleich Null oder nicht) – es spielt keine Rolle. Die Diagonalmatrix heißt einzel, wenn alle auf der Hauptdiagonalen liegenden Elemente dieser Matrix gleich 1 sind. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ – Identitätsmatrix vierter Ordnung; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ist die Identitätsmatrix zweiter Ordnung.
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Definition einer Matrix und ihres Elements. Notation.
Arten von Matrizen abhängig von ihrer Größe. Haupt- und Nebendiagonalen. Matrixspur.
Arten von Matrizen abhängig von den Werten ihrer Elemente.
