Quadratische Form f(x 1, x 2,...,x n) von n Variablen ist eine Summe, deren Terme entweder das Quadrat einer der Variablen oder das Produkt zweier verschiedener Variablen mit einem bestimmten Koeffizienten sind: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Die aus diesen Koeffizienten zusammengesetzte Matrix A wird als Matrix quadratischer Form bezeichnet. Es ist immer symmetrisch Matrix (d. h. eine Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale, a ij =a ji).

In der Matrixschreibweise ist die quadratische Form f(X) = X T AX, wobei

Tatsächlich

Schreiben wir zum Beispiel rein Matrixform quadratische Form.

Dazu finden wir eine Matrix quadratischer Form. Seine Diagonalelemente sind gleich den Koeffizienten der quadrierten Variablen und die übrigen Elemente sind gleich den Hälften der entsprechenden Koeffizienten der quadratischen Form. Deshalb

Die Matrixspalte der Variablen X sei durch eine nicht entartete lineare Transformation der Matrixspalte Y erhalten, d.h. X = CY, wobei C eine nicht singuläre Matrix n-ter Ordnung ist. Dann ist die quadratische Form f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Bei einer nicht entarteten linearen Transformation C nimmt die Matrix quadratischer Form also die Form an: A * =C T AC.

Suchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(y 1, y 2), die wir aus der quadratischen Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 durch lineare Transformation erhalten.

Die quadratische Form heißt kanonisch(Es hat kanonische Sichtweise), wenn alle seine Koeffizientena ij = 0 für i≠j, d. h. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Seine Matrix ist diagonal.

Satz(Beweis hier nicht gegeben). Jede quadratische Form kann mithilfe einer nicht entarteten linearen Transformation auf die kanonische Form reduziert werden.

Bringen wir zum Beispiel die quadratische Form f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 in die kanonische Form.

Wählen Sie dazu zunächst ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 1 aus:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Nun wählen wir ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Dann nicht entartet lineare Transformation y 1 = x 1 + x 2 ,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 und y 3 = x 3 bringt diese quadratische Form in die kanonische Form f(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5 Jahre 2 2 - (1/20) Jahre 3 2 .

Beachten Sie, dass die kanonische Form einer quadratischen Form mehrdeutig bestimmt ist (dieselbe quadratische Form kann auf die kanonische Form reduziert werden). verschiedene Wege 1). Allerdings ist die erhalten verschiedene Wege Kanonische Formen haben eine Reihe allgemeiner Eigenschaften. Insbesondere hängt die Anzahl der Terme mit positiven (negativen) Koeffizienten einer quadratischen Form nicht von der Methode zur Reduzierung der Form auf diese Form ab (im betrachteten Beispiel gibt es beispielsweise immer zwei negative und einen positiven Koeffizienten). Diese Eigenschaft heißt Trägheitsgesetz quadratischer Formen.

Überprüfen wir dies, indem wir dieselbe quadratische Form auf andere Weise in die kanonische Form bringen. Beginnen wir die Transformation mit der Variablen x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , wobei y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 und y 3 = x 1 . Hier gibt es einen positiven Koeffizienten von 2 für y 3 und zwei negative Koeffizienten (-3) für y 1 und y 2 (und mit einer anderen Methode haben wir einen positiven Koeffizienten von 2 für y 1 und zwei negative Koeffizienten erhalten – (-5) für y 2 und (-1/20) für y 3 ).

Es ist auch zu beachten, dass der Rang einer Matrix quadratischer Form genannt wird Rang der quadratischen Form, ist gleich der Anzahl der Koeffizienten ungleich Null der kanonischen Form und ändert sich bei linearen Transformationen nicht.

Die quadratische Form f(X) heißt positiv(Negativ)bestimmt, wenn für alle Werte der Variablen, die nicht gleichzeitig Null sind, positiv ist, also f(X) > 0 (negativ, also f(X)< 0).

Beispielsweise ist die quadratische Form f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 positiv definit, weil ist eine Summe von Quadraten und die quadratische Form f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ist negativ definit, weil stellt dar, dass es in der Formf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 dargestellt werden kann.

In den meisten praktischen Situationen ist es etwas schwieriger, das eindeutige Vorzeichen einer quadratischen Form zu bestimmen, daher verwenden wir hierfür einen der folgenden Sätze (wir werden sie ohne Beweis formulieren).

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Matrix positiv (negativ) sind.

Satz (Sylvester-Kriterium). Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Minorwerte der Matrix dieser Form positiv sind.

Haupt-(Eck-)Moll Die Matrizen k-ter Ordnung der An-ten Ordnung werden als Determinante der Matrix bezeichnet und bestehen aus den ersten k Zeilen und Spalten der Matrix A ().

Beachten Sie, dass sich bei negativ definiten quadratischen Formen die Vorzeichen der Hauptminorformen abwechseln und das Minor erster Ordnung negativ sein muss.

Untersuchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 auf Vorzeichendefinitheit.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Daher ist die quadratische Form positiv definit.

Methode 2. Hauptminor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Hauptminor zweiter Ordnung  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Daher nach Sylvesters Kriterium das Quadratische Form ist positiv definit.

Wir untersuchen eine andere quadratische Form auf Vorzeichendefinitheit, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Lassen Sie uns eine Matrix der quadratischen Form A = konstruieren. Die charakteristische Gleichung wird die Form haben = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Daher ist die quadratische Form negativ definit.

Methode 2. Haupt-Minor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Daher ist die quadratische Form nach Sylvesters Kriterium negativ definit (die Vorzeichen der Hauptminderjährigen wechseln sich ab, beginnend mit dem Minus).

Und als weiteres Beispiel untersuchen wir die vorzeichenbestimmte quadratische Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Lassen Sie uns eine Matrix der quadratischen Form A = konstruieren. Die charakteristische Gleichung wird die Form haben = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Eine dieser Zahlen ist negativ und die andere ist positiv. Die Vorzeichen der Eigenwerte sind unterschiedlich. Folglich kann die quadratische Form weder negativ noch positiv definit sein, d.h. Diese quadratische Form ist nicht vorzeichenbestimmt (sie kann Werte mit jedem Vorzeichen annehmen).

Methode 2. Hauptminor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Hauptminor zweiter Ordnung 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Die betrachtete Methode zur Reduzierung einer quadratischen Form auf eine kanonische Form ist praktisch anzuwenden, wenn bei den Quadraten von Variablen Koeffizienten ungleich Null angetroffen werden. Wenn sie nicht vorhanden sind, ist die Konvertierung immer noch möglich, Sie müssen jedoch andere Techniken verwenden. Sei zum Beispiel f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, wobei y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Zweck des Dienstes. Online-Rechner zum Finden verwendet Hessische Matrizen und Bestimmen des Funktionstyps (konvex oder konkav) (siehe Beispiel). Die Lösung wird im Word-Format erstellt. Für eine Funktion einer Variablen f(x) werden Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle bestimmt.

f(x 1 ,x 2 ,x 3) =

Finden Sie am Punkt X 0: x 1 = , x 2 = , x 3 =

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f(x) ist genau dann konvex (konkav), wenn Hessische Matrix die Funktion f(x) bezüglich x ist für alle x positiv (negativ) semidefinit (siehe Punkte lokaler Extrema einer Funktion mehrerer Variablen).

Funktionskritische Punkte:

• wenn die Hesse-Funktion positiv definit ist, dann ist x 0 der lokale Minimalpunkt der Funktion f(x),
• wenn die Hesse-Funktion negativ definit ist, dann ist x 0 der lokale Maximalpunkt der Funktion f(x),
• wenn das Hesse-Zeichen nicht vorzeichenbestimmt ist (akzeptiert sowohl positive als auch negative Werte) und nicht entartet (det G(f) ≠ 0), dann ist x 0 der Sattelpunkt der Funktion f(x).

Kriterien für die Bestimmtheit einer Matrix (Satz von Sylvester)

Positive Gewissheit:

• alle diagonalen Elemente der Matrix müssen positiv sein;
• Alle führenden Hauptqualifikatoren müssen positiv sein.

Für positive semidefinite Matrizen Sylvester-Kriterium klingt so: Eine Form ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle großen Nebenformen nicht negativ sind. Wenn die Hesse-Matrix an einem Punkt positiv semidefinit ist (alle größeren Nebenwerte sind nicht negativ), dann ist dies ein Minimalpunkt (wenn die Hesse-Matrix jedoch halbdefinit ist und einer der Nebenwerte 0 ist, kann dies ein Sattelpunkt sein. Es sind zusätzliche Kontrollen erforderlich).

Positive Semidefinitheit:

• alle Diagonalelemente sind nicht negativ;
• Alle Hauptdeterminanten sind nicht negativ.

Die Dur-Determinante ist die Determinante des Dur-Moll.

Eine quadratische symmetrische Matrix der Ordnung n, deren Elemente die partiellen Ableitungen der Zielfunktion zweiter Ordnung sind, wird als Hessische Matrix bezeichnet und trägt die Bezeichnung:

Damit eine symmetrische Matrix positiv definit ist, ist es notwendig und ausreichend, dass alle ihre diagonalen Nebenmatrix positiv sind, d.h.


für die Matrix A = (a ij) positiv sind.

Negative Gewissheit.
Damit eine symmetrische Matrix negativ definit ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgenden Ungleichungen auftreten:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Mit anderen Worten, damit die quadratische Form vorliegt negativ definitiv, ist es notwendig und ausreichend, dass sich die Vorzeichen der Winkelminoren einer Matrix quadratischer Form abwechseln, beginnend mit dem Minuszeichen. Zum Beispiel für zwei Variablen, D 1< 0, D 2 > 0.

Wenn das Hessische semidefinit ist, kann dies auch ein Wendepunkt sein. Es sind zusätzliche Recherchen erforderlich, die mit einer der folgenden Optionen durchgeführt werden können:

1. Absteigende Reihenfolge. Es wird eine Variablenänderung vorgenommen. Für eine Funktion zweier Variablen gilt beispielsweise y=x, als Ergebnis erhalten wir eine Funktion einer Variablen x. Als nächstes untersuchen wir das Verhalten der Funktion auf den Linien y=x und y=-x. Wenn im ersten Fall die Funktion am untersuchten Punkt ein Minimum und im anderen Fall ein Maximum aufweist (oder umgekehrt), dann ist der untersuchte Punkt ein Sattelpunkt.
2. Finden der Eigenwerte des Hessischen. Sind alle Werte positiv, hat die Funktion am Untersuchungspunkt ein Minimum, sind alle Werte negativ, gibt es ein Maximum.
3. Untersuchung der Funktion f(x) in der Umgebung des Punktes ε. Variablen x werden durch x 0 +ε ersetzt. Als nächstes muss bewiesen werden, dass die Funktion f(x 0 +ε) einer Variablen ε entweder größer als Null ist (dann ist x 0 der Minimalpunkt) oder weniger als Null(dann ist x 0 der Maximalpunkt).

Notiz. Finden inverses Hessisch Es reicht aus, die Umkehrmatrix zu finden.

Beispiel Nr. 1. Welches von folgende Funktionen konvex oder konkav sind: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Lösung. 1. Finden wir partielle Ableitungen.


2. Lösen wir das Gleichungssystem.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Wir bekommen:
a) Aus der ersten Gleichung drücken wir x 1 aus und setzen es in die zweite Gleichung ein:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Wobei x 2 = 4
Wir setzen diese Werte x 2 in den Ausdruck für x 1 ein. Wir erhalten: x 1 = 9 / 2
Die Anzahl der kritischen Punkte beträgt 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Finden wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.



4. Berechnen wir den Wert dieser partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in kritische Punkte M(x 0 ;y 0).
Wir berechnen die Werte für Punkt M 1 (9 / 2 ;4)



Wir erstellen die Hesse-Matrix:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Da diagonale Minderjährige haben verschiedene Zeichen, dann kann nichts über die Konvexität oder Konkavität der Funktion gesagt werden.

Positiv bestimmte quadratische Formen

Definition. Quadratische Form von N Unbekannte werden aufgerufen positiv definitiv, wenn sein Rang gleich dem positiven Trägheitsindex und gleich der Anzahl der Unbekannten ist.

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn sie für jede von Null verschiedene Wertemenge der Variablen positive Werte annimmt.

Nachweisen. Die quadratische Form sei eine nicht entartete lineare Transformation der Unbekannten

wieder normalisiert

.

Für jeden Satz von Variablenwerten ungleich Null mindestens eine der Zahlen von Null verschieden, d.h. . Die Notwendigkeit des Satzes ist bewiesen.

Angenommen, die quadratische Form nimmt bei jedem Variablensatz ungleich Null positive Werte an, ihr positiver Trägheitsindex ist jedoch eine nicht entartete lineare Transformation der Unbekannten

Bringen wir es in die Normalform. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass in dieser Normalform das Quadrat der letzten Variablen entweder fehlt oder mit einem Minuszeichen versehen ist, d. h. , wo oder . Nehmen wir an, dass es sich um einen Satz variabler Werte ungleich Null handelt, der als Ergebnis der Lösung des Systems erhalten wird lineare Gleichungen

In diesem System ist die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen und die Determinante des Systems ist ungleich Null. Nach dem Satz von Cramer hat das System einzige Entscheidung, und es ist ungleich Null. Für dieses Set. Widerspruch zur Bedingung. Wir stoßen auf einen Widerspruch mit der Annahme, die die Hinlänglichkeit des Satzes beweist.

Mit diesem Kriterium ist es unmöglich, anhand der Koeffizienten zu bestimmen, ob die quadratische Form positiv definit ist. Die Antwort auf diese Frage gibt ein anderer Satz, zu dessen Formulierung wir ein anderes Konzept einführen. Hauptdiagonale Minderjährige einer Matrix– Dies sind Minderjährige in der oberen linken Ecke:

, , , … , .

Satz.Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Hauptdiagonalen positiv sind.

Nachweisen Wir werden die Methode der Vollständigkeit durchführen mathematische Induktion nach Nummer N quadratische Variablen F.

Induktionshypothese. Nehmen wir das für quadratische Formen mit weniger Variablen an N die aussage stimmt.

Betrachten Sie die quadratische Form von N Variablen. Setzen wir alle Begriffe ein, die enthalten. Die übrigen Terme bilden eine quadratische Form der Variablen. Nach der Induktionshypothese gilt die Aussage für sie.

Nehmen Sie an, dass die quadratische Form positiv definit ist. Dann ist die quadratische Form positiv definit. Wenn wir davon ausgehen, dass dies nicht der Fall ist, dann gibt es eine Menge von Variablenwerten ungleich Null , wofür und dementsprechend, , und dies widerspricht der Tatsache, dass die quadratische Form positiv definit ist. Nach der Induktionshypothese sind alle Hauptdiagonalen einer quadratischen Form positiv, d. h. alle ersten Hauptminderjährigen in quadratischer Form F sind positiv. Letzter Hauptmoll in quadratischer Form – Dies ist die Determinante seiner Matrix. Diese Determinante ist positiv, da ihr Vorzeichen mit dem Vorzeichen der Matrix ihrer Normalform übereinstimmt, d.h. mit dem Vorzeichen der Determinante der Identitätsmatrix.

Seien alle Hauptdiagonalen der quadratischen Form positiv. Dann sind alle Hauptdiagonalen der quadratischen Form positiv aus der Gleichheit . Nach der Induktionshypothese ist die quadratische Form positiv definit, es gibt also eine nicht entartete lineare Transformation der Variablen, die die Form auf die Form der Quadratsumme der neuen Variablen reduziert. Diese lineare Transformation kann durch Setzen auf eine nicht entartete lineare Transformation aller Variablen erweitert werden. Diese Transformation reduziert die quadratische Form auf die Form

Quadratische Formen

Quadratische Form f(x 1, x 2,...,x n) von n Variablen ist eine Summe, deren Terme entweder das Quadrat einer der Variablen oder das Produkt zweier verschiedener Variablen mit einem bestimmten Koeffizienten sind: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Die aus diesen Koeffizienten zusammengesetzte Matrix A wird als Matrix quadratischer Form bezeichnet. Es ist immer symmetrisch Matrix (d. h. eine Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale, a ij = a ji).

In der Matrixschreibweise ist die quadratische Form f(X) = X T AX, wobei

Tatsächlich

Schreiben wir zum Beispiel die quadratische Form in Matrixform.

Dazu finden wir eine Matrix quadratischer Form. Seine Diagonalelemente sind gleich den Koeffizienten der quadrierten Variablen und die übrigen Elemente sind gleich den Hälften der entsprechenden Koeffizienten der quadratischen Form. Deshalb

Die Matrixspalte der Variablen X sei durch eine nicht entartete lineare Transformation der Matrixspalte Y erhalten, d.h. X = CY, wobei C eine nicht singuläre Matrix n-ter Ordnung ist. Dann die quadratische Form
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Bei einer nicht entarteten linearen Transformation C nimmt die Matrix quadratischer Form also die Form an: A * = C T AC.

Suchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(y 1, y 2), die wir aus der quadratischen Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 durch lineare Transformation erhalten.

Die quadratische Form heißt kanonisch(Es hat kanonische Sichtweise), wenn alle seine Koeffizienten a ij = 0 für i ≠ j, d.h.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Seine Matrix ist diagonal.

Satz(Beweis hier nicht gegeben). Jede quadratische Form kann mithilfe einer nicht entarteten linearen Transformation auf die kanonische Form reduziert werden.

Reduzieren wir zum Beispiel die quadratische Form auf die kanonische Form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Wählen Sie dazu zunächst ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 1 aus:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Nun wählen wir ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Dann bringt die nicht entartete lineare Transformation y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 und y 3 = x 3 diese quadratische Form in die kanonische Form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Beachten Sie, dass die kanonische Form einer quadratischen Form mehrdeutig bestimmt wird (die gleiche quadratische Form kann auf unterschiedliche Weise auf die kanonische Form reduziert werden). Die durch verschiedene Methoden erhaltenen kanonischen Formen haben jedoch eine Reihe von allgemeine Eigenschaften. Insbesondere hängt die Anzahl der Terme mit positiven (negativen) Koeffizienten einer quadratischen Form nicht von der Methode zur Reduzierung der Form auf diese Form ab (im betrachteten Beispiel gibt es beispielsweise immer zwei negative und einen positiven Koeffizienten). Diese Eigenschaft heißt Trägheitsgesetz quadratischer Formen.

Überprüfen wir dies, indem wir dieselbe quadratische Form auf andere Weise in die kanonische Form bringen. Beginnen wir die Transformation mit der Variablen x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, wobei y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 und y 3 = x 1 . Hier gibt es einen positiven Koeffizienten von 2 bei y 3 und zwei negative Koeffizienten (-3) bei y 1 und y 2 (und mit einer anderen Methode haben wir einen positiven Koeffizienten von 2 bei y 1 und zwei negative Koeffizienten - (-5) bei y 2 und (-1 /20) bei y 3).

Es ist auch zu beachten, dass der Rang einer Matrix quadratischer Form genannt wird Rang der quadratischen Form, ist gleich der Anzahl der Koeffizienten ungleich Null der kanonischen Form und ändert sich bei linearen Transformationen nicht.

Die quadratische Form f(X) heißt positiv (Negativ) bestimmt, wenn für alle Werte der Variablen, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, positiv ist, d.h. f(X) > 0 (negativ, d. h.
f(X)< 0).

Beispielsweise ist die quadratische Form f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 positiv definit, weil ist eine Summe von Quadraten und die quadratische Form f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ist negativ definit, weil stellt dar, dass es als f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 dargestellt werden kann.

In den meisten praktischen Situationen ist es etwas schwieriger, das eindeutige Vorzeichen einer quadratischen Form zu bestimmen, daher verwenden wir hierfür einen der folgenden Sätze (wir werden sie ohne Beweis formulieren).

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Matrix positiv (negativ) sind.

Satz (Sylvester-Kriterium). Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Minorwerte der Matrix dieser Form positiv sind.

Haupt-(Eck-)Moll Die Matrix A n-ter Ordnung k-ter Ordnung wird als Determinante der Matrix bezeichnet und besteht aus den ersten k Zeilen und Spalten der Matrix A ().

Beachten Sie, dass sich bei negativ definiten quadratischen Formen die Vorzeichen der Hauptminorformen abwechseln und das Minor erster Ordnung negativ sein muss.

Untersuchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 auf Vorzeichendefinitheit.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Daher ist die quadratische Form positiv definit.

Methode 2. Hauptminor erster Ordnung der Matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hauptminor zweiter Ordnung D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Daher ist nach Sylvesters Kriterium die quadratische Form positiv definitiv.

Wir untersuchen eine andere quadratische Form auf Vorzeichendefinitheit, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Lassen Sie uns eine Matrix der quadratischen Form A = konstruieren. Die charakteristische Gleichung wird die Form haben = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Daher ist die quadratische Form negativ definit.

Quadratische Formen.
Zeichenbestimmtheit von Formen. Sylvester-Kriterium

Das Adjektiv „quadratisch“ deutet sofort darauf hin, dass hier etwas mit einem Quadrat (zweiten Grades) verbunden ist, und sehr bald werden wir dieses „Etwas“ und die Form herausfinden. Es stellte sich heraus, dass es ein Zungenbrecher war :)

Willkommen zu meiner neuen Lektion. Zum unmittelbaren Aufwärmen schauen wir uns die gestreifte Form an linear. Lineare Form Variablen angerufen homogen Polynom 1. Grades:

- einige spezifische Zahlen * (Wir gehen davon aus, dass mindestens einer davon ungleich Null ist), a sind Variablen, die beliebige Werte annehmen können.

* Im Rahmen dieses Themas werden wir nur berücksichtigen reale Nummern .

Der Begriff „homogen“ ist uns bereits in der Lektion begegnet homogene lineare Gleichungssysteme, und in in diesem Fall Dies impliziert, dass das Polynom keine Pluskonstante hat.

Zum Beispiel: – lineare Form zweier Variablen

Jetzt ist die Form quadratisch. Quadratische Form Variablen angerufen homogen Polynom 2. Grades, jeder Begriff davon enthält entweder das Quadrat der Variablen oder Doppel Produkt von Variablen. So hat beispielsweise die quadratische Form zweier Variablen nächste Ansicht:

Aufmerksamkeit! Dies ist ein Standardeintrag und es besteht keine Notwendigkeit, daran etwas zu ändern! Trotz des „beängstigenden“ Aussehens ist hier alles einfach – doppelte Indizes von Konstanten signalisieren, welche Variablen in welchem ​​Begriff enthalten sind:
– dieser Begriff enthält das Produkt und (Quadrat);
- hier ist die Arbeit;
- und hier ist die Arbeit.

– Ich erwarte sofort einen groben Fehler, wenn sie das „Minus“ eines Koeffizienten verlieren und nicht verstehen, dass es sich auf einen Begriff bezieht:

Manchmal gibt es im Geiste eine „schulische“ Gestaltungsmöglichkeit, aber nur manchmal. Beachten Sie übrigens, dass uns die Konstanten hier überhaupt nichts sagen und es daher schwieriger ist, sich die „einfache Notation“ zu merken. Vor allem, wenn es mehr Variablen gibt.

Und die quadratische Form von drei Variablen enthält bereits sechs Terme:

...warum werden „zwei“ Faktoren „vermischt“ ausgedrückt? Das ist praktisch und der Grund dafür wird schnell klar.

Lassen Sie uns jedoch die allgemeine Formel aufschreiben. Es ist praktisch, sie auf ein „Blatt“ zu schreiben:

– Wir studieren jede Zeile sorgfältig – daran ist nichts auszusetzen!

Die quadratische Form enthält Terme mit den Quadraten der Variablen und Terme mit ihren gepaarten Produkten (cm. kombinatorische Kombinationsformel) . Nichts weiter – kein „einsames X“ und keine hinzugefügte Konstante (dann erhält man keine quadratische Form, sondern heterogen Polynom 2. Grades).

Matrixschreibweise quadratischer Form

Abhängig von den Werten kann die betreffende Form sowohl positive als auch negative Werte annehmen, und das Gleiche gilt für jede lineare Form – wenn mindestens einer ihrer Koeffizienten von Null verschieden ist, kann sie entweder positiv oder negativ sein (je nachdem). Werte).

Dieses Formular heißt Wechselzeichen. Und wenn bei der linearen Form alles transparent ist, dann ist es bei der quadratischen Form viel interessanter:

Es ist völlig klar, dass diese Form somit die Bedeutung eines beliebigen Zeichens annehmen kann die quadratische Form kann auch alternierend sein.

Es darf nicht sein:

– immer, sofern nicht gleichzeitig gleich Null.

- für jeden Vektor außer null.

Und überhaupt, wenn für irgendjemanden ungleich Null Vektor , , dann heißt die quadratische Form positiv definitiv; Wenn ja, dann negativ definitiv.

Und alles wäre gut, aber die Bestimmtheit der quadratischen Form ist nur in sichtbar einfache Beispiele, und diese Sichtbarkeit geht selbst bei einer geringfügigen Komplikation verloren:
– ?

Man könnte annehmen, dass die Form positiv definiert ist, aber ist das wirklich so? Was ist, wenn es Werte gibt, bei denen es kleiner als Null ist?

In dieser Hinsicht gibt es Satz: Wenn jeder Eigenwerte Matrizen quadratischer Form sind positiv * , dann ist es positiv definit. Wenn alle negativ sind, dann negativ.

* Es wurde theoretisch bewiesen, dass alle Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix sind gültig

Schreiben wir die Matrix der obigen Form:
und aus Gl. lass uns sie finden Eigenwerte:

Lassen Sie uns das gute Alte lösen quadratische Gleichung:

, was die Form bedeutet ist positiv definiert, d.h. für alle Werte ungleich Null ist es größer als Null.

Die betrachtete Methode scheint zu funktionieren, aber es gibt ein großes ABER. Schon für eine Drei-mal-Drei-Matrix ist die Suche nach den richtigen Zahlen eine lange und unangenehme Aufgabe; mit hoher Wahrscheinlichkeit erhält man ein Polynom 3. Grades mit irrationalen Wurzeln.

Was soll ich machen? Es gibt einen einfacheren Weg!

Sylvester-Kriterium

Nein, nicht Sylvester Stallone :) Lassen Sie mich zunächst daran erinnern, was es ist Eckminderjährige Matrizen. Das Qualifikanten die aus ihrer oberen linken Ecke „wachsen“:

und die letzte ist genau gleich der Determinante der Matrix.

Nun, eigentlich Kriterium:

1) Quadratische Form ist definiert positiv genau dann, wenn ALLE Winkelminorwerte größer als Null sind: .

2) Quadratische Form ist definiert Negativ genau dann, wenn sich die eckigen Nebenzeichen im Vorzeichen abwechseln, wobei das 1. Nebenzeichen kleiner als Null ist: , , wenn – gerade oder , wenn – ungerade.

Wenn mindestens ein Winkelmoll das entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann ist die Form Wechselzeichen. Wenn die eckigen Nebenzeichen das „richtige“ Vorzeichen haben, aber Nullen darunter sind, dann ist dies ein Sonderfall, den ich etwas später untersuchen werde, nachdem wir uns häufigere Beispiele angesehen haben.

Lassen Sie uns die Winkelminorwerte der Matrix analysieren :

Und das zeigt uns sofort, dass die Form nicht negativ definiert ist.

Abschluss: Alle Eckminderjährigen sind größer als Null, was die Form bedeutet ist positiv definiert.

Gibt es einen Unterschied zur Eigenwertmethode? ;)

Schreiben wir die Formularmatrix aus Beispiel 1:

das erste ist sein eckiges Moll und das zweite , woraus folgt, dass die Form im Vorzeichen wechselt, d.h. Abhängig von den Werten kann es sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Dies ist jedoch bereits offensichtlich.

Nehmen wir die Form und ihre Matrix aus Beispiel 2:

Ohne Einsicht kann man das nicht herausfinden. Aber mit Sylvesters Kriterium ist uns das egal:
Daher ist die Form definitiv nicht negativ.

, und definitiv nicht positiv (da alle eckigen Minderjährigen positiv sein müssen).

Abschluss: Die Form ist abwechselnd.

Aufwärmbeispiele zum selbstständigen Lösen:

Beispiel 4

Untersuchen Sie quadratische Formen auf ihre Vorzeichendefinitivität

A)

In diesen Beispielen ist alles glatt (siehe Ende der Lektion), aber tatsächlich ist es notwendig, eine solche Aufgabe zu erledigen Sylvesters Kriterium ist möglicherweise nicht ausreichend.

Der Punkt ist, dass es „Randfälle“ gibt, nämlich: wenn überhaupt ungleich Null Vektor, dann wird die Form bestimmt nicht negativ, wenn, dann Negativ. Diese Formen haben ungleich Null Vektoren, für die .

Hier können Sie folgendes „Akkordeon“ zitieren:

Hervorhebung Perfektes Viereck, sehen wir sofort Nicht-Negativität Form: und ist für jeden Vektor mit gleichen Koordinaten gleich Null, zum Beispiel: .

Beispiel „Spiegel“. Negativ eine bestimmte Form:

und ein noch trivialeres Beispiel:
– hier ist die Form für jeden Vektor gleich Null, wobei es sich um eine beliebige Zahl handelt.

Wie erkennt man nicht-negative oder nicht-positive Formen?

Dafür brauchen wir das Konzept Haupt-Minderjährige Matrizen. Ein Dur-Moll ist ein Moll, das aus Elementen besteht, die am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten mit den gleichen Nummern stehen. Somit hat die Matrix zwei Hauptminorwerte 1. Ordnung:
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 1. Zeile und der 1. Spalte);
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 2. Zeile und 2. Spalte),

und ein Dur-Moll 2. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2. Zeile und 1., 2. Spalte.

Die Matrix ist „drei mal drei“ Es gibt sieben Haupt-Nebenübungen, und hier müssen Sie Ihren Bizeps beugen:
– drei Minderjährige 1. Ordnung,
drei Minderjährige 2. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2. Zeile und 1., 2. Spalte;
– bestehend aus Elementen der 1., 3. Zeile und 1., 3. Spalte;
– bestehend aus Elementen der 2., 3. Zeile und 2., 3. Spalte,
und ein Moll 3. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2., 3. Reihe und 1., 2. und 3. Spalte.
Übung Zum Verständnis: Notieren Sie alle Dur-Minder der Matrix .
Wir überprüfen am Ende der Lektion und fahren fort.

Schwarzenegger-Kriterium:

1) Quadratische Form ungleich Null* definiert nicht negativ genau dann, wenn ALLE seine Haupt-Minderjährigen nicht negativ(größer oder gleich Null).

* Bei der nullten (entarteten) quadratischen Form sind alle Koeffizienten gleich Null.

2) Eine von Null verschiedene quadratische Form mit Matrix ist definiert Negativ dann und nur dann, wenn:
– Dur-Minder 1. Ordnung nicht positiv(kleiner oder gleich Null);
– Dur-Minder 2. Ordnung nicht negativ;
– Dur-Minderjähriger 3. Ordnung nicht positiv(Der Wechsel begann);
…
– Dur-Moll der . Ordnung nicht positiv, wenn – ungerade oder nicht negativ, wenn auch.

Wenn mindestens ein Nebenzeichen das entgegengesetzte Vorzeichen hat, handelt es sich um eine vorzeichenwechselnde Form.

Sehen wir uns an, wie das Kriterium in den obigen Beispielen funktioniert:

Lassen Sie uns eine Formmatrix erstellen und zuerst Berechnen wir die Winkelminorwerte – was ist, wenn sie positiv oder negativ definiert sind?

Die erhaltenen Werte erfüllen nicht das Sylvester-Kriterium, sondern das zweite Moll nicht negativ, und dies macht eine Überprüfung des 2. Kriteriums erforderlich (im Fall des 2. Kriteriums wird es nicht automatisch erfüllt, d. h. es wird sofort auf den Vorzeichenwechsel der Form geschlossen).

Hauptnebenfächer 1. Ordnung:
– positiv,
Dur-Moll 2. Ordnung:
– nicht negativ.

Somit sind nicht ALLE großen Nebentöne negativ, was die Form bedeutet nicht negativ.

Schreiben wir die Formularmatrix , für die das Sylvester-Kriterium offensichtlich nicht erfüllt ist. Wir haben aber auch keine entgegengesetzten Vorzeichen erhalten (da beide Winkelminorwerte gleich Null sind). Daher prüfen wir die Erfüllung des Nicht-Negativitäts-/Nicht-Positivitätskriteriums. Hauptnebenfächer 1. Ordnung:
– nicht positiv,
Dur-Moll 2. Ordnung:
– nicht negativ.

Nach Schwarzeneggers Kriterium (Punkt 2) ist die Form also nichtpositiv definiert.

Schauen wir uns nun ein interessanteres Problem genauer an:

Beispiel 5

Untersuchen Sie die quadratische Form auf Vorzeichenbestimmtheit

Diese Form verziert mit der Ordnung „Alpha“, die einer beliebigen reellen Zahl entsprechen kann. Aber es wird nur noch mehr Spaß machen wir entscheiden.

Schreiben wir zunächst die Formularmatrix auf; viele Menschen haben sich wahrscheinlich bereits daran gewöhnt, dies mündlich zu tun: on Hauptdiagonale Wir tragen die Koeffizienten für die Quadrate ein und an den symmetrischen Stellen tragen wir die Hälfte der Koeffizienten der entsprechenden „gemischten“ Produkte ein:

Berechnen wir die Winkelminorwerte:

Ich werde die dritte Determinante in der 3. Zeile erweitern: