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§ 7. Bewegung unter gleichmäßiger Beschleunigung
gerade Bewegung

1. Mithilfe eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms können Sie eine Formel für die Verschiebung eines Körpers während einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung erhalten.

Abbildung 30 zeigt ein Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung auf die Achse X von Zeit. Wenn wir irgendwann die Senkrechte zur Zeitachse wiederherstellen C, dann erhalten wir ein Rechteck OABC. Die Fläche dieses Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt der Seiten O.A. Und O.C.. Aber Seitenlänge O.A. gleich v x und die Seitenlänge O.C. - T, von hier S = v x t. Produkt der Projektion der Geschwindigkeit auf eine Achse X und die Zeit ist gleich der Projektion der Verschiebung, d.h. s x = v x t.

Auf diese Weise, Die Verschiebungsprojektion bei gleichmäßiger geradliniger Bewegung ist numerisch gleich der Fläche des Rechtecks, das durch die Koordinatenachsen, den Geschwindigkeitsgraphen und die Senkrechte zur Zeitachse begrenzt wird.

2. Auf ähnliche Weise erhalten wir die Formel für die Verschiebungsprojektion für eine Gerade gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Dazu verwenden wir den Graphen der Geschwindigkeitsprojektion auf die Achse X von Zeit zu Zeit (Abb. 31). Wählen wir einen kleinen Bereich im Diagramm aus ab und lasse die Senkrechten von den Punkten fallen A Und B auf der Zeitachse. Wenn Zeitintervall D T, entsprechend der Website CD auf der Zeitachse klein ist, dann können wir davon ausgehen, dass sich die Geschwindigkeit in diesem Zeitraum nicht ändert und sich der Körper gleichmäßig bewegt. In diesem Fall die Figur cabd unterscheidet sich kaum von einem Rechteck und seine Fläche ist numerisch gleich der Projektion der Bewegung des Körpers über die dem Segment entsprechende Zeit CD.

Die gesamte Figur kann in solche Streifen unterteilt werden OABC, und seine Fläche ist gleich der Summe der Flächen aller Streifen. Folglich die Projektion der Bewegung des Körpers über die Zeit T numerisch gleich der Fläche des Trapezes OABC. Aus Ihrem Geometriekurs wissen Sie, dass die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe ist: S= (O.A. + B.C.)O.C..

Wie aus Abbildung 31 ersichtlich ist, O.A. = v 0X , B.C. = v x, O.C. = T. Daraus folgt, dass die Verschiebungsprojektion durch die Formel ausgedrückt wird: s x= (v x + v 0X)T.

Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit des Körpers zu jedem Zeitpunkt gleich v x = v 0X + a x t, somit, s x = (2v 0X + a x t)T.

Von hier:

Um die Bewegungsgleichung eines Körpers zu erhalten, setzen wir seinen Ausdruck als Koordinatendifferenz in die Verschiebungsprojektionsformel ein s x = X – X 0 .

Wir bekommen: X – X 0 = v 0X T+ , oder

X = X 0 + v 0X T + .

Mithilfe der Bewegungsgleichung können Sie die Koordinaten eines Körpers jederzeit bestimmen, wenn die Anfangskoordinate, die Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleunigung des Körpers bekannt sind.

3. In der Praxis gibt es oft Probleme, bei denen es notwendig ist, die Verschiebung eines Körpers während einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung zu ermitteln, die Zeit der Bewegung ist jedoch unbekannt. In diesen Fällen wird eine andere Verschiebungsprojektionsformel verwendet. Lass es uns schaffen.

Aus der Formel zur Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung v x = v 0X + a x t Lassen Sie uns die Zeit ausdrücken:

T = .

Wenn wir diesen Ausdruck in die Verschiebungsprojektionsformel einsetzen, erhalten wir:

s x = v 0X + .

Von hier:

s x = , oder
–= 2a x s x.

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers Null ist, dann gilt:

2a x s x.

4. Beispiel einer Problemlösung

Ein Skifahrer rutscht aus dem Ruhezustand mit einer Beschleunigung von 0,5 m/s 2 in 20 s einen Berghang hinunter und bewegt sich dann entlang einer horizontalen Strecke, nachdem er 40 m bis zum Stillstand zurückgelegt hat. Mit welcher Beschleunigung bewegte sich der Skifahrer entlang einer horizontalen Strecke? Oberfläche? Wie lang ist der Berghang?

Gegeben:	Lösung
v 01 = 0 A 1 = 0,5 m/s 2 T 1 = 20 s S 2 = 40 m v 2 = 0	Die Bewegung des Skifahrers besteht aus zwei Phasen: In der ersten Phase, beim Abstieg vom Berghang, bewegt sich der Skifahrer mit zunehmender Geschwindigkeit; In der zweiten Stufe nimmt die Geschwindigkeit ab, wenn man sich auf einer horizontalen Fläche bewegt. Wir schreiben die Werte, die sich auf die erste Bewegungsstufe beziehen, mit Index 1 und diejenigen, die sich auf die zweite Bewegungsstufe beziehen, mit Index 2.
A 2? S 1?

Wir verbinden das Bezugssystem mit der Erde, der Achse X Lenken wir den Skifahrer in jeder Phase seiner Bewegung in Richtung der Geschwindigkeit (Abb. 32).

Schreiben wir die Gleichung für die Geschwindigkeit des Skifahrers am Ende der Abfahrt vom Berg auf:

v 1 = v 01 + A 1 T 1 .

In Projektionen auf die Achse X wir bekommen: v 1X = A 1X T. Da die Projektionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf die Achse X positiv sind, ist das Geschwindigkeitsmodul des Skifahrers gleich: v 1 = A 1 T 1 .

Schreiben wir eine Gleichung, die die Projektionen von Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung des Skifahrers im zweiten Bewegungsstadium verbindet:

–= 2A 2X S 2X .

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Skifahrers in dieser Bewegungsphase seiner Endgeschwindigkeit in der ersten Phase entspricht

v 02 = v 1 , v 2X= 0 erhalten wir

– = –2A 2 S 2 ; (A 1 T 1) 2 = 2A 2 S 2 .

Von hier A 2 = ;

A 2 == 0,125 m/s 2 .

Der Bewegungsmodul des Skifahrers im ersten Bewegungsstadium entspricht der Länge des Berghangs. Schreiben wir die Gleichung für die Verschiebung:

S 1X = v 01X T + .

Daher beträgt die Länge des Berghangs S 1 = ;

S 1 == 100 m.

Antwort: A 2 = 0,125 m/s 2 ; S 1 = 100 m.

Fragen zum Selbsttest

1. Wie im Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung auf die Achse X

2. Wie im Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung auf die Achse X Bestimmen Sie von Zeit zu Zeit die Projektion der Körperbewegung?

3. Mit welcher Formel berechnet man die Projektion der Verschiebung eines Körpers bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung?

4. Welche Formel wird verwendet, um die Projektion der Verschiebung eines Körpers zu berechnen, der sich gleichmäßig beschleunigt und geradlinig bewegt, wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers Null ist?

Aufgabe 7

1. Wie groß ist das Bewegungsmodul des Autos in 2 Minuten, wenn sich seine Geschwindigkeit in dieser Zeit von 0 auf 72 km/h ändert? Welche Koordinaten hat das Auto zum aktuellen Zeitpunkt? T= 2 Minuten? Die Anfangskoordinate wird als gleich Null betrachtet.

2. Der Zug bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 36 km/h und einer Beschleunigung von 0,5 m/s 2 . Wie groß ist die Verschiebung des Zuges in 20 s und seine Koordinaten zum aktuellen Zeitpunkt? T= 20 s, wenn die Anfangskoordinate des Zuges 20 m beträgt?

3. Wie groß ist der Weg des Radfahrers in 5 s nach Beginn der Bremsung, wenn seine Anfangsgeschwindigkeit beim Bremsen 10 m/s und die Beschleunigung 1,2 m/s 2 beträgt? Welche Koordinaten hat der Radfahrer im Moment? T= 5 s wenn in Startmoment Wann war er am Ursprung?

4. Ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h bewegt, bleibt stehen, wenn es 15 Sekunden lang bremst. Wie groß ist der Bewegungsmodul eines Autos beim Bremsen?

5. Zwei Autos fahren aus zwei Siedlungen, die 2 km voneinander entfernt liegen, aufeinander zu. Die Anfangsgeschwindigkeit des einen Autos beträgt 10 m/s und die Beschleunigung beträgt 0,2 m/s 2 , die Anfangsgeschwindigkeit des anderen beträgt 15 m/s und die Beschleunigung beträgt 0,2 m/s 2 . Bestimmen Sie die Zeit und die Koordinaten des Treffpunkts der Autos.

Laborarbeit Nr. 1

Studium der gleichmäßig beschleunigten
geradlinige Bewegung

Ziel der Arbeit:

lernen, die Beschleunigung während einer gleichmäßig beschleunigten linearen Bewegung zu messen; experimentell das Verhältnis der Wege zu ermitteln, die ein Körper bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen zurücklegt.

Ausrüstung und Materialien:

Graben, Stativ, Metallkugel, Stoppuhr, Maßband, Metallzylinder.

Arbeitsauftrag

1. Befestigen Sie ein Ende des Schachts so im Stativbein, dass es einen kleinen Winkel zur Tischoberfläche bildet. Platzieren Sie am anderen Ende des Schachts einen Metallzylinder.

2. Messen Sie die vom Ball zurückgelegten Wege in 3 aufeinanderfolgenden Zeiträumen von jeweils 1 s. Dies kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Sie können Kreidemarkierungen auf der Dachrinne anbringen, die die Positionen des Balls zu Zeiten von 1 s, 2 s, 3 s aufzeichnen und die Abstände messen S_ zwischen diesen Markierungen. Sie können den Weg messen, indem Sie den Ball jedes Mal aus der gleichen Höhe loslassen S, den der Ball zuerst in 1 s, dann in 2 s und in 3 s zurückgelegt hat, und dann den Weg berechnen, den der Ball in der zweiten und dritten Sekunde zurückgelegt hat. Tragen Sie die Messergebnisse in Tabelle 1 ein.

3. Ermitteln Sie das Verhältnis des in der zweiten Sekunde zurückgelegten Wegs zum in der ersten Sekunde zurückgelegten Weg und des in der dritten Sekunde zurückgelegten Wegs zum in der ersten Sekunde zurückgelegten Weg. Schlussfolgerungen ziehen.

4. Messen Sie die Zeit, die sich der Ball entlang der Rutsche bewegt, und die zurückgelegte Strecke. Berechnen Sie die Beschleunigung seiner Bewegung mithilfe der Formel S = .

5. Berechnen Sie anhand des experimentell ermittelten Beschleunigungswerts die Distanzen, die der Ball in der ersten, zweiten und dritten Sekunde seiner Bewegung zurücklegen muss. Schlussfolgerungen ziehen.

Tabelle 1

Erfahrung Nr.	Versuchsdaten					Theoretische Ergebnisse
	Zeit T , Mit	Weg s , cm	Zeit t , Mit	Weg s, cm	Beschleunigung a, cm/s2	ZeitT, Mit	Weg s , cm
1	1		1

Geschwindigkeit (v) - physikalische Größe ist numerisch gleich dem Weg (s), den der Körper pro Zeiteinheit (t) zurücklegt.

Weg

Weg (S) – die Länge der Flugbahn, entlang der sich der Körper bewegte, ist numerisch gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit (v) des Körpers und der Zeit (t) der Bewegung.

Fahrzeit

Die Bewegungszeit (t) ist gleich dem Verhältnis der vom Körper zurückgelegten Strecke (S) zur Bewegungsgeschwindigkeit (v).

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit (vср) ist gleich dem Verhältnis der Summe der vom Körper zurückgelegten Wegabschnitte (s 1 s 2, s 3, ...) zur Zeitspanne (t 1 + t 2 + t 3 + . ..), während dessen dieser Weg zurückgelegt wurde.

Durchschnittsgeschwindigkeit- Dies ist das Verhältnis der Länge des vom Körper zurückgelegten Weges zur Zeit, in der dieser Weg zurückgelegt wurde.

Durchschnittsgeschwindigkeit wann nicht gleichmäßige Bewegung in einer geraden Linie: Dies ist das Verhältnis des gesamten Weges zur gesamten Zeit.

Zwei aufeinanderfolgende Etappen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: Wo

Bei der Lösung von Problemen – wie viele Bewegungsphasen gibt es so viele Komponenten:

Projektionen des Verschiebungsvektors auf die Koordinatenachsen

Projektion des Verschiebungsvektors auf die OX-Achse:

Projektion des Verschiebungsvektors auf die OY-Achse:

Die Projektion eines Vektors auf eine Achse ist Null, wenn der Vektor senkrecht zur Achse steht.

Anzeichen von Verschiebungsprojektionen: Eine Projektion gilt als positiv, wenn die Bewegung von der Projektion des Anfangs des Vektors zur Projektion des Endes in Richtung der Achse erfolgt, als negativ, wenn sie entgegen der Achse erfolgt. IN in diesem Beispiel

Bewegungsmodul ist die Länge des Verschiebungsvektors:

Nach dem Satz des Pythagoras:

Bewegungsprojektionen und Neigungswinkel

In diesem Beispiel:

Koordinatengleichung (in allgemeiner Form):

Radiusvektor- ein Vektor, dessen Anfang mit dem Koordinatenursprung und dessen Ende mit der Position des Körpers zusammenfällt dieser Moment Zeit. Projektionen des Radiusvektors auf die Koordinatenachsen bestimmen die Koordinaten des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Mit dem Radiusvektor können Sie die Position eines Materialpunkts in einem gegebenen Bereich angeben Referenzsystem:

Gleichmäßige lineare Bewegung – Definition

Gleichmäßige lineare Bewegung- eine Bewegung, bei der ein Körper über gleiche Zeiträume gleiche Bewegungen ausführt.

Geschwindigkeit bei gleichmäßiger linearer Bewegung. Geschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe, die angibt, wie viel Bewegung ein Körper pro Zeiteinheit ausführt.

In Vektorform:

In Projektionen auf die OX-Achse:

Zusätzliche Geschwindigkeitseinheiten:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min =1 m/60 s.

Das Messgerät – Tachometer – zeigt das Geschwindigkeitsmodul an.

Das Vorzeichen der Geschwindigkeitsprojektion hängt von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors und der Koordinatenachse ab:

Der Geschwindigkeitsprojektionsgraph stellt die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit dar:

Geschwindigkeitsdiagramm für gleichmäßige lineare Bewegung- Gerade parallel zur Zeitachse (1, 2, 3).

Liegt der Graph über der Zeitachse (.1), dann bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse. Liegt der Graph unter der Zeitachse, dann bewegt sich der Körper gegen die OX-Achse (2, 3).

Geometrische Bedeutung von Bewegung.

Bei gleichförmiger linearer Bewegung wird die Verschiebung durch die Formel bestimmt. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsgraphen in den Achsen berechnen. Dies bedeutet, dass zur Bestimmung des Wegs und des Verschiebungsmoduls während einer linearen Bewegung die Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsdiagramm in den Achsen berechnet werden muss:

Verschiebungsprojektionsdiagramm- Abhängigkeit der Verschiebungsprojektion von der Zeit.

Verschiebungsprojektionsdiagramm bei gleichmäßige geradlinige Bewegung- eine gerade Linie, die vom Koordinatenursprung (1, 2, 3) ausgeht.

Liegt die Gerade (1) über der Zeitachse, dann bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse, liegt er unter der Achse (2, 3), dann entgegen der OX-Achse.

Je größer der Tangens der Steigung (1) des Diagramms ist, desto größer ist das Geschwindigkeitsmodul.

Diagrammkoordinaten- Abhängigkeit der Körperkoordinaten von der Zeit:

Koordinatendiagramm für eine gleichmäßige geradlinige Bewegung - gerade Linien (1, 2, 3).

Wenn die Koordinate mit der Zeit zunimmt (1, 2), dann bewegt sich der Körper in Richtung der OX-Achse; sinkt die Koordinate (3), dann bewegt sich der Körper entgegen der Richtung der OX-Achse.

Je größer der Tangens des Neigungswinkels (1) ist, desto größer ist das Geschwindigkeitsmodul.

Wenn sich die Koordinatendiagramme zweier Körper schneiden, sollten vom Schnittpunkt aus die Senkrechten auf die Zeitachse und die Koordinatenachse abgesenkt werden.

Relativität der mechanischen Bewegung

Unter Relativität verstehen wir die Abhängigkeit von etwas von der Wahl des Bezugssystems. Frieden zum Beispiel ist relativ; Bewegung ist relativ und die Position des Körpers ist relativ.

Die Regel zum Hinzufügen von Verschiebungen. Vektorsumme der Verschiebungen

wo ist die Bewegung des Körpers relativ zum beweglichen Bezugssystem (MSF); - Bewegung des PSO relativ zum festen Referenzsystem (FRS); - Bewegung des Körpers relativ zu einem festen Bezugssystem (FFR).

Vektoraddition:

Addition von Vektoren, die entlang einer Geraden gerichtet sind:

Addition senkrecht zueinander stehender Vektoren

Nach dem Satz des Pythagoras

Grundlegende Maßeinheiten für Größen im SI-System Sind:

1. Maßeinheit der Länge - Meter (1 m),
2. Zeit - Sekunde (1 s),
3. Masse - Kilogramm (1 kg),
4. Stoffmenge - Mol (1 Mol),
5. Temperaturen - Kelvin (1 K),
6. elektrischer Strom - Ampere (1 A),
7. Als Referenz: Lichtstärke - Candela (1 cd, wird eigentlich nicht zur Lösung von Schulaufgaben verwendet).

Bei Berechnungen im SI-System werden Winkel im Bogenmaß gemessen.

Wenn eine physikalische Aufgabe nicht angibt, in welchen Einheiten die Antwort angegeben werden muss, muss sie in SI-Einheiten oder in daraus abgeleiteten Größen angegeben werden, die der physikalischen Größe entsprechen, nach der in der Aufgabe gefragt wird. Wenn das Problem beispielsweise die Ermittlung der Geschwindigkeit erfordert und nicht angegeben ist, wie diese ausgedrückt werden soll, muss die Antwort in m/s angegeben werden.

Der Einfachheit halber ist es bei physikalischen Problemen oft notwendig, Teilpräfixe (absteigend) und Mehrfachpräfixe (steigend) zu verwenden. Sie können auf jede physikalische Größe angewendet werden. Zum Beispiel mm – Millimeter, kt – Kilotonnen, ns – Nanosekunde, Mg – Megagramm, mmol – Millimol, μA – Mikroampere. Denken Sie daran, dass es in der Physik keine doppelten Präfixe gibt. Beispielsweise ist mcg ein Mikrogramm, nicht ein Millikilogramm. Bitte beachten Sie, dass beim Addieren und Subtrahieren von Mengen nur mit Mengen gleicher Dimension gearbeitet werden kann. Beispielsweise können Kilogramm nur mit Kilogramm addiert werden, Millimeter können nur von Millimetern subtrahiert werden und so weiter. Verwenden Sie beim Konvertieren von Werten die folgende Tabelle.

Weg und Bewegung

Kinematik ist ein Teilgebiet der Mechanik, in dem die Bewegung von Körpern betrachtet wird, ohne die Ursachen dieser Bewegung zu ermitteln.

Mechanisches Uhrwerk Unter einem Körper versteht man eine zeitliche Änderung seiner Position im Raum relativ zu anderen Körpern.

Jeder Körper hat bestimmte Abmessungen. Bei vielen mechanischen Problemen besteht jedoch keine Notwendigkeit, die Positionen einzelner Körperteile anzugeben. Sind die Abmessungen eines Körpers klein im Vergleich zu den Abständen zu anderen Körpern, dann kommt dieser Körper in Betracht materieller Punkt. Wenn man also ein Auto über große Entfernungen bewegt, kann seine Länge vernachlässigt werden, da die Länge des Autos im Vergleich zu den zurückgelegten Entfernungen klein ist.

Es ist intuitiv klar, dass die Eigenschaften einer Bewegung (Geschwindigkeit, Flugbahn usw.) davon abhängen, aus welcher Perspektive wir sie betrachten. Zur Beschreibung der Bewegung wird daher der Begriff eines Bezugssystems eingeführt. Referenzsystem (FR)– eine Kombination aus einem Referenzkörper (er gilt als absolut fest), einem daran befestigten Koordinatensystem, einem Lineal (einem Gerät, das Entfernungen misst), einer Uhr und einem Zeitsynchronisierer.

Wenn sich ein Körper (materieller Punkt) im Laufe der Zeit von einem Punkt zum anderen bewegt, beschreibt er eine bestimmte Linie in einem bestimmten CO, die aufgerufen wird Bewegungsbahn des Körpers.

Durch die Bewegung des Körpers bezeichnet ein gerichtetes gerades Liniensegment, das die Anfangsposition eines Körpers mit seiner Endposition verbindet. Verschiebung ist eine Vektorgröße. Durch die Bewegung kann die Bewegung zunehmen, abnehmen und dabei gleich Null werden.

Bestanden Weg gleich der Länge der Flugbahn, die der Körper über einen bestimmten Zeitraum zurücklegt. Pfad ist eine skalare Größe. Der Weg kann nicht kleiner werden. Der Weg nimmt nur zu oder bleibt konstant (wenn sich der Körper nicht bewegt). Wenn sich der Körper bewegt krummlinige Flugbahn Das Modul (die Länge) des Verschiebungsvektors ist immer kleiner als die zurückgelegte Strecke.

Bei Uniform(bei konstanter Geschwindigkeit) Bewegungspfad L kann durch die Formel ermittelt werden:

Wo: v– Körpergeschwindigkeit, T- die Zeit, in der es sich bewegt hat. Bei der Lösung kinematischer Probleme wird die Verschiebung meist aus geometrischen Überlegungen ermittelt. Geometrische Überlegungen zur Bestimmung der Verschiebung erfordern häufig die Kenntnis des Satzes des Pythagoras.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit– eine Vektorgröße, die die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers im Raum charakterisiert. Die Geschwindigkeit kann mittel oder augenblicklich sein. Die Momentangeschwindigkeit beschreibt die Bewegung zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt im Raum, und die Durchschnittsgeschwindigkeit charakterisiert im Allgemeinen die gesamte Bewegung als Ganzes, ohne die Einzelheiten der Bewegung in jedem bestimmten Bereich zu beschreiben.

Durchschnittliche Reisegeschwindigkeit ist das Verhältnis des gesamten Weges zur gesamten Bewegungszeit:

Wo: L voll – der gesamte Weg, den der Körper zurückgelegt hat, T voll – die ganze Zeit der Bewegung.

Durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Gesamtbewegung zur gesamten Bewegungszeit:

Diese Größe ist auf die gleiche Weise gerichtet wie die Gesamtbewegung des Körpers (also vom Startpunkt der Bewegung bis zum Endpunkt). Vergessen Sie jedoch nicht, dass die Gesamtverschiebung nicht immer der algebraischen Summe der Verschiebungen in bestimmten Bewegungsstadien entspricht. Der Vektor der Gesamtverschiebung ist gleich der Vektorsumme der Verschiebungen in einzelnen Bewegungsstadien.

• Machen Sie bei der Lösung kinematischer Probleme keinen sehr häufigen Fehler. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht in der Regel nicht dem arithmetischen Mittel der Körpergeschwindigkeiten in jeder Bewegungsphase. Das arithmetische Mittel wird nur in einigen Sonderfällen ermittelt.
• Und noch mehr, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht gleich einer der Geschwindigkeiten, mit denen sich der Körper während der Bewegung bewegte, selbst wenn diese Geschwindigkeit im Verhältnis zu anderen Geschwindigkeiten, mit denen sich der Körper bewegte, ungefähr einen Zwischenwert hatte.

Gleichmäßig beschleunigte lineare Bewegung

Beschleunigung– vektorielle physikalische Größe, die die Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Körpers bestimmt. Die Beschleunigung eines Körpers ist das Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung zur Zeitspanne, in der die Geschwindigkeitsänderung stattgefunden hat:

Wo: v 0 – Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, v– Endgeschwindigkeit des Körpers (d. h. nach einer gewissen Zeit). T).

Sofern in der Problemstellung nicht anders angegeben, glauben wir außerdem, dass diese Beschleunigung konstant bleibt, wenn sich ein Körper mit Beschleunigung bewegt. Diese Körperbewegung nennt man gleichmäßig beschleunigt(oder gleichermaßen variabel). Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers über alle gleichen Zeitintervalle um den gleichen Betrag.

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung wird tatsächlich beschleunigt, wenn der Körper die Bewegungsgeschwindigkeit erhöht, und verlangsamt, wenn die Geschwindigkeit abnimmt. Um die Problemlösung zu vereinfachen, ist es praktisch, die Beschleunigung mit einem „–“-Zeichen für Zeitlupe zu versehen.

Aus der vorherigen Formel folgt eine weitere gebräuchlichere Formel, die beschreibt Geschwindigkeitsänderung im Laufe der Zeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung:

Verschieben (aber nicht Pfad) bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung wird nach den Formeln berechnet:

Die letzte Formel nutzt ein Merkmal der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit gleichmäßig beschleunigter Bewegung Durchschnittsgeschwindigkeit kann als arithmetisches Mittel der Anfangs- und Endgeschwindigkeit berechnet werden (diese Eigenschaft ist bei der Lösung einiger Probleme sehr praktisch):

Die Berechnung des Weges wird immer komplizierter. Wenn der Körper die Bewegungsrichtung nicht geändert hat, ist bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung der Weg numerisch gleich der Verschiebung. Und wenn es sich geändert hat, müssen Sie den Weg bis zum Stopp (den Moment der Umkehr) und den Weg nach dem Stopp (den Moment der Umkehr) separat zählen. Und wenn man in diesem Fall einfach die Zeit in die Bewegungsformeln einsetzt, führt dies zu einem typischen Fehler.

Koordinate bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ändert es sich nach dem Gesetz:

Geschwindigkeitsprojektion bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ändert es sich nach folgendem Gesetz:

Für die übrigen Koordinatenachsen erhält man ähnliche Formeln.

Freier Fall vertikal

Alle Körper, die sich im Schwerefeld der Erde befinden, unterliegen der Schwerkraft. Ohne Unterstützung oder Aufhängung führt diese Kraft dazu, dass Körper auf die Erdoberfläche fallen. Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen, wird die Bewegung von Körpern nur unter dem Einfluss der Schwerkraft als freier Fall bezeichnet. Die Schwerkraft verleiht jedem Körper, unabhängig von seiner Form, Masse und Größe, die gleiche Beschleunigung, die sogenannte Erdbeschleunigung. Nahe der Erdoberfläche Erdbeschleunigung Ist:

Dies bedeutet, dass der freie Fall aller Körper in der Nähe der Erdoberfläche eine gleichmäßig beschleunigte (aber nicht unbedingt geradlinige) Bewegung ist. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall des freien Falls, bei dem sich der Körper streng vertikal bewegt. Bei einer solchen Bewegung handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung, daher sind alle bisher untersuchten Muster und Schwerpunkte einer solchen Bewegung auch für den freien Fall geeignet. Nur die Beschleunigung ist immer gleich der Erdbeschleunigung.

Traditionell ist die OY-Achse im freien Fall vertikal ausgerichtet. Daran ist nichts auszusetzen. Sie benötigen lediglich in allen Formeln anstelle des Index „ X" schreiben " bei" Die Bedeutung dieses Index und die Regel zur Bestimmung der Zeichen bleiben erhalten. Wohin Sie die OY-Achse richten möchten, ist Ihre Wahl, abhängig von der Bequemlichkeit, das Problem zu lösen. Es gibt 2 Möglichkeiten: nach oben oder nach unten.

Lassen Sie uns mehrere Formeln vorstellen, die Lösungen für einige spezifische Probleme in der Kinematik des vertikalen freien Falls darstellen. Zum Beispiel die Geschwindigkeit, mit der ein aus großer Höhe fallender Körper fällt H ohne Anfangsgeschwindigkeit:

Zeit, in der ein Körper aus großer Höhe fällt H ohne Anfangsgeschwindigkeit:

Die maximale Höhe, bis zu der ein mit Anfangsgeschwindigkeit senkrecht nach oben geworfener Körper aufsteigt v 0, die Zeit, die dieser Körper braucht, um seine maximale Höhe zu erreichen, und die Gesamtflugzeit (vor der Rückkehr zum Ausgangspunkt):

Horizontaler Wurf

Bei horizontalem Wurf mit Anfangsgeschwindigkeit v 0 Die Bewegung eines Körpers wird praktischerweise als zwei Bewegungen betrachtet: eine gleichmäßige Bewegung entlang der OX-Achse (entlang der OX-Achse gibt es keine Kräfte, die die Bewegung verhindern oder unterstützen) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung entlang der OY-Achse.

Die Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt tangential zur Flugbahn gerichtet. Es kann in zwei Komponenten zerlegt werden: horizontal und vertikal. Die horizontale Komponente bleibt immer unverändert und ist gleich v x = v 0 . Und die Vertikale nimmt nach den Gesetzen der beschleunigten Bewegung zu v y= GT. Dabei Ganzkörpergeschwindigkeit kann mit den Formeln ermittelt werden:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Zeit, in der ein Körper zu Boden fällt, in keiner Weise von der Zeit abhängt horizontale Geschwindigkeit Er wurde geworfen und wird nur durch die Höhe bestimmt, aus der der Körper geworfen wurde. Die Zeit, in der ein Körper zu Boden fällt, wird durch die Formel ermittelt:

Während der Körper fällt, bewegt er sich gleichzeitig entlang der horizontalen Achse. Somit, Flugreichweite des Körpers oder die Distanz, die der Körper entlang der OX-Achse fliegen kann, ist gleich:

Winkel dazwischen Horizont und die Geschwindigkeit des Körpers lässt sich leicht aus der Beziehung ermitteln:

Manchmal fragen sie bei Problemen auch nach dem Zeitpunkt, zu dem der Körper mit voller Geschwindigkeit in einen bestimmten Winkel geneigt wird Vertikale. Dann ergibt sich dieser Winkel aus der Beziehung:

Es ist wichtig zu verstehen, welcher Winkel im Problem auftritt (vertikal oder horizontal). Dies wird Ihnen bei der Auswahl helfen richtige Formel. Wenn wir dieses Problem mit der Koordinatenmethode lösen, lautet die allgemeine Formel für das Gesetz der Koordinatenänderung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung:

Verwandelt sich für einen horizontal geworfenen Körper in das folgende Bewegungsgesetz entlang der OY-Achse:

Mit seiner Hilfe können wir die Höhe ermitteln, auf der sich der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet. In diesem Fall ist in dem Moment, in dem der Körper zu Boden fällt, die Koordinate des Körpers entlang der OY-Achse gleich Null. Es ist offensichtlich, dass sich der Körper gleichmäßig entlang der OX-Achse bewegt, daher ändert sich im Rahmen der Koordinatenmethode die horizontale Koordinate gemäß dem Gesetz:

Schräg zum Horizont werfen (von Boden zu Boden)

Maximale Hubhöhe beim Wurf schräg zur Horizontalen (bezogen auf die Ausgangshöhe):

Zeit zum Aufstehen maximale Höhe beim Werfen schräg zur Horizontalen:

Flugreichweite und Gesamtflugzeit eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers (vorausgesetzt, der Flug endet in der gleichen Höhe, in der er begonnen hat, d. h. der Körper wurde beispielsweise von Boden zu Boden geworfen):

Die Mindestgeschwindigkeit eines schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers beträgt in höchster Punkt steigen und ist gleich:

Die Höchstgeschwindigkeit eines schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers liegt in den Momenten des Wurfs und des Sturzes auf den Boden und ist gleich der Anfangsgeschwindigkeit. Diese Aussage gilt nur für Boden-zu-Boden-Würfe. Fliegt der Körper weiter unterhalb der Ebene, von der er abgeworfen wurde, so wird er dort immer schneller.

Geschwindigkeitszugabe

Die Bewegung von Körpern kann in verschiedenen Bezugssystemen beschrieben werden. Aus kinematischer Sicht sind alle Bezugssysteme gleich. Jedoch kinematische Eigenschaften Bewegungen, wie Flugbahn, Bewegung, Geschwindigkeit, in verschiedene Systeme sich als anders herausstellen. Größen, die von der Wahl des Bezugssystems abhängen, in dem sie gemessen werden, werden als relativ bezeichnet. Ruhe und Bewegung eines Körpers sind also relativ.

Somit ist die absolute Geschwindigkeit eines Körpers gleich der Vektorsumme seiner Geschwindigkeit relativ zum bewegten Bezugssystem und der Geschwindigkeit des bewegten Bezugssystems selbst. Oder mit anderen Worten, die Geschwindigkeit eines Körpers in einem stationären Bezugssystem ist gleich der Vektorsumme der Geschwindigkeit des Körpers in einem bewegten Bezugssystem und der Geschwindigkeit des sich bewegenden Bezugssystems relativ zum stationären.

Gleichmäßige Bewegung um einen Kreis

Ein Sonderfall ist die Bewegung eines Körpers im Kreis krummlinige Bewegung. Diese Bewegungsart wird auch in der Kinematik berücksichtigt. Bei einer krummlinigen Bewegung ist der Geschwindigkeitsvektor des Körpers immer tangential zur Flugbahn gerichtet. Das Gleiche passiert bei der Bewegung im Kreis (siehe Abbildung). Die gleichförmige Bewegung eines Körpers auf einem Kreis wird durch eine Reihe von Größen charakterisiert.

Zeitraum- die Zeit, in der ein Körper, der sich im Kreis bewegt, eine volle Umdrehung macht. Die Maßeinheit ist 1 s. Der Zeitraum wird nach folgender Formel berechnet:

Frequenz– die Anzahl der Umdrehungen, die ein Körper pro Zeiteinheit im Kreis macht. Die Maßeinheit ist 1 U/s oder 1 Hz. Die Häufigkeit wird nach folgender Formel berechnet:

In beiden Formeln: N– Anzahl der Umdrehungen pro Zeit T. Wie aus den obigen Formeln ersichtlich ist, sind Periode und Frequenz reziproke Größen:

Bei gleichmäßige Rotationsgeschwindigkeit Der Körper wird wie folgt definiert:

Wo: l– Umfang oder Weg, den ein Körper in einer Zeit zurücklegt, die der Periode entspricht T. Wenn sich ein Körper auf einem Kreis bewegt, ist es zweckmäßig, die Winkelverschiebung zu berücksichtigen φ (oder Drehwinkel), gemessen im Bogenmaß. Winkelgeschwindigkeit ω Körper an einem bestimmten Punkt wird als Verhältnis der kleinen Winkelverschiebung Δ bezeichnet φ auf einen kurzen Zeitraum Δ T. Offensichtlich in einer Zeit, die der Periode entspricht T Der Körper passiert einen Winkel von 2 π , daher sind bei gleichförmiger Bewegung im Kreis die Formeln erfüllt:

Die Winkelgeschwindigkeit wird in rad/s gemessen. Vergessen Sie nicht, Winkel von Grad in Bogenmaß umzurechnen. Bogenlänge l hängt mit dem Drehwinkel zusammen durch die Beziehung:

Kommunikation zwischen Lineargeschwindigkeitsmodul v und Winkelgeschwindigkeit ω :

Wenn sich ein Körper mit konstanter Absolutgeschwindigkeit auf einem Kreis bewegt, ändert sich nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, daher ist die Bewegung eines Körpers auf einem Kreis mit konstanter Absolutgeschwindigkeit eine Bewegung mit Beschleunigung (jedoch nicht gleichmäßig beschleunigt), da die Richtung der Geschwindigkeitsänderungen. In diesem Fall ist die Beschleunigung radial auf den Kreismittelpunkt gerichtet. Es heißt normal, oder Zentripetalbeschleunigung , da der Beschleunigungsvektor an jedem Punkt des Kreises auf seinen Mittelpunkt gerichtet ist (siehe Abbildung).

Zentripetales Beschleunigungsmodul verbunden mit linear v und Ecke ω Geschwindigkeitsverhältnisse:

Bitte beachten Sie, dass, wenn sich Körper (Punkte) auf einer rotierenden Scheibe, Kugel, Stange usw., kurz gesagt, auf demselben rotierenden Objekt befinden, alle Körper die gleiche Rotationsperiode, Winkelgeschwindigkeit und Frequenz haben.

In Lehrbüchern und Lehrbücher(zum Beispiel) wird eine Formel für die Projektion einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung (RUM) anhand eines bestimmten Beispiels eines Geschwindigkeitsdiagramms bei der Projektion der Anfangsgeschwindigkeit abgeleitet v x> 0 und Beschleunigung ein x> 0 und die Richtung der X-Achse stimmt mit der Bewegungsrichtung überein. In diesem Fall wird die Größe der Verschiebungsprojektion berücksichtigt gleiche Fläche Trapeze. Es wird jedoch nicht berücksichtigt, dass beispielsweise wann v x> 0 und ein x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.

Die für die Projektion der Verschiebung während PRUD erhaltenen Formeln werden nicht in Vektorform umgewandelt. Offenbar verstehen die Autoren, dass dies zu Formeln führen wird, die für jeden (nicht unbedingt geradlinigen) Schubhebel gültig sind. Die Verknüpfung der Ableitung der Verschiebungsformel mit dem Triebwerk führt dazu, dass bei der Analyse des Triebwerks mit einer Anfangsgeschwindigkeit, die nicht kollinear zur Beschleunigung ist, jedes Mal die Bewegung in gleichmäßige und geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegungen zerlegt werden muss (z. B. bei der Analyse der krummlinigen Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft die krummlinige Bewegung einer Ladung in einem homogenen elektrischen Feld).

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Um dies zu vermeiden, empfehlen wir die Ausgabe Vektorformel, gültig für die Bewegung bei jedem (und nicht nur geradlinigen) Gashebel. Lassen Sie den Körper eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit einer Anfangsgeschwindigkeit ausführen υ 0 und Beschleunigung A . Man kann davon ausgehen, dass diese Bewegung aus einer gleichförmigen Bewegung mit Geschwindigkeit besteht υ 0 und gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit υ 0 = 0 und Beschleunigung A .

Ziehen um S mit gleichmäßiger Bewegung über die Zeit T gleicht υ 0 T. Die Bewegung bei Drosselklappensteuerung und einer Anfangsgeschwindigkeit von Null kann offensichtlich nur von der Beschleunigung abhängen A und Zeit T, d.h. ist eine Funktion F( A,T). Daher können wir für die Summe dieser beiden Bewegungen schreiben:

S = υ 0 T + F( A,T). (1)

Während T Der Körper wird Geschwindigkeit erreichen υ = υ 0 + A T.

Um eine Funktion zu definieren F( A,T) Nehmen wir an, dass die Bewegung auf Film festgehalten und in umgekehrter Reihenfolge gezeigt wird. In diesem Fall gilt gleichzeitig das Körperbild T und mit der gleichen Beschleunigung A werde einen Schritt machen S arr = – S mit Anfangsgeschwindigkeit υ arr = – υ = –(υ 0 + A T).

Beispiel für Formel (1): S arr = υ arr. T + F( A,T) und unter Berücksichtigung der Ausdrücke für S arr. υ arr:

–S = –(υ 0 + A T)T + F( A,T) ⇒ S = υ 0 T + A T 2 – F( A,T). (2)

Lassen Sie uns die rechten Seiten der Ausdrücke (1) und (2) für dieselbe Größe gleichsetzen S : υ 0 T + F( A,T) =υ 0 T + A T 2 – F( A,T).

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir F( A,T)= bei 2 /2.

Nun lässt sich Formel (1) für gleichmäßig beschleunigte Bewegung wie folgt schreiben: S = υ 0 T + A T 2 /2.

Literatur

1. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Physik-9. – M.: Bildung, 1999.
2. Kabardin O.F. Physik. – M.: AST-Press School, 2009.

Lassen Sie uns eine Formel herleiten, mit der Sie die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers berechnen können, der sich für einen beliebigen Zeitraum geradlinig und gleichmäßig beschleunigt bewegt. Wenden wir uns dazu Abbildung 14 zu. Sowohl in Abbildung 14, a als auch in Abbildung 14, b ist das Segment AC ein Diagramm der Projektion des Geschwindigkeitsvektors eines Körpers, der sich mit konstanter Beschleunigung a (mit einer Anfangsgeschwindigkeit) bewegt v 0).

Reis. 14. Die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers, der sich geradlinig und gleichmäßig beschleunigt bewegt, ist numerisch gleich der Fläche S unter dem Diagramm

Erinnern wir uns daran, dass im Fall einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung eines Körpers die von diesem Körper erzeugte Projektion des Verschiebungsvektors durch dieselbe Formel bestimmt wird wie die Fläche des Rechtecks, das unter dem Diagramm der Projektion des Geschwindigkeitsvektors eingeschlossen ist (siehe Abb. 6). Daher ist die Projektion des Verschiebungsvektors numerisch gleich der Fläche dieses Rechtecks.

Beweisen wir, dass im Fall einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung die Projektion des Verschiebungsvektors s x nach derselben Formel bestimmt werden kann wie die Fläche der Figur, die zwischen dem Graphen AC, der Ot-Achse und den Segmenten OA und BC eingeschlossen ist , d. h. wie in diesem Fall ist die Projektion des Verschiebungsvektors numerisch gleich der Fläche der Figur unter dem Geschwindigkeitsdiagramm. Dazu wählen wir auf der Ot-Achse (siehe Abb. 14, a) einen kleinen Zeitraum db aus. Von den Punkten d und b zeichnen wir Senkrechte zur Ot-Achse, bis sie den Graphen der Projektion des Geschwindigkeitsvektors an den Punkten a und c schneiden.

Somit ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers über einen Zeitraum, der dem Segment db entspricht, von v ax zu v cx.

Über einen relativ kurzen Zeitraum ändert sich die Projektion des Geschwindigkeitsvektors sehr geringfügig. Daher unterscheidet sich die Bewegung des Körpers während dieser Zeit kaum von einer gleichförmigen Bewegung, also von einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Die gesamte Fläche der OASV-Figur, die ein Trapez ist, kann in solche Streifen unterteilt werden. Folglich ist die Projektion des Verschiebungsvektors sx für den dem Segment OB entsprechenden Zeitraum numerisch gleich der Fläche S des Trapezes OASV und wird nach derselben Formel wie diese Fläche bestimmt.

Nach der Regel aus Schulgeometriekursen ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe. Aus Abbildung 14, b ist klar, dass die Basen des Trapezes OASV die Segmente OA = v 0x und BC = v x sind und die Höhe das Segment OB = t ist. Somit,

Da v x = v 0x + a x t, a S = s x, können wir schreiben:

Damit haben wir eine Formel zur Berechnung der Projektion des Verschiebungsvektors bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung erhalten.

Mit der gleichen Formel wird die Projektion des Verschiebungsvektors auch berechnet, wenn sich der Körper mit abnehmender Geschwindigkeit bewegt, nur sind in diesem Fall die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in entgegengesetzte Richtungen gerichtet, sodass ihre Projektionen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Fragen

1. Beweisen Sie anhand von Abbildung 14, a, dass die Projektion des Verschiebungsvektors bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung numerisch gleich der Fläche der Figur OASV ist.
2. Schreiben Sie eine Gleichung auf, um die Projektion des Verschiebungsvektors eines Körpers während seiner geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu bestimmen.

Übung 7