4 Formeln für die Verschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung. Geschwindigkeit, Beschleunigung, gleichmäßige und gleichmäßig beschleunigte lineare Bewegung

Themen des Einheitlichen Staatsexamen-Kodifizierers: Typen mechanisches Uhrwerk, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Gleichungen der geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung, freier Fall.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung - Dies ist eine Bewegung mit einem konstanten Beschleunigungsvektor. Also wann gleichmäßig beschleunigte Bewegung Richtung und absolute Größe der Beschleunigung bleiben unverändert.

Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit.

Bei der Untersuchung einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung stellte sich die Frage nach der Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit nicht: Die Geschwindigkeit war während der Bewegung konstant. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ändert sich jedoch die Geschwindigkeit mit der Zeit, und wir müssen diese Abhängigkeit herausfinden.

Lassen Sie uns noch einmal einige grundlegende Integrationen üben. Wir gehen davon aus, dass die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors der Beschleunigungsvektor ist:

. (1)

In unserem Fall haben wir . Was muss differenziert werden, um einen konstanten Vektor zu erhalten? Natürlich die Funktion. Aber nicht nur das: Sie können einen beliebigen konstanten Vektor hinzufügen (schließlich ist die Ableitung eines konstanten Vektors Null). Auf diese Weise,

. (2)

Was bedeutet die Konstante? IN Startmoment Zeit, in der die Geschwindigkeit ihrem Anfangswert entspricht: . Unter der Annahme in Formel (2) erhalten wir daher:

Die Konstante ist also die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers. Nun nimmt Beziehung (2) ihre endgültige Form an:

. (3)

Bei bestimmten Problemen wählen wir ein Koordinatensystem und gehen zu Projektionen auf Koordinatenachsen über. Oft reichen zwei Achsen und eine rechteckige Kartesisches System Koordinaten und Vektorformel(3) ergibt zwei Skalargleichungen:

, (4)

. (5)

Die Formel für die dritte Geschwindigkeitskomponente ist bei Bedarf ähnlich.)

Bewegungsgesetz.

Jetzt können wir das Bewegungsgesetz finden, also die Abhängigkeit des Radiusvektors von der Zeit. Wir erinnern uns, dass die Ableitung des Radiusvektors die Geschwindigkeit des Körpers ist:

Wir ersetzen hier den Ausdruck für die Geschwindigkeit, der durch Formel (3) gegeben ist:

(6)

Jetzt müssen wir Gleichheit (6) integrieren. Es ist nicht schwer. Um zu erhalten, müssen Sie die Funktion differenzieren. Um dies zu erreichen, müssen Sie differenzieren. Vergessen wir nicht, eine beliebige Konstante hinzuzufügen:

Es ist klar, dass dies der Anfangswert des Radiusvektors zum Zeitpunkt ist. Als Ergebnis erhalten wir das gewünschte Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

. (7)

Wenn wir zu Projektionen auf Koordinatenachsen übergehen, erhalten wir anstelle einer Vektorgleichung (7) drei Skalargleichungen:

. (8)

. (9)

. (10)

Die Formeln (8) – (10) geben die Abhängigkeit der Koordinaten des Körpers von der Zeit an und dienen somit als Lösung des Hauptproblems der Mechanik für gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Kehren wir noch einmal zum Bewegungsgesetz (7) zurück. Beachten Sie Folgendes: Bewegung des Körpers. Dann
wir erhalten die Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit:

Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Wenn eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, ist es zweckmäßig, eine Koordinatenachse entlang der geraden Linie zu wählen, entlang der sich der Körper bewegt. Dies sei zum Beispiel die Achse. Um die Probleme zu lösen, benötigen wir dann nur drei Formeln:

Wo ist die Projektion der Verschiebung auf die Achse?

Aber sehr oft hilft eine andere Formel, die eine Folge davon ist. Lassen Sie uns die Zeit anhand der ersten Formel ausdrücken:

und setzen Sie es in die Bewegungsformel ein:

Nach algebraischen Transformationen (unbedingt durchführen!) kommen wir zu der Beziehung:

Diese Formel enthält keine Zeit und ermöglicht es Ihnen, bei Problemen, bei denen die Zeit nicht erscheint, schnell eine Antwort zu finden.

Freier Fall.

Ein wichtiger Sonderfall gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist der freie Fall. Dies ist die Bezeichnung für die Bewegung eines Körpers nahe der Erdoberfläche ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands.

Der freie Fall eines Körpers, unabhängig von seiner Masse, erfolgt mit einer konstanten freien Fallbeschleunigung, die vertikal nach unten gerichtet ist. Bei fast allen Problemen wird bei Berechnungen von m/s ausgegangen.

Schauen wir uns mehrere Probleme an und sehen wir, wie die Formeln funktionieren, die wir für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen abgeleitet haben.

Aufgabe. Ermitteln Sie die Landegeschwindigkeit eines Regentropfens, wenn die Höhe der Wolke km beträgt.

Lösung. Richten wir die Achse vertikal nach unten und platzieren den Ursprung am Punkt der Tropfentrennung. Verwenden wir die Formel

Wir haben: - die erforderliche Landegeschwindigkeit, . Wir erhalten: , von . Wir berechnen: m/s. Das sind 720 km/h, etwa die Geschwindigkeit einer Kugel.

Tatsächlich fallen Regentropfen mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung von mehreren Metern pro Sekunde. Warum gibt es eine solche Diskrepanz? Seitenwind!

Aufgabe. Ein Körper wird mit einer Geschwindigkeit von m/s senkrecht nach oben geschleudert. Finden Sie seine Geschwindigkeit in c.

Hier also. Wir berechnen: m/s. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit 20 m/s beträgt. Das Projektionszeichen zeigt an, dass der Körper nach unten fliegen wird.

Aufgabe. Von einem Balkon in m Höhe wurde ein Stein mit einer Geschwindigkeit von m/s senkrecht nach oben geschleudert. Wie lange wird es dauern, bis der Stein zu Boden fällt?

Lösung. Richten wir die Achse vertikal nach oben und platzieren den Ursprung auf der Erdoberfläche. Wir verwenden die Formel

Wir haben: so , oder . Entscheiden quadratische Gleichung, wir bekommen c.

Horizontaler Wurf.

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist nicht unbedingt linear. Betrachten Sie die Bewegung eines horizontal geworfenen Körpers.

Angenommen, ein Körper wird mit hoher Geschwindigkeit horizontal aus großer Höhe geschleudert. Lassen Sie uns die Zeit und die Flugreichweite ermitteln und auch herausfinden, welche Flugbahn die Bewegung nimmt.

Wählen wir ein Koordinatensystem wie in Abb. 1 .

Wir verwenden die Formeln:

In unserem Fall . Wir bekommen:

. (11)

Die Flugzeit ermitteln wir aus der Bedingung, dass im Moment des Sturzes die Koordinate des Körpers Null wird:

Die Flugreichweite ist der Koordinatenwert zum Zeitpunkt:

Wir erhalten die Flugbahngleichung, indem wir die Zeit aus den Gleichungen (11) ausschließen. Wir drücken aus der ersten Gleichung aus und setzen sie in die zweite ein:

Wir haben eine Abhängigkeit von erhalten, die die Gleichung einer Parabel ist. Folglich fliegt der Körper in einer Parabel.

In einem Winkel zur Horizontalen werfen.

Schauen wir noch etwas genauer hin schwieriger Fall gleichmäßig beschleunigte Bewegung: der Flug eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers.

Nehmen wir an, dass ein Körper mit einer schräg zum Horizont gerichteten Geschwindigkeit von der Erdoberfläche geschleudert wird. Lassen Sie uns die Zeit und die Flugreichweite ermitteln und auch herausfinden, auf welcher Flugbahn sich der Körper bewegt.

Wählen wir ein Koordinatensystem wie in Abb. 2.

Wir beginnen mit den Gleichungen:

(Führen Sie diese Berechnungen unbedingt selbst durch!) Wie wir sehen, handelt es sich bei der Abhängigkeit wieder um die Gleichung einer Parabel. Versuchen Sie auch das zu zeigen maximale Höhe Der Auftrieb wird durch die Formel bestimmt.

Das wichtigste Merkmal bei der Bewegung eines Körpers ist seine Geschwindigkeit. Wenn wir es und einige andere Parameter kennen, können wir jederzeit die Bewegungszeit, die zurückgelegte Strecke, die Anfangs- und Endgeschwindigkeit und die Beschleunigung bestimmen. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist nur eine Art von Bewegung. Man findet es meist bei physikalischen Problemen aus dem Bereich Kinematik. Bei solchen Problemen wird der Körper als materieller Punkt betrachtet, was alle Berechnungen erheblich vereinfacht.

Geschwindigkeit. Beschleunigung

Zunächst möchte ich den Leser darauf aufmerksam machen, dass diese beiden physikalische Quantitäten sind nicht skalar, sondern vektoriell. Dies bedeutet, dass bei der Lösung bestimmter Arten von Problemen darauf geachtet werden muss, welches Vorzeichen die Beschleunigung des Körpers hat und wie der Vektor der Geschwindigkeit des Körpers selbst ist. Im Allgemeinen werden bei Problemen rein mathematischer Natur solche Momente weggelassen, bei physikalischen Problemen ist dies jedoch sehr wichtig, da sich in der Kinematik aufgrund eines falschen Vorzeichens die Antwort als falsch herausstellen kann.

Beispiele

Ein Beispiel ist eine gleichmäßig beschleunigte und gleichmäßig verzögerte Bewegung. Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeichnet sich bekanntlich durch eine Beschleunigung des Körpers aus. Die Beschleunigung bleibt konstant, die Geschwindigkeit nimmt jedoch in jedem einzelnen Moment kontinuierlich zu. Und bei gleichmäßig langsamer Bewegung hat die Beschleunigung einen negativen Wert, die Geschwindigkeit des Körpers nimmt kontinuierlich ab. Diese beiden Arten der Beschleunigung bilden die Grundlage vieler physikalischer Probleme und kommen häufig in Aufgaben im ersten Teil von Physiktests vor.

Beispiel einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Wir begegnen täglich überall gleichmäßig beschleunigter Bewegung. Es fährt kein Auto ein wahres Leben gleichmäßig. Auch wenn die Tachonadel genau 6 Kilometer pro Stunde anzeigt, sollten Sie verstehen, dass dies tatsächlich nicht ganz stimmt. Wenn wir dieses Problem zunächst aus technischer Sicht analysieren, ist das Gerät der erste Parameter, der zu Ungenauigkeiten führt. Oder besser gesagt, es ist ein Fehler.

Wir finden sie in allen Kontroll- und Messgeräten. Die gleichen Zeilen. Nehmen Sie etwa zehn Lineale, mindestens identisch (z. B. 15 Zentimeter) oder unterschiedlich (15, 30, 45, 50 Zentimeter). Legen Sie sie nebeneinander und Sie werden feststellen, dass es leichte Ungenauigkeiten gibt und ihre Skalen nicht ganz übereinstimmen. Dies ist ein Fehler. IN in diesem Fall er entspricht der Hälfte des Divisionswerts, wie bei anderen Geräten, die bestimmte Werte erzeugen.

Der zweite Faktor, der zu Ungenauigkeiten führt, ist die Größe des Geräts. Der Tacho berücksichtigt keine Werte wie einen halben Kilometer, einen halben Kilometer usw. Mit bloßem Auge ist dies am Gerät kaum zu erkennen. Nahezu unmöglich. Aber es gibt eine Geschwindigkeitsänderung. Wenn auch um so einen kleinen Betrag, aber immerhin. Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, nicht um eine gleichmäßige. Das Gleiche gilt für einen regulären Schritt. Nehmen wir an, wir gehen und jemand sagt: Unsere Geschwindigkeit beträgt 5 Kilometer pro Stunde. Aber das stimmt nicht ganz, und warum, wurde etwas weiter oben erklärt.

Körperbeschleunigung

Die Beschleunigung kann positiv oder negativ sein. Dies wurde bereits früher besprochen. Fügen wir hinzu, dass die Beschleunigung eine Vektorgröße ist, die numerisch gleich der Geschwindigkeitsänderung über einen bestimmten Zeitraum ist. Das heißt, durch die Formel kann es wie folgt bezeichnet werden: a = dV/dt, wobei dV die Geschwindigkeitsänderung und dt das Zeitintervall (Zeitänderung) ist.

Nuancen

Es kann sich sofort die Frage stellen, wie sich die Beschleunigung in dieser Situation negativ auswirken kann. Diejenigen, die eine ähnliche Frage stellen, begründen dies damit, dass selbst Geschwindigkeit nicht negativ sein kann, geschweige denn Zeit. Tatsächlich kann Zeit wirklich nicht negativ sein. Aber sehr oft vergessen sie, dass Geschwindigkeit gefragt ist negative Werte gut möglich. Dies ist eine Vektorgröße, das sollten wir nicht vergessen! Es geht wahrscheinlich nur um Stereotypen und falsches Denken.

Um Probleme zu lösen, reicht es also aus, eines zu verstehen: Die Beschleunigung ist positiv, wenn der Körper beschleunigt. Und es wird negativ sein, wenn der Körper langsamer wird. Das ist es, ganz einfach. Das einfachste logische Denken oder die Fähigkeit, zwischen den Zeilen zu sehen, wird tatsächlich Teil der Lösung eines physikalischen Problems im Zusammenhang mit Geschwindigkeit und Beschleunigung sein. Ein Sonderfall ist die Erdbeschleunigung, die nicht negativ sein kann.

Formeln. Probleme lösen

Es versteht sich, dass Probleme im Zusammenhang mit Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht nur praktischer, sondern auch theoretischer Natur sind. Deshalb werden wir sie analysieren und wenn möglich versuchen zu erklären, warum diese oder jene Antwort richtig oder umgekehrt falsch ist.

Theoretisches Problem

In Physikprüfungen der Klassen 9 und 11 stößt man sehr häufig auf Fragen wie diese: „Wie verhält sich ein Körper, wenn die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist?“ Tatsächlich kann der Wortlaut der Frage sehr unterschiedlich sein, aber die Antwort ist immer noch dieselbe. Hier müssen Sie zunächst auf oberflächliche Gebäude und normales logisches Denken zurückgreifen.

Dem Schüler stehen 4 Antworten zur Auswahl zur Verfügung. Erstens: „Die Geschwindigkeit wird Null sein.“ Zweitens: „Die Geschwindigkeit des Körpers nimmt über einen gewissen Zeitraum ab.“ Drittens: „Die Geschwindigkeit des Körpers ist konstant, aber definitiv nicht Null.“ Viertens: „Die Geschwindigkeit kann jeden Wert haben, aber zu jedem Zeitpunkt wird sie konstant sein.“

Die richtige Antwort hier ist natürlich die vierte. Lassen Sie uns nun herausfinden, warum das so ist. Versuchen wir, alle Optionen nacheinander zu prüfen. Bekanntlich ist die Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte das Produkt aus Masse und Beschleunigung. Aber unsere Masse bleibt ein konstanter Wert, wir werden sie verwerfen. Das heißt, wenn die Summe aller Kräfte Null ist, ist auch die Beschleunigung Null.

Nehmen wir also an, dass die Geschwindigkeit Null ist. Dies kann jedoch nicht sein, da unsere Beschleunigung gleich Null ist. Rein physikalisch ist dies zulässig, in diesem Fall jedoch nicht, da es sich hier um etwas anderes handelt. Lassen Sie die Geschwindigkeit des Körpers im Laufe der Zeit abnehmen. Aber wie kann sie abnehmen, wenn die Beschleunigung konstant und gleich Null ist? Es gibt keine Gründe oder Voraussetzungen für eine Verringerung oder Erhöhung der Geschwindigkeit. Daher lehnen wir die zweite Option ab.

Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit des Körpers konstant ist, aber definitiv nicht Null. Es wird tatsächlich konstant sein, da es einfach keine Beschleunigung gibt. Es kann jedoch nicht eindeutig gesagt werden, dass die Geschwindigkeit von Null abweichen wird. Aber die vierte Option ist genau das Richtige. Die Geschwindigkeit kann beliebig sein, aber da es keine Beschleunigung gibt, bleibt sie über die Zeit konstant.

Praktisches Problem

Bestimmen Sie, welchen Weg der Körper zurückgelegt hat bestimmten Zeitraum Zeit t1-t2 (t1 = 0 Sekunden, t2 = 2 Sekunden), wenn die folgenden Daten verfügbar sind. Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers im Intervall von 0 bis 1 Sekunde beträgt 0 Meter pro Sekunde, die Endgeschwindigkeit beträgt 2 Meter pro Sekunde. Die Geschwindigkeit des Körpers beträgt zum Zeitpunkt von 2 Sekunden ebenfalls 2 Meter pro Sekunde.

Die Lösung eines solchen Problems ist ganz einfach, man muss nur das Wesentliche begreifen. Wir müssen also einen Weg finden. Nun, beginnen wir mit der Suche, nachdem wir zuvor zwei Bereiche identifiziert haben. Wie leicht zu erkennen ist, durchläuft der Körper den ersten Streckenabschnitt (von 0 bis 1 Sekunde) mit gleichmäßiger Beschleunigung, was sich in der Zunahme seiner Geschwindigkeit zeigt. Dann werden wir diese Beschleunigung finden. Sie kann als Geschwindigkeitsunterschied geteilt durch die Bewegungszeit ausgedrückt werden. Die Beschleunigung beträgt (2-0)/1 = 2 Meter pro Sekunde im Quadrat.

Dementsprechend ist die zurückgelegte Strecke auf dem ersten Abschnitt des Pfades S gleich: S = V0t + at^2/2 = 0*1 + 2*1^2/2 = 0 + 1 = 1 Meter. Auf dem zweiten Wegabschnitt, im Zeitraum von 1 Sekunde bis 2 Sekunden, bewegt sich der Körper gleichmäßig. Dies bedeutet, dass der Abstand V*t = 2*1 = 2 Meter beträgt. Nun addieren wir die Abstände, wir kommen auf 3 Meter. Das ist die Antwort.

Allgemein gleichmäßig beschleunigte Bewegung nennt man eine solche Bewegung, bei der der Beschleunigungsvektor in Größe und Richtung unverändert bleibt. Ein Beispiel für eine solche Bewegung ist die Bewegung eines Steins, der in einem bestimmten Winkel zum Horizont geworfen wird (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands). An jedem Punkt der Flugbahn ist die Beschleunigung des Steins gleich der Erdbeschleunigung. Für eine kinematische Beschreibung der Bewegung eines Steins ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem so zu wählen, dass eine der Achsen, beispielsweise die Achse OY, war parallel zum Beschleunigungsvektor gerichtet. Dann krummlinige Bewegung Der Stein kann als Summe zweier Bewegungen dargestellt werden - geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung entlang der Achse OY Und gleichmäßige geradlinige Bewegung in senkrechter Richtung, also entlang der Achse OCHSE(Abb. 1.4.1).

Somit wird das Studium der gleichmäßig beschleunigten Bewegung auf das Studium der geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung reduziert. Bei einer geradlinigen Bewegung sind die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren entlang der geraden Bewegungslinie gerichtet. Daher die Geschwindigkeit v und Beschleunigung A in Projektionen auf die Bewegungsrichtung können als algebraische Größen betrachtet werden.

Abbildung 1.4.1.

Projektionen von Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren auf Koordinatenachsen. AX = 0, Aj = -G

Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung wird die Geschwindigkeit eines Körpers durch die Formel bestimmt

(*)

In dieser Formel ist υ 0 die Geschwindigkeit des Körpers bei T = 0 (Startgeschwindigkeit ), A= const - Beschleunigung. Auf dem Geschwindigkeitsdiagramm υ ( T) sieht diese Abhängigkeit wie eine Gerade aus (Abb. 1.4.2).

Abbildung 1.4.2.

Geschwindigkeitsdiagramme gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Die Beschleunigung kann aus der Steigung des Geschwindigkeitsdiagramms bestimmt werden A Körper. Die entsprechenden Konstruktionen sind in Abb. dargestellt. 1.4.2 für Diagramm I. Die Beschleunigung ist numerisch gleich dem Verhältnis der Seiten des Dreiecks ABC:

Je größer der Winkel β ist, den der Geschwindigkeitsgraph mit der Zeitachse bildet, d. h. desto größer ist die Steigung des Graphen ( Steilheit), desto größer ist die Beschleunigung des Körpers.

Für Diagramm I: υ 0 = -2 m/s, A= 1/2 m/s 2.

Für Diagramm II: υ 0 = 3 m/s, A= -1/3 m/s 2

Mit dem Geschwindigkeitsdiagramm können Sie auch die Bewegungsprojektion bestimmen S Körper für einige Zeit T. Wählen wir auf der Zeitachse eine bestimmte kleine Zeitspanne Δ aus T. Wenn dieser Zeitraum klein genug ist, ist die Geschwindigkeitsänderung über diesen Zeitraum gering, d. h. die Bewegung während dieses Zeitraums kann als gleichmäßig mit einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit angesehen werden, die gleich ist momentane Geschwindigkeitυ des Körpers in der Mitte des Spalts Δ T. Daher Verschiebung Δ S in der Zeit Δ T wird gleich Δ sein S = υΔ T. Diese Bewegung entspricht der Fläche des schattierten Streifens (Abb. 1.4.2). Aufschlüsselung des Zeitraums von 0 bis zu einem bestimmten Punkt T für kleine Intervalle Δ T, wir finden, dass die Bewegung S für eine bestimmte Zeit T bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung ist gleich der Fläche des Trapezes ODEF. Die entsprechenden Konstruktionen wurden für Diagramm II in Abb. erstellt. 1.4.2. Zeit T genommen gleich 5,5 s.

Da υ - υ 0 = bei, die endgültige Formel für den Umzug S Körper mit gleichmäßig beschleunigter Bewegung über ein Zeitintervall von 0 bis T wird in der Form geschrieben:

(**)

Um die Koordinaten zu finden j Körper jederzeit T müssen zur Startkoordinate j 0 Bewegung in der Zeit hinzufügen T:

(***)

Dieser Ausdruck heißt Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung .

Bei der Analyse einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung entsteht manchmal das Problem, die Bewegung eines Körpers anhand der gegebenen Werte der Anfangsgeschwindigkeiten υ 0 und Endgeschwindigkeiten υ und der Beschleunigung zu bestimmen A. Dieses Problem kann mithilfe der oben beschriebenen Gleichungen gelöst werden, indem die Zeit daraus eliminiert wird T. Das Ergebnis wird in das Formular geschrieben

Aus dieser Formel können wir einen Ausdruck zur Bestimmung der Endgeschwindigkeit υ eines Körpers erhalten, wenn die Anfangsgeschwindigkeit υ 0 und die Beschleunigung bekannt sind A und bewegend S:

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit υ 0 Null ist, nehmen diese Formeln die Form an

Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Größen υ 0, υ in den Formeln für eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung enthalten sind S, A, j 0 sind algebraische Größen. Abhängig von der konkreten Art der Bewegung kann jede dieser Größen sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Bei geradliniger, gleichmäßig beschleunigter Bewegung bewegt sich der Körper

bewegt sich entlang einer herkömmlichen geraden Linie,
seine Geschwindigkeit nimmt allmählich zu oder ab,
Über gleiche Zeiträume ändert sich die Geschwindigkeit um den gleichen Betrag.

Beispielsweise setzt sich ein Auto aus dem Stand auf einer geraden Straße in Bewegung und bewegt sich bis zu einer Geschwindigkeit von beispielsweise 72 km/h gleichmäßig beschleunigt. Bei Erreichen der eingestellten Geschwindigkeit bewegt sich das Auto ohne Geschwindigkeitsänderung, also gleichmäßig. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung erhöhte sich seine Geschwindigkeit von 0 auf 72 km/h. Und lassen Sie die Geschwindigkeit mit jeder Sekunde Bewegung um 3,6 km/h ansteigen. Dann beträgt die Zeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung des Autos 20 Sekunden. Da die Beschleunigung in SI in Metern pro Sekunde im Quadrat gemessen wird, muss eine Beschleunigung von 3,6 km/h pro Sekunde in die entsprechenden Einheiten umgerechnet werden. Sie beträgt (3,6 * 1000 m) / (3600 s * 1 s) = 1 m/s 2.

Nehmen wir an, dass das Auto nach einiger Zeit mit konstanter Geschwindigkeit langsamer wurde und zum Stillstand kam. Auch beim Bremsen wurde die Bewegung gleichmäßig beschleunigt (über gleiche Zeiträume nahm die Geschwindigkeit um den gleichen Betrag ab). In diesem Fall ist der Beschleunigungsvektor dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt. Wir können sagen, dass die Beschleunigung negativ ist.

Wenn also die Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers Null ist, dann ist seine Geschwindigkeit nach einer Zeit von t Sekunden gleich dem Produkt aus Beschleunigung und dieser Zeit:

Wenn ein Körper fällt, „wirkt“ die Erdbeschleunigung und die Geschwindigkeit des Körpers an der Erdoberfläche wird durch die Formel bestimmt:

Wenn Sie die aktuelle Geschwindigkeit des Körpers kennen und wissen, wie lange es gedauert hat, bis sich diese Geschwindigkeit aus dem Ruhezustand entwickelt hat, können Sie die Beschleunigung (d. h. wie schnell sich die Geschwindigkeit geändert hat) ermitteln, indem Sie die Geschwindigkeit durch die Zeit dividieren:

Allerdings konnte der Körper eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht aus dem Ruhezustand heraus beginnen, sondern bereits mit einer gewissen Geschwindigkeit (oder ihm wurde eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben). Nehmen wir an, Sie werfen einen Stein mit Gewalt senkrecht von einem Turm nach unten. Ein solcher Körper unterliegt einer Erdbeschleunigung von 9,8 m/s 2 . Deine Kraft verlieh dem Stein jedoch noch mehr Geschwindigkeit. Somit ist die Endgeschwindigkeit (im Moment der Bodenberührung) die Summe der durch Beschleunigung entwickelten Geschwindigkeit und Anfangsgeschwindigkeit. Somit ergibt sich die Endgeschwindigkeit nach der Formel:

Allerdings, wenn der Stein nach oben geworfen wurde. Dann ist seine Anfangsgeschwindigkeit nach oben gerichtet und die Beschleunigung des freien Falls nach unten. Das heißt, die Geschwindigkeitsvektoren sind in entgegengesetzte Richtungen gerichtet. In diesem Fall (wie auch beim Bremsen) muss von der Anfangsgeschwindigkeit das Produkt aus Beschleunigung und Zeit abgezogen werden:

Aus diesen Formeln erhalten wir die Beschleunigungsformeln. Bei Beschleunigung:

at = v – v 0
a = (v – v 0)/t

Bei Bremsung:

at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

Wenn ein Körper mit gleichmäßiger Beschleunigung anhält, beträgt seine Geschwindigkeit im Moment des Anhaltens 0. Dann reduziert sich die Formel auf folgende Form:

Unter Kenntnis der Anfangsgeschwindigkeit des Aufbaus und der Bremsbeschleunigung wird die Zeit bestimmt, nach der der Aufbau zum Stillstand kommt:

Jetzt lasst uns drucken Formeln für den Weg, den ein Körper bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung zurücklegt. Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine geradlinige gleichförmige Bewegung ist ein Segment parallel zur Zeitachse (normalerweise wird die x-Achse genommen). Der Pfad wird als Fläche des Rechtecks unter dem Segment berechnet. Das heißt, durch Multiplikation der Geschwindigkeit mit der Zeit (s = vt). Bei geradliniger, gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist der Graph eine Gerade, jedoch nicht parallel zur Zeitachse. Diese Gerade nimmt entweder beim Beschleunigen zu oder beim Bremsen ab. Der Pfad wird jedoch auch als die Fläche der Figur unter dem Diagramm definiert.

Bei geradliniger, gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist diese Figur ein Trapez. Seine Grundlagen sind ein Segment auf der y-Achse (Geschwindigkeit) und ein Segment, das den Endpunkt des Diagramms mit seiner Projektion auf der x-Achse verbindet. Die Seiten sind der Graph der Geschwindigkeit über der Zeit selbst und seine Projektion auf die x-Achse (Zeitachse). Die Projektion auf die x-Achse ist nicht nur die Seite, sondern auch die Höhe des Trapezes, da es senkrecht zu seinen Grundflächen steht.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe aus Grundflächen und Höhe. Die Länge der ersten Basis entspricht der Anfangsgeschwindigkeit (v 0), die Länge der zweiten Basis entspricht der Endgeschwindigkeit (v), die Höhe entspricht der Zeit. Somit erhalten wir:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Oben wurde die Formel für die Abhängigkeit der Endgeschwindigkeit von der Anfangs- und Beschleunigung (v = v 0 + at) angegeben. Daher können wir in der Pfadformel v ersetzen:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Die zurückgelegte Strecke wird also durch die Formel bestimmt:

s = v 0 t + bei 2 /2

(Zu dieser Formel gelangt man, indem man nicht die Fläche des Trapezes berücksichtigt, sondern die Flächen des Rechtecks summiert und rechtwinkliges Dreieck, in die das Trapez unterteilt ist.)

Wenn sich der Körper aus dem Ruhezustand (v 0 = 0) gleichmäßig beschleunigt zu bewegen beginnt, vereinfacht sich die Wegformel zu s = bei 2 /2.

Wenn der Beschleunigungsvektor der Geschwindigkeit entgegengesetzt war, muss das Produkt bei 2/2 subtrahiert werden. Es ist klar, dass in diesem Fall die Differenz zwischen v 0 t und bei 2 /2 nicht negativ werden sollte. Wann wird sie gleich Null, der Körper stoppt. Ein Bremsweg wird gefunden. Oben war die Formel für die Zeit bis zum vollständigen Stillstand (t = v 0 /a). Wenn wir den Wert t in die Wegformel einsetzen, reduziert sich der Bremsweg auf die folgende Formel.

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung mit Beschleunigung, deren Vektor sich in Größe und Richtung nicht ändert. Beispiele für eine solche Bewegung: ein Fahrrad, das einen Hügel hinunterrollt; ein Stein, der schräg zur Horizontalen geworfen wird.

Betrachten wir den letzten Fall genauer. An jedem Punkt der Flugbahn wirkt auf den Stein die Erdbeschleunigung g →, die sich in ihrer Größe nicht ändert und immer in eine Richtung gerichtet ist.

Die Bewegung eines in einem Winkel zur Horizontalen geworfenen Körpers kann als Summe der Bewegungen relativ zur vertikalen und horizontalen Achse dargestellt werden.

Entlang der X-Achse ist die Bewegung gleichmäßig und linear, und entlang der Y-Achse ist sie gleichmäßig beschleunigt und linear. Wir betrachten die Projektionen der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren auf der Achse.

Formel für Geschwindigkeit bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung:

Dabei ist v 0 die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, a = c o n s t die Beschleunigung.

Zeigen wir im Diagramm, dass bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung die Abhängigkeit v (t) die Form einer Geraden hat.

Die Beschleunigung kann durch die Steigung des Geschwindigkeitsdiagramms bestimmt werden. In der Abbildung oben ist der Beschleunigungsmodul gleich dem Verhältnis der Seiten des Dreiecks ABC.

a = v - v 0 t = B C A C

Je größer der Winkel β ist, desto größer ist die Steigung (Steilheit) des Diagramms relativ zur Zeitachse. Dementsprechend ist die Beschleunigung des Körpers umso größer.

Für den ersten Graphen: v 0 = - 2 m s; a = 0,5 m s 2.

Für den zweiten Graphen: v 0 = 3 m s; a = - 1 3 m s 2 .

Mit diesem Diagramm können Sie auch die Verschiebung des Körpers während der Zeit t berechnen. Wie kann man das machen?

Markieren wir einen kleinen Zeitraum ∆ t in der Grafik. Wir gehen davon aus, dass es so klein ist, dass die Bewegung während der Zeit ∆ t berücksichtigt werden kann gleichmäßige Bewegung mit Geschwindigkeit, gleiche Geschwindigkeit Körper in der Mitte des Intervalls ∆ t. Dann ist die Verschiebung ∆ s während der Zeit ∆ t gleich ∆ s = v ∆ t.

Teilen wir die gesamte Zeit t in infinitesimale Intervalle ∆ t auf. Die Verschiebung s während der Zeit t ist gleich der Fläche des Trapezes O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t.

Wir wissen, dass v - v 0 = a t, daher wird die endgültige Formel für die Bewegung des Körpers die Form annehmen:

s = v 0 t + a t 2 2

Um die Koordinate des Körpers zu finden dieser Moment Zeit müssen Sie der ursprünglichen Koordinate des Körpers eine Verschiebung hinzufügen. Die Koordinatenänderung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung drückt das Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus.

Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

y = y 0 + v 0 t + at 2 2 .

Ein weiteres häufiges Problem, das bei der Analyse gleichmäßig beschleunigter Bewegungen auftritt, besteht darin, die Verschiebung für gegebene Werte der Anfangs- und Endgeschwindigkeit und -beschleunigung zu ermitteln.

Wenn wir t aus den oben geschriebenen Gleichungen eliminieren und diese lösen, erhalten wir:

s = v 2 - v 0 2 2 a.

Aus der bekannten Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung lässt sich die Endgeschwindigkeit des Körpers ermitteln:

v = v 0 2 + 2 a s .

Für v 0 = 0 s = v 2 2 a und v = 2 a s

Wichtig!

Die in den Ausdrücken enthaltenen Größen v, v0, a, y0, s sind algebraische Größen. Abhängig von der Art der Bewegung und der Richtung der Koordinatenachsen unter den Bedingungen einer bestimmten Aufgabe können sie sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

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