Welche Gleichung definiert eine Parabel? Parabel – Eigenschaften und Graph einer quadratischen Funktion

Eine Funktion der Form where wird aufgerufen quadratische Funktion.

Zeitplan quadratische Funktion – Parabel.

Betrachten wir die Fälle:

I CASE, KLASSISCHE PARABOLA

Also , ,

Füllen Sie zum Konstruieren die Tabelle aus, indem Sie die x-Werte in die Formel einsetzen:

Markieren Sie die Punkte (0;0); (1;1); (-1;1) usw. auf der Koordinatenebene (je kleiner der Schritt, den wir machen, die x-Werte (in in diesem Fall Schritt 1) ​​und je mehr x-Werte wir nehmen, desto glatter wird die Kurve), erhalten wir eine Parabel:

Es ist leicht zu erkennen, dass wir, wenn wir den Fall , , , annehmen, eine Parabel erhalten, die symmetrisch zur Achse (oh) ist. Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie eine ähnliche Tabelle ausfüllen:

II FALL: „a“ IST UNTERSCHIEDLICH VON EINHEIT

Was passiert, wenn wir , , nehmen? Wie wird sich das Verhalten der Parabel ändern? Mit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Im ersten Bild (siehe oben) ist deutlich zu erkennen, dass die Punkte aus der Tabelle für die Parabel (1;1), (-1;1) in die Punkte (1;4), (1;-4) umgewandelt wurden, das heißt, bei gleichen Werten wird die Ordinate jedes Punktes mit 4 multipliziert. Dies geschieht bei allen Schlüsselpunkten der Originaltabelle. Ähnlich argumentieren wir in den Fällen der Bilder 2 und 3.

Und wenn die Parabel „breiter wird“ als die Parabel:

Fassen wir zusammen:

1)Das Vorzeichen des Koeffizienten bestimmt die Richtung der Zweige. Mit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluter Wert Der Koeffizient (Modul) ist für die „Ausdehnung“ und „Stauchung“ der Parabel verantwortlich. Je größer, desto schmaler die Parabel, je kleiner |a|, desto breiter die Parabel.

III FALL, „C“ ERSCHEINT

Lassen Sie uns nun in das Spiel einführen (das heißt, wir betrachten den Fall, wenn wir Parabeln der Form betrachten). Es ist nicht schwer zu erraten (Sie können jederzeit auf die Tabelle zurückgreifen), dass sich die Parabel je nach Vorzeichen entlang der Achse nach oben oder unten verschiebt:

IV FALL, „b“ ERSCHEINT

Wann wird sich die Parabel von der Achse „ablösen“ und schließlich entlang der gesamten Koordinatenebene „wandern“? Wann wird es aufhören, gleich zu sein?

Hier brauchen wir eine Parabel zu konstruieren Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts: , .

Also an diesem Punkt (wie am Punkt (0;0) neues System Koordinaten) werden wir eine Parabel bauen, was wir bereits können. Wenn wir uns mit dem Fall befassen, dann setzen wir vom Scheitelpunkt ein Einheitssegment nach rechts, eins nach oben – der resultierende Punkt gehört uns (ebenso ist ein Schritt nach links, ein Schritt nach oben unser Punkt); wenn wir es zum Beispiel damit zu tun haben, dann setzen wir vom Scheitelpunkt aus ein Einheitssegment nach rechts, zwei nach oben usw.

Zum Beispiel der Scheitelpunkt einer Parabel:

Jetzt müssen wir vor allem verstehen, dass wir an diesem Scheitelpunkt eine Parabel nach dem Parabelmuster bauen werden, denn in unserem Fall.

Beim Aufbau einer Parabel Nachdem ich die Koordinaten des Scheitelpunkts sehr gefunden habeEs ist sinnvoll, die folgenden Punkte zu berücksichtigen:

1) Parabel wird auf jeden Fall durch den Punkt gehen . Tatsächlich erhalten wir Folgendes, wenn wir x=0 in die Formel einsetzen. Das heißt, die Ordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der Achse (oy) ist . In unserem Beispiel (oben) schneidet die Parabel die Ordinate im Punkt , da .

2) Symmetrieachse Parabeln ist eine gerade Linie, daher sind alle Punkte der Parabel symmetrisch dazu. In unserem Beispiel nehmen wir sofort den Punkt (0; -2) und bauen ihn symmetrisch zur Symmetrieachse der Parabel auf, wir erhalten den Punkt (4; -2), durch den die Parabel verläuft.

3) Gleichsetzend ermitteln wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse (oh). Dazu lösen wir die Gleichung. Abhängig von der Diskriminante erhalten wir eins (, ), zwei ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Im vorherigen Beispiel ist unsere Wurzel der Diskriminante keine ganze Zahl; beim Konstruieren macht es für uns nicht viel Sinn, die Wurzeln zu finden, aber wir sehen deutlich, dass wir zwei Schnittpunkte mit der Achse haben werden (oh) (seit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Also lasst es uns klären

Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel, wenn diese in der Form angegeben ist

1) Bestimmen Sie die Richtung der Zweige (a>0 – nach oben, a<0 – вниз)

2) Wir ermitteln die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel mit der Formel , .

3) Wir finden den Schnittpunkt der Parabel mit der Achse (oy) unter Verwendung des freien Termes und konstruieren einen zu diesem Punkt symmetrischen Punkt in Bezug auf die Symmetrieachse der Parabel (es ist zu beachten, dass es vorkommen kann, dass eine Markierung unrentabel ist dieser Punkt zum Beispiel, weil der Wert groß ist... wir überspringen diesen Punkt...)

4) Am gefundenen Punkt – dem Scheitelpunkt der Parabel (wie am Punkt (0;0) des neuen Koordinatensystems) konstruieren wir eine Parabel. Wenn title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Wir finden die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse (oy) (sofern sie noch nicht „aufgetaucht“ sind), indem wir die Gleichung lösen

Beispiel 1

Beispiel 2

Anmerkung 1. Wenn uns die Parabel zunächst in der Form gegeben wird, in der einige Zahlen stehen (z. B.), dann wird es noch einfacher, sie zu konstruieren, da uns bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts gegeben wurden. Warum?

Lass uns nehmen quadratisches Trinom und wählen Sie ein vollständiges Quadrat darin aus: Schauen Sie, wir haben das , . Sie und ich nannten früher den Scheitelpunkt einer Parabel, also jetzt.

Zum Beispiel, . Wir markieren den Scheitelpunkt der Parabel in der Ebene, wir verstehen, dass die Äste nach unten gerichtet sind, die Parabel ist ausgedehnt (relativ zu ). Das heißt, wir führen Punkt 1 aus; 3; 4; 5 aus dem Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel (siehe oben).

Anmerkung 2. Wenn die Parabel in einer ähnlichen Form vorliegt (also als Produkt zweier linearer Faktoren dargestellt wird), dann können wir sofort die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse (Ochse) erkennen. In diesem Fall – (0;0) und (4;0). Im Übrigen richten wir uns nach dem Algorithmus und öffnen die Klammern.

Ich schlage vor, dass der Rest der Leser ihr Schulwissen über Parabeln und Hyperbeln deutlich erweitert. Hyperbel und Parabel – sind sie einfach? ...Kann es kaum erwarten =)

Hyperbel und ihre kanonische Gleichung

Allgemeine Struktur Die Präsentation des Materials ähnelt dem vorherigen Absatz. Lass uns beginnen mit allgemeines Konzept Hyperbeln und Probleme für ihre Konstruktion.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form, wobei es sich um positive reelle Zahlen handelt. Bitte beachten Sie, dass im Gegensatz dazu Ellipse, die Bedingung wird hier nicht gestellt, das heißt, der Wert von „a“ kann kleiner sein als der Wert von „be“.

Ich muss ganz unerwartet sagen ... die Gleichung der „Schul“-Hyperbel ähnelt nicht einmal annähernd der kanonischen Notation. Aber dieses Geheimnis muss noch auf uns warten, aber lasst uns erst einmal am Kopf kratzen und uns daran erinnern, was Charakteristische Eigenschaften hat die betreffende Kurve? Lassen Sie es uns auf dem Bildschirm unserer Fantasie verbreiten Graph einer Funktion ….

Eine Hyperbel hat zwei symmetrische Zweige.

Keine schlechten Fortschritte! Jede Übertreibung hat diese Eigenschaften, und jetzt werden wir mit echter Bewunderung den Ausschnitt dieser Linie betrachten:

Beispiel 4

Konstruieren Sie eine Hyperbel gegeben durch die Gleichung

Lösung: Im ersten Schritt bringen wir diese Gleichung in die kanonische Form. Bitte beachten Sie die Standardprozedur. Auf der rechten Seite müssen Sie „eins“ erhalten, also teilen wir beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch 20:

Hier können Sie beide Brüche kürzen, optimaler ist es jedoch, jeden einzelnen Bruch zu machen dreistöckig:

Und erst danach die Reduzierung durchführen:

Wählen Sie die Quadrate im Nenner aus:

Warum ist es besser, Transformationen auf diese Weise durchzuführen? Schließlich können die Brüche auf der linken Seite sofort reduziert und erhalten werden. Tatsache ist, dass wir im betrachteten Beispiel etwas Glück hatten: Die Zahl 20 ist sowohl durch 4 als auch durch 5 teilbar. Im allgemeinen Fall funktioniert eine solche Zahl nicht. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung. Hier ist alles trauriger mit Teilbarkeit und ohne dreistöckige Fraktionen nicht mehr möglich:

Nutzen wir also die Frucht unserer Arbeit – die kanonische Gleichung:

Wie konstruiert man eine Hyperbel?

Es gibt zwei Ansätze zur Konstruktion einer Hyperbel – geometrisch und algebraisch.
Aus praktischer Sicht ist das Zeichnen mit dem Zirkel ... ich würde sogar sagen utopisch, daher ist es viel gewinnbringender, wieder einfache Berechnungen als Hilfe heranzuziehen.

Es empfiehlt sich, sich an folgenden Algorithmus zu halten, zuerst die fertige Zeichnung, dann die Kommentare:

In der Praxis trifft man häufig auf eine Kombination aus Drehung um einen beliebigen Winkel und Parallelverschiebung der Hyperbel. Diese Situation wird im Unterricht besprochen Reduzierung der Geradengleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form.

Parabel und ihre kanonische Gleichung

Es ist fertig! Sie ist die eine. Bereit, viele Geheimnisse preiszugeben. Die kanonische Gleichung einer Parabel hat die Form , wobei eine reelle Zahl ist. Es ist leicht zu erkennen, dass die Parabel in ihrer Standardposition „auf der Seite liegt“ und ihr Scheitelpunkt im Ursprung liegt. In diesem Fall gibt die Funktion den oberen Zweig dieser Zeile und die Funktion den unteren Zweig an. Es ist offensichtlich, dass die Parabel symmetrisch zur Achse ist. Warum sollte man sich eigentlich die Mühe machen:

Beispiel 6

Konstruieren Sie eine Parabel

Lösung: Der Scheitelpunkt ist bekannt, suchen wir zusätzliche Punkte. Die gleichung bestimmt den oberen Bogen der Parabel, die Gleichung bestimmt den unteren Bogen.

Um die Aufzeichnung der Berechnungen zu verkürzen, führen wir die Berechnungen „mit einem Pinsel“ durch:

Für eine kompakte Aufzeichnung könnten die Ergebnisse in einer Tabelle zusammengefasst werden.

Bevor wir eine elementare Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen, formulieren wir eine strenge

Definition der Parabel:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die von einem bestimmten Punkt und einer bestimmten Linie, die nicht durch den Punkt verläuft, den gleichen Abstand haben.

Der Punkt heißt Fokus Parabeln, Gerade - Schulleiterin (mit einem „es“ geschrieben) Parabeln. Die Konstante „pe“ der kanonischen Gleichung heißt Fokusparameter, was dem Abstand vom Fokus zur Leitlinie entspricht. In diesem Fall . In diesem Fall hat der Fokus Koordinaten und die Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben.
In unserem Beispiel:

Die Definition einer Parabel ist noch einfacher zu verstehen als die Definitionen einer Ellipse und einer Hyperbel. Für jeden Punkt auf einer Parabel ist die Länge des Segments (der Abstand vom Fokus zum Punkt) gleich der Länge der Senkrechten (der Abstand vom Punkt zur Leitlinie):

Glückwunsch! Viele von Ihnen haben heute eine echte Entdeckung gemacht. Es stellt sich heraus, dass eine Hyperbel und eine Parabel überhaupt keine Graphen „gewöhnlicher“ Funktionen sind, sondern einen ausgeprägten geometrischen Ursprung haben.

Wenn der Fokusparameter zunimmt, „heben“ sich die Zweige des Diagramms offensichtlich nach oben und unten und nähern sich der Achse unendlich nahe. Wenn der „pe“-Wert abnimmt, beginnen sie, sich entlang der Achse zu komprimieren und zu dehnen

Die Exzentrizität jeder Parabel ist gleich Eins:

Drehung und Parallelverschiebung einer Parabel

Die Parabel ist eine der häufigsten Geraden in der Mathematik und man wird sie wirklich oft bauen müssen. Achten Sie daher bitte besonders auf den letzten Absatz der Lektion, in dem ich typische Optionen für die Position dieser Kurve bespreche.

! Notiz : Wie in den Fällen mit den vorherigen Kurven ist es richtiger, von Drehung und paralleler Verschiebung von Koordinatenachsen zu sprechen, aber der Autor wird sich auf eine vereinfachte Version der Darstellung beschränken, damit der Leser ein grundlegendes Verständnis dieser Transformationen erhält.

Eine Parabel ist der Ort der Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt F und einer gegebenen geraden Linie d, die nicht durch sie verläuft, gleich weit entfernt sind angegebenen Punkt. Diese geometrische Definition drückt aus Richtungseigenschaft einer Parabel.

Richtungseigenschaft einer Parabel

Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet, Linie d ist die Leitlinie der Parabel, der Mittelpunkt O der vom Brennpunkt zur Leitlinie abgesenkten Senkrechten ist der Scheitelpunkt der Parabel, der Abstand p vom Brennpunkt zur Leitlinie ist der Parameter der Parabel, und der Abstand \frac(p)(2) vom Scheitelpunkt der Parabel zu ihrem Brennpunkt ist Brennweite(Abb. 3.45, a). Die zur Leitlinie senkrechte und durch den Brennpunkt verlaufende Gerade wird Parabelachse (Brennachse der Parabel) genannt. Das Segment FM, das einen beliebigen Punkt M der Parabel mit seinem Brennpunkt verbindet, wird Brennradius des Punktes M genannt. Das Segment, das zwei Punkte einer Parabel verbindet, wird Parabelsehne genannt.

Für einen beliebigen Punkt einer Parabel ist das Verhältnis des Abstands zum Fokus zum Abstand zur Leitlinie gleich eins. Wenn wir die Richtungseigenschaften von , und Parabeln vergleichen, kommen wir zu dem Schluss Exzentrizität der Parabel per Definition gleich eins (e=1).

Geometrische Definition einer Parabel, der seine Richtungseigenschaft ausdrückt, entspricht seiner analytischen Definition – der Linie, die durch die kanonische Gleichung einer Parabel gegeben ist:

Lassen Sie uns tatsächlich ein rechteckiges Koordinatensystem einführen (Abb. 3.45, b). Als Ursprung des Koordinatensystems nehmen wir den Scheitelpunkt O der Parabel; Wir nehmen die gerade Linie, die senkrecht zur Leitlinie durch den Fokus verläuft, als Abszissenachse (die positive Richtung darauf verläuft von Punkt O zu Punkt F); Nehmen wir als Ordinatenachse eine Gerade, die senkrecht zur Abszissenachse steht und durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft (die Richtung auf der Ordinatenachse wird so gewählt). rechteckiges System Koordinaten Oxy erwiesen sich als richtig).

Erstellen wir eine Gleichung für eine Parabel anhand ihrer geometrischen Definition, die die Richtungseigenschaft einer Parabel ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten des Fokus F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) und die Leitliniengleichung x=-\frac(p)(2) . Für einen beliebigen Punkt M(x,y), der zu einer Parabel gehört, gilt:

FM=MM_d,

Wo M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - orthographische Projektion zeigt M(x,y) auf die Leitlinie. Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Wenn wir ähnliche Begriffe mitbringen, erhalten wir kanonische Parabelgleichung

y^2=2\cdot p\cdot x, diese. Das gewählte Koordinatensystem ist kanonisch.

Wenn man die Überlegungen in umgekehrter Reihenfolge durchführt, kann man zeigen, dass alle Punkte, deren Koordinaten Gleichung (3.51) erfüllen, und nur sie, dazugehören geometrischer Ort Punkte, Parabel genannt. Somit ist die analytische Definition einer Parabel äquivalent zu ihrer geometrische Definition, was die Richtungseigenschaft einer Parabel ausdrückt.

Parabelgleichung im Polarkoordinatensystem

Die Gleichung einer Parabel im Polarkoordinatensystem Fr\varphi (Abb. 3.45, c) hat die Form

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Dabei ist p der Parameter der Parabel und e=1 ihre Exzentrizität.

Tatsächlich wählen wir als Pol des Polarkoordinatensystems den Brennpunkt F der Parabel und als Polarachse einen Strahl, der am Punkt F beginnt, senkrecht zur Leitlinie steht und diese nicht schneidet (Abb. 3.45, c) . Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi), der zu einer Parabel gehört, gemäß der geometrischen Definition (Richtungseigenschaft) einer Parabel MM_d=r. Weil das MM_d=p+r\cos\varphi erhalten wir die Parabelgleichung in Koordinatenform:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Beachten Sie, dass in Polarkoordinaten die Gleichungen der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel übereinstimmen, aber unterschiedliche Linien beschreiben, da sie sich in der Exzentrizität (0\leqslant e) unterscheiden<1 для , e=1 для параболы, e>1 für ).

Geometrische Bedeutung des Parameters in der Parabelgleichung

Lass es uns erklären geometrische Bedeutung Parameter p in kanonische Gleichung Parabeln. Wenn wir x=\frac(p)(2) in Gleichung (3.51) einsetzen, erhalten wir y^2=p^2, d.h. y=\pm p . Daher ist der Parameter p die halbe Länge der Sehne der Parabel, die durch ihren Brennpunkt senkrecht zur Achse der Parabel verläuft.

Der Brennparameter der Parabel, sowie für eine Ellipse und eine Hyperbel, wird als halbe Länge der Sehne bezeichnet, die senkrecht zur Brennachse durch ihren Fokus verläuft (siehe Abb. 3.45, c). Aus der Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten bei \varphi=\frac(\pi)(2) wir erhalten r=p, d.h. Der Parameter der Parabel stimmt mit ihrem Brennparameter überein.

Hinweise 3.11.

1. Der Parameter p einer Parabel charakterisiert ihre Form. Je größer p, desto breiter die Äste der Parabel, je näher p an Null liegt, desto schmaler sind die Äste der Parabel (Abb. 3.46).

2. Die Gleichung y^2=-2px (für p>0) definiert eine Parabel, die links von der Ordinatenachse liegt (Abb. 3.47,a). Durch Änderung der Richtung der x-Achse (3.37) wird diese Gleichung auf die kanonische reduziert. In Abb. 3.47,a zeigt das gegebene Koordinatensystem Oxy und das kanonische Ox"y".

3. Gleichung (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definiert eine Parabel mit dem Scheitelpunkt O"(x_0,y_0), deren Achse parallel zur Abszissenachse verläuft (Abb. 3.47,6). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische reduziert.

Die gleichung (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 definiert auch eine Parabel mit dem Scheitelpunkt O"(x_0,y_0), deren Achse parallel zur Ordinatenachse verläuft (Abb. 3.47, c). Diese Gleichung wird durch Parallelverschiebung (3.36) und Umbenennung auf die kanonische reduziert Koordinatenachsen (3.38) stellen die gegebenen Koordinatensysteme Oxy und die kanonischen Koordinatensysteme Ox"y" dar.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ist eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), deren Achse parallel zur Ordinatenachse verläuft, sind die Äste der Parabel nach oben (für a>0) oder nach unten (für a) gerichtet<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

was auf die kanonische Form (y")^2=2px" reduziert wird, wobei p=\left|\frac(1)(2a)\right|, mit Ersatz y"=x+\frac(b)(2a) Und x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Das Vorzeichen wird so gewählt, dass es mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a übereinstimmt. Dieser Ersatz entspricht der Zusammensetzung: Parallelübertragung (3.36) mit x_0=-\frac(b)(2a) Und y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), Umbenennen der Koordinatenachsen (3.38) und im Fall von a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 und a<0 соответственно.

5. Die x-Achse des kanonischen Koordinatensystems ist Symmetrieachse der Parabel, da das Ersetzen der Variablen y durch -y die Gleichung (3.51) nicht ändert. Mit anderen Worten, die Koordinaten des Punktes M(x,y), der zur Parabel gehört, und die Koordinaten des Punktes M"(x,-y), symmetrisch zum Punkt M relativ zur x-Achse, erfüllen die Gleichung (3.S1) werden die Achsen des kanonischen Koordinatensystems aufgerufen die Hauptachsen der Parabel.

Beispiel 3.22. Zeichnen Sie die Parabel y^2=2x im kanonischen Koordinatensystem Oxy. Finden Sie den Fokusparameter, die Fokuskoordinaten und die Leitliniengleichung.

Lösung. Wir konstruieren eine Parabel unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie relativ zur Abszissenachse (Abb. 3.49). Bestimmen Sie ggf. die Koordinaten einiger Punkte der Parabel. Wenn wir beispielsweise x=2 in die Parabelgleichung einsetzen, erhalten wir y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Folglich gehören Punkte mit den Koordinaten (2;2),\,(2;-2) zur Parabel.

Durch den Vergleich der gegebenen Gleichung mit der kanonischen (3.S1) bestimmen wir den Fokusparameter: p=1. Fokuskoordinaten x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, d.h. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Wir stellen die Leitliniengleichung x=-\frac(p)(2) auf, d.h. x=-\frac(1)(2) .

Allgemeine Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel, Parabel

1. Die Richtungseigenschaft kann als einzelne Definition einer Ellipse, Hyperbel, Parabel verwendet werden (siehe Abb. 3.50): der Ort von Punkten in der Ebene, für die das Verhältnis des Abstands zu einem bestimmten Punkt F (Fokus) zum Abstand zu einer bestimmten geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen bestimmten Punkt verläuft, konstant und gleich der Exzentrizität e ist , wird genannt:

a) wenn 0\leqslant e<1 ;

b) wenn e>1;

c) Parabel, wenn e=1.

2. Eine Ellipse, Hyperbel und Parabel ergeben sich als Ebenen in Abschnitten eines Kreiskegels und werden daher genannt Kegelschnitte. Diese Eigenschaft kann auch als geometrische Definition einer Ellipse, Hyperbel und Parabel dienen.

3. Zu den gemeinsamen Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel und Parabel gehören: halbierendes Eigentum ihre Tangenten. Unter Tangente zu einer Geraden an irgendeinem Punkt K wird die Grenzlage der Sekante KM verstanden, wenn der auf der betrachteten Geraden verbleibende Punkt M zum Punkt K tendiert. Eine Gerade, die senkrecht zu einer Tangente an eine Gerade steht und durch den Tangentialpunkt verläuft, heißt normal zu dieser Zeile.

Die Winkelhalbierendeigenschaft von Tangenten (und Normalen) an eine Ellipse, Hyperbel und Parabel wird wie folgt formuliert: Die Tangente (Normale) an eine Ellipse oder an eine Hyperbel bildet mit den Brennradien des Tangentenpunkts gleiche Winkel(Abb. 3.51, a, b); Die Tangente (Normale) an die Parabel bildet gleiche Winkel mit dem Brennradius des Tangentialpunktes und der von ihm zur Leitlinie fallenden Senkrechten(Abb. 3.51, c). Mit anderen Worten, die Tangente an die Ellipse am Punkt K ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels des Dreiecks F_1KF_2 (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels F_1KF_2 des Dreiecks); die Tangente an die Hyperbel ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks F_1KF_2 (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels); Die Tangente an die Parabel ist die Winkelhalbierende des Dreiecks FKK_d (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels). Die Winkelhalbierendeigenschaft einer Tangente an eine Parabel lässt sich auf die gleiche Weise formulieren wie für eine Ellipse und eine Hyperbel, wenn wir annehmen, dass die Parabel einen zweiten Brennpunkt an einem Punkt im Unendlichen hat.

4. Aus den Winkelhalbierungseigenschaften folgt optische Eigenschaften von Ellipse, Hyperbel und Parabel, um die physikalische Bedeutung des Begriffs „Fokus“ zu erläutern. Stellen wir uns Flächen vor, die durch die Drehung einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel um die Brennachse entstehen. Wenn diese Oberflächen mit einer reflektierenden Beschichtung versehen werden, erhält man elliptische, hyperbolische und parabolische Spiegel. Nach dem Gesetz der Optik ist der Einfallswinkel eines Lichtstrahls auf einen Spiegel gleich dem Reflexionswinkel, d.h. Die einfallenden und reflektierten Strahlen bilden mit der Flächennormalen gleiche Winkel und beide Strahlen und die Rotationsachse liegen in derselben Ebene. Von hier aus erhalten wir die folgenden Eigenschaften:

– Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte eines elliptischen Spiegels, werden die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen in einem anderen Brennpunkt gesammelt (Abb. 3.52, a);

– Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte eines Hyperbolspiegels, divergieren die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen, als kämen sie von einem anderen Brennpunkt (Abb. 3.52, b);

– Befindet sich die Lichtquelle im Brennpunkt eines Parabolspiegels, verlaufen die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen parallel zur Brennachse (Abb. 3.52, c).

5. Diametrische Eigenschaft Ellipse, Hyperbel und Parabel lassen sich wie folgt formulieren:

– Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Ellipse (Hyperbel) liegen auf einer Geraden, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (Hyperbel) verläuft.;

– Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer Parabel liegen auf der geraden, kollinearen Symmetrieachse der Parabel.

Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller parallelen Sehnen einer Ellipse (Hyperbel, Parabel) heißt Durchmesser der Ellipse (Hyperbel, Parabel), zu diesen Akkorden konjugieren.

Dies ist die Definition von Durchmesser im engeren Sinne (siehe Beispiel 2.8). Zuvor wurde der Durchmesser im weitesten Sinne definiert, wobei der Durchmesser einer Ellipse, einer Hyperbel, einer Parabel und anderer Linien zweiter Ordnung eine gerade Linie ist, die die Mittelpunkte aller parallelen Sehnen enthält. Im engeren Sinne ist der Durchmesser einer Ellipse jede durch ihren Mittelpunkt verlaufende Sehne (Abb. 3.53, a); Der Durchmesser einer Hyperbel ist jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt der Hyperbel verläuft (mit Ausnahme von Asymptoten) oder ein Teil einer solchen geraden Linie (Abb. 3.53,6); Der Durchmesser einer Parabel ist jeder Strahl, der von einem bestimmten Punkt der Parabel ausgeht und kollinear zur Symmetrieachse ist (Abb. 3.53, c).

Zwei Durchmesser, von denen jeder alle zum anderen Durchmesser parallelen Sehnen halbiert, werden als konjugiert bezeichnet. In Abb. 3.53 zeigen fette Linien die konjugierten Durchmesser einer Ellipse, einer Hyperbel und einer Parabel.

Die Tangente an die Ellipse (Hyperbel, Parabel) im Punkt K kann als Grenzposition der parallelen Sekanten M_1M_2 definiert werden, wenn die auf der betrachteten Geraden verbleibenden Punkte M_1 und M_2 zum Punkt K tendieren. Aus dieser Definition folgt, dass eine Tangente parallel zu den Sehnen durch das Ende des zu diesen Sehnen konjugierten Durchmessers verläuft.

6. Ellipse, Hyperbel und Parabel haben zusätzlich zu den oben genannten noch zahlreiche geometrische Eigenschaften und physikalische Anwendungen. Zur Veranschaulichung der Flugbahnen von Weltraumobjekten, die sich in der Nähe des Schwerpunkts F befinden, kann beispielsweise Abb. 3.50 dienen.

Stufe III

3.1. Übertreibung berührt Zeilen 5 X – 6j – 16 = 0, 13X – 10j– – 48 = 0. Geben Sie die Gleichung der Hyperbel an, vorausgesetzt, dass ihre Achsen mit den Koordinatenachsen übereinstimmen.

3.2. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an eine Hyperbel

1) Durch einen Punkt gehen A(4, 1), B(5, 2) und C(5, 6);

2) parallel zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0;

3) senkrecht zur Geraden 10 X – 3j + 9 = 0.

Parabel ist der geometrische Ort der Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen

Parabelparameter:

Punkt F(P/2, 0) aufgerufen wird Fokus Parabeln, Größe P – Parameter , Punkt UM(0, 0) – Spitze . In diesem Fall die Gerade VON, um die die Parabel symmetrisch ist, definiert die Achse dieser Kurve.

Größe Wo M(X, j) – ein beliebiger Punkt einer Parabel, genannt Fokusradius , gerade D: X = –P/2 – Schulleiterin (es schneidet nicht den inneren Bereich der Parabel). Größe wird Exzentrizität der Parabel genannt.

Die wichtigste charakteristische Eigenschaft einer Parabel: Alle Punkte der Parabel haben den gleichen Abstand von der Leitlinie und dem Brennpunkt (Abb. 24).

Es gibt andere Formen der kanonischen Parabelgleichung, die andere Richtungen ihrer Zweige im Koordinatensystem bestimmen (Abb. 25):

Für parametrische Definition einer Parabel als Parameter T der Ordinatenwert des Parabelpunktes kann genommen werden:

Wo T ist eine beliebige reelle Zahl.

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Parameter und die Form einer Parabel mithilfe ihrer kanonischen Gleichung:

Lösung. 1. Gleichung j 2 = –8X definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt UM Oh. Seine Zweige sind nach links gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung j 2 = –2px, wir finden: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(–2; 0), Leitliniengleichung D: X= 2 (Abb. 26).

2. Gleichung X 2 = –4j definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt Ö(0; 0), symmetrisch um die Achse Oy. Seine Äste sind nach unten gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung X 2 = –2py, wir finden: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(0; –1), Leitliniengleichung D: j= 1 (Abb. 27).

Beispiel 2. Bestimmen Sie Parameter und Kurventyp X 2 + 8X – 16j– 32 = 0. Erstellen Sie eine Zeichnung.

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung mit der Methode der vollständigen Quadratextraktion transformieren:

X 2 + 8X– 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16j – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16j – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(j + 3).

Als Ergebnis erhalten wir

(X + 4) 2 = 16(j + 3).

Dies ist die kanonische Gleichung einer Parabel mit dem Scheitelpunkt im Punkt (–4, –3), dem Parameter P= 8, Äste zeigen nach oben (), Achse X= –4. Der Fokus liegt auf dem Punkt F(–4; –3 + P/2), d.h. F(–4; 1) Schulleiterin D gegeben durch die Gleichung j = –3 – P/2 oder j= –7 (Abb. 28).

Beispiel 4. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt liegt V(3; –2) und konzentrieren Sie sich auf den Punkt F(1; –2).

Lösung. Scheitelpunkt und Brennpunkt einer gegebenen Parabel liegen auf einer Geraden parallel zur Achse Ochse(gleiche Ordinaten), die Äste der Parabel sind nach links gerichtet (die Abszisse des Fokus ist kleiner als die Abszisse des Scheitelpunkts), der Abstand vom Fokus zum Scheitelpunkt beträgt P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Daher die erforderliche Gleichung

(j+ 2) 2 = –2 4( X– 3) oder ( j + 2) 2 = = –8(X – 3).

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Ich nivelliere

1.1. Bestimmen Sie die Parameter der Parabel und konstruieren Sie sie:

1) j 2 = 2X; 2) j 2 = –3X;

3) X 2 = 6j; 4) X 2 = –j.

1.2. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung, wenn Sie Folgendes wissen:

1) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse in der linken Halbebene Ochse Und P = 4;

2) Die Parabel liegt symmetrisch zur Achse Oy und geht durch den Punkt M(4; –2).

3) Die Leitlinie ist durch Gleichung 3 gegeben j + 4 = 0.

1.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, deren Punkte alle den gleichen Abstand vom Punkt (2; 0) und der Geraden haben X = –2.

Stufe II

2.1. Bestimmen Sie den Typ und die Parameter der Kurve.