So finden Sie den Mittelpunkt einer komplexen Figur. Methoden zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts

Basierend auf den oben erhaltenen allgemeinen Formeln ist es möglich, spezifische Methoden zur Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte von Körpern anzugeben.

1. Symmetrie. Besitzt ein homogener Körper eine Ebene, Achse oder ein Symmetriezentrum (Abb. 7), so liegt sein Schwerpunkt jeweils in der Symmetrieebene, Symmetrieachse bzw. im Symmetriezentrum.

Abb.7

2. Aufteilen. Der Körper ist in endlich viele Teile unterteilt (Abb. 8), für die jeweils die Lage des Schwerpunkts und die Fläche bekannt sind.

Abb.8

3.Negativflächenmethode. Ein Sonderfall der Partitionierungsmethode (Abb. 9). Sie gilt für Körper mit Aussparungen, wenn die Schwerpunkte des Körpers ohne Aussparung und des ausgeschnittenen Teils bekannt sind. Ein Körper in Form einer Platte mit Ausschnitt wird durch eine Kombination einer massiven Platte (ohne Ausschnitt) mit einer Fläche S 1 und einer Fläche des ausgeschnittenen Teils S 2 dargestellt.

Abb.9

4.Gruppierungsmethode. Ist gute Ergänzung die letzten beiden Methoden. Nachdem man eine Figur in ihre Bestandteile zerlegt hat, ist es sinnvoll, einige davon wieder zu kombinieren, um dann die Lösung unter Berücksichtigung der Symmetrie dieser Gruppe zu vereinfachen.

Schwerpunkte einiger homogener Körper.

1) Schwerpunkt eines Kreisbogens. Betrachten Sie den Bogen AB Radius R mit einem zentralen Winkel. Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt dieses Bogens auf der Achse Ochse(Abb. 10).

Abb.10

Finden wir die Koordinate mithilfe der Formel. Wählen Sie dazu den Bogen aus AB Element MM' Länge, deren Lage durch den Winkel bestimmt wird. Koordinate X Element MM' Wille . Ersetzen dieser Werte X und d l und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Integral über die gesamte Länge des Bogens ausgedehnt werden muss, erhalten wir:

Wo L- Bogenlänge AB, gleich .

Von hier aus stellen wir schließlich fest, dass der Schwerpunkt eines Kreisbogens auf seiner Symmetrieachse im Abstand vom Mittelpunkt liegt UM, gleich

wobei der Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

2) Schwerpunkt der Dreiecksfläche. Betrachten Sie ein Dreieck, das in der Ebene liegt Oxy, deren Koordinaten der Eckpunkte bekannt sind: A i(x i,y i), (ich= 1,2,3). Brechen Sie das Dreieck in schmale Streifen parallel zur Seite A 1 A 2 kommen wir zu dem Schluss, dass der Schwerpunkt des Dreiecks zum Median liegen muss A 3 M 3 (Abb. 11).

Abb.11

Ein Dreieck in seitlich parallele Streifen brechen A 2 A 3 können wir überprüfen, dass es auf dem Median liegen muss A 1 M 1 . Auf diese Weise, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt seiner Mediane, der bekanntlich von jedem Median einen dritten Teil abtrennt, gerechnet von der entsprechenden Seite.

Insbesondere für den Median A 1 M 1 erhalten wir unter Berücksichtigung der Koordinaten des Punktes M 1 ist das arithmetische Mittel der Koordinaten der Eckpunkte A 2 und A 3:

x c = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Somit sind die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks das arithmetische Mittel der Koordinaten seiner Eckpunkte:

X C =(1/3)Σ x i ; j C =(1/3)Σ y i.

3) Schwerpunkt der Fläche eines Kreissektors. Betrachten Sie einen Kreissektor mit Radius R mit einem Mittelpunktswinkel von 2α, symmetrisch zur Achse angeordnet Ochse(Abb. 12) .

Es ist klar, dass j C = 0, und der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, aus dem dieser Sektor geschnitten wird, zu seinem Schwerpunkt kann durch die Formel bestimmt werden:

Abb.12

Der einfachste Weg, dieses Integral zu berechnen, besteht darin, das Integrationsgebiet in Elementarsektoren mit einem Winkel zu unterteilen Dφ. Auf Infinitesimalzahlen erster Ordnung genau kann ein solcher Sektor durch ein Dreieck mit einer Basis gleich ersetzt werden R× Dφ und Höhe R. Die Fläche eines solchen Dreiecks dF=(1/2)R 2 ∙Dφ, und sein Schwerpunkt liegt im Abstand von 2/3 R vom Scheitelpunkt, deshalb setzen wir in (5). X = (2/3)R∙cosφ. Einsetzen in (5) F= α R 2, wir erhalten:

Mit der letzten Formel berechnen wir insbesondere den Abstand zum Schwerpunkt Halbkreis.

Wenn wir α = π/2 in (2) einsetzen, erhalten wir: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Beispiel 1. Bestimmen wir den Schwerpunkt des in Abb. gezeigten homogenen Körpers. 13.

Abb.13

Der Körper ist homogen und besteht aus zwei Teilen mit symmetrischer Form. Koordinaten ihrer Schwerpunkte:

Ihre Bände:

Daher die Koordinaten des Schwerpunkts des Körpers

Beispiel 2. Finden wir den Schwerpunkt einer im rechten Winkel gebogenen Platte. Die Abmessungen finden Sie in der Zeichnung (Abb. 14).

Abb.14

Koordinaten der Schwerpunkte:

Bereiche:

Reis. 6.5.

Beispiel 3. Ein quadratisches Blatt cm hat ein quadratisches Loch, das cm ausgeschnitten ist (Abb. 15). Lassen Sie uns den Schwerpunkt des Blattes ermitteln.

Abb.15

Bei diesem Problem ist es bequemer, den Körper in zwei Teile zu teilen: ein großes Quadrat und ein quadratisches Loch. Lediglich die Fläche des Lochs sollte als negativ gewertet werden. Dann die Koordinaten des Schwerpunkts des Blechs mit dem Loch:

Koordinate da der Körper eine Symmetrieachse (Diagonale) hat.

Beispiel 4. Der Drahtbügel (Abb. 16) besteht aus drei gleich langen Abschnitten l.

Abb.16

Koordinaten der Schwerpunkte der Abschnitte:

Daher sind die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Halterung:

Beispiel 5. Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts des Fachwerks, dessen Stäbe alle den gleichen Titer haben (Abb. 17).

Erinnern wir uns daran, dass in der Physik die Dichte eines Körpers ρ und sein spezifisches Gewicht g durch die Beziehung zusammenhängen: γ= ρ G, Wo G- Erdbeschleunigung. Um die Masse eines solchen homogenen Körpers zu ermitteln, müssen Sie die Dichte mit seinem Volumen multiplizieren.

Abb.17

Der Begriff „linear“ oder „lineare“ Dichte bedeutet, dass zur Bestimmung der Masse eines Halsstabes die lineare Dichte mit der Länge dieses Stabes multipliziert werden muss.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Partitionierungsmethode verwenden. Wenn wir ein gegebenes Fachwerk als Summe von 6 einzelnen Stäben darstellen, erhalten wir:

Wo L ich Länge ich der Halsstab und x i, y i- Koordinaten seines Schwerpunkts.

Die Lösung dieses Problems kann durch die Gruppierung der letzten 5 Stäbe des Fachwerks vereinfacht werden. Es ist leicht zu erkennen, dass sie eine Figur bilden, deren Symmetriezentrum in der Mitte des vierten Stabes liegt, wo sich der Schwerpunkt dieser Stabgruppe befindet.

Somit kann ein gegebenes Fachwerk durch eine Kombination von nur zwei Stabgruppen dargestellt werden.

Die erste Gruppe besteht aus der ersten Rute L 1 = 4m, X 1 = 0 m, j 1 = 2 m. Die zweite Stabgruppe besteht aus fünf Stäben L 2 = 20 m, X 2 = 3 m, j 2 = 2 m.

Die Koordinaten des Schwerpunkts des Fachwerks werden mit der Formel ermittelt:

X C = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

j C = (L 1 ∙j 1 +L 2 ∙j 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Beachten Sie, dass die Mitte MIT liegt auf der Verbindungsgeraden MIT 1 und MIT 2 und teilt das Segment MIT 1 MIT 2 zu: MIT 1 MIT/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Fragen zum Selbsttest

Wie heißt der Mittelpunkt paralleler Kräfte?

Wie werden die Koordinaten des Mittelpunkts paralleler Kräfte bestimmt?

Wie bestimmt man den Mittelpunkt paralleler Kräfte, deren Resultierende Null ist?

Welche Eigenschaften hat der Mittelpunkt paralleler Kräfte?

Mit welchen Formeln werden die Koordinaten des Mittelpunkts paralleler Kräfte berechnet?

Was ist der Schwerpunkt eines Körpers?

Warum kann man die auf einen Punkt eines Körpers wirkenden Gravitationskräfte der Erde als ein System paralleler Kräfte auffassen?

Schreiben Sie die Formel zur Bestimmung der Schwerpunktlage inhomogener und homogener Körper auf, die Formel zur Bestimmung der Schwerpunktlage flacher Abschnitte?

Schreiben Sie die Formel zur Bestimmung der Lage des Schwerpunkts einfacher geometrischer Formen auf: Rechteck, Dreieck, Trapez und Halbkreis?

Was ist das statische Flächenmoment?

Nennen Sie ein Beispiel für einen Körper, dessen Schwerpunkt außerhalb des Körpers liegt.

Wie werden die Eigenschaften der Symmetrie zur Bestimmung der Schwerpunkte von Körpern genutzt?

Was ist das Wesentliche an der Methode der negativen Gewichte?

Wo liegt der Schwerpunkt eines Kreisbogens?

Mit welcher grafischen Konstruktion lässt sich der Schwerpunkt eines Dreiecks ermitteln?

Schreiben Sie die Formel auf, die den Schwerpunkt eines Kreissektors bestimmt.

Leiten Sie mithilfe von Formeln, die die Schwerpunkte eines Dreiecks und eines Kreissektors bestimmen, eine ähnliche Formel für ein Kreissegment ab.

Mit welchen Formeln werden die Koordinaten der Schwerpunkte homogener Körper, flacher Figuren und Linien berechnet?

Wie nennt man das statische Moment der Fläche einer ebenen Figur relativ zur Achse, wie berechnet man es und welche Dimension hat es?

Wie lässt sich die Lage des Schwerpunkts einer Fläche bestimmen, wenn die Lage der Schwerpunkte ihrer einzelnen Teile bekannt ist?

Welche Hilfssätze werden verwendet, um die Lage des Schwerpunkts zu bestimmen?

Bevor Sie den Schwerpunkt einfacher Figuren ermitteln, z. B. rechteckiger, runder, kugelförmiger oder zylindrischer sowie quadratischer Formen, müssen Sie wissen, an welchem Punkt sich das Symmetriezentrum einer bestimmten Figur befindet. Denn in diesen Fällen fällt der Schwerpunkt mit dem Symmetriezentrum zusammen.

Der Schwerpunkt eines homogenen Stabes liegt in seinem geometrischen Mittelpunkt. Wenn Sie den Schwerpunkt einer runden Scheibe mit homogener Struktur bestimmen müssen, ermitteln Sie zunächst den Schnittpunkt der Kreisdurchmesser. Es wird der Schwerpunkt dieses Körpers sein. Betrachtet man Figuren wie eine Kugel, einen Reifen und ein gleichmäßiges rechteckiges Parallelepiped, können wir mit Sicherheit sagen, dass der Schwerpunkt des Reifens in der Mitte der Figur liegt, außerhalb seiner Spitzen jedoch der Schwerpunkt der Kugel der geometrische Mittelpunkt der Kugel und im letzteren Fall der Schwerpunkt werden als Schnittdiagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds betrachtet.

Schwerpunkt inhomogener Körper

Um die Koordinaten des Schwerpunkts sowie den Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers selbst zu ermitteln, muss herausgefunden werden, auf welchem Segment eines bestimmten Körpers sich der Punkt befindet, an dem sich alle auf ihn wirkenden Gravitationskräfte kreuzen die Figur, wenn sie umgedreht wird. Um einen solchen Punkt zu finden, wird in der Praxis der Körper an einem Faden aufgehängt, wobei sich nach und nach die Befestigungspunkte des Fadens am Körper ändern. Wenn sich der Körper im Gleichgewicht befindet, liegt der Schwerpunkt des Körpers auf einer Linie, die mit der Fadenlinie zusammenfällt. Andernfalls bewegt sich der Körper durch die Schwerkraft.

Nehmen Sie einen Bleistift und ein Lineal und zeichnen Sie vertikale gerade Linien, die optisch mit den Fadenrichtungen (Fäden, die an verschiedenen Stellen des Körpers befestigt sind) übereinstimmen. Wenn die Körperform recht komplex ist, zeichnen Sie mehrere Linien, die sich in einem Punkt schneiden. Es wird zum Schwerpunkt des Körpers, an dem Sie das Experiment durchgeführt haben.

Dreieckiger Schwerpunkt

Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie ein Dreieck zeichnen – eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die an drei Punkten miteinander verbunden sind. Bevor Sie den Schwerpunkt der Figur ermitteln, müssen Sie mit einem Lineal die Länge einer Seite des Dreiecks messen. Platzieren Sie eine Markierung in der Mitte der Seite und verbinden Sie dann den gegenüberliegenden Scheitelpunkt und die Mitte des Segments mit einer Linie, die als Median bezeichnet wird. Wiederholen Sie den gleichen Algorithmus mit der zweiten Seite des Dreiecks und dann mit der dritten. Das Ergebnis Ihrer Arbeit sind drei Mediane, die sich in einem Punkt schneiden, dem Schwerpunkt des Dreiecks.

Wenn Sie vor der Aufgabe stehen, den Schwerpunkt eines Körpers in Form eines gleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie von jedem Scheitelpunkt aus mit einem rechteckigen Lineal die Höhe einzeichnen. Der Schwerpunkt in einem gleichseitigen Dreieck liegt am Schnittpunkt von Höhen, Mitteln und Winkelhalbierenden, da dieselben Segmente gleichzeitig Höhen, Mittel und Winkelhalbierenden sind.

Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks

Bevor wir den Schwerpunkt des Dreiecks und seine Koordinaten ermitteln, werfen wir einen genaueren Blick auf die Figur selbst. Dies ist eine homogene dreieckige Platte mit den Eckpunkten A, B, C und dementsprechend den Koordinaten: für Eckpunkt A - x1 und y1; für Scheitelpunkt B - x2 und y2; für Scheitelpunkt C - x3 und y3. Bei der Ermittlung der Koordinaten des Schwerpunkts berücksichtigen wir nicht die Dicke der dreieckigen Platte. Die Abbildung zeigt deutlich, dass der Schwerpunkt des Dreiecks durch den Buchstaben E angezeigt wird. Um ihn zu finden, haben wir drei Mediane gezeichnet, an deren Schnittpunkt wir den Punkt E platziert haben. Er hat seine eigenen Koordinaten: xE und yE.

Ein Ende des Medians, das vom Scheitelpunkt A zum Segment B gezogen wird, hat die Koordinaten x 1 , y 1 (das ist Punkt A), und die zweiten Koordinaten des Medians werden basierend auf der Tatsache erhalten, dass Punkt D (das zweite Ende des Medians) liegt in der Mitte des Segments BC. Die Enden dieses Segments haben uns bekannte Koordinaten: B(x 2, y 2) und C(x 3, y 3). Die Koordinaten des Punktes D werden mit xD und yD bezeichnet. Basierend auf den folgenden Formeln:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Bestimmen Sie die Koordinaten der Segmentmitte. Wir erhalten folgendes Ergebnis:

xd=(X2+X3)/2; ód=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Wir wissen, welche Koordinaten typisch für die Enden des Segments AD sind. Wir kennen auch die Koordinaten des Punktes E, also des Schwerpunkts der dreieckigen Platte. Wir wissen auch, dass der Schwerpunkt in der Mitte des Segments AD liegt. Mithilfe uns bekannter Formeln und Daten können wir nun die Koordinaten des Schwerpunkts ermitteln.

Auf diese Weise können wir die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks ermitteln, oder besser gesagt, die Koordinaten des Schwerpunkts der dreieckigen Platte, da uns deren Dicke unbekannt ist. Sie entsprechen dem arithmetischen Mittel der homogenen Koordinaten der Eckpunkte der dreieckigen Platte.

6.1. allgemeine Informationen

Zentrum der Parallelkräfte
Betrachten wir zwei parallele Kräfte, die in eine Richtung gerichtet sind und punktuell auf den Körper wirken A 1 und A 2 (Abb.6.1). Dieses Kräftesystem hat eine Resultierende, deren Wirkungslinie durch einen bestimmten Punkt verläuft MIT. Punktposition MIT kann mit dem Satz von Varignon gefunden werden:

Wenn Sie die Kräfte wenden und sich den Punkten nähern A 1 und A 2 in eine Richtung und im gleichen Winkel erhalten wir neues System parallele Salas mit den gleichen Modulen. In diesem Fall geht auch ihre Resultierende durch den Punkt MIT. Dieser Punkt wird als Zentrum paralleler Kräfte bezeichnet.
Betrachten wir ein System paralleler und gleichgerichteter Kräfte, die punktuell auf einen festen Körper wirken. Dieses System hat ein Ergebnis.
Wird jede Kraft des Systems in der Nähe ihrer Angriffspunkte in die gleiche Richtung und im gleichen Winkel gedreht, so entstehen neue Systeme gleichgerichteter Parallelkräfte mit gleichen Modulen und Angriffspunkten. Die Resultierende solcher Systeme wird den gleichen Modul haben R, aber jedes Mal eine andere Richtung. Nachdem ich meine Kräfte zusammengelegt hatte F 1 und F 2 finden wir, dass ihre Resultierende R 1, die immer durch den Punkt geht MIT 1, deren Lage durch die Gleichheit bestimmt wird. Weiter falten R 1 und F 3 finden wir ihre Resultierende, die immer durch den Punkt geht MIT 2 auf einer geraden Linie liegend A 3 MIT 2. Nachdem wir den Prozess der Kräfteaddition bis zum Ende abgeschlossen haben, werden wir zu dem Schluss kommen, dass die Resultierende aller Kräfte tatsächlich immer durch denselben Punkt verläuft MIT, dessen Position relativ zu den Punkten unverändert bleibt.
Punkt MIT, durch die die Wirkungslinie des resultierenden Systems paralleler Kräfte bei jeder Drehung dieser Kräfte in der Nähe ihrer Angriffspunkte in die gleiche Richtung im gleichen Winkel verläuft, wird als Zentrum der parallelen Kräfte bezeichnet (Abb. 6.2).

Abb.6.2

Bestimmen wir die Koordinaten des Zentrums paralleler Kräfte. Da die Position des Punktes MIT relativ zum Körper unverändert bleibt, hängen seine Koordinaten nicht von der Wahl des Koordinatensystems ab. Drehen wir alle Kräfte um ihre Wirkung herum so, dass sie parallel zur Achse werden OU und wenden Sie den Satz von Varignon auf rotierte Kräfte an. Als R" ist die Resultierende dieser Kräfte, dann gilt nach dem Satz von Varignon , Weil , , wir bekommen

Von hier aus ermitteln wir die Koordinate des Zentrums paralleler Kräfte zc:

Um die Koordinaten zu bestimmen xc Lassen Sie uns einen Ausdruck für das Kräftemoment um die Achse erstellen Oz.

Um die Koordinaten zu bestimmen yc Drehen wir alle Kräfte so, dass sie parallel zur Achse werden Oz.

Die Lage des Mittelpunkts paralleler Kräfte relativ zum Ursprung (Abb. 6.2) kann durch seinen Radiusvektor bestimmt werden:

6.2. Schwerpunkt solide

Schwerpunkt eines starren Körpers ist ein Punkt, der unweigerlich mit diesem Körper verbunden ist MIT, durch die die Wirkungslinie der resultierenden Schwerkraftkräfte eines bestimmten Körpers verläuft, und zwar für jede Position des Körpers im Raum.
Der Schwerpunkt wird bei der Untersuchung der Stabilität von Gleichgewichtslagen von Körpern und kontinuierlichen Medien unter dem Einfluss der Schwerkraft und in einigen anderen Fällen verwendet, nämlich bei der Festigkeit von Materialien und in der Strukturmechanik – bei Verwendung der Wereschtschagin-Regel.
Es gibt zwei Möglichkeiten, den Schwerpunkt eines Körpers zu bestimmen: analytisch und experimentell. Die analytische Methode zur Bestimmung des Schwerpunkts folgt direkt aus dem Konzept des Schwerpunkts paralleler Kräfte.
Die Koordinaten des Schwerpunkts als Zentrum paralleler Kräfte werden durch die Formeln bestimmt:

Wo R- Gesamtkörpergewicht; pk- Gewicht der Körperpartikel; xk, yk, zk- Koordinaten von Körperpartikeln.
Bei einem homogenen Körper ist das Gewicht des gesamten Körpers und jedes Teils davon proportional zum Volumen P=Vγ, pk = vk γ, Wo γ - Gewicht pro Volumeneinheit, V- Körpervolumen. Ausdrücke ersetzen P, pk in die Formel zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts ein und reduzieren sie um einen gemeinsamen Faktor γ , wir bekommen:

Punkt MIT, dessen Koordinaten durch die resultierenden Formeln bestimmt werden, heißt Schwerpunkt des Volumens.
Wenn der Körper eine dünne homogene Platte ist, wird der Schwerpunkt durch die Formeln bestimmt:

Wo S- Fläche der gesamten Platte; sk- Fläche seines Teils; xk, yk- Koordinaten des Schwerpunkts der Plattenteile.
Punkt MIT V in diesem Fall wird genannt Schwerpunktbereich.
Die Zähler von Ausdrücken, die die Koordinaten des Schwerpunkts ebener Figuren bestimmen, heißen mit statische Flächenmomente relativ zu den Achsen bei Und X:

Dann kann der Schwerpunkt der Fläche durch die Formeln bestimmt werden:

Bei Körpern, deren Länge um ein Vielfaches größer ist als die Querschnittsabmessungen, ermitteln Sie den Schwerpunkt der Linie. Die Koordinaten des Schwerpunkts der Linie werden durch die Formeln bestimmt:

Wo L- Linienlänge; lk- die Länge seiner Teile; xk, yk, zk- Koordinate des Schwerpunkts von Teilen der Linie.

6.3. Methoden zur Bestimmung der Koordinaten der Schwerpunkte von Körpern

Basierend auf den erhaltenen Formeln ist es möglich, praktische Methoden zur Bestimmung der Schwerpunkte von Körpern vorzuschlagen.
1. Symmetrie. Wenn ein Körper ein Symmetriezentrum hat, dann liegt der Schwerpunkt im Symmetriezentrum.
Wenn der Körper eine Symmetrieebene hat. Zum Beispiel die XOU-Ebene, dann liegt der Schwerpunkt in dieser Ebene.
2. Aufteilen. Für Körper, die aus Körpern einfacher Form bestehen, wird die Spaltmethode verwendet. Der Körper ist in Teile unterteilt, deren Schwerpunkt durch die Methode der Symmetrie bestimmt wird. Der Schwerpunkt des gesamten Körpers wird durch die Formeln für den Schwerpunkt des Volumens (Fläche) bestimmt.

Beispiel. Bestimmen Sie den Schwerpunkt der in der Abbildung unten gezeigten Platte (Abb. 6.3). Die Platte kann in Rechtecke unterteilt werden auf veschiedenen Wegen und bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts jedes Rechtecks und deren Fläche.

Abb.6.3

Antwort: XC=17,0cm; jC=18,0cm.

3. Zusatz. Diese Methode ist ein Sonderfall der Partitionierungsmethode. Es wird verwendet, wenn der Körper Ausschnitte, Scheiben usw. aufweist, wenn die Koordinaten des Schwerpunkts des Körpers ohne den Ausschnitt bekannt sind.

Beispiel. Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer kreisförmigen Platte mit einem Ausschnittradius R = 0,6 R(Abb. 6.4).

Abb.6.4

Eine runde Platte hat ein Symmetriezentrum. Platzieren wir den Koordinatenursprung in der Mitte der Platte. Plattenbereich ohne Ausschnitt, Ausschnittbereich. Quadratische Platte mit Ausschnitt; .
Die Platte mit Ausschnitt hat eine Symmetrieachse О1 x, somit, yc=0.

4. Integration. Lässt sich der Körper nicht in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegen, deren Schwerpunktlagen bekannt sind, wird der Körper in beliebige kleine Volumina aufgeteilt, für die die Formel nach der Partitionierungsmethode die Form annimmt: .
Dann gehen sie an die Grenze und lenken die Elementarvolumina auf Null, d.h. Kontrahierung von Volumina in Punkte. Werden die Summen durch auf das gesamte Körpervolumen ausgedehnte Integrale ersetzt, dann haben die Formeln zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts des Volumens die Form:

Formeln zur Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts einer Fläche:

Die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche müssen bei der Untersuchung des Plattengleichgewichts und bei der Berechnung des Mohr-Integrals in der Strukturmechanik bestimmt werden.

Beispiel. Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Kreisbogens mit Radius R mit Zentralwinkel AOB= 2α (Abb. 6.5).

Reis. 6.5

Der Kreisbogen ist symmetrisch zur Achse Oh, daher liegt der Schwerpunkt des Bogens auf der Achse Oh, yс = 0.
Nach der Formel für den Schwerpunkt einer Geraden:

6.Experimentelle Methode. Die Schwerpunkte inhomogener Körper komplexer Konfiguration können experimentell bestimmt werden: durch die Methode des Aufhängens und Wiegens. Die erste Methode besteht darin, den Körper an verschiedenen Stellen an einem Kabel aufzuhängen. Die Richtung des Kabels, an dem der Körper aufgehängt ist, gibt die Richtung der Schwerkraft an. Der Schnittpunkt dieser Richtungen bestimmt den Schwerpunkt des Körpers.
Bei der Wiegemethode wird zunächst das Gewicht eines Körpers, beispielsweise eines Autos, ermittelt. Anschließend wird auf der Waage der Druck der Hinterachse des Fahrzeugs auf die Stütze ermittelt. Indem Sie eine Gleichgewichtsgleichung relativ zu einem Punkt, beispielsweise der Achse der Vorderräder, aufstellen, können Sie den Abstand dieser Achse zum Schwerpunkt des Autos berechnen (Abb. 6.6).

Abb.6.6

Manchmal sollten Sie beim Lösen von Problemen gleichzeitig verwenden verschiedene Methoden Bestimmung der Koordinaten des Schwerpunkts.

6.4. Schwerpunkte einiger einfacher geometrischer Figuren

Um die Schwerpunkte von Körpern häufig vorkommender Formen (Dreieck, Kreisbogen, Sektor, Segment) zu bestimmen, ist es zweckmäßig, Referenzdaten zu verwenden (Tabelle 6.1).

Tabelle 6.1

Koordinaten des Schwerpunkts einiger homogener Körper

№	Name der Figur	Zeichnung
	Kreisbogen: Der Schwerpunkt eines Bogens eines gleichmäßigen Kreises liegt auf der Symmetrieachse (Koordinate). uc=0). R- Radius des Kreises.
	Homogener Kreissektor uc=0). wobei α die Hälfte ist Zentralwinkel; R- Radius des Kreises.
	Segment: Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse (Koordinate). uc=0). wobei α der halbe Zentralwinkel ist; R- Radius des Kreises.
	Halbkreis:
	Dreieck: Der Schwerpunkt eines homogenen Dreiecks liegt im Schnittpunkt seiner Mediane. Wo x1, y1, x2, y2, x3, y3- Koordinaten der Dreieckseckpunkte
	Kegel: Schwerpunkt eines Homogenen kreisförmiger Kegel liegt auf seiner Höhe und befindet sich in einem Abstand von 1/4 der Höhe von der Basis des Kegels.

Anweisungen

Versuchen Sie, die Mitte zu finden Schwere Wohnung Figuren empirisch. Nehmen Sie einen neuen, ungespitzten Bleistift und stellen Sie ihn senkrecht auf. Legen Sie eine flache Figur darauf. Markieren Sie die Stelle der Figur, an der sie stabil auf dem Bleistift steht. Dies wird das Zentrum sein Schwere dein Figuren. Verwenden Sie anstelle eines Bleistifts einfach einen nach oben gerichteten Zeigefinger. Denn Sie müssen darauf achten, dass der Finger gerade steht, nicht schwankt oder zittert.

Um zu zeigen, dass der resultierende Punkt der Schwerpunkt ist, bohren Sie mit einer Nadel ein Loch hinein. Fädeln Sie einen Faden durch das Loch und machen Sie an einem Ende einen Knoten, damit der Faden nicht herausspringt. Halten Sie das andere Ende des Fadens fest und hängen Sie Ihren Körper daran. Wenn das Zentrum Schwere Richtig, die Figur wird exakt parallel zum Boden positioniert. Ihre Seiten werden nicht schwanken.

Finden Sie die Mitte Schwere Figuren geometrisch. Wenn Sie ein Dreieck erhalten, konstruieren Sie. Diese Segmente verbinden die Eckpunkte des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Der Punkt wird werden Center Dreiecksmassen. Um den Mittelpunkt einer Seite zu ermitteln, können Sie die Figur sogar in zwei Hälften falten. Beachten Sie jedoch, dass dadurch die Einheitlichkeit beeinträchtigt wird Figuren.

Vergleichen Sie die geometrisch und experimentell erzielten Ergebnisse. Berichten Sie über den Fortschritt des Experiments. Kleine Fehler gelten als normal. Sie werden durch Unvollkommenheit erklärt Figuren, Ungenauigkeit der Instrumente, menschlicher Faktor (kleinere Arbeitsfehler, Unvollkommenheit des menschlichen Auges usw.).

Quellen:

Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts einer flachen Figur

Der Mittelpunkt einer Figur kann auf verschiedene Arten gefunden werden, je nachdem, welche Daten darüber bereits bekannt sind. Es lohnt sich, darüber nachzudenken, den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, bei dem es sich um eine Ansammlung von Punkten handelt, die sich in gleichem Abstand vom Mittelpunkt befinden, da diese Figur eine der häufigsten ist.

Du wirst brauchen

- Quadrat;
- Herrscher.

Anweisungen

Der einfachste Weg Finden Sie den Mittelpunkt des Kreises – biegen Sie das Blatt Papier, auf dem es gezeichnet ist, und stellen Sie dabei sicher, dass es genau in der Mitte gefaltet ist, indem Sie auf die Lücke schauen. Dann falten Sie das Blatt senkrecht zur ersten Falte. Auf diese Weise erhalten Sie Durchmesser, deren Schnittpunkt der Mittelpunkt der Figur ist.

Nehmen wir an, die betreffende Figur wurde auf einer harten, unflexiblen Oberfläche gezeichnet, oder es handelt sich um ein separates Teil, das sich ebenfalls nicht biegen lässt. Um in diesem Fall den Mittelpunkt des Kreises zu ermitteln, benötigen Sie ein Lineal.

Der Durchmesser ist das längste Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Wie Sie wissen, geht es durch den Mittelpunkt, daher besteht die Aufgabe, den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, darin, den Durchmesser und seinen Mittelpunkt zu ermitteln.

Platzieren Sie ein Lineal auf dem Kreis und fixieren Sie dann die Nullmarke an einem beliebigen Punkt der Figur. Befestigen Sie das Lineal am Kreis, sodass eine Sekante entsteht, und bewegen Sie sich dann in Richtung der Mitte der Figur. Die Länge der Sekante nimmt zu, bis sie ihren Höhepunkt erreicht. Sie erhalten den Durchmesser und nachdem Sie dessen Mitte gefunden haben, finden Sie auch den Mittelpunkt des Kreises.

Der Mittelpunkt des Umkreises jedes Dreiecks liegt am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, fällt sein Mittelpunkt immer mit der Mitte der Hypotenuse zusammen. Das heißt, die Lösung liegt darin, innerhalb des Kreises aufzubauen rechtwinkliges Dreieck mit auf einem Kreis liegenden Eckpunkten.

Schablone für rechter Winkel Ein Schul- oder Bauwinkel, ein Lineal oder auch ein Blatt Papier/Karton können hierfür dienen. Platzieren Sie den Scheitelpunkt eines rechten Winkels an einem beliebigen Punkt des Kreises, markieren Sie die Stellen, an denen die Seiten des Winkels die Grenze des Kreises schneiden, und verbinden Sie sie. Sie haben einen Durchmesser – die Hypotenuse.

Finden Sie auf die gleiche Weise einen anderen Durchmesser. Der Schnittpunkt zweier solcher Segmente ist der Mittelpunkt des Kreises.

Video zum Thema

Bereits in der Schule, im Physikunterricht, lernen wir erstmals einen Begriff wie den Schwerpunkt kennen. Die Aufgabe ist nicht einfach, aber gut erklärt und verständlich. Nicht nur der junge Physiker muss die Definition des Schwerpunkts kennen. Und wenn Sie vor dieser Aufgabe stehen, sollten Sie auf Hinweise und Erinnerungen zurückgreifen, um Ihr Gedächtnis aufzufrischen.

Anweisungen

Nach dem Studium der Physik, Mechaniklehrbüchern, Wörterbüchern oder Enzyklopädien stößt man auf den Schwerpunkt, oder wie der Massenschwerpunkt genannt wird.

Es gibt nur wenige in verschiedenen Wissenschaften verschiedene Definitionen, aber das Wesentliche geht tatsächlich nicht verloren. Der Schwerpunkt liegt immer im Symmetriezentrum des Körpers. Für ein anschaulicheres Konzept: „Der Schwerpunkt (oder anders gesagt Massenschwerpunkt) ist etwas, das ausnahmslos mit einem festen Körper verbunden ist.“ Durch sie fließt die Resultierende der Schwerkraft, die an einem beliebigen Ort auf ein Teilchen eines bestimmten Körpers einwirkt.“

Wenn der Schwerpunkt eines starren Körpers ein Punkt ist, muss er seine eigenen Koordinaten haben.

Um es zu bestimmen, ist es wichtig, die x-, y-, z-Koordinaten des i-ten Körperteils und das Gewicht zu kennen, das mit dem Buchstaben - p bezeichnet wird.

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe an.

Gegeben sind zwei Körper unterschiedlicher Masse m1 und m2, auf die unterschiedliche Gewichtskräfte wirken (wie in der Abbildung dargestellt). Aufzeichnen der Gewichte:

P1= m1*g, P2= m2*g;

Der Schwerpunkt liegt zwischen den beiden Massen. Und wenn der gesamte Körper in t.O. schwebt, stellt sich ein Gleichgewicht ein, das heißt, diese überwiegen sich nicht mehr.

Abwechslungsreich geometrische Figuren haben physikalische und Berechnungen bezüglich des Schwerpunkts. Jeder hat seinen eigenen Ansatz und seine eigene Methode.

Betrachten wir die Scheibe, stellen wir klar, dass der Schwerpunkt darin liegt, genauer gesagt die Durchmesser (wie in der Abbildung in t.C dargestellt - der Schnittpunkt der Durchmesser). Auf die gleiche Weise werden die Mittelpunkte eines Parallelepipeds oder einer homogenen Kugel ermittelt.

Die vorgestellte Scheibe und zwei Körper mit den Massen m1 und m2 sind von homogener Masse und richtige Form. Dabei ist zu erkennen, dass der gesuchte Schwerpunkt im Inneren dieser Objekte liegt. Bei Körpern mit inhomogener Masse und unregelmäßiger Form kann sich das Zentrum jedoch darüber hinaus befinden. Sie selbst spüren, dass die Aufgabe schwieriger wird.

Die Mode für „Frauen, die wie Jungen aussehen“ ist längst vorbei, aber viele Vertreter des schönen Geschlechts wünschen sich immer noch einen flachen Hintern. Obwohl es heute „in Mode“ ist, die ganze blühende Sexualität, einen harmonischen, schönen und trainierten Körper zu demonstrieren. Tatsächlich ist in diesem Fall ein schöner Hintern ein unverzichtbarer Bestandteil nicht nur weiblicher, sondern auch männlicher Schönheit.

Anweisungen

Damit Arsch flach, müssen Sie Folgendes tun. Übung 1: „Heben der Beine.“ Diese Übung können Sie in mehreren Varianten durchführen: Stellen Sie sich in die Ausgangsposition auf alle Viere und heben Sie dann nacheinander jedes Bein an, sodass der Oberschenkel parallel zum Boden ist. Fixieren Sie Ihr Bein in gedrückter Position und machen Sie federnde Bewegungen nach oben. Achten Sie gleichzeitig auf die Fixierung Ihres Beins im Sprung- und Kniegelenk und versuchen Sie, diese Position nicht zu verändern.

Übung 2: „Becken anheben“. Legen Sie sich hin, legen Sie die Arme parallel zum Körper und beugen Sie die Beine an den Knien. Heben Sie anschließend Ihr Becken vom Boden ab und belasten Sie dabei Ihr Gesäß stark. In diesem Fall sollten Oberkörper und Hände nicht vom Boden abheben. Machen Sie in derselben Position federnde Aufwärtsbewegungen.

Übung 3: „Heben“: Stellen Sie sich mit schulterbreit auseinander stehenden Füßen hin. Heben und senken Sie abwechselnd jeweils ein Knie so hoch wie möglich. Versuchen Sie beim Anheben des Knies möglichst lange auf einem Bein zu bleiben, ohne sich zu bewegen. Diese Übung eignet sich sehr gut für den Bereich, der sich knapp über dem Gesäß befindet.

Übung 4: „Kniebeugen mit Beckenabduktion.“ Stellen Sie sich so hin, dass Ihre Beine breiter als Ihre Schultern sind und Ihre Füße parallel dazu stehen. In diesem Fall sollte das linke Bein leicht hinter dem rechten liegen. Gehen Sie dann in die Hocke, stützen Sie sich dabei auf Ihr linkes Bein und bewegen Sie Ihr Becken nach hinten. Strecken Sie gleichzeitig die Arme vor dem linken Fuß aus und halten Sie den Rücken gerade. Stehen Sie danach auf, verlagern Sie Ihr gesamtes Gewicht auf Ihr rechtes Bein, nehmen Sie Ihr linkes Bein nach hinten und heben Sie Ihre Arme über Ihren Kopf. Wiederholen Sie diese Übung 10 Mal und wechseln Sie dann das Bein.

Übung 5: „Wagenrad-Ausfallschritte“. Machen Sie einen Ausfallschritt nach vorne, beginnend mit dem linken Bein, und drehen Sie Ihren Fuß leicht im Uhrzeigersinn. Dann beugen Sie sich von der Hüfte nach vorne. Spreizen Sie gleichzeitig Ihre Arme weit, als ob Sie einen Radschlag schlagen wollten. Halten Sie diese Position einige Sekunden lang, stehen Sie dann auf und behalten Sie dabei die Position Ihres rechten Beins bei. Machen Sie mit der linken Hand einen Schritt nach links und drehen Sie die Fußspitze nach außen. Gehen Sie in die Hocke und beugen Sie sich nach links.

Video zum Thema

Quellen:

flache Ärsche im Jahr 2019

Im gewöhnlichen Sinne wird der Schwerpunkt als der Punkt aufgefasst, an dem die Resultierende aller auf den Körper wirkenden Kräfte wirken kann. Das einfachste Beispiel ist eine Kinderschaukel in Form eines gewöhnlichen Brettes. Ohne Berechnungen wird jedes Kind die Unterstützung des Bretts so wählen, dass es einen schweren Mann auf einer Schaukel ausbalanciert (und vielleicht sogar überwiegt). Bei komplexen Körpern und Abschnitten sind genaue Berechnungen und entsprechende Formeln unabdingbar. Auch wenn Sie umständliche Ausdrücke hören, ist die Hauptsache, keine Angst davor zu haben, sondern sich daran zu erinnern, dass es sich zunächst um eine fast elementare Aufgabe handelt.

Anweisungen

Betrachten Sie den einfachsten Hebel (siehe Abbildung 1) in der Gleichgewichtsposition. Platzieren Sie x₁₂ auf der horizontalen Achse mit der Abszisse und platzieren Sie Materialpunkte der Massen m₁ und m₂ auf den Kanten. Betrachten Sie ihre Koordinaten entlang der 0x-Achse als bekannt und gleich x₁ und x₂. Der Hebel befindet sich in der Gleichgewichtslage, wenn die Momente der Gewichtskräfte Р₁=m₁g und P₂=m₂g gleich sind. Das Moment ist gleich dem Produkt der Kraft durch seinen Arm, das als Länge der Senkrechten vom Kraftangriffspunkt zur Vertikalen x=x₁₂ ermittelt werden kann. Daher gilt gemäß Abbildung 1 m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Dann ist m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Lösen Sie diese Gleichung und erhalten Sie x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).

Um die Ordinate y₁₂ zu ermitteln, wenden Sie die gleichen Überlegungen und Berechnungen wie in Schritt 1 an. Folgen Sie weiterhin der Abbildung in Abbildung 1, wobei m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Dann ist m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Das Ergebnis ist y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Bedenken Sie als nächstes, dass es anstelle eines Systems aus zwei Punkten einen Punkt M₁₂(x12,у12) der Gesamtmasse (m₁+m₂) gibt.

Fügen Sie dem System aus zwei Punkten eine weitere Masse (m₃) mit den Koordinaten (x₃, y₃) hinzu. Bei der Berechnung sollte man dennoch davon ausgehen, dass man es mit zwei Punkten zu tun hat, von denen der zweite die Masse (m₁+m₂) und die Koordinaten (x12,y12) hat. Wenn Sie alle Aktionen der Schritte 1 und 2 für diese beiden Punkte wiederholen, gelangen Sie zum Mittelpunkt der drei Punkte m₁+ m₂ +m₃). Als nächstes fügen Sie den vierten, fünften usw. Punkt hinzu. Nachdem Sie den gleichen Vorgang viele Male wiederholt haben, stellen Sie sicher, dass für ein System von n Punkten die Koordinaten des Schwerpunkts mithilfe der Formel berechnet werden (siehe Abb. 2). Beachten Sie selbst, dass während der Arbeit die Erdbeschleunigung g abnahm. Daher fallen die Koordinaten von Massenschwerpunkt und Schwerpunkt zusammen.

Stellen Sie sich vor, dass es in dem betrachteten Abschnitt eine bestimmte Region D gibt, Oberflächendichte mit ρ=1. Von oben und unten wird die Figur durch die Graphen der Kurven y=φ(x) und y=ψ(x), x є [a,b] begrenzt. Teilen Sie die Fläche D mit den Vertikalen x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) in dünne Streifen, sodass sie ungefähr als Rechtecke mit den Grundflächen ∆хi betrachtet werden können (siehe Abb . .3). Gehen Sie in diesem Fall davon aus, dass die Mitte des Segments ∆хi mit der Abszisse des Massenschwerpunkts ξi=(1/2) zusammenfällt. Betrachten Sie die Höhe des Rechtecks als ungefähr gleich [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Dann ist die Ordinate des Massenschwerpunkts der Elementarfläche ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].

Bedenken Sie aufgrund der gleichmäßigen Dichteverteilung, dass der Massenschwerpunkt des Streifens mit seinem geometrischen Mittelpunkt zusammenfällt. Die entsprechende Elementarmasse ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi ist im Punkt (ξi,ηi) konzentriert. Der Moment ist gekommen für den umgekehrten Übergang von der in diskreter Form dargestellten Masse zur kontinuierlichen. Gemäß den Formeln zur Berechnung der Koordinaten (siehe Abb. 2) des Schwerpunkts werden Integralsummen gebildet, dargestellt in Abb. 4a. Beim Übergang zum Grenzwert bei ∆xi→0 (ξi→xi) von Summen zu bestimmten Integralen erhält man die endgültige Antwort (Abb. 4b). Die Antwort enthält keine Masse. Die Gleichheit S=M ist nur quantitativ zu verstehen. Die Abmessungen unterscheiden sich hier voneinander.

Rechteck. Da ein Rechteck zwei Symmetrieachsen hat, liegt sein Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen, d. h. am Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks.

Dreieck. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt seiner Mediane. Aus der Geometrie ist bekannt, dass sich die Mittelwerte eines Dreiecks in einem Punkt schneiden und von der Basis aus im Verhältnis 1:2 geteilt werden.

Kreis. Da ein Kreis zwei Symmetrieachsen hat, liegt sein Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

Halbkreis. Ein Halbkreis hat eine Symmetrieachse, dann liegt der Schwerpunkt auf dieser Achse. Eine weitere Koordinate des Schwerpunkts wird nach der Formel berechnet: .

Viele Strukturelemente werden aus Standardwalzprodukten hergestellt – Winkel, I-Träger, Kanäle und andere. Alle Abmessungen sowie geometrischen Eigenschaften von Walzprofilen sind tabellarische Daten, die in der Referenzliteratur in Tabellen des normalen Sortiments (GOST 8239-89, GOST 8240-89) zu finden sind.

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Position des Schwerpunkts der in der Abbildung gezeigten Figur.

Lösung:

Wir wählen die Koordinatenachsen so aus, dass die Ox-Achse entlang der untersten Gesamtabmessung verläuft und die Oy-Achse entlang der ganz linken Gesamtabmessung.

Wir zerlegen eine komplexe Figur minimale Menge einfache Zahlen:

Rechteck 20x10;

Dreieck 15x10;

Kreis R=3 cm.

Wir berechnen die Fläche jeder einfachen Figur und ihre Koordinaten des Schwerpunkts. Die Berechnungsergebnisse werden in die Tabelle eingetragen

Abbildung Nr.	Fläche von Abbildung A,	Schwerpunktkoordinaten
Abbildung Nr.	Fläche von Abbildung A,

Antwort: C(14,5; 4,5)

Beispiel 2 . Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts eines Verbundprofils bestehend aus Blech und Walzprofilen.

Lösung.

Wir wählen die Koordinatenachsen wie in der Abbildung gezeigt.

Bezeichnen wir die Figuren mit Zahlen und schreiben wir die notwendigen Daten aus der Tabelle aus:

Abbildung Nr.	Fläche von Abbildung A,	Schwerpunktkoordinaten
Abbildung Nr.	Fläche von Abbildung A,

Wir berechnen die Koordinaten des Schwerpunkts der Figur mit den Formeln:

Antwort: C(0; 10)

Laborarbeit Nr. 1 „Bestimmung des Schwerpunkts zusammengesetzter Flachfiguren“

Ziel: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer bestimmten flachen komplexen Figur mithilfe experimenteller und analytischer Methoden und vergleichen Sie deren Ergebnisse.

Arbeitsauftrag

Zeichnen Sie Ihre flache Figur der Größe nach in Ihre Notizbücher ein und geben Sie dabei die Koordinatenachsen an.

Bestimmen Sie den Schwerpunkt analytisch.

Teilen Sie die Figur in die minimale Anzahl von Figuren auf, deren Schwerpunkte wir bestimmen können.
Geben Sie die Flächennummern und Koordinaten des Schwerpunkts jeder Figur an.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts jeder Figur.
Berechnen Sie die Fläche jeder Figur.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts der gesamten Figur mit den Formeln (die Lage des Schwerpunkts ist auf der Zeichnung der Figur aufgetragen):

Die Anlage zur experimentellen Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten im Hängeverfahren besteht aus einem vertikalen Stativ 1 (siehe Abbildung), an dem die Nadel befestigt ist 2 . Flache Figur 3 Aus Karton, der sich leicht lochen lässt. Löcher A Und IN an zufällig angeordneten Punkten durchbohrt werden (vorzugsweise am weitesten voneinander entfernt). Eine flache Figur wird zunächst an einem Punkt an einer Nadel aufgehängt A , und dann an der Stelle IN . Mit einem Lot 4 Zeichnen Sie mit einem Bleistift, der an derselben Nadel befestigt ist, eine vertikale Linie auf die Figur, die dem Faden des Lots entspricht. Schwerpunkt MIT Die Figur wird am Schnittpunkt der vertikalen Linien platziert, die beim Aufhängen der Figur an den Punkten gezeichnet werden A Und IN .