Wellenfunktionsgleichung. Wellenfunktion und ihre physikalische Bedeutung

In der Koordinatendarstellung hängt die Wellenfunktion von den Koordinaten (oder verallgemeinerten Koordinaten) des Systems ab. Die physikalische Bedeutung wird dem Quadrat seines Moduls zugewiesen, das als Wahrscheinlichkeitsdichte (bei diskreten Spektren einfach als Wahrscheinlichkeit) interpretiert wird, das System in der durch die Koordinaten beschriebenen Position zum jeweiligen Zeitpunkt zu erkennen:

Dann können wir in einem gegebenen Quantenzustand des Systems, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird, die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Teilchen in einem beliebigen Bereich des endlichen Volumenkonfigurationsraums entdeckt wird: .

Zu beachten ist auch, dass auch Phasendifferenzen gemessen werden können Wellenfunktion, zum Beispiel im Aharonov-Bohm-Experiment.

Schrödinger-Gleichung- eine Gleichung, die die räumliche (im allgemeinen Fall im Konfigurationsraum) und zeitliche Änderung des reinen Zustands beschreibt, der durch die Wellenfunktion in Hamilton-Quantensystemen angegeben wird. Spielt in der Quantenmechanik die gleiche wichtige Rolle wie die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes klassische Mechanik. Man kann sie als Bewegungsgleichung eines Quantenteilchens bezeichnen. 1926 von Erwin Schrödinger installiert.

Die Schrödinger-Gleichung ist für spinlose Teilchen gedacht, die sich mit Geschwindigkeiten bewegen, die deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen. Bei schnellen Teilchen und Teilchen mit Spin werden deren Verallgemeinerungen verwendet (Klein-Gordon-Gleichung, Pauli-Gleichung, Dirac-Gleichung usw.)

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts kamen Wissenschaftler zu dem Schluss, dass es eine Reihe von Diskrepanzen zwischen den Vorhersagen der klassischen Theorie und experimentellen Daten zur Atomstruktur gab. Die Entdeckung der Schrödinger-Gleichung folgte der revolutionären Annahme von de Broglie, dass nicht nur Licht, sondern alle Körper im Allgemeinen (einschließlich aller Mikroteilchen) durch gekennzeichnet sind Welleneigenschaften.

Historisch gesehen ging der endgültigen Formulierung der Schrödinger-Gleichung eine lange Entwicklungsphase in der Physik voraus. Es handelt sich um eine der wichtigsten Gleichungen der Physik, die physikalische Phänomene erklärt. Die Quantentheorie erfordert jedoch keine völlige Ablehnung der Newtonschen Gesetze, sondern definiert lediglich die Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen Physik. Daher muss Schrödingers Gleichung mit den Newtonschen Gesetzen in konsistent sein Grenzfall. Dies wird durch eine tiefere Analyse der Theorie bestätigt: Wenn die Größe und Masse eines Körpers makroskopisch wird und die Genauigkeit der Verfolgung seiner Koordinaten viel schlechter ist als die Standardquantengrenze, stimmen die Vorhersagen der Quantentheorie und der klassischen Theorie überein, weil sie unsicher sind Der Weg des Objekts nähert sich der eindeutigen Flugbahn an.

Zeitabhängige Gleichung

Die allgemeinste Form der Schrödinger-Gleichung ist die Form, die die Zeitabhängigkeit berücksichtigt:

Ein Beispiel einer nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung in Koordinatendarstellung für ein Punktteilchen mit Masse, das sich in einem Potentialfeld mit Potential bewegt:

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Formulierung

Allgemeiner Fall

In der Quantenphysik wird eine komplexwertige Funktion eingeführt, die den reinen Zustand eines Objekts beschreibt, die Wellenfunktion genannt wird. Am häufigsten Kopenhagener Interpretation Diese Funktion hängt mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, ein Objekt in einem der reinen Zustände zu finden (das Quadrat des Moduls der Wellenfunktion stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte dar). Das Verhalten eines Hamilton-Systems im reinen Zustand wird vollständig durch die Wellenfunktion beschrieben.

Nachdem man die Beschreibung der Bewegung eines Teilchens mithilfe von Trajektorien, die sich aus den Gesetzen der Dynamik ergeben, aufgegeben und stattdessen die Wellenfunktion bestimmt hat, ist es notwendig, eine Gleichung einzuführen, die den Newtonschen Gesetzen entspricht und ein Rezept für die Suche nach bestimmten physikalischen Problemen liefert. Eine solche Gleichung ist die Schrödinger-Gleichung.

Lassen Sie die Wellenfunktion im n-dimensionalen Konfigurationsraum gegeben sein, dann gibt es an jedem Punkt die Koordinaten , in bestimmter Moment Zeit T es wird so aussehen. In diesem Fall wird die Schrödinger-Gleichung wie folgt geschrieben:

wobei , das Plancksche Wirkungsquantum ist; - Teilchenmasse, - außerhalb des Teilchens potenzielle Energie zu einem Zeitpunkt - der Laplace-Operator (oder Laplace-Operator) entspricht dem Quadrat des Nabla-Operators und hat in einem n-dimensionalen Koordinatensystem die Form:

Frage 30 Grundlegende physikalische Wechselwirkungen. Das Konzept des physikalischen Vakuums in der Moderne wissenschaftliches Bild Frieden.

Interaktion. Die gesamte Vielfalt der Wechselwirkungen wird im modernen physikalischen Weltbild in 4 Typen unterteilt: stark, elektromagnetisch, schwach und gravitativ. Nach modernen Konzepten sind alle Interaktionen austauschhafter Natur, d.h. werden durch den Austausch grundlegender Teilchen – Träger von Wechselwirkungen – realisiert. Jede der Interaktionen ist durch die sogenannte Interaktionskonstante gekennzeichnet, die ihre relative Intensität, Dauer und Wirkungsweite bestimmt. Betrachten wir kurz diese Wechselwirkungen.

1. Starke Interaktion sorgt für die Verbindung der Nukleonen im Kern. Die Wechselwirkungskonstante beträgt ca. 10 0, der Wirkungsbereich ca

10 -15, Auslaufzeit t »10 -23 s. Teilchen – Träger – p-Mesonen.

2. Elektromagnetische Wechselwirkung: Konstante in der Größenordnung von 10 -2, Interaktionsradius ist nicht begrenzt, Interaktionszeit t » 10 -20 s. Es wird zwischen allen geladenen Teilchen realisiert. Teilchen – Träger – Photon.

3. Schwache Interaktion im Zusammenhang mit allen Arten von b-Zerfällen, vielen Zerfällen von Elementarteilchen und der Wechselwirkung von Neutrinos mit Materie. Die Wechselwirkungskonstante beträgt etwa 10 -13, t » 10 -10 s. Diese Wechselwirkung ist wie die starke Wechselwirkung kurzreichweitig: Der Wechselwirkungsradius beträgt 10 -18 m (Teilchen – Träger – Vektorboson).

4. Gravitationswechselwirkung ist universell, wird aber im Mikrokosmos berücksichtigt, da seine Konstante 10 -38 beträgt, d.h. aller Wechselwirkungen ist die schwächste und manifestiert sich nur bei ausreichend großen Massen. Seine Reichweite ist unbegrenzt, und auch seine Zeit ist unbegrenzt. Der Austauschcharakter der Gravitationswechselwirkung bleibt immer noch fraglich, da das hypothetische Grundteilchen Graviton noch nicht entdeckt wurde.

Physikalisches Vakuum

Unter dem physikalischen Vakuum versteht man in der Quantenphysik den niedrigsten (Grund-)Energiezustand eines quantisierten Feldes, das Impuls, Drehimpuls und andere Quantenzahlen Null aufweist. Darüber hinaus entspricht ein solcher Zustand nicht unbedingt der Leere: Das Feld im niedrigsten Zustand kann beispielsweise ein Feld von Quasiteilchen sein Festkörper oder sogar im Atomkern, wo die Dichte extrem hoch ist. Ein physikalisches Vakuum wird auch als Raum bezeichnet, der völlig frei von Materie ist und in diesem Zustand mit einem Feld gefüllt ist. Dieser Zustand ist keine absolute Leere. Die Quantenfeldtheorie besagt, dass gemäß der Unschärferelation ständig virtuelle Teilchen im physikalischen Vakuum entstehen und verschwinden: Es kommt zu sogenannten Nullpunktsfeldschwingungen. In einigen spezifischen Feldtheorien kann das Vakuum nicht triviale topologische Eigenschaften haben. Theoretisch können mehrere verschiedene Vakua existieren, die sich in der Energiedichte oder anderen physikalischen Parametern unterscheiden (abhängig von den verwendeten Hypothesen und Theorien). Entartung des Vakuums mit spontanem Symmetriebruch führt zur Existenz Kontinuierliches Spektrum Vakuumzustände, die sich in der Anzahl der Goldstone-Bosonen voneinander unterscheiden. Lokale Energieminima bei unterschiedliche Bedeutungen alle Felder, deren Energie vom globalen Minimum abweicht, werden als falsches Vakuum bezeichnet; Solche Zustände sind metastabil und neigen dazu, unter Freisetzung von Energie zu zerfallen und in ein echtes Vakuum oder in eines der zugrunde liegenden falschen Vakua überzugehen.

Einige dieser feldtheoretischen Vorhersagen wurden bereits erfolgreich experimentell bestätigt. Somit werden der Casimir-Effekt und die Lamb-Verschiebung atomarer Niveaus durch Nullpunktschwingungen erklärt elektromagnetisches Feld in einem physikalischen Vakuum. Moderne physikalische Theorien basieren auf einigen anderen Vorstellungen über Vakuum. Beispielsweise ist die Existenz mehrerer Vakuumzustände (das oben erwähnte falsche Vakuum) eine der Hauptgrundlagen der Inflationstheorie des Urknalls.

31 Fragen Strukturebenen der Materie. Mikrowelt. Makrowelt. Megawelt.

Strukturebenen der Materie

(1) - Charakteristisches Merkmal Materie ist ihre Struktur, daher ist die Erforschung dieser Struktur eine der wichtigsten Aufgaben der Naturwissenschaft.

Es wird derzeit angenommen, dass das natürlichste und offensichtlichste Zeichen der Struktur der Materie die charakteristische Größe eines Objekts ist dieses Niveau und seine Masse. Entsprechend dieser Vorstellungen werden folgende Ebenen unterschieden:

(3) - Der Begriff „Mikrowelt“ umfasst fundamentale und elementare Teilchen, Kerne, Atome und Moleküle. Die Makrowelt wird durch Makromoleküle, Substanzen in verschiedenen Aggregatzuständen, lebende Organismen repräsentiert, beginnend mit der elementaren Einheit der Lebewesen – Zellen, Menschen und den Produkten ihrer Aktivitäten, d.h. Makrokörper. Die größten Objekte (Planeten, Sterne, Galaxien und ihre Cluster bilden eine Megawelt. Es ist wichtig zu erkennen, dass es zwischen diesen Welten keine harten Grenzen gibt und wir nur über unterschiedliche Ebenen der Betrachtung der Materie sprechen.

Für jede der betrachteten Hauptebenen lassen sich wiederum Unterebenen unterscheiden, die sich durch eine eigene Struktur und eigene Organisationsmerkmale auszeichnen.

Die Untersuchung der Materie auf ihren verschiedenen Strukturebenen erfordert eigene spezifische Mittel und Methoden.

Frage 32 Entwicklung des Universums (Friedmann, Hubble, Gamow) und kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung.

Wellenfunktion, oder Psi-Funktion ψ (\displaystyle \psi)- eine komplexwertige Funktion, die in der Quantenmechanik zur Beschreibung des reinen Zustands eines Systems verwendet wird. Ist der Ausdehnungskoeffizient des Zustandsvektors über eine Basis (normalerweise eine Koordinatenbasis):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

Wo | x⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) ist der Koordinatenbasisvektor und Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )- Wellenfunktion in Koordinatendarstellung.

Normalisierung der Wellenfunktion

Wellenfunktion Ψ (\displaystyle \Psi ) in seiner Bedeutung muss die sogenannte Normalisierungsbedingung erfüllen, beispielsweise in der Koordinatendarstellung der Form:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

Diese Bedingung drückt die Tatsache aus, dass die Wahrscheinlichkeit, irgendwo im Raum ein Teilchen mit einer bestimmten Wellenfunktion zu finden, gleich eins ist. Im allgemeinen Fall muss die Integration über alle Variablen durchgeführt werden, von denen die Wellenfunktion in einer gegebenen Darstellung abhängt.

Prinzip der Überlagerung von Quantenzuständen

Für Wellenfunktionen gilt das Superpositionsprinzip, das darin besteht, dass sich ein System in durch Wellenfunktionen beschriebenen Zuständen befinden kann Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Und Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)), dann kann es sich auch in einem Zustand befinden, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) für jeden Komplex c 1 (\displaystyle c_(1)) Und c 2 (\displaystyle c_(2)).

Offensichtlich können wir von der Überlagerung (Addition) beliebig vieler Quantenzustände sprechen, also von der Existenz eines Quantenzustands des Systems, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\sum _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

In diesem Zustand ist das Quadrat des Moduls des Koeffizienten c n (\displaystyle (c)_(n)) bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei der Messung in einem Zustand erkannt wird, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Daher für normalisierte Wellenfunktionen ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1).

Bedingungen für die Regelmäßigkeit der Wellenfunktion

Die probabilistische Bedeutung der Wellenfunktion erlegt den Wellenfunktionen in Problemen bestimmte Einschränkungen oder Bedingungen auf Quantenmechanik. Diese Standardbedingungen werden oft genannt Bedingungen für die Regelmäßigkeit der Wellenfunktion.

Wellenfunktion in verschiedenen Darstellungen Zustände werden in verschiedenen Darstellungen verwendet – entsprechen dem Ausdruck desselben Vektors in verschiedenen Koordinatensystemen. Auch andere Operationen mit Wellenfunktionen haben Analogien in der Sprache der Vektoren. In der Wellenmechanik wird eine Darstellung verwendet, bei der die Argumente der Psi-Funktion das vollständige System darstellen kontinuierlich kommutierende Observablen, und die Matrixdarstellung verwendet eine Darstellung, bei der die Argumente der Psi-Funktion das vollständige System darstellen diskret pendelnde Observablen. Daher sind die Funktions- (Wellen-) und Matrixformulierungen offensichtlich mathematisch äquivalent.

Korpuskular – Wellendualismus In der Quantenphysik wird der Zustand eines Teilchens mithilfe der Wellenfunktion ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-Funktion) beschrieben.

Definition 1

Wellenfunktion ist eine Funktion, die in der Quantenmechanik verwendet wird. Es beschreibt den Zustand eines Systems, das Dimensionen im Raum hat. Es handelt sich um einen Zustandsvektor.

Diese Funktion ist komplex und hat formal Welleneigenschaften. Die Bewegung jedes Teilchens der Mikrowelt wird durch Wahrscheinlichkeitsgesetze bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird sichtbar, wenn eine große Anzahl von Beobachtungen (Messungen) oder eine große Anzahl von Partikeln durchgeführt wird. Die resultierende Verteilung ähnelt der Wellenintensitätsverteilung. Das heißt, an Orten mit maximaler Intensität wird die maximale Anzahl an Partikeln notiert.

Die Menge der Argumente der Wellenfunktion bestimmt ihre Darstellung. Somit ist eine Koordinatendarstellung möglich: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, eine Impulsdarstellung: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ usw.

In der Quantenphysik besteht das Ziel nicht darin, ein Ereignis genau vorherzusagen, sondern darin, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses abzuschätzen. Wenn Sie den Wahrscheinlichkeitswert kennen, ermitteln Sie die Durchschnittswerte physikalischer Größen. Mit der Wellenfunktion können Sie solche Wahrscheinlichkeiten finden.

Somit kann die Wahrscheinlichkeit des Vorhandenseins eines Mikropartikels im Volumen dV zum Zeitpunkt t wie folgt definiert werden:

Dabei ist $\psi^*$ die komplex konjugierte Funktion zur Funktion $\psi.$ Die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit) ist gleich:

Wahrscheinlichkeit ist eine Größe, die in einem Experiment beobachtet werden kann. Gleichzeitig steht die Wellenfunktion der Beobachtung nicht zur Verfügung, da sie komplex ist (in der klassischen Physik stehen die Parameter, die den Zustand eines Teilchens charakterisieren, der Beobachtung zur Verfügung).

Normalisierungsbedingung für die $\psi$-Funktion

Die Wellenfunktion wird bis auf einen beliebigen konstanten Faktor bestimmt. Diese Tatsache hat keinen Einfluss auf den Zustand des Teilchens, den die $\psi$-Funktion beschreibt. Allerdings wird die Wellenfunktion so gewählt, dass sie die Normalisierungsbedingung erfüllt:

wobei das Integral über den gesamten Raum oder über einen Bereich genommen wird, in dem die Wellenfunktion nicht Null ist. Normalisierungsbedingung (2) bedeutet, dass das Partikel im gesamten Bereich, in dem $\psi\ne 0$ ist, zuverlässig vorhanden ist. Eine Wellenfunktion, die die Normalisierungsbedingung erfüllt, wird normalisiert genannt. Wenn $(\left|\psi\right|)^2=0$, dann bedeutet diese Bedingung, dass sich wahrscheinlich kein Teilchen in der untersuchten Region befindet.

Eine Normalisierung der Form (2) ist mit einem diskreten Spektrum von Eigenwerten möglich.

Die Normalisierungsbedingung ist möglicherweise nicht realisierbar. Wenn also $\psi$ eine Plane-de-Broglie-Welle ist und die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, für alle Punkte im Raum gleich ist. Diese Fälle gelten als ideales Modell, bei dem sich das Teilchen in einem großen, aber begrenzten Raumbereich befindet.

Prinzip der Wellenfunktionsüberlagerung

Dieses Prinzip ist eines der Hauptpostulate der Quantentheorie. Seine Bedeutung ist folgende: Wenn für ein System Zustände möglich sind, die durch die Wellenfunktionen $\psi_1\ (\rm and)\ $ $\psi_2$ beschrieben werden, dann gibt es für dieses System einen Zustand:

wobei $C_(1\ )und\ C_2$ konstante Koeffizienten sind. Das Superpositionsprinzip wird empirisch bestätigt.

Wir können über die Addition beliebig vieler Quantenzustände sprechen:

Dabei ist $(\left|C_n\right|)^2$ die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem Zustand befindet, der durch die Wellenfunktion $\psi_n beschrieben wird. Für Wellenfunktionen, die der Normalisierungsbedingung (2) unterliegen, gilt: Folgende Bedingung ist erfüllt:

Stationäre Zustände

In der Quantentheorie spielen stationäre Zustände (Zustände, in denen sich alle beobachtbaren physikalischen Parameter über die Zeit nicht ändern) eine besondere Rolle. (Die Wellenfunktion selbst ist grundsätzlich nicht beobachtbar.) Im stationären Zustand hat die $\psi$-Funktion die Form:

wobei $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ nicht von der Zeit abhängt, $E$ die Teilchenenergie ist. Mit der Form (3) der Wellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte ($P$) eine Zeitkonstante:

Aus physikalische Eigenschaften stationäre Zustände folgen den mathematischen Anforderungen für die Wellenfunktion $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Mathematische Anforderungen an die Wellenfunktion für stationäre Zustände

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- die Funktion muss an allen Punkten sein:

• kontinuierlich,
• eindeutig,
• endlich.

Wenn die potentielle Energie eine Diskontinuitätsfläche hat, dann müssen auf solchen Flächen die Funktion $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ und ihre erste Ableitung stetig bleiben. In dem Raumbereich, in dem die potentielle Energie unendlich wird, muss $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ Null sein. Die Stetigkeit der Funktion $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ erfordert, dass an jeder Grenze dieser Region $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ ist. Die Kontinuitätsbedingung wird auf die partiellen Ableitungen der Wellenfunktion ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ partielles z)$).

Beispiel 1

Übung: Für ein bestimmtes Teilchen ist eine Wellenfunktion der Form $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$ gegeben, wobei $r$ der Abstand vom Teilchen ist zum Kraftzentrum (Abb. 1), $a=const$. Wenden Sie die Normalisierungsbedingung an und ermitteln Sie den Normalisierungskoeffizienten A.

Bild 1.

Lösung:

Schreiben wir die Normalisierungsbedingung für unseren Fall in der Form:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

wobei $dV=4\pi r^2dr$ (siehe Abb. 1. Aus den Bedingungen ist klar, dass das Problem sphärische Symmetrie hat). Aus den Bedingungen des Problems ergibt sich:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1.2\right).\]

Setzen wir $dV$ und Wellenfunktionen (1.2) in die Normalisierungsbedingung ein:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ Rechts).)\]

Führen wir die Integration auf der linken Seite durch:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\left(1.4\right).)\]

Aus Formel (1.4) drücken wir den erforderlichen Koeffizienten aus:

Antwort:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Beispiel 2

Übung: Was ist der wahrscheinlichste Abstand ($r_B$) eines Elektrons vom Kern, wenn die Wellenfunktion, die den Grundzustand des Elektrons in einem Wasserstoffatom beschreibt, wie folgt definiert werden kann: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, wobei $ r$ der Abstand vom Elektron zum Kern ist, $a$ der erste Bohr-Radius?

Lösung:

Wir verwenden eine Formel, die die Wahrscheinlichkeit der Anwesenheit eines Mikropartikels in einem Volumen $dV$ zum Zeitpunkt $t$ bestimmt:

wobei $dV=4\pi r^2dr.\ $Daher gilt:

In diesem Fall schreiben wir $p=\frac(dP)(dr)$ als:

Um den wahrscheinlichsten Abstand zu bestimmen, ist die Ableitung $\frac(dp)(dr)$ gleich Null:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Da uns die Lösung $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ nicht zusagt, geht es so:

· Quantenbeobachtbar · Wellenfunktion· Quantenüberlagerung · Quantenverschränkung · Gemischter Zustand · Messung · Unsicherheit · Pauli-Prinzip · Dualismus · Dekohärenz · Satz von Ehrenfest · Tunneleffekt

Experimente
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Formulierungen
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Gleichungen
Schrödinger-Gleichung · Pauli-Gleichung · Klein-Gordon-Gleichung · Dirac-Gleichung · Schwinger-Tomonaga-Gleichung · Von-Neumann-Gleichung · Bloch-Gleichung · Lindblad-Gleichung · Heisenberg-Gleichung

Interpretationen
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Entwicklung der Theorie
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Berühmte Wissenschaftler
Planck · Einstein · Schrödinger · Heisenberg · Jordan · Bohr · Pauli · Dirac · Fock · Born · de Broglie · Landau · Feynman · Bohm · Everett

Siehe auch: Portal:Physik

Wellenfunktion, oder Psi-Funktion $\backslash psi$ ist eine komplexwertige Funktion, die in der Quantenmechanik zur Beschreibung des reinen Zustands eines Systems verwendet wird. Ist der Ausdehnungskoeffizient des Zustandsvektors über eine Basis (normalerweise eine Koordinatenbasis):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

Wo $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$ ist der Koordinatenbasisvektor und $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$- Wellenfunktion in Koordinatendarstellung.

Normalisierung der Wellenfunktion

Wellenfunktion $\backslash Psi$ in seiner Bedeutung muss die sogenannte Normalisierungsbedingung erfüllen, beispielsweise in der Koordinatendarstellung der Form:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Diese Bedingung drückt die Tatsache aus, dass die Wahrscheinlichkeit, irgendwo im Raum ein Teilchen mit einer bestimmten Wellenfunktion zu finden, gleich eins ist. Im allgemeinen Fall muss die Integration über alle Variablen durchgeführt werden, von denen die Wellenfunktion in einer gegebenen Darstellung abhängt.

Prinzip der Überlagerung von Quantenzuständen

Für Wellenfunktionen gilt das Superpositionsprinzip, das heißt, dass ein System in durch Wellenfunktionen beschriebenen Zuständen vorliegen kann $\backslash Psi\_1$ Und $\backslash Psi\_2$, dann kann es sich auch in einem Zustand befinden, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$ für jeden Komplex $c\_1$ Und $c\_2$.

Offensichtlich können wir von der Überlagerung (Überlagerung) beliebig vieler Quantenzustände sprechen, also von der Existenz eines Quantenzustands des Systems, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

In diesem Zustand ist das Quadrat des Moduls des Koeffizienten $(c)\_n$ bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei der Messung in einem Zustand erkannt wird, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird $(\backslash Psi)\_n$.

Daher für normalisierte Wellenfunktionen $\backslash sum\_(n=1)^(N)\backslash left|c\_(n)\backslash right|^2=1$.

Bedingungen für die Regelmäßigkeit der Wellenfunktion

Die probabilistische Bedeutung der Wellenfunktion erlegt den Wellenfunktionen in quantenmechanischen Problemen bestimmte Einschränkungen oder Bedingungen auf. Diese Standardbedingungen werden oft genannt Bedingungen für die Regelmäßigkeit der Wellenfunktion.

1. Bedingung für die Endlichkeit der Wellenfunktion. Die Wellenfunktion kann keine unendlichen Werte annehmen, so dass das Integral $(1)$ wird divergent werden. Folglich erfordert diese Bedingung, dass die Wellenfunktion eine quadratisch integrierbare Funktion ist, also zum Hilbert-Raum gehört $L^2$. Insbesondere bei Problemen mit einer normalisierten Wellenfunktion muss das Quadratmodul der Wellenfunktion im Unendlichen gegen Null tendieren.
2. Bedingung für die Eindeutigkeit der Wellenfunktion. Die Wellenfunktion muss eine eindeutige Funktion von Koordinaten und Zeit sein, da die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Entdeckung eines Teilchens in jedem Problem eindeutig bestimmt werden muss. Bei Problemen mit einem zylindrischen oder Kugelsystem Koordinaten führt die Eindeutigkeitsbedingung zur Periodizität von Wellenfunktionen in Winkelvariablen.
3. Bedingung für die Kontinuität der Wellenfunktion. Zu jedem Zeitpunkt muss die Wellenfunktion sein kontinuierliche Funktion Raumkoordinaten. Darüber hinaus müssen auch die partiellen Ableitungen der Wellenfunktion stetig sein $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; x)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; y)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; z)$. Diese partiellen Ableitungen von Funktionen stellen nur in seltenen Fällen Probleme mit idealisierten dar Kraftfelder kann an den Punkten im Raum eine Diskontinuität erleiden, an denen die potentielle Energie, die das Kraftfeld beschreibt, in dem sich das Teilchen bewegt, eine Diskontinuität zweiter Art erfährt.

Wellenfunktion in verschiedenen Darstellungen

Der Satz von Koordinaten, die als Funktionsargumente dienen, stellt ein vollständiges System kommutierender Observablen dar. In der Quantenmechanik ist es möglich, mehrere vollständige Sätze von Observablen auszuwählen, sodass die Wellenfunktion desselben Zustands mit unterschiedlichen Argumenten geschrieben werden kann. Der vollständige Satz von Größen, die zur Aufzeichnung der Wellenfunktion ausgewählt wurden, bestimmt Wellenfunktionsdarstellung. So sind eine Koordinatendarstellung, eine Impulsdarstellung möglich; in der Quantenfeldtheorie werden Sekundärquantisierung und die Darstellung von Besetzungszahlen oder die Fock-Darstellung usw. verwendet.

Wird die Wellenfunktion beispielsweise eines Elektrons in einem Atom in Koordinatendarstellung angegeben, so stellt das Modulquadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte dar, ein Elektron an einem bestimmten Punkt im Raum zu entdecken. Wenn dieselbe Wellenfunktion in der Impulsdarstellung angegeben wird, dann stellt das Quadrat ihres Moduls die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Erkennung eines bestimmten Impulses dar.

Matrix- und Vektorformulierungen

Die Wellenfunktion desselben Zustands in verschiedenen Darstellungen entspricht dem Ausdruck desselben Vektors in verschiedene Systeme Koordinaten Auch andere Operationen mit Wellenfunktionen haben Analogien in der Sprache der Vektoren. In der Wellenmechanik wird eine Darstellung verwendet, bei der die Argumente der Psi-Funktion das vollständige System darstellen kontinuierlich kommutierende Observablen, und die Matrixdarstellung verwendet eine Darstellung, bei der die Argumente der Psi-Funktion das vollständige System darstellen diskret pendelnde Observablen. Daher sind die Funktions- (Wellen-) und Matrixformulierungen offensichtlich mathematisch äquivalent.

Philosophische Bedeutung der Wellenfunktion

Die Wellenfunktion ist eine Methode zur Beschreibung des reinen Zustands eines quantenmechanischen Systems. Gemischte Quantenzustände (in der Quantenstatistik) sollten durch einen Operator wie eine Dichtematrix beschrieben werden. Das heißt, eine verallgemeinerte Funktion zweier Argumente muss die Korrelation zwischen der Position eines Teilchens an zwei Punkten beschreiben.

Es sollte verstanden werden, dass das Problem, das die Quantenmechanik löst, im Kern ein Problem ist. wissenschaftliche Methode Wissen über die Welt.

siehe auch

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Literatur

• Physikalisches Enzyklopädisches Wörterbuch / Kap. Hrsg. A. M. Prochorow. Ed. zählen D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov und andere - M.: Sov. Enzyklopädie, 1984. - 944 S.

Links

• Quantenmechanik- Artikel aus der Großen Sowjetischen Enzyklopädie.

Dieser Brief war dem Souverän noch nicht vorgelegt worden, als Barclay Bolkonsky beim Abendessen mitteilte, dass der Souverän Prinz Andrei gerne persönlich sehen würde, um ihn über die Türkei zu befragen, und dass Prinz Andrei um sechs Uhr in Bennigsens Wohnung erscheinen würde Abend. Am selben Tag gingen in der Wohnung des Herrschers Nachrichten über Napoleons neue Bewegung ein, die für die Armee gefährlich sein könnte – Nachrichten, die sich später als unfair herausstellten. Und am selben Morgen bewies Oberst Michaud, als er mit dem Souverän die Dries-Befestigungsanlagen besichtigte, dem Souverän, dass dieses von Pfuel erbaute und bis dahin als Meister der Taktik geltende befestigte Lager dazu bestimmt war, Napoleon zu vernichten – dass dieses Lager russischer Unsinn und Zerstörung war Armee. Prinz Andrei kam in der Wohnung von General Bennigsen an, der ein kleines Gutsbesitzerhaus direkt am Flussufer bewohnte. Weder Bennigsen noch der Souverän waren da, aber Tschernyschew, der Adjutant des Souveräns, empfing Bolkonski und teilte ihm mit, dass der Souverän an diesem Tag ein weiteres Mal mit General Bennigsen und dem Marquis Paulucci gegangen sei, um die Befestigungen des Drissa-Lagers zu besichtigen. An deren Zweckmäßigkeit begannen ernsthafte Zweifel zu bestehen. Chernyshev saß mit einem Buch eines französischen Romans am Fenster des ersten Zimmers. Dieser Raum war wahrscheinlich früher eine Halle; darin befand sich noch eine Orgel, auf der einige Teppiche gestapelt waren, und in einer Ecke stand das Klappbett des Adjutanten Bennigsen. Dieser Adjutant war hier. Er, offenbar erschöpft von einem Fest oder Geschäft, saß auf einem zusammengerollten Bett und döste. Vom Flur führten zwei Türen: eine direkt in das ehemalige Wohnzimmer, die andere rechts ins Büro. Von der ersten Tür aus hörte man Stimmen, die auf Deutsch und gelegentlich auf Französisch sprachen. Dort, im ehemaligen Wohnzimmer, versammelte sich auf Wunsch des Herrschers kein Militärrat (der Herrscher liebte die Unsicherheit), sondern einige Leute, deren Meinung zu den bevorstehenden Schwierigkeiten er wissen wollte. Dabei handelte es sich nicht um einen Militärrat, sondern sozusagen um einen Rat der Gewählten, um bestimmte Fragen persönlich für den Landesherrn zu klären. Zu diesem Halbrat waren eingeladen: der schwedische General Armfeld, Generaladjutant Wolzogen, Wintzingerode, den Napoleon einen flüchtigen französischen Untertanen nannte, Michaud, Tol, überhaupt kein Militär – Graf Stein und schließlich Pfuel selbst, der, wie Prinz Andrei hörte, dass die ganze Sache la cheville ouvriere [die Grundlage] sei. Prinz Andrei hatte die Gelegenheit, ihn genau anzusehen, da Pfuhl kurz nach ihm eintraf und ins Wohnzimmer ging, wo er einen Moment innehielt, um mit Tschernyschew zu sprechen. Auf den ersten Blick kam Fürst Andrei Pfuel in seiner schlecht geschnittenen russischen Generalsuniform, die unbeholfen auf ihm saß, wie angezogen, bekannt vor, obwohl er ihn noch nie gesehen hatte. Zu ihr gehörten Weyrother, Mack, Schmidt und viele andere deutsche theoretische Generäle, die Prinz Andrei 1805 treffen konnte; aber er war typischer als alle anderen. Prinz Andrei hatte noch nie einen solchen deutschen Theoretiker gesehen, der alles in sich vereinte, was in diesen Deutschen steckte. Pfuel war klein, sehr dünn, aber breitknochig, von grober, gesunder Statur, mit breitem Becken und knochigen Schulterblättern. Sein Gesicht war sehr faltig und hatte tiefliegende Augen. Sein Haar vorne, in der Nähe seiner Schläfen, war offensichtlich hastig mit einer Bürste geglättet und hinten naiv mit Quasten abgesteckt. Er betrat den Raum, als er sich unruhig und wütend umsah, als fürchtete er sich vor allem in dem großen Raum, den er betrat. Er hielt sein Schwert mit einer unbeholfenen Bewegung in der Hand, wandte sich an Tschernyschew und fragte auf Deutsch, wo der Herrscher sei. Er wollte offenbar so schnell wie möglich durch die Räume gehen, die Verbeugung und Begrüßung beenden und sich zum Arbeiten vor die Karte setzen, wo er sich zu Hause fühlte. Er nickte hastig bei Chernyshevs Worten und lächelte ironisch, während er seinen Worten zuhörte, dass der Herrscher die Befestigungen inspizierte, die er, Pfuel selbst, nach seiner Theorie errichtet hatte. Bassig und kühl, wie selbstbewusste Deutsche sagen, grummelte er etwas vor sich hin: Dummkopf... oder: zu Grunde die ganze Geschichte... oder: s"wird was gescheites d"raus werden... [Unsinn... Zum Teufel mit der ganzen Sache... (Deutsch) ] Prinz Andrei hörte nichts und wollte gehen, aber Tschernyschew stellte Prinz Andrei Pful vor und bemerkte, dass Prinz Andrei aus der Türkei stamme, wo der Krieg so glücklich zu Ende ging. Beinahe blickte Pful nicht so sehr zu Fürst Andrei als vielmehr durch ihn hindurch und sagte lachend: „Da muss ein schöner taktischer Krieg gewesen sein.“ [„Es muss ein richtig taktischer Krieg gewesen sein.“ (Deutsch)] - Und mit verächtlichem Lachen betrat er den Raum, aus dem Stimmen zu hören waren. Offenbar war Pfuel, stets zu ironischen Irritationen bereit, nun besonders begeistert von der Tatsache, dass man es wagte, sein Lager ohne ihn zu besichtigen und über ihn zu urteilen. Prinz Andrei hat aus diesem einen kurzen Treffen mit Pfuel dank seiner Erinnerungen an Austerlitz eine klare Beschreibung dieses Mannes zusammengestellt. Pfuel war einer dieser hoffnungslos, ausnahmslos bis zum Märtyrertum selbstbewussten Menschen, die nur Deutsche sein können, und zwar gerade weil nur Deutsche auf der Grundlage einer abstrakten Idee – der Wissenschaft, also eines imaginären Wissens – selbstbewusst sind der vollkommenen Wahrheit. Der Franzose ist selbstbewusst, weil er sich sowohl geistig als auch körperlich für unwiderstehlich charmant hält, sowohl für Männer als auch für Frauen. Ein Engländer ist selbstbewusst, weil er Bürger des komfortabelsten Staates der Welt ist, und deshalb weiß er als Engländer immer, was er tun muss, und weiß, dass alles, was er als Engländer tut, zweifellos ist Gut. Der Italiener ist selbstbewusst, weil er aufgeregt ist und sich selbst und andere leicht vergisst. Der Russe ist gerade deshalb selbstbewusst, weil er nichts weiß und nicht wissen will, weil er nicht glaubt, dass es möglich ist, etwas vollständig zu wissen. Der Deutsche ist der selbstbewussteste von allen, der festeste von allen und der abscheulichste von allen, weil er sich einbildet, die Wahrheit zu kennen, eine Wissenschaft, die er selbst erfunden hat, die aber für ihn die absolute Wahrheit ist. Das war offensichtlich Pfuel. Er hatte eine Wissenschaft – die Theorie der körperlichen Bewegung, die er aus der Geschichte der Kriege Friedrichs des Großen und allem, was ihm darin begegnete, ableitete Die morderne Geschichte Kriege Friedrichs des Großen und alles, was ihm in der Neuzeit begegnete Militärgeschichte, schien ihm Unsinn, Barbarei, ein hässlicher Zusammenstoß, bei dem auf beiden Seiten so viele Fehler gemacht wurden, dass man diese Kriege nicht Kriege nennen konnte: Sie passten nicht in die Theorie und konnten nicht als Gegenstand der Wissenschaft dienen. Pfuel gehörte 1806 zu den Verfassern des Kriegsplans, der mit Jena und Auerstätt endete; aber im Ausgang dieses Krieges sah er nicht den geringsten Beweis für die Unrichtigkeit seiner Theorie. Im Gegenteil, die Abweichungen von seiner Theorie waren nach seinen Vorstellungen der einzige Grund für das gesamte Scheitern, und er sagte mit seiner charakteristischen freudigen Ironie: „Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird.“ ” [Schließlich habe ich gesagt, dass das Ganze zur Hölle gehen würde] Pfuel war einer dieser Theoretiker, die ihre Theorie so sehr lieben, dass sie den Zweck der Theorie vergessen – ihre Anwendung in der Praxis; In seiner Liebe zur Theorie hasste er jede Praxis und wollte sie nicht kennen. Er freute sich sogar über das Scheitern, denn das Scheitern, das aus einer Abweichung der Praxis von der Theorie resultierte, bewies für ihn nur die Gültigkeit seiner Theorie. Mit Fürst Andrei und Tschernyschew sprach er ein paar Worte über den wahren Krieg mit der Miene eines Mannes, der im Voraus weiß, dass alles schlecht sein wird und er damit nicht einmal unzufrieden ist. Besonders beredt bestätigten dies die ungepflegten Haarbüschel, die ihm am Hinterkopf abstanden, und die hastig geglätteten Schläfen. Er ging in ein anderes Zimmer und von dort aus waren sofort die bassigen und grummelnden Töne seiner Stimme zu hören. Bevor Prinz Andrei Zeit hatte, Pfuel mit seinen Augen zu folgen, betrat Graf Bennigsen eilig den Raum und nickte Bolkonsky zu, ohne anzuhalten, ging ins Büro und gab seinem Adjutanten einige Befehle. Der Kaiser folgte ihm, und Bennigsen beeilte sich, etwas vorzubereiten und Zeit zu haben, den Kaiser zu treffen. Chernyshev und Prinz Andrei gingen auf die Veranda. Mit müder Miene stieg der Kaiser vom Pferd. Marquis Paulucci sagte etwas zum Herrscher. Der Kaiser neigte den Kopf nach links und hörte Paulucci mit unzufriedenem Blick zu, der mit besonderer Inbrunst sprach. Der Kaiser trat vor und wollte offenbar das Gespräch beenden, aber der errötete, aufgeregte Italiener, der den Anstand vergaß, folgte ihm und sagte weiterhin: „Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Was den betrifft, der das Drissa-Lager beraten hat“, sagte Paulucci, während der Herrscher, als er die Treppe betrat und Prinz Andrei bemerkte, in ein unbekanntes Gesicht blickte.

3. ELEMENTE DER QUANTENMECHANIK

3.1.Wellenfunktion

Jedes Mikropartikel ist eine besondere Formation, die die Eigenschaften von Partikeln und Wellen vereint. Der Unterschied zwischen einem Mikropartikel und einer Welle besteht darin, dass es als unteilbares Ganzes erkannt wird. Beispielsweise hat noch niemand ein Halbelektron beobachtet. Gleichzeitig kann die Welle in Teile geteilt und dann jeder Teil separat wahrgenommen werden.

Der Unterschied zwischen einem Mikroteilchen in der Quantenmechanik und einem gewöhnlichen Mikroteilchen besteht darin, dass es nicht gleichzeitig bestimmte Koordinaten- und Impulswerte aufweist, sodass das Konzept einer Flugbahn für ein Mikroteilchen seine Bedeutung verliert.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem bestimmten Raumbereich zu finden, wird durch die Wellenfunktion beschrieben (X, j, z , T) (PSI-Funktion). Wahrscheinlichkeit dP dass sich das Teilchen in einem Volumenelement befindet dV, proportional
und Volumenelement dV:

dP=
dV.

Es ist nicht die Funktion selbst, die physikalische Bedeutung hat
und das Quadrat seines Moduls ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Es bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen an einem bestimmten Punkt im Raum befindet.

Wellenfunktion
ist das Hauptmerkmal des Zustands von Mikroobjekten (Mikropartikeln). Mit seiner Hilfe lassen sich in der Quantenmechanik Durchschnittswerte berechnen physikalische Quantitäten, die ein gegebenes Objekt charakterisieren, das sich in einem Zustand befindet, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird
.

3.2. Unschärferelation

In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines Teilchens durch Koordinaten, Impuls, Energie usw. angegeben. Dies sind dynamische Variablen. Ein Mikropartikel kann nicht durch solche dynamischen Variablen beschrieben werden. Die Besonderheit von Mikropartikeln besteht darin, dass nicht alle Variablen bei Messungen bestimmte Werte erreichen. Beispielsweise kann ein Teilchen nicht beides haben genaue Werte Koordinaten X und Impulskomponenten R X. Unsicherheit der Werte X Und R X erfüllt die Beziehung:

(3.1)

– desto kleiner ist die Unsicherheit der Koordinate Δ X, desto größer ist die Unsicherheit des Impulses Δ R X, umgekehrt.

Die Beziehung (3.1) wird Heisenberg-Unschärferelation genannt und wurde 1927 ermittelt.

Δ-Werte X und Δ R X heißen kanonisch konjugiert. Die gleichen kanonisch Konjugierten sind Δ bei und Δ R bei, usw.

Das Heisenberg-Unschärfeprinzip besagt, dass das Produkt der Unsicherheiten zweier konjugierter Variablen größenordnungsmäßig nicht kleiner als die Plancksche Konstante sein kann. ħ.

Energie und Zeit sind daher auch kanonisch konjugiert
. Dies bedeutet, dass die Energiebestimmung mit einer Genauigkeit von Δ erfolgt E sollte Zeitintervall dauern:

Δ T ~ ħ/ Δ E.

Bestimmen wir den Koordinatenwert X frei fliegendes Mikropartikel, das auf seinem Weg eine Lücke mit der Breite Δ hinterlässt X, senkrecht zur Richtung der Teilchenbewegung gelegen. Bevor das Teilchen den Spalt passiert, ist seine Impulskomponente vorhanden R X hat die genaue Bedeutung R X= 0 (die Lücke verläuft senkrecht zum Impulsvektor), daher ist die Unsicherheit des Impulses Null, Δ R X= 0, aber die Koordinate X Teilchen ist völlig ungewiss (Abb. 3.1).

IN In dem Moment, in dem das Teilchen den Spalt passiert, ändert sich die Position. Statt völliger Koordinatenunsicherheit X Unsicherheit erscheint Δ X, und die Impulsunsicherheit Δ erscheint R X .

Tatsächlich besteht aufgrund der Beugung eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen innerhalb eines Winkels von 2 bewegt φ , Wo φ – der Winkel, der dem ersten Beugungsminimum entspricht (wir vernachlässigen die Maxima höherer Ordnungen, da ihre Intensität im Vergleich zur Intensität des zentralen Maximums klein ist).

Somit entsteht Unsicherheit:

Δ R X =R Sünde φ ,

Aber Sünde φ = λ / Δ X– das ist die Bedingung des ersten Minimums. Dann

Δ R X ~ðλ/Δ X,

Δ XΔ R X ~ðλ= 2πħ ≥ħ/ 2.

Die Unsicherheitsbeziehung gibt an, inwieweit die Konzepte der klassischen Mechanik auf Mikropartikel anwendbar sind, insbesondere mit welcher Genauigkeit wir über die Flugbahn von Mikropartikeln sprechen können.

Die Bewegung entlang einer Flugbahn wird durch bestimmte Werte der Geschwindigkeit des Teilchens und seiner Koordinaten zu jedem Zeitpunkt gekennzeichnet. Stattdessen wird in die Unschärferelation eingesetzt R X Ausdruck für Schwung
, wir haben:

–

Je größer die Masse des Teilchens, je geringer die Unsicherheit seiner Koordinaten und seiner Geschwindigkeit, desto genauer sind die Konzepte der Flugbahn auf es anwendbar.

Beispielsweise sind für ein Mikropartikel mit einer Größe von 1·10 -6 m die Unsicherheiten Δх und Δ gehen über die Genauigkeit der Messung dieser Größen hinaus, und die Bewegung des Teilchens ist untrennbar mit der Bewegung entlang der Flugbahn verbunden.

Die Unschärferelation ist ein grundlegender Satz der Quantenmechanik. Es hilft beispielsweise zu erklären, dass ein Elektron nicht auf den Kern eines Atoms fällt. Fällt ein Elektron auf einen Punktkern, würden dessen Koordinaten und Impuls bestimmte (Null-)Werte annehmen, was mit der Unschärferelation unvereinbar ist. Dieses Prinzip erfordert, dass die Unsicherheit der Elektronenkoordinate Δ ist R und Impulsunsicherheit Δ R erfüllt die Beziehung

Δ RΔ P ≥ ħ/ 2,

und Bedeutung R= 0 ist unmöglich.

Die Energie eines Elektrons in einem Atom ist minimal R= 0 und R= 0, also setzen wir Δ, um die niedrigstmögliche Energie abzuschätzen R ≈ R, Δ P ≈ P. Dann Δ RΔ P ≥ ħ/ 2, und für den kleinsten Unsicherheitswert gilt:

Uns interessiert nur die Größenordnung, die in dieser Beziehung enthalten ist, daher kann der Faktor verworfen werden. In diesem Fall haben wir
, von hier ð = ħ/R. Elektronenenergie in einem Wasserstoffatom

(3.2)

Wir werden finden R, bei welcher Energie E minimal. Lassen Sie uns (3.2) differenzieren und die Ableitung mit Null gleichsetzen:

,

Wir haben die numerischen Faktoren in diesem Ausdruck verworfen. Von hier
- Radius des Atoms (Radius der ersten Bohr-Umlaufbahn). Für Energie, die wir haben

Man könnte meinen, dass man mit Hilfe eines Mikroskops die Position eines Teilchens bestimmen und damit die Unschärferelation außer Kraft setzen könnte. Mit einem Mikroskop lässt sich die Position eines Teilchens jedoch bestenfalls mit einer Genauigkeit bis zur Wellenlänge des verwendeten Lichts bestimmen, d. h. Δ x ≈ λ, aber weil Δ R= 0, dann Δ RΔ X= 0 und das Unschärfeprinzip ist nicht erfüllt?! Ist es so?

Wir nutzen Licht, und Licht besteht der Quantentheorie zufolge aus Photonen mit Impuls p =k/λ . Um ein Teilchen zu erkennen, muss mindestens eines der Photonen des Lichtstrahls von ihm gestreut oder absorbiert werden. Folglich wird der Impuls zumindest bis zur Reichweite auf das Teilchen übertragen H/λ . Also zum Zeitpunkt der Beobachtung eines Teilchens mit Koordinatenunsicherheit Δ x ≈ λ die Impulsunsicherheit muss Δ sein p ≥H/λ .

Wenn wir diese Unsicherheiten multiplizieren, erhalten wir:

–

Das Unschärfeprinzip ist erfüllt.

Der Vorgang der Interaktion des Geräts mit dem Untersuchungsobjekt wird als Messung bezeichnet. Dieser Prozess findet räumlich und zeitlich statt. Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen der Interaktion eines Geräts mit Makro- und Mikroobjekten. Die Interaktion eines Geräts mit einem Makroobjekt ist die Interaktion zweier Makroobjekte, die durch die Gesetze der klassischen Physik ziemlich genau beschrieben wird. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Gerät keinen oder nur einen geringen Einfluss auf das Messobjekt hat. Wenn das Gerät mit Mikroobjekten interagiert, ergibt sich eine andere Situation. Der Prozess der Fixierung einer bestimmten Position eines Mikropartikels führt zu einer Änderung seines Impulses, die nicht auf Null gesetzt werden kann:

Δ R X ≥ ħ/ Δ X.

Daher kann der Einfluss des Geräts auf das Mikropartikel nicht als gering und unbedeutend angesehen werden; das Gerät verändert den Zustand des Mikroobjekts – als Ergebnis der Messung stellen sich bestimmte klassische Eigenschaften des Partikels (Impuls usw.) als spezifiziert heraus nur innerhalb des durch die Unschärferelation begrenzten Rahmens.

3.3. Schrödinger-Gleichung

1926 erhielt Schrödinger seine berühmte Gleichung. Dies ist die Grundgleichung der Quantenmechanik, die Grundannahme, auf der die gesamte Quantenmechanik basiert. Alle Konsequenzen, die sich aus dieser Gleichung ergeben, stimmen mit der Erfahrung überein – das ist ihre Bestätigung.

Die probabilistische (statistische) Interpretation der De-Broglie-Wellen und die Unschärferelation legen nahe, dass die Bewegungsgleichung in der Quantenmechanik so beschaffen sein muss, dass sie es uns ermöglicht, die experimentell beobachteten Welleneigenschaften von Teilchen zu erklären. Die Position eines Teilchens im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt wird in der Quantenmechanik durch die Angabe der Wellenfunktion bestimmt
(X, j, z, T), oder vielmehr das Quadrat des Moduls dieser Größe.
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem Punkt zu finden X, j, z zu einem bestimmten Zeitpunkt T. Die Grundgleichung der Quantenmechanik muss eine Funktionsgleichung sein
(X, j, z, T). Darüber hinaus muss diese Gleichung eine Wellengleichung sein; Experimente zur Beugung von Mikropartikeln, die ihre Wellennatur bestätigen, müssen ihre Erklärung daraus ableiten.

Die Schrödinger-Gleichung hat die folgende Form:

. (3.3)

Wo M– Teilchenmasse, ich– imaginäre Einheit,
– Laplace-Operator,
,U– Operator für potentielle Teilchenenergie.

Die Form der Ψ-Funktion wird durch die Funktion bestimmt U, d.h. die Art der Kräfte, die auf das Teilchen wirken. Wenn das Kraftfeld stationär ist, hat die Lösung der Gleichung die Form:

, (3.4)

Wo E ist die Gesamtenergie des Teilchens, sie bleibt in jedem Zustand konstant, E=const.

Gleichung (3.4) wird Schrödinger-Gleichung für stationäre Zustände genannt. Es kann auch in der Form geschrieben werden:

.

Diese Gleichung ist auf nichtrelativistische Systeme anwendbar, vorausgesetzt, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Laufe der Zeit nicht ändert, d. h. wann funktioniert ψ sehen aus wie stehende Wellen.

Die Schrödinger-Gleichung kann wie folgt erhalten werden.

Betrachten wir den eindimensionalen Fall – ein sich frei entlang der Achse bewegendes Teilchen X. Es entspricht einer Plane-de-Broglie-Welle:

,

Aber
, Deshalb
. Lassen Sie uns diesen Ausdruck differenzieren nach T:

.

Lassen Sie uns nun die zweite Ableitung der Psi-Funktion nach der Koordinate ermitteln

,

In der nichtrelativistischen klassischen Mechanik hängen Energie und Impuls durch die Beziehung zusammen:
Wo E – kinetische Energie. Das Teilchen bewegt sich frei, seine potentielle Energie U= 0 und voll E=E k. Deshalb

,

ist die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen.

Wenn sich ein Teilchen in einem Kraftfeld bewegt, dann E– alle Energie (sowohl kinetische als auch potentielle), daher:

,

dann bekommen wir
, oder
,

und schlussendlich

Dies ist die Schrödinger-Gleichung.

Die obige Argumentation ist keine Ableitung der Schrödinger-Gleichung, sondern ein Beispiel dafür, wie diese Gleichung aufgestellt werden kann. Die Schrödinger-Gleichung selbst wird postuliert.

Im Ausdruck

die linke Seite bezeichnet den Hamilton-Operator – Der Hamiltonoperator ist die Summe der Operatoren
Und U. Der Hamiltonianer ist ein Energieoperator. Wir werden später ausführlich auf Operatoren physikalischer Größen eingehen. (Der Operator drückt eine Aktion unter der Funktion aus ψ , das unter dem Operatorzeichen steht). Unter Berücksichtigung des oben Gesagten haben wir:

.

Es hat keine physikalische Bedeutung ψ -Funktion und das Quadrat ihres Moduls, das die Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt, ein Teilchen an einem bestimmten Ort im Raum zu finden. Die Quantenmechanik hat statistische Bedeutung. Damit ist es nicht möglich, die Position eines Teilchens im Raum oder die Flugbahn, entlang der sich das Teilchen bewegt, zu bestimmen. Die Psi-Funktion gibt lediglich die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Teilchen an einem bestimmten Punkt im Raum nachgewiesen werden kann. In diesem Zusammenhang muss die Psi-Funktion die folgenden Bedingungen erfüllen:

Es muss eindeutig, kontinuierlich und endlich sein, weil bestimmt den Zustand des Teilchens;

Es muss eine stetige und endliche Ableitung haben;

Funktion I ψ I 2 muss integrierbar sein, d.h. Integral

muss endlich sein, da es die Wahrscheinlichkeit bestimmt, ein Teilchen zu entdecken.

Integral

,

Dies ist die Normalisierungsbedingung. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen an einem beliebigen Punkt im Raum befindet, gleich eins ist.