Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom in der klassischen Mechanik. Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom

Schrödingers Gleichung für wasserstoffähnliche Atome. Verteilung der Elektronen auf Schalen und Unterschalen in einem Atom

Bohrs halbherzige, halbklassische Theorie war ein wichtiger Schritt in der Entwicklung von Quantenkonzepten, deren Einführung in die Physik eine radikale Umstrukturierung der Mechanik und Elektrodynamik erforderte. Eine solche Umstrukturierung erfolgte in den 20er – 30er Jahren des 20. Jahrhunderts.

Bohrs Atommodell ermöglichte es uns, uns eine erste (wenn auch eher grobe) Vorstellung von der Struktur des Atoms zu machen. Sie erklärte, warum Atome Licht bei diskreten Wellenlängen emittieren und absorbieren und löste das Problem der Atomstabilität. Die im Rahmen des Bohr-Modells berechneten Wellenlängen des Linienspektrums und die Ionisierungsenergien des Wasserstoffatoms und der Einzelelektronenionen stimmten hervorragend mit dem Experiment überein. Aber Bohrs Theorie hatte auch erhebliche Einschränkungen. Es war unmöglich, auf dieser Grundlage eine Vorhersage zu treffen Linienspektren komplexere Atome - sogar ein neutrales Heliumatom mit nur zwei Elektronen. Bohrs Theorie konnte nicht erklären, warum sich herausstellte, dass die Emissionslinien bei genauerer Untersuchung aus zwei oder mehr bestanden mehr sehr enge Linien (die sogenannten Feine Struktur). Boranes Theorie konnte auch erklären, warum manche Spektrallinien heller sind als andere. Auch interatomare Bindungen in Molekülen wurden nicht erklärt, Feststoffe und Flüssigkeiten. Bohrs Vorstellung von bestimmten Bahnen, entlang derer sich Elektronen in einem Atom bewegen, erwies sich als sehr bedingt. Tatsächlich hat die Bewegung eines Elektrons in einem Atom kaum Ähnlichkeit mit der Bewegung von Planeten oder Satelliten. Die einzige physikalische Bedeutung ist die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einem bestimmten Ort zu finden, beschrieben durch das Quadrat des Moduls Wellenfunktion |Ψ| 2. Die Wellenfunktion Ψ ist die Lösung Die Grundgleichung der Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung.

Allgemeine Gleichung Schrödinger:

Hier ich- imaginäre Einheit; M- Partikelmasse; R- Radiusvektor, der seine Position definiert; ∆ - Laplace-Operator, der in einem Rechteck vorliegt Kartesisches System Koordinaten werden in das Formular geschrieben

Für jeden stationären Zustand kann die Wellenfunktion geschrieben werden als

wobei die Funktion nur von den Koordinaten des Teilchens abhängt; w- reeller Parameter (Frequenz der Wellenfunktion).

Stationäre Schrödinger-Gleichung

Die in dieser Gleichung enthaltene Wellenfunktion beschreibt den Zustand des Mikropartikels in stationären Zuständen.

Um die Wellengleichung zu lösen, müssen Sie ihre Variablen trennen. Ersetzen Sie dazu die kartesischen Koordinaten x, y, z bis sphärisch r, θ, φ. Dann lässt sich die Wellenfunktion als Produkt dreier Funktionen darstellen, die jeweils nur eine Variable enthalten:

ψ(x,y,z) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)

Funktion R(r) heißt die radiale Komponente der Wellenfunktion und Θ(θ) Φ(φ) - seine Winkelkomponenten.

In einem sphärischen Koordinatensystem wird die Schrödinger-Gleichung in die Form transformiert:

, (1)

Wo Θ Und φ - Polar- bzw. Azimutwinkel.

Während der Entscheidung Wellengleichung Es werden ganze Zahlen eingegeben - die sogenannten Quantenzahlen (Die Hauptsache N, Orbital und magnetischml ). Funktion R(r) hängt von der N Und , Funktion Θ(θ) - von und ml , Funktion Φ(φ) - aus ml .

Das geometrische Bild der Ein-Elektronen-Wellenfunktion ist Atomorbital. Es handelt sich um einen Raumbereich um den Kern eines Atoms, in dem die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron zu entdecken, hoch ist (normalerweise wird ein Wahrscheinlichkeitswert von 90–95 % gewählt). . Dieses Wort kommt aus dem Lateinischen „ Orbit„(Weg, Spur), hat aber eine andere Bedeutung, die nicht mit dem von N. Bohr für das Planetenmodell des Atoms vorgeschlagenen Konzept der Flugbahn (Weg) eines Elektrons um ein Atom übereinstimmt. Atomorbitalkonturen sind eine grafische Darstellung der Wellenfunktion, die durch Lösen der Wellengleichung für ein einzelnes Elektron erhalten wird.

Quantenzahlen

Quantenzahlen, die bei der Lösung der Wellengleichung entstehen, dienen zur Beschreibung der Zustände eines quantenchemischen Systems. Jedes Atomorbital ist durch einen Satz von drei Quantenzahlen gekennzeichnet: die Hauptquantenzahlen N, Orbital und magnetisch ml .

Hauptquantenzahl N bestimmt die Quantisierung der Atomenergie (siehe f.2)

Es kann jeden positiven ganzzahligen Wert annehmen. Je größer der n-Wert, desto höher ist die Energie und größere Größe Orbitale. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ergibt den folgenden Ausdruck für die Elektronenenergie:

E = −2π 2 m e 4 / n 2 h 2 = −1312,1 / n 2 (kJ/mol) (2)

Somit entspricht jeder Wert der Hauptquantenzahl einem bestimmten Wert der Elektronenenergie. Energieniveaus mit bestimmten Werten von n werden manchmal mit den Buchstaben K, L, M, N... bezeichnet (für n = 1, 2, 3, 4...).

Für E< 0 уравнение имеет конечные и непрерывные решения только для diskrete Werte Energie.

Reis. 1 Energiediagramm eines wasserstoffähnlichen Atoms

Zur Quantisierung des Drehimpulses wird das sogenannte Orbitalquantenzahl l .

Orbitale Quantenzahl bestimmt den Bahndrehimpuls eines Elektrons Le, d.h. es bestimmt die zulässigen diskreten Werte des Drehimpulses des Elektrons.

Orbitale Quantenzahl charakterisiert die Energieunterebene. Atomorbitale mit unterschiedlichen Orbitalquantenzahlen unterscheiden sich in Energie und Form. Für jedes n ganzzahlige Werte aus 0 bis (n−1). Werte = 0, 1, 2, 3... entsprechen Energieunterebenen s, p, d, f.

Projektion des Drehimpulses auf eine beliebige im Raum gewählte Richtung (z. B. die Richtung des Vektors). Magnetfeld) nimmt ebenfalls eine diskrete Reihe von Werten an. Um die Projektion des Drehimpulses zu quantisieren, führen wir ein magnetische Quantenzahl ml

Magnetische Quantenzahl m ℓ – bestimmt die Ausrichtung des Bahndrehimpulses relativ zur gewählten Richtung z, d.h. es bestimmt die zulässigen diskreten Werte der Projektion des Drehimpulses auf die z-Achse.

wobei m ℓ = -ℓ, -(ℓ-1), …0, 1, 2 …, ℓ

Gesamtwert 2ℓ+1.

Quantenzahlen N, , ml an bestimmte gebunden Quantisierungsregeln. Beispielsweise kann die Orbitalquantenzahl ganzzahlige Werte annehmen von 0 bis (n – 1). Magnetische Quantenzahl ml kann jeden ganzzahligen Wert im Intervall annehmen ± . Also für jeden Wert der Hauptquantenzahl N , das den Energiezustand des Atoms bestimmt, entspricht einer Reihe von Kombinationen von Quantenzahlen und ml . Jede dieser Kombinationen entspricht einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung |Ψ| 2 Nachweis eines Elektrons an verschiedenen Punkten im Raum („Elektronenwolke“).

Zustände, in denen die Orbitalquantenzahl = 0 , werden durch sphärisch symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Sie heißen S-Staaten (1s, 2s, ..., n s, ...). Mit Werten > 0 die sphärische Symmetrie der Elektronenwolke wird gebrochen.

Staaten mit = 1 werden genannt p-Zustände ,

Mit = 2 – D-Staaten usw.

In Abb. 1 zeigt die Wahrρ (r) = 4πr 2 |Ψ| 2 Nachweis eines Elektrons in einem Wasserstoffatom in verschiedenen Abständen vom Kern in Zuständen 1er und 2er.

Abbildung 1. Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Nachweis eines Elektrons in einem Wasserstoffatom im 1s- und 2s-Zustand. r 1 = 5,29·10 –11 m – Radius der ersten Bohr-Umlaufbahn

Wie aus Abb. ersichtlich ist. 1, Elektron im Zustand 1s(Grundzustand des Wasserstoffatoms) kann in verschiedenen Entfernungen vom Kern nachgewiesen werden. Es ist am wahrscheinlichsten, dass es in einer Entfernung erkannt wird, die dem Radius entspricht r 1 der ersten Bohr-Umlaufbahn. Die Wahrscheinlichkeit, in dem Zustand ein Elektron zu finden 2s maximal in der Ferne r = 4r 1 aus dem Kern. In beiden Fällen lässt sich das Wasserstoffatom als kugelsymmetrische Elektronenwolke mit einem Kern im Zentrum darstellen.

Der Raumbereich, in dem sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Elektron befindet, wird Unterschale oder Orbital genannt. Die wichtigsten Arten von Orbitalen sind in Abb. 2 dargestellt.

Ein Elektron, das ein bestimmtes Orbital besetzt, wird durch drei Quantenzahlen charakterisiert, die dieses Orbital beschreiben. Und vierte Quantenzahl (Spin) m s, welches den Elektronenspin charakterisiert – eine der Eigenschaften (neben Masse und Ladung) dieses Elementarteilchens.

DREHEN

Im Jahr 1925 stellten Goudellit und Uhlenbeck die Hypothese auf, dass es eine weitere Quantenzahl s gibt, die den Unterschied zwischen zwei Zuständen bestimmen sollte identische Werte n und l können mit der Rotation des Elektrons um seine Achse in Verbindung gebracht werden. Wenn sich ein Elektron um seine Achse dreht, muss es tatsächlich einen mechanischen Drehimpuls haben S und (da ja elektrische Ladung) magnetisches Moment Uhr. Das Der Eigendrehimpuls P s wird als Elektronenspin bezeichnet.

So wie der Bahnimpuls darunter lokalisiert werden kann 2l+1 verschiedene Winkel zur Koordinatenachse haben, die als vorherrschende Richtung gewählt wurde, und seine Projektionen auf diese Richtung können nur Vielfache sein ћ, Der Elektronenspin muss in einem Winkel von 2s+1 zu dieser Koordinatenachse (z. B. OZ) liegen.

Seine Größe , und die Projektionen auf diese Achse sind Vielfache von ћ,

also .

Es ist logisch, die Richtung des durch die Umlaufbewegung des Elektrons erzeugten Magnetfelds als vorherrschende Richtung der Koordinatenachsen bei der Bestimmung der Spinorientierung zu verwenden, da das Vorhandensein dieses Felds (auch ohne externes Magnetfeld) der Fall sein sollte Feld) führen zur Aufspaltung der durch diese Werte charakterisierten Quantenzahlen n, l Ebenen nach 2s+1 Unterebenen.

Um die Aufspaltung jedes Niveaus in 2 Unterniveaus zu erklären, sollte man natürlich die Gleichung 2m S +1 = 2 schreiben, also annehmen, dass die Spinquantenzahl einen halbzahligen Wert m S = ½ hat Es stellt sich heraus, dass der Wert gleich ist, und seine Projektion, die mit der vorherrschenden Richtung der Koordinatenachse übereinstimmt, nimmt den Wert an 1/2 Und – 1/2 .

Somit nimmt die Spinquantenzahl die Orientierung des Eigendrehimpulses (Spin) des Elektrons relativ zur gewählten Richtung H an: Der Vektor kann relativ zu H nur so ausgerichtet werden, dass seine Projektion auf H gleich ist:

m S =1/2 m S = – 1/2

Der Spin ist das intrinsische magnetische Moment des Impulses eines Elementarteilchens. Obwohl das Wort im Englischen „Spin“ bedeutet, ist Spin nicht mit irgendeiner Bewegung des Teilchens verbunden, sondern hat Quantennatur. Der Elektronenspin wird durch die Spinquantenzahl charakterisiert MS , was gleich sein kann +1/2 und −1/2.

Der bemerkenswerteste Erfolg in der Geschichte der Quantenmechanik war die Erklärung aller Details der Spektren der einfachsten Atome sowie der in der Tabelle enthaltenen Periodizitäten chemische Elemente. In diesem Kapitel unseres Kurses zur Quantenmechanik werden wir endlich zu dieser großen Errungenschaft kommen und über die Erklärung des Spektrums von Wasserstoffatomen sprechen. Darüber hinaus werden wir hier über eine qualitative Erklärung der mysteriösen Eigenschaften chemischer Elemente sprechen. Dazu werden wir das Verhalten des Elektrons im Wasserstoffatom im Detail untersuchen: Zunächst berechnen wir seine Verteilung im Raum und folgen dabei den Ideen, die in Kap. entwickelt wurden. 14.

Für Gesamte Beschreibung Das Wasserstoffatom sollte die Bewegungen beider Teilchen – sowohl des Protons als auch des Elektrons – berücksichtigen. IN Quantenmechanik Bei dieser Aufgabe folgen sie der klassischen Idee, die Bewegung jedes Teilchens in Bezug auf seinen Schwerpunkt zu beschreiben. Dies werden wir jedoch nicht tun. Wir verwenden einfach eine Näherung, bei der das Proton als sehr schwer angesehen wird, so schwer, dass es sozusagen im Zentrum des Atoms fixiert ist.

Wir machen eine andere Näherung: Wir vergessen, dass das Elektron einen Spin hat und dass er durch die Gesetze der relativistischen Mechanik beschrieben werden sollte. Dies erfordert geringfügige Korrekturen unserer Berechnungen, da wir die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung verwenden und magnetische Effekte vernachlässigen. Kleine magnetische Effekte entstehen dadurch, dass das Proton aus der Sicht des Elektrons eine im Kreis zirkulierende Ladung ist, die ein Magnetfeld erzeugt. In diesem Feld ist die Energie des Elektrons unterschiedlich, je nachdem, ob sein Spin im Feld nach oben oder unten gerichtet ist. Die Energie des Atoms sollte sich relativ zu dem von uns berechneten Wert leicht verschieben. Aber wir werden diese schwache Energieverschiebung vernachlässigen, das heißt, wir stellen uns vor, dass das Elektron genau wie ein Kreisel ist, der sich im Raum kreisförmig bewegt und die ganze Zeit die gleiche Spinrichtung beibehält. Da es sich um ein freies Atom im Raum handelt, bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten. In unserer Näherung gehen wir davon aus, dass der durch den Spin des Elektrons verursachte Drehimpuls unverändert bleibt, so dass sich auch der verbleibende Drehimpuls des Atoms (der üblicherweise als „Bahndrehimpuls“ bezeichnet wird) nicht ändert. In sehr guter Näherung können wir davon ausgehen, dass sich das Elektron im Wasserstoffatom als Teilchen ohne Spin bewegt – sein Bahndrehimpuls ist konstant.

In diesen Näherungen kann die Amplitude, mit der ein Elektron an einem bestimmten Ort im Raum erfasst wird, als Funktion der Position des Elektrons in Raum und Zeit dargestellt werden. Bezeichnen wir die Amplitude, mit der ein Elektron an einem Punkt erfasst wird x, y,z In dem Moment T durch ψ (x, y,z, T). Gemäß der Quantenmechanik wird die zeitliche Änderungsrate dieser Amplitude durch den Hamilton-Operator angegeben, der auf dieselbe Funktion wirkt. Von Kap. 14 Das wissen wir

Hier T ist die Masse des Elektrons und V (r) – potentielle Energie eines Elektrons im elektrostatischen Feld eines Protons. Zählen in großer Entfernung vom Proton V = 0, Sie können schreiben

Wellenfunktion ψ muss dann die Gleichung erfüllen

Wir wollen Zustände mit einer bestimmten Energie finden, also versuchen wir, nach Lösungen zu suchen, die die Form haben würden

Dann die Funktion ψ (r) muss eine Lösung der Gleichung sein

wobei E einige ist konstante Zahl(Atomenergie).

Da die potentielle Energie nur vom Radius abhängt, lässt sich diese Gleichung besser in Polarkoordinaten lösen.

Laplace in kartesische Koordinaten wurde so definiert.

Betrachten wir nun die quantenmechanische Theorie der Atome. Es behält einige Aspekte von Bohrs alter Theorie bei. Beispielsweise können Elektronen in einem Atom nur in diskreten Zuständen mit einer bestimmten Energie existieren; Wenn ein Elektron von einem Zustand in einen anderen übergeht, wird ein Photon emittiert oder absorbiert. Laut Quantenmechanik ist Es gibt keine definierten Kreisbahnen der Elektronen , wie in Bohrs Theorie. Aufgrund der Wellennatur Das Elektron wird im Raum „verschmiert“. , wie eine „Wolke“ negativer Ladung .

Wenden wir die Schrödinger-Gleichung auf das Elektron im Wasserstoffatom an.

Die Lösung des Problems der Elektronenenergieniveaus für Wasserstoff sowie wasserstoffähnliche Systeme reduziert sich auf das Problem der Elektronenbewegung im Coulomb-Feld des Kerns. Potenzielle Energie der Wechselwirkung eines Elektrons mit einem geladenen Kern Ze(für ein Wasserstoffatom Z= 1), wird durch Ausdruck (21.20) bestimmt

und hängt nur davon ab R– der Abstand zwischen einem Elektron und einem Proton, also ein Problem bei dieser Form potenzielle Energie wird normalerweise in einem sphärischen Koordinatensystem gelöst. Im Allgemeinen ist die Wellenfunktion eine Funktion aller Koordinaten und die Schrödinger-Gleichung hat die Form:

Ein Elektron in einem Atom befindet sich in einem Potentialtopf, dessen Kanten die Form einer Hyperbel haben (Abb. 21.5).

Offensichtlich sollte die Lösung dieses Problems der Lösung des Problems ähneln, als sich das Teilchen in einem unendlich tiefen eindimensionalen Potentialtopf mit rechteckigen Kanten befand.

Da das elektrische Feld zentralsymmetrisch ist, verwenden wir zur Lösung dieser Gleichung Kugelsystem mit Koordinaten ( R, θ, φ),

Abb.21.5.

die damit zusammenhängen Kartesischen Koordinaten, wie aus Abb. 21.6, Beziehungen: X= R sin θ cos φ; j= R sin θ sin φ; z= R cosθ.

Reis. 21.6

Wenn wir den Ausdruck für den Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten in (21.23) einsetzen, erhalten wir die Schrödinger-Gleichung in das folgende Formular:

Strenge Lösung der Gleichung (21.22) gemäß der Theorie Differentialgleichung liefert folgende Ergebnisse. Ein Elektron in einem Atom hat keinen beliebigen Energiewert, sondern eine Menge bestimmter negativer diskreter Werte E N :

, (21.23)

Wo N– Hauptquantenzahl , wobei die Werte 1,2,3.…,∞ angenommen werden. Aus (21.23) folgt, dass es die Hauptquantenzahl ist, die die Energie des Elektrons im Atom bestimmt: E n~ . Ausdruck für Energiewerte En(21.23) stimmt vollständig mit den Ergebnissen der Bohrschen Theorie (19.15) überein. Für ein Wasserstoffatom der Wert N= 1 entspricht dem Grundzustand des Elektrons, dem Wert N= ∞ – freies Elektron ( E∞= 0). Negative Energiewerte entsprechen dem gebundenen Zustand des Elektrons, wenn es sich in einem Potentialtopf befindet und große Energie hat negative Werte potentielle Energie (21.20). Ein Elektron hat im freien Zustand positive Energiewerte, wenn es die Grenzen eines Atoms verlässt, und sein Energiespektrum wird kontinuierlich, d. h. Region E> 0 entspricht einem ionisierten Atom.

Es stellt sich heraus, dass der gleiche Wert der Elektronenenergie mehreren unterschiedlichen Zuständen mit unterschiedlichen Wellenfunktionen entspricht, die unterschiedlichen Arten der Elektronenbewegung entsprechen. Diese Bewegungsarten variieren unterschiedliche Bedeutungen Bahndrehimpuls und seine Projektion auf eine physikalisch ausgewählte Richtung Z, die mit der Richtung des externen Magnetfeldstärkevektors zusammenfällt.

In der Quantenmechanik ist bewiesen, dass die Schrödinger-Gleichung durch die Eigenfunktionen Ψ erfüllt ist n l m s, definiert durch eine Menge von vier Quantenzahlen: hauptsächlich N, Orbital l , magnetisch M Und drehen M S.

Impuls eines Teilchens relativ zum Ursprung UM(das Zentrum der Elektronenbahn in Abb. 21.7) wird in der klassischen Mechanik durch das Vektorprodukt bestimmt, wobei die Vektoren und der Radiusvektor des Teilchens bzw. sein Impuls sind.

Die Größe des magnetischen Moments des Stroms, der von einem sich auf der Umlaufbahn bewegenden Elektron erzeugt wird, ist gleich . (21.26)

Hier T– Umlaufdauer des Elektrons auf der Umlaufbahn, V– seine Geschwindigkeit, ICH− Orbitalstrom, S− Orbitalbereich.

Magnetisches Moment aufgrund der Bewegung eines Elektrons auf der Umlaufbahn,

weshalb es aufgerufen wird magnetisches Orbitalmoment Elektron.

Ein Elektron hat Masse M e hat daher bei der Bewegung im Orbit einen Drehimpuls, dessen Modul . (6.25)

Der Vektor heißt mechanisches Orbitalmoment Elektron. Es bildet ein rechtsdrehendes System mit der Richtung der Elektronenbewegung. Folglich sind die Richtungen der Vektoren und entgegengesetzt (Abb. 21.7).

Das Verhältnis des magnetischen Moments eines Elementarteilchens zu seinem mechanisches Drehmoment angerufen gyromagnetisches Verhältnis der Umlaufbahn . Für ein Elektron ist es gleich . (21.26)

Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren bleibt auch in Bohrs Theorie erhalten. Da die Richtungen der Vektoren und entgegengesetzt sind, . (21.27)

In der Quantenmechanik wird der Drehimpulsmodul eines sich bewegenden Mikroteilchens durch den Ausdruck bestimmt:

(21.28)

Hier - Orbitalquantenzahl . Die Menge ist diskret (Quantum).

In der Quantenmechanik ist streng bewiesen (dies folgt aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung), dass die Projektion ( L Z) Vektor in Richtung des externen magnetischen Feldstärkevektors, der mit der Achse ausgerichtet ist Z, kann nur ganzzahlige Werte annehmen, die ein Vielfaches einer Konstante sind: Lz= mħ. (21.29)

Die Projektion eines Vektors kann nicht größer sein als der Modul dieses Vektors, d.h. . Daher gilt gemäß den Ausdrücken (21.28) und (21.29):

, (21.30)

Daher ist der Maximalwert dann . Für eine gegebene Zahl T nimmt Werte an: , die ein Spektrum von Projektionen auf eine beliebige ausgewählte Achse bilden, d. h. Vektor kann (2 l+ 1) Orientierungen im Raum (Abb. 21.8).

Somit bestimmt die Quantenzahl sowohl die Größe des Drehimpulses als auch alle möglichen Werte seiner Projektion auf die Achse. In Abb. Abbildung 6.8 zeigt mögliche Orientierungen des Vektors und seine Projektion auf die ausgewählte Richtung des Magnetfelds. Wenn beispielsweise die Orbitalquantenzahl (mittlere Abbildung 6.8), dann ; 0; .

Der bemerkenswerteste Erfolg in der Geschichte der Quantenmechanik war die Erklärung aller Details der Spektren der einfachsten Atome sowie der Periodizitäten in der Tabelle der chemischen Elemente. In diesem Kapitel unseres Kurses zur Quantenmechanik werden wir endlich zu dieser großen Errungenschaft kommen und über die Erklärung des Spektrums von Wasserstoffatomen sprechen. Darüber hinaus werden wir hier über eine qualitative Erklärung der mysteriösen Eigenschaften chemischer Elemente sprechen. Dazu werden wir das Verhalten des Elektrons im Wasserstoffatom im Detail untersuchen: Zunächst berechnen wir seine Verteilung im Raum und folgen dabei den Ideen, die in Kap. entwickelt wurden. 14.

Um das Wasserstoffatom vollständig zu beschreiben, müssten die Bewegungen beider Teilchen – sowohl des Protons als auch des Elektrons – berücksichtigt werden. In der Quantenmechanik folgt dieses Problem der klassischen Idee, die Bewegung jedes Teilchens relativ zu seinem Schwerpunkt zu beschreiben. Dies werden wir jedoch nicht tun. Wir verwenden einfach eine Näherung, bei der das Proton als sehr schwer angesehen wird, so schwer, dass es sozusagen im Zentrum des Atoms fixiert ist.

In diesen Näherungen kann die Amplitude, mit der ein Elektron an einem bestimmten Ort im Raum erfasst wird, als Funktion der Position des Elektrons in Raum und Zeit dargestellt werden. Bezeichnen wir die Amplitude, mit der ein Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem Punkt erfasst wird, mit . Gemäß der Quantenmechanik wird die zeitliche Änderungsrate dieser Amplitude durch den Hamilton-Operator angegeben, der auf dieselbe Funktion wirkt. Von Kap. 14 Das wissen wir

. (17.2)

Hier ist die Masse des Elektrons und die potentielle Energie des Elektrons im elektrostatischen Feld des Protons angegeben. Wenn wir in großer Entfernung vom Proton zählen, können wir schreiben

Die Wellenfunktion muss dann die Gleichung erfüllen

. (17.3)

Wir wollen Zustände mit einer bestimmten Energie finden, also versuchen wir, nach Lösungen zu suchen, die die Form haben würden

. (17.4)

Dann muss die Funktion eine Lösung der Gleichung sein

, (17.5)

wo ist eine konstante Zahl (Atomenergie).

Da die potentielle Energie nur vom Radius abhängt, lässt sich diese Gleichung besser in Polarkoordinaten lösen. Der Laplace-Operator in rechtwinkligen Koordinaten wurde wie folgt definiert:

Stattdessen wollen wir die in Abb. gezeigten Koordinaten , , verwenden. 17.1. Sie beziehen sich auf , , Punktformeln.

4.4.1. De Broglies Vermutung

Ein wichtiger Schritt in der Entstehung der Quantenmechanik war die Entdeckung der Welleneigenschaften von Mikroteilchen. Die Idee der Welleneigenschaften wurde ursprünglich vom französischen Physiker Louis de Broglie als Hypothese vorgeschlagen.

Viele Jahre lang war die vorherrschende Theorie in der Physik, dass Licht existiert Elektromagnetische Welle. Nach den Arbeiten von Planck (Wärmestrahlung), Einstein (photoelektrischer Effekt) und anderen wurde jedoch klar, dass Licht korpuskulare Eigenschaften hat.

Um einige physikalische Phänomene zu erklären, ist es notwendig, Licht als einen Strom von Photonenteilchen zu betrachten. Die korpuskularen Eigenschaften des Lichts stoßen es nicht ab, sondern ergänzen es Welleneigenschaften.

Also, Photon ist ein Elementarteilchen des Lichts mit Welleneigenschaften.

Formel für Photonenimpuls

(4.4.3)

Nach de Broglie ähnelt die Bewegung eines Teilchens, beispielsweise eines Elektrons, einem Wellenprozess mit einer durch Formel (4.4.3) definierten Wellenlänge λ. Diese Wellen werden aufgerufen de Broglie winkt. Folglich können Teilchen (Elektronen, Neutronen, Protonen, Ionen, Atome, Moleküle) Beugungseigenschaften aufweisen.

K. Davisson und L. Germer beobachteten als erste die Elektronenbeugung an einem Nickel-Einkristall.

Es kann sich die Frage stellen: Was passiert mit einzelnen Teilchen, wie entstehen Maxima und Minima bei der Beugung einzelner Teilchen?

Experimente zur Beugung von Elektronenstrahlen sehr geringer Intensität, also wie bei einzelnen Teilchen, zeigten, dass sich das Elektron in diesem Fall nicht in verschiedene Richtungen „ausbreitet“, sondern sich wie ein ganzes Teilchen verhält. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit einer Elektronenablenkung in bestimmte Richtungen aufgrund der Wechselwirkung mit einem Beugungsobjekt unterschiedlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen an Stellen fallen, an denen Beugungsmaxima liegen, ist am wahrscheinlichsten; die Wahrscheinlichkeit, dass sie an Stellen mit Beugungsminima fallen, ist geringer. Welleneigenschaften sind also nicht nur einem Kollektiv von Elektronen inhärent, sondern auch jedem Elektron einzeln.

4.4.2. Wellenfunktion und ihre physikalische Bedeutung

Da einem Mikroteilchen ein Wellenprozess zugeordnet ist, der seiner Bewegung entspricht, wird der Zustand von Teilchen in der Quantenmechanik durch eine Wellenfunktion beschrieben, die von Koordinaten und Zeit abhängt: .

Wenn das auf das Teilchen wirkende Kraftfeld stationär, also unabhängig von der Zeit, ist, dann lässt sich die ψ-Funktion als Produkt zweier Faktoren darstellen, von denen einer von der Zeit und der andere von Koordinaten abhängt:

das impliziert physikalische Bedeutung Wellenfunktion:

4.4.3. Unsicherheitsbeziehung

Eine der wichtigen Bestimmungen der Quantenmechanik sind die von W. Heisenberg vorgeschlagenen Unschärferelationen.

Lassen Sie die Position und den Impuls des Teilchens gleichzeitig messen, während die Ungenauigkeiten bei der Bestimmung der Abszisse und der Projektion des Impulses auf die Abszissenachse gleich Δx bzw. Δр x sind.

IN klassische Physik Es gibt keine Einschränkungen, die die gleichzeitige Messung der einen und der anderen Größe, also Δx→0 und Δр x→ 0, mit beliebiger Genauigkeit verbieten.

In der Quantenmechanik ist die Situation grundsätzlich anders: Δx und Δð x, entsprechend der gleichzeitigen Bestimmung von x und ð x, hängen durch die Abhängigkeit zusammen

Die Formeln (4.4.8), (4.4.9) werden aufgerufen Unsicherheitsrelationen.

Lassen Sie uns sie anhand eines Modellversuchs erklären.

Bei der Untersuchung des Phänomens der Beugung wurde darauf hingewiesen, dass eine Verringerung der Spaltbreite während der Beugung zu einer Vergrößerung der Breite des zentralen Maximums führt. Ein ähnliches Phänomen tritt bei der Elektronenbeugung an einem Spalt in einem Modellversuch auf. Eine Verringerung der Spaltbreite bedeutet eine Verringerung von Δ x (Abb. 4.4.1), was zu einer stärkeren „Verschmierung“ des Elektronenstrahls führt, also zu einer größeren Unsicherheit im Impuls und der Geschwindigkeit der Teilchen.

Reis. 4.4.1 Erläuterung der Unsicherheitsrelation.

Die Unsicherheitsbeziehung kann dargestellt werden als:

(4.4.10)

wobei ΔE die Unsicherheit der Energie eines bestimmten Zustands des Systems ist; Δt ist der Zeitraum, in dem es existiert. Beziehung (4.4.10) bedeutet, dass sein Energiewert umso unsicherer ist, je kürzer die Lebensdauer eines Zustands des Systems ist. Energieniveaus E 1, E 2 usw. haben eine bestimmte Breite (Abb. 4.4.2)), abhängig von der Zeit, die das System in dem diesem Niveau entsprechenden Zustand verbleibt.

Reis. 4.4.2. Energieniveaus E 1, E 2 usw. etwas Breite haben.

Das „Verwischen“ der Niveaus führt zu Unsicherheiten hinsichtlich der Energie ΔE des emittierten Photons und seiner Frequenz Δν, wenn das System von einem Energieniveau in ein anderes übergeht:

wobei m die Masse des Teilchens ist; ; E und E n sind seine Gesamt- und potentiellen Energien (potenzielle Energie wird bestimmt). Kraftfeld, in dem sich das Teilchen befindet, und für den stationären Fall nicht von der Zeit abhängt)

Bewegt sich das Teilchen nur entlang einer bestimmten Linie, beispielsweise entlang der OX-Achse (eindimensionaler Fall), dann wird die Schrödinger-Gleichung deutlich vereinfacht und nimmt die Form an

(4.4.13)

Einer der meisten einfache Beispiele Mit der Schrödinger-Gleichung soll das Problem der Teilchenbewegung in einem eindimensionalen Potentialtopf gelöst werden.

4.4.5. Anwendung der Schrödinger-Gleichung auf das Wasserstoffatom. Quantenzahlen

Die Zustände von Atomen und Molekülen mithilfe der Schrödinger-Gleichung zu beschreiben, ist eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es lässt sich am einfachsten für ein Elektron lösen, das sich im Feld des Kerns befindet. Solche Systeme entsprechen einem Wasserstoffatom und wasserstoffähnlichen Ionen (einfach ionisiertes Heliumatom, zweifach ionisiertes Lithiumatom usw.). Allerdings ist auch in diesem Fall die Lösung des Problems komplex, sodass wir uns auf eine lediglich qualitative Darstellung des Problems beschränken.

Zunächst sollte die potentielle Energie in die Schrödinger-Gleichung (4.4.12) eingesetzt werden, die für zwei wechselwirkende Punktladungen – e (Elektron) und Ze (Kern) – im Abstand r im Vakuum wie folgt ausgedrückt wird:

Dieser Ausdruck ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung und stimmt vollständig mit der entsprechenden Formel der Bohrschen Theorie (4.2.30) überein.

Abbildung 4.4.3 zeigt die Niveaus möglicher Werte der Gesamtenergie eines Wasserstoffatoms (E 1, E 2, E 3 usw.) und einen Graphen der potentiellen Energie E n in Abhängigkeit vom Abstand r zwischen den Elektronen und der Kern. Mit zunehmender Hauptquantenzahl n nimmt r zu (siehe 4.2.26) und die Gesamtenergie (4.4.15) und die potentielle Energie tendieren gegen Null. Kinetische Energie tendiert auch gegen Null. Der schraffierte Bereich (E>0) entspricht dem Zustand eines freien Elektrons.

Reis. 4.4.3. Dargestellt sind die Stufen möglicher Werte der Gesamtenergie des Wasserstoffatoms
und ein Diagramm der potentiellen Energie über dem Abstand r zwischen dem Elektron und dem Kern.

Die zweite Quantenzahl ist Orbital l, die für ein gegebenes n die Werte 0, 1, 2, ..., n-1 annehmen kann. Diese Zahl charakterisiert den Bahndrehimpuls Li des Elektrons relativ zum Kern:

Die vierte Quantenzahl ist Spin m s. Es kann nur zwei Werte (±1/2) annehmen und charakterisiert die möglichen Werte der Elektronenspinprojektion:

.(4.4.18)

Der Zustand eines Elektrons in einem Atom mit gegebenem n und l wird wie folgt bezeichnet: 1s, 2s, 2p, 3s usw. Dabei gibt die Zahl den Wert der Hauptquantenzahl und der Buchstabe die Orbitalquantenzahl an: Die Symbole s, p, d, f entsprechen den Werten l = 0, 1, 2, 3 usw.