Definition Eine geordnete Sammlung von (x 1 , x 2 , ... , x n) n reellen Zahlen heißt n-dimensionaler Vektor, und Zahlen x i (i = ) - Komponenten, oder koordinaten,

Beispiel. Wenn zum Beispiel einige Automobilwerk Muss pro Schicht 50 Pkw, 100 Lkw, 10 Busse, 50 Ersatzteilsätze für Pkw und 150 Sätze für Lkw und Busse produzieren, dann kann das Produktionsprogramm dieser Anlage als Vektor geschrieben werden (50, 100, 10, 50, 150), das aus fünf Komponenten besteht.

Notation. Vektoren werden durch fette Kleinbuchstaben oder Buchstaben mit einem Balken oder Pfeil oben gekennzeichnet, z. B. A oder. Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich wenn sie haben selbe Nummer Komponente und ihre entsprechenden Komponenten sind gleich.

Vektorkomponenten können nicht vertauscht werden, zum Beispiel (3, 2, 5, 0, 1) und (2, 3, 5, 0, 1) verschiedene Vektoren.
Operationen auf Vektoren. Die Arbeit X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) durch eine reelle Zahlλ wird als Vektor bezeichnetλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MengeX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) und j= (y 1 , y 2 , ... ,y n) heißt Vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektorraum. N -dimensionaler Vektorraum R n ist definiert als die Menge aller n-dimensionalen Vektoren, für die die Operationen der Multiplikation mit reellen Zahlen und der Addition definiert sind.

Wirtschaftsillustration. Ökonomische Darstellung des n-dimensionalen Vektorraums: Warenraum (Waren). Unter Waren Wir werden einige Waren oder Dienstleistungen verstehen, die zum Verkauf angeboten werden bestimmte Zeit an einem bestimmten Ort. Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl n verfügbarer Güter; Die vom Verbraucher jeweils gekauften Mengen werden durch eine Warengruppe charakterisiert

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

wobei x i die Menge des vom Verbraucher gekauften i-ten Gutes bezeichnet. Wir gehen davon aus, dass alle Güter die Eigenschaft der willkürlichen Teilbarkeit haben, so dass jede beliebige nicht-negative Menge von jedem von ihnen gekauft werden kann. Dann sind alle möglichen Gütermengen Vektoren des Güterraums C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineare Unabhängigkeit. System e 1 , e 2 , ... , e Es werden m n-dimensionale Vektoren aufgerufen linear abhängig, wenn es solche Zahlen gibtλ 1 , λ 2 , ... , λ m , von denen mindestens einer ungleich Null ist, sodass die Gleichheit giltλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; sonst dieses System Vektoren heißt linear unabhängig, das heißt, die angegebene Gleichheit ist nur dann möglich, wenn alle . Geometrische Bedeutung lineare Abhängigkeit Vektoren in R 3, interpretiert als gerichtete Segmente, erläutern die folgenden Sätze.

Satz 1. Ein System, das aus einem Vektor besteht, ist genau dann linear abhängig, wenn dieser Vektor Null ist.

Satz 2. Damit zwei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie kollinear (parallel) sind.

Satz 3 . Damit drei Vektoren linear abhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass sie koplanar sind (in derselben Ebene liegen).

Linke und rechte Vektortripel. Tripel nichtkoplanarer Vektoren a, b, c angerufen Rechts, wenn der Beobachter von ihrem gemeinsamen Ursprung aus die Enden der Vektoren umgeht a, b, c in der angegebenen Reihenfolge scheint im Uhrzeigersinn zu erfolgen. Ansonsten a, b, c -noch drei übrig. Alle rechten (oder linken) Vektortripel werden aufgerufen das gleiche orientiert.

Basis und Koordinaten. Troika e 1, e 2 , e 3 nichtkoplanare Vektoren in R 3 heißt Basis und die Vektoren selbst e 1, e 2 , e 3 - Basic. Jeder Vektor A kann eindeutig in Basisvektoren erweitert, also in der Form dargestellt werden

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

die Zahlen x 1 , x 2 , x 3 in Erweiterung (1.1) heißen KoordinatenA in der Basis e 1, e 2 , e 3 und sind bezeichnet A(x 1, x 2, x 3).

Orthonormale Basis. Wenn die Vektoren e 1, e 2 , e 3 sind paarweise senkrecht und die Länge von jedem von ihnen ist gleich eins, dann heißt die Basis orthonormal, und die Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 - rechteckig. Die Basisvektoren einer Orthonormalbasis werden mit bezeichnet i, j, k.

Wir werden das im Weltraum annehmen R 3 Das richtige kartesische rechtwinklige Koordinatensystem ist ausgewählt (0, i, j, k}.

Vektorgrafiken. Vektorgrafiken A zum Vektor B wird als Vektor bezeichnet C, die durch die folgenden drei Bedingungen bestimmt wird:

1. Vektorlänge C numerisch gleich der Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms A Und B, d.h.
C= |a||b| Sünde( A^B).

2. Vektor C senkrecht zu jedem der Vektoren A Und B.

3. Vektoren A, B Und C, in der angegebenen Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel.

Für ein Kreuzprodukt C Die Bezeichnung wird eingeführt c =[ab] oder
c = a × B.

Wenn die Vektoren A Und B kollinear sind, dann sin( a^b) = 0 und [ ab] = 0, insbesondere [ aa] = 0. Vektorprodukte von Einheitsvektoren: [ ij]=k, [jk] = ich, [ki]=J.

Wenn die Vektoren A Und B in der Basis angegeben i, j, k Koordinaten A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1, b 2, b 3), dann

Gemischte Arbeit. Ist das Vektorprodukt zweier Vektoren A Und B skalar multipliziert mit dem dritten Vektor C, dann heißt ein solches Produkt aus drei Vektoren gemischte Arbeit und wird durch das Symbol angezeigt A v. Chr.

Wenn die Vektoren a, b Und C in der Basis i, j, k gegeben durch ihre Koordinaten
A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), dann

.

Das gemischte Produkt hat eine einfache geometrische Interpretation – es ist ein Skalar, dessen Absolutwert dem Volumen eines Parallelepipeds entspricht, das auf drei gegebenen Vektoren aufgebaut ist.

Wenn die Vektoren ein rechtes Tripel bilden, ist ihr gemischtes Produkt eine positive Zahl gleich dem angegebenen Volumen; wenn es eine Drei ist a, b, c - also links a b c<0 и V = - a b c, also V =|a b c|.

Es wird angenommen, dass die Koordinaten der in den Problemen des ersten Kapitels vorkommenden Vektoren relativ zu einer Rechtsorthonormalbasis angegeben sind. Einheitsvektor kodirektional zum Vektor A, wird durch das Symbol angezeigt AÖ. Symbol R=OM bezeichnet durch den Radiusvektor des Punktes M, Symbole a, AB oder|a|, | AB|Module von Vektoren werden bezeichnet A Und AB.

Beispiel 1.2. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren A= 2M+4N Und B= m-n, Wo M Und N- Einheitsvektoren und Winkel dazwischen M Und N gleich 120 o.

Lösung. Wir haben: cos φ = ab/ab ab =(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16mn+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, was a = bedeutet. b = ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2mn+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, was bedeutet, dass b = . Endlich haben wir: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Beispiel 1.3.Die Vektoren kennen AB(-3,-2,6) und B.C.(-2,4,4), berechnen Sie die Länge der Höhe AD des Dreiecks ABC.

Lösung. Wenn wir die Fläche des Dreiecks ABC mit S bezeichnen, erhalten wir:
S = 1/2 v. Chr. n. Chr. Dann AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, was Vektor bedeutet A.C. hat Koordinaten
. .

Beispiel 1.4 . Es werden zwei Vektoren angegeben A(11,10,2) und B(4,0,3). Finden Sie den Einheitsvektor C, orthogonal zu Vektoren A Und B und so gerichtet, dass das geordnete Vektortripel ist a, b, c hatte Recht.

Lösung.Bezeichnen wir die Koordinaten des Vektors C in Bezug auf eine gegebene rechte Orthonormalbasis in Bezug auf x, y, z.

Weil das C ⊥ a, c ⊥B, Das ca= 0,cb= 0. Gemäß den Bedingungen des Problems ist es erforderlich, dass c = 1 und a b c >0.

Wir haben ein Gleichungssystem für x,y,z finden: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Aus der ersten und zweiten Gleichung des Systems erhalten wir z = -4/3 x, y = -5/6 x. Wenn wir y und z in die dritte Gleichung einsetzen, erhalten wir: x 2 = 36/125, woraus
x =± . Verwendung der Bedingung a b c > 0, wir erhalten die Ungleichung

Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für z und y schreiben wir die resultierende Ungleichung in die Form um: 625/6 x > 0, was impliziert, dass x>0. Also, x = , y = - , z =- .

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in zu finden sind praktische Arbeit

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei oder sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In unterschiedlicher pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren; ich werde den Buchstaben verwenden.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Es werden Vektoren genommen streng in einer bestimmten Reihenfolge : – „a“ wird mit „be“ multipliziert, und nicht „be“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eines davon geometrische Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Kommen wir zur zweiten wichtigen Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei Teile gleiches Dreieck. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Zumindest wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand . Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen – Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Index und Mittelfinger ) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen Es wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut ist es, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe ergibt sich aus der Formel – der Sinus von Null oder 180 Grad gleich Null, und daher ist die Fläche Null

Also, wenn, dann . Streng genommen ist das Vektorprodukt selbst gleich dem Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und es wird geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie möglicherweise trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Da es bei der Frage um die Länge ging, geben wir in der Antwort die Dimension an – Einheiten.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht, nach dem wir gefragt wurden Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wörtlich erscheinen, aber es gibt viele Lehrer unter ihnen, die wörtlich arbeiten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Punkt muss bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern stets unter Kontrolle gehalten werden.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine DIY-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften normalerweise nicht hervorgehoben, ist aber sehr wichtig in der Praxis. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollten sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung bzw verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir verschieben die Konstante aus dem Modul heraus und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren. Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der netten Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem ist recht häufig Tests, hier ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und wir setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles von der Definition abhängen, geometrische Bedeutung und ein paar Arbeitsformeln.

Das gemischte Produkt von Vektoren ist Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit zu bezeichnen und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. In einfachen Worten, das Mischprodukt kann negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.

Definition. Das Vektorprodukt des Vektors a (Multiplikand) und eines nichtkollinearen Vektors (Multiplikand) ist der dritte Vektor c (Produkt), der wie folgt aufgebaut ist:

1) sein Modul ist numerisch gleich der Fläche Parallelogramm in Abb. 155), auf Vektoren aufgebaut, d.h. es ist gleich der Richtung senkrecht zur Ebene des erwähnten Parallelogramms;

3) In diesem Fall wird die Richtung des Vektors c (aus zwei möglichen) so gewählt, dass die Vektoren c ein rechtshändiges System bilden (§ 110).

Bezeichnung: oder

Ergänzung zur Definition. Wenn die Vektoren kollinear sind und man die Figur (bedingt) als Parallelogramm betrachtet, ist es selbstverständlich, der Fläche Null zuzuordnen. Daher wird das Vektorprodukt kollinearer Vektoren als gleich dem Nullvektor betrachtet.

Da dem Nullvektor jede Richtung zugeordnet werden kann, steht diese Vereinbarung nicht im Widerspruch zu den Absätzen 2 und 3 der Definition.

Anmerkung 1: Im Begriff „Kreuzprodukt“ weist das erste Wort darauf hin, dass das Ergebnis der Aktion ein Vektor ist (im Gegensatz zu Skalarprodukt; Heiraten § 104, Anmerkung 1).

Beispiel 1. Finden Sie das Vektorprodukt, bei dem sich die Hauptvektoren des rechten Koordinatensystems befinden (Abb. 156).

1. Da die Längen der Hauptvektoren einer Skaleneinheit entsprechen, ist die Fläche des Parallelogramms (Quadrats) numerisch gleich eins. Das bedeutet, dass der Modul des Vektorprodukts gleich eins ist.

2. Da die Senkrechte zur Ebene eine Achse ist, ist das gewünschte Vektorprodukt ein Vektor, der kollinear zum Vektor k ist; und da beide den Modulus 1 haben, ist das gewünschte Vektorprodukt entweder gleich k oder -k.

3. Von diesen beiden möglichen Vektoren muss der erste ausgewählt werden, da die Vektoren k ein rechtshändiges System bilden (und die Vektoren ein linkshändiges System).

Beispiel 2. Finden Sie das Kreuzprodukt

Lösung. Wie in Beispiel 1 schließen wir daraus, dass der Vektor entweder gleich k oder -k ist. Aber jetzt müssen wir -k wählen, da die Vektoren ein rechtshändiges System bilden (und Vektoren ein linkshändiges System). Also,

Beispiel 3. Vektoren haben eine Länge von 80 bzw. 50 cm und bilden einen Winkel von 30°. Nehmen Sie den Meter als Längeneinheit und ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts a

Lösung. Die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich. Die Länge des gewünschten Vektorprodukts ist gleich

Beispiel 4. Ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts derselben Vektoren, wobei Zentimeter als Längeneinheit verwendet werden.

Lösung. Da die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms gleich ist, beträgt die Länge des Vektorprodukts 2000 cm, d.h.

Aus einem Vergleich der Beispiele 3 und 4 wird deutlich, dass die Länge des Vektors nicht nur von den Längen der Faktoren abhängt, sondern auch von der Wahl der Längeneinheit.

Physikalische Bedeutung eines Vektorprodukts. Von den vielen physikalische Quantitäten, dargestellt durch das Vektorprodukt, betrachten wir nur das Kraftmoment.

Sei A der Kraftangriffspunkt. Das Kraftmoment relativ zum Punkt O wird als Vektorprodukt bezeichnet. Da der Modul dieses Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist (Abb. 157). Der Modul des Moments ist gleich dem Produkt aus Basis und Höhe, d. h. der Kraft multipliziert mit dem Abstand vom Punkt O zur Geraden, entlang derer die Kraft wirkt.

In der Mechanik ist das für das Gleichgewicht bewiesen solide Es ist notwendig, dass nicht nur die Summe der Vektoren, die die auf den Körper ausgeübten Kräfte darstellen, gleich Null ist, sondern auch die Summe der Kraftmomente. Wenn alle Kräfte parallel zu einer Ebene verlaufen, kann die Addition von Vektoren, die Momente darstellen, durch Addition und Subtraktion ihrer Beträge ersetzt werden. Bei willkürlichen Kraftrichtungen ist ein solcher Ersatz jedoch unmöglich. Demnach wird das Vektorprodukt genau als Vektor und nicht als Zahl definiert.

Einheitsvektor- Das Vektor, dessen Absolutwert (Modul) gleich Eins ist. Um einen Einheitsvektor zu bezeichnen, verwenden wir den Index e. Wenn also ein Vektor angegeben ist A, dann ist sein Einheitsvektor der Vektor A e. Dieser Einheitsvektor ist in die gleiche Richtung gerichtet wie der Vektor selbst A, und sein Modul ist gleich eins, also a e = 1.

Offensichtlich, A= a A e (a - Vektormodul A). Dies folgt aus der Regel, nach der die Operation der Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor durchgeführt wird.

Einheitsvektoren oft mit den Koordinatenachsen eines Koordinatensystems verbunden (insbesondere mit den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems). Die Anweisungen dazu Vektoren fallen mit den Richtungen der entsprechenden Achsen zusammen und ihre Ursprünge werden oft mit dem Ursprung des Koordinatensystems kombiniert.

Ich möchte Sie daran erinnern Kartesisches Koordinatensystem im Raum wird traditionell ein Trio von zueinander senkrechten Achsen genannt, die sich in einem Punkt schneiden, der als Koordinatenursprung bezeichnet wird. Koordinatenachsen werden normalerweise mit den Buchstaben X, Y, Z bezeichnet und als Abszissenachse, Ordinatenachse bzw. Anwendungsachse bezeichnet. Descartes selbst verwendete nur eine Achse, auf der Abszissen aufgetragen waren. Nutzungsvorteil SystemeÄxte gehören seinen Schülern. Deshalb der Satz Kartesisches System Koordinaten historisch falsch. Es ist besser zu reden rechteckig Koordinatensystem oder orthogonales Koordinatensystem. Wir werden jedoch die Traditionen nicht ändern und in Zukunft davon ausgehen, dass kartesische und rechtwinklige (orthogonale) Koordinatensysteme ein und dasselbe sind.

Einheitsvektor, entlang der X-Achse gerichtet, wird bezeichnet ich, Einheitsvektor, entlang der Y-Achse gerichtet, wird bezeichnet J, A Einheitsvektor, entlang der Z-Achse gerichtet, wird bezeichnet k. Vektoren ich, J, k werden genannt Orte(Abb. 12, links), sie bestehen also aus einzelnen Modulen
i = 1, j = 1, k = 1.

Äxte und Einheitsvektoren rechteckiges Koordinatensystem teilweise haben sie unterschiedliche Namen und Bezeichnungen. Somit kann die Abszissenachse X als Tangentenachse bezeichnet werden und ihr Einheitsvektor wird bezeichnet τ (griechischer Kleinbuchstabe Tau), die Ordinatenachse ist die Normalachse, ihr Ort wird bezeichnet N, die Applikatachse ist die binormale Achse, ihr Einheitsvektor wird bezeichnet B. Warum Namen ändern, wenn das Wesentliche gleich bleibt?

Tatsache ist, dass beispielsweise in der Mechanik bei der Untersuchung der Bewegung von Körpern sehr häufig das rechtwinklige Koordinatensystem verwendet wird. Wenn also das Koordinatensystem selbst stationär ist und die Änderung der Koordinaten eines sich bewegenden Objekts in diesem stationären System verfolgt wird, werden die Achsen normalerweise mit X, Y, Z usw. bezeichnet Einheitsvektoren jeweils ich, J, k.

Aber oft, wenn sich ein Objekt entlang einiger bewegt krummlinige Flugbahn(z. B. entlang eines Kreises) kann es bequemer sein, mechanische Prozesse in einem Koordinatensystem zu betrachten, das sich mit diesem Objekt bewegt. Für ein solches bewegtes Koordinatensystem werden andere Achsennamen und ihre Einheitsvektoren verwendet. Es ist einfach so. In diesem Fall ist die X-Achse tangential zur Flugbahn an dem Punkt gerichtet, an dem sie sich befindet dieser Moment Dieses Objekt befindet sich. Und dann heißt diese Achse nicht mehr X-Achse, sondern Tangentenachse, und ihr Einheitsvektor wird nicht mehr bezeichnet ich, A τ . Die Y-Achse ist entlang des Krümmungsradius der Flugbahn gerichtet (bei Bewegung im Kreis - zum Mittelpunkt des Kreises). Und da der Radius senkrecht zur Tangente steht, wird die Achse Normalenachse genannt (senkrecht und normal sind dasselbe). Der Einheitsvektor dieser Achse wird nicht mehr bezeichnet J, A N. Die dritte Achse (früher Z) verläuft senkrecht zu den beiden vorherigen. Dies ist ein Binormal mit einem Orth B(Abb. 12, rechts). Übrigens, in diesem Fall z rechteckiges System Koordinaten oft als „natürlich“ oder natürlich bezeichnet.