Absoluter Fehler. Absolute, relative Fehler

X = X durchschnittlich X

Absolut

Fehler

Relativ

Fehler

A+ B

a+ B

a+ B

Thema " „wird in der 9. Klasse fließend gelernt. Und die Fähigkeiten zur Berechnung sind bei den Studierenden in der Regel nicht vollständig ausgeprägt.

Aber mit praktischer Anwendung relativer Fehler der Zahl , sowie mit absoluten Fehlern, denen wir bei jedem Schritt begegnen.

Zur Zeit Reparatur gemessen (in Zentimetern) die Dicke M Teppichboden und Breite N Schwelle. Wir haben folgende Ergebnisse erhalten:

m≈0,8 (mit einer Genauigkeit von 0,1);

n≈100,0 (genau auf 0,1).

Beachten Sie, dass der absolute Fehler der einzelnen Messdaten nicht mehr als 0,1 beträgt.

Allerdings ist 0,1 ein fester Teil der Zahl 0,8. Wie fürNummer 100 stellt ein unbedeutendes h darIst. Dies zeigt, dass die Qualität der zweiten Dimension viel höher ist als die der ersten.

Zur Beurteilung der Qualität der Messung dient es relativer Fehler der ungefähren Zahl.

Definition.

Relativer Fehler der ungefähren Zahl (Werte) ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum absoluten Wert des Näherungswerts.

Sie einigten sich darauf, den relativen Fehler als Prozentsatz auszudrücken.

Beispiel 1.

Betrachten Sie den Bruch 14,7 und runden Sie ihn auf ganze Zahlen. Wir werden auch finden relativer Fehler der ungefähren Zahl:

14,7≈15.

Zur Berechnung des relativen Fehlers muss neben dem Näherungswert in der Regel auch der absolute Fehler bekannt sein. Absoluter Fehler ist nicht immer bekannt. Berechnen Sie deshalb unmöglich. Und in diesem Fall reicht es aus, eine Schätzung des relativen Fehlers anzugeben.

Erinnern wir uns an das Beispiel, das am Anfang des Artikels gegeben wurde. Dort waren die Dickenmaße angegeben. M Teppich und Breite N Schwelle.

Basierend auf den Ergebnissen der Messungen M≈0,8 mit einer Genauigkeit von 0,1. Wir können sagen, dass der absolute Messfehler nicht mehr als 0,1 beträgt. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Division des absoluten Fehlers durch den Näherungswert (und das ist der relative Fehler) kleiner oder gleich 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5 % ist.

Somit beträgt der relative Näherungsfehler ≤ 12,5 %.

Auf ähnliche Weise berechnen wir den relativen Fehler bei der Annäherung an die Breite der Fensterbank; sie beträgt nicht mehr als 0,1/100 = 0,001 = 0,1 %.

Sie sagen, dass die Messung im ersten Fall mit einer relativen Genauigkeit von bis zu 12,5 % und im zweiten Fall mit einer relativen Genauigkeit von bis zu 0,1 % durchgeführt wurde.

Zusammenfassen.

Absoluter Fehler ungefähre Zahl - das ist der Unterschiedzwischen der genauen Zahl X und sein ungefährer Wert A.

Wenn der Differenzmodul | X – A| weniger als manche D A, dann der Wert D A angerufen Absoluter Fehler ungefähre Zahl A.

Relativer Fehler der ungefähren Zahl ist das Verhältnis des absoluten Fehlers D A zum Modul einer Zahl A, alsoD A / |A| =d A .

Beispiel 2.

Betrachten wir den bekannten Näherungswert der Zahl π≈3,14.

Betrachtet man seinen Wert mit einer Genauigkeit von einem Hunderttausendstel, kann man seinen Fehler als 0,00159 angeben... (es hilft, sich die Ziffern der Zahl π zu merken )

Der absolute Fehler der Zahl π ist gleich: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Der relative Fehler der Zahl π beträgt: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051 %.

Beispiel 3.

Versuchen Sie es selbst zu berechnen relativer Fehler der ungefähren Zahl √2. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich die Ziffern einer Zahl zu merken. Quadratwurzel ab 2″.

Wie bereits erwähnt, verwenden wir den absoluten Fehler, wenn wir die Genauigkeit einer Messung mit einem ungefähren Wert vergleichen.

Das Konzept des absoluten Fehlers

Der absolute Fehler des Näherungswerts ist die Größe der Differenz zwischen dem genauen Wert und dem Näherungswert.
Der absolute Fehler kann verwendet werden, um die Genauigkeit von Näherungen derselben Größen zu vergleichen, und wenn wir die Genauigkeit von Näherungen verschiedener Größen vergleichen wollen, reicht der absolute Fehler allein nicht aus.

Zum Beispiel: Die Länge eines A4-Blatts beträgt (29,7 ± 0,1) cm und die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau beträgt (650 ± 1) km. Der absolute Fehler überschreitet im ersten Fall einen Millimeter nicht und im zweiten Fall einen Kilometer. Die Frage besteht darin, die Genauigkeit dieser Messungen zu vergleichen.

Wenn Sie denken, dass die Länge des Blattes genauer gemessen wird, da der absolute Fehler 1 mm nicht überschreitet. Dann liegen Sie falsch. Diese Werte sind nicht direkt vergleichbar. Lassen Sie uns einige Überlegungen anstellen.

Bei der Messung der Länge eines Blattes überschreitet der absolute Fehler 0,1 cm pro 29,7 cm, also Zoll, nicht Prozentsatz das sind 0,1/29,7 *100 % = 0,33 % des Messwertes.

Wenn wir die Entfernung von St. Petersburg nach Moskau messen, überschreitet der absolute Fehler 1 km pro 650 km nicht, was in Prozent 1/650 * 100 % = 0,15 % des gemessenen Wertes beträgt. Wir sehen, dass die Entfernung zwischen Städten genauer gemessen wird als die Länge eines A4-Blatts.

Das Konzept des relativen Fehlers

Um die Qualität der Näherung zu beurteilen, wird hier ein neues Konzept, der relative Fehler, eingeführt. Relativer Fehler ist der Quotient aus der Division des absoluten Fehlers durch den Modul der Näherungswerte des Messwerts. Typischerweise wird der relative Fehler als Prozentsatz ausgedrückt. In unserem Beispiel haben wir zwei relative Fehler von 0,33 % und 0,15 % erhalten.

Wie Sie vielleicht erraten haben, ist der relative Fehlerwert immer positiv. Dies folgt aus der Tatsache, dass der absolute Fehler immer ein positiver Wert ist und wir ihn durch den Modul dividieren, und der Modul ist ebenfalls immer positiv.

Basierend auf genau Naturwissenschaften Messungen liegen. Beim Messen werden die Werte von Größen in Form von Zahlen ausgedrückt, die angeben, wie oft die gemessene Größe größer oder kleiner als eine andere Größe ist, deren Wert als Einheit angenommen wird. Die durch Messungen gewonnenen Zahlenwerte verschiedener Größen können voneinander abhängen. Die Beziehung zwischen solchen Größen wird in Form von Formeln ausgedrückt, die zeigen, wie die Zahlenwerte einiger Größen aus den Zahlenwerten anderer ermittelt werden können.

Bei Messungen treten zwangsläufig Fehler auf. Es ist notwendig, die Methoden zur Verarbeitung der Messergebnisse zu beherrschen. Dadurch erfahren Sie, wie Sie aus einer Reihe von Messungen Ergebnisse erhalten, die der Wahrheit am nächsten kommen, Unstimmigkeiten und Fehler rechtzeitig erkennen, die Messungen selbst intelligent organisieren und die Genauigkeit der ermittelten Werte richtig einschätzen.

Besteht die Messung darin, eine bestimmte Größe mit einer anderen, homogenen Größe als Einheit zu vergleichen, dann wird die Messung in diesem Fall als direkt bezeichnet.

Direkte (direkte) Messungen- Dies sind Messungen, bei denen wir den numerischen Wert der gemessenen Größe entweder durch direkten Vergleich mit einem Maß (Standard) oder mit Hilfe von Instrumenten erhalten, die in Einheiten der gemessenen Größe kalibriert sind.

Allerdings erfolgt ein solcher Vergleich nicht immer direkt. In den meisten Fällen wird nicht die Größe gemessen, die uns interessiert, sondern andere Größen, die durch bestimmte Beziehungen und Muster mit ihr verbunden sind. In diesem Fall ist es zur Messung der erforderlichen Menge erforderlich, zunächst mehrere andere Größen zu messen, deren Wert rechnerisch den Wert der gewünschten Menge bestimmt. Diese Messung wird als indirekt bezeichnet.

Indirekte Messungen bestehen aus direkten Messungen einer oder mehrerer Größen, die mit der Menge verbunden sind, die durch eine quantitative Abhängigkeit bestimmt wird, und aus Berechnungen der Menge, die aus diesen Daten bestimmt wird.

Bei Messungen handelt es sich immer um Messgeräte, die einen Wert mit einem anderen, damit verbundenen Wert vergleichen Quantifizierung unsere Sinne nutzen. Beispielsweise wird die aktuelle Stärke durch den Ausschlagwinkel des Pfeils auf einer Skala angezeigt. Dabei müssen zwei Hauptbedingungen des Messvorgangs erfüllt sein: Eindeutigkeit und Reproduzierbarkeit des Ergebnisses. Diese beiden Bedingungen sind immer nur annähernd erfüllt. Deshalb Der Messvorgang beinhaltet neben der Ermittlung des gewünschten Wertes auch eine Beurteilung der Messungenauigkeit.

Ein moderner Ingenieur muss in der Lage sein, die Fehler von Messergebnissen unter Berücksichtigung der erforderlichen Zuverlässigkeit einzuschätzen. Daher wird der Verarbeitung von Messergebnissen große Aufmerksamkeit geschenkt. Das Kennenlernen der grundlegenden Methoden zur Fehlerberechnung gehört zu den Hauptaufgaben der Laborwerkstatt.

Warum treten Fehler auf?

Es gibt viele Gründe für das Auftreten von Messfehlern. Lassen Sie uns einige davon auflisten.

· Prozesse, die bei der Interaktion des Geräts mit dem Messobjekt auftreten, verändern zwangsläufig den Messwert. Beispielsweise führt die Messung der Abmessungen eines Teils mit einem Messschieber zu einer Stauchung des Teils, also zu einer Änderung seiner Abmessungen. Manchmal kann der Einfluss des Geräts auf den Messwert relativ gering gehalten werden, manchmal ist er jedoch vergleichbar mit dem Messwert selbst oder übersteigt ihn sogar.

· Jedes Gerät ist aufgrund seiner Konstruktionsmängel nur begrenzt in der Lage, den Messwert eindeutig zu ermitteln. Beispielsweise führt die Reibung zwischen verschiedenen Teilen im Zeigerblock eines Amperemeters dazu, dass eine Änderung des Stroms um einen kleinen, aber endlichen Betrag keine Änderung des Ausschlagwinkels des Zeigers bewirkt.

· Beteiligt sich stets an allen Interaktionsprozessen zwischen Gerät und Messobjekt. Außenumgebung, deren Parameter sich oft auf unvorhersehbare Weise ändern können. Dies schränkt die Reproduzierbarkeit der Messbedingungen und damit des Messergebnisses ein.

· Bei der visuellen Erfassung von Instrumentenablesungen kann es zu Unklarheiten bei der Ablesung des Instruments kommen Behinderungen unser Auge.

· Die meisten Größen werden indirekt bestimmt, basierend auf unserem Wissen über die Beziehung der gewünschten Größe zu anderen Größen, die direkt von Instrumenten gemessen werden. Offensichtlich hängt der Fehler der indirekten Messung von den Fehlern aller direkten Messungen ab. Darüber hinaus tragen die Einschränkungen unseres Wissens über das Messobjekt, die Vereinfachung der mathematischen Beschreibung der Zusammenhänge zwischen Größen und das Ignorieren des Einflusses derjenigen Größen, deren Einfluss während des Messvorgangs als unbedeutend angesehen wird, zu Fehlern bei der indirekten Messung bei.

Fehlerklassifizierung

Fehlerwert Messungen einer bestimmten Größe sind normalerweise gekennzeichnet durch:

1. Absoluter Fehler – die Differenz zwischen dem experimentell gefundenen (gemessenen) und dem wahren Wert einer bestimmten Größe

. (1)

Der absolute Fehler zeigt, wie sehr wir uns irren, wenn wir einen bestimmten Wert von X messen.

2. Relativer Fehler gleich dem Verhältnis des absoluten Fehlers zum wahren Wert des Messwerts X

Der relative Fehler zeigt an, um welchen Bruchteil des wahren Werts von X wir uns irren.

Qualität Die Ergebnisse von Messungen einer bestimmten Menge sind durch einen relativen Fehler gekennzeichnet. Der Wert kann als Prozentsatz ausgedrückt werden.

Aus den Formeln (1) und (2) folgt, dass wir zum Ermitteln der absoluten und relativen Messfehler nicht nur den gemessenen, sondern auch den wahren Wert der Größe kennen müssen, an der wir interessiert sind. Wenn jedoch der wahre Wert bekannt ist, ist keine Messung erforderlich. Der Zweck von Messungen besteht immer darin, den Wert einer bestimmten Größe herauszufinden, die im Voraus nicht bekannt ist, und wenn nicht ihren wahren Wert, so doch zumindest einen Wert zu finden, der ganz geringfügig davon abweicht. Daher sind die Formeln (1) und (2), die die Fehlergröße bestimmen, für die Praxis nicht geeignet. Bei praktischen Messungen werden Fehler nicht berechnet, sondern geschätzt. Die Bewertungen berücksichtigen die Versuchsbedingungen, die Genauigkeit der Methodik, die Qualität der Instrumente und eine Reihe weiterer Faktoren. Unsere Aufgabe: zu lernen, wie man eine experimentelle Methodik erstellt und die aus der Erfahrung gewonnenen Daten richtig nutzt, um Werte gemessener Größen zu finden, die den wahren Werten ausreichend nahe kommen, und um Messfehler angemessen zu bewerten.

Wenn wir über Messfehler sprechen, sollten wir zunächst erwähnen grobe Fehler (Fehlschläge) aufgrund eines Versehens des Experimentators oder einer Fehlfunktion der Ausrüstung entstehen. Schwerwiegende Fehler sollten vermieden werden. Wenn festgestellt wird, dass sie aufgetreten sind, müssen die entsprechenden Messungen verworfen werden.

Experimentelle Fehler, die nicht mit groben Fehlern verbunden sind, werden in zufällige und systematische Fehler unterteilt.

Mitzufällige Fehler. Wenn man dieselben Messungen viele Male wiederholt, kann man feststellen, dass ihre Ergebnisse oft nicht genau gleich sind, sondern um einen Durchschnitt „tanzen“ (Abb. 1). Fehler, deren Größe und Vorzeichen sich von Experiment zu Experiment ändern, werden als zufällig bezeichnet. Zufällige Fehler werden vom Experimentator aufgrund der Unvollkommenheit der Sinnesorgane unfreiwillig eingeführt, zufällig externe Faktoren usw. Wenn der Fehler jeder einzelnen Messung grundsätzlich unvorhersehbar ist, ändern sie zufällig den Wert der gemessenen Größe. Diese Fehler können nur durch statistische Verarbeitung mehrerer Messungen der gewünschten Menge beurteilt werden.

Systematisch Fehler kann mit Instrumentenfehlern (falsche Skala, ungleichmäßig gedehnte Feder, ungleichmäßige Steigung der Mikrometerschraube, ungleiche Unruharme usw.) und mit dem Experiment selbst zusammenhängen. Sie behalten während des Experiments ihre Größe (und ihr Vorzeichen!) bei. Aufgrund systematischer Fehler schwanken die durch zufällige Fehler gestreuten experimentellen Ergebnisse nicht um den wahren Wert, sondern um einen bestimmten verzerrten Wert (Abb. 2). Der Fehler jeder Messung des gewünschten Werts kann im Voraus vorhergesagt werden, wenn die Eigenschaften des Geräts bekannt sind.

Berechnung der Fehler direkter Messungen

Systematische Fehler. Systematische Fehler verändern natürlich die Werte der Messgröße. Die von Instrumenten in Messungen eingebrachten Fehler lassen sich am einfachsten beurteilen, wenn sie miteinander in Zusammenhang stehen Design-Merkmale die Geräte selbst. Diese Fehler sind in den Pässen der Geräte angegeben. Die Fehler einiger Geräte lassen sich ohne Rückgriff auf das Datenblatt beurteilen. Bei vielen elektrischen Messgeräten wird die Genauigkeitsklasse direkt auf der Skala angezeigt.

Genauigkeitsklasse des Instruments- Dies ist das Verhältnis des absoluten Fehlers des Geräts zum Maximalwert der Messgröße, der mit diesem Gerät ermittelt werden kann (dies ist der systematische relative Fehler dieses Geräts, ausgedrückt als Prozentsatz der Skalenbewertung).

.

Dann wird der absolute Fehler eines solchen Geräts durch die Beziehung bestimmt:

.

Für elektrische Messgeräte wurden 8 Genauigkeitsklassen eingeführt: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Je näher der Messwert am Nennwert liegt, desto genauer ist das Messergebnis. Die maximale Genauigkeit (d. h. der kleinste relative Fehler), die ein bestimmtes Gerät liefern kann, entspricht der Genauigkeitsklasse. Dieser Umstand muss bei der Verwendung von Multiskaleninstrumenten berücksichtigt werden. Die Skala muss so gewählt werden, dass der Messwert zwar innerhalb der Skala liegt, aber möglichst nahe am Nennwert liegt.

Wenn die Genauigkeitsklasse für das Gerät nicht angegeben ist, müssen folgende Regeln beachtet werden:

· Der absolute Fehler von Instrumenten mit Nonius entspricht der Genauigkeit des Nonius.

· Der absolute Fehler von Instrumenten mit fester Pfeilteilung entspricht dem Teilungswert.

· Der absolute Fehler digitaler Geräte beträgt mindestens eine Ziffer.

· Bei allen anderen Instrumenten wird davon ausgegangen, dass der absolute Fehler der Hälfte des Divisionswerts entspricht.

Zufällige Fehler. Diese Fehler sind statistischer Natur und werden durch die Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben. Es wurde festgestellt, dass sehr große Mengen Mithilfe von Messungen kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, bei jeder einzelnen Messung das eine oder andere Ergebnis zu erhalten Normalverteilung Gauß. Mit einer kleinen Anzahl von Messungen mathematische Beschreibung Die Wahrscheinlichkeit, das eine oder andere Messergebnis zu erhalten, wird Student-Verteilung genannt (mehr dazu lesen Sie im Handbuch „Messfehler physikalischer Größen“).

Wie lässt sich der wahre Wert der gemessenen Größe ermitteln?

Angenommen, wir haben bei der Messung eines bestimmten Werts N Ergebnisse erhalten: . Das arithmetische Mittel einer Messreihe liegt näher am wahren Wert der Messgröße als die meisten Einzelmessungen. Um das Ergebnis der Messung eines bestimmten Werts zu erhalten, wird der folgende Algorithmus verwendet.

1). Berechnet arithmetische Mittel Reihe von N direkten Messungen:

2). Berechnet absoluter Zufallsfehler jeder Messung ist die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel einer Reihe von N direkten Messungen und dieser Messung:

.

3). Berechnet mittlerer quadratischer absoluter Fehler:

.

4). Berechnet absoluter Zufallsfehler. Mit einer kleinen Anzahl von Messungen kann der absolute Zufallsfehler anhand des quadratischen Mittelfehlers und eines bestimmten Koeffizienten namens Student-Koeffizient berechnet werden:

,

Der Student-Koeffizient hängt von der Anzahl der Messungen N und dem Zuverlässigkeitskoeffizienten ab (Tabelle 1 zeigt die Abhängigkeit des Student-Koeffizienten von der Anzahl der Messungen bei einem festen Wert des Zuverlässigkeitskoeffizienten).

Zuverlässigkeitsfaktor ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der wahre Wert des Messwerts in das Konfidenzintervall fällt.

Konfidenzintervall ist ein numerisches Intervall, in das der wahre Wert der gemessenen Größe mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt.

Somit ist der Student-Koeffizient die Zahl, mit der der mittlere quadratische Fehler multipliziert werden muss, um die angegebene Zuverlässigkeit des Ergebnisses für eine bestimmte Anzahl von Messungen sicherzustellen.

Je größer die erforderliche Zuverlässigkeit für eine bestimmte Anzahl von Messungen ist, desto größer ist der Student-Koeffizient. Andererseits als größere Zahl Messungen, Themen weniger Koeffizient Schülertest bei einer bestimmten Zuverlässigkeit. Bei der Laborarbeit unserer Werkstatt gehen wir davon aus, dass die Zuverlässigkeit gegeben ist und 0,9 beträgt. Numerische Werte Studentische Koeffizienten bei dieser Zuverlässigkeit für verschiedene Zahlen Die Messungen sind in Tabelle 1 aufgeführt.

Tabelle 1

5). Berechnet totaler absoluter Fehler. Bei jeder Messung gibt es sowohl zufällige als auch systematische Fehler. Die Berechnung des gesamten (gesamten) absoluten Messfehlers ist keine leichte Aufgabe, da diese Fehler unterschiedlicher Natur sind.

Bei technischen Messungen ist es sinnvoll, die systematischen und zufälligen absoluten Fehler aufzusummieren

.

Zur Vereinfachung der Berechnungen ist es üblich, den gesamten absoluten Fehler als Summe der absoluten zufälligen und absoluten systematischen (instrumentellen) Fehler zu schätzen, wenn die Fehler in der gleichen Größenordnung liegen, und einen der Fehler zu vernachlässigen, wenn dies der Fall ist mehr als eine Größenordnung (zehnmal) kleiner als die anderen.

6). Der Fehler und das Ergebnis werden gerundet. Da das Messergebnis als Werteintervall dargestellt wird, dessen Wert durch den absoluten Gesamtfehler bestimmt wird, ist die korrekte Rundung von Ergebnis und Fehler wichtig.

Die Rundung beginnt mit dem absoluten Fehler!!! Die Anzahl der verbleibenden signifikanten Stellen im Fehlerwert hängt im Allgemeinen vom Zuverlässigkeitskoeffizienten und der Anzahl der Messungen ab. Allerdings auch für sehr genaue Messungen (z. B. astronomische), bei denen genauer Wert Fehler sind wichtig, lassen Sie nicht mehr als zwei signifikante Ziffern übrig. Eine größere Anzahl von Zahlen macht keinen Sinn, da die Fehlerdefinition selbst ihren eigenen Fehler hat. Unsere Praxis hat einen relativ kleinen Zuverlässigkeitskoeffizienten und eine geringe Anzahl von Messungen. Daher bleibt beim Runden (mit Überschuss) der gesamte absolute Fehler bei eins Signifikante Figur.

Die Ziffer der signifikanten Ziffer des absoluten Fehlers bestimmt die Ziffer der ersten zweifelhaften Ziffer im Ergebniswert. Folglich muss der Wert des Ergebnisses selbst (mit Korrektur) auf die signifikante Ziffer gerundet werden, deren Ziffer mit der Ziffer der signifikanten Ziffer des Fehlers übereinstimmt. Die formulierte Regel sollte auch in Fällen angewendet werden, in denen einige der Zahlen Nullen sind.

Wenn das Ergebnis der Körpergewichtsmessung lautet, müssen am Ende der Zahl 0,900 Nullen geschrieben werden. Die Aufzeichnung würde bedeuten, dass über die nächsten signifikanten Zahlen nichts bekannt war, während die Messungen ergaben, dass sie Null waren.

7). Berechnet relativer Fehler.

Beim Runden des relativen Fehlers genügt es, zwei signifikante Ziffern zu belassen.

R das Ergebnis einer Reihe von Messungen einer bestimmten physikalischen Größe wird in Form eines Werteintervalls dargestellt, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der wahre Wert in dieses Intervall fällt, d. h. das Ergebnis muss in der Form geschrieben werden:

Dabei handelt es sich um den gesamten absoluten Fehler, gerundet auf die erste signifikante Ziffer, und um den Durchschnittswert des Messwerts, gerundet unter Berücksichtigung des bereits gerundeten Fehlers. Bei der Erfassung eines Messergebnisses müssen Sie die Maßeinheit des Wertes angeben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

1. Angenommen, wir haben bei der Messung der Länge eines Segments das folgende Ergebnis erhalten: cm und cm Wie schreibe ich das Ergebnis der Längenmessung eines Segments richtig auf? Zuerst runden wir den absoluten Fehler ab und lassen eine signifikante Ziffer des Fehlers an der Hundertstelstelle übrig. Dann runden wir mit der Korrektur den Durchschnittswert auf das nächste Hundertstel, also auf die signifikante Ziffer, deren Ziffer mit der Ziffer der signifikanten Ziffer des Fehlers übereinstimmt siehe Berechnen des relativen Fehlers

.

cm; ; .

2. Nehmen wir an, dass wir bei der Berechnung des Leiterwiderstands folgendes Ergebnis erhalten haben: Und . Zuerst runden wir den absoluten Fehler und lassen eine signifikante Zahl übrig. Dann runden wir den Durchschnitt auf die nächste ganze Zahl. Berechnen Sie den relativen Fehler

.

Das Messergebnis schreiben wir wie folgt:

; ; .

3. Nehmen wir an, dass wir bei der Berechnung der Masse der Ladung das folgende Ergebnis erhalten: kg und kg. Zuerst runden wir den absoluten Fehler und lassen eine signifikante Zahl übrig kg. Dann runden wir den Durchschnitt auf die nächsten Zehner kg. Berechnen Sie den relativen Fehler

.

.

Fragen und Aufgaben zur Fehlertheorie

1. Was bedeutet es zu messen? physikalische Größe? Nenne Beispiele.

2. Warum kommt es zu Messfehlern?

3. Was ist ein absoluter Fehler?

4. Was ist ein relativer Fehler?

5. Welcher Fehler kennzeichnet die Qualität der Messung? Nenne Beispiele.

6. Was ist ein Konfidenzintervall?

7. Definieren Sie das Konzept des „systematischen Fehlers“.

8. Was sind die Ursachen für systematische Fehler?

9. Welche Genauigkeitsklasse hat ein Messgerät?

10. Wie werden die absoluten Fehler verschiedener physikalischer Instrumente bestimmt?

11. Welche Fehler werden als zufällig bezeichnet und wie entstehen sie?

12. Beschreiben Sie das Verfahren zur Berechnung des mittleren quadratischen Fehlers.

13. Beschreiben Sie das Verfahren zur Berechnung des absoluten Zufallsfehlers direkter Messungen.

14. Was ist ein „Zuverlässigkeitsfaktor“?

15. Von welchen Parametern und wie hängt der Student-Koeffizient ab?

16. Wie wird der absolute Gesamtfehler direkter Messungen berechnet?

17. Schreiben Sie Formeln zur Bestimmung der relativen und absoluten Fehler indirekter Messungen.

18. Formulieren Sie die Regeln zum Runden des Ergebnisses mit einem Fehler.

19. Ermitteln Sie den relativen Fehler bei der Messung der Wandlänge mit einem Maßband mit einer Teilung von 0,5 cm. Der gemessene Wert betrug 4,66 m.

20. Bei der Messung der Länge der Seiten A und B des Rechtecks ​​wurden absolute Fehler ΔA bzw. ΔB gemacht. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung des absoluten Fehlers ΔS, der sich bei der Bestimmung der Fläche aus den Ergebnissen dieser Messungen ergibt.

21. Die Messung der Würfelkantenlänge L hatte einen Fehler ΔL. Schreiben Sie eine Formel, um den relativen Fehler des Volumens eines Würfels basierend auf den Ergebnissen dieser Messungen zu bestimmen.

22. Ein Körper bewegt sich aus dem Ruhezustand gleichmäßig beschleunigt. Um die Beschleunigung zu berechnen, haben wir den vom Körper zurückgelegten Weg S und die Zeit seiner Bewegung t gemessen. Die absoluten Fehler dieser direkten Messungen betrugen ΔS bzw. Δt. Leiten Sie aus diesen Daten eine Formel zur Berechnung des relativen Beschleunigungsfehlers ab.

23. Bei der Berechnung der Leistung des Heizgeräts anhand der Messdaten ergaben sich die Werte Pav = 2361,7893735 W und ΔР = 35,4822 W. Schreiben Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall, wobei die erforderliche Rundung durchgeführt wird.

24. Bei der Berechnung des Widerstandswertes anhand von Messdaten ergaben sich folgende Werte: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Notieren Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall und runden Sie es gegebenenfalls auf.

25. Bei der Berechnung des Reibungskoeffizienten anhand von Messdaten ergaben sich die Werte μav = 0,7823735 und Δμ = 0,03348. Notieren Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall und runden Sie es gegebenenfalls auf.

26. Ein Strom von 16,6 A wurde mit einem Gerät mit einer Genauigkeitsklasse von 1,5 und einem Skalenwert von 50 A bestimmt. Finden Sie die absoluten instrumentellen und relativen Fehler dieser Messung.

27. In einer Reihe von 5 Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wurden folgende Werte erhalten: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Finden Sie den absoluten Zufallsfehler bei der Bestimmung des Zeitraums aus diesen Daten.

28. Der Versuch, eine Last aus einer bestimmten Höhe fallen zu lassen, wurde sechsmal wiederholt. Dabei ergaben sich folgende Werte der Lastabfallzeit: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Finden Sie den relativen Fehler bei der Bestimmung des Sturzzeitpunkts.

Der Divisionswert ist ein Messwert, der dazu führt, dass der Zeiger um eine Division abweicht. Der Teilungswert wird als Verhältnis der oberen Messgrenze des Geräts zur Anzahl der Skalenteilungen bestimmt.

Die Maße werden aufgerufen gerade, wenn die Werte von Größen direkt durch Instrumente bestimmt werden (z. B. Längenmessung mit einem Lineal, Zeitbestimmung mit einer Stoppuhr usw.). Die Maße werden aufgerufen indirekt, wenn der Wert der gemessenen Größe durch direkte Messungen anderer Größen bestimmt wird, die mit der spezifischen gemessenen Beziehung verbunden sind.

Zufällige Fehler bei direkten Messungen

Absoluter und relativer Fehler. Lass es ausgeführt werden N Messungen der gleichen Menge X sofern kein systematischer Fehler vorliegt. Die einzelnen Messergebnisse lauten wie folgt: X 1 ,X 2 , …,X N. Als bester Mittelwert wird der Messwert ausgewählt:

Absoluter Fehler einer einzelnen Messung nennt man eine Differenz der Form:

.

Durchschnittlicher absoluter Fehler N Einheitsmaße:

(2)

angerufen durchschnittlicher absoluter Fehler.

Relativer Fehler Das Verhältnis des durchschnittlichen absoluten Fehlers zum Durchschnittswert der Messgröße heißt:

. (3)

Gerätefehler bei direkten Messungen

Wenn keine besonderen Anweisungen vorliegen, beträgt der Gerätefehler die Hälfte seines Teilungswertes (Lineal, Becher).

Der Fehler von Instrumenten, die mit einem Nonius ausgestattet sind, entspricht dem Wert der Noniusteilung (Mikrometer – 0,01 mm, Messschieber – 0,1 mm).

Der Fehler der Tabellenwerte beträgt eine halbe Einheit der letzten Ziffer (fünf Einheiten der nächsten Ordnung nach der letzten signifikanten Ziffer).

Der Fehler elektrischer Messgeräte wird nach der Genauigkeitsklasse berechnet MIT auf der Instrumentenskala angezeigt:

Zum Beispiel:
Und
,

Wo U max Und ICH max– Messgrenze des Gerätes.

Bei Geräten mit Digitalanzeige entspricht der Fehler einer der letzten Ziffern der Anzeige.

Nach der Bewertung der zufälligen und instrumentellen Fehler wird derjenige berücksichtigt, dessen Wert größer ist.

Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen

Die meisten Messungen sind indirekt. In diesem Fall ist der gewünschte Wert X eine Funktion mehrerer Variablen A,B, C… , deren Werte durch direkte Messungen ermittelt werden können: X = f( A, B, C…).

Das arithmetische Mittel des Ergebnisses indirekter Messungen ist gleich:

X = f( A, B, C…).

Eine Möglichkeit, den Fehler zu berechnen, besteht darin, den natürlichen Logarithmus der Funktion X = f( A, B, C...). Wenn beispielsweise der gewünschte Wert X durch die Beziehung X = bestimmt wird , dann erhalten wir nach dem Logarithmus: lnX = ln A+ln B+ln( C+ D).

Das Differential dieses Ausdrucks hat die Form:

.

Bezogen auf die Berechnung von Näherungswerten lässt sich der relative Fehler in der Form schreiben:

 =
. (4)

Der absolute Fehler wird nach folgender Formel berechnet:

Х = Х(5)

Somit erfolgt die Berechnung der Fehler und die Berechnung des Ergebnisses für indirekte Messungen in der folgenden Reihenfolge:

1) Messen Sie alle in der ursprünglichen Formel enthaltenen Größen, um das Endergebnis zu berechnen.

2) Berechnen Sie die arithmetischen Durchschnittswerte jedes Messwerts und ihre absoluten Fehler.

3) Setzen Sie die Durchschnittswerte aller Messwerte in die ursprüngliche Formel ein und berechnen Sie den Durchschnittswert des gewünschten Wertes:

X = f( A, B, C…).

4) Logarithmieren Sie die ursprüngliche Formel X = f( A, B, C...) und notieren Sie den Ausdruck für den relativen Fehler in Form der Formel (4).

5) Berechnen Sie den relativen Fehler  = .

6) Berechnen Sie den absoluten Fehler des Ergebnisses mit Formel (5).

7) Das Endergebnis wird wie folgt geschrieben:

Die absoluten und relativen Fehler der einfachsten Funktionen sind in der Tabelle angegeben: