Der Zeitraum, nach dem sich die oszillierende Bewegung wiederholt. Oszillatorische Bewegung. Kostenlose Vibrationen. Oszillatorische Systeme (Eryutkin E.S.)

Mit einem der Typen ungleichmäßige Bewegung- gleichmäßig beschleunigt - Sie kennen es bereits.

Betrachten wir eine andere Art ungleichmäßiger Bewegung – die Oszillation.

Vibrationsbewegungen sind im Leben um uns herum weit verbreitet. Beispiele für Schwingungen sind: die Bewegung einer Nähmaschinennadel, einer Schaukel, eines Uhrenpendels, eines Schlittens auf Federn und vieler anderer Körper.

Abbildung 52 zeigt Körper, die oszillierende Bewegungen ausführen können, wenn sie aus der Gleichgewichtslage entfernt (d. h. ausgelenkt oder von der Linie OO'' verschoben werden).

Reis. 52. Beispiele für Körper, die oszillierende Bewegungen ausführen

In der Bewegung dieser Körper lassen sich viele Unterschiede feststellen. Beispielsweise bewegt sich eine Kugel an einem Faden (Abb. 52, a) krummlinig und ein Zylinder an einer Gummischnur (Abb. 52, b) bewegt sich geradlinig; Das obere Ende des Lineals (Abb. 52, c) schwingt mit einer größeren Reichweite als der Mittelpunkt der Saite (Abb. 52, d). Gleichzeitig können einige Körper Leistungen erbringen größere Zahl Schwankungen als andere.

Aber bei all der Vielfalt dieser Bewegungen haben sie eine wichtige Bedeutung gemeinsames Merkmal: Nach einer bestimmten Zeit wiederholt sich die Bewegung eines Körpers.

Wenn der Ball tatsächlich aus der Gleichgewichtsposition entfernt und losgelassen wird, weicht er nach dem Durchlaufen der Gleichgewichtsposition in die entgegengesetzte Richtung ab, stoppt und kehrt dann zu der Stelle zurück, an der er sich zu bewegen begann. Auf diese Schwingung folgt eine zweite, dritte usw., ähnlich der ersten.

Die in Abbildung 52 gezeigten Bewegungen der übrigen Körper werden ebenfalls wiederholt.

Der Zeitraum, in dem sich die Bewegung wiederholt, wird Schwingungsperiode genannt. Deshalb sagt man, dass die oszillierende Bewegung periodisch ist.

Bei der Bewegung der in Abbildung 52 dargestellten Körper gibt es neben der Periodizität noch ein weiteres gemeinsames Merkmal: Während einer Zeitspanne, die der Schwingungsperiode entspricht, durchläuft jeder Körper die Gleichgewichtslage zweimal (in entgegengesetzte Richtungen bewegend).

In regelmäßigen Abständen wiederholte Bewegungen, bei denen der Körper die Gleichgewichtslage immer wieder und in verschiedene Richtungen durchläuft, nennt man mechanische Schwingungen

Genau solche Schwankungen werden Gegenstand unserer Untersuchung sein.

Abbildung 53 zeigt eine Kugel mit einem Loch, die auf einer glatten Stahlschnur platziert und an einer Feder befestigt ist (deren anderes Ende an einem vertikalen Pfosten befestigt ist). Der Ball kann frei entlang der Saite gleiten, das heißt, die Reibungskräfte sind so gering, dass sie keinen wesentlichen Einfluss auf seine Bewegung haben. Befindet sich die Kugel am Punkt O (Abb. 53, a), ist die Feder nicht verformt (nicht gedehnt oder gestaucht), daher wirken keine Kräfte in horizontaler Richtung auf sie. Punkt O ist die Gleichgewichtsposition der Kugel.

Reis. 53. Dynamik freier Schwingungen eines horizontalen Federpendels

Bewegen wir den Ball zu Punkt B (Abb. 53, b). Gleichzeitig dehnt sich die Feder und es entsteht in ihr eine elastische Kraft F. Diese Kraft ist proportional zur Verschiebung (d. h. der Abweichung der Kugel von ihrer Gleichgewichtslage) und entgegengesetzt gerichtet. Dies bedeutet, dass bei einer Verschiebung der Kugel nach rechts die auf sie wirkende Kraft nach links, in Richtung der Gleichgewichtslage, gerichtet ist.

Wenn Sie den Ball loslassen, beginnt er unter der Wirkung der elastischen Kraft nach links zum Punkt O zu beschleunigen. Die Richtung der elastischen Kraft und die dadurch verursachte Beschleunigung stimmen mit der Richtung der Geschwindigkeit des Balls überein Daher nimmt die Geschwindigkeit des Balls ständig zu, wenn er sich dem Punkt O nähert. In diesem Fall nimmt die elastische Kraft mit abnehmender Federverformung ab (Abb. 53, c).

Erinnern wir uns daran, dass jeder Körper die Eigenschaft hat, seine Geschwindigkeit beizubehalten, wenn keine Kräfte auf ihn einwirken oder wenn die Resultierende der Kräfte Null ist. Daher bleibt die Kugel nach Erreichen der Gleichgewichtsposition (Abb. 53, d), in der die elastische Kraft Null wird, nicht stehen, sondern bewegt sich weiter nach links.

Während sie sich von Punkt O nach Punkt A bewegt, wird die Feder komprimiert. Darin entsteht wieder eine elastische Kraft, die in diesem Fall auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist (Abb. 53, e, f). Da die elastische Kraft der Geschwindigkeit des Balls entgegengerichtet ist, verlangsamt sie dessen Bewegung. Dadurch bleibt der Ball am Punkt A stehen. Die auf Punkt O gerichtete elastische Kraft wirkt weiterhin, sodass sich der Ball wieder zu bewegen beginnt und im Abschnitt AO seine Geschwindigkeit zunimmt (Abb. 53, f, g, h).

Die Bewegung der Kugel von Punkt O nach Punkt B führt erneut zu einer Dehnung der Feder, wodurch wieder eine elastische Kraft entsteht, die auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist und die Bewegung der Kugel verlangsamt, bis sie vollständig zum Stillstand kommt ( Abb. 53, h, i, j). Somit vollzieht die Kugel eine vollständige Schwingung. In diesem Fall wirkt an jedem Punkt seiner Flugbahn (außer Punkt O) eine elastische Kraft der Feder auf ihn ein, die auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist.

Unter dem Einfluss einer Kraft, die den Körper wieder in eine Gleichgewichtslage bringt, kann der Körper wie von selbst schwingen. Ursprünglich entstand diese Kraft dadurch, dass wir die Feder dehnten und ihr dadurch eine gewisse Energiemenge verliehen. Aufgrund dieser Energie kam es zu Vibrationen.

Schwingungen, die erst durch die anfängliche Energiezufuhr entstehen, nennt man freie Schwingungen

Frei schwingende Körper interagieren immer mit anderen Körpern und bilden zusammen mit ihnen ein Körpersystem, das als Schwingungssystem bezeichnet wird. Im betrachteten Beispiel besteht das Schwingsystem aus einer Kugel, einer Feder und einem vertikalen Pfosten, an dem das linke Ende der Feder befestigt ist. Durch die Wechselwirkung dieser Körper entsteht eine Kraft, die den Ball in seine Gleichgewichtslage zurückführt.

Abbildung 54 zeigt ein schwingungsfähiges System bestehend aus einer Kugel, einem Faden, einem Stativ und der Erde (die Erde ist in der Abbildung nicht dargestellt). IN in diesem Fall Die Kugel schwingt frei unter dem Einfluss zweier Kräfte: der Schwerkraft und der elastischen Kraft des Fadens. Ihre Resultierende ist auf die Gleichgewichtslage gerichtet.

Reis. 54. Fadenpendel

Systeme von Körpern, die zu freien Schwingungen fähig sind, werden schwingungsfähige Systeme genannt

Eine der wichtigsten gemeinsamen Eigenschaften aller schwingungsfähigen Systeme ist die Entstehung einer Kraft in ihnen, die das System in eine stabile Gleichgewichtslage zurückführt.

Oszillatorische Systeme - ganz breites Konzept, anwendbar auf eine Vielzahl von Phänomenen.

Die betrachteten Schwingungssysteme werden Pendel genannt. Es gibt verschiedene Arten von Pendeln: Faden (siehe Abb. 54), Feder (siehe Abb. 53, 55) usw.

Reis. 55. Federpendel

Allgemein

Ein Pendel ist ein starrer Körper, der unter dem Einfluss von Kräften um einen festen Punkt oder um eine Achse schwingt.

Oszillierende Bewegung Wir werden es am Beispiel von Feder- und Fadenpendeln untersuchen.

Fragen

Nennen Sie Beispiele für oszillierende Bewegungen.
Wie verstehen Sie die Aussage, dass oszillierende Bewegungen periodisch sind?
Wie nennt man mechanische Schwingungen?
Erklären Sie anhand von Abbildung 53, warum die Geschwindigkeit des Balls zunimmt, wenn er sich dem Punkt O von einer Seite nähert, und dass die Geschwindigkeit des Balls abnimmt, wenn er sich vom Punkt O in eine beliebige Richtung entfernt.
Warum stoppt die Kugel nicht, wenn sie die Gleichgewichtsposition erreicht?
Welche Schwingungen nennt man frei?
Welche Systeme werden als oszillierend bezeichnet? Nenne Beispiele.

Übung 23

Daher erfolgt die Untersuchung dieser Muster durch die verallgemeinerte Schwingungs- und Wellentheorie. Grundlegender Unterschied aus Wellen: Bei Schwingungen findet keine Energieübertragung statt, es handelt sich sozusagen um „lokale“ Transformationen.

Einstufung

Auswahl verschiedene Typen Schwingungen hängen von den hervorgehobenen Eigenschaften von Systemen mit schwingungsfähigen Prozessen (Oszillatoren) ab.

Je nach verwendetem mathematischen Apparat

Nichtlineare Schwingungen

Nach Häufigkeit

Somit werden periodische Schwingungen wie folgt definiert:

Solche Funktionen nennt man bekanntlich periodische Funktionen f (t) (\displaystyle f(t)), für den Sie einen bestimmten Wert angeben können τ (\displaystyle \tau), Also f (t + τ) = f (t) (\displaystyle f(t+\tau)=f(t)) bei beliebig Argumentwert t (\displaystyle t). Andronov et al.

Von Natur aus

Mechanisch(Schall, Vibration)
Elektromagnetisch(Licht, Radiowellen, Thermik)
Gemischter Typ- Kombinationen der oben genannten

Durch die Art der Interaktion mit der Umwelt

Gezwungen- Schwingungen, die im System unter dem Einfluss äußerer periodischer Einflüsse auftreten. Beispiele: Blätter an Bäumen, Heben und Senken einer Hand. Bei erzwungenen Schwingungen kann das Phänomen der Resonanz auftreten: ein starker Anstieg der Schwingungsamplitude, wenn die Eigenfrequenz des Oszillators mit der Frequenz des äußeren Einflusses übereinstimmt.
Kostenlos (oder selbst)- Dies sind Schwingungen in einem System unter dem Einfluss innerer Kräfte, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde (unter realen Bedingungen werden freie Schwingungen immer gedämpft). Die einfachsten Beispiele für freie Schwingungen sind die Schwingungen eines Gewichts, das an einer Feder befestigt ist oder an einem Faden hängt.
Selbstschwingungen- Schwingungen, bei denen das System über eine Reserve an potentieller Energie verfügt, die für Schwingungen aufgewendet wird (ein Beispiel für ein solches System ist eine mechanische Uhr). Ein charakteristischer Unterschied zwischen Selbstschwingungen und erzwungenen Schwingungen besteht darin, dass ihre Amplitude durch die Eigenschaften des Systems selbst und nicht durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.
Parametrisch- Schwingungen, die auftreten, wenn sich ein Parameter des Schwingungssystems durch äußere Einflüsse ändert.

Optionen

Schwingungsperiode T (\displaystyle T\,\ !} und Häufigkeit f (\displaystyle f\,\ !}- reziproke Größen;

T = 1 f (\displaystyle T=(\frac (1)(f))\qquad \,\ !} Und f = 1 T (\displaystyle f=(\frac (1)(T))\,\ !}

Bei zirkulären oder zyklischen Prozessen wird anstelle der Kennlinie „Frequenz“ der Begriff verwendet kreisförmig (zyklisch) Frequenz ω (\displaystyle \omega \,\ !} (rad/s, Hz, s −1), zeigt die Anzahl der Schwingungen pro 2 π (\displaystyle 2\pi ) Zeiteinheiten:

ω = 2 π T = 2 π f (\displaystyle \omega =(\frac (2\pi )(T))=2\pi f\,\ !}

Voreingenommenheit- Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage. Bezeichnung X, Maßeinheit - Meter.
Oszillationsphase- bestimmt jederzeit die Verschiebung, also den Zustand des Schwingsystems.

Kurzgeschichte

Harmonische Schwingungen sind seit dem 17. Jahrhundert bekannt.

Der Begriff „Relaxationsoszillationen“ wurde 1926 von van der Pol vorgeschlagen. Die Einführung eines solchen Begriffs wurde nur dadurch gerechtfertigt, dass der angegebene Forscher alle derartigen Schwankungen mit dem Vorhandensein einer „Entspannungszeit“ in Verbindung zu bringen schien – also mit einem Konzept, das zu diesem historischen Zeitpunkt in der Entwicklung der Wissenschaft schien am verständlichsten und am weitesten verbreitet. Die entscheidende Eigenschaft der neuen Art von Schwingungen, die von einigen der oben genannten Forscher beschrieben wurde, bestand darin, dass sie sich deutlich von linearen unterschieden, was sich vor allem in einer Abweichung von der bekannten Thomson-Formel äußerte. Vorsichtig historische Forschung zeigte, dass van der Pol im Jahr 1926 noch nicht erkannte, dass das von ihm entdeckte physikalische Phänomen „Entspannungsschwingungen“ dem von Poincaré eingeführten mathematischen Konzept „Grenzzyklus“ entspricht, und dass er dies erst nach der Veröffentlichung von A. im Jahr 1929 erkannte . A. Andronova.

Ausländische Forscher erkennen die Tatsache an, dass unter den sowjetischen Wissenschaftlern die Schüler von L. I. Mandelstam sind, der 1937 das erste Buch veröffentlichte, in dem sie verallgemeinerten Aktuelle Informationenüber lineare und nichtlineare Schwingungen. Allerdings sowjetische Wissenschaftler akzeptierte den von van der Pol vorgeschlagenen Begriff „Relaxationsoszillationen“ nicht. Sie bevorzugten den von Blondel verwendeten Begriff „diskontinuierliche Bewegungen“, insbesondere weil diese Schwingungen in langsamen und schnellen Modi beschrieben werden sollten. Dieser Ansatz wurde erst im Kontext der singulären Störungstheorie ausgereift» .

Kurze Beschreibung der wichtigsten Arten von Schwingungssystemen

Lineare Schwingungen

Eine wichtige Art von Schwingungen sind harmonische Schwingungen – Schwingungen, die nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz auftreten. Wie Fourier 1822 feststellte, kann jede periodische Schwingung durch Erweiterung der entsprechenden Funktion als Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden

– Dies ist einer der Sonderfälle ungleichmäßiger Bewegung. Es gibt viele Beispiele für oszillierende Bewegungen im Leben: das Schwingen einer Schaukel, das Schaukeln eines Kleinbusses auf Federn und die Bewegung von Kolben in einem Motor ... Diese Bewegungen unterscheiden sich, aber sie sind unterschiedlich allgemeines Eigentum: Die Bewegung wird einmal wiederholt.

Diese Zeit heißt Schwingungsdauer.

Betrachten wir eines der einfachsten Beispiele für oszillierende Bewegungen – ein Federpendel. Ein Federpendel ist eine Feder, die an einem Ende mit einer festen Wand und am anderen Ende mit einer beweglichen Last verbunden ist. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass sich die Last nur entlang der Federachse bewegen kann. Dies ist eine realistische Annahme – bei echten elastischen Mechanismen bewegt sich die Last normalerweise entlang einer Führung.

Wenn das Pendel nicht schwingt und keine Kräfte auf es einwirken, befindet es sich in einer Gleichgewichtslage. Wenn Sie es aus dieser Position entfernen und loslassen, beginnt das Pendel zu schwingen – es schießt mit maximaler Geschwindigkeit über den Gleichgewichtspunkt hinaus und friert an den Extrempunkten ein. Der Abstand vom Gleichgewichtspunkt zum Extrempunkt wird aufgerufen Amplitude, Zeitraum In dieser Situation gibt es eine Mindestzeit zwischen Besuchen desselben Extrempunkts.

Wenn sich das Pendel an seinem äußersten Punkt befindet, wirkt eine elastische Kraft auf es, die das Pendel tendenziell in seine Gleichgewichtsposition zurückbringt. Mit Annäherung an das Gleichgewicht nimmt es ab und wird am Gleichgewichtspunkt gleich Null. Aber das Pendel hat bereits an Geschwindigkeit gewonnen und überschreitet den Gleichgewichtspunkt, und die elastische Kraft beginnt, es abzubremsen.

An den äußersten Punkten des Pendels das Maximum potenzielle Energie, am Gleichgewichtspunkt – maximale Kinetik.

IN wahres Leben Schwingungen werden in der Regel durch den Widerstand des Mediums gedämpft. Dabei nimmt die Amplitude von Schwingung zu Schwingung ab. Solche Schwingungen werden aufgerufen Fading.

Wenn keine Dämpfung vorliegt und die Schwingungen aufgrund der anfänglichen Energiereserve auftreten, werden sie aufgerufen freie Schwingungen.

Die an Schwingungen beteiligten Körper, ohne die Schwingungen nicht möglich wären, werden zusammenfassend genannt Schwingsystem. In unserem Fall besteht das Schwingsystem aus einem Gewicht, einer Feder und einer festen Wand. Im Allgemeinen kann man als schwingendes System jede Gruppe von Körpern bezeichnen, die zu freien Schwingungen fähig sind, also solche, in denen bei Abweichung Kräfte auftreten, die das System wieder ins Gleichgewicht bringen.

Schwingungseigenschaften

Phase bestimmt den Zustand des Systems, nämlich Koordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie usw.

Zyklische Häufigkeit charakterisiert die Änderungsrate der Schwingungsphase.

Der Ausgangszustand des Schwingungssystems wird charakterisiert durch Anfangsphase

Schwingungsamplitude A- Dies ist die größte Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition

Periode T- Dies ist der Zeitraum, in dem der Punkt eine vollständige Schwingung ausführt.

Schwingungsfrequenz ist die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit t.

Frequenz, zyklische Frequenz und Schwingungsdauer hängen zusammen

Arten von Vibrationen

Schwingungen, die in geschlossenen Systemen auftreten, nennt man frei oder eigen Schwankungen. Vibrationen, die unter dem Einfluss auftreten äußere Kräfte, angerufen gezwungen. es gibt auch Selbstschwingungen(automatisch erzwungen).

Wenn wir Schwingungen nach sich ändernden Eigenschaften (Amplitude, Frequenz, Periode usw.) betrachten, können sie unterteilt werden in harmonisch, Fading, wachsend(sowie Sägezahn, rechteckig, komplex).

Bei freien Schwingungen in realen Systemen kommt es immer zu Energieverlusten. Mechanische Energie wird beispielsweise für die Verrichtung von Arbeiten zur Überwindung von Luftwiderstandskräften aufgewendet. Unter dem Einfluss der Reibung nimmt die Amplitude der Schwingungen ab und nach einiger Zeit hören die Schwingungen auf. Offensichtlich hören die Schwingungen umso schneller auf, je größer der Widerstand gegen eine Bewegung ist.

Erzwungene Vibrationen. Resonanz

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft. Daher ist es notwendig, die Energieverluste für jede Schwingungsperiode auszugleichen. Dazu ist es notwendig, den Schwingkörper mit einer periodisch wechselnden Kraft zu beeinflussen. Erzwungene Schwingungen treten mit einer Frequenz auf, die der Frequenz der Änderungen der äußeren Kraft entspricht.

Erzwungene Vibrationen

Die Amplitude erzwungener mechanischer Schwingungen erreicht Höchster Wert für den Fall, dass die Frequenz der Antriebskraft mit der Frequenz des Schwingsystems übereinstimmt. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

Wenn wir beispielsweise regelmäßig an der Schnur im Takt ihrer eigenen Schwingungen ziehen, werden wir eine Zunahme der Amplitude ihrer Schwingungen bemerken.

Wenn Sie mit einem nassen Finger über den Rand eines Glases fahren, erzeugt das Glas klingelnde Geräusche. Obwohl es nicht wahrnehmbar ist, bewegt sich der Finger intermittierend und überträgt in kurzen Stößen Energie auf das Glas, wodurch das Glas vibriert

Auch die Wände des Glases beginnen zu vibrieren, wenn eine Schallwelle mit einer Frequenz gleich ihrer eigenen auf sie gerichtet wird. Wird die Amplitude sehr groß, kann es sogar zum Bruch des Glases kommen. Aufgrund der Resonanz zitterten (resonierten) die Kristallanhänger der Kronleuchter, als F. I. Schaljapin sang. Auch im Badezimmer ist das Auftreten von Resonanzen zu beobachten. Wenn Sie Töne unterschiedlicher Frequenz leise singen, entsteht bei einer der Frequenzen eine Resonanz.

IN Musikinstrumente Die Rolle von Resonatoren übernehmen Teile ihrer Gehäuse. Der Mensch verfügt auch über einen eigenen Resonator – die Mundhöhle, der die erzeugten Geräusche verstärkt.

Das Phänomen der Resonanz muss in der Praxis berücksichtigt werden. In manchen Fällen kann es nützlich sein, in anderen kann es schädlich sein. Resonanzphänomene können in verschiedenen mechanischen Systemen, beispielsweise schlecht konstruierten Brücken, irreversible Schäden verursachen. So stürzte 1905 die Ägyptische Brücke in St. Petersburg ein, als ein Pferdegeschwader sie überquerte, und 1940 stürzte die Tacoma-Brücke in den USA ein.

Das Resonanzphänomen wird genutzt, wenn mit Hilfe einer kleinen Kraft eine große Steigerung der Schwingungsamplitude erreicht werden muss. Beispielsweise kann die schwere Zunge einer großen Glocke durch Aufbringen einer relativ kleinen Kraft mit einer Frequenz geschwungen werden, die der Eigenfrequenz der Glocke entspricht.

Das Thema dieser Lektion: „Oszillatorische Bewegung. Kostenlose Vibrationen. Schwingungssysteme“. Zunächst werden wir eine neue Art von Bewegung definieren, die wir gerade zu untersuchen beginnen – die oszillierende Bewegung. Betrachten wir als Beispiel die Schwingungen eines Federpendels und definieren den Begriff der freien Schwingungen. Wir werden auch untersuchen, was Schwingungssysteme sind, und die Bedingungen diskutieren, die für die Existenz von Schwingungen erforderlich sind.

Zögern - Hierbei handelt es sich um eine periodische Änderung einer beliebigen physikalischen Größe: Temperaturschwankungen, Ampelfarbschwankungen usw. (Abb. 1).

Reis. 1. Beispiele für Vibrationen

Schwingungen sind die häufigste Bewegungsart in der Natur. Wenn es um Probleme im Zusammenhang mit mechanischen Bewegungen geht, ist dies die häufigste Art mechanisches Uhrwerk. Normalerweise sagt man so: Man nennt eine Bewegung, die sich im Laufe der Zeit ganz oder teilweise wiederholt Zögern. Mechanische Vibrationen- Dies ist eine periodische Änderung physikalischer Größen, die mechanische Bewegungen charakterisieren: Körperposition, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Beispiele für Schwingungen: die Schwingung einer Schaukel, die Bewegung von Blättern und das Schwanken von Bäumen unter dem Einfluss des Windes, das Pendel einer Uhr, die Bewegung des menschlichen Körpers.

Reis. 2. Beispiele für Schwingungen

Die gebräuchlichsten mechanischen Schwingsysteme sind:

Ein an einer Feder befestigtes Gewicht – Federpendel. Das Pendel erzählen Anfangsgeschwindigkeit gerät er aus dem Gleichgewicht. Das Pendel schwingt auf und ab. Um Schwingungen in einem Federpendel auszulösen, sind die Anzahl der Federn und deren Steifigkeit wichtig.

Reis. 3. Federpendel

Mathe-Pendel - solide, an einem langen Faden aufgehängt, schwingt im Schwerefeld der Erde.

Reis. 4. Mathematische Pendel

Bedingungen für die Existenz von Schwingungen

Vorhandensein eines schwingungsfähigen Systems. Schwingsystem ist ein System, in dem Schwingungen existieren können.

Reis. 5. Beispiele für Schwingungssysteme

Punkt des stabilen Gleichgewichts. Um diesen Punkt herum finden Schwingungen statt.

Reis. 6. Gleichgewichtspunkt

Es gibt drei Arten von Gleichgewichtspositionen: stabil, instabil und indifferent. Stabil: wenn das System dazu neigt, bei Tiefdruck in seine ursprüngliche Position zurückzukehren Äußerer Einfluss. Das Vorhandensein eines stabilen Gleichgewichts ist eine wichtige Voraussetzung für das Auftreten von Schwingungen im System.

Energiereserven, die Schwingungen hervorrufen. Schwingungen können schließlich nicht von selbst entstehen; wir müssen das System aus dem Gleichgewicht bringen, damit diese Schwingungen auftreten. Das heißt, diesem System Energie zu verleihen, damit die Schwingungsenergie dann in die Bewegung umgewandelt wird, die wir betrachten.

Reis. 7 Energiereserven

Geringe Reibungskräfte. Wenn diese Kräfte groß sind, kann von Schwingungen keine Rede sein.

Lösung Hauptaufgabe Mechanik bei Vibrationen

Mechanische Vibrationen sind eine Art mechanischer Bewegung. Die Hauptaufgabe der Mechanik- Dies ist die Bestimmung der Position des Körpers zu jedem Zeitpunkt. Erhalten wir das Abhängigkeitsgesetz für mechanische Schwingungen.

Wir werden versuchen, das zu findende Gesetz zu erraten und es nicht mathematisch abzuleiten, da der Wissensstand der neunten Klasse für strenge mathematische Berechnungen nicht ausreicht. Diese Methode wird häufig in der Physik verwendet. Zuerst versuchen sie, eine faire Lösung vorherzusagen, und dann beweisen sie sie.

Schwingungen sind ein periodischer oder nahezu periodischer Prozess. Das bedeutet, dass das Gesetz eine periodische Funktion ist. In der Mathematik sind periodische Funktionen oder.

Das Gesetz wird keine Lösung für das Hauptproblem der Mechanik sein, da es sich um eine dimensionslose Größe handelt und die Maßeinheiten Meter sind. Verbessern wir die Formel, indem wir vor dem Sinus einen Faktor hinzufügen, der der maximalen Abweichung von der Gleichgewichtslage entspricht – dem Amplitudenwert: . Bitte beachten Sie, dass die Zeiteinheiten Sekunden sind. Überlegen Sie zum Beispiel, was es bedeutet? Dieser Ausdruck ergibt keinen Sinn. Der Ausdruck unter dem Sinus muss in Grad oder Bogenmaß gemessen werden. Dies wird im Bogenmaß gemessen physikalische Größe, da die Schwingungsphase das Produkt aus zyklischer Frequenz und Zeit ist.

Freie harmonische Schwingungen werden durch das Gesetz beschrieben:

Mit dieser Gleichung lässt sich jederzeit die Position des Schwingkörpers ermitteln.

Energie und Gleichgewicht

Erkunden mechanische Schwingungen Besonderes Interesse sollte dem Konzept der Gleichgewichtslage gewidmet werden – einer notwendigen Bedingung für das Vorhandensein von Schwingungen.

Es gibt drei Arten von Gleichgewichtspositionen: stabil, instabil und indifferent.

Abbildung 8 zeigt eine Kugel, die sich in einer Kugelrille befindet. Wird die Kugel aus ihrer Gleichgewichtslage entfernt, wirken auf sie folgende Kräfte: Schwerkraft senkrecht nach unten gerichtet, Stützreaktionskraft senkrecht zur Tangente entlang des Radius gerichtet. Die Vektorsumme dieser beiden Kräfte ergibt die Resultierende, die auf die Gleichgewichtslage zurückgeführt wird. Das heißt, der Ball neigt dazu, in seine Gleichgewichtsposition zurückzukehren. Diese Gleichgewichtslage heißt nachhaltig.

Reis. 8. Stabiles Gleichgewicht

Legen wir die Kugel auf eine konvexe Kugelrille und bewegen sie leicht aus ihrer Gleichgewichtslage (Abb. 9). Die Schwerkraft ist immer noch senkrecht nach unten gerichtet, die Bodenreaktionskraft steht immer noch senkrecht zur Tangente. Nun ist die resultierende Kraft jedoch in die entgegengesetzte Richtung zur Ausgangsposition des Körpers gerichtet. Der Ball neigt dazu, nach unten zu rollen. Diese Gleichgewichtslage heißt instabil.

Reis. 9. Instabiles Gleichgewicht

In Abbildung 10 befindet sich der Ball auf einer horizontalen Ebene. Die Resultierende zweier Kräfte ist an jedem Punkt der Ebene gleich. Diese Gleichgewichtslage heißt gleichgültig.

Reis. 10. Indifferentes Gleichgewicht

Mit stabiler und instabiles Gleichgewicht Der Ball strebt danach, eine Position einzunehmen, in der er Die potenzielle Energie wird minimal sein.

Jedes mechanische System neigt dazu, spontan eine Position einzunehmen, in der seine potentielle Energie minimal ist. Beispielsweise fühlen wir uns im Liegen wohler als im Stehen.

Daher ist es notwendig, die Bedingung für die Existenz von Schwingungen durch die Tatsache zu ergänzen, dass das Gleichgewicht notwendigerweise stabil sein muss.

Wird einem gegebenen Pendel oder Schwingsystem Energie zugeführt, so werden die durch diese Wirkung entstehenden Schwingungen aufgerufen frei. Häufigere Definition: Schwingungen werden als frei bezeichnet, die nur unter dem Einfluss innerer Kräfte des Systems auftreten.

Freie Schwingungen werden auch Eigenschwingungen eines gegebenen Schwingungssystems, eines gegebenen Pendels genannt. Freie Schwingungen werden gedämpft. Durch die Reibungskräfte sterben sie früher oder später ab. In diesem Fall ist der Wert zwar klein, aber nicht Null. Wenn keine zusätzliche Kraft den Körper zur Bewegung zwingt, hören die Vibrationen auf.

Gleichung für die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Beschleunigung von der Zeit

Um zu verstehen, ob sich Geschwindigkeit und Beschleunigung bei Schwingungen ändern, wenden wir uns einem mathematischen Pendel zu.

Das Pendel wird aus seiner Gleichgewichtslage entfernt und beginnt zu schwingen. An den extremen Schwingungspunkten ändert die Geschwindigkeit ihre Richtung und am Gleichgewichtspunkt ist die Geschwindigkeit maximal. Ändert sich die Geschwindigkeit, dann erfährt der Körper eine Beschleunigung. Wird eine solche Bewegung gleichmäßig beschleunigt? Natürlich nicht, denn wenn die Geschwindigkeit zunimmt (abnimmt), ändert sich auch die Richtung. Das bedeutet, dass sich auch die Beschleunigung ändert. Unsere Aufgabe besteht darin, Gesetze zu ermitteln, nach denen sich die Geschwindigkeitsprojektion und die Beschleunigungsprojektion im Laufe der Zeit ändern.

Die Koordinate ändert sich im Laufe der Zeit entsprechend Harmonisches Gesetz, nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz. Es ist logisch anzunehmen, dass sich auch Geschwindigkeit und Beschleunigung nach einem harmonischen Gesetz ändern.

Gesetz der Koordinatenänderung:

Das Gesetz, nach dem sich die Geschwindigkeitsprojektion im Laufe der Zeit ändert:

Auch dieses Gesetz ist harmonisch, aber wenn sich die Koordinate im Laufe der Zeit nach dem Sinusgesetz ändert, dann ist die Geschwindigkeitsprojektion nach dem Kosinusgesetz. Die Koordinate in der Gleichgewichtsposition ist Null, aber die Geschwindigkeit in der Gleichgewichtsposition ist maximal. Und umgekehrt, wo die Koordinate maximal ist, ist die Geschwindigkeit Null.

Das Gesetz, nach dem sich die Beschleunigungsprojektion im Laufe der Zeit ändert:

Das Minuszeichen erscheint, weil beim Erhöhen der Koordinate die Rückstellkraft in die entgegengesetzte Richtung gerichtet ist. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Beschleunigung in die gleiche Richtung gerichtet wie die resultierende Kraft. Wenn also die Koordinate zunimmt, nimmt die Beschleunigung zu, jedoch in die entgegengesetzte Richtung, und umgekehrt, wie durch das Minuszeichen in der Gleichung angezeigt.

Referenzliste

Kikoin A.K. Zum Gesetz der oszillierenden Bewegung // Quantum. - 1983. - Nr. 9. - S. 30-31.
Kikoin I.K., Kikoin A.K. Physik: Lehrbuch. für die 9. Klasse. Durchschn. Schule - M.: Bildung, 1992. - 191 S.
Chernoutsan A.I. Harmonische Schwingungen – gewöhnlich und erstaunlich // Quantum. - 1991. - Nr. 9. - S. 36-38.
Sokolovich Yu.A., Bogdanova G.S. Physik: ein Nachschlagewerk mit Beispielen zur Problemlösung. - 2. Auflage, Überarbeitung. - X.: Vesta: Verlag "Ranok", 2005. - 464 S.

Internetportal „youtube.com“ ()
Internetportal „eduspb.com“ ()
Internetportal „physics.ru“ ()
Internetportal „its-physics.org“ ()

Hausaufgaben

Was sind freie Schwingungen? Nennen Sie einige Beispiele für solche Schwankungen.
Berechnen Sie die Frequenz der freien Schwingungen des Pendels, wenn die Länge seines Fadens 2 m beträgt. Bestimmen Sie, wie lange 5 Schwingungen eines solchen Pendels dauern.
Wie groß ist die freie Schwingungsdauer eines Federpendels, wenn die Federsteifigkeit 50 N/m und die Masse der Last 100 g beträgt?