So multiplizieren Sie einfache Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Gewöhnliche Brüche multiplizieren: Regeln, Beispiele, Lösungen

KOMMEN SIE SCHON ÜBER DIESE RECHEN AB! 🙂

Brüche multiplizieren und dividieren.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr“ sind. »
Und für diejenigen, die „sehr sehr.“ ")

Diese Operation ist viel angenehmer als Addition und Subtraktion! Weil es einfacher ist. Zur Erinnerung: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Also:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Hier ist er nicht nötig...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umkehren zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Wenn Sie auf Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen stoßen, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition bilden wir aus einer ganzen Zahl mit Eins im Nenner einen Bruch – und machen Sie weiter! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie kann ich diesen Bruch anständig aussehen lassen? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Zweipunktdivision:

Aber vergessen Sie nicht die Reihenfolge der Teilung! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüren Sie den Unterschied? 4 und 1/9!

Was bestimmt die Reihenfolge der Teilung? Entweder mit Klammern, oder (wie hier) mit der Länge horizontaler Linien. Entwickeln Sie Ihr Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividieren und multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und auch sehr einfach und wichtige Technik. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen sehr nützlich sein! Teilen wir eins durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und das passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das ist alles für Operationen mit Brüchen. Die Sache ist ganz einfach, aber es gibt mehr als genug Fehler. Berücksichtigen Sie praktische Ratschläge und es wird weniger (Fehler) geben!

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Es ist nicht gebräuchliche Worte, keine guten Wünsche! Das ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen zum Einheitlichen Staatsexamen als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als bei den mentalen Berechnungen Fehler zu machen.

2. In Beispielen mit verschiedene Typen Brüche – Fahren Sie mit gewöhnlichen Brüchen fort.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

Hier sind die Aufgaben, die Sie unbedingt erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Tipps. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen konnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen.

Denken Sie daran – die richtige Antwort lautet ab dem zweiten (besonders dem dritten) Mal erhaltenen Informationen zählen nicht! So ist das harte Leben.

Also, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens schon eine Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Wir lösen das Beispiel, überprüfen es und lösen das nächste. Wir haben alles entschieden - von Anfang bis Ende noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Wir suchen nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich unordentlich aufgeschrieben, sozusagen fernab der Versuchung. Hier sind sie, die Antworten, durch Semikolons getrennt.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für dich! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht.

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber. Das lösbar Probleme.

Alle diese (und mehr!) Beispiele werden im Sonderabschnitt 555 „Brüche“ besprochen. Mit ausführlichen Erklärungen zum Was, Warum und Wie. Diese Analyse hilft sehr bei mangelndem Wissen und Können!

Ja, und zum zweiten Problem gibt es da etwas.) Ganz praktische Ratschläge, wie man aufmerksamer wird. Ja Ja! Ratschläge, die angewendet werden können jeden.

Erfolg erfordert neben Wissen und Aufmerksamkeit auch eine gewisse Automatismus. Wo kann ich das bekommen? Ich höre ein schweres Seufzen... Ja, nur in der Praxis, nirgendwo sonst.

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Hier können Sie das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Und hier können Sie Funktionen und Ableitungen kennenlernen.

Regel 1.

Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie seinen Zähler mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen.

Regel 2.

So multiplizieren Sie einen Bruch mit einem Bruch:

1. Finden Sie das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche

2. Schreiben Sie das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner.

Regel 3.

Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie als unechte Brüche schreiben und dann die Regel zum Multiplizieren von Brüchen verwenden.

Regel 4.

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Beispiel 1.

Berechnung

Beispiel 2.

Berechnung

Beispiel 3.

Berechnung

Beispiel 4.

Berechnung

Mathematik. Andere Materialien

Erhöhen einer Zahl auf eine rationale Potenz. (

Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen. (

Verallgemeinerte Intervallmethode zur Lösung algebraischer Ungleichungen (Autor A.V. Kolchanov)

Methode zum Ersetzen von Faktoren beim Lösen algebraischer Ungleichungen (Autor Kolchanov A.V.)

Zeichen der Teilbarkeit (Lungu Alena)

Testen Sie sich zum Thema „Multiplikation und Division“ gewöhnliche Brüche’

Brüche multiplizieren

Wir werden die Multiplikation gewöhnlicher Brüche in mehreren möglichen Varianten betrachten.

Einen gewöhnlichen Bruch mit einem Bruch multiplizieren

Dies ist der einfachste Fall, in dem Sie Folgendes verwenden müssen Regeln für die Multiplikation von Brüchen.

Zu Bruch mit Bruch multiplizieren, notwendig:

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und schreiben Sie ihr Produkt in den Zähler des neuen Bruchs.

Multiplizieren Sie den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und schreiben Sie ihr Produkt in den Nenner des neuen Bruchs.

Bevor Sie Zähler und Nenner multiplizieren, prüfen Sie, ob sich die Brüche reduzieren lassen. Durch die Reduzierung von Brüchen in Berechnungen werden Ihre Berechnungen erheblich einfacher.

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren

Einen Bruch machen mit einer natürlichen Zahl multiplizieren Sie müssen den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner des Bruchs unverändert lassen.

Wenn das Ergebnis der Multiplikation ein unechter Bruch ist, vergessen Sie nicht, ihn in eine gemischte Zahl umzuwandeln, d. h. den ganzen Teil hervorzuheben.

Gemischte Zahlen multiplizieren

Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie zunächst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Eine andere Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren

Bei Berechnungen ist es manchmal bequemer, eine andere Methode zur Multiplikation eines gewöhnlichen Bruchs mit einer Zahl zu verwenden.

Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler gleich lassen.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, ist diese Version der Regel bequemer anzuwenden, wenn der Nenner des Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl teilbar ist.

Einen Bruch durch eine Zahl dividieren

Wie dividiert man einen Bruch am schnellsten durch eine Zahl? Lassen Sie uns die Theorie analysieren, eine Schlussfolgerung ziehen und anhand von Beispielen sehen, wie die Division eines Bruchs durch eine Zahl mithilfe einer neuen Kurzregel erfolgen kann.

Normalerweise folgt die Division eines Bruchs durch eine Zahl der Regel zum Teilen von Brüchen. Wir multiplizieren die erste Zahl (Bruch) mit dem Kehrwert der zweiten. Da die zweite Zahl eine ganze Zahl ist, ist ihr Kehrwert ein Bruch, dessen Zähler gleich eins und dessen Nenner gleich der gegebenen Zahl ist. Schematisch sieht die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl so aus:

Daraus schließen wir:

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, müssen Sie den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren und den Zähler gleich lassen. Die Regel lässt sich noch kürzer formulieren:

Wenn man einen Bruch durch eine Zahl dividiert, geht die Zahl in den Nenner ein.

Teilen Sie einen Bruch durch eine Zahl:

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, schreiben wir den Zähler unverändert um und multiplizieren den Nenner mit dieser Zahl. Wir reduzieren 6 und 3 um 3.

Wenn wir einen Bruch durch eine Zahl dividieren, schreiben wir den Zähler um und multiplizieren den Nenner mit dieser Zahl. Wir reduzieren 16 und 24 um 8.

Wenn man einen Bruch durch eine Zahl dividiert, geht die Zahl in den Nenner ein, also lassen wir den Zähler gleich und multiplizieren den Nenner mit dem Divisor. Wir reduzieren 21 und 35 um 7.

Brüche multiplizieren und dividieren

Beim letzten Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Brüche addieren und subtrahieren“). Der schwierigste Teil dieser Aktionen bestand darin, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne getrennten ganzzahligen Teil gibt.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner getrennt multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch mit dem „invertierten“ zweiten Bruch multiplizieren.

Aus der Definition folgt, dass die Division von Brüchen auf eine Multiplikation reduziert wird. Um einen Bruch umzudrehen, tauschen Sie einfach Zähler und Nenner aus. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.

Durch die Multiplikation kann ein reduzierbarer Bruch entstehen (und entsteht oft auch) – dieser muss natürlich gekürzt werden. Sollte sich nach all den Kürzungen herausstellen, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil hervorgehoben werden. Aber was bei der Multiplikation definitiv nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzmethoden, größte Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

Brüche mit ganzen Teilen und negativen Brüchen multiplizieren

Falls in Bruchteilen vorhanden ganzer Teil, müssen sie in falsche umgewandelt werden – und erst dann nach den oben beschriebenen Schemata multipliziert werden.

Steht im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus, kann es nach folgenden Regeln aus der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:

Plus durch Minus ergibt Minus;
Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.

Bisher sind diese Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren negativer Brüche anzutreffen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für eine Arbeit können sie verallgemeinert werden, um mehrere Nachteile gleichzeitig zu „verbrennen“:

Wir streichen die Negative paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben – dasjenige, für das es keinen Partner gab;
Wenn keine Minuspunkte mehr übrig sind, ist die Operation abgeschlossen – Sie können mit der Multiplikation beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, weil es dafür kein Paar gab, nehmen wir es außerhalb der Multiplikationsgrenzen. Das Ergebnis ist ein negativer Bruch.

Wir wandeln alle Brüche in unechte Brüche um und entfernen dann die Minuspunkte aus der Multiplikation. Was übrig bleibt, multiplizieren wir nach den üblichen Regeln. Wir bekommen:

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus, das vor einem Bruch mit hervorgehobenem ganzen Teil erscheint, speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).

Beachten Sie auch negative Zahlen: Beim Multiplizieren werden sie in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.

Brüche im laufenden Betrieb reduzieren

Die Multiplikation ist ein sehr arbeitsintensiver Vorgang. Die Zahlen fallen hier recht groß aus, und um das Problem zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch weiter zu reduzieren vor der Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs reduziert werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren vollständig reduziert. An ihre Stelle treten Einheiten, die im Allgemeinen nicht geschrieben werden müssen. Im zweiten Beispiel konnte zwar keine vollständige Reduzierung erreicht werden, der Gesamtaufwand an Berechnungen verringerte sich aber dennoch.

Wenden Sie diese Technik jedoch niemals beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen an! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die man einfach reduzieren möchte. Hier, schau:

Das kannst du nicht machen!

Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren der Zähler eines Bruchs eine Summe und kein Produkt von Zahlen ergibt. Folglich ist es unmöglich, die Grundeigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da es sich bei dieser Eigenschaft speziell um die Multiplikation von Zahlen handelt.

Es gibt einfach keine anderen Gründe, Brüche zu kürzen, daher sieht die richtige Lösung des vorherigen Problems so aus:

Wie Sie sehen, war die richtige Antwort nicht so schön. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.

Brüche dividieren.

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren.

Beispiele für die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl

Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch.

Beispiele für die Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

Division gewöhnlicher Brüche.

Beispiele für die Division gewöhnlicher Brüche

Gemischte Zahlen dividieren.

gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten;
den resultierenden Bruch reduzieren;
Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln Sie den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.

Beispiele für die Division gemischter Zahlen

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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Willkommen bei OnlineMSchool.
Mein Name ist Dovzhik Mikhail Viktorovich. Ich bin der Besitzer und Autor dieser Seite, ich habe das gesamte theoretische Material geschrieben und außerdem Online-Übungen und Taschenrechner entwickelt, die Sie zum Mathematiklernen verwenden können.

Brüche. Brüche multiplizieren und dividieren.

Einen gewöhnlichen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.

Um gewöhnliche Brüche zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler (wir erhalten den Zähler des Produkts) und den Nenner mit dem Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts) multiplizieren.

Formel zur Multiplikation von Brüchen:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch reduziert werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, können Sie weitere Berechnungen einfacher durchführen.

Beachten Sie! Hier muss nicht nach einem gemeinsamen Nenner gesucht werden!!

Einen gemeinsamen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Das Teilen eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch geschieht folgendermaßen: Man dreht den zweiten Bruch um (d. h. ändert Zähler und Nenner) und anschließend werden die Brüche multipliziert.

Formel zum Teilen gewöhnlicher Brüche:

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren.

Beachten Sie! Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl wird der Zähler des Bruchs mit unserer natürlichen Zahl multipliziert und der Nenner des Bruchs bleibt gleich. Wenn das Ergebnis des Produkts ein unechter Bruch ist, markieren Sie unbedingt den gesamten Teil und verwandeln Sie den unechten Bruch in einen gemischten Bruch.

Division von Brüchen mit natürlichen Zahlen.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:

Gemischte Brüche multiplizieren.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen;
Reduziere den Bruch;
Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.

Beachten Sie! Multiplizieren gemischte Fraktion Um sie in einen anderen gemischten Bruch umzuwandeln, müssen Sie sie zuerst in die Form unechter Brüche umwandeln und sie dann gemäß der Regel zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, bei der ein gemeinsamer Bruch mit einer Zahl multipliziert wird.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler unverändert lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstöckige Brüche.

In der Oberstufe trifft man häufig auf dreistöckige (oder mehrstöckige) Brüche. Beispiel:

Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, verwenden Sie die Division durch 2 Punkte:

Beachten Sie! Bei der Division von Brüchen ist die Reihenfolge der Division sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.

Beachten Sie, Zum Beispiel:

Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als sich in gedanklichen Berechnungen zu verlieren.

2. Wechseln Sie bei Aufgaben mit verschiedenen Brucharten zu den gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche, bis eine Reduzierung nicht mehr möglich ist.

4. Wir wandeln mehrstufige Bruchausdrücke durch Division durch 2 Punkte in gewöhnliche um.

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Im fünften Jahrhundert v. Chr antiker griechischer Philosoph Zenon von Elea formulierte seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ...die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen...waren an der Untersuchung des Themas beteiligt mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, ist der mathematische Anwendungsapparat variable Einheiten Die Messung wurde entweder noch nicht entwickelt oder nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleib drinnen konstante Einheiten Zeitmessungen und gehen nicht auf reziproke Größen ein. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Für das nächste Zeitintervall gleich zuerst, Achilles wird noch tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos von verschiedene Punkte Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, aber es ist unmöglich, daraus die Tatsache der Bewegung zu bestimmen (natürlich werden für Berechnungen noch zusätzliche Daten benötigt, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Anwendbar mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme In der Analysis ist die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, schauen wir uns die Nummer 26 aus dem Artikel über an. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich bedeutet dies, dass es nichts mit Mathematik zu tun hat.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Unterrichtsinhalte

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten der Addition von Brüchen:

Brüche mit gleichem Nenner addieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Lassen Sie uns zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern lernen. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 2. Addiere Brüche und .

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein unechter Bruch war. Am Ende der Aufgabe ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil davon auswählen. In unserem Fall lässt sich der ganze Teil leicht isolieren – zwei geteilt durch zwei ergibt eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an eine Pizza erinnern, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Auch hier addieren wir die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.

Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht kompliziert. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Aber Brüche können nicht sofort addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute werden wir uns nur eine davon ansehen, da die anderen Methoden für einen Anfänger möglicherweise kompliziert erscheinen.

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst die LCM der Nenner beider Brüche gesucht wird. Der LCM wird dann durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert, um den ersten zusätzlichen Faktor zu erhalten. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor.

Anschließend werden Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Addieren wir die Brüche und

Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und . Teilen Sie zunächst den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten Sie den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Machen Sie dazu einen kleinen schrägen Strich über den Bruch und notieren Sie den darüber liegenden Zusatzfaktor:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum zweiten Bruch auf. Wieder machen wir einen kleinen schrägen Strich über den zweiten Bruch und notieren den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:

Jetzt haben wir alles zum Hinzufügen bereit. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Damit ist das Beispiel abgeschlossen. Es stellt sich heraus, hinzuzufügen.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man einer Pizza Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann mit einem Bild dargestellt werden. Indem wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.

Die erste Zeichnung stellt einen Bruch dar (vier von sechs Teilen), und die zweite Zeichnung stellt einen Bruch dar (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile addieren, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist unechten, daher haben wir den gesamten Teil hervorgehoben. Als Ergebnis bekamen wir (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Bitte beachten Sie, was wir beschrieben haben dieses Beispiel zu detailliert. IN Bildungsinstitutionen Es ist nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die gefundenen zusätzlichen Faktoren schnell mit Ihren Zählern und Nennern zu multiplizieren. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch eine andere Seite der Medaille. Wenn man sich in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen macht, tauchen solche Fragen auf. „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden Brüche plötzlich zu ganz anderen Brüchen?“ «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie seinen ganzen Teil aus.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Nutzen wir die oben gegebenen Anweisungen.

Schritt 1. Ermitteln Sie den LCM der Nenner der Brüche

Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner von Brüchen sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch

Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit ihren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit demselben Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Jetzt müssen nur noch diese Brüche addiert werden. Addiere es zusammen:

Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile verschoben, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang der neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) eingefügt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil davon aus

Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort ein unechter Bruch war. Wir müssen einen ganzen Teil davon hervorheben. Wir heben hervor:

Wir haben eine Antwort erhalten

Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren

Es gibt zwei Arten der Subtraktion von Brüchen:

Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren, den Nenner jedoch gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:

Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil davon hervorheben.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Sie können beispielsweise einen Bruch von einem Bruch subtrahieren, weil die Brüche den gleichen Nenner haben. Sie können jedoch keinen Bruch von einem Bruch subtrahieren, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über dem ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über dem zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit gleichen Nennern umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Zuerst ermitteln wir die LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Schreiben Sie eine Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie eine Drei über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Wir haben eine Antwort erhalten

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizza schneidet, erhält man Pizza

Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes veranschaulichen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert):

Das erste Bild zeigt einen Bruch (acht von zwölf Stücken), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Stücken). Indem wir aus acht Stücken drei Stücke schneiden, erhalten wir fünf aus zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Lassen Sie uns den LCM der Nenner dieser Brüche ermitteln.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruch kürzen.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (GCD) der Zahlen 20 und 30 dividieren.

Also finden wir den gcd der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd, also durch 10

Wir haben eine Antwort erhalten

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multiplizieren Sie einen Bruch mit der Zahl 1.

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Die Aufnahme kann als Halbzeitaufnahme verstanden werden. Wer zum Beispiel einmal Pizza isst, bekommt Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Faktor vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Diese Notation kann so verstanden werden, dass sie die Hälfte von eins nimmt. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Wenn Sie beispielsweise 4 Pizzen nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:

Brüche multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil davon hervorheben.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir haben eine Antwort erhalten. Es empfiehlt sich, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann wird die endgültige Lösung die folgende Form annehmen:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nimmt man aus dieser Hälfte zwei Drittel? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Teilen:

Wir machen Pizza. Denken Sie daran, wie Pizza aussieht, wenn sie in drei Teile geteilt wird:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:

Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Pizza gleicher Größe. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, aber es wäre gut, wenn er gekürzt würde. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Lassen Sie uns also den gcd der Zahlen 105 und 450 ermitteln:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort durch den ggT, den wir nun gefunden haben, also durch 15

Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Dies ändert nichts an der Bedeutung von fünf, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie wir wissen, gleich fünf ist:

Reziproke Zahlen

Jetzt werden wir uns sehr kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.

Definition. Umgekehrt zur NummerA ist eine Zahl, die multipliziert mitA gibt einen.

Ersetzen wir in dieser Definition die Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Nummer 5 ist eine Zahl, die multipliziert mit 5 gibt einen.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Stellen wir uns fünf als Bruch vor:

Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur verkehrt herum:

Was wird dadurch passieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit multipliziert, erhält man eins.

Der Kehrwert einer Zahl kann auch für jede andere ganze Zahl ermittelt werden.

Sie können auch den Kehrwert jedes anderen Bruchs ermitteln. Drehen Sie es dazu einfach um.

Einen Bruch durch eine Zahl dividieren

Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viel Pizza bekommt jede Person?

Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Pizza in zwei Hälften zwei gleiche Stücke entstanden, von denen jedes eine Pizza darstellt. So bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt durch Kehrwerte. Mit Kehrzahlen können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, müssen Sie den Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Aufteilung unserer Pizzahälfte in zwei Teile auf.

Sie müssen also den Bruch durch die Zahl 2 dividieren. Hier ist der Dividend der Bruch und der Divisor die Zahl 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, müssen Sie diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist der Bruch. Sie müssen also mit multiplizieren

In diesem Artikel werden wir uns damit befassen Gemischte Zahlen multiplizieren. Zunächst skizzieren wir die Regel zur Multiplikation gemischter Zahlen und betrachten die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen. Als nächstes sprechen wir über die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl. Schließlich lernen wir, wie man eine gemischte Zahl und einen gemeinsamen Bruch multipliziert.

Seitennavigation.

Gemischte Zahlen multiplizieren.

Gemischte Zahlen multiplizieren kann auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu genügt es, gemischte Zahlen in unechte Brüche umzuwandeln.

Schreiben wir es auf Multiplikationsregel für gemischte Zahlen:

Zunächst müssen die zu multiplizierenden gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden;
Zweitens müssen Sie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen mit Brüchen verwenden.

Schauen wir uns Beispiele für die Anwendung dieser Regel an, wenn eine gemischte Zahl mit einer gemischten Zahl multipliziert wird.

Führen Sie eine Multiplikation gemischter Zahlen durch und .

Stellen wir uns zunächst die gemischten Zahlen, die multipliziert werden, als unechte Brüche vor: Und . Jetzt können wir die Multiplikation gemischter Zahlen durch die Multiplikation gewöhnlicher Brüche ersetzen: . Wenn wir die Regel zum Multiplizieren von Brüchen anwenden, erhalten wir . Der resultierende Bruch ist irreduzibel (siehe reduzierbare und irreduzible Brüche), aber er ist uneigentlich (siehe echte und unechte Brüche). Um die endgültige Antwort zu erhalten, muss daher noch der ganze Teil vom unechten Bruch isoliert werden: .

Schreiben wir die gesamte Lösung in eine Zeile: .

Um die Fähigkeiten zum Multiplizieren gemischter Zahlen zu stärken, ziehen Sie die Lösung eines weiteren Beispiels in Betracht.

Führen Sie die Multiplikation durch.

Lustige Zahlen und entsprechen den Brüchen 13/5 bzw. 10/9. Dann . In diesem Stadium ist es an der Zeit, sich an die Reduktion eines Bruchs zu erinnern: Ersetzen Sie alle Zahlen im Bruch durch ihre Zerlegungen in Primfaktoren und führen Sie eine Reduktion identischer Faktoren durch.

Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl

Nachdem eine gemischte Zahl durch einen unechten Bruch ersetzt wurde, Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl führt zur Multiplikation eines gewöhnlichen Bruchs und einer natürlichen Zahl.

Multiplizieren Sie eine gemischte Zahl und die natürliche Zahl 45.

Eine gemischte Zahl ist dann gleich einem Bruch . Ersetzen wir die Zahlen im resultierenden Bruch durch ihre Zerlegungen in Primfaktoren, führen eine Reduktion durch und wählen dann den ganzen Teil aus: .

Die Multiplikation einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl wird manchmal bequem unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition durchgeführt. In diesem Fall ist das Produkt einer gemischten Zahl und einer natürlichen Zahl gleich der Summe der Produkte des ganzzahligen Teils durch die gegebene natürliche Zahl und des gebrochenen Teils durch die gegebene natürliche Zahl, d. h. .

Berechnen Sie das Produkt.

Ersetzen wir die gemischte Zahl durch die Summe der ganzen und gebrochenen Teile und wenden anschließend die Verteilungseigenschaft der Multiplikation an: .

Gemischte Zahlen und Brüche multiplizieren Es ist am bequemsten, es auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche zu reduzieren, indem man die gemischte Zahl, die multipliziert wird, als unechten Bruch darstellt.

Multiplizieren Sie die gemischte Zahl mit dem gemeinsamen Bruch 4/15.

Ersetzen wir die gemischte Zahl durch einen Bruch, erhalten wir .

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Brüche multiplizieren

§ 140. Definitionen. 1) Die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl wird auf die gleiche Weise definiert wie die Multiplikation ganzer Zahlen, nämlich: Eine Zahl (Multiplikand) mit einer ganzen Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, eine Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Mit 5 zu multiplizieren bedeutet also, die Summe zu finden:
2) Eine Zahl (Multiplikand) mit einem Bruch (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikanden zu finden.

Daher nennen wir das Finden eines Bruchs einer gegebenen Zahl, die wir zuvor betrachtet haben, Multiplikation mit einem Bruch.

3) Eine Zahl (Multiplikand) mit einer gemischten Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, den Multiplikanden zuerst mit der ganzen Zahl des Multiplikators und dann mit dem Bruchteil des Multiplikators zu multiplizieren und die Ergebnisse dieser beiden Multiplikationen zu addieren.

Zum Beispiel:

Die Zahl, die sich in all diesen Fällen nach der Multiplikation ergibt, wird aufgerufen arbeiten, also das gleiche wie beim Multiplizieren von ganzen Zahlen.

Aus diesen Definitionen geht hervor, dass die Multiplikation von Bruchzahlen eine Aktion ist, die immer möglich und immer eindeutig ist.

§ 141. Die Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Um zu verstehen, wie sinnvoll es ist, die letzten beiden Definitionen der Multiplikation in die Arithmetik einzuführen, nehmen wir das folgende Problem:

Aufgabe. Ein gleichmäßig fahrender Zug legt 40 km pro Stunde zurück; Wie kann man herausfinden, wie viele Kilometer dieser Zug in einer bestimmten Anzahl von Stunden zurücklegen wird?

Wenn wir bei dieser einen Definition der Multiplikation bleiben würden, die in der Ganzzahlarithmetik (der Addition gleicher Terme) angegeben wird, dann hätte unser Problem drei verschiedene Lösungen, nämlich:

Wenn die angegebene Stundenzahl eine ganze Zahl ist (z. B. 5 Stunden), müssen Sie zur Lösung des Problems 40 km mit dieser Stundenzahl multiplizieren.

Wenn eine bestimmte Anzahl von Stunden als Bruch ausgedrückt wird (z. B. eine Stunde), müssen Sie den Wert dieses Bruchs aus 40 km ermitteln.

Wenn schließlich die angegebene Anzahl von Stunden gemischt wird (z. B. Stunden), müssen 40 km mit der in der gemischten Zahl enthaltenen ganzen Zahl multipliziert werden und zum Ergebnis ein weiterer Bruchteil von 40 km hinzugefügt werden, der in der gemischten Zahl enthalten ist Nummer.

Die Definitionen, die wir geben, berücksichtigen all dies mögliche Fälle Geben Sie eine allgemeine Antwort:

Sie müssen 40 km mit einer bestimmten Anzahl von Stunden multiplizieren, wie auch immer diese sein mag.

Wenn das Problem also in allgemeiner Form wie folgt dargestellt wird:

Ein gleichmäßig fahrender Zug legt in einer Stunde v km zurück. Wie viele Kilometer legt der Zug in t Stunden zurück?

Dann können wir unabhängig von den Zahlen v und t eine Antwort geben: Die gewünschte Zahl wird durch die Formel v · t ausgedrückt.

Notiz. Nach unserer Definition bedeutet das Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl dasselbe wie das Multiplizieren einer gegebenen Zahl mit diesem Bruch; Daher bedeutet beispielsweise das Finden von 5 % (d. h. fünf Hundertstel) einer bestimmten Zahl dasselbe wie das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit oder mit ; 125 % einer bestimmten Zahl zu finden bedeutet dasselbe wie diese Zahl mit oder mit zu multiplizieren usw.

§ 142. Eine Anmerkung darüber, wann eine Zahl durch Multiplikation zunimmt und wann sie abnimmt.

Die Multiplikation mit einem echten Bruch verringert die Zahl, und die Multiplikation mit einem unechten Bruch erhöht die Zahl, wenn dieser unechte Bruch größer als eins ist, und bleibt unverändert, wenn sie gleich eins ist.
Kommentar. Bei der Multiplikation von Bruchzahlen sowie ganzen Zahlen wird das Produkt gebildet gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, also .

§ 143. Ableitung von Multiplikationsregeln.

1) Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren. Lassen Sie einen Bruch mit 5 multiplizieren. Dies bedeutet, dass er um das Fünffache erhöht wird. Um einen Bruch um das Fünffache zu erhöhen, reicht es aus, seinen Zähler um das Fünffache zu erhöhen oder seinen Nenner zu verringern (§ 127).

Deshalb:
Regel 1. Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl multiplizieren, den Nenner jedoch gleich lassen; Stattdessen können Sie (wenn möglich) auch den Nenner des Bruchs durch die angegebene ganze Zahl dividieren und den Zähler gleich lassen.

Kommentar. Das Produkt eines Bruchs und seines Nenners ist gleich seinem Zähler.

Also:
Regel 2. Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner dieses Bruchs als Nenner vorzeichen.
Regel 3. Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.

Kommentar. Diese Regel kann auch auf die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl und einer ganzen Zahl mit einem Bruch angewendet werden, wenn wir die ganze Zahl nur als Bruch mit dem Nenner Eins betrachten. Also:

Somit sind die drei nun skizzierten Regeln in einer zusammengefasst, die sich allgemein wie folgt ausdrücken lässt:
4) Multiplikation gemischter Zahlen.

Regel 4. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß den Regeln für die Multiplikation von Brüchen multiplizieren. Zum Beispiel:
§ 144. Reduktion bei der Multiplikation. Bei der Multiplikation von Brüchen ist nach Möglichkeit eine Vorkürzung erforderlich, wie aus den folgenden Beispielen hervorgeht:

Eine solche Reduzierung ist möglich, da sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner um reduziert werden selbe Nummer einmal.

§ 145. Änderung eines Produkts mit sich ändernden Faktoren. Wenn sich die Faktoren ändern, ändert sich das Produkt von Bruchzahlen genauso wie das Produkt von ganzen Zahlen (§ 53), nämlich: Wenn Sie einen Faktor mehrmals erhöhen (oder verringern), erhöht (oder verringert) sich das Produkt. um den gleichen Betrag.

Wenn also im Beispiel:
Um mehrere Brüche zu multiplizieren, müssen Sie ihre Zähler miteinander und ihre Nenner miteinander multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.

Kommentar. Diese Regel kann auch auf solche Produkte angewendet werden, bei denen einige der Faktoren der Zahl ganze Zahlen oder gemischte Zahlen sind, wenn wir nur die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner Eins betrachten und gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln. Zum Beispiel:
§ 147. Grundeigenschaften der Multiplikation. Die Eigenschaften der Multiplikation, die wir für ganze Zahlen angegeben haben (§ 56, 57, 59), gelten auch für die Multiplikation von Bruchzahlen. Lassen Sie uns diese Eigenschaften angeben.

1) Das Produkt verändert sich nicht, wenn die Faktoren geändert werden.

Zum Beispiel:

Tatsächlich ist nach der Regel des vorherigen Absatzes das erste Produkt gleich dem Bruch und das zweite gleich dem Bruch. Diese Brüche sind jedoch gleich, da sich ihre Terme nur in der Reihenfolge der ganzzahligen Faktoren unterscheiden und sich das Produkt der ganzen Zahlen nicht ändert, wenn die Stellen der Faktoren geändert werden.

2) Das Produkt ändert sich nicht, wenn eine Gruppe von Faktoren durch ihr Produkt ersetzt wird.

Zum Beispiel:

Die Ergebnisse sind die gleichen.

Aus dieser Multiplikationseigenschaft lässt sich folgende Schlussfolgerung ziehen:

Um eine Zahl mit einem Produkt zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit dem ersten Faktor multiplizieren, die resultierende Zahl mit dem zweiten multiplizieren usw.

Zum Beispiel:
3) Verteilungsgesetz der Multiplikation (relativ zur Addition). Um eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term einzeln mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Dieses Gesetz wurde von uns (§ 59) in seiner Anwendung auf ganze Zahlen erklärt. Für gebrochene Zahlen bleibt es unverändert.

Lassen Sie uns tatsächlich zeigen, dass die Gleichheit

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(das Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Addition) bleibt auch dann wahr, wenn die Buchstaben Bruchzahlen darstellen. Betrachten wir drei Fälle.

1) Nehmen wir zunächst an, dass der Faktor m eine ganze Zahl ist, zum Beispiel m = 3 (a, b, c – beliebige Zahlen). Gemäß der Definition der Multiplikation mit einer ganzen Zahl können wir schreiben (der Einfachheit halber beschränken wir uns auf drei Begriffe):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Basierend auf dem assoziativen Additionsgesetz können wir alle Klammern auf der rechten Seite weglassen; Indem wir das kommutative Additionsgesetz und dann noch einmal das Assoziativgesetz anwenden, können wir die rechte Seite offensichtlich wie folgt umschreiben:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Dies bedeutet, dass das Verteilungsgesetz in diesem Fall bestätigt wird.

Brüche multiplizieren und dividieren

Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner getrennt multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch mit dem „invertierten“ zweiten Bruch multiplizieren.

Per Definition haben wir:

Brüche mit ganzen Teilen und negativen Brüchen multiplizieren

Wenn Brüche einen ganzzahligen Teil enthalten, müssen sie in unechte umgewandelt und erst dann nach den oben beschriebenen Schemata multipliziert werden.

Steht im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus, kann es nach folgenden Regeln aus der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:

Plus durch Minus ergibt Minus;
Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.

Wir streichen die Negative paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben – dasjenige, für das es keinen Partner gab;
Wenn keine Minuspunkte mehr übrig sind, ist die Operation abgeschlossen – Sie können mit der Multiplikation beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, weil es dafür kein Paar gab, nehmen wir es außerhalb der Multiplikationsgrenzen. Das Ergebnis ist ein negativer Bruch.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Wir wandeln alle Brüche in unechte Brüche um und entfernen dann die Minuspunkte aus der Multiplikation. Was übrig bleibt, multiplizieren wir nach den üblichen Regeln. Wir bekommen:

Achten Sie auch auf negative Zahlen: Bei der Multiplikation werden diese in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.

Brüche im laufenden Betrieb reduzieren

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Wenden Sie diese Technik jedoch niemals beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen an! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die man einfach reduzieren möchte. Hier, schau:

Das kannst du nicht machen!

Es gibt einfach keine anderen Gründe, Brüche zu kürzen, daher sieht die richtige Lösung des vorherigen Problems so aus:

Wie Sie sehen, war die richtige Antwort nicht so schön. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.

Brüche multiplizieren.

Um einen Bruch mit einem Bruch oder einen Bruch mit einer Zahl richtig zu multiplizieren, müssen Sie einfache Regeln kennen. Wir werden diese Regeln nun im Detail analysieren.

Einen gewöhnlichen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche berechnen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und multiplizieren außerdem den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs.

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren.

Erinnern wir uns zunächst an die Regel: Jede Zahl kann als Bruch \(\bf n = \frac \) dargestellt werden.

Lassen Sie uns diese Regel beim Multiplizieren verwenden.

Der unechte Bruch \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) wurde in einen gemischten Bruch umgewandelt.

Mit anderen Worten, Wenn wir eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren wir die Zahl mit dem Zähler und lassen den Nenner unverändert. Beispiel:

Gemischte Brüche multiplizieren.

Um gemischte Brüche zu multiplizieren, müssen Sie zunächst jeden gemischten Bruch als unechten Bruch darstellen und dann die Multiplikationsregel anwenden. Wir multiplizieren den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.

Multiplikation reziproker Brüche und Zahlen.

Verwandte Fragen:
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Antwort: Das Produkt gewöhnlicher Brüche ist die Multiplikation eines Zählers mit einem Zähler, eines Nenners mit einem Nenner. Um das Produkt gemischter Brüche zu erhalten, müssen Sie diese in einen unechten Bruch umwandeln und gemäß den Regeln multiplizieren.

Wie multipliziert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Antwort: Es spielt keine Rolle, ob Brüche den gleichen oder unterschiedliche Nenner haben, die Multiplikation erfolgt nach der Regel, das Produkt eines Zählers mit einem Zähler, eines Nenners mit einem Nenner zu finden.

Wie multipliziert man gemischte Brüche?
Antwort: Zuerst müssen Sie den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln und dann das Produkt mithilfe der Multiplikationsregeln ermitteln.

Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Bruch?
Antwort: Wir multiplizieren die Zahl mit dem Zähler, lassen aber den Nenner gleich.

Beispiel 1:
Berechnen Sie das Produkt: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Beispiel #2:
Berechnen Sie die Produkte einer Zahl und eines Bruchs: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Beispiel #3:
Schreiben Sie den Kehrwert des Bruchs \(\frac \)?
Antwort: \(\frac = 3\)

Beispiel #4:
Berechnen Sie das Produkt zweier zueinander inverser Brüche: a) \(\frac \times \frac \)

Beispiel #5:
Können reziproke Brüche sein:
a) gleichzeitig mit echten Brüchen;
b) gleichzeitig unechte Brüche;
c) gleichzeitig natürliche Zahlen?

Lösung:
a) Um die erste Frage zu beantworten, geben wir ein Beispiel. Der Bruch \(\frac \) ist echt, sein Umkehrbruch ist gleich \(\frac \) – ein unechter Bruch. Antwort: Nein.

b) In fast allen Aufzählungen von Brüchen ist diese Bedingung nicht erfüllt, aber es gibt einige Zahlen, die die Bedingung erfüllen, gleichzeitig ein unechter Bruch zu sein. Ein unechter Bruch ist beispielsweise \(\frac \) , sein Umkehrbruch ist gleich \(\frac \). Wir erhalten zwei unechte Brüche. Antwort: Nicht immer unter bestimmten Bedingungen, wenn Zähler und Nenner gleich sind.

c) Natürliche Zahlen sind Zahlen, die wir beim Zählen verwenden, zum Beispiel 1, 2, 3, …. Wenn wir die Zahl \(3 = \frac \) nehmen, dann ist ihr Umkehrbruch \(\frac \). Der Bruch \(\frac \) ist keine natürliche Zahl. Wenn wir alle Zahlen durchgehen, ist der Kehrwert der Zahl immer ein Bruch, außer 1. Wenn wir die Zahl 1 nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac = \frac = 1\). Nummer 1 ist eine natürliche Zahl. Antwort: Sie können nur in einem Fall gleichzeitig natürliche Zahlen sein, wenn es sich um die Zahl 1 handelt.

Beispiel #6:
Bilden Sie das Produkt gemischter Brüche: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Lösung:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Beispiel #7:
Können zwei Kehrwerte gleichzeitig gemischte Zahlen sein?

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir einen gemischten Bruch \(1\frac \), finden seinen Umkehrbruch und wandeln ihn dazu in einen unechten Bruch \(1\frac = \frac \) um. Sein Umkehrbruch ist gleich \(\frac \). Der Bruch \(\frac\) ist ein echter Bruch. Antwort: Zwei zueinander inverse Brüche können nicht gleichzeitig gemischte Zahlen sein.

Eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl multiplizieren

Präsentation für den Unterricht

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

IN auf eine unterhaltsame Art und Weise Den Schülern die Regel zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl, mit einer Stellenwerteinheit und die Regel zum Ausdrücken eines Dezimalbruchs als Prozentsatz vorstellen. Entwickeln Sie die Fähigkeit, erworbenes Wissen bei der Lösung von Beispielen und Problemen anzuwenden.
Entwicklung und Aktivierung des logischen Denkens der Schüler, der Fähigkeit, Muster zu erkennen und zu verallgemeinern, der Stärkung des Gedächtnisses, der Fähigkeit zur Zusammenarbeit, der Bereitstellung von Hilfe sowie der Bewertung der eigenen Arbeit und der Arbeit der anderen.
Wecken Sie Interesse an Mathematik, Aktivität, Mobilität und Kommunikationsfähigkeiten.

Ausrüstung: interaktives Board, ein Poster mit einem Chiffregramm, Poster mit Aussagen von Mathematikern.

Zeit organisieren.
Mündliches Rechnen – Verallgemeinerung des zuvor gelernten Materials, Vorbereitung auf das Studium neuen Materials.
Erläuterung des neuen Materials.
Hausaufgabe.
Mathematischer Sportunterricht.
Verallgemeinerung und Systematisierung des erworbenen Wissens auf spielerische Weise am Computer.
Benotung.

2. Leute, heute wird unsere Lektion etwas ungewöhnlich sein, denn ich werde sie nicht alleine, sondern mit meiner Freundin unterrichten. Und mein Freund ist auch ungewöhnlich, du wirst ihn jetzt sehen. (Ein Cartoon-Computer erscheint auf dem Bildschirm.) Mein Freund hat einen Namen und er kann reden. Wie heißt du, Kumpel? Komposha antwortet: „Mein Name ist Komposha.“ Bist du bereit, mir heute zu helfen? JA! Dann fangen wir mit der Lektion an.

Heute habe ich ein verschlüsseltes Chiffriergramm erhalten, Leute, das wir gemeinsam lösen und entschlüsseln müssen. (An der Tafel hängt ein Poster mit einer mündlichen Berechnung zum Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen, wodurch die Kinder den folgenden Code erhalten 523914687. )

Komposha hilft bei der Entschlüsselung des empfangenen Codes. Das Ergebnis der Dekodierung ist das Wort MULTIPLIKATION. Multiplikation ist Stichwort Themen der heutigen Lektion. Auf dem Monitor wird das Thema der Lektion angezeigt: „Einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren“

Leute, wir wissen, wie man natürliche Zahlen multipliziert. Heute beschäftigen wir uns mit der Multiplikation Dezimal Zahlen zu einer natürlichen Zahl. Die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl kann als Summe von Termen betrachtet werden, von denen jeder gleich diesem Dezimalbruch ist, und die Anzahl der Terme ist gleich dieser natürlichen Zahl. Zum Beispiel: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Also 5,21 ·3 = 15,63. Wenn wir 5,21 als gewöhnlichen Bruch einer natürlichen Zahl darstellen, erhalten wir

Und in diesem Fall haben wir das gleiche Ergebnis erhalten: 15,63. Nehmen Sie nun, ohne das Komma zu beachten, anstelle der Zahl 5,21 die Zahl 521 und multiplizieren Sie sie mit dieser natürlichen Zahl. Dabei ist zu beachten, dass bei einem der Faktoren das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben wurde. Wenn wir die Zahlen 5, 21 und 3 multiplizieren, erhalten wir ein Produkt von 15,63. In diesem Beispiel verschieben wir nun das Komma um zwei Stellen nach links. Also, um wie oft wurde einer der Faktoren erhöht, um wie oft wurde das Produkt verringert. Basierend auf den Ähnlichkeiten dieser Methoden werden wir eine Schlussfolgerung ziehen.

Multiplizieren Dezimal Für eine natürliche Zahl benötigen Sie:
1) ohne auf das Komma zu achten, natürliche Zahlen multiplizieren;
2) Trennen Sie im resultierenden Produkt so viele Ziffern von rechts mit einem Komma, wie im Dezimalbruch vorhanden sind.

Auf dem Monitor werden folgende Beispiele angezeigt, die wir gemeinsam mit Komposha und den Jungs analysieren: 5,21 ·3 = 15,63 und 7,624 ·15 = 114,34. Dann zeige ich die Multiplikation mit einer runden Zahl 12,6 · 50 = 630. Als Nächstes multipliziere ich einen Dezimalbruch mit einer Stellenwerteinheit. Ich zeige die folgenden Beispiele: 7,423 · 100 = 742,3 und 5,2 · 1000 = 5200. Daher stelle ich die Regel für die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Zifferneinheit vor:

Um einen Dezimalbruch mit den Zifferneinheiten 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt in diesem Bruch um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie die Zifferneinheit Nullen enthält.

Ich beende meine Erklärung, indem ich den Dezimalbruch als Prozentsatz ausdrücke. Ich stelle die Regel vor:

Um einen Dezimalbruch als Prozentsatz auszudrücken, müssen Sie ihn mit 100 multiplizieren und das %-Zeichen hinzufügen.

Ich gebe ein Beispiel am Computer: 0,5 100 = 50 oder 0,5 = 50 %.

4. Am Ende gebe ich den Jungs eine Erklärung Hausaufgaben, die auch auf dem Computermonitor angezeigt wird: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Damit sich die Jungs etwas ausruhen können, machen wir zusammen mit Komposha eine mathematische Sportstunde, um das Thema zu festigen. Alle stehen auf, zeigen der Klasse die gelösten Beispiele und müssen antworten, ob das Beispiel richtig oder falsch gelöst wurde. Wenn das Beispiel richtig gelöst ist, heben sie die Arme über den Kopf und klatschen in die Handflächen. Wird das Beispiel nicht richtig gelöst, strecken die Jungs ihre Arme zur Seite und strecken ihre Finger.

6. Und nachdem Sie sich nun etwas ausgeruht haben, können Sie die Aufgaben lösen. Öffnen Sie Ihr Lehrbuch auf Seite 205, № 1029. In dieser Aufgabe müssen Sie den Wert der Ausdrücke berechnen:

Die Aufgaben erscheinen auf dem Computer. Beim Lösen erscheint ein Bild mit der Abbildung eines Bootes, das im fertig zusammengebauten Zustand davonschwebt.

Durch die Lösung dieser Aufgabe am Computer klappt die Rakete nach und nach zusammen; nach Lösung des letzten Beispiels fliegt die Rakete davon. Der Lehrer gibt den Schülern eine kleine Information: „Jedes Jahr starten Raumschiffe vom Kosmodrom Baikonur aus vom Boden Kasachstans zu den Sternen. Kasachstan baut sein neues Kosmodrom Baiterek in der Nähe von Baikonur.

Wie weit fährt ein Pkw in 4 Stunden, wenn die Geschwindigkeit des Pkw 74,8 km/h beträgt?

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Eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren ist keine schwierige Aufgabe. Aber es gibt Feinheiten, die Sie wahrscheinlich in der Schule verstanden, aber inzwischen vergessen haben.

Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert – ein paar Begriffe

Wenn Sie sich daran erinnern, was ein Zähler und ein Nenner sind und wie sich ein echter Bruch von einem unechten Bruch unterscheidet, überspringen Sie diesen Absatz. Es ist für diejenigen, die die Theorie völlig vergessen haben.

Der Zähler ist der obere Teil des Bruchs – was wir dividieren. Der Nenner ist kleiner. Das ist es, wonach wir dividieren.
Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich seinem Nenner ist.

So multiplizieren Sie eine ganze Zahl mit einem Bruch

Die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch ist sehr einfach: Wir multiplizieren den Zähler mit der ganzen Zahl, berühren aber nicht den Nenner. Zum Beispiel: zwei multipliziert mit einem Fünftel – wir erhalten zwei Fünftel. Vier multipliziert mit drei Sechzehnteln ergibt zwölf Sechzehntel.

Die Ermäßigung

Im zweiten Beispiel kann der resultierende Bruch reduziert werden.
Was bedeutet das? Bitte beachten Sie, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner dieses Bruchs durch vier teilbar sind. Die Division beider Zahlen durch einen gemeinsamen Teiler nennt man Bruchreduzierung. Wir bekommen drei Viertel.

Unechte Brüche

Aber nehmen wir an, wir multiplizieren vier mit zwei Fünfteln. Es stellte sich heraus, dass es acht Fünftel waren. Dies ist ein unechter Bruch.
Es muss unbedingt in die richtige Form gebracht werden. Dazu müssen Sie ein ganzes Teil daraus auswählen.
Hier müssen Sie eine Division mit Rest verwenden. Als Rest erhalten wir eins und drei.
Ein ganzes und drei Fünftel ist unser echter Bruchteil.

Etwas schwieriger ist es, fünfunddreißig Achtel in die richtige Form zu bringen. Die Zahl, die der Zahl siebenunddreißig am nächsten kommt und durch acht teilbar ist, ist zweiunddreißig. Bei der Teilung erhalten wir vier. Subtrahieren Sie zweiunddreißig von fünfunddreißig, erhalten Sie drei. Ergebnis: vier ganze und drei Achtel.

Gleichheit von Zähler und Nenner. Und hier ist alles sehr einfach und schön. Wenn Zähler und Nenner gleich sind, ist das Ergebnis einfach eins.