Rationale Gleichungen. Gebrochene rationale Gleichungen. Lösungsalgorithmus
Bruchgleichungen. ODZ.
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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)
Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Der letzte verbleibende Blick - Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel seriöser genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Es ist das Gleiche.
Bruchgleichungen.
Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben im Nenner unbekannt. Zumindest in einem. Zum Beispiel:
Ich möchte Sie daran erinnern, dass es nur Nenner gibt Zahlen, das sind lineare Gleichungen.
Wie man sich entscheidet Bruchgleichungen? Beseitigen Sie zunächst Brüche! Danach geht die Gleichung meist in eine lineare oder quadratische Gleichung über. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In manchen Fällen kann daraus eine Identität werden, wie zum Beispiel 5=5 oder ein falscher Ausdruck, wie zum Beispiel 7=2. Aber das kommt selten vor. Ich werde dies weiter unten erwähnen.
Aber wie wird man Brüche los? Sehr einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.
Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner reduziert werden! Alles wird sofort einfacher. Lassen Sie es mich anhand eines Beispiels erklären. Angenommen, wir müssen die Gleichung lösen:
Wie wurden Sie in der Grundschule unterrichtet? Wir verschieben alles auf eine Seite, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergiss wie schrecklicher Traum! Dies müssen Sie tun, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Oder Sie arbeiten mit Ungleichheiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Seiten sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu reduzieren (d. h. im Wesentlichen um einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?
Auf der linken Seite erfordert die Reduzierung des Nenners eine Multiplikation mit x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich. Das bedeutet, dass die Gleichung mit multipliziert werden muss 2(x+2). Multiplizieren:
Dies ist eine übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich beschreibe sie im Detail:
Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne (x + 2)! Im Großen und Ganzen schreibe ich es also:
Auf der linken Seite zieht es sich vollständig zusammen (x+2), und rechts 2. Welches war erforderlich! Nach der Reduktion erhalten wir linear Die gleichung:
Und jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.
Lassen Sie uns ein anderes, etwas komplizierteres Beispiel lösen:
Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1 und 2x = 2x/ 1 können wir schreiben:
Und wieder werden wir los, was uns nicht wirklich gefällt – Brüche.
Wir sehen, dass wir den Bruch mit multiplizieren müssen, um den Nenner mit X zu reduzieren (x – 2). Und einige sind für uns kein Hindernis. Nun, lasst uns multiplizieren. Alle linke Seite und alle rechte Seite:
Wieder Klammern (x – 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer erfolgen, sonst wird nichts reduziert.
Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit reduzieren wir (x – 2) und wir erhalten eine Gleichung ohne Brüche, mit einem Lineal!
Öffnen wir nun die Klammern:
Wir bringen ähnliche mit, verschieben alles auf die linke Seite und erhalten:
Aber vorher werden wir lernen, andere Probleme zu lösen. Auf Zinsen. Das ist übrigens ein Rechen!
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Machen wir uns mit rationalen und gebrochenrationalen Gleichungen vertraut, geben ihre Definition, geben Beispiele und analysieren auch die häufigsten Arten von Problemen.
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Rationale Gleichung: Definition und Beispiele
Die Vertrautheit mit rationalen Ausdrücken beginnt in der 8. Schulklasse. Zu dieser Zeit stoßen Schüler im Algebraunterricht zunehmend auf Aufgaben mit Gleichungen, die in ihren Notizen rationale Ausdrücke enthalten. Lassen Sie uns unsere Erinnerung daran auffrischen, was es ist.
Definition 1
Rationale Gleichung ist eine Gleichung, in der beide Seiten rationale Ausdrücke enthalten.
In diversen Handbüchern findet man eine andere Formulierung.
Definition 2
Rationale Gleichung- Dies ist eine Gleichung, deren linke Seite einen rationalen Ausdruck enthält und deren rechte Seite Null enthält.
Die Definitionen, die wir für rationale Gleichungen gegeben haben, sind äquivalent, da sie dasselbe sagen. Die Richtigkeit unserer Worte wird durch die Tatsache bestätigt, dass es sich um rationale Ausdrücke handelt P Und Q Gleichungen P = Q Und P − Q = 0 werden äquivalente Ausdrücke sein.
Schauen wir uns nun die Beispiele an.
Beispiel 1
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Rationale Gleichungen können ebenso wie Gleichungen anderer Art eine beliebige Anzahl von Variablen von 1 bis mehreren enthalten. Zuerst schauen wir uns an einfache Beispiele, in dem die Gleichungen nur eine Variable enthalten. Und dann werden wir beginnen, die Aufgabe nach und nach zu verkomplizieren.
Rationale Gleichungen werden in zwei große Gruppen unterteilt: ganzzahlige und gebrochene Gleichungen. Sehen wir uns an, welche Gleichungen für jede der Gruppen gelten.
Definition 3
Eine rationale Gleichung ist eine ganze Zahl, wenn ihre linke und rechte Seite vollständige rationale Ausdrücke enthalten.
Definition 4
Eine rationale Gleichung ist gebrochen, wenn einer oder beide ihrer Teile einen Bruch enthalten.
Bruchrationale Gleichungen enthalten notwendigerweise eine Division durch eine Variable, oder die Variable ist im Nenner vorhanden. Beim Schreiben ganzer Gleichungen gibt es keine solche Unterteilung.
Beispiel 2
3 x + 2 = 0 Und (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– ganze rationale Gleichungen. Hier werden beide Seiten der Gleichung durch ganzzahlige Ausdrücke dargestellt.
1 x - 1 = x 3 und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sind gebrochenrationale Gleichungen.
Ganze rationale Gleichungen umfassen lineare und quadratische Gleichungen.
Ganze Gleichungen lösen
Bei der Lösung solcher Gleichungen geht es in der Regel darum, sie in äquivalente algebraische Gleichungen umzuwandeln. Dies kann erreicht werden, indem äquivalente Transformationen von Gleichungen gemäß dem folgenden Algorithmus durchgeführt werden:
- Zuerst erhalten wir Null auf der rechten Seite der Gleichung; dazu müssen wir den Ausdruck, der auf der rechten Seite der Gleichung steht, auf seine linke Seite verschieben und das Vorzeichen ändern;
- Dann transformieren wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in ein Polynom der Standardform.
Wir müssen eine algebraische Gleichung erhalten. Diese Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung. Einfache Fälle ermöglichen es uns, die gesamte Gleichung auf eine lineare oder quadratische Gleichung zu reduzieren, um das Problem zu lösen. Im Allgemeinen lösen wir eine algebraische Gradgleichung N.
Beispiel 3
Es ist notwendig, die Wurzeln der gesamten Gleichung zu finden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Lösung
Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck transformieren, um eine äquivalente algebraische Gleichung zu erhalten. Dazu übertragen wir den auf der rechten Seite der Gleichung enthaltenen Ausdruck auf die linke Seite und ersetzen das Vorzeichen durch das entgegengesetzte. Als Ergebnis erhalten wir: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Lassen Sie uns nun den Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom in Standardform umwandeln und die erforderlichen Aktionen mit diesem Polynom ausführen:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Es ist uns gelungen, die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form zu reduzieren x 2 − 5 x − 6 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Das bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln geben wird. Finden wir sie mithilfe der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 oder x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 oder x 2 = - 1
Überprüfen wir die Richtigkeit der Wurzeln der Gleichung, die wir bei der Lösung gefunden haben. Dazu setzen wir die Zahlen, die wir erhalten haben, in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 · 6 − 1) − 3 Und 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Im ersten Fall 63 = 63 , in dieser Sekunde 0 = 0 . Wurzeln x = 6 Und x = − 1 sind tatsächlich die Wurzeln der in der Beispielbedingung angegebenen Gleichung.
Antwort: 6 , − 1 .
Schauen wir uns an, was „Grad einer gesamten Gleichung“ bedeutet. Dieser Begriff begegnet uns häufig in Fällen, in denen wir eine ganze Gleichung in algebraischer Form darstellen müssen. Lassen Sie uns das Konzept definieren.
Definition 5
Grad der gesamten Gleichung- das ist der Abschluss algebraische Gleichung, äquivalent zur ursprünglichen Ganzzahlgleichung.
Wenn Sie sich die Gleichungen aus dem obigen Beispiel ansehen, können Sie feststellen: Der Grad dieser gesamten Gleichung ist zweiter.
Wenn sich unser Kurs auf die Lösung von Gleichungen zweiten Grades beschränken würde, könnte die Diskussion des Themas dort enden. Aber so einfach ist es nicht. Die Lösung von Gleichungen dritten Grades ist mit Schwierigkeiten verbunden. Und für Gleichungen oberhalb des vierten Grades gibt es überhaupt keine allgemeinen Wurzelformeln. In dieser Hinsicht erfordert die Lösung ganzer Gleichungen dritten, vierten und anderer Grade den Einsatz einer Reihe anderer Techniken und Methoden.
Der am häufigsten verwendete Ansatz zur Lösung ganzer rationaler Gleichungen basiert auf der Faktorisierungsmethode. Der Aktionsalgorithmus ist in diesem Fall wie folgt:
- wir verschieben den Ausdruck von der rechten Seite nach links, sodass auf der rechten Seite des Datensatzes Null bleibt;
- Wir stellen den Ausdruck auf der linken Seite als Produkt von Faktoren dar und gehen dann zu einem Satz mehrerer einfacherer Gleichungen über.
Finden Sie die Lösung der Gleichung (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13).
Lösung
Wir verschieben den Ausdruck mit umgekehrtem Vorzeichen von der rechten Seite des Datensatzes nach links: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Die Umwandlung der linken Seite in ein Polynom der Standardform ist ungeeignet, da wir dadurch eine algebraische Gleichung vierten Grades erhalten: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Die einfache Umrechnung rechtfertigt nicht alle Schwierigkeiten bei der Lösung einer solchen Gleichung.
Es ist viel einfacher, den umgekehrten Weg zu gehen: Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer x 2 − 10 x + 13 . Wir kommen also zu einer Gleichung der Form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nun ersetzen wir die resultierende Gleichung durch einen Satz aus zwei quadratischen Gleichungen x 2 − 10 x + 13 = 0 Und x 2 − 2 x − 1 = 0 und finden ihre Wurzeln durch die Diskriminante: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Antwort: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Auf die gleiche Weise können wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen verwenden. Mit dieser Methode können wir zu äquivalenten Gleichungen übergehen, deren Grade niedriger sind als die Grade in der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung.
Beispiel 5
Hat die Gleichung Wurzeln? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Lösung
Wenn wir nun versuchen, eine ganze rationale Gleichung auf eine algebraische zu reduzieren, erhalten wir eine Gleichung vom Grad 4, die keine rationalen Wurzeln hat. Daher ist es für uns einfacher, den umgekehrten Weg zu gehen: eine neue Variable y einzuführen, die den Ausdruck in der Gleichung ersetzt x 2 + 3 x.
Jetzt werden wir mit der gesamten Gleichung arbeiten (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Verschieben wir die rechte Seite der Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen nach links und führen die notwendigen Transformationen durch. Wir bekommen: y 2 + 4 y + 3 = 0. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: y = − 1 Und y = − 3.
Lassen Sie uns nun den umgekehrten Ersatz durchführen. Wir erhalten zwei Gleichungen x 2 + 3 x = − 1 Und x 2 + 3 · x = − 3 . Schreiben wir sie um als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0. Wir verwenden die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, um aus den erhaltenen Wurzeln die Wurzeln der ersten Gleichung zu finden: - 3 ± 5 2. Die Diskriminante der zweiten Gleichung ist negativ. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung keine echten Wurzeln hat.
Antwort:- 3 ± 5 2
Ganze Gleichungen höheren Grades kommen in Problemen recht häufig vor. Es besteht kein Grund, Angst vor ihnen zu haben. Sie müssen bereit sein, eine nicht standardmäßige Methode zur Lösung zu verwenden, einschließlich einer Reihe künstlicher Transformationen.
Lösen gebrochener rationaler Gleichungen
Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Unterthemas mit einem Algorithmus zur Lösung gebrochenrationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0, wobei p(x) Und q(x)– ganze rationale Ausdrücke. Die Lösung anderer gebrochenrationaler Gleichungen kann immer auf die Lösung von Gleichungen des angegebenen Typs reduziert werden.
Die am häufigsten verwendete Methode zur Lösung der Gleichungen p (x) q (x) = 0 basiert auf der folgenden Aussage: numerischer Bruch du v, Wo v– Dies ist eine Zahl, die von Null verschieden ist und nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null. Der Logik der obigen Aussage folgend können wir behaupten, dass die Lösung der Gleichung p (x) q (x) = 0 auf die Erfüllung zweier Bedingungen reduziert werden kann: p(x)=0 Und q(x) ≠ 0. Dies ist die Grundlage für die Konstruktion eines Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0:
- Finden Sie die Lösung der gesamten rationalen Gleichung p(x)=0;
- Wir prüfen, ob die Bedingung für die bei der Lösung gefundenen Wurzeln erfüllt ist q(x) ≠ 0.
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist die gefundene Wurzel keine Lösung für das Problem.
Beispiel 6
Finden wir die Wurzeln der Gleichung 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Lösung
Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 zu tun, in der p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Beginnen wir mit der Lösung der linearen Gleichung 3 x − 2 = 0. Die Wurzel dieser Gleichung wird sein x = 2 3.
Lassen Sie uns die gefundene Wurzel überprüfen, um zu sehen, ob sie die Bedingung erfüllt 5 x 2 − 2 ≠ 0. Um dies zu tun, ersetzen wir Zahlenwert zum Ausdruck bringen. Wir erhalten: 5 · 2 · 3 · 2 - 2 = 5 · 4 · 9 - 2 = 20 · 9 - 2 = 2 · 9 ≠ 0.
Die Bedingung ist erfüllt. Das bedeutet es x = 2 3 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Antwort: 2 3 .
Es gibt eine weitere Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu lösen. Denken Sie daran, dass diese Gleichung der gesamten Gleichung entspricht p(x)=0über den Bereich zulässiger Werte der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Dies ermöglicht uns, den folgenden Algorithmus zur Lösung der Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu verwenden:
- löse die Gleichung p(x)=0;
- Finden Sie den Bereich zulässiger Werte der Variablen x;
- Wir nehmen die Wurzeln, die im Bereich der zulässigen Werte der Variablen x liegen, als gewünschte Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.
Lösen Sie die Gleichung x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Lösung
Lassen Sie uns zunächst entscheiden quadratische Gleichung x 2 − 2 x − 11 = 0. Um seine Wurzeln zu berechnen, verwenden wir die Wurzelformel für den geraden zweiten Koeffizienten. Wir bekommen D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 und x = 1 ± 2 3 .
Jetzt können wir die ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung ermitteln. Dies sind alle Zahlen, für die x 2 + 3 x ≠ 0. Es ist das Gleiche wie x (x + 3) ≠ 0, woraus x ≠ 0, x ≠ − 3.
Überprüfen wir nun, ob die in der ersten Stufe der Lösung erhaltenen Wurzeln x = 1 ± 2 3 im Bereich der zulässigen Werte der Variablen x liegen. Wir sehen sie hereinkommen. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche gebrochene rationale Gleichung zwei Wurzeln x = 1 ± 2 3 hat.
Antwort: x = 1 ± 2 3
Die zweite Lösungsmethode wird beschrieben einfacher als das erste in Fällen, in denen der Bereich zulässiger Werte der Variablen x leicht zu finden ist, und die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational. Zum Beispiel 7 ± 4 · 26 9. Die Wurzeln können rational sein, jedoch mit einem großen Zähler oder Nenner. Zum Beispiel, 127 1101 Und − 31 59 . Das spart Zeit bei der Zustandsprüfung q(x) ≠ 0: Es ist viel einfacher, Wurzeln auszuschließen, die laut ODZ nicht geeignet sind.
In Fällen, in denen die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 Sind ganze Zahlen, ist es sinnvoller, den ersten der beschriebenen Algorithmen zur Lösung von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 zu verwenden. Finden Sie schneller die Wurzeln einer gesamten Gleichung p(x)=0 und prüfen Sie dann, ob die Bedingung für sie erfüllt ist q(x) ≠ 0, anstatt die ODZ zu finden und dann die Gleichung zu lösen p(x)=0 auf dieser ODZ. Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen meist einfacher ist, die DZ zu überprüfen als zu finden.
Beispiel 8
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Lösung
Beginnen wir mit der Betrachtung der gesamten Gleichung (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 und seine Wurzeln finden. Dazu wenden wir die Methode der Gleichungslösung durch Faktorisierung an. Es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Gleichung einem Satz von vier Gleichungen 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 entspricht, von denen drei linear sind und man ist quadratisch. Wurzeln finden: aus der ersten Gleichung x = 1 2, ab dem zweiten – x = 6, ab dem dritten – x = 7 , x = − 2 , ab dem vierten – x = − 1.
Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen. Bestimmen Sie ADL in in diesem Fall Für uns ist es schwierig, da wir dafür eine algebraische Gleichung fünften Grades lösen müssen. Es wird einfacher sein, die Bedingung zu überprüfen, nach der der Nenner des Bruchs, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nicht auf Null gehen darf.
Lassen Sie uns abwechselnd die Wurzeln für die Variable x im Ausdruck ersetzen x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 und berechne seinen Wert:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Die durchgeführte Überprüfung ermöglicht es uns festzustellen, dass die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung 1 2, 6 und sind − 2 .
Antwort: 1 2 , 6 , - 2
Beispiel 9
Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Lösung
Beginnen wir mit der Gleichung (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Lassen Sie uns seine Wurzeln finden. Es fällt uns leichter, uns diese Gleichung als eine Menge quadratischer und linearer Gleichungen vorzustellen 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Und x − 2 = 0.
Um die Wurzeln zu finden, verwenden wir die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Aus der ersten Gleichung erhalten wir zwei Wurzeln x = 7 ± 69 10 und aus der zweiten x = 2.
Es wird für uns ziemlich schwierig sein, den Wert der Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um die Bedingungen zu überprüfen. Es wird einfacher sein, die ODZ der Variablen x zu bestimmen. In diesem Fall umfasst die ODZ der Variablen x alle Zahlen außer denen, für die die Bedingung erfüllt ist x 2 + 5 x − 14 = 0. Wir erhalten: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Prüfen wir nun, ob die gefundenen Wurzeln zum Bereich der zulässigen Werte der Variablen x gehören.
Die Wurzeln x = 7 ± 69 10 gehören also zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung und x = 2- gehört nicht dazu, daher ist es eine fremde Wurzel.
Antwort: x = 7 ± 69 10 .
Betrachten wir separat die Fälle, in denen der Zähler einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 eine Zahl enthält. Wenn in solchen Fällen der Zähler eine andere Zahl als Null enthält, hat die Gleichung keine Wurzeln. Wenn diese Zahl gleich Null ist, ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.
Beispiel 10
Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Lösung
Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null enthält. Das bedeutet, dass bei keinem Wert von x der Wert des in der Problemstellung angegebenen Bruchs gleich Null sein wird.
Antwort: Keine Wurzeln.
Beispiel 11
Lösen Sie die Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Lösung
Da der Zähler des Bruchs Null enthält, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiger Wert x aus der ODZ der Variablen x.
Definieren wir nun die ODZ. Es enthält alle Werte von x für die x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lösungen der Gleichung x 4 + 5 x 3 = 0 Sind 0 Und − 5 , da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung ist x 3 (x + 5) = 0, und dies wiederum entspricht der Kombination zweier Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0, wo diese Wurzeln sichtbar sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass der gewünschte Bereich akzeptabler Werte jedes x außer ist x = 0 Und x = − 5.
Es stellt sich heraus, dass die gebrochene rationale Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0 unendlich viele Lösungen hat, bei denen es sich um beliebige Zahlen außer Null und - 5 handelt.
Antwort: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Lassen Sie uns nun über gebrochene rationale Gleichungen beliebiger Form und Methoden zu ihrer Lösung sprechen. Sie können geschrieben werden als r(x) = s(x), Wo r(x) Und s(x)– rationale Ausdrücke, und mindestens einer davon ist gebrochen. Das Lösen solcher Gleichungen reduziert sich auf das Lösen von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0.
Wir wissen bereits, dass wir eine äquivalente Gleichung erhalten können, indem wir einen Ausdruck von der rechten Seite der Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die linke übertragen. Dies bedeutet, dass die Gleichung r(x) = s(x) ist äquivalent zur Gleichung r (x) − s (x) = 0. Wir haben auch bereits Möglichkeiten besprochen, einen rationalen Ausdruck in einen rationalen Bruch umzuwandeln. Dadurch können wir die Gleichung leicht umwandeln r (x) − s (x) = 0 in einen identischen rationalen Bruch der Form p (x) q (x) .
Wir entfernen uns also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung r(x) = s(x) zu einer Gleichung der Form p (x) q (x) = 0, deren Lösung wir bereits gelernt haben.
Es sollte berücksichtigt werden, dass bei Übergängen von r (x) − s (x) = 0 zu p(x)q(x) = 0 und dann zu p(x)=0 wir dürfen die Erweiterung des Bereichs zulässiger Werte der Variablen x nicht berücksichtigen.
Es ist durchaus möglich, dass die ursprüngliche Gleichung r(x) = s(x) und Gleichung p(x)=0 Durch die Transformationen verlieren sie ihre Gleichwertigkeit. Dann die Lösung der Gleichung p(x)=0 kann uns Wurzeln geben, die uns fremd sein werden r(x) = s(x). In diesem Zusammenhang ist in jedem Fall eine Überprüfung mit einer der oben beschriebenen Methoden erforderlich.
Um Ihnen das Studium des Themas zu erleichtern, haben wir alle Informationen in einem Algorithmus zur Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form zusammengefasst r(x) = s(x):
- wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite mit dem umgekehrten Vorzeichen und erhalten auf der rechten Seite Null;
- den ursprünglichen Ausdruck in einen rationalen Bruch p (x) q (x) umwandeln und nacheinander Operationen mit Brüchen und Polynomen durchführen;
- löse die Gleichung p(x)=0;
- Wir identifizieren Fremdwurzeln, indem wir ihre Zugehörigkeit zur ODZ überprüfen oder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Optisch sieht die Aktionskette so aus:
r (x) = s (x) → r (x) – s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → Eliminierung EXTERNE WURZELN
Beispiel 12
Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung x x + 1 = 1 x + 1 .
Lösung
Kommen wir zur Gleichung x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Lassen Sie uns den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in die Form p (x) q (x) umwandeln.
Dazu müssen wir mitbringen rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den Ausdruck vereinfachen:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
Um die Wurzeln der Gleichung - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 zu finden, müssen wir die Gleichung lösen − 2 x − 1 = 0. Wir bekommen eine Wurzel x = - 1 2.
Alles, was wir tun müssen, ist, mit einer der Methoden zu überprüfen. Schauen wir uns beide an.
Setzen wir den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir erhalten - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Wir sind zur richtigen numerischen Gleichheit gelangt − 1 = − 1 . Das bedeutet es x = − 1 2 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Schauen wir uns nun die ODZ an. Bestimmen wir den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x. Dies ist die gesamte Zahlenmenge mit Ausnahme von − 1 und 0 (bei x = − 1 und x = 0 verschwinden die Nenner der Brüche). Die Wurzel, die wir erhalten haben x = − 1 2 gehört zur ODZ. Dies bedeutet, dass es sich um die Wurzel der ursprünglichen Gleichung handelt.
Antwort: − 1 2 .
Beispiel 13
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Lösung
Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung zu tun. Daher werden wir nach dem Algorithmus handeln.
Verschieben wir den Ausdruck von der rechten Seite nach links mit dem umgekehrten Vorzeichen: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Führen wir die notwendigen Transformationen durch: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Wir kommen zur Gleichung x = 0. Die Wurzel dieser Gleichung ist Null.
Überprüfen wir, ob diese Wurzel für die ursprüngliche Gleichung irrelevant ist. Setzen wir den Wert in die ursprüngliche Gleichung ein: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Wie Sie sehen, ergibt die resultierende Gleichung keinen Sinn. Das bedeutet, dass 0 eine fremde Wurzel ist und die ursprüngliche gebrochene rationale Gleichung keine Wurzeln hat.
Antwort: Keine Wurzeln.
Wenn wir keine anderen äquivalenten Transformationen in den Algorithmus aufgenommen haben, bedeutet dies nicht, dass diese nicht verwendet werden können. Der Algorithmus ist universell, aber er soll helfen und nicht einschränken.
Beispiel 14
Lösen Sie die Gleichung 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Lösung
Der einfachste Weg besteht darin, die gegebene gebrochene rationale Gleichung gemäß dem Algorithmus zu lösen. Aber es gibt einen anderen Weg. Betrachten wir es.
Subtrahieren Sie 7 von der rechten und linken Seite, erhalten Sie: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner auf der linken Seite gleich dem Kehrwert der Zahl auf der rechten Seite sein muss, also 3 + 1 2 + 1 5 – x 2 = 24 7.
Subtrahiere 3 von beiden Seiten: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analog dazu gilt 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, woraus 1 5 - x 2 = 1 3 und dann 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Lassen Sie uns prüfen, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.
Antwort: x = ± 2
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Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.
Was ist ein rationaler Ausdruck? Wir sind diesem Konzept bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sind Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Potenzen und Symbolen mathematischer Operationen bestehen.
Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wobei 
- rationale Ausdrücke.
Bisher haben wir nur solche rationalen Gleichungen betrachtet, die auf lineare Gleichungen reduziert werden können. Schauen wir uns nun die rationalen Gleichungen an, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.
Beispiel 1
Löse die Gleichung: .
Lösung:
Ein Bruch ist genau dann gleich 0, wenn sein Zähler gleich 0 und sein Nenner ungleich 0 ist.
Wir erhalten das folgende System:
Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:
Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .
Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: 
. Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, handelt es sich bei beiden um Lösungen dieser Gleichung.
Antwort:.
Formulieren wir also einen Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:
1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass die rechte Seite mit 0 endet.
2. Transformieren und vereinfachen Sie die linke Seite und bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
3. Setzen Sie den resultierenden Bruch mithilfe des folgenden Algorithmus mit 0 gleich: 
.
4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten wurden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.
Beispiel 2
Löse die Gleichung: 
.
Lösung
Ganz am Anfang verschieben wir alle Terme nach links, sodass rechts 0 bleibt. Wir erhalten:
Bringen wir nun die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Diese Gleichung entspricht dem System:
Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.
Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:
Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .
Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.
Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: 
. Wir stellen fest, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist – 3.
Antwort:.
In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und haben auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.
In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und uns auch mit Bewegungsproblemen befassen.
Referenzliste
- Baschmakow M.I. Algebra, 8. Klasse. - M.: Bildung, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. und andere. Algebra, 8. 5. Aufl. - M.: Bildung, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. Klasse. Anleitung für Bildungsinstitutionen. - M.: Bildung, 2006.
- Festival pädagogische Ideen "Öffentlicher Unterricht" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Hausaufgaben
Smirnova Anastasia Yurievna
Unterrichtsart: Lektion, neues Material zu lernen.
Organisationsform Bildungsaktivitäten : frontal, individuell.
Der Zweck der Lektion: eine neue Art von Gleichungen einzuführen – gebrochene rationale Gleichungen, um eine Vorstellung vom Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen zu geben.
Lernziele.
Lehrreich:
- Bildung des Konzepts einer gebrochenen rationalen Gleichung;
- Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen gebrochener rationaler Gleichungen, einschließlich der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist;
- lehren, gebrochene rationale Gleichungen mithilfe eines Algorithmus zu lösen.
Entwicklung:
- Bedingungen für die Entwicklung von Fähigkeiten zur Anwendung erworbener Kenntnisse schaffen;
- die Entwicklung des kognitiven Interesses der Schüler an dem Fach fördern;
- Entwicklung der Fähigkeit der Schüler, zu analysieren, zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen;
- Entwicklung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, Aufmerksamkeit, Gedächtnis, mündlicher und schriftlicher Sprache, Unabhängigkeit.
Bildung:
- Förderung des kognitiven Interesses am Thema;
- Förderung der Unabhängigkeit bei der Lösung von Bildungsproblemen;
- Förderung des Willens und der Ausdauer, Endergebnisse zu erzielen.
Ausrüstung: Lehrbuch, Tafel, Buntstifte.
Lehrbuch „Algebra 8“. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, herausgegeben von S.A. Telyakovsky. Moskauer „Aufklärung“. 2010
An dieses Thema Es sind fünf Stunden vorgesehen. Dies ist die erste Lektion. Die Hauptsache besteht darin, den Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen zu studieren und diesen Algorithmus in Übungen zu üben.
Während des Unterrichts
1. Organisatorischer Moment.
Hallo Leute! Heute möchte ich unsere Lektion mit einem Vierzeiler beginnen:
Um das Leben für alle einfacher zu machen,
Was würde entschieden werden, was wäre möglich,
Lächle, viel Glück an alle,
Damit es keine Probleme gibt,
Wir lächelten einander an und schufen gute Laune und begann mit der Arbeit.
An der Tafel stehen Gleichungen, sieh sie dir genau an. Können Sie alle diese Gleichungen lösen? Welche sind das nicht und warum?
Gleichungen, deren linke und rechte Seite gebrochene rationale Ausdrücke sind, werden gebrochene rationale Gleichungen genannt. Was denken Sie, was wir heute im Unterricht lernen werden? Formulieren Sie das Thema der Lektion. Also öffnen wir unsere Notizbücher und schreiben das Thema der Lektion „Fraktionale rationale Gleichungen lösen“ auf.
2. Wissen aktualisieren. Frontale Befragung, mündliche Arbeit mit der Klasse.
Und jetzt wiederholen wir das wichtigste theoretische Material, das wir zum Studium eines neuen Themas benötigen. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:
- Was ist eine Gleichung? ( Gleichheit mit einer oder mehreren Variablen.)
- Wie heißt Gleichung Nummer 1? ( Linear.) Eine Methode zur Lösung linearer Gleichungen. ( Verschieben Sie alles mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung, alle Zahlen auf die rechte. Geben Sie ähnliche Begriffe an. Unbekannten Faktor finden).
- Wie heißt Gleichung Nummer 3? ( Quadrat.) Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen. (P über Formeln)
- Was ist Proportion? ( Gleichheit zweier Verhältnisse.) Die Haupteigenschaft der Proportionen. ( Wenn das Verhältnis stimmt, ist das Produkt seiner Extremwerte gleich dem Produkt der Mittelwerte.)
- Welche Eigenschaften werden beim Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung entspricht. 2. Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhalten Sie eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.)
- Wann ist ein Bruch gleich Null? ( Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist..)
3. Erläuterung des neuen Materials.
Lösen Sie Gleichung Nr. 2 in Ihren Notizbüchern und an der Tafel.
Antwort: 10.
Welche gebrochene rationale Gleichung können Sie mithilfe der Grundeigenschaft der Proportionen lösen? (Nr. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
Lösen Sie Gleichung Nr. 4 in Ihren Notizbüchern und an der Tafel.
Antwort: 1,5.
Welche gebrochene rationale Gleichung können Sie versuchen zu lösen, indem Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizieren? (Nr. 6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Antwort: 3;4.
In den folgenden Lektionen werden wir uns mit der Lösung von Gleichungen wie Gleichung Nr. 7 befassen.
Erklären Sie, warum das passiert ist? Warum gibt es im einen Fall drei Wurzeln und im anderen zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser gebrochenen rationalen Gleichung?
Bisher sind Studierende nicht auf das Konzept einer Fremdwurzel gestoßen; es ist für sie tatsächlich sehr schwierig zu verstehen, warum dies geschah. Wenn niemand in der Klasse eine klare Erklärung für diese Situation geben kann, stellt der Lehrer Leitfragen.
- Wie unterscheiden sich die Gleichungen Nr. 2 und 4 von den Gleichungen Nr. 5 und 6? ( In den Gleichungen Nr. 2 und 4 stehen Zahlen im Nenner, Nr. 5-6 - Ausdrücke mit einer Variablen.)
- Was ist die Wurzel einer Gleichung? ( Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung wahr wird.)
- Wie findet man heraus, ob eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist? ( Machen Sie einen Scheck.)
Manche Schüler merken beim Testen, dass sie durch Null dividieren müssen. Sie kommen zu dem Schluss, dass die Zahlen 0 und 5 nicht die Wurzeln dieser Gleichung sind. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen zu lösen, die es uns ermöglicht, zu eliminieren? dieser Fehler? Ja, diese Methode basiert auf der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist.
Versuchen wir, auf diese Weise einen Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen zu formulieren. Kinder formulieren den Algorithmus selbst.
Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen:
- Verschieben Sie alles auf die linke Seite.
- Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
- Erstellen Sie ein System: Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null und der Nenner ungleich Null ist.
- Löse die Gleichung.
- Überprüfen Sie die Ungleichung, um Fremdwurzeln auszuschließen.
- Schreiben Sie die Antwort auf.
4. Erstes Verständnis von neuem Material.
Partnerarbeit. Abhängig von der Art der Gleichung entscheiden die Schüler selbst, wie sie die Gleichung lösen. Aufgaben aus dem Lehrbuch „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c); Nr. 601(a,e). Der Lehrer überwacht die Erledigung der Aufgabe, beantwortet alle auftretenden Fragen und unterstützt leistungsschwache Schüler. Selbsttest: Antworten werden an die Tafel geschrieben.
b) 2 - Fremdwurzel. Antwort: 3.
c) 2 – Fremdwurzel. Antwort: 1.5.
a) Antwort: -12,5.
5. Hausaufgaben machen.
- Lesen Sie Absatz 25 aus dem Lehrbuch und analysieren Sie die Beispiele 1-3.
- Lernen Sie einen Algorithmus zum Lösen gebrochener rationaler Gleichungen.
- Lösen Sie in Notizbüchern Nr. 600 (d, d); Nr. 601(g,h).
6. Zusammenfassung der Lektion.
Heute haben wir uns in der Lektion mit gebrochenen rationalen Gleichungen vertraut gemacht und gelernt, wie man diese Gleichungen löst verschiedene Wege. Was sollten Sie unabhängig davon, wie Sie gebrochene rationale Gleichungen lösen, beachten? Was ist die „Trick“ gebrochener rationaler Gleichungen?
Vielen Dank an alle, die Lektion ist vorbei.
Wir haben die Gleichung oben in § 7 eingeführt. Erinnern wir uns zunächst daran, was ein rationaler Ausdruck ist. Dies ist ein algebraischer Ausdruck, der aus Zahlen und der Variablen x besteht und die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten verwendet.
Wenn r(x) ein rationaler Ausdruck ist, dann heißt die Gleichung r(x) = 0 eine rationale Gleichung.
In der Praxis ist es jedoch bequemer, eine etwas breitere Interpretation des Begriffs „rationale Gleichung“ zu verwenden: Dies ist eine Gleichung der Form h(x) = q(x), wobei h(x) und q(x) sind rationale Ausdrücke.
Bisher konnten wir keine rationale Gleichung lösen, sondern nur eine, die durch verschiedene Transformationen und Überlegungen auf reduziert wurde Lineargleichung. Jetzt sind unsere Fähigkeiten viel größer: Wir werden in der Lage sein, eine rationale Gleichung zu lösen, die sich nicht nur auf linear reduziert
mu, sondern auch zur quadratischen Gleichung.
Erinnern wir uns daran, wie wir zuvor rationale Gleichungen gelöst haben, und versuchen wir, einen Lösungsalgorithmus zu formulieren.
Beispiel 1. Löse die Gleichung
Lösung. Schreiben wir die Gleichung im Formular um
In diesem Fall machen wir uns wie üblich die Tatsache zunutze, dass die Gleichungen A = B und A - B = 0 die gleiche Beziehung zwischen A und B ausdrücken. Dadurch konnten wir den Term mit auf die linke Seite der Gleichung verschieben entgegengesetztem Vorzeichen.
Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung transformieren. Wir haben
Erinnern wir uns an die Bedingungen der Gleichheit Brüche Null: genau dann, wenn zwei Beziehungen gleichzeitig erfüllt sind:
1) der Zähler des Bruchs ist Null (a = 0); 2) Der Nenner des Bruchs ist von Null verschieden.
Wenn wir den Zähler des Bruchs auf der linken Seite von Gleichung (1) mit Null gleichsetzen, erhalten wir
Es bleibt noch zu prüfen, ob die zweite oben genannte Bedingung erfüllt ist. Die Beziehung bedeutet für Gleichung (1), dass . Die Werte x 1 = 2 und x 2 = 0,6 erfüllen die angegebenen Beziehungen und dienen daher als Wurzeln der Gleichung (1) und gleichzeitig als Wurzeln der gegebenen Gleichung.
1) Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln
2) Lassen Sie uns die linke Seite dieser Gleichung transformieren:
(gleichzeitig die Vorzeichen im Zähler geändert und
Brüche).
Auf diese Weise, gegebene Gleichung nimmt die Form an
3) Lösen Sie die Gleichung x 2 - 6x + 8 = 0. Finden Sie
4) Überprüfen Sie bei den gefundenen Werten die Erfüllung der Bedingung 
. Die Nummer 4 erfüllt diese Bedingung, die Nummer 2 jedoch nicht. Das bedeutet, dass 4 die Wurzel der gegebenen Gleichung ist und 2 eine Fremdwurzel ist.
ANTWORT: 4.
2. Lösen rationaler Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen
Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist Ihnen bekannt; wir haben sie mehr als einmal verwendet. Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie es zur Lösung rationaler Gleichungen verwendet wird.
Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung x 4 + x 2 - 20 = 0.
Lösung. Lassen Sie uns eine neue Variable y = x 2 einführen. Da x 4 = (x 2) 2 = y 2, kann die gegebene Gleichung wie folgt umgeschrieben werden
y 2 + y - 20 = 0.
Dabei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln mithilfe bekannter Gleichungen ermittelt werden können Formeln; wir erhalten y 1 = 4, y 2 = - 5.
Aber y = x 2, was bedeutet, dass das Problem auf die Lösung zweier Gleichungen reduziert wurde:
x 2 =4; x 2 = -5.
Aus der ersten Gleichung stellen wir fest, dass die zweite Gleichung keine Wurzeln hat.
Antwort: .
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 +c = 0 wird biquadratische Gleichung genannt („bi“ ist zwei, also eine Art „doppelte quadratische“ Gleichung). Die gerade gelöste Gleichung war genau biquadratisch. Jede biquadratische Gleichung wird auf die gleiche Weise gelöst wie die Gleichung aus Beispiel 3: Führen Sie eine neue Variable y = x 2 ein, lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung in Bezug auf die Variable y und kehren Sie dann zur Variablen x zurück.
Beispiel 4. Löse die Gleichung
Lösung. Beachten Sie, dass derselbe Ausdruck x 2 + 3x hier zweimal vorkommt. Das bedeutet, dass es sinnvoll ist, eine neue Variable y = x 2 + 3x einzuführen. Dadurch kann die Gleichung in eine einfachere und angenehmere Form umgeschrieben werden (was eigentlich der Zweck der Einführung einer neuen ist). Variable- und Vereinfachung der Aufnahme
wird klarer und die Struktur der Gleichung wird klarer):
Lassen Sie uns nun den Algorithmus zum Lösen einer rationalen Gleichung verwenden.
1) Fassen wir alle Terme der Gleichung in einen Teil zusammen:
= 0
2) Transformieren Sie die linke Seite der Gleichung
Also haben wir die gegebene Gleichung in die Form umgewandelt
3) Aus der Gleichung - 7y 2 + 29y -4 = 0 finden wir (Sie und ich haben bereits ziemlich viele quadratische Gleichungen gelöst, daher lohnt es sich wahrscheinlich nicht, immer detaillierte Berechnungen im Lehrbuch anzugeben).
4) Überprüfen wir die gefundenen Wurzeln anhand der Bedingung 5 (y - 3) (y + 1). Beide Wurzeln erfüllen diese Bedingung.
Damit ist die quadratische Gleichung für die neue Variable y gelöst: 
Da y = x 2 + 3x und y, wie wir festgestellt haben, zwei Werte annimmt: 4 und , müssen wir noch zwei Gleichungen lösen: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Die Wurzeln der ersten Gleichung sind die Zahlen 1 und - 4, die Wurzeln der zweiten Gleichung sind die Zahlen
In den betrachteten Beispielen war die Methode zur Einführung einer neuen Variablen, wie Mathematiker gerne sagen, der Situation angemessen, das heißt, sie entsprach ihr gut. Warum? Ja, weil derselbe Ausdruck eindeutig mehrmals in der Gleichung auftauchte und es einen Grund gab, diesen Ausdruck zu benennen neuer Brief. Dies geschieht jedoch nicht immer; manchmal „erscheint“ eine neue Variable erst während des Transformationsprozesses. Genau das wird im nächsten Beispiel passieren.
Beispiel 5. Löse die Gleichung
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lösung. Wir haben
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -3x+2.
Dies bedeutet, dass die gegebene Gleichung in der Form umgeschrieben werden kann
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Jetzt ist eine neue Variable „erschienen“: y = x 2 - 3x.
Mit seiner Hilfe kann die Gleichung in die Form y (y + 2) = 24 und dann y 2 + 2y - 24 = 0 umgeschrieben werden. Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen 4 und -6.
Zurück zur ursprünglichen Variablen x erhalten wir zwei Gleichungen x 2 - 3x = 4 und x 2 - 3x = - 6. Aus der ersten Gleichung finden wir x 1 = 4, x 2 = - 1; Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.
ANTWORT: 4, - 1.
