Das zweite Kapitel zeigt, dass der Vektor der horizontalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation verwendet werden kann, um Navigationsinformationen zu erhalten.

Erstens ist dieser Vektor horizontal, liegt in der Meridianebene und tangiert diese. Offensichtlich ermöglicht die Bestimmung der Richtung dieses Vektors die Ermittlung der Meridianebene. Dieses Problem wird durch Kreiselkompasse gelöst.

Zweitens die Messung des Vektormoduls ω 1 ermöglicht es Ihnen, den Breitengrad eines Ortes zu bestimmen. Diese Bestimmung wird von einigen Arten von Trägheitsnavigationssystemen durchgeführt. Sie messen die Menge ω 1 = Ω 1 (Ω 1 - instrumenteller oder gemessener Wert der horizontalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation). Von hier Ω 1 = ω ♀ cos φ. Der volle Wert der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist dann bekannt φ = Arccos Ω 1/ ω ♀ .

Betrachten wir das Funktionsprinzip von Kreiselkompassen mit direkter Steuerung genauer.

Die Verschiebung des Schwerpunkts des empfindlichen Elements des Kreiselkompasses relativ zur Mitte der Aufhängung ist die erste Voraussetzung für die Umwandlung eines freien Kreisels in einen Kreiselkompass. Abschnitt 2.4.3 diskutiert die Bewegung eines solchen Gyroskops auf der Erde. Für mehr Detaillierte Analyse Um diese Bedingung umzusetzen, ist es notwendig, Bewegungsgleichungen des empfindlichen Elements im horizontalen Koordinatensystem aufzustellen. Dazu verwenden wir die Bewegungsgleichungen eines freien Kreisels (2.1). Da die Hauptachse des empfindlichen Elements des Kreiselkompasses immer in der Nähe der Horizont- und Meridianebenen liegt, sind die Winkel α Und β klein. Dann tan β ≈ О, sin α ≈ α. Jetzt werden die Gleichungen die Form annehmen

Wie in Abschnitt 2.4.3 erläutert, bewegt sich ein Gyroskop im horizontalen Koordinatensystem aufgrund der Erdrotation offenbar im Azimut mit der Winkelgeschwindigkeit und in der Höhe mit der Winkelgeschwindigkeit. Mit dem Aufkommen des Winkels β Das heißt, wenn der Schwerpunkt von der vertikalen Linie abweicht, die durch die Mitte der Aufhängung des empfindlichen Elements verläuft, entsteht eine Schulter (Abb. 3.3).

DG = a sin β ≈ a β.

Mit dem Erscheinen der Schulter entsteht ein Moment der Schwerkraft L y = Â β(siehe (2.12)), genannt Pendelmoment. Letzterer Umstand führt zur Präzession des Kreisels nach Westen:

ω pz =-

Da der Winkel β klein, weil β ≈ 1, dann ist die Projektion der resultierenden Winkelgeschwindigkeit auf die Vertikale gleich ωpz.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession im Azimut wird in die erste Gleichung des Systems (3.3) einbezogen.

Es gab keinen zusätzlichen Effekt auf die vertikale Bewegung des Gyroskops. Die Gleichungen werden endlich die Form annehmen

,

(3.4)

Man erhält die Differentialgleichungen der Bewegung des empfindlichen Elements im horizontalen Koordinatensystem. Sie charakterisieren diese Bewegung mit ausreichender Genauigkeit sowohl im Azimut als auch in der Höhe.

Das gleiche Ergebnis wird mit der Kudrevich-Methode erzielt, die in Abschnitt 2.2 besprochen wird. Nachdem ich die gyroskopischen Momente zusammengefasst habe N , Hω 2 und das entlang der Achse ausgeübte Schwerkraftmoment bei, erhalten wir die erste Gleichung und die Summe der Kreiselmomente entlang der Achse z ergibt die zweite Gleichung des Systems (3.4). Kleine Terme der Gleichungen werden von vornherein aus der Betrachtung ausgeschlossen, um die Transformationen zu vereinfachen.

Die Gleichungen beschreiben die ungedämpften Schwingungen des Kreiselkompasses, die Art und physikalische Bedeutung die in Abschnitt 2.4.3 aufgeführt sind.

An der Gleichgewichtsposition treten ungedämpfte Schwingungen auf, die die Achse einnehmen X empfindliches Element, wenn die Bewegung stoppt, also bei = 0 und = 0. Wenn wir diese Werte in die Gleichungen (3.4) einsetzen, erhalten wir ihre Teillösungen:

(3.5)

Diese Gleichungen charakterisieren die Gleichgewichtslage der Hauptachse des Kreiselkompasses.

Analyse von Gleichungen:

1. Die Hauptachse des Gyroskops liegt in der Meridianebene. Es erhebt sich schräg über den Horizont β r, was zum Erscheinen eines Augenblicks führt Вβ r. Das Vorhandensein dieses Moments sorgt für die Präzession der Achse X Kreiselkompass, der dem Meridian nach Westen folgt:

ω pz =-

2. Winkel β r hängt vom Breitengrad ab.

Um eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen (3.4) zu finden, ist es notwendig, die Variablen zu trennen. Lassen Sie uns die erste Gleichung differenzieren:

Aus der zweiten Gleichung ersetzen wir den Wert und nach der Transformation erhalten wir

(3.7)

Hier ω 0 - Kreisfrequenz ungedämpfter Schwingungen. Darüber hinaus ω 0 =V/N Und ω 0 = ω ♀ cos φ. Daraus ergibt sich die Periode ungedämpfter Schwingungen als eine zur Frequenz umgekehrt proportionale Größe:

(3.8)

Aus der Analyse der Gleichungen folgt:

1. Die Periode ungedämpfter Schwingungen hängt vom Breitengrad ab. Am Äquator ist es minimal, am Pol tendiert es zur Unendlichkeit, was auf den Verlust der Selektivität zum Meridian durch den Kreiselkompass zurückzuführen ist.

2. Punkt T hängt von den Kreiselkompassparametern ab N Und IN. Dies ermöglicht eine Regulierung.

Der Kreiselkompass ist ein automatisches System. Wir werden es aus der Sicht der Grundlagen der Automatisierung bewerten lineare Transformation Gleichung (3.6) unter der Annahme = λ . Somit,

λ 2 + ω 0 2 = 0(3.9)

Ausdruck (3.9) ist eine charakteristische Gleichung und hat imaginäre Wurzeln

λ 1,2 = ± ich ω 0,

Wo ich= .

Gemäß den Stabilitätskriterien von Hurwitz ist das System instabil, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung imaginär sind. Der Übergangsprozess ist harmonischer Natur. Folglich führt der Kreiselkompass harmonische ungedämpfte Schwingungen aus.

Gemeinsame Entscheidung Gleichung (3.6) hat die Form

α = C 1 cos ω 0 t+ C 2 sin ω 0 t(3.10)

Wo C 1 Und C 2- Ständige Integrationen.

Für Anfangsbedingungen (t = 0) letzter Term der Gleichung gleich Null und der Abweichungswinkel im Azimut ist maximal und gleich α 0 , also C 1 = α 0. Dann

α = α 0 cos ω 0 t (3.11)

Aus der Analyse von Gleichung (3.11) können wir schließen, dass der Kreiselkompass ungedämpfte Schwingungen mit einer Amplitude ausführt, die der anfänglichen Abweichung der Hauptachse des empfindlichen Elements von der Ebene des wahren Meridians entspricht. Größe C 2 aufgrund seiner Bedeutungslosigkeit vernachlässigt.

Um das Bewegungsgesetz der Hauptachse des Gyroskops in der Höhe zu finden, differenzieren wir Gleichung (3.11):

= - α 0 ω 0 sin ω 0 t.

Wenn wir diesen Wert in die erste Gleichung des Systems (3.4) einsetzen, erhalten wir:

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, nehmen wir die Ersetzung vor

Hier sind alle Komponenten konstant. Der letzte Term der Gleichung ist gleich β r(siehe (3.5)). Nach dem Ersetzen nimmt der Ausdruck die Form an

Gleichung (3.11) kann dargestellt werden als:

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir den aktuellen Wert des Endes des Vektors des empfindlichen Elements für jeden Zeitpunkt (Abb. 3.3).

(3.12)

Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt α r = 0, β = β r und mit Achswellen: groß α 0 , klein β 0 . Dies ist die Flugbahn der Hauptachse des Gyroskops. Die Analyse dieser Bewegung ist in Abschnitt 2.4.3 beschrieben.

Also: Die erste Voraussetzung für die Umwandlung eines freien Kreisels in einen Kreiselkompass ist erfüllt. Obwohl ein solches Gerät noch nicht verwendet werden kann, da es ungedämpfte Schwingungen ausführt, erfolgen diese Schwingungen um eine bekannte Richtung – den wahren Meridian oder genauer gesagt die Richtung des Vektors der horizontalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation .

Schauen wir uns die letzte Klarstellung genauer an. Das Pendelmoment entsteht durch die Verschiebung des Schwerpunkts des Kreisels relativ zum Mittelpunkt der Aufhängung sowie durch die Rotation der Erde. In der Gleichgewichtslage dreht sich der Schwerpunkt des Sensorelements im Trägheitsraum um den Vektor ω 1, eine Umdrehung pro Tag machend. In diese Richtung verläuft die Hauptachse des empfindlichen Elements. Dieser Vektor liegt wiederum in der Ebene des wahren Meridians. Folglich gelangt der Kreiselkompass in einem bestimmten Fall, nämlich bei stationärer Basis, wenn er nur an einer Rotation teilnimmt – der Rotation der Erde – in die Ebene des wahren Meridians.

Wenden wir uns der zweiten Gleichung des Systems (3.4) zu. Lassen Sie uns alle Terme mit dem Wert multiplizieren N. Vor diesem Hintergrund ist der zweite Term dieser Gleichung der Moment

R z = Hω ♀ + cos φ α, (3.13)

Dies charakterisiert die Reaktion eines Gyroskops mit einem niedrigeren Schwerpunkt auf seine Abweichung im Azimut von der Richtung des Vektors ω 1(das heißt, von der Ebene des wahren Meridians). Dieses Moment ist ein Kreiselmoment und tritt auf, wenn sich der Kreisel in der Höhe bewegt (Abb. 3.3). Eine Höhenbewegung aufgrund der Erdrotation erfolgt nur, wenn α ≠ 0. Somit gilt: R z ist das Leitmoment des Kreiselkompasses. Die Analyse der Gleichung (3.13) ermöglicht es uns, die folgenden Schlussfolgerungen zu ziehen:

1. Ein Leitmoment kann nur auftreten, wenn sich die Erde dreht. Dies ist eine Voraussetzung, um aus einem freien Kreisel einen Kreiselkompass zu machen. Auf jedem Planeten ohne Rotation würde das empfindliche Element eine unbestimmte Position einnehmen ( ω ♀ = 0, R z= 0).

2. Der Kreiselkompass nimmt auch eine unbestimmte Position am Pol ein (cos 90° = 0, Rz:= 0), aufgrund Verlust des Führungsmoments. Tatsächlich verliert der Kreiselkompass in Breiten über 75-85° die Selektivität zum Meridian R z wird klein und entspricht schädlichen Momenten. Auf dem weiterfahrenden U-Boot Leninsky Komsomolets wurden Kreiselkompasse installiert Nordpol 1962 mussten sie je nach technischen Bedingungen bis zu einem Breitengrad von 85° operieren. Tatsächlich verloren sie auf dem Breitengrad 86,5° ihre Empfindlichkeit gegenüber dem Meridian. Dies ist in den Memoiren des ehemaligen Kommandanten dieses Bootes, Zhiltsov, vermerkt. Für den Kreiselkompass Kurs-4 und seine Modifikationen beträgt der maximale Arbeitsbreite 75°.

3. Das Leitmoment wird Null, wenn sich der Kreiselkompass im Meridian befindet ( α = 0, R z = 0).

Um also ein freies Gyroskop unter den Bedingungen einer rotierenden Erde in einen Kreiselkompass zu verwandeln, müssen Sie ein Gyroskop damit „verknüpfen“. Die Verbindung des Gyroskops mit der Erde erfolgt durch die Umsetzung konstruktiver Lösungen. Für den Kreiselkompass Kurs-4 besteht diese Lösung darin, den Schwerpunkt des empfindlichen Elements relativ zur Mitte der Aufhängung zu verringern. Dies führt zur Entstehung ungedämpfter Schwingungen, theoretische Analyse die in diesem Absatz und grafisch dargestellt sind - in Absatz 2.4.3.

Ein solches Gerät ist jedoch noch kein Kreiselkompass. Es ist notwendig, seine ungedämpften Schwingungen in gedämpfte umzuwandeln. Hierzu wird ein Öldämpfer (Flüssigkeitsdämpfer) eingesetzt. Die Einführung eines zusätzlichen Geräts, eines Öldämpfers, der bei seiner Arbeit auch die Schwerkraft nutzt, ist die Erfüllung der zweiten Bedingung für die Umwandlung eines freien Kreisels in einen Kreiselkompass.

Ticketnummer 8

Gedämpfte Schwingungen

In allen automatischen Systemen werden mechanische Schwingungen durch ein gegenüber dem Hauptmoment entweder in der Phase (zeitlich) oder im Raum um 90° verschobenes Moment gedämpft. Im ersten Fall wirken beide Momente entlang derselben Achse, im zweiten Fall entlang unterschiedlicher Achsen.

MECHANISCHE VIBRATIONEN

Betrachten wir Schwingungen, die in mechanischen Systemen auftreten.

Oszillationen sind Prozesse, die im Laufe der Zeit unterschiedlich stark wiederholbar sind.

Sie sind frei, wenn sie aufgrund der zunächst zugeführten Energie in der anschließenden Abwesenheit äußerer Einflüsse auf das schwingungsfähige System erreicht werden. Freie Schwingungen können sein ungedämpft und gedämpft.

Eine andere Art von Schwingung - gezwungen, sie werden unter dem Einfluss einer äußeren, periodisch wirkenden Kraft erreicht.

Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonisch. Sowohl freie als auch erzwungene Schwingungen können harmonisch sein.

Freie ungedämpfte Schwingungen

Die Schwingung, bei der der Wert X schwankende Mengenänderungen im Laufe der Zeit T vor dem Gesetz

x = A sin(ω 0 T+a 0) oder

x = Aсos(ω 0 t+ a), (1.1)

angerufen harmonisch.

In Ausdrücken (1.1) für mechanische Schwingungen X- Verschiebung eines oszillierenden Punktes aus der Gleichgewichtslage; A- Schwingungsamplitude (maximale Verschiebung); (ω 0 t+a) - Phase der Schwingungen im Moment der Zeit T; a, a 0 - Anfangsphasen im Moment der Zeit t = 0; ω 0 - natürliche zyklische Frequenz. Aus einem Vergleich der Gleichungen wird deutlich, dass die Anfangsphasen zusammenhängen: a = a 0 - p / 2. In SI wird die Phase in gemessen Bogenmaß(Der Einfachheit halber in Anteile p, zum Beispiel p/2), kann aber auch in Grad gemessen werden.

Unter dem Einfluss von entstehen mechanische harmonische Schwingungen elastisch oder quasielastisch eine Kraft, die proportional zur Verschiebung ist und immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist, also dem Gesetz gehorcht F = - k x, Wo k- Proportionalitätskoeffizient (für elastische Kraft, Steifigkeitskoeffizient).

Da - 1 ≤ сos(ω 0 T+a) ≤ 1 und - 1 ≤ sin(ω 0 T+a 0) ≤ 1, dann der Wert X variiert zwischen - A bis + A.

Man nennt die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit Frequenz n, und die Zeit einer vollständigen Schwingung ist Schwingungsperiode T. Die Periode der harmonischen Funktion hängt von der zyklischen Frequenz ab:

T= 2p / ω 0 . (1.2)

Die Frequenz ist daher umgekehrt proportional zur Periode

N = 1/T,ω 0 = 14 Uhr . (1.3)

Die Einheit der Frequenz ist Hertz(Hz). 1 Hz ist die Schwingungsfrequenz, bei der in einer Sekunde eine vollständige Schwingung auftritt, 1 Hz = 1 s -1.

Die zyklische Frequenz ist gleich der Anzahl vollständiger Schwingungen in 2p Sekunden, gemessen in s -1.

Schwingungsperiode T kann aus den Diagrammen (Abb. 1.1) ermittelt werden.

Kosinus und Sinus sind periodische Funktionen und werden daher durch den Wert des Arguments wiederholt, der 2 π im Bogenmaß entspricht, d. h. nach einer Schwingungsperiode wechselt die Phase zu 2π Bogenmaß. Funktion X= Sünde( T) beginnt bei Null, in Abb. 1.1, A sein Anfang ist links von der Achse Ochse, wird der Graph zeitlich um verschoben T/8 und in Phase um π/4 rad. Um zum Anfang des Diagramms zurückzukehren, müssen Sie sich bewegen Von Zeitachse, daher wird die Phase mit einem Pluszeichen angegeben: α 0 = π/4 rad.

Countdown Anfangsphase nach dem Kosinusgesetz (Abb. 1.1, B) erfolgt aus dem „Buckel“ des Graphen, da die Funktion X= cos( T) ist gleich Eins bei T= 0. Der Graph wird so verschoben, dass der nächste maximale Kosinuswert relativ zur Achse rechts liegt Ochse: mit der Zeit T/8 und in Phase um π/4 rad. Die Rückkehr zum Ursprung der Koordinatenachsen erfolgt entgegengesetzt zur Zeitachse, die Anfangsphase ist in in diesem Fall wird mit einem Minuszeichen gezählt: α = - π/4 rad. Momentane Phase Schwingungen bestimmen den Zustand des Schwingsystems in dieser Moment Zeit. Für einen Punkt M(Abb. 1.1, B) in der Gleichung nach dem Sinusgesetz ist die Schwingungsphase gleich π Bogenmaß, weil vom nächstgelegenen Funktionswert X= Sünde( T) bei T= 0 Die Hälfte des Zeitraums ist vor dem angegebenen Zeitpunkt vergangen. Vom nächstgelegenen „Buckel“ ist ein Viertel der Periode vergangen, sodass nach dem Kosinusgesetz die Phase gleich π/2 Bogenmaß ist.

Wir erinnern Sie daran, dass diese Funktionen periodisch sind, sodass Sie eine gerade Zahl π zur Phase addieren (oder subtrahieren) können – dies ändert nichts am Zustand des Schwingungssystems.

Ungedämpfte Schwingungen

Betrachten wir das einfachste mechanische Schwingsystem mit einem Freiheitsgrad, den sogenannten harmonischen Oszillator. Als reale Verkörperung eines Oszillators betrachten wir einen Körper der Masse m, der an einer Feder mit der Steifigkeit k aufgehängt ist, unter der Annahme, dass Widerstandskräfte vernachlässigt werden können. Wir zählen die Dehnung der Feder ausgehend von der Gleichgewichtsposition der Feder. Die statische Elastizitätskraft gleicht die Schwerkraft aus, und weder die eine noch die andere Kraft wird in die Bewegungsgleichung eingehen. Schreiben wir die Bewegungsgleichung nach dem zweiten Newtonschen Gesetz:

(4.1)
Schreiben wir diese Gleichung in Projektionen auf die x-Achse (Abb. 4.1).

Wir stellen die Projektion der Beschleunigung auf die x-Achse als zweite Ableitung der x-Koordinate nach der Zeit dar. Die zeitliche Differenzierung wird üblicherweise durch einen Punkt darüber dargestellt wörtlicher Ausdruck Mengen. Die zweite Ableitung ist mit zwei Punkten markiert. Dann schreiben wir Gleichung (4.1) in der Form um:

(4.2)
Das Minuszeichen auf der rechten Seite von Gleichung (4.2) zeigt, dass die Kraft gegen die Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage gerichtet ist. Bezeichnen wir k/m mit w2 und geben wir Gleichung (4.2) die Form:

(4.3)
Wo

(4.4)
Gleichung (4.3) wird als harmonische Oszillatorgleichung bezeichnet. Wir sind bereits auf eine ähnliche Gleichung gestoßen (Gleichung 3.29) und werden ihr noch mehr als einmal begegnen. Dies ist eine Differentialgleichung. Sie unterscheidet sich von der Algebra dadurch, dass das darin Unbekannte eine Funktion (in unserem Fall eine Funktion der Zeit) und keine Zahl ist, und auch darin, dass sie Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet, eine Funktion x(t) zu finden, die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, diese in eine Identität umwandelt. Wir suchen nach einer Lösung im Auswahlverfahren (mit anschließender Überprüfung). Es gibt Grund zu der Annahme, dass die Lösung unserer Gleichung eine Funktion der Form ist

(4.5)
Funktion (4.5) ist eine Sinusfunktion in allgemeiner Form. Die Parameter A, a, j0, 0 sind noch nicht bestimmt und nur die Einsetzung der Funktion (4.5) in Gleichung (4.3) zeigt, wie sie gewählt werden sollten. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion (4.5) und setzen sie in Gleichung (4.3) ein:

(4.6)

(4.7)
Reduzieren wir die Terme der Gleichung um Asin(at + j0) und erhalten:

(4.8)
Die Tatsache, dass nach Ablauf der Reduktionszeit kein „Ausscheiden“ aus der Gleichung erfolgt, weist darauf hin, dass der Typ der gesuchten Funktion richtig gewählt wurde. Gleichung (4.8) zeigt, dass a gleich w sein muss.
Die Konstanten A und j0 können nicht aus der Bewegungsgleichung ermittelt werden, sondern müssen aus anderen Überlegungen ermittelt werden. Die Lösung der harmonischen Oszillatorgleichung ist also die Funktion

(4.9)
Wie können wir die Konstanten A und j0 bestimmen? Sie heißen beliebige Konstanten und werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Der Punkt ist, dass es irgendwann zu Schwankungen kommen muss. Ihr Auftreten wird durch einige äußere Gründe verursacht. Betrachten wir zwei verschiedene Fälle des Auftretens von Schwingungen: 1) Schwingungen einer Feder, die vom Experimentator um einen Betrag x0 zurückgezogen und dann freigegeben wird. 2) Vibrationen eines an einer Feder aufgehängten Körpers, der mit einem Hammer geschlagen und gemeldet wurde Startmoment Zeitgeschwindigkeit v0. Finden wir die Konstanten A und j0 für diese Fälle.

(4.10)
Differenzieren wir (4.9) nach der Zeit, d.h. Lassen Sie uns die Geschwindigkeit des Körpers ermitteln:

(4.11)
Setzen wir die Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11) ein:

(4.12)
Daraus folgt, dass 0 = p/2, A = x0.
Das Gesetz der Körperbewegung wird endlich Gestalt annehmen

(4.13)
2) Bei t = 0 x = 0 und Geschwindigkeit v = x = v0 .
Ersetzen wir neue Anfangsbedingungen in die Gleichungen (4.9) und (4.11):
0=Asin J 0,
v0=Awcos J 0.
(4.14)
Wir erhalten das bei 0 = 0 A = v0/w. Das Bewegungsgesetz nimmt die Form an

(4.15)
Natürlich sind auch andere, komplexere Anfangsbedingungen möglich, aus denen neue Konstanten A und j0 gefunden werden müssen. Somit ist Lösung (4.9) eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung eines Körpers. Daraus kann ausgehend von den Anfangsbedingungen eine bestimmte Lösung gefunden werden, die einen bestimmten Bewegungsfall beschreibt.
Lassen Sie uns nun die physikalische Bedeutung der eingeführten Konstanten A, j0,w ermitteln. Offensichtlich stellt A die Amplitude der Schwingungen dar, d.h. die größte Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage. j0 wird als Anfangsphase der Schwingung bezeichnet, und das Argument des Sinus (wt + j0) wird als Phase bezeichnet. Die Phase bestimmt den Zustand eines sich bewegenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn Sie die Phase (Sinus-Argument) kennen, können Sie die Position des Körpers (seine Koordinate) und seine Geschwindigkeit ermitteln. j0 ist die Phase zum Anfangszeitpunkt.
Es bleibt die Bedeutung des Parameters w herauszufinden. In einer Zeit, die der Periode entspricht
Schwingungen T, d.h. während einer vollständigen Schwingung ändert sich das Argument des Sinus um 2p. Daher ist wТ = 2p, daher

(4.16)
Formel (4.16) zeigt, dass w die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2p Sekunden ist – die zyklische Frequenz. Letzteres hängt durch die Beziehung mit der Frequenz n zusammen

(4.17)
Finden wir die Energie freier Schwingungen. Es wird durch zwei Arten von Energie repräsentiert: kinetische und potentielle Energie.

(4.18)
Wenn wir die Werte von x und v gemäß den Beziehungen (4.9) und (4.11) in diese Formel einsetzen, erhalten wir:

(4.19)

Somit ist die Energie freier Schwingungen proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.
Achten wir auf den folgenden Umstand. Die Sinus- und Kosinusfunktionen unterscheiden sich nur dadurch voneinander, dass die eine gegenüber der anderen um /2 phasenverschoben ist. Das Quadrat des Sinus bestimmt die potentielle Energie und das Quadrat des Kosinus bestimmt die kinetische Energie. Daraus folgt, dass die zeitlich gemittelte (z. B. über die Schwingungsdauer) kinetische und potentielle Energie gleich ist, d. h.

(4.20)
Und

(4.21)

UNgedämpfte Schwingungen – Schwingungen mit konstanter Amplitude.

Feierabend -

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Methodisches Handbuch für Studierende der Fachrichtung Physik. Mechanische Vibrationen

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Freie Schwingungen werden aufgrund von Energieverlusten (Reibung, Umweltwiderstand, Widerstand von Stromleitern usw.) immer gedämpft. Mittlerweile werden sowohl in der Technik als auch in physikalischen Experimenten dringend ungedämpfte Schwingungen benötigt, deren Periodizität gleich bleibt, solange das System überhaupt schwingt. Wie entstehen solche Schwingungen? Wir kennen erzwungene Schwingungen, bei denen Energieverluste durch periodische Arbeit ausgeglichen werden äußere Kraft, sind ungedämpft. Aber woher kommt die äußere periodische Kraft? Schließlich bedarf es wiederum einer Quelle ungedämpfter Schwingungen.

Ungedämpfte Schwingungen werden durch Geräte erzeugt, die aufgrund einiger Eigenschwingungen ihre Schwingungen selbst aufrechterhalten können dauerhafte Quelle Energie. Solche Geräte werden selbstschwingende Systeme genannt.

In Abb. 55 zeigt ein Beispiel für ein solches elektromechanisches Gerät. Das Gewicht hängt an einer Feder, deren unteres Ende in einen Quecksilberbecher getaucht wird, wenn dieses Federpendel schwingt. Ein Pol der Batterie ist mit der Feder oben verbunden, der andere mit dem Quecksilbergefäß. Beim Absenken der Last Stromkreis schließt und Strom fließt durch die Feder. Federspulen dank Magnetfeld Die Ströme beginnen sich gegenseitig anzuziehen, die Feder wird zusammengedrückt und die Last erhält einen Aufwärtsschub. Dann wird der Kontakt unterbrochen, die Spulen hören auf, sich zu spannen, die Last fällt wieder ab und der gesamte Vorgang wiederholt sich erneut.

So wird die Schwingung des Federpendels, die von selbst erlöschen würde, durch periodische Stöße aufrechterhalten, die durch die Schwingung des Pendels selbst verursacht werden. Bei jedem Schub gibt der Akku einen Teil der Energie ab, der zum Teil zum Heben der Last genutzt wird. Das System selbst kontrolliert die auf es einwirkende Kraft und reguliert den Energiefluss von der Quelle – der Batterie. Die Schwingungen klingen nicht gerade deshalb ab, weil in jeder Periode genau so viel Energie aus der Batterie entnommen wird, wie in derselben Zeit für Reibung und andere Verluste aufgewendet wird. Die Periode dieser ungedämpften Schwingungen stimmt praktisch mit der Periode der Eigenschwingungen der Belastung der Feder überein, d. h. sie wird durch die Steifigkeit der Feder und die Masse der Belastung bestimmt.

Reis. 55. Eigenschwingungen einer Last auf einer Feder

Ebenso kommt es bei einer elektrischen Glocke zu ungedämpften Schwingungen eines Hammers, mit dem einzigen Unterschied, dass hier periodische Stöße durch einen separaten Elektromagneten erzeugt werden, der einen am Hammer montierten Anker anzieht. Auf ähnliche Weise ist es möglich, mit Schallfrequenzen Eigenschwingungen zu erzeugen, um beispielsweise eine Stimmgabel zu ungedämpften Schwingungen anzuregen (Abb. 56). Wenn sich die Schenkel der Stimmgabel auseinanderbewegen, schließt Kontakt 1; Strom fließt durch die Wicklung von Elektromagnet 2 und der Elektromagnet spannt die Beine der Stimmgabel. In diesem Fall öffnet sich der Kontakt und dann wiederholt sich der gesamte Zyklus.

Reis. 56. Selbstschwingungen einer Stimmgabel

Der Phasenunterschied zwischen der Schwingung und der Kraft, die sie reguliert, ist für die Entstehung von Schwingungen äußerst wichtig. Verschieben wir Kontakt 1 von der Außenseite des Stimmgabelschenkels nach innen. Der Verschluss erfolgt nun nicht mehr, wenn die Beine auseinanderlaufen, sondern wenn die Beine sich nähern, d. h. der Zeitpunkt, an dem der Elektromagnet eingeschaltet wird, ist im Vergleich zum vorherigen Experiment um eine halbe Periode vorverlegt. Es ist leicht zu erkennen, dass in diesem Fall die Stimmgabel durch einen ständig eingeschalteten Elektromagneten ständig komprimiert wird, d. h. es treten überhaupt keine Schwingungen auf.

Elektromechanische selbstschwingende Systeme werden in der Technik sehr häufig eingesetzt, rein mechanische selbstschwingende Geräte sind jedoch nicht weniger verbreitet und wichtig. Es reicht aus, auf ein beliebiges Uhrwerk zu verweisen. Ungedämpfte Schwingungen eines Pendels oder einer Uhr werden durch einen Balancer aufrechterhalten potenzielle Energie ein erhöhtes Gewicht oder aufgrund der elastischen Energie einer gewickelten Feder.

Abbildung 57 veranschaulicht das Funktionsprinzip der Galileo-Huygens-Pendeluhr (§ 11). Diese Abbildung zeigt die sogenannte Ankerpassage. An einer Zahntrommel ist ein Rad mit schrägen Zähnen 1 (Laufrad) starr befestigt, durch das eine Kette mit einem Gewicht 2 geworfen wird. Am Pendel 3 ist eine Querstange 4 (Anker) befestigt, an deren Enden sich Paletten 5 befinden fest - kreisförmig gekrümmte Platten mit Mittelpunkt auf der Pendelachse 6. Der Anker lässt das Laufrad nicht frei rotieren, sondern gibt ihm die Möglichkeit, sich pro Halbperiode des Pendels nur um einen Zahn zu drehen. Aber auch das Laufrad wirkt auf das Pendel, nämlich während der Zahn des Laufrades Kontakt mit der gekrümmten Oberfläche der linken oder rechten Palette hat, erhält das Pendel keinen Stoß und wird durch Reibung nur geringfügig abgebremst. Aber in den Momenten, in denen der Zahn des Laufrads am Ende der Palette „aufschlägt“, erhält das Pendel einen Stoß in die Richtung seiner Bewegung. Dadurch schwingt das Pendel ungedämpft, da es in bestimmten Stellungen selbst dem Laufrad erlaubt, sich in die gewünschte Richtung zu schieben. Diese Stöße füllen die für die Reibung aufgewendete Energie wieder auf. Die Schwingungsdauer stimmt in diesem Fall nahezu mit der Eigenschwingungsdauer des Pendels überein, hängt also von seiner Länge ab.

Reis. 57. Diagramm des Uhrmechanismus

Selbstschwingungen sind auch Schwingungen einer Saite unter der Wirkung eines Bogens (im Gegensatz zu den freien Schwingungen einer Saite bei einem Klavier, einer Harfe, einer Gitarre und anderen Instrumenten ohne Streichstrich). Streichinstrumente, erregt durch einen einzigen Stoß oder Ruck); Zu den Selbstschwingungen zählen der Klang von Blasmusikinstrumenten, die Bewegung des Kolbens einer Dampfmaschine und viele andere periodische Prozesse.

Ein charakteristisches Merkmal von Selbstschwingungen ist, dass ihre Amplitude durch die Eigenschaften des Systems selbst bestimmt wird und nicht durch die anfängliche Auslenkung oder den anfänglichen Stoß, wie bei freien Schwingungen. Wird beispielsweise das Pendel einer Uhr zu stark ausgelenkt, sind die Reibungsverluste größer als der Energieeintrag des Aufzugsmechanismus und die Amplitude nimmt ab. Im Gegenteil: Wenn die Amplitude verringert wird, führt die überschüssige Energie, die das Laufrad auf das Pendel überträgt, zu einer Vergrößerung der Amplitude. Die Amplitude, bei der Energieverbrauch und -versorgung ausgeglichen sind, wird automatisch ermittelt.

Gedämpfte und erzwungene Schwingungen

Dämpfung von Schwingungen Dies wird als Abnahme der Schwingungsamplitude im Laufe der Zeit aufgrund von Energieverlust bezeichnet Schwingsystem(zum Beispiel die Umwandlung von Schwingungsenergie in Wärme aufgrund von Reibung in mechanischen Systemen). Durch die Dämpfung wird die Periodizität von Schwingungen unterbrochen, sodass es sich nicht mehr um einen periodischen Prozess handelt. Wenn die Dämpfung gering ist, können wir bedingt das Konzept der Schwingungsperiode verwenden - T(in Abbildung 7.6 A 0 – anfängliche Schwingungsamplitude).

Abbildung 7.6 – Eigenschaften gedämpfter Schwingungen

Gedämpfte mechanische Schwingungen eines Federpendels entstehen unter dem Einfluss zweier Kräfte: der elastischen Kraft und der Widerstandskraft:

Wo R– Widerstandskoeffizient.

Mit der Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes können wir Folgendes erhalten:

oder

Teilen Sie die letzte Gleichung durch M und führen Sie die Notation ein oder

Wo β Dämpfungskoeffizient, dann nimmt die Gleichung die Form an

(7.20)

Dieser Ausdruck ist Differentialgleichung gedämpfte Schwingungen. Die Lösung dieser Gleichung lautet

Dies impliziert die exponentielle Natur gedämpfter Schwingungen, d. h. die Amplitude der Schwingungen nimmt nach einem Exponentialgesetz ab (Abbildung 7.6):

(7.22)

Die relative Abnahme der Schwingungsamplitude über einen Zeitraum ist durch eine Dämpfungsabnahme gleich gekennzeichnet

(7.23)

oder durch logarithmisches Dämpfungsdekrement:

(7.24)

Dämpfungskoeffizient β umgekehrt proportional zur Zeit τ Dabei nimmt die Amplitude der Schwingungen um ab e einmal:

diese. (7.25)

Die Frequenz gedämpfter Schwingungen ist immer kleiner als die Frequenz natürlicher Schwingungen und lässt sich aus dem Ausdruck ermitteln

(7.26)

wobei ω 0 die Frequenz der Eigenschwingungen des Systems ist.

Dementsprechend ist die Periode gedämpfter Schwingungen gleich:

Oder (7.27)

Mit zunehmender Reibung nimmt die Schwingungsdauer zu, und wenn die Periode .

Um ungedämpfte Schwingungen zu erhalten, ist es notwendig, auf eine zusätzliche variable äußere Kraft einzuwirken, die den Materialpunkt in die eine oder andere Richtung drückt und deren Arbeit den zur Überwindung der Reibung aufgewendeten Energieverlust kontinuierlich ausgleicht. Diese variable Kraft heißt zwingenF aus, und die unter seinem Einfluss entstehenden ungedämpften Schwingungen sind gezwungen.

Ändert sich die Antriebskraft entsprechend dem Ausdruck, so ergibt sich die Gleichung der erzwungenen Schwingungen

(7.28)

(7.29)

wobei ω die zyklische Frequenz der Antriebskraft ist.

Das Differentialgleichung erzwungener Schwingungen. Seine Lösung kann in der Form geschrieben werden

Die Gleichung beschreibt eine harmonische Schwingung, die mit einer Frequenz auftritt, die der Frequenz der Antriebskraft entspricht und sich in der Phase um φ relativ zu den Schwingungen der Kraft unterscheidet.

Amplitude der erzwungenen Schwingung:

(7.30)

Die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen der Kraft und des Systems ergibt sich aus dem Ausdruck

(7.31)

Das Diagramm der erzwungenen Schwingungen ist in Abbildung 7.7 dargestellt.

Abbildung 7.7 – Erzwungene Schwingungen

Bei erzwungenen Schwingungen kann ein Phänomen wie Resonanz beobachtet werden. Resonanz Dies ist ein starker Anstieg der Schwingungsamplitude des Systems.

Bestimmen wir die Bedingung, unter der Resonanz auftritt; dazu betrachten wir Gleichung (7.30). Finden wir die Bedingung, unter der die Amplitude ihren Maximalwert annimmt.

Aus der Mathematik ist bekannt, dass das Extremum einer Funktion dann vorliegt, wenn die Ableitung gleich Null ist, d. h.

Die Diskriminante ist gleich

Somit

Nach der Transformation erhalten wir

Somit – Resonanzfrequenz.

Im einfachsten Fall entsteht Resonanz, wenn eine äußere periodische Kraft einwirkt Fändert sich mit der Frequenz ω , gleich der Frequenz der Eigenschwingungen des Systems ω = ω 0 .

Mechanische Wellen

Der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen in einem kontinuierlichen, zeitlich und räumlich periodischen Medium wird genannt Wellenprozess oder Welle.

Bei der Ausbreitung einer Welle bewegen sich die Teilchen des Mediums nicht mit der Welle, sondern schwingen um ihre Gleichgewichtslagen. Zusammen mit der Welle werden nur der Zustand der Schwingungsbewegung und ihre Energie von Teilchen zu Teilchen des Mediums übertragen. Daher ist die Haupteigenschaft von Wellen, unabhängig von ihrer Natur Energieübertragung ohne Stoffübertragung.

Folgende Wellentypen werden unterschieden:

Elastisch(oder mechanisch) Wellen werden mechanische Störungen genannt, die sich in einem elastischen Medium ausbreiten. In jeder elastischen Welle gibt es gleichzeitig zwei Arten von Bewegung: die Schwingung von Partikeln des Mediums und die Ausbreitung von Störungen.

Man nennt eine Welle, bei der die Schwingungen der Teilchen des Mediums und die Ausbreitung der Welle in die gleiche Richtung erfolgen längs, und eine Welle, bei der die Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, wird genannt quer.

Longitudinalwellen können sich in den Medien ausbreiten, in denen sie entstehen elastische Kräfte bei Druck- und Zugverformungen, d.h. feste, flüssige und gasförmige Körper. Transversalwellen können sich in einem Medium ausbreiten, in dem bei Scherverformung elastische Kräfte entstehen, d. h. V Feststoffe. So entstehen in Flüssigkeiten und Gasen nur Longitudinalwellen und in Festkörpern sowohl Longitudinal- als auch Transversalwellen.

Eine elastische Welle heißt sinusförmig(oder harmonisch), wenn die entsprechenden Schwingungen der Partikel des Mediums harmonisch sind.

Der Abstand zwischen benachbarten Teilchen, die in derselben Phase schwingen, wird aufgerufen Wellenlänge λ .

Die Wellenlänge ist gleich der Entfernung, über die sich die Welle in einer Zeit ausbreitet, die der Schwingungsperiode entspricht:

Wo ist die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung?

Da (wobei ν die Schwingungsfrequenz ist), dann

Die geometrische Lage der Punkte, die die Schwingungen zum jeweiligen Zeitpunkt erreichen T, angerufen Wellenfront. Die geometrische Lage von Punkten, die in derselben Phase schwingen, wird aufgerufen Wellenoberfläche.