Lösen von Gleichungen durch Eliminieren von Unbekannten. Matrixnotation des Systems. Gauß-Methode. Cramers Methode. Matrix-Methode

Betrachten wir genaue Methoden zur Lösung des Systems; Hier ist die Dimensionsmatrix

Eine Methode zur Lösung eines Problems wird als exakt klassifiziert, wenn sie unter der Annahme, dass keine Rundung erfolgt, nach endlich vielen arithmetischen und logischen Operationen eine exakte Lösung des Problems liefert. Wenn die Anzahl der von Null verschiedenen Elemente der Systemmatrix in der Größenordnung liegt, liegt die erforderliche Anzahl von Operationen für die meisten derzeit verwendeten exakten Methoden zur Lösung solcher Systeme in der Größenordnung. Für die Anwendbarkeit exakter Methoden ist es daher erforderlich, dass diese Reihenfolge der Anzahl der Operationen für einen bestimmten Computer akzeptabel ist; Weitere Einschränkungen ergeben sich aus der Größe und Struktur des Computerspeichers.

Die Klausel über „derzeit verwendete Methoden“ hat die folgende Bedeutung. Es gibt Methoden zur Lösung solcher Systeme mit einer geringeren Anzahl an Operationen, sie werden jedoch aufgrund der hohen Empfindlichkeit des Ergebnisses gegenüber Rechenfehlern nicht aktiv eingesetzt.

Die bekannteste der exakten Methoden zur Lösung von Systemen lineare Gleichungen ist die Gaußsche Eliminationsmethode. Betrachten wir eine seiner möglichen Implementierungen. Vorausgesetzt, die erste Gleichung des Systems

dividiere durch den Koeffizienten, das Ergebnis ist die Gleichung

Dann wird von jeder der verbleibenden Gleichungen die erste Gleichung subtrahiert und mit dem entsprechenden Koeffizienten multipliziert. Dadurch werden diese Gleichungen in die Form umgewandelt

Die erste Unbekannte wurde aus allen Gleichungen außer der ersten ausgeschlossen. Unter der Annahme, dass wir außerdem die zweite Gleichung durch einen Koeffizienten dividieren und die Unbekannte aus allen Gleichungen eliminieren, beginnend mit der zweiten usw. Als Ergebnis der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten wird das Gleichungssystem in ein Gleichungssystem umgewandelt mit einer Dreiecksmatrix

Der Satz durchgeführter Berechnungen, bei dem das ursprüngliche Problem in Form (2) umgewandelt wurde, wird als direkte Folge der Gaußschen Methode bezeichnet.

Aus der Gleichung des Systems (2) bestimmen wir , von usw. bis . Der Satz solcher Berechnungen wird als Umkehrung der Gaußschen Methode bezeichnet.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Implementierung der Vorwärtsprogression der Gaußschen Methode arithmetische Operationen und umgekehrt arithmetische Operationen erfordert.

Eine Ausnahme tritt als Ergebnis der folgenden Operationen auf: 1) Division der Gleichung durch , 2) Subtraktion der resultierenden Gleichung multipliziert mit , von Gleichungen mit den Zahlen k. Die erste Operation entspricht der Multiplikation des Gleichungssystems auf der linken Seite mit einer Diagonalmatrix

Die zweite Operation entspricht der Linksmultiplikation mit der Matrix

Somit wird das als Ergebnis dieser Transformationen erhaltene System (2) in der Form geschrieben

Das Produkt linker (rechter) Dreiecksmatrizen ist eine linke (rechte) Dreiecksmatrix, daher ist die Matrix C linksdreieckig. Aus der Formel für die Elemente der inversen Matrix

Daraus folgt, dass die Umkehrung einer linken (rechten) Dreiecksmatrix links (rechts) dreieckig ist. Daher bleibt die Matrix dreieckig.

Lassen Sie uns die Bezeichnung vorstellen. Konstruktionsgemäß ist auch die Matrix D rechtwinklig dreieckig. Von hier aus erhalten wir eine Darstellung der Matrix A als Produkt der linken und rechten Dreiecksmatrizen:

Gleichheit bildet zusammen mit der Bedingung ein Gleichungssystem für die Elemente der Dreiecksmatrizen B und:. Da at und at kann dieses System in der Form geschrieben werden

(3)

oder, was ist dasselbe,

Unter der Bedingung, dass alles erhalten ist, erhalten wir ein System wiederkehrender Beziehungen zur Bestimmung der Elemente und:

Die Berechnungen werden nacheinander für Populationen durchgeführt. Hier und im Folgenden wird für den Fall, dass die obere Summengrenze kleiner als die untere ist, die Gesamtsumme als Null betrachtet.

Anstelle sequentieller Transformationen von System (1) in Form (2) ist es somit möglich, Matrizen B direkt mithilfe der Formeln (4) zu berechnen. Diese Berechnungen können nur durchgeführt werden, wenn alle Elemente ungleich Null sind. Seien die Matrizen der Hauptminderjährigen der Matrizenordnung A, B, D. Gemäß (3). Weil dann . Somit,

Um Berechnungen mit den Formeln (4) durchführen zu können, ist es also notwendig und ausreichend, die Bedingungen zu erfüllen

In manchen Fällen ist im Voraus bekannt, dass Bedingung (5) erfüllt ist. Viele Probleme in der mathematischen Physik laufen beispielsweise darauf hinaus, Systeme mit einer positiv definiten Matrix A zu lösen. Im allgemeinen Fall kann dies jedoch nicht im Voraus gesagt werden. Auch folgender Fall ist möglich: alle , aber unter den Mengen gibt es sehr kleine und wenn man sie dividiert, erhält man große Zahlen durch große Zahlen. absolute Fehler. Dadurch wird die Lösung stark verzerrt.

Bezeichnen wir. Da und gelten die Gleichungen. Somit wird nach der Zerlegung der Matrix des Originalsystems in das Produkt der linken und rechten Dreiecksmatrizen die Lösung des Originalsystems auf eine sequentielle Lösung zweier Systeme mit reduziert Dreiecksmatrizen; Dies erfordert arithmetische Operationen.

Die Abfolge der Operationen zum Zerlegen der Matrix A in das Produkt dreieckiger Matrizen und zum Bestimmen des Vektors d lässt sich oft bequem kombinieren. Gleichungen

Systeme können in der Form geschrieben werden

Daher können die Werte mithilfe der Formeln (4) gleichzeitig mit anderen Werten berechnet werden.

Bei der Lösung praktischer Probleme ist es häufig erforderlich, Gleichungssysteme mit einer enthaltenden Matrix zu lösen große Menge Null Elemente.

Typischerweise haben diese Matrizen eine sogenannte Bandstruktur. Genauer gesagt heißt eine Matrix A -diagonal oder hat eine Bandstruktur, wenn für . Die Zahl wird als Breite des Bandes bezeichnet. Es zeigt sich, dass bei der Lösung eines Gleichungssystems mit einer Streifenmatrix nach der Gaußschen Methode die Anzahl der Rechenoperationen und der benötigte Computerspeicher deutlich reduziert werden können.

Aufgabe 1. Untersuchen Sie die Eigenschaften der Gauß-Methode und die Methode zur Lösung des Systems durch Zerlegung der Bandmatrix A in das Produkt der linken und rechten Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie, dass das Finden einer Lösung arithmetische Operationen erfordert (für ). Finden Sie den führenden Begriff in der Anzahl der Operationen, denen er unterliegt.

Aufgabe 2. Schätzen Sie die Menge des geladenen Computerspeichers mithilfe der Gauß-Methode für Bandmatrizen.

Bei Berechnungen ohne Computerhilfe besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit zufälliger Fehler. Um solche Fehler zu beseitigen, führen sie manchmal ein Kontrollsystem, bestehend aus Kontrollelementen der Systemgleichungen

Bei der Transformation von Gleichungen werden an den Steuerelementen die gleichen Operationen durchgeführt wie an den freien Termen der Gleichungen. Daher muss das Kontrollelement jeder neuen Gleichung gleich der Summe der Koeffizienten dieser Gleichung sein. Eine große Diskrepanz zwischen ihnen weist auf Fehler in den Berechnungen oder die Instabilität des Berechnungsalgorithmus in Bezug auf den Rechenfehler hin.

Wenn beispielsweise ein Gleichungssystem mithilfe der Formeln (4) reduziert wird, wird das Steuerelement jeder Gleichung des Systems mithilfe derselben Formeln (4) berechnet. Nach der Berechnung aller Elemente für einen festen Wert erfolgt die Kontrolle durch Prüfung der Gleichheit

Die Umkehrung der Gaußschen Methode geht auch mit der Berechnung der Steuerelemente der Systemlinien einher.

Um den katastrophalen Einfluss von Rechenfehlern zu vermeiden, wird bei der Wahl des Hauptelements die Gaußsche Methode verwendet.

Der Unterschied zum oben beschriebenen Gauß-Methodenschema ist wie folgt. Das Gleichungssystem soll durch Eliminierung der Unbekannten erhalten werden

Suchen wir etwas, das wir umbenennen, und ; Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte aus allen Gleichungen, beginnend mit . Diese Umbenennung führt zu einer Änderung der Reihenfolge der Eliminierung von Unbekannten und verringert in vielen Fällen die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Rundungsfehlern in Berechnungen erheblich.

Oft ist es notwendig, mehrere Gleichungssysteme mit derselben Matrix A zu lösen. Dabei geht man zweckmäßigerweise wie folgt vor: durch Einführung der Notation

Führen wir Berechnungen mit den Formeln (4) durch und berechnen wir die Elemente bei . Als Ergebnis werden p Gleichungssysteme mit einer Dreiecksmatrix entsprechend dem ursprünglichen Problem erhalten

Wir lösen diese Systeme jeweils einzeln. Es stellt sich heraus, dass Gesamtzahl arithmetische Operationen bei der Lösung von p Gleichungssystemen auf diese Weise.

Die oben beschriebene Technik wird manchmal verwendet, um ohne nennenswerte zusätzliche Kosten eine Beurteilung des Lösungsfehlers zu erhalten, der sich aus Rundungsfehlern in Berechnungen ergibt. Sie werden durch einen Vektor z angegeben, dessen Komponenten möglichst die gleiche Reihenfolge und das gleiche Vorzeichen haben wie die Komponenten der gewünschten Lösung; häufig aufgrund mangelnder ausreichender Informationen. Der Vektor wird berechnet und zusammen mit dem ursprünglichen Gleichungssystem wird das System gelöst.

Seien und z die tatsächlich erhaltenen Lösungen dieser Systeme. Ein Urteil über den Fehler der gewünschten Lösung lässt sich anhand der Hypothese treffen: Die relativen Fehler beim Lösen von Systemen mit gleicher Matrix und unterschiedlichen rechten Seiten, also den Größen und nach der Eliminationsmethode, unterscheiden sich nicht sehr große Nummer einmal.

Eine andere Technik, um ein Urteil über die tatsächliche Größe des Fehlers zu erhalten, der durch das Runden in Berechnungen entsteht, besteht darin, den Maßstab zu ändern, wodurch sich das Bild der Anhäufung des Rechenfehlers ändert.

Zusammen mit dem ursprünglichen System wird das System mit derselben Methode gelöst

Wenn und keine ganzzahligen Zweierpotenzen sind, gibt der Vergleich von Vektoren eine Vorstellung von der Größe des Rechenfehlers. Sie können zum Beispiel nehmen.

Die Untersuchung vieler Probleme führt zu der Notwendigkeit, lineare Gleichungssysteme mit einer symmetrischen positiv-definiten Matrix zu lösen. Solche Systeme entstehen beispielsweise beim Lösen Differentialgleichung Finite-Elemente-Methode oder Finite-Differenzen-Methoden. Auch in diesen Fällen weist die Systemmatrix eine Ribbon-Struktur auf.

Um solche Systeme sowie Gleichungssysteme allgemeinerer Form mit einer hermiteschen Matrix, die nicht unbedingt positiv definit ist, zu lösen, wird die Methode verwendet Quadratwurzel(Cholesky-Methode). Matrix A wird dargestellt als

wobei S eine rechtwinklige Dreiecksmatrix und ihr Konjugat ist, d. h.

wobei alles eine Diagonalmatrix mit Elementen gleich oder -1 ist. Matrixgleichheit (6) bildet ein Gleichungssystem

Ähnliche Gleichungen für werden verworfen, da die den Paaren entsprechenden Gleichungen und äquivalent sind. Von hier aus erhalten wir wiederkehrende Formeln zur Bestimmung der Elemente und:

Die Matrix S ist rechtwinklig dreieckig, und daher reduziert sich nach Erhalt der Darstellung (6) auch die Lösung des ursprünglichen Systems auf die sequentielle Lösung zweier Systeme mit dreieckigen Matrizen. Beachten Sie, dass im Fall von allem und .

Aufgabe 3. Schätzen Sie die Anzahl der arithmetischen Operationen und die Speicherauslastung des Computers (vorausgesetzt, die zum Speichern der Matrix A erforderliche Speichermenge nimmt ab), wenn Sie ein System mit einer reellen positiv definiten Matrix A mithilfe der Quadratwurzelmethode lösen.

Viele Anwendungssoftwarepakete zur Lösung von Randwertproblemen der mathematischen Physik mithilfe der Finite-Elemente-Methode sind nach dem folgenden Schema organisiert. Nach der Bildung der Matrix von System A durch Neuanordnung von Zeilen und Spalten (sowohl Zeilen als auch Spalten werden gleichzeitig neu angeordnet) wird das System in die Form mit der kleinsten Bandbreite umgewandelt. Als nächstes wird die Quadratwurzelmethode angewendet. Um den Rechenaufwand beim Lösen eines Systems mit anderen rechten Seiten zu reduzieren, wird in diesem Fall die Matrix S gespeichert.

Die Gaußsche Methode ist einfach! Warum? Der berühmte deutsche Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß erhielt zu seinen Lebzeiten Anerkennung als größter Mathematiker aller Zeiten, als Genie und erhielt sogar den Spitznamen „König der Mathematik“. Und alles Geniale ist einfach! Das Porträt von Gauß befand sich übrigens auf der 10-Mark-Banknote (vor der Einführung des Euro), und noch immer lächelt Gauß die Deutschen auf gewöhnlichen Briefmarken geheimnisvoll an.

Die Gauß-Methode ist insofern einfach, als das Wissen eines Schülers der fünften Klasse ausreicht, um sie zu beherrschen. Sie können Moll- und algebraische Additionen für eine Weile vergessen! Sie müssen wissen, wie man addiert und multipliziert! Es ist kein Zufall, dass Lehrer in Wahlfächern für Schulmathematik häufig die Methode des sequentiellen Ausschlusses von Unbekannten in Betracht ziehen.

Es ist paradox, aber Studenten finden die Gaußsche Methode am schwierigsten. Kein Wunder – es dreht sich alles um die Methodik, und wir werden versuchen, in einer zugänglichen Form über den Algorithmus der Methode zu sprechen.

Lassen Sie uns zunächst ein wenig Wissen über lineare Gleichungssysteme systematisieren. Ein lineares Gleichungssystem kann:

1) Haben Sie eine einzigartige Lösung.

2) Habe unendlich viele Lösungen.

3) Keine Lösungen haben (sein nicht gelenkig).

Die Gauß-Methode ist das leistungsstärkste und universellste Werkzeug zur Lösungsfindung beliebig Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern, Cramers Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Und die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall wird uns zur Antwort führen! In dieser Lektion betrachten wir erneut die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), der Artikel Inkompatible Systeme und Systeme mit allgemeiner Lösung ist den Situationen der Punkte Nr. 2-3 vorbehalten. Beachten Sie, dass der Algorithmus der Methode selbst insgesamt ist drei Fälle funktioniert genauso.

Gehen wir zurück zu das einfachste System

Und lassen Sie es uns mit der Gaußschen Methode lösen.

Im ersten Schritt schreiben wir das sogenannte erweiterte Systemmatrix:

Wir glauben, dass jeder sehen kann, nach welchem Prinzip die Koeffizienten geschrieben sind.

Notiz: Die erweiterte Matrix des Systems wird aus der ursprünglichen Matrix mithilfe der „Zeilen-/Spaltenwachstumsoperation“ erhalten. IN in diesem Fall die Matrix wurde aufgrund der Spalte der freien Terme des ursprünglichen Gleichungssystems erweitert.

Notiz: Zusätzlich zu den zuvor aufgeführten 6 algebraischen Operationen mit Matrizen und der „Erhöhungsoperation“ gibt es auch die „Zeilen-/Spaltenverwerfungsoperation“. Mit der „Zeilen-/Spaltenverwerfungsoperation“ werden beispielsweise Untermatrizen konstruiert, deren Determinanten Minderwerte der Matrixelemente sind.

Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – es handelt sich lediglich um eine Hervorhebungslinie zur einfacheren Gestaltung.

Definition: Systemmatrix ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für unbekannte Variablen eines linearen Gleichungssystems besteht.

Definition: Erweiterte Systemmatrix ist die Matrix des Systems, die nach rechts um eine Spalte freier Begriffe erweitert wurde.

IN in diesem Beispiel . ist die Matrix des Systems und- Dies ist eine erweiterte Matrix des Systems . Der Kürze halber kann jede von ihnen einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Matrix des Systems geschrieben wurde, müssen einige neue algebraische Operationen damit durchgeführt werden leichte Hand Auch Gaußsche Gleichungen werden genannt elementare Matrixtransformationen. Die Transformationen werden aufgerufen elementar, weil gezeigt wird (wir betrachten dies als Definition), dass

Definition: Nach jedem elementare Transformation erweiterte Matrix, eine völlig andere Matrix wird erhalten, aber Lösungen dafür neues System lineare Gleichungen bleiben die gleichen wie für die ursprüngliche Matrix.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen kann neu angeordnet werden an einigen Stellen. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile problemlos neu anordnen:

2) Wenn es in der Matrix proportionale (im Sonderfall identische) Zeilen gibt (oder erschienen ist), dann sollten Sie dies tun löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix . In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen:

3) Wenn bei Transformationen eine Nullzeile in der Matrix erscheint, dann sollte dies auch der Fall sein löschen. Wir werden natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der alles Nullen.

4) Die Matrixzeile kann sein multiplizieren (dividieren) zu einer beliebigen Zahl ungleich Null. Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix. Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch –3 zu dividieren und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: . Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.

5) Diese Transformation bereitet die meisten Schwierigkeiten, ist aber eigentlich auch nicht kompliziert. Zu einer Zeile einer Matrix können Sie Fügen Sie eine weitere Zeichenfolge hinzu, multipliziert mit einer Zahl, verschieden von Null.

Schauen wir uns unsere Matrix anhand eines praktischen Beispiels an: . Lassen Sie uns zunächst die Transformation im Detail beschreiben.

Multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-2): , Weiter Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu und lassen Sie die erste unverändert: . Jetzt kann die erste Zeile durch (–2) „zurück“ geteilt werden: .

Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Stets die Zeile TO WHICH IS ADDED ändert sich UT.

In der Praxis schreiben sie es natürlich nicht so ausführlich, sondern kurz:

Noch einmal: zur zweiten Zeile addierte die erste Zeile multipliziert mit (–2). Eine Zeile wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, wobei der mentale Berechnungsprozess etwa so abläuft:

„Ich schreibe die Matrix neu und schreibe die erste Zeile neu: »

"Erste Spalte. Unten muss ich Null bekommen. Deshalb multipliziere ich die Eins oben mit –2: und füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 2 + (–2) = 0.

Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Jetzt die zweite Spalte. Oben multipliziere ich -1 mit -2: ( -1∙(-2) = 2 ). Das erste füge ich zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile:

„Und die dritte Spalte. Oben multipliziere ich -5 mit -2: ( -5∙(-2) = 10 ). Ich füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: ( –7 + 10 = 3 ). Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile:

Bitte verstehen Sie dieses Beispiel sorgfältig und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus. Wenn Sie dies verstehen, liegt die Gaußsche Methode praktisch in Ihrer Tasche. Aber natürlich werden wir weiterhin an dieser Transformation arbeiten.

Wir wiederholen: „Elementare Transformationen ändern nicht die Lösung des Systems“

AUFMERKSAMKEIT!: gelten als Manipulationen N kann nicht benutzt werden, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen „von selbst“ vorgegeben werden. Zum Beispiel mit „klassisch“ Operationen mit Matrizen Auf keinen Fall sollten Sie etwas innerhalb der Matrizen umordnen!

Kehren wir zu unserem System zurück. Es ist schon fast gelöst.

Was fragt Gauß? Er sagt: „Schreiben Sie die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen Sie sie mithilfe elementarer Transformationen auf den Punkt Stufenansicht».

In diesem Fall dafür

(1) Addieren Sie zur zweiten Zeile die erste Zeile multipliziert mit –2. Warum multiplizieren wir übrigens die erste Zeile mit –2? Um unten eine Null zu erhalten, bedeutet dies, dass eine Variable in der zweiten Zeile entfernt wird.

(2) Teilen Sie die zweite Zeile durch 3. Warum? Damit die zweite Zeile sofort den Wert der zweiten Variablen angibt.

Der Zweck elementarer Transformationen– Reduzieren Sie die Matrix auf eine schrittweise Form:

Bei der Gestaltung der Aufgabe markieren sie einfach die „Treppe“ mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff „Stufenansicht“ selbst ist nicht ganz theoretisch; in der wissenschaftlichen und pädagogischen Literatur wird er oft genannt trapezförmige Ansicht oder Dreiecksansicht.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein Gleichungssystem erhalten, Äquivalent das ursprüngliche System linearer Gleichungen, das die Form annahm:

Jetzt muss das System „entspannt“ werden umgekehrte Richtung– von unten nach oben nennt man diesen Vorgang Umkehrung der Gaußschen Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis: . Betrachten wir die erste Gleichung des Systems und ersetzen wir darin den bereits bekannten Wert von „y“:

Antwort:

Betrachten wir die häufigste Situation, in der die Gaußsche Methode gelöst werden muss Dreiersystem lineare Gleichungen mit drei Unbekannten.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

Jetzt zeichnen wir gleich das Ergebnis, zu dem wir bei der Lösung gelangen werden:

Lassen Sie uns wiederholen, dass unser Ziel darin besteht, die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form zu bringen. Wo soll man anfangen?

Schauen Sie sich zunächst die Zahl oben links an:

Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen funktioniert auch (–1) und manchmal auch andere Zahlen, aber irgendwie ist es traditionell so, dass dort normalerweise eine platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an – wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertauschen Sie die erste und dritte Zeile:

Nun bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Nun gut.

Die Einheit in der oberen linken Ecke ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen bekommen:

Wir erhalten Nullen durch eine „schwierige“ Transformation. Zuerst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, –1, 3, 13). Was muss getan werden, um an erster Stelle Null zu erhalten? Müssen co Addiere die zweite Zeile zur ersten Zeile multipliziert mit –2. Multiplizieren Sie im Geiste oder auf einem Entwurf die erste Zeile mit –2: (–2, –4, 2, –18).

Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder im Entwurf) Additionen durch, d.h. Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, bereits multipliziert mit –2:

Das Ergebnis schreiben wir in die zweite Zeile:

Mit der dritten Zeile gehen wir genauso um (3, 2, –5, –1). Um an der ersten Stelle eine Null zu bekommen, benötigen Sie Zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit –3.

Multiplizieren Sie im Geiste oder auf einem Entwurf die erste Zeile mit –3: (–3, –6, 3, –27). UND Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit –3:

Das Ergebnis schreiben wir in die dritte Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich und schriftlich in einem Schritt durchgeführt:

Es ist nicht nötig, alles auf einmal und gleichzeitig zu zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und die „Eingabe“ der Ergebnisse konsistent und normalerweise ist es so: Zuerst schreiben wir die erste Zeile um und schnaufen langsam über uns selbst – KONSEQUENT und AUFMERKSAM:

Und den mentalen Prozess der Berechnungen selbst haben wir oben bereits besprochen.

In diesem Beispiel geht das ganz einfach; wir dividieren die zweite Zeile durch –5 (da alle Zahlen dort ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig teilen wir die dritte Zeile durch –2, denn je kleiner die Zahlen, desto einfacher die Lösung:

An letzte Stufe Elementare Transformationen, die Sie benötigen, um hier eine weitere Null zu erhalten:

Dafür Zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile multipliziert mit –2:

Versuchen Sie, diese Aktion selbst herauszufinden – multiplizieren Sie im Geiste die zweite Zeile mit (–2) und führen Sie die Addition durch. Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses. Teilen Sie dazu die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen erhält man ein dem ursprünglichen linearen Gleichungssystem äquivalentes System:

Jetzt kommt die „Rückwärtsbewegung“ der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen „entwickeln“ sich von unten nach oben.

In der dritten Gleichung haben wir bereits ein fertiges Ergebnis:

Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von „zet“ ist bereits bekannt, also:

Beispiel 3

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Lass uns das machen:

(1) Zur ersten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit (–1). Das heißt, wir haben im Geiste die zweite Zeile mit (–1) multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

Jetzt oben links (–1), was uns ganz gut passt. Wer (+1) erhalten möchte, kann eine zusätzliche Geste ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit (–1) und ändern Sie ihr Vorzeichen. Dann arbeitet der Algorithmus nach der Rändelspur:

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

(3) Die erste Zeile wurde mit (–1) multipliziert. Im Grunde geht es um Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, sodass wir auf der zweiten „Stufe“ die erforderliche Einheit hatten.

(4) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 2 multipliziert.

(5) Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Wir behaupten das Gegenteil, bei der Gestaltung von Beispielen wird oft nicht das System selbst neu geschrieben, sondern die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass der umgekehrte Strich von unten nach oben funktioniert. Ja, hier ist ein Geschenk:

Antwort: .

Beispiel 4

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von unserer Lösung abweichen.

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist die Gaußsche Methode oder die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten. Der Kern dieser Methode besteht in der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten dieses System verwandelt sich in ein stufenweises (insbesondere dreieckiges) System, das diesem entspricht.

Die Gauß-Methode ist universeller und für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen geeignet.

Betrachten Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Der Bestimmtheit halber gehen wir davon aus, dass der Koeffizient von Null verschieden ist. Ist dies nicht der Fall, vertauschen wir die Zeilen oder nummerieren die Variablen neu. Lassen Sie uns System (5) transformieren und die Variable aus allen Gleichungen außer der ersten eliminieren. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit und subtrahieren sie von den entsprechenden Teilen der zweiten Gleichung, dann multiplizieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit und subtrahieren sie von den entsprechenden Teilen der dritten Gleichung usw. Als Ergebnis gelangen wir zu einer neuen SLU mit N Unbekannte (6), was dem gegebenen entspricht, das heißt, sie sind entweder beide inkonsistent oder beide sind kompatibel und haben die gleichen Lösungen.

Wir glauben, dass es unter diesen Gleichungen keine solchen Gleichungen gibt, deren Koeffizienten auf der linken Seite alle gleich Null sind; wir werden diese Gleichungen ausschließen, wenn das System andernfalls inkonsistent wäre.

Als nächstes berühren wir die erste Gleichung nicht und beginnen mit der zweiten. Wenn der Koeffizient 0 ist, beginnen wir mit der Durchführung von Transformationen ähnlich den vorherigen, andernfalls vertauschen wir die Zeilen oder nummerieren die Variablen neu. Lassen Sie uns (6) transformieren, indem wir von beiden Seiten der dritten Gleichung subtrahieren und von jeder nächsten Gleichung beide Seiten der zweiten Gleichung multiplizieren mit den Zahlen: bzw. Dadurch wird die Unbekannte aus allen Gleichungen außer den ersten beiden eliminiert. Als Ergebnis erhalten wir System (7), äquivalent zu System (6) und folglich zu System (5).

System (7) enthält Gleichungen, bei denen einige Gleichungen verworfen werden könnten.

Wir führen diese Transformationen durch, bis wir SLU (8) erhalten:

In diesem Fall ist das System konsistent, definiert für, nicht definiert für

Wenn dann (8) die Form hat:

Lösungsmethode für lineare Gleichungen

System (9) wird als dreieckiges (Stufen-)System bezeichnet. Sie hat die einzige Lösung, um herauszufinden, was Sie aus der letzten Gleichung finden müssen, und bestimmen Sie dann, indem Sie sich durch die Gleichungen des Systems nach oben bewegen, die Werte der verbleibenden Variablen und ersetzen Sie die bereits gefundenen Variablen. Somit sind System (9) und damit sein Äquivalent (5) konsistent und definiert.

Wenn ja, dann sagt man, dass System (8) eine Trapezform hat und es unzählige Lösungen dafür gibt. Um eine allgemeine Lösung für ein gegebenes System zu finden, indem wir System (8) von unten nach oben durchgehen, drücken wir die Unbekannten in Form von Variablen aus.

werden Parameter oder freie Unbekannte genannt. Geben Sie die Parameter unterschiedlich an numerische Werte erhalten wir viele spezielle Lösungen des Systems.

Diese Methode ist auf OSLU anwendbar. Ein homogenes System ist immer konsistent, da es eine Nulllösung (0,0 0) hat. Wenn die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, dann ist das System unsicher.

Die betrachtete Methode wird auch als Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten bezeichnet.

Sei ein lineares System algebraische Gleichungen, die gelöst werden muss (finden Sie solche Werte der Unbekannten xi, die jede Gleichung des Systems in Gleichheit umwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Keine Lösungen haben (sein nicht gelenkig).
2) Habe unendlich viele Lösungen.
3) Haben Sie eine einzige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramer-Regel und die Matrixmethode nicht geeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauß-Methode – das leistungsstärkste und vielseitigste Werkzeug zum Finden von Lösungen für jedes System linearer Gleichungen, welche in jedem Fall wird uns zur Antwort führen! Der Methodenalgorithmus selbst funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn für die Cramer- und Matrix-Methode Kenntnisse über Determinanten erforderlich sind, sind für die Anwendung der Gauß-Methode lediglich Kenntnisse über arithmetische Operationen erforderlich, was sie auch für Grundschüler zugänglich macht.

Erweiterte Matrixtransformationen ( Dies ist die Matrix des Systems – eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten und einer Spalte mit freien Termen besteht. Systeme linearer algebraischer Gleichungen in der Gauß-Methode:

1) Mit Troki Matrizen Kann neu anordnen an einigen Stellen.

2) Wenn proportionale (als Sonderfall – identische) Zeilen in der Matrix erscheinen (oder existieren), dann sollten Sie dies tun löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

3) Wenn bei Transformationen eine Nullzeile in der Matrix erscheint, dann sollte dies auch der Fall sein löschen.

4) Eine Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) auf eine beliebige Zahl ungleich Null.

5) zu einer Zeile der Matrix können Sie Fügen Sie eine weitere Zeichenfolge hinzu, multipliziert mit einer Zahl, verschieden von Null.

Bei der Gauß-Methode verändern elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

„Direkte Bewegung“ – Bringen Sie die erweiterte Matrix eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine „dreieckige“ Schrittform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unterhalb der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten). Zum Beispiel zu diesem Typ:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient für x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir transformieren die Gleichungen wie folgt: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten der Unbekannten, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten der Unbekannten x 1 in jeder Gleichung und multiplizieren sie mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Unbekanntenkoeffizienten und freie Terme). Für x 1 in der zweiten Gleichung erhalten wir den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten für das unbekannte x 1 einen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren wir mit der nächsten Gleichung fort. Dies sei die zweite Gleichung und der Koeffizient für x 2 sei gleich M. Wir fahren mit allen „unteren“ Gleichungen wie oben beschrieben fort. Somit gibt es „unter“ der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen.

3) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort und so weiter, bis eine letzte Unbekannte und der transformierte freie Term übrig bleiben.

Die „umgekehrte Bewegung“ der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die „von unten nach oben“-Bewegung). Aus der letzten „unteren“ Gleichung erhalten wir eine erste Lösung – die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n = B. Im oben angegebenen Beispiel ist x 3 = 4. Wir setzen den gefundenen Wert in die „obere“ nächste Gleichung ein und lösen sie nach der nächsten Unbekannten. Zum Beispiel x 2 – 4 = 1, d.h. x 2 = 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Lösen wir das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Wir schauen uns die „Stufe“ oben links an. Wir sollten dort eine Einheit haben. Das Problem besteht darin, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einheiten gibt, sodass eine Neuanordnung der Zeilen keine Lösung bringt. In solchen Fällen muss die Einheit mithilfe einer elementaren Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf verschiedene Arten erfolgen. Lass uns das machen:
1 Schritt . Zur ersten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit –1. Das heißt, wir haben im Geiste die zweite Zeile mit –1 multipliziert und die erste und zweite Zeile addiert, während sich die zweite Zeile nicht verändert hat.

Jetzt steht oben links „minus eins“, was uns ganz gut passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit –1 (Ändern Sie ihr Vorzeichen).

Schritt 2 . Die erste Zeile, multipliziert mit 5, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile, multipliziert mit 3, wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

Schritt 3 . Die erste Zeile wurde mit –1 multipliziert, im Prinzip dient dies der Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, sodass wir auf der zweiten „Stufe“ die erforderliche Einheit hatten.

Schritt 4 . Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert und mit 2 multipliziert.

Schritt 5 . Die dritte Zeile wurde durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Rechenfehler (seltener auf einen Tippfehler) hinweist, ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 |23) erhalten und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, dann können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Machen wir es umgekehrt; bei der Gestaltung von Beispielen wird oft nicht das System selbst umgeschrieben, sondern die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix übernommen“. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der umgekehrte Schritt von unten nach oben funktioniert. In diesem Beispiel war das Ergebnis ein Geschenk:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, also x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Antwort:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Wenn wir die zweite und dritte Gleichung mit 4 multiplizieren, erhalten wir:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, erhalten Sie:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplizieren Sie die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Wenn wir die zweite von der dritten Gleichung subtrahieren, erhalten wir eine „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich der Fehler während der Berechnungen angesammelt hat, erhalten wir x 3 = 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 = 3 und x 1 = –1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, geraten Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die spezifischen Merkmale von Koeffizienten für Unbekannte, da man in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten umgehen muss.

Ich wünsche Ihnen Erfolg! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor Dmitry Aystrakhanov.

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Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem

Die Koeffizienten für die Unbekannten bilden eine rechteckige Fläche

angerufen Matrix des Systems. Der erste Index des Koeffizienten aij bedeutet die Nummer der Gleichung, die zweite ist die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht. Chancen B, , b gp werden genannt freie Terme der Systemgleichungen. Sind die freien Terme gleich Null, so wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen. Matrix

angerufen erweitertes Matrixsystem (2.1).

Die Lösung für System (2.1) ist eine beliebige geordnete Menge (Hölle, X2 , ? ???, x p) aus P Zahlen, wenn sie anstelle der entsprechenden Unbekannten in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden, wird jede Gleichung des Systems zu einer Identität. Ein System, das keine Lösung hat, heißt nicht gelenkig, oder umstritten. Ein System, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam.

Gelenksysteme werden unterteilt in bestimmt, eine einzigartige Lösung haben und unsicher, besitzen eine große Anzahl Entscheidungen. Ein homogenes System ist immer konsistent, da es mindestens eine Nulllösung hat x - X2 - ... = x n = 0.

Ausdrücke (Formeln), die Unbekannte enthalten x, x 2, ..., x n und eine bestimmte Menge beliebiger Konstanten, aus der bei entsprechender Wahl der Werte beliebiger Konstanten jede spezifische Lösung des Systems erhalten werden kann allgemeine Lösung des Systems, und jede spezifische Lösung des Systems ist seine private Lösung. Zwei Systeme mit denselben Unbekannten Äquivalent (Äquivalent), wenn jede Lösung eines von ihnen eine Lösung des anderen ist oder beide Systeme inkonsistent sind.

Auf die Gleichungen des Systems müssen üblicherweise folgende Gleichungen durchgeführt werden: elementare Transformationen:

1) Multiplizieren beider Seiten einer beliebigen Gleichung mit einer Zahl ungleich Null;
2) Addieren (Subtrahieren) zu einer Gleichung mit einer anderen, multipliziert mit einer bestimmten Zahl;
3) Neuordnung von Gleichungen;
4) Gleichungen vom Typ 0 durchstreichen X + 0 X2 + + 0 x n= 0, d.h. Identitäten 0 = 0;
5) Neuordnung von Unbekannten im Gleichungssystem.

Durch elementare Transformationen wird das System in ein äquivalentes System umgewandelt. Die allgemeine Methode zum Finden von Lösungen basiert normalerweise auf einem sequentiellen Übergang unter Verwendung elementarer Transformationen von einem gegebenen System zu einem äquivalenten System, für das die Lösung leicht zu finden ist. Ein solcher Weg ist Methode zur sequentiellen Eliminierung von Unbekannten(Gauß-Methode). Der Algorithmus dieser Methode ist wie folgt.

Nehmen wir an, dass der Koeffizient ac des Systems (2.1) von Null verschieden ist. Dies kann immer dadurch erreicht werden, dass bei Bedarf die Gleichungen des Systems oder der darin enthaltenen Unbekannten neu angeordnet und die Nummerierung der Unbekannten geändert wird. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit A2 /ac und von der zweiten Gleichung subtrahieren, dann um a^/ac und von der dritten Gleichung subtrahieren usw. Zum Schluss multiplizieren Sie die erste Gleichung mit bin ja und subtrahiere von der letzten Gleichung. Infolgedessen das Unbekannte X wird aus allen Gleichungen außer der ersten ausgeschlossen und das System nimmt die Form an:

Im System (2.2) sollten Gleichungen der Form 0 gestrichen werden x + 0 X2 + ...+ +0 x n= 0, falls vorhanden. Damit ist der erste Schritt der Gaußschen Methode abgeschlossen. Das Element DC wird aufgerufen führendes Element dieser Schritt.

Die nächsten Schritte der Weiterentwicklung der Gaußschen Methode erfolgen auf ähnliche Weise. Also, im zweiten Schritt wann ein 22^ 0 multiplizieren wir nacheinander die zweite Gleichung mit a" 32 /a 22 , A! A2/a! 22, ..., a" m2 fa 22 und subtrahiere es von der 3., 4., ..., m-ten Gleichung. Infolgedessen das Unbekannte X2 von allen Gleichungen außer der 1. und 2. ausgeschlossen. Der dritte Schritt ist das Unbekannte Keine Ahnung aus allen Gleichungen außer den ersten drei usw. ausgeschlossen.

Es ist möglich, dass man in irgendeinem Schritt der Weiterentwicklung der Gauß-Methode auf eine Gleichung der Form stößt

Dann ist das betrachtete System inkonsistent und seine weitere Lösung hört auf. Wenn bei der Durchführung des Vorwärtshubs des Gauß-Verfahrens Gleichungen der Form (2.3) nicht angetroffen werden, wird das betrachtete System in nicht mehr als m Schritten des Vorwärtshubs in ein äquivalentes System der Form umgewandelt

Um die Notation im System (2.4) zu vereinfachen, werden die Primzahlen über den Koeffizienten weggelassen. Mehr ist nicht drin T Gleichungen, d.h. r ^ m, da einige Gleichungen möglicherweise auf die Form 0 = 0 reduziert und durchgestrichen wurden, und es ist auch offensichtlich, dass r ^ P.

Bei r = n System (2.4) hat eine Dreiecksform:

und es ist leicht, die Gaußsche Methode umzukehren. Dazu ermitteln wir aus der letzten Gleichung dieses Systems den Wert der Unbekannten x p. Wenn wir es in die vorletzte Gleichung einsetzen, finden wir den Wert.x n _i. Wenn wir so weitermachen, werden wir alle Unbekannten eindeutig bestimmen x, x2 , ..., x p. Wenn also das System (2.1) mit der Vorwärtsprogression der Gaußschen Methode auf ein System mit Dreiecksform reduziert wird, dann ist ein solches System definitiv, d.h. hat eine einzigartige Lösung.

Bei g-System (2.4) hat die Form eines Trapezes. Darin sind Unbekannte enthalten X, X2 , ..., x g werden als die wichtigsten und die unbekannten angenommen x+, x g+ 2 , ..., x n- für die kostenlosen. Freie Unbekannte können beliebige feste Werte annehmen. Glauben x r+= 7 r +i, Xg+ 2 = b-+2 , , x n= 7 p, wobei 7r+i, 7r+2? , 7п sind beliebige Konstanten, und durch Umkehrung der Gaußschen Methode im System erhalten wir die Formeln:

die die allgemeine Lösung des Systems (2.1) darstellen. Aus Allgemeine Lösung(2.C) für spezifische Werte von 7 r +i, 7r+2, , 7n werden Teillösungen des Systems (2.1) erhalten. Da jede freie Unbekannte unendlich viele Werte annehmen kann, gilt System (2.1) mit g d.h. Wenn es auf die Trapezform reduziert wird, hat es unendlich viele Lösungen. Dies gilt für konsistente Systeme, die weniger Gleichungen als Unbekannte haben, und insbesondere für homogene Systeme, die weniger Gleichungen als Unbekannte haben.

In der Praxis wird die Gaußsche Methode üblicherweise in Matrixform implementiert. Schreiben Sie dazu die erweiterte Matrix des Systems auf, in der der Einfachheit halber die Spalte der freien Terme durch einen vertikalen Balken getrennt ist und Transformationen an dieser Matrix, dann an der resultierenden usw. durchgeführt werden. In diesem Fall gelten auch die Matrizen äquivalenter Systeme als äquivalent.

Beispiel 2.1. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Lösung. Verlassen der erweiterten Matrix des Systems

Wenn wir die erste Zeile ohne Änderung und Subtraktion verdreifachen, verdreifachen wir die erste Zeile von der zweiten, verdoppeln die erste Zeile von der dritten und vierten und erhalten so die äquivalente Matrix

Wenn wir in dieser Matrix die zweite Zeile von der dritten subtrahieren und die anderen Zeilen unverändert lassen, erhalten wir die Matrix

Wenn wir hier die dritte Zeile durchstreichen, gelangen wir zur Matrix

was dem System entspricht

Von hier aus finden wir, indem wir die Gaußsche Methode umkehren

Beispiel 2.2. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Lösung. Wenn in der erweiterten Matrix des Systems

Lassen Sie die erste Zeile unverändert, subtrahieren Sie die verdoppelte erste Zeile von der zweiten, verdreifachen Sie die erste Zeile von der dritten und wir erhalten eine Matrix

Die Linie (0 0 0 | - 5) entspricht der Gleichung 0 X + 0 x 2 + 0 Keine Ahnung= -5. Das Vorhandensein einer solchen Gleichung weist auf die Inkompatibilität des betrachteten Systems hin. ?

Beispiel 2.3. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Lösung. Elementare Vorwärtstransformationen der Gaußschen Methode über die Zeilen der erweiterten Matrix des Systems ergeben die folgende Kette äquivalenter Matrizen:

Die letzte Matrix dieser Kette entspricht dem System

Glaube hier Keine Ahnung= 73 (77 ist eine beliebige Konstante) und durch Umkehrung der Gaußschen Methode erhalten wir die allgemeine Lösung:

Um die Effizienz und Stabilität der Gauß-Methode zu erhöhen, wird sie modifiziert verschiedene Wege. Beispielsweise wird häufig ein Schema verwendet, bei dem bei jedem Schritt der Vorwärtsbewegung der führende Koeffizient so ausgewählt wird, dass er der größte Absolutwert unter den Koeffizienten für die Unbekannten in der ausgewählten Gleichung oder im Subsystem ist, mit dem gearbeitet wird in diesem Stadium.

Bei der „manuellen“ Lösung von Systemen mit der Gaußschen Methode ist es zur Vermeidung komplexer Berechnungen manchmal in den Intervallen zwischen den Schritten der Vorwärtsentwicklung der Gaußschen Methode oder vor deren Beginn ratsam, zusätzliche Elementartransformationen an einigen Gleichungen der Gaußschen Methode durchzuführen System. Zum Beispiel beim „manuellen“ Lösen des Systems

Es empfiehlt sich, zunächst das Doppelte der dritten von der ersten Gleichung des Systems abzuziehen und den Rest unverändert zu lassen. Dann bekommen wir das System

in dem die Gauß-Methode bereits einfach durchführbar ist. Zusätzliche Transformationen werden auch an Matrizen durchgeführt.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Gauß-Methode und ihre Modifikationen in der Computerpraxis die breiteste Anwendung finden. Um es auf einem Computer zu implementieren, können Sie verwenden Standardprogramme, die in fast jedem Softwarepaket zur Lösung mathematischer Probleme enthalten sind.