Regelmäßige Polyeder oder platonische Körper. Platonische Körper

Schon in der Antike bemerkten die Menschen das volumetrische Figuren haben besondere Eigenschaften. Dies sind die sogenannten regelmäßige Polyeder- alle ihre Flächen sind gleich, alle Winkel an den Eckpunkten sind gleich. Jede dieser Figuren ist stabil und kann in eine Kugel eingeschrieben werden. Bei all der Vielfalt an unterschiedlichen Formen gibt es nur 5 Arten regelmäßiger Polyeder (Abb. 1).

Tetraeder- regelmäßiges Tetraeder, die Flächen sind gleichseitige Dreiecke (Abb. 1a).

Würfel- regelmäßiges Sechseck, die Flächen sind Quadrate (Abb. 1b).

Oktaeder- regelmäßiges Oktaeder, die Flächen sind gleichseitige Dreiecke (Abb. 1c).

Dodekaeder- regelmäßiges Dodekaeder, die Flächen sind regelmäßige Fünfecke (Abb. 1d).

Ikosaeder- regelmäßig zwanzigeckig, die Flächen sind gleichseitige Dreiecke (Abb. 1e).

Der antike griechische Philosoph Platon glaubte, dass jedes der regelmäßigen Polyeder einem der fünf Primärelemente entspricht. Nach Platon entspricht der Würfel der Erde, das Tetraeder dem Feuer, das Oktaeder der Luft, das Ikosaeder dem Wasser und das Dodekaeder dem Äther. Darüber hinaus identifizierten griechische Philosophen ein weiteres primäres Element – ​​die Leere. Sie entspricht der geometrischen Form einer Kugel, in die alle platonischen Körper eingeschrieben werden können.

Alle sechs Primärelemente sind die Bausteine ​​des Universums. Einige davon kommen häufig vor: Erde, Wasser, Feuer und Luft. Heute ist mit Sicherheit bekannt, dass regelmäßige Polyeder oder platonische Körper die Grundlage für die Struktur von Kristallen und Molekülen verschiedener chemischer Substanzen bilden.

Auch die menschliche Energiehülle ist eine räumliche Konfiguration. Außengrenze Energiefeld Die Figur eines Menschen ist eine Kugel, die ihr am nächsten stehende Figur ist das Dodekaeder. Dann ersetzen sich die Figuren des Energiefeldes gegenseitig in einer bestimmten Reihenfolge, wiederholt sich in verschiedenen Zyklen. Beispielsweise wechseln sich in einem DNA-Molekül Ikosaeder und Dodekaeder ab.

Es wurde entdeckt, dass platonische Körper eine positive Wirkung auf den Menschen haben können. Diese Formen haben die Fähigkeit, die Energie in den Chakren des menschlichen Körpers zu verändern und zu organisieren. Darüber hinaus hat jede Kristallform eine positive Wirkung auf das Chakra, dem sie entspricht.

Das Ungleichgewicht der Energien in Muladhara verschwindet bei Verwendung des Würfels (Erdelement), Svadhisthana reagiert auf den Einfluss des Ikosaeders (Wasserelement), das Tetraeder (Feuerelement) wirkt sich positiv auf Manipura aus, die Funktionen von Anahata werden mit dem wiederhergestellt Hilfe des Oktaeders (Luftelement). Die gleiche Figur trägt zum normalen Funktionieren von Vishuddha bei. Beide oberen Chakren – Ajna und Sahasrara – können durch das Dodekaeder korrigiert werden.

Um die Eigenschaften der platonischen Körper nutzen zu können, ist es notwendig, diese Figuren aus Kupferdraht (Größe 10 bis 30 cm Durchmesser) herzustellen. Sie können sie auf Papier zeichnen oder aus Pappe zusammenkleben, wirkungsvoller sind jedoch Rahmen aus Kupferdraht. Modelle der platonischen Körper müssen an der Projektion der entsprechenden Chakren befestigt werden und sich für eine Weile in tiefer Entspannung hinlegen.

Ein regelmäßiges Polygon ist eine flache Figur, die durch gerade Linien mit gleichen Seiten und gleichen Innenwinkeln begrenzt wird. Es ist klar, dass es unendlich viele solcher Figuren gibt. Ein Analogon eines regelmäßigen Vielecks im dreidimensionalen Raum ist ein regelmäßiges Polyeder: eine räumliche Figur mit identischen Flächen in Form regelmäßiger Vielecke und identischen Polyederwinkeln an den Eckpunkten. Auf den ersten Blick mag es scheinen, als gäbe es auch unendlich viele Polyeder, aber in Wirklichkeit sind es, wie Lewis Carroll es einmal ausdrückte, „trotzig wenige“. Es gibt nur fünf regelmäßige konvexe Polyeder: regelmäßiges Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (Abb. 90).

Die erste systematische Untersuchung der fünf regelmäßigen Körper wurde offenbar in der Antike von den Pythagoräern durchgeführt. Ihrer Ansicht nach liegen Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Ikosaeder den traditionellen vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser zugrunde. Aus unbekannten Gründen identifizierten die Pythagoräer Dodekaer mit dem gesamten Universum. Da die Ansichten der Pythagoräer in Platons Dialog Timaios ausführlich dargelegt werden, werden regelmäßige Polyeder üblicherweise als platonische Körper bezeichnet. Die Schönheit und die erstaunlichen mathematischen Eigenschaften der fünf regulären Körper haben auch nach Platon immer wieder die Aufmerksamkeit von Wissenschaftlern auf sich gezogen. Die Analyse der platonischen Körper ist der Höhepunkt des letzten Buches von Euklids Elementen. In seiner Jugend glaubte Johannes Kepler, dass man die Abstände zwischen den Bahnen der sechs zu seiner Zeit bekannten Planeten ermitteln könne, indem man fünf regelmäßige Körper in einer bestimmten Reihenfolge in die Umlaufbahn des Saturn einschreibe. Heutzutage schreiben Mathematiker den platonischen Körpern keine mystischen Eigenschaften zu, sondern untersuchen die Symmetrieeigenschaften regelmäßiger Polyeder mit Methoden der Gruppentheorie. Platonische Körper spielen auch in der Spaßmathematik eine herausragende Rolle. Betrachten wir zumindest kurz einige damit zusammenhängende Probleme.

Es gibt vier verschiedene Wege, wie man einen versiegelten Umschlag schneidet und ihn zu einem Tetraeder faltet. Hier ist die einfachste davon. Zeichnen Sie auf beiden Seiten des Umschlags an derselben Kante ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 91) und schneiden Sie den Umschlag entlang der gestrichelten Linie. Wir brauchen seine rechte Hälfte nicht, aber wir biegen die linke Hälfte entlang der Seiten des gezeichneten Dreiecks (auf beiden Seiten des Umschlags) und kombinieren die Punkte A und B. Das Tetraeder ist fertig!

Das in Abb. 92, hängt auch mit dem Tetraeder zusammen. Der in Abb. gezeigte Scan. 92 links, kann aus Kunststoff oder dickem Papier geschnitten werden. Machen Sie zwei solcher Scans. (In der Zeichnung sind alle gestrichelten Linien bis auf eine, die deutlich länger ist als die anderen, gleich lang.) Falten wir den Scan und biegen ihn entlang der in der Zeichnung angegebenen Linien. Die Kanten, die sich entlang der in der Zeichnung als durchgezogene Linie dargestellten Kanten kreuzen, werden mit Klebeband zusammengeklebt. Dadurch werden wir Erfolg haben geometrischer Körper, dargestellt in Abb. 92 auf der rechten Seite. Sie müssen versuchen, aus zwei solchen Körpern ein Tetraeder zu bilden. Ein Mathematiker, den ich kenne, nervt seine Freunde gerne mit einem eher platten Witz. Er setzt zwei Modelle aus zwei Mustern zusammen, formt daraus ein Tetraeder, legt es auf den Tisch und hält das dritte Muster diskret in der Hand. Dann drückt er mit einem Handschlag das Tetraeder flach und legt gleichzeitig die dritte Entwicklung auf den Tisch. Es liegt auf der Hand, dass seine Freunde keinen Tetraeder aus drei Blöcken zusammensetzen können.

Von den verschiedenen interessanten Problemen rund um den Würfel möchte ich nur das Rätsel mit der Berechnung der Impedanz erwähnen Stromkreis, gebildet durch die Kanten eines Drahtwürfels, und die erstaunliche Tatsache, dass der Würfel durch ein Loch in einem kleineren Würfel passen kann. Wenn Sie den Würfel tatsächlich so nehmen, dass eine seiner Spitzen direkt auf Sie gerichtet ist und die Kanten ein regelmäßiges Sechseck bilden, werden Sie feststellen, dass im Schnitt senkrecht zur Sichtlinie genügend Platz für ein quadratisches Loch ist ist leicht mehr Rand der Würfel selbst. Das elektrische Rätsel beinhaltet die in Abb. gezeigte Schaltung. 93. Der Widerstand jeder Kante eines Würfels beträgt ein Ohm. Wie groß ist der Widerstand des gesamten Stromkreises, wenn Strom von A nach B fließt? Elektroingenieure haben eine Menge Papier damit verschwendet, dieses Problem zu lösen, obwohl es mit dem richtigen Ansatz nicht schwierig ist, eine Lösung zu finden.

Alle fünf platonischen Körper wurden als Würfel verwendet. Nach dem Würfel wurden die Würfel in Oktaederform am beliebtesten. Wie man einen solchen Knochen herstellt, ist in Abb. dargestellt. 94. Nachdem der Streifen gezeichnet und ausgeschnitten und die Kanten nummeriert wurden, wird er entlang der Kanten gefaltet und die „offenen“ Kanten werden mit transparentem Klebeband zusammengeklebt. Dadurch entsteht ein Miniatur-Oktaeder. Die Summe der Punkte auf gegenüberliegenden Seiten eines oktaedrischen Würfels beträgt wie bei einem regulären kubischen Würfel sieben. Wenn Sie möchten, können Sie mit einem neuen Würfel einen lustigen Trick ausführen und die gewünschte Zahl erraten. Bitten Sie jemanden, eine beliebige Zahl von 0 bis 7 zu erraten. Legen Sie das Oktaeder so auf den Tisch, dass der Ratende nur die Seiten mit den Zahlen 1, 3, 5 und 7 sehen kann, und fragen Sie, ob er die Zahl sehen kann, an die er gedacht hat. Wenn er mit „Ja“ antwortet, merken Sie sich die Zahl 1. Dann drehen Sie das Oktaeder um, sodass der Ratende die Gesichter mit den Zahlen 2, 3, 6 und 7 sehen kann, und stellen Sie die gleiche Frage erneut. Dieses Mal bedeutet eine positive Antwort, dass Sie sich die Zahl 2 merken müssen. Beim dritten (und das letzte Mal) wiederholen Sie Ihre Frage und drehen das Oktaeder so, dass der Ratende die Gesichter mit den Zahlen 4, 5, 6 und 7 sehen kann. Eine bejahende Antwort ist in diesem Fall die Zahl 4 wert. Durch Addition der Punkte aller drei Antworten , erhalten Sie die Nummer, an die Ihr Freund gedacht hat. Dieser Trick kann von jedem, der mit dem binären Zahlensystem vertraut ist, leicht erklärt werden. Um es einfacher zu machen, die gewünschten Positionen des Oktaeders zu finden, markieren Sie irgendwie die drei Eckpunkte, die Ihnen zugewandt sein sollten, wenn Sie dem Betrachter gegenüberstehen (der die Zahl im Kopf hat).

Es gibt andere nicht weniger interessante Wege Nummerierung der Flächen eines oktaedrischen Würfels. Beispielsweise können die Zahlen 1 bis 8 so angeordnet werden, dass die Summe der Zahlen auf den vier Flächen, die an einem gemeinsamen Scheitelpunkt zusammenlaufen, konstant ist. Diese Summe ist immer gleich 18, aber es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, die Flächen zu nummerieren (wir berücksichtigen nicht Knochen, die sich bei Drehungen und Spiegelungen ineinander verwandeln), um unterschiedlich zu sein und die obige Bedingung zu erfüllen.

Eine elegante Möglichkeit, ein Dodekaeder zu konstruieren, wird in Hugo Steinhaus‘ Buch „Mathematisches Kaleidoskop“* vorgeschlagen. Aus dickem Karton müssen Sie zwei in Abb. gezeigte Formen ausschneiden. 95. Die Seiten der Fünfecke sollten ungefähr sein 2,5-3 cm. Schneiden Sie den Karton mit der Klinge eines Messers vorsichtig an den Seiten des inneren Fünfecks ab, sodass sich die Entwicklung leicht in eine Richtung biegen lässt. Nachdem wir die zweite Reibahle auf die gleiche Weise vorbereitet haben, platzieren wir sie so auf der ersten, dass die Vorsprünge der zweiten Reibahle den Aussparungen der ersten gegenüberliegen. Halten Sie beide Reibahlen mit der Hand und befestigen Sie sie mit einem Gummiband, indem Sie es abwechselnd über das hervorstehende Ende der einen Reibahle und dann unter das hervorstehende Ende der anderen führen. Wenn Sie den Druck Ihrer Hand auf die Kehrwalzen nachlassen, werden Sie sehen, wie wie von Geisterhand ein Dodekaeder vor Ihren Augen erscheint.

* (Dieses Spielzeug war nur in der ersten Ausgabe des Buches enthalten. G. Steinhaus. Es kommt nicht in weiteren Auflagen vor, auch nicht in der russischen (1949). Notiz Hrsg. )

Lassen Sie uns das Dodekaedermodell so einfärben, dass jedes Gesicht nur mit einer Farbe bemalt wird. Wie viele Farben kann man mindestens zum Färben eines Dodekaeders verwenden, wenn zwei benachbarte Flächen unterschiedliche Farben haben müssen? Antwort: Die kleinste Anzahl an Farben ist vier. Es ist leicht zu erkennen, dass es vier verschiedene Möglichkeiten gibt, ein Dodekaeder am wirtschaftlichsten einzufärben (in diesem Fall sind zwei farbige Dodekaeder Spiegelbilder der beiden anderen). Zum Färben eines Tetraeders sind ebenfalls vier Farben erforderlich, es gibt jedoch nur zwei Färbemöglichkeiten, wobei sich ein Tetraeder beim Spiegeln in ein anderes verwandelt. Ein Würfel kann mit drei Farben gefärbt werden, ein Oktaeder mit zwei Farben. Für jeden dieser Körper gibt es nur eine Möglichkeit, die Lackierung am wirtschaftlichsten durchzuführen. Sie können das Ikosaeder mit nur drei Farben einfärben, dies ist jedoch auf nicht weniger als 144 Arten möglich. Nur bei sechs von ihnen stimmen die farbigen Ikosaeder mit ihren Spiegelreflexionen überein.

Betrachten wir ein weiteres Problem. Angenommen, eine Fliege, die an den 12 Kanten des Ikosaeders entlangläuft, kriecht mindestens einmal an jeder davon entlang. Was ist die kürzeste Distanz, die eine Fliege zurücklegen muss, um alle Kanten des Ixaeders zu erreichen? Es ist nicht notwendig, zum Ausgangspunkt zurückzukehren; Einige Kanten muss die Fliege zweimal durchlaufen (von allen fünf platonischen Körpern hat nur das Oktaeder die Eigenschaft, dass seine Kanten umgangen werden können, indem man jede von ihnen nur einmal besucht). Zur Lösung des Problems kann die Projektion des Ikosaeders auf eine Ebene beitragen (Abb. 96). Bedenken Sie jedoch, dass die Länge aller Rippen gleich ist.

Da es immer noch Spinner gibt, die versuchen, Lösungen für die Probleme der Winkeldreiteilung und der Quadratur eines Kreises zu finden, obwohl längst bewiesen ist, dass weder das eine noch das andere unmöglich ist, erscheint es seltsam, dass niemand versucht, sie zu finden neue reguläre Polyeder jenseits der bereits bekannten fünf platonischen Körper. Einer der Gründe für diese paradoxe Situation ist, dass es äußerst leicht zu verstehen ist, warum es nicht mehr als fünf reguläre Körper gibt. Der folgende einfache Beweis für die Existenz von höchstens fünf regulären Körpern geht auf Euklid zurück.

Ein Polyederwinkel eines regelmäßigen Körpers muss durch mindestens drei Flächen gebildet werden. Betrachten wir die einfachste aller Flächen: ein gleichseitiges Dreieck. Ein Polyederwinkel kann konstruiert werden, indem drei, vier oder fünf solcher Dreiecke nebeneinander platziert werden. Wenn die Anzahl der Dreiecke mehr als fünf beträgt, beträgt die Summe der an den Scheitelpunkt des Polyeders angrenzenden Ebenenwinkel 360° oder sogar mehr, und daher können solche Dreiecke keinen Polyederwinkel bilden. Es gibt also nur drei Möglichkeiten, ein regelmäßiges konvexes Polyeder mit dreieckigen Flächen zu konstruieren. Wenn wir versuchen, einen polyedrischen Winkel aus quadratischen Flächen zu konstruieren, werden wir sehen, dass dies mit nur drei Flächen möglich ist. Mit ähnlichen Überlegungen ist es nicht schwer zu zeigen, dass drei und nur drei fünfeckige Flächen an einem Scheitelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zusammenlaufen können. Die Flächen dürfen nicht die Form von Polygonen mit mehr als 5 Seiten haben, da wir beispielsweise durch die Aneinanderreihung von drei Sechsecken einen Gesamtwinkel von 360° erhalten.

Die gerade dargelegte Begründung beweist nicht die Möglichkeit, fünf reguläre Körper zu konstruieren; sie erklärt nur, warum es nicht mehr als fünf solcher Körper geben kann. Eine subtilere Argumentation zwingt uns zu dem Schluss, dass es im vierdimensionalen Raum nur sechs reguläre Polytope gibt (diese werden als Analoga dreidimensionaler regulärer Körper bezeichnet). Es ist interessant festzustellen, dass es in einem Raum mit beliebig vielen Dimensionen größer als 4 nur drei reguläre Polytope gibt: Analoga des Tetraeders, des Würfels und des Oktaeders.

Die Schlussfolgerung liegt unwillkürlich nahe. Die Mathematik schränkt die Vielfalt der Strukturen, die in der Natur existieren können, stark ein. Bewohner weiter als die am weitesten entfernte Galaxie können nicht würfeln, da diese die Form eines uns unbekannten regelmäßigen konvexen Polyeders haben. Einige Theologen gaben ehrlich zu, dass nicht einmal Gott selbst den sechsten platonischen Körper im dreidimensionalen Raum errichten konnte. Ebenso setzt die Geometrie der Vielfalt der Kristallstrukturen unüberwindbare Grenzen. Vielleicht wird der Tag kommen, an dem Physiker die mathematischen Beschränkungen entdecken, denen die Anzahl der Grundteilchen und die Grundgesetze der Natur genügen müssen. Natürlich hat heute niemand mehr die geringste Ahnung, wie die Mathematik diese oder jene Struktur namens „Leben“ unmöglich machen kann (sofern die Mathematik überhaupt in diesen Kreis von Phänomenen involviert ist). Es ist beispielsweise durchaus möglich, dass das Vorhandensein von Kohlenstoffverbindungen eine unabdingbare Voraussetzung für die Entstehung von Leben ist. Wie dem auch sei, die Menschheit bereitet sich im Voraus auf die Idee der Möglichkeit der Existenz von Leben auf anderen Planeten vor. Die platonischen Körper erinnern daran, dass Mars und Venus möglicherweise nicht viel von dem enthalten, woran unsere Weisen denken.

Antworten

Der Gesamtwiderstand des durch die Kanten des Würfels gebildeten Stromkreises (der Widerstand jeder Kante). 1 Ohm) Ist 5 / 6 Ohm. Schließen wir die drei Eckpunkte des Würfels, die A am nächsten liegen, kurz und machen dasselbe mit den drei Eckpunkten, die B am nächsten liegen. Wir erhalten zwei Dreiecksketten. In keinem von ihnen fließt Strom, da sie Äquipotentialpunkte verbinden. Es ist leicht zu erkennen, dass zwischen Scheitelpunkt A und dem ihm am nächsten liegenden Dreieckskreis drei Widerstände parallel geschaltet sind 1 Omu(totaler Widerstand 1/3 Ohm), zwischen zwei Dreieckskreisen sind 6 Widerstände parallel geschaltet 1 Omu(Gesamtwiderstand dieses Abschnitts des Stromkreises 1/6 Ohm) und zwischen dem zweiten Dreieckskreis und Punkt B liegen 3 parallel geschaltete Leiter entlang 1 Omu(also insgesamt 1/3 Ohm). Somit ist der Gesamtwiderstand des Stromkreises zwischen den Punkten A und B gleich 5 / 6 Ohm.

Sowohl die Problembedingung als auch die Lösungsmethode lassen sich leicht auf den Fall einer Kette verallgemeinern, die aus den Kanten der vier verbleibenden platonischen Körper besteht.

Lassen Sie uns drei Möglichkeiten zur Nummerierung der Flächen eines Oktaeders auflisten, die die Bedingung erfüllen: Die Summe der Zahlen auf den Flächen neben einem beliebigen Scheitelpunkt muss gleich 18 sein. Die Zahlen, die beim Umrunden (im oder gegen den Uhrzeigersinn) um einen Scheitelpunkt auftreten: 6 , 7, 2, 3; beim Umrunden des gegenüberliegenden Scheitelpunkts: 1, 4, 5, 8 (6 neben 1, 7 neben 4 usw.); beim Umrunden der restlichen Eckpunkte: 1, 7, 2, 8 und 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 und 6, 1, 8, 3. Ein einfacher Beweis, dass das Oktaeder der einzige der fünf regulären Körper ist, dessen Flächen so nummeriert werden können, dass die Summe der Zahlen auf den Flächen neben jedem Scheitelpunkt ist ist, kann im Buch nachgelesen werden W. W. Rosenball * .

* (W. W. Rouse Ball, Mathematische Erholungen und Essays, London, MacMillan, New York, St. Martin's Press, 1956, S. 418.)

Die kürzeste Distanz, die eine Fliege zurücklegen muss, um alle Kanten des Ikosaeders zu besuchen, beträgt 35 Einheiten (eine entspricht der Länge der Kante des Ikosaeders). Durch das Löschen von fünf Kanten des Ikosaeders (z. B. Kanten FM, BE, JA, ID und HC in Abb. 96) erhalten wir einen Graphen, in dem eine ungerade Anzahl von Kanten nur in zwei Punkten G und K konvergieren. Daher ist a Die Fliege kann diesen gesamten Graphen durchqueren (indem sie ihren Weg zum Punkt G beginnt und ihn am Punkt K beendet), wobei sie jede Kante nur einmal passiert. Die von der Fliege zurückgelegte Strecke beträgt 25 Einheiten. Dies ist der längste Weg, bei dem alle Abschnitte einmal zurückgelegt werden. Wenn eine Fliege auf ihrem Weg auf gelöschte Kanten stößt, fügen wir diese einfach dem Weg von G nach K hinzu, vorausgesetzt, die Fliege passiert sie zweimal (in entgegengesetzter Richtung). Fünf gelöschte Kanten, die zweimal durchlaufen werden, ergeben eine Addition von 10 Einheiten zum bereits zurückgelegten Weg. Insgesamt sind es 35 Einheiten.

GEOMETRIE PLATONISCHER KÖRPER

ändern vom 24.06.2013 - (hinzugefügt)

Die fünf wichtigsten platonischen Körper sind: Oktaeder, Sterntetraeder, Würfel, Dodekaeder, Ikosaeder.

Jedes der geometrischen Muster, sei es der Atomkern, Mikrohaufen, das globale Gitter oder die Abstände zwischen Planeten, Sternen, Galaxien, ist eines der fünf wichtigsten „Platonischen Körper“.

Warum kommen ähnliche Muster in der Natur so häufig vor? Einer der ersten Hinweise: Mathematiker wussten, dass diese Formen mehr „Symmetrie“ hatten als jede dreidimensionale Geometrie, die wir erstellen konnten.

Aus dem Buch von Robert Lawlor "Heilige Geometrie" Wir können erfahren, dass die Hindus die Geometrien der platonischen Körper auf die Oktavstruktur reduzierten, die wir für Klang und Licht (Noten und Farben) sehen. Der griechische Mathematiker und Philosoph Pythagoras entwickelte durch einen Prozess der sukzessiven Teilung der Frequenzen durch fünf zunächst acht „reine“ Oktavtöne, die als diatonische Tonleiter bekannt sind. Er nahm ein einsaitiges „Monochord“ und maß beim Spielen verschiedener Töne die genauen Wellenlängen. Pythagoras zeigte, dass die Frequenz (oder Schwingungsrate) jeder Note als Verhältnis zwischen zwei Teilen der Saite oder zwei Zahlen dargestellt werden kann, daher der Begriff „diatonisches Verhältnis“.

In der folgenden Tabelle sind die Geometrien in einer bestimmten Reihenfolge aufgeführt und mit der Helixzahl verknüpft fi(). Dies ergibt ein vollständiges und vollständiges Bild davon, wie die verschiedenen Schwingungen zusammenwirken. Es basiert darauf, den Kanten eines Würfels eine Länge zuzuordnen, die gleich „ 1 " Anschließend vergleichen wir die Kanten aller anderen Formen mit diesem Wert, unabhängig davon, ob sie größer oder kleiner sind. Wir wissen, dass in den platonischen Körpern jede Fläche die gleiche Form hat, jeder Winkel identisch ist, jeder Knoten den gleichen Abstand von jedem anderen Knoten hat und jede Linie die gleiche Länge hat.

1 Kugel (keine Flächen) 2 Zentraler Ikosaeder 1/phi 2 3 Oktaeder 1/ √2 4-Sterne-Tetraeder √2 5 Würfel 1 6 Dodekaeder 1/Phi 7 Ikosaeder Phi 8 Kugel (keine Flächen)

Dies wird helfen zu verstehen, wie mit Hilfe der Schwingungen der Phi-Spirale die platonischen Körper allmählich ineinander fließen.

Multidimensionalität des Universums

Das eigentliche Konzept der Verbindung platonischer Geometrien mit höheren Ebenen entsteht, weil Wissenschaftler wissen: Da muss es Geometrie geben; Sie fanden es in den Gleichungen. Um „mehr Platz“ für das Erscheinen unsichtbarer Zusatzachsen in „versteckten“ 90°-Drehungen zu schaffen, sind platonische Geometrien erforderlich. Bei der Datenanalysemethode stellt jede Fläche einer geometrischen Form eine andere Achse oder Ebene dar, in der sie sich drehen könnte. Wenn wir beginnen, die Arbeit von Fuller und Jenny zu betrachten, erkennen wir, dass die Vorstellung, dass andere Ebenen in „verborgenen“ 90°-Kurven existieren, einfach eine falsche Erklärung ist, die auf einem Mangel an Wissen über die „heiligen“ Zusammenhänge zwischen der Geometrie beruht und Vibration.

Es ist sehr wahrscheinlich, dass traditionelle Wissenschaftler nie verstehen werden, dass es in alten Kulturen möglicherweise eine „fehlende Verbindung“ gab, die alles erheblich vereinfacht und vereinheitlicht moderne Theorien Physik des Weltraums. Obwohl es unglaublich erscheinen mag, dass eine „primitive“ Kultur Zugang zu dieser Art von Informationen gehabt hätte, sind die Beweise eindeutig. Lesen Sie Prasads klassisches Buch, denn jetzt können Sie sehen, dass die vedische Kosmologie über wissenschaftliche Meisterschaft verfügt.

Was glaubst du zu sehen? - Dies ist ein explodierender Stern, aus dem Staub ausgestoßen wird ... Aber es gibt hier eindeutig eine Art Energiefeld, das den Staub strukturiert, während er sich zu einem sehr präzisen geometrischen Muster ausdehnt:

Das Problem ist so typisch Magnetfelder Herkömmliche physikalische Modelle erlauben eine solche geometrische Präzision einfach nicht. Wissenschaftler wissen wirklich nicht, wie man solche Dinge versteht!

Das Bild unten zeigt den NEUEN Nebel, der ein perfektes „Quadrat“ darstellt. Dies ist jedoch immer noch zweidimensionales Denken. Was ist ein Quadrat in drei Dimensionen?
Natürlich ein Würfel!

Im Infrarotlicht beobachtet, ähnelt der Nebel einem riesigen leuchtenden Kasten am Himmel mit einem hellweißen Innenkern. Der sterbende Stern MWC 922 liegt im Zentrum des Systems und speit seine Eingeweide von gegenüberliegenden Polen in den Weltraum. Nach der Freisetzung von MWC 922 in den Weltraum am meisten Materie wird es zu einem dichten Sternkörper kollabieren, der als Weißer Zwerg bekannt ist und in den Wolken seiner Überreste verborgen ist.

Während es durchaus möglich ist, dass sich die Explosion des Sterns nur in eine Richtung ausbreitet und eher eine Pyramidenform erzeugt, sehen Sie einen perfekten Würfel im Weltraum. Da alle vier Seiten des Würfels gleich lang sind und einen perfekten 90°-Winkel zueinander bilden und der Würfel wiederum die strukturierten „Stufen“ aufweist, die wir im vorherigen Bild gesehen haben, sind Wissenschaftler völlig ratlos. Der Würfel hat sogar noch MEHR SYMMETRIE als der „rechteckige“ Nebel!

Solche Muster treten nicht nur in den Weiten des Weltalls auf. Sie entstehen auch auf kleinster Ebene von Atomen und Molekülen, beispielsweise in der kubischen Struktur von gewöhnlichem Speisesalz oder Natriumchlorid. An Pang Tsaya (Japan) fotografierte Quasikristalle einer Aluminium-Kupfer-Eisen-Legierung in Form eines Dodekaeders und einer Aluminium-Nickel-Kobalt-Legierung in Form eines zehneckigen (zehnseitigen) Prismas (siehe Foto). Das Problem ist, dass Man kann solche Kristalle nicht aus miteinander verbundenen einzelnen Atomen herstellen.

Ein weiteres Beispiel ist das Bose-Einstein-Kondensat. Kurz gesagt, ein Bose-Einstein-Kondensat ist eine große Gruppe von Atomen, die sich wie ein einzelnes „Teilchen“ verhält Jedes konstituierende Atom nimmt gleichzeitig den gesamten Raum und die ganze Zeit in der gesamten Struktur ein. Es wird gemessen, dass alle Atome mit der gleichen Frequenz schwingen, sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen und sich im gleichen Raumbereich befinden. Es ist paradox, aber Verschiedene Teile des Systems agieren als ein Ganzes und verlieren alle Anzeichen von Individualität. Dies ist genau die Eigenschaft, die für einen „Supraleiter“ erforderlich ist. Typischerweise kann sich unter extremen Bedingungen ein Bose-Einstein-Kondensat bilden niedrige Temperaturen. Genau diese Prozesse beobachten wir jedoch in Mikroclustern und Quasikristallen ohne individuelle atomare Identität.

Ein weiterer ähnlicher Prozess ist die Einwirkung von Laserlicht, bekannt als „kohärentes“ Licht. Alles in Raum und Zeit Der Laserstrahl verhält sich wie ein einzelnes „Photon“, das heißt, es ist unmöglich, einzelne Photonen in einem Laserstrahl zu trennen.

Darüber hinaus schlug der englische Physiker Herbert Fröhlich Ende der 1960er Jahre dies vor Lebende Systeme verhalten sich oft wie Bose-Einstein-Kondensate, nur im großen Maßstab.

Fotos des Nebels liefern verblüffende sichtbare Beweise dafür, dass die Geometrie eine Rolle spielt. Ö Es spielt eine größere Rolle in den Kräften des Universums, als die meisten Menschen glauben. Unsere Wissenschaftler können dieses Phänomen nur schwer im Rahmen bestehender traditioneller Modelle verstehen.

Die Namen der fünf konvexen regelmäßigen Polyeder sind Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Die Polyeder sind nach Platon benannt, der in op. Timaios (4. Jahrhundert v. Chr.) gab ihnen Mystik. Bedeutung; waren schon vor Platon bekannt... Mathematische Enzyklopädie

Das Gleiche wie reguläre Polyeder ... Groß Sowjetische Enzyklopädie

- ... Wikipedia

Phaidon oder Über die Unsterblichkeit der Seele, benannt nach Sokrates‘ Schüler Phaidon (siehe), ist Platons Dialog einer der herausragendsten. Dies ist der einzige Dialog Platons, den Aristoteles nennt, und einer der wenigen, der von... ... als authentisch anerkannt wird.

Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Einer der besten künstlerischen und philosophischen Dialoge Platons, der durch das einstimmige Urteil sowohl der Antike als auch der modernen Wissenschaft als authentisch anerkannt wurde. In der jüngsten platonischen Kritik wurde nur über die Zeit ihrer Niederschrift gestritten: Einige meinten... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Philosophische Ideen in den Schriften Platons- Kurz gesagt, Platons philosophisches Erbe ist umfangreich, es besteht aus 34 Werken, die fast vollständig erhalten und überliefert sind. Diese Werke sind hauptsächlich in Form von Dialogen und vor allem geschrieben Schauspieler in ihnen ist es größtenteils ... ... Kleiner Thesaurus der Weltphilosophie

Dodekaeder Regelmäßiges Polyeder oder platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Ein Polyeder heißt regulär, wenn: es konvex ist; alle seine Flächen in jedem seiner ... ... Wikipedia sind

Platonische Körper, konvexe Polyeder, bei denen alle Flächen identische regelmäßige Vielecke sind und alle Polyederwinkel an den Ecken regelmäßig und gleich sind (Abb. 1a 1e). Im euklidischen Raum E 3 gibt es fünf P. m., Daten dazu sind in ... angegeben Mathematische Enzyklopädie

SEELE- [Griechisch ψυχή] bildet zusammen mit dem Körper die Zusammensetzung einer Person (siehe Artikel Dichotomismus, Anthropologie) und ist gleichzeitig ein eigenständiges Prinzip; Das Bild des Menschen enthält das Bild Gottes (nach Ansicht einiger Kirchenväter; nach Ansicht anderer ist das Bild Gottes in allem enthalten... ... Orthodoxe Enzyklopädie

Bücher

• Timaios (Ausgabe 2011), Platon. Platons Timaios ist der einzige systematische Abriss von Platons Kosmologie, der bisher nur in verstreuter und zufälliger Form erschien. Dadurch entstand der Ruhm von Timaios durch...
• Diskussionsfragen zur Seele. Studien 6, Aquinas F.. Das Genre der „Disputationsfragen“ (quaestiones disputatae) ist ein spezielles schulisches Genre, das an mittelalterlichen Universitäten verwendet wird. „Disputable Fragen über die Seele“ sind eine von ...

Platonische Körper

Es gibt erschreckend wenige reguläre Polyeder, aber dieser sehr bescheidenen Truppe gelang es, in die Tiefen verschiedener Wissenschaften vorzudringen.

L. Carroll

Der Mensch hat schon immer Interesse an Polyedern gezeigt. Einige der regelmäßigen und halbregelmäßigen Körper kommen in der Natur in Form von Kristallen vor, andere in Form von Viren, die mit einem Elektronenmikroskop untersucht werden können. Was ist ein Polyeder? Ein Polyeder ist ein Teil eines Raums, der durch eine Ansammlung einer endlichen Anzahl flacher Polygone begrenzt wird.

Wissenschaftler interessieren sich seit langem für „ideale“ oder regelmäßige Polygone, also Polygone mit gleichen Seiten und gleichen Seiten gleiche Winkel. Das einfachste regelmäßige Vieleck kann als gleichseitiges Dreieck betrachtet werden, da es die geringste Anzahl von Seiten hat, die einen Teil der Ebene begrenzen können. Das allgemeine Bild der regelmäßigen Vielecke, die uns interessieren, ist neben dem gleichseitigen Dreieck: Quadrat (vier Seiten), Fünfeck (fünf Seiten), Sechseck (sechs Seiten), Achteck (acht Seiten), Zehneck (zehn Seiten) usw Theoretisch gibt es offensichtlich keine Beschränkungen hinsichtlich der Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Vielecks, das heißt, die Anzahl der regelmäßigen Vielecke ist unendlich.

Was ist ein regelmäßiges Polyeder? Ein regelmäßiges Polyeder ist ein solches Polyeder, dessen Flächen alle gleich (oder kongruent) sind und gleichzeitig regelmäßige Vielecke sind. Wie viele regelmäßige Polyeder gibt es? Im XIII. Buch von Euklids Elementen, gewidmet regelmäßige Polyeder oder platonische Körper (Platon betrachtet sie im Timäus-Dialog) finden wir einen strengen Beweis dafür, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder gibt und ihre Flächen nur drei Arten regelmäßiger Polyeder sein können: Dreiecke, Quadrate und Fünfecke.

Der Beweis, dass es genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt, ist sehr einfach.

Offensichtlich kann jeder Scheitelpunkt eines Polyeders zu drei oder mehr Flächen gehören. Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Flächen des Polyeders gleichseitige Dreiecke sind. Weil das Innenecke Ein gleichseitiges Dreieck hat 60°; drei solcher Winkel auf einer Ebene ergeben zusammen 180°. Wenn wir nun diese Ecken an den Innenseiten biegen und an den Außenseiten zusammenkleben, erhalten wir eine polyedrische Ecke eines Tetraeders – ein regelmäßiges Polyeder, an dessen Ecken sich jeweils drei regelmäßige Dreiecksflächen treffen. Drei regelmäßige Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt werden als Entwicklung eines tetraedrischen Scheitelpunktes bezeichnet. Wenn man zur Scheitelpunktabwicklung ein weiteres Dreieck hinzufügt, beträgt die Summe 240°. Dies ist die Entwicklung der Spitze des Oktaeders. Das Hinzufügen eines fünften Dreiecks ergibt einen Winkel von 300° – wir erhalten die Entwicklung der Spitze des Ikosaeders. Wenn wir ein weiteres, sechstes Dreieck hinzufügen, beträgt die Winkelsumme 360° – diese Entwicklung kann natürlich keinem konvexen Polyeder entsprechen.

Kommen wir nun zu den quadratischen Flächen. Eine Abwicklung von drei quadratischen Flächen hat einen Winkel von 3 x 90° = 270° – dadurch entsteht die Spitze eines Würfels, der auch Hexaeder genannt wird. Durch Hinzufügen eines weiteren Quadrats vergrößert sich der Winkel auf 360° – diese Entwicklung entspricht keinem konvexen Polyeder mehr.

Drei fünfeckige Flächen ergeben einen Scanwinkel von 3 x 108° = 324° – der Spitze des Dodekaeders. Wenn wir ein weiteres Fünfeck hinzufügen, erhalten wir mehr als 360°.

Bei Sechsecken ergeben bereits drei Flächen einen Scanwinkel von 3 x 120° = 360°, es gibt also kein reguläres konvexes Polyeder mit sechseckigen Flächen. Wenn das Gesicht noch mehr Winkel aufweist, weist der Scan einen noch größeren Winkel auf. Das bedeutet, dass es keine regelmäßigen konvexen Polyeder mit Flächen mit sechs oder mehr Winkeln gibt.

Daher sind wir überzeugt, dass es nur fünf konvexe regelmäßige Polyeder gibt – das Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder mit dreieckigen Flächen, den Würfel (Hexaeder) mit quadratischen Flächen und das Dodekaeder mit fünfeckigen Flächen.

Die fünf regelmäßigen Polyeder oder platonischen Körper waren schon lange vor Platon in Gebrauch und bekannt. Kate Crichlow liefert in ihrem Buch Time Stands Still überzeugende Beweise dafür, dass sie dem neolithischen Volk Großbritanniens mindestens 1000 Jahre vor Platon bekannt waren. Diese Behauptung basiert auf dem Vorhandensein einer Reihe kugelförmiger Steine, die im Ashmolean Museum in Oxford aufbewahrt werden. Diese Steine, deren Größe so dimensioniert war, dass sie in die Hand passten, waren mit geometrisch präzisen Kugelfiguren des Würfels, Tetraeders, Oktaeders, Ikosaeders und Dodekaeders sowie einigen zusätzlichen zusammengesetzten und pseudoregelmäßigen Körpern wie dem Kuboktaeder und dem Iko-Dodekaeder bedeckt. Critchlow sagt: „Was wir haben, sind Objekte, die sicherlich auf ein Maß an mathematischen Fähigkeiten hinweisen, das dem neolithischen Menschen bisher von einigen Archäologen oder Mathematikhistorikern geleugnet wurde.“

Theaitetos von Athen (417–369 v. Chr.), ein Zeitgenosse Platons, gab mathematische Beschreibung regelmäßige Polyeder und der erste bekannte Beweis, dass es genau fünf davon gibt.

Im Timaios, der von allen anderen Werken Platons den stärksten pythagoreischen Charakter aufweist, stellt er fest, dass die vier Grundelemente der Welt Erde, Luft, Feuer und Wasser sind und dass jedes dieser Elemente mit einem räumlichen Element in Zusammenhang steht Figuren. Die Tradition verbindet den Würfel mit Erde, das Tetraeder mit Feuer, das Oktaeder mit Luft und das Ikosaeder mit Wasser. Platon erwähnt „eine bestimmte fünfte Struktur“, die der Schöpfer bei der Erschaffung des Universums verwendete. So wurde das Dodekaeder mit dem fünften Element in Verbindung gebracht: dem Äther. Der Organisator des Universums, Platon, stellte mit Hilfe grundlegender Formen und Zahlen Ordnung im ursprünglichen Chaos dieser Elemente her. Die Ordnung nach Zahl und Form auf einer höheren Ebene führte zur vorgesehenen Anordnung der fünf Elemente im physischen Universum. Grundlegende Formen und Zahlen begannen dann als Trennlinie zwischen den höheren und höheren zu fungieren Untere Welten. Sie besaßen allein und aufgrund ihrer Analogie zu anderen Elementen die Fähigkeit, die materielle Welt zu gestalten.

Dieselben fünf regelmäßigen Körper werden nach der klassischen Tradition so gezeichnet, dass sie in neun konzentrischen Kugeln enthalten sind und jeder Körper mit einer Kugel in Kontakt steht, die um den nächsten darin befindlichen Körper herum beschrieben wird. Diese Komposition weist viele wichtige Zusammenhänge auf und ist einer Disziplin namens entlehnt Corpo transparente, bezogen auf die Wahrnehmung von Kugeln aus transparentem Material, die ineinander platziert sind. Diese Anweisung wurde von Fra Luca Paccioli vielen großen Männern der Renaissance erteilt, darunter Leonardo und Brunulleschi.

In seinem Buch „Das Geheimnis der Welt“ (Mysterium Cosmographicum), das 1596 veröffentlicht wurde. Johannes Kepler vermutete, dass es einen Zusammenhang zwischen den fünf platonischen Körpern und den sechs damals entdeckten Planeten gibt Sonnensystem. Nach dieser Annahme lässt sich in die Sphäre der Saturnbahn ein Würfel einschreiben, in den die Sphäre der Jupiterbahn passt. Darin wiederum passt das beschriebene Tetraeder in der Nähe der Umlaufbahn des Mars. Das Dodekaeder passt in die Sphäre der Marsumlaufbahn, in die auch die Sphäre der Erdumlaufbahn passt. Und es wird in der Nähe des Ikosaeders beschrieben, in den die Kugel der Venusbahn eingeschrieben ist. Die Sphäre dieses Planeten wird um das Oktaeder herum beschrieben, in das die Sphäre des Merkur passt. Dieses Modell des Sonnensystems wurde Keplers „Kosmischer Kelch“ genannt. Die Diskrepanz zwischen Keplers Modell und den tatsächlichen Abmessungen der Umlaufbahnen (in der Größenordnung von mehreren Prozent) wurde von I. Kepler als „Einfluss der Materie“ erklärt.

Im 20. Jahrhundert wurden platonische Körper in der Theorie verwendet Elektronenhüllenmodell Robert Moon, die auch als Mondtheorie bekannt ist. Moon bemerkte, dass die geometrische Anordnung von Protonen und Neutronen im Atomkern mit der Position der Eckpunkte der verschachtelten platonischen Körper zusammenhängt. Dieses Konzept wurde von J. Keplers Mysterium Cosmographicum inspiriert.

Es gibt Eulers Formel für Polyeder:

F + V = E + 2

In dieser Formel F– Anzahl der Gesichter, V– Anzahl der Eckpunkte, E– Anzahl der Rippen. Diese numerischen Eigenschaften für platonische Körper sind in der Tabelle angegeben.

Quantitative Merkmale der platonischen Körper

Wichtige Beziehungen zwischen Kanten, Durchmessern eingeschriebener und umschriebener Kugeln, Flächen und Volumina regelmäßiger Polyeder werden durch irrationale Zahlen ausgedrückt. Die folgende Tabelle zeigt das Verhältnis der Kantenlänge zum umschriebenen Kugeldurchmesser für jeden der fünf platonischen Körper.

Jedes erhaltene Ergebnis ist eine irrationale Zahl, die nur durch Extraktion ermittelt werden kann Quadratwurzel. Wir sehen, dass hier Zahlen auftauchen, die in der heiligen Mathematik wichtig und besonders sind.

Die Geometrie des Dodekaeders und Ikosaeders hängt mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Tatsächlich sind die Flächen des Dodekaeders Fünfecke, also regelmäßige Fünfecke nach dem Goldenen Schnitt. Schaut man sich das Ikosaeder genau an, erkennt man, dass an jeder Spitze des Ikosaeders fünf Dreiecke aufeinandertreffen, deren Außenseiten ein Fünfeck bilden. Allein diese Tatsachen reichen aus, um uns davon zu überzeugen, dass der Goldene Schnitt eine bedeutende Rolle bei der Gestaltung dieser beiden platonischen Körper spielt. Diese beiden Figuren sind das Gegenteil voneinander: Beide bestehen aus 30 Kanten, aber trotzdem hat das Ikosaeder 20 Flächen und 12 Eckpunkte und das Dodekaeder 12 Flächen und 20 Eckpunkte. Ebenfalls invers zueinander sind das Oktaeder und das Hexaeder sowie das Theataeder zu sich selbst.

Es gibt erstaunliche geometrische Verbindungen zwischen allen regelmäßige Polyeder. Zum Beispiel, Würfel Und Oktaeder sind dual, das heißt, sie ergeben sich voneinander, wenn die Schwerpunkte der Flächen des einen als Eckpunkte des anderen genommen werden und umgekehrt. Ebenso dual Ikosaeder Und Dodekaeder. Tetraeder dual zu sich selbst. Ein Dodekaeder entsteht aus einem Würfel, indem auf seinen Flächen „Dächer“ konstruiert werden (Euklidische Methode); die Eckpunkte eines Tetraeders sind alle vier Eckpunkte des Würfels, die nicht paarweise entlang einer Kante benachbart sind, d. h. alle anderen regelmäßigen Polyeder können es sein aus dem Würfel gewonnen.

Robert Lawlor zeigt in seiner Arbeit, dass platonische Körper auf der Grundlage des Ikosaeders konstruiert werden können. Er schreibt: „Wenn wir alle inneren Eckpunkte des Ikosaeders verbinden, indem wir von jedem von ihnen drei Linien zeichnen, die jeden Eckpunkt mit dem gegenüberliegenden verbinden, und dann von den beiden oberen Eckpunkten vier Linien zu den beiden gegenüberliegenden zeichnen, so dass diese Wenn sich die Linien in der Mitte treffen, werden wir in Übereinstimmung mit dem Gesagten auf natürliche Weise die Kanten des Dodekaeders konstruieren. Diese Konstruktion erfolgt automatisch, wenn sich die inneren Linien des Ikosaeders schneiden. Nachdem wir das Dodekaeder erstellt haben, können wir einfach sechs seiner Eckpunkte und den Mittelpunkt verwenden, um einen Würfel zu konstruieren. Aus den Diagonalen des Würfels können wir ein sternförmiges oder ineinander verschlungenes Tetraeder konstruieren. Die Schnittpunkte des Sterntetraeders mit dem Würfel geben uns den genauen Ort für die Konstruktion des eingeschriebenen Oktaeders. Dann wird im Oktaeder selbst unter Verwendung der inneren Linien des Ikosaeders und der Eckpunkte des Oktaeders ein zweites Ikosaeder erhalten. Wir haben den gesamten Zyklus durchlaufen, fünf Phasen von Saat zu Saat. Und solche Aktionen stellen eine endlose Abfolge dar.

Tetraeder

Das einfachste reguläre Polyeder ist das Tetraeder. Für Platon entspricht es dem Element Feuer. In der Physik kann „Feuer“ mit dem Zustand von Plasma in Zusammenhang gebracht werden. Der Tetraeder hat unter den platonischen Körpern die geringste Anzahl an Flächen und ist ein dreidimensionales Analogon des flachen. regelmäßiges Dreieck, das unter den regulären Polygonen die kleinste Seitenzahl hat. Seine vier Flächen sind gleichseitige Dreiecke. Vier ist die kleinste Anzahl von Kanten, die einen Teil des dreidimensionalen Raums trennen. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von drei Dreiecken. Alle Polyederwinkel eines Tetraeders sind einander gleich. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 180°. Ein Tetraeder hat also 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten.

Oktaeder

Das Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Für Platon entspricht es dem Element Luft. In der Physik kann „Luft“ mit dem gasförmigen Zustand der Materie in Zusammenhang gebracht werden. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von vier Dreiecken. Gegensätzliche Gesichter liegen darin parallele Ebenen. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 240°. Somit hat das Oktaeder 8 Flächen, 6 Eckpunkte und 12 Kanten.

Ikosaeder

Das Ikosaeder ist neben dem Tetraeder und dem Oktaeder einer der fünf platonischen Körper. Für Platon entspricht es dem Element Wasser. In der Physik kann „Wasser“ mit dem flüssigen Zustand der Materie in Zusammenhang gebracht werden. Das Ikosaeder besteht aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von fünf Dreiecken. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 300°. Somit hat das Ikosaeder 20 Flächen, 12 Eckpunkte und 30 Kanten.

Hexaeder

Ein Hexaeder oder Würfel besteht aus sechs Quadraten. Für Platon entspricht es dem Element Erde. In der Physik kann „Erde“ mit dem festen Zustand der Materie in Zusammenhang gebracht werden. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von drei Quadraten. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 270°. Ein Würfel hat also 6 Flächen, 8 Eckpunkte und 12 Kanten.

Dodekaeder

Das Dodekaeder besteht aus zwölf gleichseitigen Fünfecken. Für Platon entspricht es dem fünften Element – ​​dem Äther. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von drei Fünfecken. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 324°. Somit hat das Dodekaeder 12 Flächen, 20 Eckpunkte und 30 Kanten.

Regelmäßige Polyeder kommen in der belebten Natur vor. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war Ernst Haeckel ( Ernst Haeckel) beschrieb eine Reihe von Organismen, deren Skelettformen verschiedenen regelmäßigen Polyedern ähneln. Zum Beispiel: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometrischeus und Circorrhegma dodecahedra. Die Skelettformen dieser Organismen spiegeln sich in ihren Namen wider.

Skelett einzelliger Organismus Feodaria ( Circogoniaicosaeder) hat die Form eines Ikosaeders. Die meisten Feudalherren leben weiter Tiefsee und dienen als Beute für Korallenfische. Doch das einfachste Tier versucht sich zu schützen: Aus den 12 Spitzen des Skeletts ragen 12 Hohlnadeln hervor. Die Enden der Nadeln sind mit Widerhaken versehen, die den Nadelschutz noch wirksamer machen.

Viele Viren, z.B. Herpes haben die Form eines regelmäßigen Ikosaeders. Virusstrukturen bestehen aus sich wiederholenden Proteinuntereinheiten, wobei das Ikosaeder die größte davon ist passende Form diese Strukturen zu reproduzieren.

Die Kristallgitter vieler Mineralien haben die Form platonischer Körper.

Die Herstellung von Schwefelsäure, Eisen und speziellen Zementsorten ist ohne schwefelhaltigen Pyrit nicht möglich ( FeS). Kristalle davon chemische Substanz haben die Form eines Dodekaeders. Das Mineral Sylvit hat Kristallgitter in Form eines Würfels. Pyritkristalle haben die Form eines Dodekaeders, während Cuprit Kristalle in Form von Oktaedern bildet.

Platonische Körper sind ein sehr wichtiges Studienobjekt, sowohl aus Sicht der Heiligen Mathematik als auch aus Sicht Naturwissenschaften. Platonische Körper kommen überall vor, von Viren, von denen viele eine ikosaedrische Form haben, bis hin zu komplexen Makrostrukturen wie dem Sonnensystem.

Anton Muchin

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