Digitale Modellierung. Nicht-algorithmische digitale Modellierungsmethoden

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Unregelmäßige Platzierung von Höhenmarkierungen in beliebigen Netzwerkknoten

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Anbringen von Markierungen entlang von Konturlinien mit einer bestimmten Schrittweite

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Ermitteln von Höhen an den Schnittpunkten von Konturen mit Reliefstrukturlinien

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Datenquelle für DEM

Die Hauptquellen für die Erstellung von DEMs sind großmaßstäbliche topografische Karten. Die typische Technologie zur Erstellung eines DEM basiert auf der Digitalisierung (Konturierung) von Höhenlinien als Hauptbestandteil und Höhen. Die Verwendung kleinmaßstäblicher Karten ist aufgrund von Generalisierungsbedingungen eingeschränkt. Auf solchen Karten steht die geometrische Genauigkeit im Widerspruch zur geografischen Wahrhaftigkeit und morphologischen Korrespondenz, und die Metrik wird normalerweise geopfert. In Theorie und Praxis der Geoinformatik ist nachgewiesen, dass die Verwendung von Karten im Maßstab 1:500.000 und kleiner als Ausgangsmaterial für die Erstellung von DEMs sinnlos ist.

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DEM-Formate

Typischerweise werden die Primärdaten zum Erstellen eines neuen DEM (traditionell aus Karten gewonnen) auf eines der beiden am häufigsten verwendeten Präsentationsformate reduziert: GRID-Modelle und TIN-Modelle. Das erste Modell ähnelt in vielerlei Hinsicht dem Rastermodell räumlicher Daten: Es beinhaltet die Aufteilung des Kartenraums in weitere unteilbare Elemente (Pixel), innerhalb derer die Höhe Erdoberfläche gilt als konstant. Pixel bilden Quadrate einer regelmäßigen, normalerweise rechteckigen Höhenmatrix, deren Abstand die räumliche Auflösung des DEM bestimmt.

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GITTER.1

Bei der Erstellung von GRID-Modellen wird im ersten Schritt das Untersuchungsgebiet in quadratische Abschnitte, Abschnitte, geometrische Abmessungen die vorab auf der Grundlage der Qualität der Quellenmaterialien, der Forschungsziele usw. festgelegt werden technische Mittel(Gitter aus dem Englischen übersetzt - Gitter, Gitter). Kleine Pixel vermitteln die Unregelmäßigkeiten der Erdoberfläche detaillierter, aber die Erstellung solcher DEMs erfordert umfangreiche Quellmaterialien und die daraus resultierende Zahlenreihe ist riesig und schwer zu verarbeiten. Typischerweise wird die Pixelgröße im Kartenmaßstab auf 1 - 2 mm eingestellt (bei einer Karte im Maßstab 1:100.000 beträgt die Pixelgröße beispielsweise 100 - 200 m am Boden). l = 1 – 2 mm

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GITTER 2

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GITTER.3

Anschließend werden gemäß den Interpolationsregeln die Höhenwerte aller anderen Pixel ermittelt. Das Relief wird durch eng aneinanderliegende Parallelepipede unterschiedlicher Höhe nachgeahmt.

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GITTER.4

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NETZ. Ergebnis

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TIN.1

Die Essenz des TIN-Modells liegt in seinem Namen: Trianguliertes unregelmäßiges Netzwerk. Es handelt sich um ein Netzwerk aus Dreiecken, an deren Spitzen sich Höhenmarkierungen befinden. Es ist wie folgt aufgebaut. Alle Punkte mit bekannten Höhen werden paarweise durch Segmente verbunden, sodass sie sich nirgendwo schneiden; andernfalls belassen Sie das kürzeste Segment. Das resultierende Netzwerk von Dreiecken in der Topographie wird als Elemente der Delaunay-Triangulation bezeichnet. IN beschreibende Geometrie Eng verwandt mit der Delaunay-Triangulation sind Thiessen-Polygone oder Voronoi-Diagramme, die eine Reihe besonderer Eigenschaften aufweisen. Dadurch erscheint die simulierte Oberfläche facettenreich.

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TIN.2

X Y Z dreikantige Flächen

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TIN.4

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Interpolation in DEM

Ein wichtiges Element bei der Erstellung eines DEM, unabhängig vom Präsentationsformat, ist die Interpolation – d. h. Ermitteln der Höhen der Erdoberfläche eines beliebigen Punktes, für den nur die Plankoordinaten X und Y bekannt sind, unter Verwendung eines bestimmten Netzwerks von Referenzpunkten, sogenannten Interpolationsknoten, für die alle drei Koordinaten bekannt sind – X, Y und Z. Für GRID In Modellen ist die Interpolation erforderlich, um kontinuierliche DEMs zu erhalten, die auf diskreten, nicht unbedingt regelmäßigen Referenzpunkten basieren. In TIN-Modellen wird sie verwendet, um ein Netzwerk von Dreiecken zu verdichten, das normalerweise sehr dünn ist. Alle Interpolationsverfahren werden in globale und lokale sowie exakte und näherungsweise unterteilt.

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Globale Internetpolation

Bei der globalen Interpolation werden die Höhen beliebiger Punkte anhand aller Interpolationsknoten ermittelt. In diesem Fall wirkt sich eine Änderung des ursprünglichen Satzes von Kontrollpunkten (Hinzufügen, Löschen usw.) auf das gesamte resultierende DEM aus. globale Interpolation

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Lokale Interpolation

Bei der lokalen Interpolation wird die Höhenberechnung nur in der unmittelbaren Nähe eines Punktes durchgeführt, wobei der Berechnungsalgorithmus viele Male wiederholt wird verschiedene Teile DEM. lokale Interpolation

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Näherungsinterpolation

Näherungsmethoden basieren auf der Berücksichtigung von Ungenauigkeiten oder sogar Fehlern in den Quelldaten und spiegeln daher nur den allgemeinen Trend der Oberfläche wider, ohne sie zu reproduzieren genauer Wert Höhen an Referenzpunkten.

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Genaue Interpolation

Präzise Interpolationsmethoden bewahren die Höhen an den Referenzpunkten, auf denen die Interpolation selbst basiert, und die Oberfläche verläuft durch alle Punkte mit bekannten Anwendungen.

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Lineare Interpolation

Unter den spezifischen Implementierungen von Interpolationsalgorithmen wird am häufigsten die lineare Interpolation verwendet, die von Punkt zu Punkt entlang gerader Liniensegmente durchgeführt wird. z x oder y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Seriennummern der Rasterzellen d d0 z1 z2 z0 z0 = z1 + (z2 – z1) d0 / d

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Inverse Gewichtsinterpolation

Eine andere Methode – die Methode der inversen Gewichtungskoeffizienten – ermöglicht es Ihnen, bei der Interpolation den Einfluss nahegelegener Punkte stärker und in geringerem Maße auch entfernter Punkte zu berücksichtigen. z x oder y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Seriennummern der Rasterzellen d2 z1 z2 z0 z0 = (d1 z1 + d2 z2) / (d1 + d2) d1

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Interpolation des nächsten Nachbarn

Bei der nächsten Methode – der Nearest-Neighbor-Methode – wird die Höhe des Punktes ermittelt gleiche Höhe der nächstgelegene Bezugspunkt. z x oder y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Seriennummern der Rasterzellen d2 z1, z0 z2 z0 = z1 |wenn d1

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Spline-Interpolation

Die nächste Interpolationsmethode wird Spline-Methode (Spline wird aus dem Englischen als elastisches Lineal übersetzt) ​​oder stückweise polynomielle Glättung bezeichnet.

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Enden der Segmente gekrümmte Segmente des Splines f3´(z, x[y]) f1(z, x[y]) f2(z, x[y]) f3(z, x[y]) f4(z, x[ y] ) f5(z, x[y]) f1´´(z, x[y]) z x oder y z x oder y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Seriennummern der Rasterzellen z1 z2 z0 z0 = f( z, x [y]) x[y]1 z3 z4 x[y]2 x[y]3 x[y]4 f(z, x[y])

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Näherungsinterpolation

Alle betrachteten Interpolationsmethoden sind genau. Am beliebtesten sind jedoch Approximationsmethoden: Kriging mit Polynominterpolation.

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In Näherungsmethoden wird das Relief der Erdoberfläche als eine sehr komplexe Funktion der Form z = F(x, y) verstanden, d.h. Die Höhe eines Punktes hängt von seiner räumlichen Lage ab. Diese Funktion ist unbekannt und undefinierbar, da sie eine Vielzahl von Ursachen und Einflussfaktoren auf die Linderung berücksichtigt. Sie kann jedoch durch eine einfachere Funktion ersetzt werden, deren Eigenschaften bekannt sind, und das Relief kann in der Form z = f(x, y) + ε dargestellt werden, wobei ε ein unzerlegbarer Rest mit sehr kleinem Wert ist: = ε→ 0.

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Polynominterpolation

Bei der Polynominterpolation erfolgt das Ermitteln der Höhen von Zwischenpunkten z0 durch Lösen von Polynomen eines bestimmten Grades m: wobei aij die Polynomkoeffizienten und x und y die Netzwerkkoordinaten sind. Die Koeffizienten des Polynoms werden unter der Bedingung der Minimierung von ε bestimmt; hierfür ist es erforderlich, dass die Anzahl der in die Berechnung einbezogenen Referenzpunkte nicht kleiner als (m + 1)·(m + 2) / 2 ist. Die Ordnung des Polynoms gibt die Anzahl der abwechselnden Maxima oder Minima der approximierenden Oberfläche an, die gleich m – 1 ist.

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Kriging.1

Bei der Kriging-Methode wird die Höhenvariabilität in drei Komponenten unterteilt: Trend e Autokorrelation e´ Randome´´ Am Beispiel einer eindimensionalen Funktion können die Höhenwerte z an Punkten x dargestellt werden als: z( x)= e(x) + e´(x) + e ´´(x).

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Kriging.2

Die Trendkomponente spiegelt die Richtung der Höhenänderungen wider. Die Autokorrelation charakterisiert eine physikalisch schwer zu erklärende Variation, die von benachbarten Punkten abhängt – ein gewisses statistisches Rauschen, das einem konstanten Wert entspricht. Es gibt einfaches und universelles Kriging. Beim einfachen Kriging wird der Trend von e(x) als konstant angenommen und als arithmetisches Mittel der Höhe behandelt. Beim Universal Kriging wird der Trend üblicherweise durch Polynome ersten oder zweiten Grades modelliert.

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Kriging.4

z x z x e(x) e´(x) e´´(x) z(x) = e(x) + e´(x) + e´´(x)

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Digitale Modellierung

eine Methode zur Untersuchung realer Phänomene, Prozesse, Geräte, Systeme usw., basierend auf der Untersuchung ihrer mathematischen Modelle (siehe Mathematische Modelle) ( mathematische Beschreibungen) mit einem digitalen Computer. Das vom Digitalrechner ausgeführte Programm ist auch eine Art Modell des untersuchten Objekts. Bei der digitalen Modellierung werden spezielle problemorientierte Modellierungssprachen verwendet; Eine der am weitesten verbreiteten Sprachen in der Modellierung ist die in den 60er Jahren entwickelte CSMP-Sprache. in den USA. Die digitale Mathematik zeichnet sich durch ihre Klarheit aus und zeichnet sich durch einen hohen Automatisierungsgrad des Prozesses der Untersuchung realer Objekte aus.

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Bücher

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• Software für Geodäsie, Fotogramme, Kataster, Ingenieurwesen. aus. , Braverman Boris Aronovich. Berücksichtigt werden die Möglichkeiten der Verwendung von Programmierelementen in der Sprache C in der Microsoft Visual Studio-Umgebung zur Lösung verschiedener Geomatikprobleme. Der Zusammenhang zwischen Katasterprozessen und...

Die digitale Modellierung entwickelt sich derzeit am dynamischsten. Es hängt mit zusammen intensive Entwicklung mathematische Software, die in Form von Anwendungssoftwarepaketen vorliegt. Durch den Einsatz dieser Pakete wird die Produktivität der Modellierung verbessert und gleichzeitig vereinfacht.

Vorteile der digitalen Modellierungsmethode:

1. Jede Klasse von Problemen, die einer mathematischen Interpretation unterliegen, wird gelöst;

2. Hohe Genauigkeit der Lösung (nur durch die Zeit begrenzt, die zur Lösung des Problems benötigt wird);

3. Einfacher Übergang von einer Aufgabe zur anderen (Sie müssen nur das Programm neu starten);

4. Möglichkeit der Untersuchung hochdimensionaler Objekte.

Nachteil der digitalen Modellierungsmethode– endgültige Simulationszeit, die möglicherweise nicht mit der Echtzeit übereinstimmt.

Ein digitaler Computer ist komplex technische Geräte, in dem Prozesse ablaufen können, die Aktionen mit Zahlen darstellen (modellieren). Es sind Aktionen auf Zahlen, die die Essenz von Rechenoperationen bei der numerischen Lösung verschiedener mathematischer Probleme ausmachen. Simulation des numerischen Lösungsprozesses mathematisches Problem Auf einem digitalen Computer bedeutet praktisch, dass es automatisch mithilfe eines digitalen Computers gelöst werden muss.

Zahlen können nicht nur die Bedeutung konstanter und variabler Größen ausdrücken, sondern auch symbolische bedingte Modelle einer Vielzahl anderer Objekte sein – Buchstaben, Wörter, Objekte, Phänomene usw. Dies ermöglicht es uns, verschiedene nicht-rechnerische Aufgaben auf Operationen mit Zahlen zu reduzieren, beispielsweise die Bestimmung der Anzahl von Objekten mit gegebene Eigenschaften. Dadurch ist es möglich, auf einem digitalen Computer das Verfahren zur Lösung eines nicht-rechnerischen Problems zu simulieren, d.h. maschinelle Umsetzung dieser Lösung.

Der Funktionsprozess eines materiellen Objekts stellt eine sequentielle Änderung seiner Zustände im Laufe der Zeit dar, die jeweils durch spezifische Werte bestimmter physikalischer Größen bestimmt werden. Wenn das Objekt ein kontinuierliches System ist, dann sind diese Größen kontinuierliche Funktionen der kontinuierlichen Zeit.

Eine mathematische Beschreibung eines Objekts besteht aus verschiedenen mathematischen Formen, um quantitative Beziehungen zwischen Variablen und Konstanten auszudrücken. Dies sind verschiedene Funktionen, Gleichungen, Gleichungssysteme, Bedingungen für die Eindeutigkeit ihrer Lösungen, Ungleichungen und andere mathematische Darstellungen.

Wenn eine mathematische Beschreibung der Funktionsweise des ursprünglichen Objekts bekannt ist, wird gemäß dieser Beschreibung ein Prozess auf Zahlen definiert, die die Werte von Größen ausdrücken, die den Zustand des Objekts charakterisieren, und dieser Prozess wird in einem digitalen Computer angezeigt, dann wird der Der vom digitalen Computer implementierte Prozess ist ein materielles, funktionales, formales, mathematisch ähnliches digitales Modell des Originals.

Die diskrete Funktionsweise eines digitalen Computers erfordert in der Regel die Reduzierung der ursprünglichen mathematischen Beschreibung des Originals auf eine für die digitale Modellierung geeignete Form. Zunächst ist eine Diskretisierung kontinuierlicher Größen erforderlich. In diesem Fall unterliegen stetige Funktionen einer Quantisierung nach Ebene und Argument. Dadurch wird aus einer stetigen Funktion eines stetigen Arguments y = f(t) eine diskrete Funktion eines diskreten Arguments

T y k y = f (Tk),

wobei k und k y Zahlen sind, die die Werte 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... annehmen; T und Ty sind Quanten der Variablen t und y.

Bei der Pegelquantisierung wird der y-Wert durch eine entsprechende Zahl mit einer bestimmten Bittiefe ersetzt, begleitet von einem Rundungsfehler

Dy< T y /2.

Da in modernen Digitalcomputern die Anzahl der Ziffern groß ist (32 oder mehr) und der Fehler vernachlässigbar ist, können wir in der Praxis davon ausgehen, dass die Funktionsweise digitaler Computer durch Gitterfunktionen der Form beschrieben wird

y = f (Tk) = f [k]

und modelliert sie.

Die digitale Modellierung des Originals erfordert eine Algorithmisierung der mathematischen Beschreibung des Originals. Ein Algorithmus ist eine genau definierte Regel zur Durchführung von Rechenoperationen an Zahlen, deren Abfolge den allgemeinen Prozess der Umwandlung von Quelldaten in das Ergebnis der Lösung des entsprechenden Problems darstellt. Die Algorithmusisierung einer mathematischen Beschreibung besteht darin, einen Algorithmus zu erhalten, der dieser Beschreibung entspricht. Wenn beispielsweise die Funktionsweise des Originals beschrieben wird Differentialgleichung, dann besteht die Algorithmisierung darin, einen Algorithmus zur numerischen Lösung dieser Gleichung zu erstellen. Im Wesentlichen besteht die Algorithmisierung einer mathematischen Beschreibung darin, sie in eine für die digitale Modellierung geeignete Form zu bringen. Es wird auf der Grundlage der ausgewählten numerischen Methode zur Lösung des Problems durchgeführt, wodurch Sie die Lösung auf arithmetische Operationen reduzieren können. Gleichzeitig stellt sich oft heraus nützliche Anwendung Gitterfunktionsapparat

Ein Algorithmus kann in drei Hauptformen dargestellt werden: analytisch, verbal und strukturell.

Die analytische Form eines Algorithmus ist sein Ausdruck als explizite Funktion der entsprechenden Argumente oder als wiederkehrende Formel. Die Form ist sehr kompakt, die Einsatzmöglichkeiten sind jedoch begrenzt.

Die verbale Form eines Algorithmus ist seine Beschreibung in natürlicher Sprache, detaillierte Anweisungen für eine Person, die ein Problem manuell auf Papier löst. Die Form ist universell, aber umständlich und unübersichtlich.

Die Strukturform eines Algorithmus ist seine Beschreibung in Form eines Blockdiagramms, das aus einzelnen Blöcken besteht, die durch Geraden verbunden sind. Jeder Block entspricht einer Operation mit Zahlen. Die Form ist universell, kompakt und visuell. Daher wird es am häufigsten verwendet.

Im Allgemeinen besteht der Prozess der digitalen Computermodellierung aus den folgenden Phasen:

1. Ausarbeitung des Ausgangsalgorithmus, d.h. Algorithmisierung der mathematischen Beschreibung des Originals.

2. Erstellen eines Zwischenalgorithmus in einer algorithmischen Sprache.

3. Erhalten eines Maschinenalgorithmus.

4. Debuggen des Programms.

5. Maschinelle Umsetzung der Problemlösung.

Die ersten vier Vorbereitungsstufen werden durch die Verwendung von Standardalgorithmen und deren Entsprechung erheblich vereinfacht Standardprogramme, vorkompiliert und wiederverwendbar zur Lösung von Problemen wie der Berechnung von Elementarfunktionen, der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, der Konvertierung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes usw.

Eine Reihe von Software, die darauf ausgelegt ist, die Arbeitsintensität der Vorbereitungsarbeiten zu verringern, die Effizienz der Nutzung einer Maschine zu steigern und deren Bedienung zu erleichtern, wird als digitale Computersoftware bezeichnet.

Bei der digitalen Modellierung hat man es am häufigsten mit Gitterfunktionen f[k] zu tun, die stetigen Funktionen eines stetigen Arguments entsprechen. Die stetige Funktion, die mit den Diskreten einer Gitterfunktion zusammenfällt, wird als Einhüllende dieser Gitterfunktion bezeichnet. Jede kontinuierliche Funktion f(t) kann als Hülle verschiedener Gitterfunktionen f i [k] = f(T i k) dienen, die sich im Parameter T i – der Abtastperiode der Funktion f(t) – unterscheiden. Jede Gitterfunktion kann viele verschiedene Hüllen haben.

Verschieden mathematische Formen und Ideen, die charakterisieren oder definieren kontinuierliche Funktion f(t) können wir Analoga zuordnen, die die Gitterfunktion f(k) charakterisieren oder definieren. Ein Analogon der ersten Ableitung der Funktion f(t)

sind die erste Differenzengleichung der Funktion f[k]

Diese. Es erfolgt ein Übergang zu numerischen Lösungsmethoden.

So endlich,

* Der erste Entwurfsschritt ist die Auswahl des am besten geeigneten mathematischen Modells. Diese Phase soll den Erhalt des erfolgreichsten mathematischen Modells und die Entwicklung von Anforderungen an die Bedingungen des Modells sicherstellen;

* Die zweite Phase des Designprozesses ist die Vorbereitung eines mathematischen Modells für die Simulation. Das Problem wird gelöst, indem der diskrete Prozess in ein Blockdiagramm übertragen und das Gleichungssystem in eine diskrete Form gebracht wird. Diese Phase endet mit zwei Ergebnissen: einer mathematischen Beschreibung und einem Blockdiagramm des gesamten diskreten Systems. Das Strukturdiagramm des resultierenden diskreten Systems muss hinsichtlich des Informationsflusses mit dem Strukturdiagramm eines kontinuierlichen Systems identisch sein;

* Die dritte Stufe besteht darin, ein Programm zur Implementierung zu schreiben mathematische Modellierung. Dies ist eine entscheidende Phase, die in der Regel die strikte Einhaltung von Zeitbeziehungen im synthetisierten mathematischen Modell beinhaltet nai größere Zahl Probleme treten beim Übergang von Aufgaben der 2. Stufe zu Aufgaben der 3. Stufe auf;

* In der vierten Phase wird das Modell getestet, überprüft und debuggt. Anschließend erhält man ein fertiges Modell.

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„Digitale Modellierung“ in Büchern

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