Differentialrechnung von Funktionen einer und mehrerer Variablen. Die Entstehung der Differentialrechnung als Beginn einer modernen Wissenschaft

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Die Differentialrechnung ist ein Zweig der mathematischen Analyse, der sich hauptsächlich mit den Konzepten der Ableitung und des Differentials einer Funktion befasst. In der Differentialrechnung werden die Regeln zur Berechnung von Ableitungen (Differenzierungsgesetze) und zur Anwendung von Ableitungen zur Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen untersucht.

Bei der Betrachtung entstanden die zentralen Konzepte der Differentialrechnung – Ableitung und Differential große Zahl Probleme in den Naturwissenschaften und der Mathematik, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigsten davon sind das physikalische Problem der Bestimmung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung und das geometrische Problem der Konstruktion einer Tangente an eine Kurve. Schauen wir uns jeden von ihnen im Detail an.

Folgen wir dem italienischen Wissenschaftler G. Galileo bei der Untersuchung des Gesetzes des freien Falls von Körpern. Heben wir den Kieselstein an und lassen ihn dann aus der Ruhestellung los. Sei t die vom Beginn des Sturzes gezählte Zeit und s(t) die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke. Galileo hat experimentell herausgefunden, dass die Abhängigkeit s(t) die folgende einfache Form hat:

s(t) = (1/2)gt 2 ,

Dabei ist t die Zeit in Sekunden und g eine physikalische Konstante von etwa 9,8 m/s 2.

Die Bewegung eines frei fallenden Körpers ist deutlich ungleichmäßig. Die Fallgeschwindigkeit v nimmt allmählich zu. Doch wie genau sieht die v(t)-Beziehung aus? Es ist klar, dass wir, wenn wir die Abhängigkeit s(t), also das Bewegungsgesetz eines fallenden Körpers, kennen, hieraus grundsätzlich einen Ausdruck für die Geschwindigkeit v(t) als Funktion der Zeit erhalten können .

Versuchen wir, die Abhängigkeit von v von t zu finden. Wir werden wie folgt argumentieren: Wir legen den Zeitpunkt t fest, zu dem wir den Wert der Geschwindigkeit v(t) wissen wollen. Sei h eine kurze Zeitspanne, die seit dem Zeitpunkt t verstrichen ist. Während dieser Zeit legt der fallende Körper eine Strecke zurück, die s(t + h) – s(t) entspricht. Wenn das Zeitintervall h sehr klein ist, hat die Geschwindigkeit des Körpers während der Zeit h keine Zeit, sich merklich zu ändern. Wir können also davon ausgehen, dass, wenn h klein ist, ungefähr

s(t + h)-s(t) ≈ v(t) h, (1)

(s(t + h)-s(t))/h ≈ u(t) (2)

und die letzte Näherungsgleichung ist umso genauer, je kleiner h ist (je näher der Wert von h an Null liegt). Dies bedeutet, dass der Wert v(t) der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t als Grenze betrachtet werden kann, zu der das Verhältnis auf der linken Seite der Näherungsgleichung (2) tendiert und die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall ab diesem Zeitpunkt ausdrückt t bis zum Moment t + h, wenn der Wert h gegen Null geht. Das Obige ist in der Form geschrieben

v(t) = lim h→∞ (s(t + h) - s(t))/h. (2)

Führen wir die in Relation (3) angegebenen Berechnungen auf der Grundlage der von Galileo gefundenen Abhängigkeit durch

s(t) = (1/2)gt 2 .

Lassen Sie uns zunächst einige grundlegende Berechnungen durchführen:

s(t + h) - s(t) = (1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2 = (1/2)g(t 2 + 2th + ht 2) - ( 1/2)gt 2 = gth + (1/2)gh 2 .;

und jetzt dividiert man durch h, erhält man

(s(t + h) - s(t))/h = gt + (1/2)gh.

Wenn h gegen Null tendiert, tendiert auch der zweite Term der rechts geschriebenen Summe gegen Null, und der erste bleibt konstant, genauer gesagt, unabhängig vom Wert von h, also in unserem Fall

v(t) = lim h→∞ ((1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2)/h = gt,

und wir fanden das Gesetz

Änderungen der Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers. Bitte beachten Sie, dass Formel (3) gleichzeitig sowohl die Definition als auch die Regel zur Berechnung der Werte v(t) der momentanen Änderungsrate der Funktion s(t) angibt.

Da die Geschwindigkeit v(t) selbst eine Funktion der Zeit ist, könnte man die Frage nach der Geschwindigkeit ihrer Änderung aufwerfen. In der Physik wird die Änderungsrate der Geschwindigkeit Beschleunigung genannt. Wenn also v(t) die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist, dann erhalten wir mit der Argumentation wie bei der Ableitung von Formel (3) für die Momentanbeschleunigung a(r) zum Zeitpunkt t den Ausdruck

a(t) = lim h→0 (v(t + h) - v(t))/4. (4)

Sehen wir uns an, was diese Formel für den Fall des freien Falls ergibt, bei dem, wie wir berechnet haben, v(t) = gt:

v(t + h) - v(t) = g(t + h)-gt = gh,

(v(t + h) - v(t))/h = g,

und da g eine Konstante ist, ergibt sich aus (4), dass a (f) = g, d. h. die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers ist konstant und der Wert von g ist genau die physikalische Konstante, die die Beschleunigung von ausdrückt freier Fall an der Erdoberfläche.

Es ist leicht, die völlige Ähnlichkeit der Ausdrücke (3), (4) zu erkennen und zu verstehen, dass wir einen allgemeinen mathematischen Ausdruck für die momentane Änderungsrate einer Variablen gefunden haben. Natürlich hängt das Ergebnis von Berechnungen mit den Formeln (3), (4), wie wir gesehen haben, von der konkreten Art der Funktionen s(t) oder v(t) ab, sondern von den Operationen selbst an diesen Funktionen, die vorgeschrieben sind durch die rechten Seiten der Formeln (3), (4), dasselbe.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass in der mathematischen Analyse für jede Funktion y=f(x) eine wichtige Größe berücksichtigt wird:

f"(x) = lim h→0 (f(x + h)-f(x))/h, (5)

die man die Ableitung der Funktion f nennt.

Die Ableitung spielt somit die Rolle der Änderungsrate der abhängigen Variablen y in Bezug auf die Änderung der unabhängigen Variablen x; Letzterer ist dazu nicht mehr verpflichtet physikalische Bedeutung Zeit.

Der Wert der Ableitung f"(x) hängt vom Wert des Arguments x ab, daher ist die Ableitung f"(x) einer Funktion f(x) wie im Fall der Geschwindigkeit selbst eine Funktion der Variablen x .

Wenn zum Beispiel f(x) = x 3 dann

(f(x + h) - f(x))/h = ((x + h) 3 - x 3)/h = 3x 2 + (3xh + h 2);

Da h außerdem gegen Null tendiert, tendiert der Wert in den letzten Klammern gegen Null und die gesamte rechte Seite tendiert zum Wert 3x 2. Wir haben auf diese Weise herausgefunden, dass, wenn f(x) = x 3, dann f"(x) = 3x 2.

In Formel (5) wird der Wert h der Differenz (x + h) - x als Inkrement des Arguments der Funktion bezeichnet und oft mit dem Symbol ∆x (sprich: Delta x) bezeichnet, und die Differenz f( x + h) - f(x) wird normalerweise mit ∆f (oder genauer gesagt mit ∆f(x, ∆x)) bezeichnet und als Inkrement der Funktion bezeichnet, die dem gegebenen Inkrement des Arguments entspricht. In diesen Notationen hat Ausdruck (5) die Form:

f"(x) = lim ∆x→0 (f(x, ∆x) - f (x))/∆x,

f"(x) = lim ∆x→0 ∆a/∆x.

Somit ist der Wert f"(x) der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion ∆f(x, ∆x), entsprechend der Verschiebung ∆x von der Punkt x, zum Inkrement ∆x des Arguments x, wenn ∆ x gegen Null geht.

Die Operation, die Ableitung einer Funktion zu finden, wird Differenzierung genannt. Aus physikalischer Sicht ist Differenzierung, wie wir jetzt verstehen, die Bestimmung der Änderungsrate einer Variablen.

In der Differentialrechnung werden Ableitungen grundlegender Elementarfunktionen abgeleitet. Lassen Sie uns zum Beispiel angeben, dass die Ableitungen der Funktionen x α, sin x, cos x jeweils die Funktionen αx α-1, cos x und -sin x sind.

In der Differentialrechnung werden außerdem abgeleitet: Allgemeine Regeln Differenzierung:

(cf)" = cf" (Subtrahieren eines konstanten Faktors);

(f 1 ± f 2)“ = f“ 1 ± f“ 2 (Differenzierung der Summe und Differenz von Funktionen);

(f 1 f 2)" = f" 1 f 2 + f 1 f" 2 (Differenzierung des Funktionsprodukts);

(f 1 / f 2)" = (f" 1 f 2 - f 1 f" 2)/f 2 2 (Differenzierung von Funktionsquotienten).

Abschließend gilt auch Folgendes wichtige Regel Differenzierung einer komplexen Funktion: Wenn y = f(u) und u = φ(x), dann ist die Ableitung der Funktion f(φ(x)) gleich f"(u) φ"(x), oder (f(φ (x) ))" =f"(φ(x)) φ"(x).

Die allgemeinen Differenzierungsgesetze erleichtern die Suche nach Ableitungen erheblich und machen die Differenzierung für jede Kombination von Elementarfunktionen für jemanden, der das Einmaleins kennt, zu einer ebenso zugänglichen Operation wie arithmetische Operationen.

Wenn zum Beispiel f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...+ a n x n ein Polynom ist, dann ist f"(x) = (a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = (a 2 x 0)" + (a 1 x 1)" + (a 2 x 2)" + ... + (a n x n) = a 0 (x 0)" + a 1 ( x 1)" + a 2 (x 2)" + a n (x n)" = a 0 (0 x 0-1)" + a 1 (1 x 1-1)" + a 2 (2 x 2- 1) „ + a n (n x n-1)“ = a 1 + 2a 2 x + ... + na n x n-1 .

Oder wenn ψ(x) = sin x 2, dann erhalten wir, indem wir f(u) = = sin u, u = φ(x) = x 2 setzen, dass φ(x) = f(φ(x)) und das bedeutet ψ"(x) = f"(u) φ"(x) = cos u 2x = 2x cos x 2.

Wir haben bereits festgestellt, dass viele Probleme zur Berechnung von Grenzwerten der Form (3), (4), (5) führten, also, wie wir jetzt sagen können, zur Berechnung der Ableitung.

Betrachten wir nun ein weiteres klassisches Beispiel einer rein geometrischen Frage, die durch die Ableitung gelöst wird – die Konstruktion einer Tangente an eine Kurve (siehe Tangente).

Es ist erforderlich, eine gerade Linie T (Abb. 1) zu konstruieren, die am Punkt A die Kurve tangiert – den Graphen der Funktion y = f(x).

Wie bei der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit geht mit der Konstruktion einer Tangente auch eine Klärung des eigentlichen Tangentenbegriffs einher.

Seien (x 0 , y 0) die Koordinaten von Punkt A. Wie bekannt ist, ist jede nicht vertikale Linie, die durch Punkt A verläuft, durch die Gleichung y = y 0 + k (x - x 0) gegeben, wobei k = ( y - y 0) /(x - x 0)

der sogenannte Winkelkoeffizient einer Linie, der ihre Neigung zur horizontalen Achse charakterisiert. In unserem Fall ist y 0 = f(x 0), also lautet die Gleichung der Geraden, die durch Punkt A verläuft, y = f(x 0) + k (x - x 0), und wir möchten den Wert des Koeffizienten wählen k so, dass die Gerade so gut wie möglich an die Kurve y = f(x) „angepasst“ wurde, d Gleichheit f(x) ≈ f(x 0 ) + k (x - x 0), oder, was dasselbe ist, die ungefähre Gleichheit

(f(x) - f(x 0))/(x - x 0) ≈ k,

war möglicherweise genauer für Werte von x nahe x 0 .

Dies ist jedoch eine bekannte Situation und bis zur Umbenennung x - x 0 = h, x = x 0 + h ist dies eine bekannte Beziehung aus Formel (5), daher gilt:

k = lim x→x 0 (f(x) - f(x 0))/(x - x 0) = lim h→0 (f(x 0 + h) - f(x 0)/h (6)

Damit ist die Gleichung gefunden

y = f(x 0) + f"(x 0) (x - x 0) (7)

die gerade Linie, die der beste Weg nähert sich der Kurve y =f(x) in der Nähe des Punktes (x 0 ,f(0)) an. Es liegt nahe, diese Gerade als gewünschte Tangente an die gegebene Kurve am betrachteten Punkt zu betrachten.

Nehmen wir zum Beispiel eine Parabel y = x 2, d.h. f(x) = x 2, dann wird die Tangente daran am Punkt (1; 1) aufgrund von (7) durch die Gleichung y = 1 + 2 gegeben (x - 1 ), die in die kompaktere Form y = 2x - 1 umgewandelt werden kann.

Oben haben wir eine physikalische Interpretation der Ableitung als Momentangeschwindigkeit gegeben, und nun können wir basierend auf der Tangensgleichung (7) eine geometrische Interpretation der Ableitung geben. Der Wert f"(x 0) der Ableitung f"(x) der Funktion f(x) an einem festen Punkt x = x 0 ist nämlich die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x ) am Punkt (x 0 ,f(x 0)).

Dies bedeutet insbesondere, dass in Bereichen der Änderung der Variablen x, in denen f"(x) > 0, die Funktion f(x) zunimmt; wobei f"(x)< 0, функция f(x) убывает, а в точках местных максимумов или минимумов функции ее производная должна обращаться в нуль, ибо касательная в этих точках горизонтальна. Ясно также, что если в некоторой точке x = a производная обратилась в нуль, то нельзя спешить с выводом, что это точка максимума или минимума (см. точку a 4), ибо знак производной может не измениться при переходе через эту точку, и функция будет продолжать возрастать или убывать. Но если производная меняет свой знак при переходе через эту точку (см. точки a 1 , a 2 , a 3), то ясно, что при x = a функция будет иметь или местный максимум, если идет смена знака с «+» на «-» (как в точках a 1 , a 3), или местный минимум, если знаки меняются с «-» на «+» (как в точке a 2).

Die Beobachtungen über den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen oder den Nullstellen der Ableitung mit der Natur der Monotonie (Zunahme, Abnahme) der Funktion oder mit ihren Extrema (Maxima, Minima) haben zahlreiche Anwendungen.

Versuchen wir zum Beispiel, einen solchen rechteckigen Wiesenabschnitt mit Draht einer bestimmten Länge abzuzäunen, um ein möglichst geräumiges Gehege für das Vieh zu erhalten, d. h. Unter den Rechtecken mit einem gegebenen Umfang 2p (d. h. unter den isoperimetrischen Rechtecken) muss man dasjenige finden, das die größte Fläche hat.

Wenn x die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist, dann ist unter der angegebenen Bedingung die Länge der anderen Seite gleich p – x und die Fläche des Rechtecks ist gleich x (p – x). Wir müssen den Maximalwert der Funktion f(x) = x(p - x) im Intervall 0 ≤ x ≤ p finden. Da bei x = 0 oder x = p die Funktion offensichtlich verschwindet (das Rechteck degeneriert zu einem Segment), wird das Maximum bei einem Wert von x erreicht, der zwischen 0 und p liegt. Wie finde ich diesen Wert?

Gemäß der oben gemachten Beobachtung kann der Maximalwert der Funktion f(x) nur bei dem Wert x 0 liegen, bei dem die Änderungsgeschwindigkeit der Funktion Null ist, also f"(x 0) = 0.

Lassen Sie uns anhand der bereits zuvor durchgeführten Berechnungen die Ableitung unserer Funktion ermitteln. Da f(x) = px - x 2, dann f"(x) = p - 2x und f"(x) = p - 2x 0 = 0 für x 0 = (1/2) p. Entsprechend der Bedeutung des Problems sollte die Funktion mit dem gefundenen Wert des Arguments x ein Maximum haben. Dies kann auch formal überprüft werden:

f"(x) > 0 bei x< (1/2) p и f"(x) < 0 при x >(1/2) S.

Somit haben wir herausgefunden, dass das erforderliche Rechteck mit der größten Fläche ein Quadrat ist, dessen Seitenlänge gleich (1/2) p ist.

Die Lösung verschiedener Probleme zum Ermitteln der Maximal- und Minimalwerte von Funktionen oder, wie sie in der Mathematik üblicherweise genannt werden, Probleme zum Ermitteln von Extrema, mit einer einzigen Methode ist eines der frühesten und zugleich beliebtesten und beliebtesten beeindruckende Errungenschaften der mathematischen Analyse (siehe Geometrische Extremumprobleme).

Bisher haben wir in Anlehnung an I. Newton die Ableitung als Hauptkonzept der Differentialrechnung identifiziert. G. W. Leibniz, ein weiterer Begründer der mathematischen Analyse, wählte als Ausgangspunkt den Begriff des Differentials, der, wie wir sehen werden, logisch dem Begriff der Ableitung entspricht, aber nicht mit ihm übereinstimmt. Leibniz fand Regeln für die Berechnung von Differentialen, die den Regeln für die Berechnung von Ableitungen entsprachen, und nannte die von ihm entwickelte Infinitesimalrechnung Differentialrechnung. Dieser Name ist erhalten geblieben. Die oben besprochenen Beispiele werden uns helfen, die folgenden, auf den ersten Blick formalen, aber sehr wichtigen Definitionen der gesamten Differentialrechnung schnell zu verstehen.

Eine Funktion y = f(x) heißt für einen bestimmten Wert x ihres Arguments differenzierbar, wenn das Inkrement ∆f = f(x + h) - f(x) dieser Funktion dem Inkrement h = (x +) entspricht h) - x = ∆x seines Arguments x kann dargestellt werden als

f(x + h) - f(x) = k(x) h + α h, (8)

Dabei ist k(x) ein Koeffizient, der nur von x abhängt, und α ist eine Größe, die gegen Null tendiert, wenn h gegen Null tendiert.

Auf diese Weise,

f(x + h) - f(x) ≈ k(x) h, (9)

diese. Bis zu einem Fehler α h, der im Vergleich zum Wert h des Argumentinkrements klein ist, kann das Inkrement f(x + h) - f(x) der am Punkt x differenzierbaren Funktion durch den Wert k(x) h ersetzt werden , linear bezüglich des Inkrements h des Arguments x.

Diese Näherungsfunktion k(x) h, linear in h, wird Differential der ursprünglichen Funktion f am Punkt x genannt und mit df oder genauer gesagt df(x) bezeichnet.

An jedem Punkt x annähernd lineare Funktion k(x) h ist im Allgemeinen sein eigenes, was durch die Abhängigkeit des Koeffizienten k(x) von x angezeigt wird.

Wenn wir beide Seiten der Gleichung (8) durch h dividieren und berücksichtigen, dass der Wert α gegen Null tendiert, wenn h gegen Null geht, erhalten wir die Beziehung:

lim h→0 (f(x + h) - f(x))/h, (10)

Dies ermöglicht die Berechnung des Differentialkoeffizienten k(x) und zeigt, dass er einfach mit dem Wert der Ableitung f"(x) der Funktion f(x) am Punkt x übereinstimmt.

Wenn also eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann existiert an diesem Punkt der in (10) angegebene Grenzwert, d. h. es enthält eine Ableitung f"(x) und k(x) = f"(x).

Wenn umgekehrt die Funktion f(x) am Punkt x eine durch Gleichung (5) definierte Ableitung hat, dann ist (f(x + h) - f(x))/h = f(x) + α,

wobei die Korrektur a gegen Null tendiert, während h gegen Null tendiert. Wenn wir diese Gleichheit mit h multiplizieren, erhalten wir

f(x + h) - f(x) - f"(x) = f"(x) h + α h, (11)

und das bedeutet, dass die Funktion im Punkt x differenzierbar ist.

Wir sind also davon überzeugt, dass eine Funktion genau dann ein Differential df = k(x) h hat, wenn sie eine Ableitung f"(x) hat und df=f"(x) h. Aber das Differential als Funktion k(x) h linear in h wird vollständig durch den Koeffizienten k(x) = f"(x) bestimmt, daher ist das Finden des Differentials einer Funktion völlig gleichbedeutend mit dem Finden ihrer Ableitung. Deshalb Beide Operationen werden oft mit demselben Begriff bezeichnet – „Differenzierung“, und die Infinitesimalrechnung wird Differentialrechnung genannt.

Wenn Sie ∆x statt h schreiben, dann können Sie statt df= f"(x) h df=f"(x) ∆x schreiben. Wenn wir f(x) = x nehmen, dann ist f"(x) = 1 und dx = 1 ∆x, daher schreiben wir anstelle des Inkrements ∆x der unabhängigen Variablen oft das Differential dx. In dieser Notation erhalten wir eine schöne Notation df=f"(x) dx Differential einer Funktion, von der Leibniz zur Notation df/dx für die Ableitung f"(x) kam und diese als Verhältnis der Differentiale einer Funktion und ihres Arguments betrachtete . Beachten Sie, dass die Notation f"(x) für die Ableitung erst 1770 vom französischen Mathematiker J.L. Lagrange eingeführt wurde und die ursprüngliche Bezeichnung lautete

df/dx oder df(x)/dx

G. Leibniz, das in vielerlei Hinsicht so erfolgreich ist, dass es bis heute weit verbreitet ist.

Bevor wir zeigen, wie das Differential in Näherungsrechnungen verwendet werden kann, werden wir seiner geometrischen und physikalischen Interpretation nachgehen.

Wenn wir in Gleichung (8) x 0 statt x schreiben, dann können wir davon ausgehen, dass in Abb. 1 auf der linken Seite der Gleichung (8) entspricht dem Segment BD (dies ist das Inkrement ∆f der Funktion oder das Inkrement der Ordinate der Kurve y = f(x)), das Differential df=f"(x ) ∆x entspricht dem Segment CD (dies ist das Inkrement der Ordinate der Tangente, die unsere Kurve in der Nähe von Punkt A annähert), und der Rest α h entspricht dem Segment BC, das im Vergleich zum Segment CD kleiner ist , desto kleiner ist das Inkrement ∆x des Arguments. Dieser Umstand spiegelt sich in der Beziehung (11) und der Näherungsgleichheit (9) wider, was bedeutet, dass ∆f.

An körperliche Sprache, wenn f"(x) als die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x interpretiert wird und f(x + h) - f(x) - als der Weg, der während des Zeitintervalls h zurückgelegt wurde, das ab dem Zeitpunkt x verstrichen ist, die ungefähre Gleichheit f (x + h) - f (x) ≈ f"(x) h bedeutet, dass sich in einer kurzen Zeit h die Geschwindigkeit wenig ändert, daher kann die zurückgelegte Strecke wie in (1) mit der Formel f(x) näherungsweise ermittelt werden ) h, was eine gleichmäßige geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit f"(x) ausdrückt.

Gleichheit (11) und die daraus durch Renotation folgende Relation

f(x) ≈ f(x 0) + f(x 0) (x - x 0) (12)

ermöglichen es Ihnen, die Werte der Funktion f(x) an Punkten näherungsweise zu finden x in der Nähe eines Punktes x 0, an dem der Wert f(0) der Funktion selbst und der Wert f"(x 0) ihrer Ableitung sind bereits bekannt.

Sei zum Beispiel f(x) = x α und x 0 = 1. Dann ist f(1)= 1 α = 1, f"(x) = αx α-1 , f"(1) = α1 α-1 = α Wenn wir also x = 1 + ∆ setzen, finden wir aus (12) die folgende Formel (1 + ∆) α ≈ 1 + α ∆ für Näherungsberechnungen, gültig für alle (nicht nur ganzzahligen) Werte von α, vorausgesetzt dass ∆ klein ist. Nach dieser Formel

7 √1,07 = (1 + 0,07) 1/7 ≈ 1 + (1/7) 0,07 = 1,01;

√0,96 = (1 + (-0,04)) 1/2 ≈ 1 + (1/2) (-0,04) = 0,98;

(1,05) 7 = (1 + 0,05) 7 ≈ 1 + 7 0,05 = 1,35.

Die wichtige Formel (12) kann durch die Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung verfeinert werden, die wir nun definieren werden.

Da sich herausstellt, dass die Ableitung f"(x) der Funktion f(x) selbst eine Funktion des Arguments x ist, können wir die Frage aufwerfen, die Ableitung der Funktion f"(x) zu finden, d.h. Funktion (f")"(x), die mit dem Symbol f"(x) bezeichnet wird und die zweite Ableitung der ursprünglichen Funktion f(x) genannt wird. Wenn beispielsweise s(t) das Bewegungsgesetz ist, v(t) = s"(t) - Nullgeschwindigkeit und a(t)=v"(t) die Beschleunigung, dann ist a(t) = s"(t) die zweite Ableitung der Funktion s(t) . Im Allgemeinen können Ableitungen beliebiger Ordnung definiert werden: n-te Ableitung Funktion ist die Ableitung ihrer (n - 1)-ten Ableitung.

Zur Bezeichnung von Ableitungen der Ordnung n werden üblicherweise die Symbole f n (x) oder d n f(x)/dx verwendet

im Gegensatz zu den Symbolen f"(x), f"(x), f""(x), die nur für Ableitungen kleiner Ordnungen (1, 2, 3) verwendet werden.

Wenn man die Ableitungen der Funktionen x α, sin x, cos x kennt, kann man leicht durch Induktion überprüfen, dass die Ableitungen n-ter Ordnung dieser Funktionen jeweils gleich sind

α(α - 1) ... (α - n + 1)x α-n ,

sin(x + nπ/2) , cos(x + nπ/2).

Kehren wir nun zur Formel (12) zurück, in der die Funktion f(x) näherungsweise durch ein Polynom 1. Grades auf der rechten Seite bezüglich x - x 0 ersetzt wird. Es stellt sich heraus, dass die Beziehung (12) ein Sonderfall der allgemeinen Gleichheit ist

f(x) = f(x 0) + f"(x 0)/1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0)/n! (x - x 0) n + r n+1 (13)

sogenannte Taylor-Formel, in der die Größe rn+1, der sogenannte Restterm der Taylor-Formel, beispielsweise in der Form dargestellt werden kann:

r n+1 = f n+1 (ξ)/(n+1)! (x - x 0) n+1 (14)

ähnlich der Form der vorherigen Terme der Formel, jedoch nur hier f n+1 (x) wird nicht am Punkt x 0 berechnet, sondern an einem Punkt, der zwischen x 0 und x liegt.

Diese Informationen reichen jedoch häufig für Berechnungszwecke aus. Wenn also f(x) = sin x und x 0 = 0, dann denken Sie daran

sin n (x) = sin (x + nπ/2), wir erhalten

|r n+1 | = |sin (ξ + (n+1)π/2))/(n+1)! x n+1 | ≤ |x| n+1 /(n+1)!.

Das heißt, wenn zum Beispiel |x| ≤ 1 und n = 6, dann |r 7 |< 10 -3 и потому, подставив в (13) f (k) (0) = sin(/kπ/2), находим формулу:

sinx x ≈ x - x 3 /3! + x 5 /5!, (15)

unter Berücksichtigung jedes x aus dem Intervall [-1; 1] Berechnen Sie den Wert von sin x mit einer Genauigkeit von nicht weniger als 10 -3.

Es kann überprüft werden, dass im betrachteten Fall r n+1 → 0 mit unbegrenzter Zunahme von n ist, sodass wir die folgende Notation vorschlagen können:

sin x = x - x 3 /3! +x 5 /5 + x 7 /7 +...+ (-1) k x 2k+1 /(2k+1)! + ... . (16)

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit gibt es unendlich viele Terme, d. h. es gibt, wie man sagt, eine Reihe. Unter Gleichheit (16) versteht man die Summe einer Reihe im Allgemeinen in dem Sinne, dass für jeden Wert von x die Differenz zwischen sin x und der Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern der Reihe in der Reihenfolge gegen Null geht, wenn die Anzahl der Begriffe erhöht sich unbegrenzt.

Der Wert von Formeln wie (15), (16) besteht darin, dass Sie die Berechnung der Werte einer komplexen Funktion durch die Berechnung der Werte eines Polynoms ersetzen können, das diese annähert. Die Berechnung der Werte eines Polynoms wird auf eine einzige Rechenoperation reduziert, die beispielsweise auf einem elektronischen Computer durchgeführt werden kann.

Serie (16) ist ein Sonderfall der Serie

f(x 0) + f"(x 0)/1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0)/n! (x - x 0) n + ... (17 )

die für jede unendlich differenzierbare Funktion f(x) geschrieben werden kann. Man nennt sie die Taylor-Reihe dieser Funktion (B. Taylor (1685-1731) – englischer Mathematiker). Die Taylor-Reihe (17) hat nicht immer die Funktion f(x), die sie erzeugt hat, als Summe, daher erfordert die Frage nach der Summe der Taylor-Reihe jedes Mal eine bestimmte Studie, zum Beispiel die, die wir oben zur Schätzung durchgeführt haben der Wert des Restes rn+1. Mit einer solchen Argumentation lässt sich das zeigen

cos x = 1 - x 2 /2! + x 4 /4 - ... + (-1) k x 2k /(2k)! +...

für jeden Wert von x und die Gleichheit

(1 + x) α = 1 + α/1! x + α(α-1)/2! x 2 + ... + (α(α-1)...(α-n+1))/n! x n + ...

findet für |x| statt< 1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α - 1)...(α - m) = n(n - 1)...(n - m) = 0 при m >N. Dies bedeutet, dass sich insbesondere für eine positive ganze Zahl n die folgende Beziehung ergibt:

(1 + x) n = 1 + n/1! x + n(n - 1)/2! x 2 + ... + (n(n - 1)...(n - n + 1))/n! x n ist in der Mathematik als Newtonsches Binomial bekannt (siehe Newtonsches Binomial).

Differentialrechnung

ein Zweig der Mathematik, der Ableitungen, Differentiale und ihre Anwendungen zur Untersuchung von Eigenschaften von Funktionen untersucht. Die Ableitung der Funktion y = f(x) ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements?y = y1 - y0 der Funktion zum Inkrement?x = x1 - x0 des Arguments, da?x gegen Null tendiert (falls dies der Fall ist). Grenze existiert). Die Ableitung wird mit f?(x) oder y? bezeichnet; Somit ist das Differential der Funktion y = f(x) der Ausdruck dy = y?dx, wobei dx = ?x das Inkrement des Arguments x ist. Es ist offensichtlich, dass Sie? = dy/dx. Als Vorzeichen für die Ableitung wird häufig das Verhältnis dy/dx verwendet. Die Berechnung von Ableitungen und Differentialen nennt man Differenzierung. Wenn die Ableitung f?(x) wiederum eine Ableitung hat, dann heißt sie die 2. Ableitung der Funktion f(x) und wird mit f??(x) usw. bezeichnet. Die Grundkonzepte der Differentialrechnung lassen sich auf den Fall von Funktionen mehrerer Variablen erweitern. Wenn z = f(x,y) eine Funktion zweier Variablen x und y ist, können wir, nachdem wir einen Wert für y festgelegt haben, z nach x differenzieren; die resultierende Ableitung dz/dx = f?x heißt partielle Ableitung von z nach x. Die partielle Ableitung dz/dy = f?y, partielle Ableitungen höherer Ordnung, partielle und totale Differentiale werden ähnlich definiert. Für Anwendungen der Differentialrechnung auf die Geometrie ist es wichtig, dass die sog. die Steigung der Tangente, d.h. Tangens des Winkels? (siehe Abb.) zwischen der Ox-Achse und der Tangente an die Kurve y = f(x) am Punkt M(x0, y0), ist gleich dem Wert der Ableitung bei x = x0, d.h. f?(x0). In der Mechanik kann die Geschwindigkeit eines geradlinig bewegten Punktes als Ableitung der Bahn nach der Zeit interpretiert werden. Die Differentialrechnung hat (wie auch die Integralrechnung) zahlreiche Anwendungen.

Differentialrechnung

ein Zweig der Mathematik, der Ableitungen und Differentiale von Funktionen und ihre Anwendungen auf das Studium von Funktionen untersucht. Design von D. und. zu einer eigenständigen mathematischen Disziplin ist mit den Namen I. Newton und G. Leibniz (zweite Hälfte des 17. Jahrhunderts) verbunden. Sie formulierten die wichtigsten Bestimmungen von D. und. und zeigte deutlich die gegenseitig inverse Natur der Differenzierungs- und Integrationsoperationen. Von diesem Zeitpunkt an waren D. und. entwickelt sich in engem Zusammenhang mit der Integralrechnung und bildet zusammen mit dieser den Hauptbestandteil der mathematischen Analyse (oder Infinitesimalanalyse). Die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung leitete eine neue Ära in der Entwicklung der Mathematik ein. Es brachte die Entstehung einer Reihe mathematischer Disziplinen mit sich: Reihentheorie, Theorie Differentialgleichung, Differentialgeometrie und Variationsrechnung. Methoden der mathematischen Analyse haben in allen Bereichen der Mathematik Anwendung gefunden. Das Anwendungsgebiet der Mathematik auf naturwissenschaftliche und technische Fragestellungen hat sich ins Unermessliche erweitert. „Erst die Differentialrechnung gibt der Naturwissenschaft die Möglichkeit, nicht nur Zustände, sondern auch Prozesse mathematisch abzubilden: Bewegung“ (F. Engels, siehe K. Marx und F. Engels, Soch., 2. Aufl., Bd. 20, S. 587 ). D. und. basiert auf den folgenden wichtigsten Konzepten der Mathematik, deren Definition und Untersuchung Gegenstand der Einführung in die mathematische Analysis sind: reelle Zahlen (Zahlenstrahl), Funktion, Grenzwert, Kontinuität. Alle diese Konzepte kristallisierten sich heraus und erhielten im Zuge der Entwicklung und Begründung der Differential- und Integralrechnung moderne Inhalte. Die Grundidee von D. und. besteht darin, Funktionen im Kleinen zu studieren. Genauer gesagt: D. und. stellt eine Vorrichtung zur Untersuchung von Funktionen bereit, deren Verhalten in einer ausreichend kleinen Umgebung jedes Punktes dem Verhalten einer linearen Funktion oder eines Polynoms nahe kommt. Als solcher Apparat dienen die zentralen Konzepte der Differentialtheorie: Ableitung und Differential. Der Begriff einer Ableitung entstand aus einer Vielzahl naturwissenschaftlicher und mathematischer Probleme, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigste davon ist die Bestimmung der Geschwindigkeit geradlinige Bewegung Punkte und Konstruieren einer Tangente an eine Kurve. Das Konzept des Differentials ist ein mathematischer Ausdruck der Nähe einer Funktion zur Linearität in einer kleinen Umgebung des untersuchten Punktes. Im Gegensatz zur Ableitung lässt es sich leicht auf Abbildungen eines euklidischen Raums in einen anderen und auf Abbildungen beliebiger linearer normierter Räume übertragen und ist eines der Hauptkonzepte der modernen nichtlinearen Funktionalanalysis. Derivat. Es sei notwendig, die Geschwindigkeit eines sich geradlinig bewegenden materiellen Punktes zu bestimmen. Wenn die Bewegung gleichmäßig ist, ist der vom Punkt zurückgelegte Weg proportional zur Bewegungszeit; Die Geschwindigkeit einer solchen Bewegung kann als der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg oder als Verhältnis des über einen bestimmten Zeitraum zurückgelegten Weges zur Dauer dieses Intervalls definiert werden. Wenn die Bewegung ungleichmäßig ist, sind die vom Punkt in gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Wege im Allgemeinen unterschiedlich. Ein Beispiel für eine ungleichmäßige Bewegung ist ein frei fallender Körper im Vakuum. Das Bewegungsgesetz eines solchen Körpers wird durch die Formel s = gt2/2 ausgedrückt, wobei s ≈ vom Beginn des Falls zurückgelegte Strecke (in Metern), t ≈ Fallzeit (in Sekunden), g ≈ konstanter Wert, Beschleunigung des freien Falls, g » 9,81 m/sec2. In der ersten Sekunde des Sturzes legt der Körper etwa 4,9 m zurück, in der zweiten ≈ etwa 14,7 m und in der zehnten ≈ etwa 93,2 m, d. h. der Fall erfolgt ungleichmäßig. Daher ist die obige Definition von Geschwindigkeit hier nicht akzeptabel. Dabei wird die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum nach (oder vor) einem festen Zeitpunkt t betrachtet; Sie ist definiert als das Verhältnis der Länge des in diesem Zeitraum zurückgelegten Weges zu seiner Dauer. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit hängt nicht nur vom Zeitpunkt t ab, sondern auch von der Wahl des Zeitraums. In unserem Beispiel ist die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit über den Zeitraum von t bis t + Dt gleich. Dieser Ausdruck nähert sich bei einer unbegrenzten Abnahme des Zeitintervalls Dt dem Wert gt an, der als zeitliche Bewegungsgeschwindigkeit bezeichnet wird T. Somit wird die Bewegungsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt als Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert, wenn der Zeitraum auf unbestimmte Zeit abnimmt. Im allgemeinen Fall müssen diese Berechnungen für jeden Zeitpunkt t, das Zeitintervall von t bis t + Dt und das durch die Formel s = f (t) ausgedrückte Bewegungsgesetz durchgeführt werden. Dann ist die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit für den Zeitraum von t bis t + Dt durch die Formel Ds/Dt gegeben, wobei Ds = f (t + Dt) ≈ f (t) und die Bewegungsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist gleich Der Hauptvorteil der Geschwindigkeit in dieser Moment Zeit oder Momentangeschwindigkeit vor der Durchschnittsgeschwindigkeit liegt darin, dass sie wie das Bewegungsgesetz eine Funktion der Zeit t und nicht eine Funktion des Intervalls (t, t + Dt) ist. Andererseits, momentane Geschwindigkeit stellt eine gewisse Abstraktion dar, da die durchschnittliche und nicht die momentane Geschwindigkeit direkt gemessen werden kann. Das Problem führt auch zu einem Ausdruck vom Typ (*) (siehe. Reis.) eine Tangente an eine ebene Kurve an einem Punkt M konstruieren. Die Kurve Г sei der Graph der Funktion y = f (x). Die Position der Tangente wird bestimmt, wenn ihr Winkelkoeffizient gefunden wird, d. h. der Tangens des Winkels a, den die Tangente mit der Ox-Achse bildet. Bezeichnen wir mit x0 die Abszisse des Punktes M und mit x1 = x0 + Dх ≈ Abszisse des Punktes M

Steigungsfaktor Sekante MM1 ist gleich

wobei Dy = M1N = f (x0 + Dx) ≈ f (x0) ≈ Inkrement der Funktion auf dem Segment. Wenn wir die Tangente am Punkt M als Grenzposition der Sekante MM1 definieren, wenn x1 gegen x0 tendiert, erhalten wir

Wenn wir vom mechanischen oder geometrischen Inhalt der oben genannten Probleme abstrahieren und die gemeinsame Lösungsmethode für sie hervorheben, kommen wir zum Konzept der Ableitung. Die Ableitung der Funktion y = f (x) am Punkt x ist die Grenze (falls vorhanden) des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert, so dass

Mit Hilfe der Ableitung werden zusätzlich zu den bereits diskutierten eine Reihe wichtiger naturwissenschaftlicher Konzepte definiert. Als Grenzwert wird beispielsweise die Stromstärke definiert

wobei Dq ≈ positiv elektrische Ladung, während der Zeit Dt durch den Kettenabschnitt übertragen; Geschwindigkeit chemische Reaktion als Grenze definiert

wobei DQ ≈ zeitliche Änderung der Stoffmenge Dt; Im Allgemeinen ist die Zeitableitung ein Maß für die Geschwindigkeit eines Prozesses, das auf eine Vielzahl physikalischer Größen anwendbar ist.

Die Ableitung der Funktion y = f (x) wird mit f" (x), y", dy/dx, df/dx oder Df (x) bezeichnet. Wenn die Funktion y = f (x) eine Ableitung am Punkt x0 hat, dann ist sie sowohl am Punkt x0 selbst als auch in einer Umgebung dieses Punktes definiert und am Punkt x0 stetig. Die gegenteilige Schlussfolgerung wäre jedoch falsch. Zum Beispiel eine Funktion, die an jedem Punkt stetig ist

dessen Graph die Winkelhalbierenden des ersten und zweiten Koordinatenwinkels ist; bei x = 0 hat er keine Ableitung, weil Das Verhältnis Dú/Dх hat keine Grenze, wenn Dx ╝ 0: wenn Dх > 0, ist dieses Verhältnis gleich +1, und wenn Dx< 0, то оно равно -1. Более того, существуют kontinuierliche Funktionen, die an keiner Stelle eine Ableitung haben (siehe Kontinuierliche Funktion).

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt. Für die Klasse der Funktionen mit einer Ableitung ist diese Operation linear.

Formeltabelle und Differenzierungsregeln

(C)` = 0; (xn)` = nxn-1;

(ax)` = ax ln a und (ex)` = ex;

(logax)` = 1/x ln a und (ln x)` = 1/x;

(sin x)` = cos x; (cos x)` = √ sin x;

(tg x)` = 1/cos2x; (ctg x)` = √ 1/sin2x;

(arc tan x)` = 1/(1 + x2).

` = f `(x) ╠ g`(x);

` = Vgl. `(x);

` = f``(x) g (x) + f (x) g `(x);

wenn y = f (u) und u = j(x), also y = f, dann dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x) .

Hier sind C, n und a ≈ Konstanten, a > 0. Insbesondere diese Tabelle zeigt, dass die Ableitung jeder Elementarfunktion wiederum eine Elementarfunktion ist.

Hat die Ableitung f" (x) wiederum eine Ableitung, so heißt sie zweite Ableitung der Funktion y = f (x) und wird mit bezeichnet

y", f" (x), d2y/dx2, d2f/dx2 oder D2f (x).

Für einen Punkt, der sich geradlinig bewegt, charakterisiert die zweite Ableitung seine Beschleunigung.

Ableitungen höherer (ganzzahliger) Ordnung werden auf ähnliche Weise definiert. Bezeichnet wird die Ableitung der Ordnung n

yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn oder Dnf (x).

Differential. Eine Funktion y = f (x), deren Definitionsbereich eine bestimmte Umgebung des Punktes x0 enthält, heißt am Punkt x0 differenzierbar, wenn ihr Inkrement vorliegt

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)

kann in das Formular geschrieben werden

Dу = АDх + aDх,

wobei A = A (x0), a = a(x, x0) ╝ 0 für x ╝ x0. In diesem und nur in diesem Fall wird der Ausdruck ADx als Differential der Funktion f (x) am Punkt x0 bezeichnet und mit dy oder df (x0) bezeichnet. Geometrisch stellt das Differential (mit einem festen Wert von x0 und einem variierenden Inkrement von Dx) das Inkrement der Ordinate der Tangente dar, d. h. der Strecke NT (siehe. Reis.). Das Differential dy ist eine Funktion sowohl des Punktes x0 als auch des Inkrements Dx. Sie sagen, dass das Differential der wichtigste lineare Teil des Inkrements der Funktion ist, was bedeutet, dass für ein festes x0 dy eine lineare Funktion von Dx ist und die Differenz Dy - dy in Bezug auf Dx verschwindend klein ist. Für die Funktion f (x) º x gilt dx = Dх, d.h. das Differential der unabhängigen Variablen stimmt mit ihrem Inkrement überein. Daher schreiben sie normalerweise dy = Adx. Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Differential einer Funktion und ihrer Ableitung. Damit eine Funktion einer Variablen y = f (x) im Punkt x0 ein Differential hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie in diesem Punkt eine (endliche) Ableitung f" (x0) hat und die Gleichheit dy = f" (x0) dx ist wahr. Die visuelle Bedeutung dieses Satzes besteht darin, dass die Tangente an die Kurve y = f (x) im Punkt mit der Abszisse x0 als Grenzposition der Sekante ebenfalls eine Gerade ist, die in einer infinitesimalen Umgebung des Punktes x0 liegt näher an der Kurve als jede andere Linie. Somit ist immer A (x0) = f" (x0); die Schreibweise dy/dx kann nicht nur als Bezeichnung für die Ableitung f" (x0) verstanden werden, sondern auch als Verhältnis der Differentiale der abhängigen und unabhängigen Variablen . Aufgrund der Gleichheit dy = f" (x0) dx ergeben sich die Regeln zum Auffinden von Differentialen direkt aus den entsprechenden Regeln zum Auffinden von Ableitungen.

Es werden auch Differenzen höherer Ordnung berücksichtigt. In der Praxis werden mit Hilfe von Differentialen häufig Näherungsberechnungen von Funktionswerten durchgeführt und dabei auch Rechenfehler beurteilt. Angenommen, wir müssen zum Beispiel den Wert der Funktion f (x) am Punkt x berechnen, wenn f (x0) und f" (x0) bekannt sind. Indem wir das Inkrement der Funktion durch ihr Differential ersetzen, erhalten wir einen Näherungswert Gleichwertigkeit

f (x1) » f (x0) + df (x0) = f (x0) + f" (x0) (x1 - x0).

Der Fehler dieser Gleichheit ist ungefähr gleich der Hälfte des zweiten Differentials der Funktion, d.h.

1/2 d2f = 1/2 f" (x0)(x1 √ x0)

Anwendungen. In D. und. Es werden Verbindungen zwischen den Eigenschaften einer Funktion und ihren Ableitungen (oder Differentialen) hergestellt, ausgedrückt durch die Grundsätze der dynamischen Theorie. Dazu gehören der Satz von Rolle und die Formel von Lagrange f (a) ≈ f (b) = f" (c)(b ≈ a), wobei a< с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Diese Vorschläge ermöglichen Methoden von D. und. Führen Sie eine detaillierte Untersuchung des Verhaltens von Funktionen durch, die ausreichend glatt sind (d. h. ausreichend Ableitungen aufweisen). hoher Auftrag). Auf diese Weise ist es möglich, den Grad der Glätte, Konvexität und Konkavität, die Zunahme und Abnahme von Funktionen und ihre Extrema zu untersuchen, ihre Asymptoten und Wendepunkte zu finden (siehe Wendepunkt), die Krümmung einer Kurve zu berechnen und die Natur herauszufinden seiner singulären Punkte usw. Beispielsweise führt die Bedingung f" (x) > 0 zu einem (strikten) Anstieg der Funktion y = f (x) und die Bedingung f" (x) > 0 ≈ deren (strikte) Konvexität. Alle Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion, die zum Inneren ihres Definitionsbereichs gehören, liegen zwischen den Wurzeln der Gleichung f" (x) = 0.

Die Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen ist die Hauptanwendung der dynamischen Theorie. Darüber hinaus D. und. ermöglicht es Ihnen, verschiedene Arten von Funktionsgrenzen zu berechnen, insbesondere Grenzen der Form 0/0 und ¥/¥ (siehe Unbestimmter Ausdruck, L'Hopital-Regel). D. und. Es ist besonders praktisch für das Studium elementarer Funktionen, weil in diesem Fall werden ihre Ableitungen explizit ausgeschrieben.

D. und. Funktionen vieler Variablen. Methoden D. und. werden verwendet, um Funktionen mehrerer Variablen zu untersuchen. Für eine Funktion zweier unabhängiger Variablen z = f (x, y) ist die partielle Ableitung nach x die Ableitung dieser Funktion nach x für konstantes y. Diese partielle Ableitung wird mit z"x, f"x (x, y), ╤z/╤x oder ╤f (x, y)/╤x bezeichnet

Die partielle Ableitung von z nach y wird ähnlich definiert und bezeichnet. Größe

Dz = f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y)

heißt das vollständige Inkrement der Funktion z = f (x, y). Wenn es im Formular dargestellt werden kann

Dz = ADx + ВDу + a,

wo a ≈ ein Infinitesimal höherer Ordnung als der Abstand zwischen den Punkten (x, y) und (x + Dx, y + Dу), dann heißt die Funktion z = f (x, y) differenzierbar. Die Terme ADx + BDу bilden das vollständige Differential dz der Funktion z = f (x, y), mit A = z"x, B = z"y. Anstelle von Dx und Dy schreiben wir normalerweise dx und dy, also

Geometrisch bedeutet die Differenzierbarkeit einer Funktion zweier Variablen, dass ihr Graph eine Tangentenebene hat und das Differential das Inkrement des Applikaten der Tangentenebene darstellt, wenn die unabhängigen Variablen Inkremente dx und dy erhalten. Für eine Funktion von zwei Variablenkonzept Differential ist viel wichtiger und natürlicher als das Konzept der partiellen Ableitungen. Im Gegensatz zu Funktionen einer Variablen ist bei Funktionen zweier Variablen die Existenz beider partieller Ableitungen erster Ordnung keine Garantie für die Differenzierbarkeit der Funktion. Sind jedoch auch die partiellen Ableitungen stetig, dann ist die Funktion differenzierbar.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung werden ähnlich definiert. Die partiellen Ableitungen ╤2f/╤х2 und ╤2f/╤у2, bei denen nach einer Variablen differenziert wird, heißen rein, die partiellen Ableitungen ╤2f/╤x╤y und ╤2f/╤у╤х ≈ gemischt. Wenn gemischte partielle Ableitungen stetig sind, dann sind sie einander gleich. Alle diese Definitionen und Notationen werden auf den Fall übertragen mehr Variablen.

Historische Referenz. Separate Probleme zur Bestimmung von Tangenten an Kurven und zur Ermittlung der Maximal- und Minimalwerte von Variablen wurden von Mathematikern gelöst Antikes Griechenland. Beispielsweise wurden Methoden gefunden, um Tangenten an Kegelschnitte und einige andere Kurven zu konstruieren. Die von antiken Mathematikern entwickelten Methoden waren jedoch nur in ganz besonderen Fällen anwendbar und waren weit von den Ideen von D. und entfernt.

Die Ära der Schöpfung von D. und. Als eigenständiger Zweig der Mathematik sollte man die Zeit betrachten, in der man verstanden hat, dass diese speziellen Probleme zusammen mit einer Reihe anderer (insbesondere dem Problem der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit) mit demselben mathematischen Apparat gelöst werden – mit Hilfe von Ableitungen und Differentiale. Dieses Verständnis wurde von I. Newton und G. Leibniz erreicht.

Um 1666 entwickelte I. Newton die Fluxion-Methode (siehe Fluxion-Kalkül). Newton formulierte die Hauptaufgaben aus mechanischer Sicht: 1) Bestimmung der Bewegungsgeschwindigkeit basierend auf der bekannten Abhängigkeit des Weges von der Zeit; 2) Bestimmung der zurückgelegten Distanz gegebene Zeit Weg mit bekannter Geschwindigkeit. Newton nannte eine kontinuierliche Variable fließend (Strom), ihre Geschwindigkeit ≈ Fluxion. Daher waren Newtons Hauptkonzepte die Ableitung (Fluxion) und das unbestimmte Integral als Stammfunktion (Fluientia). Er versuchte, die Methode der Fluxionen mit Hilfe der Grenzwerttheorie zu begründen, obwohl diese von ihm nur skizziert wurde.

Mitte der 70er Jahre. 17. Jahrhundert G. Leibniz hat einen sehr praktischen Algorithmus für D. und entwickelt. Die Hauptkonzepte von Leibniz waren das Differential als unendlich kleiner Zuwachs einer Variablen und das bestimmte Integral als Summe einer unendlich großen Anzahl von Differentialen. Leibniz besitzt die Notation für das Differential dx und das Integral òydx, eine Reihe von Differentiationsregeln, eine praktische und flexible Symbolik und schließlich den Begriff „Differentialrechnung“ selbst. Weiterentwicklung von D. und. folgte zunächst dem von Leibniz vorgezeichneten Weg; große Rolle In dieser Phase spielten die Werke der Brüder J. und I. Bernoulli, B. Taylor und anderer eine Rolle.

Die nächste Stufe in der Entwicklung von D. und. es gab Werke von L. Euler und J. Lagrange (18. Jahrhundert). Euler begann sie zunächst als analytische Disziplin darzustellen, unabhängig von Geometrie und Mechanik. Als Grundkonzept führte er erneut D. und. Derivat. Lagrange versuchte, D. und zu bauen. algebraisch unter Verwendung der Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen; Er war insbesondere für die Einführung des Begriffs „Derivat“ und der Bezeichnung y“ bzw. f“ (x) verantwortlich. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Das Problem der Begründung von D. und. basierend auf der Grenzwerttheorie. Dies gelang vor allem der Arbeit von O. Cauchy, B. Bolzano und C. Gauss. Eine eingehendere Analyse der ursprünglichen Konzepte von D. und. war mit der Entwicklung der Mengenlehre und der Theorie der Funktionen einer reellen Variablen im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert verbunden.

Zündete.: Geschichte. Willeitner G., Geschichte der Mathematik von Descartes bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts, trans. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1966; Stroik D. Ya., Kurzer Abriss der Geschichte der Mathematik, trans. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1969; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3≈4, Lpz. ≈ V., 1901≈24.

Die Werke der Gründer und Klassiker von D. und. Newton I., Mathematische Werke, trans. aus dem Lateinischen, M. ≈ L., 1937; Leibniz G., Ausgewählte Auszüge aus mathematischen Werken, trans. aus dem Lateinischen, „Advances in Mathematical Sciences“, 1948, Bd. 3, Jahrhundert. 1; L'Hopital G. F. de, Analyse der Infinitesimalzahlen, übersetzt aus dem Französischen, M. ≈ Leningrad, 1935; Euler L., Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen, 2. Aufl., Bd. 1, 1961; , Differentialrechnung, übersetzt aus dem Lateinischen, M. ≈ L., 1949; Zusammenfassung Lektionen zur Differential- und Integralrechnung, trans. aus dem Französischen, St. Petersburg, 1831; seine, Algebraische Analyse, trans. aus dem Französischen, Leipzig, 1864.

Lehrbücher und Lehrmittel nach D. und. Chinchin A. Ya., Kurze Einführung Mathematische Analyse, 3. Aufl., M., 1957; von ihm, Eight Lectures on Mathematical Analysis, 3. Aufl., M. ≈ Leningrad, 1948; Smirnov V.I., Course of Higher Mathematics, 22. Auflage, Bd. 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Course of Differential and Integral Calculus, 7. Auflage, Bd. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Kurs zur Analyse von Infinitesimalzahlen, trans. aus Französisch, Bd. 1, L. ≈ M., 1933; Kurant R., Kurs der Differential- und Integralrechnung, trans. mit ihm. und Englisch, 4. Aufl., Bd. 1, M., 1967; Banach S., Differential- und Integralrechnung, trans. aus dem Polnischen, 2. Aufl., M., 1966; Rudin U., Grundlagen der mathematischen Analyse, trans. aus dem Englischen, M., 1966.

Herausgegeben von S. B. Stechkin.

diese. y“ = (y′)′ oder

Differentialrechnung

Differentialrechnung- ein Zweig der mathematischen Analysis, der die Konzepte der Ableitung und des Differentials und deren Anwendung auf das Studium von Funktionen untersucht.

Die zentralen Begriffe der Differentialrechnung – Ableitung und Differential – entstanden bei der Betrachtung einer Vielzahl naturwissenschaftlicher und mathematischer Probleme, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigsten davon sind das physikalische Problem der Bestimmung der Geschwindigkeit einer ungleichmäßigen Bewegung und das geometrische Problem der Konstruktion einer Tangente an eine Kurve. Schauen wir uns jeden von ihnen im Detail an.

Folgen wir dem italienischen Wissenschaftler G. Galileo bei der Untersuchung des Gesetzes des freien Falls von Körpern. Heben wir den Kieselstein an und lassen ihn dann aus der Ruhestellung los. Sei die vom Beginn des Sturzes gezählte Zeit, a die bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegte Strecke. Galileo hat experimentell herausgefunden, dass die Abhängigkeit die folgende einfache Form hat:

Dabei ist die Zeit in Sekunden eine physikalische Konstante von etwa 9,8 m/s2.

Die Bewegung eines frei fallenden Körpers ist deutlich ungleichmäßig. Die Fallgeschwindigkeit nimmt allmählich zu. Aber wie sieht Sucht genau aus? Es ist klar, dass, wenn man die Abhängigkeit kennt, d.h. Aufgrund des Bewegungsgesetzes eines fallenden Körpers sollten wir hieraus grundsätzlich einen Ausdruck für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ableiten können.

Versuchen wir, eine Abhängigkeit von zu finden. Wir werden wie folgt argumentieren: Wir legen den Zeitpunkt fest, an dem wir den Wert der Geschwindigkeit wissen wollen. Es sei von diesem Moment an eine kurze Zeitspanne verstrichen. Während dieser Zeit legt der fallende Körper eine Strecke von zurück. Wenn der Zeitraum sehr kurz ist, hat die Geschwindigkeit des Körpers keine Zeit, sich im Laufe der Zeit merklich zu ändern. Wir können also davon ausgehen, dass, wenn sie kurz ist, ungefähr

, (1)

, (2)

und die letzte Näherungsgleichung ist umso genauer, je kleiner (je näher der Wert bei Null liegt). Dies bedeutet, dass der Wert der Geschwindigkeit im Moment als die Grenze betrachtet werden kann, zu der das Verhältnis auf der linken Seite der ungefähren Gleichheit (2) tendiert, und die die Durchschnittsgeschwindigkeit über das Zeitintervall von dem Moment bis zu dem Moment ausdrückt, in dem die Wert tendiert gegen Null.

Das Obige ist in der Form geschrieben

. (3)

Führen wir die in Relation (3) angegebenen Berechnungen auf der Grundlage der von Galileo gefundenen Abhängigkeit durch

Lassen Sie uns zunächst einige grundlegende Berechnungen durchführen:

und jetzt dividiert man durch , erhält man

Wenn er gegen Null geht, tendiert auch der zweite Term der rechts geschriebenen Summe gegen Null, und der erste bleibt konstant, genauer gesagt, unabhängig vom Wert, also in unserem Fall

und wir fanden das Gesetz

Da die Geschwindigkeit selbst eine Funktion der Zeit ist, könnte man die Frage nach der Geschwindigkeit ihrer Änderung aufwerfen. In der Physik wird die Änderungsrate der Geschwindigkeit Beschleunigung genannt. Wenn also die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist, dann erhalten wir mit der Argumentation wie bei der Ableitung von Formel (3) für die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt den Ausdruck

. (4)

„Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung gab Mathematikern die Möglichkeit, die Bewegungsgesetze von Körpern auf analytische Gleichungen zu reduzieren.“ J. L. Lagrange

Sehen wir uns an, was diese Formel für den Fall des freien Falls ergibt, bei dem, wie wir berechnet haben, Folgendes gilt:

und da - eine Konstante ist, ergibt sich aus (4), dass d. h. die Beschleunigung eines frei fallenden Körpers konstant ist und der Wert dieselbe physikalische Konstante ist, die die Beschleunigung des freien Falls an der Erdoberfläche ausdrückt .

Es ist leicht, die völlige Ähnlichkeit der Ausdrücke (3), (4) zu erkennen und zu verstehen, dass wir einen allgemeinen mathematischen Ausdruck für die momentane Änderungsrate einer Variablen gefunden haben. Natürlich hängt das Ergebnis von Berechnungen mit den Formeln (3), (4), wie wir gesehen haben, von der spezifischen Art der Funktionen ab, aber die Operationen selbst an diesen Funktionen, die auf der rechten Seite der Formeln vorgeschrieben sind ( 3), (4), sind gleich.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass in der mathematischen Analyse für jede Funktion bereits eine wichtige Größe berücksichtigt wird:

, (5)

was als Ableitung der Funktion bezeichnet wird.

Die Ableitung spielt somit die Rolle der Änderungsrate der abhängigen Variablen in Bezug auf die Änderung der unabhängigen Variablen; Letzteres ist nicht länger verpflichtet, eine physikalische Bedeutung der Zeit zu haben.

Der Wert der Ableitung hängt vom Wert des Arguments ab, daher ist die Ableitung einer Funktion wie im Fall der Geschwindigkeit selbst eine Funktion der Variablen.

In Formel (5) wird die Größe der Differenz als Inkrement des Arguments der Funktion bezeichnet und häufig mit dem Symbol (sprich: Delta x) und der Differenz bezeichnet werden normalerweise mit (oder genauer gesagt mit ) bezeichnet und als Inkrement der Funktion bezeichnet, die einem bestimmten Inkrement des Arguments entspricht. In diesen Notationen hat Ausdruck (5) die Form:

oder .

Somit ist der Wert der Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion, das der Verschiebung vom Punkt entspricht, zum Inkrement des Arguments, wenn es gegen Null geht.

In der Differentialrechnung werden Ableitungen grundlegender Elementarfunktionen abgeleitet. Lassen Sie uns zum Beispiel darauf hinweisen, dass die Ableitungen der Funktionen , , bzw. die Funktionen , und sind.

In der Differentialrechnung werden außerdem folgende allgemeine Differenzierungsregeln abgeleitet:

(Hinzufügung eines konstanten Multiplikators);

(Differenzierung der Summe und Differenz von Funktionen);

(Differenzierung des Funktionsprodukts);

(Differenzierung von Quotientenfunktionen).

Schließlich gilt auch die folgende wichtige Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion: Wenn , a , dann ist die Ableitung der Funktion gleich , oder .

Wenn zum Beispiel ein Polynom ist, dann

ISAAC NEWTON
(1643-1727)

Im Jahr 1665 schloss Isaac Newton sein Studium an der Universität Cambridge ab und wollte gerade dort, am Trinity College seiner Heimat, seine Arbeit aufnehmen. Die in England wütende Pest zwang Newton jedoch, sich auf seine Farm in Woolsthorpe zurückzuziehen. Die „Pestferien“ zogen sich fast zwei Jahre hin. „Ich befand mich damals auf dem Höhepunkt meiner Erfindungskraft und dachte mehr über Mathematik und Philosophie nach als jemals zuvor“, schrieb Newton. Damals machte der junge Wissenschaftler fast alle seine Entdeckungen in Physik und Mathematik. Er entdeckte das Gesetz universelle Schwerkraft und begann mit seiner Hilfe, die Planeten zu erforschen. Er entdeckte, dass Keplers 3. Gesetz der Beziehung zwischen den Umlaufzeiten der Planeten und der Entfernung zur Sonne notwendigerweise folgt, wenn wir annehmen, dass die Gravitationskraft der Sonne umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zum Planeten ist.

Doch um die Gesetze der Physik zu erforschen und auszudrücken, musste Newton sich auch mit Mathematik befassen. In Woolsthorpe schafft Newton Probleme beim Zeichnen von Tangenten an Kurven und beim Berechnen der Flächen krummliniger Figuren allgemeine Methode Lösungen für solche Probleme sind die Methode der Fluxionen (Ableitungen) und Fluents, die G.V. Leibniz Differentiale nannte. Newton berechnete die Ableitung und das Integral von jedem Power-Funktion. Der Wissenschaftler schreibt ausführlich über Differential- und Integralrechnung in seinem bedeutendsten Werk zur Mathematik, „Die Methode der Fluxionen“ (1670-1671), das nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Es legte den Grundstein für die mathematische Analyse. Newton findet auch eine Formel für verschiedene Potenzen der Summe zweier Zahlen (siehe Newtons Binomial) und beschränkt sich nicht auf natürliche Exponenten, sondern gelangt zu den Summen unendlicher Zahlenreihen (siehe Reihen). Newton zeigte, wie man Reihen in der mathematischen Forschung nutzt.

Als Newton 1666 nach Cambridge zurückkehrte, brachte er die unzähligen und unschätzbar wertvollen Ergebnisse seiner Mathematikstudien in Woolsthorpe mit. Er hatte noch keine Zeit, sie in eine für die Veröffentlichung geeignete Form zu bringen, und er hat es auch nicht eilig, dies zu tun. Seine Arbeit nahm zu und 1669 erhielt er die Fakultät für Physik und Mathematik. 1672 wurde er zum Mitglied der Royal Society of London (englische Akademie der Wissenschaften) gewählt.

Im Jahr 1680 begann Newton mit der Arbeit an seinem Hauptwerk „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“, in dem er sein Weltsystem vorstellen wollte. Die Veröffentlichung des Buches war ein bedeutendes Ereignis in der Geschichte der Naturwissenschaften. Darin ist das gesamte majestätische Gebäude der Mechanik auf der Grundlage der Bewegungsaxiome aufgebaut, die heute als Newtonsche Gesetze bekannt sind.

In den Principia leitete Newton rein mathematisch alle damals bekannten grundlegenden Fakten der Mechanik der Erd- und Himmelskörper, der Bewegungsgesetze eines Punktes und eines starren Körpers sowie der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung ab.

Viele von Newtons mathematischen Werken wurden nie rechtzeitig veröffentlicht. Seine ersten relativ detaillierten Veröffentlichungen stammen aus dem Jahr 1704. Dabei handelt es sich um die Werke „Aufzählung von Kurven dritter Ordnung“, in denen die Eigenschaften dieser Kurven beschrieben werden, und „Diskurse über die Quadratur des Kreises“, die sich der Differential- und Integralrechnung widmen.

1688 wurde I. Newton ins Parlament gewählt und zog 1699 nach London, wo er eine lebenslange Position als Münzdirektor erhielt.

Die Arbeiten von I. Newton bestimmten lange Zeit die Entwicklung der Physik und Mathematik. Bedeutender Teil klassische Mechanik blieb lange Zeit in der von Newton geschaffenen Form. Das Gesetz der universellen Gravitation wurde nach und nach als ein einziges Prinzip erkannt, das es ermöglichte, eine perfekte Theorie der Bewegung von Himmelskörpern zu entwickeln. Die von ihm erstellte mathematische Analyse eröffnete eine neue Ära in der Mathematik.

Oder wenn, dann nehmen wir an, dass wir das verstehen und deshalb, .

Wir haben bereits festgestellt, dass viele Probleme zur Berechnung von Grenzwerten der Form (3), (4), (5) führten, also, wie wir jetzt sagen können, zur Berechnung der Ableitung.

Betrachten wir nun ein weiteres klassisches Beispiel einer rein geometrischen Frage, die durch eine Ableitung gelöst wird – die Konstruktion einer Tangente an eine Kurve (siehe Tangente).

Es ist erforderlich, eine gerade Linie (Abb. 1) zu konstruieren, die an einem Punkt die Kurve tangiert – den Graphen der Funktion.

„Erst die Differentialrechnung gibt der Naturwissenschaft die Möglichkeit, nicht nur Zustände, sondern auch Prozesse mathematisch abzubilden: Bewegung.“ F. Engels

Wie bei der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit geht mit der Konstruktion einer Tangente auch eine Klärung des eigentlichen Tangentenbegriffs einher.

Seien die Koordinaten des Punktes: Wie bekannt ist, ist jede nicht vertikale Linie, die durch den Punkt verläuft, durch die Gleichung gegeben ,

der sogenannte Winkelkoeffizient einer Linie, der ihre Neigung zur horizontalen Achse charakterisiert. In unserem Fall hat die Gleichung der durch den Punkt verlaufenden Geraden daher die Form , und wir wollen den Wert des Koeffizienten so wählen, dass die Gerade möglichst gut an die Kurve „angepasst“ wird, also unserer Kurve in der Nähe des Punktes am besten nahe kommt. Das bedeutet, dass wir so wählen wollen, dass die ungefähre Gleichheit oder, was dasselbe ist, die ungefähre Gleichheit ist

war möglicherweise genauer mit Werten nahe .

Dies ist jedoch eine bekannte Situation und bis auf Umbenennungen ist dies eine bekannte Beziehung aus Formel (5), daher

Damit ist die Gleichung gefunden

die gerade Linie, die der Kurve in der Nähe des Punktes am besten entspricht. Es liegt nahe, diese Gerade als gewünschte Tangente an die gegebene Kurve am betrachteten Punkt zu betrachten.

Nehmen wir zum Beispiel eine Parabel, d.h. , dann wird die Tangente an den Punkt aufgrund von (7) durch die Gleichung gegeben, die in eine kompaktere Form umgewandelt werden kann.

Oben haben wir eine physikalische Interpretation der Ableitung als Momentangeschwindigkeit gegeben, und nun können wir basierend auf der Tangensgleichung (7) eine geometrische Interpretation der Ableitung geben. Der Wert der Ableitung einer Funktion an einem festen Punkt ist nämlich die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt.

Dies bedeutet insbesondere, dass in Bereichen der Änderung der Variablen, in denen die Funktion zunimmt; wobei die Funktion abnimmt und an den Punkten lokaler Maxima oder Minima der Funktion ihre Ableitung verschwinden muss, da die Tangente an diesen Punkten horizontal ist. Es ist auch klar, dass, wenn die Ableitung irgendwann gegen Null geht, man nicht voreilig zu dem Schluss kommen kann, dass dies ein Punkt mit Maximum oder Minimum ist (siehe Punkt), da sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen dieses Punktes möglicherweise nicht ändert , und die Funktion erhöht oder verringert sich weiter. Wenn die Ableitung jedoch beim Durchgang durch diesen Punkt ihr Vorzeichen ändert (siehe Punkte), dann ist klar, dass die Funktion entweder ein lokales Maximum hat, wenn sich das Vorzeichen von „“ nach „“ ändert (wie bei Punkten), oder ein lokales Maximum Minimum, wenn sich die Vorzeichen von „“ zu „“ ändern (wie im Punkt).

Versuchen wir zum Beispiel, einen solchen rechteckigen Wiesenabschnitt mit Draht einer bestimmten Länge abzuzäunen, um ein möglichst geräumiges Gehege für das Vieh zu erhalten, d. h. Unter den Rechtecken mit einem bestimmten Umfang (d. h. unter den isoperimetrischen Rechtecken) müssen Sie dasjenige mit der größten Fläche finden.

Wenn die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist, dann ist unter der angegebenen Bedingung die Länge der anderen Seite gleich und die Fläche des Rechtecks ist gleich. Wir müssen den Maximalwert der Funktion finden auf dem Segment. Da bei oder die Funktion offensichtlich verschwindet (das Rechteck degeneriert zu einem Segment), wird das Maximum bei einem Wert erreicht, der zwischen 0 und liegt. Wie finde ich diesen Wert?

Gemäß der oben gemachten Beobachtung kann der Maximalwert der Funktion nur bei dem Wert liegen, bei dem die Änderungsrate der Funktion Null ist, d. h.

Lassen Sie uns anhand der bereits zuvor durchgeführten Berechnungen die Ableitung unserer Funktion ermitteln. Weil das , Dann bei . Entsprechend der eigentlichen Bedeutung des Problems sollte die Funktion mit dem gefundenen Wert des Arguments ein Maximum haben. Dies kann auch formal überprüft werden:

Wann und wann.

Somit haben wir herausgefunden, dass das erforderliche Rechteck mit der größten Fläche ein Quadrat ist, dessen Seitenlänge gleich ist.

Eine Funktion gilt als differenzierbar für einen bestimmten Wert ihres Arguments, wenn das Inkrement vorliegt dieser Funktion, entsprechend dem Inkrement sein Argument kann dargestellt werden als

Dabei ist ein Koeffizient, der nur von abhängt, und ein Wert, der gegen Null tendiert, wenn , gegen Null tendiert.

Auf diese Weise,

diese. mit einer Genauigkeit bis zu einem Fehler, der im Vergleich zum Inkrement des Arguments klein ist, das Inkrement Eine an einem Punkt differenzierbare Funktion kann durch eine Größe ersetzt werden, die bezüglich des Inkrements des Arguments linear ist.

Diese lineare Näherungsfunktion wird als Differential der ursprünglichen Funktion an einem Punkt bezeichnet und mit dem Symbol oder, genauer gesagt, bezeichnet.

An jedem Punkt ist die approximierende lineare Funktion im Allgemeinen unterschiedlich, was durch die Abhängigkeit des Koeffizienten von angezeigt wird.

Wenn wir beide Seiten der Gleichheit (8) durch dividieren und berücksichtigen, dass der Wert gegen Null tendiert, wenn er sich Null nähert, erhalten wir die Beziehung:

, (10)

Damit können Sie den Differentialkoeffizienten berechnen und zeigen, dass er einfach mit dem Wert der Ableitung der Funktion am Punkt übereinstimmt.

Wenn also die Funktion im Punkt differenzierbar ist, dann existiert an diesem Punkt der in (10) angegebene Grenzwert, d. h. es enthält eine Ableitung und .

GOTTFRIED WILHELM LEIBNITZ
(1646-1716)

Mathematik war nicht seine einzige Leidenschaft. Schon in jungen Jahren wollte er die Natur als Ganzes kennen lernen und die Mathematik sollte zu einem entscheidenden Mittel dieser Erkenntnis werden. Er war Philosoph und Linguist, Historiker und Biologe, Diplomat und Politiker, Mathematiker und Erfinder. Wissenschaftliche und öffentliche Pläne Leibniz war grandios. Er träumte von der Gründung einer Weltakademie der Wissenschaften, vom Aufbau einer „universellen Wissenschaft“. Er wollte die einfachsten Konzepte hervorheben, aus denen sich nach bestimmten Regeln alle noch so komplexen Konzepte bilden lassen. Leibniz träumte von einer universellen Sprache, die es ermöglichen würde, beliebige Gedanken in die Form zu schreiben mathematische Formeln und logische Fehler sollten sich in Form von mathematischen Fehlern manifestieren. Er dachte an eine Maschine, die Theoreme aus Axiomen ableitet und logische Aussagen in arithmetische umwandelt (diese Idee wurde in unserem Jahrhundert zum Leben erweckt).

Aber Leibniz‘ grandiose Pläne gingen einher mit dem Verständnis dessen, was direkt verwirklicht werden konnte. Er kann keine Weltakademie organisieren, aber im Jahr 1700 organisiert er eine Akademie in Berlin und empfiehlt Peter I., eine Akademie in Russland zu gründen. Bei der Gründung der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften im Jahr 1725 wurden die Pläne von Leibniz verwendet. Er ist hervorragend darin, spezifische Probleme in der Mathematik zu lösen: Er schafft neuer Typ Eine Addiermaschine, die nicht nur Zahlen addiert und subtrahiert, sondern auch multipliziert, dividiert, potenziert und Quadrat- und Kubikwurzeln zieht, löst schwierige Aufgaben geometrische Probleme. Führt das Konzept der Determinante ein und legt die Grundlagen der Determinantentheorie. Und doch versuchte Leibniz stets, jedes Thema aus einem möglichst allgemeinen Blickwinkel zu betrachten. Nehmen wir an, X. Huygens bemerkt die Energieerhaltung am Beispiel einiger mechanischer Probleme, und Leibniz versucht, diese Aussage in ein universelles Naturgesetz umzuwandeln, indem er das Universum als Ganzes als ein Perpetuum mobile betrachtet (vorläufige Formulierung des Energieerhaltungssatz!).

Diese Qualitäten von Leibniz kamen jedoch besonders deutlich zum Ausdruck, als er, nachdem er auf dessen Rat die verschiedenen mathematischen und mechanischen Probleme kennengelernt hatte, die Huygens gelöst hatte, mit der Arbeit von B. Pascal über die Zykloide vertraut wurde. Er beginnt zu verstehen, dass es bei der Lösung dieser verschiedenen Probleme eine Gemeinsamkeit gibt, universelle Methode dass er die unterschiedlichsten Probleme löste und dass Pascal vor dem entscheidenden Schritt innehielt, „als ob ein Schleier über seinen Augen läge“. Leibniz erstellt Differential- und Integralrechnung, die in einer anderen Version von I. Newton konstruiert, aber nicht veröffentlicht wurden.

Der Wissenschaftler, der an der Entwicklung einer universellen Sprache beteiligt war, versteht, welche Rolle die Symbolik in der neuen Infinitesimalrechnung spielen sollte (siehe Mathematische Zeichen). Ohne die Symbolik (die in der von Leibniz vorgeschlagenen Form bis heute überlebt hat) wäre die Methode der mathematischen Analyse nicht über einen engen Kreis der Elite hinausgegangen (wie es bei der Algebra vor der Symbolik von Vieta-Descartes der Fall war). Übrigens hat Leibniz noch mehrere andere mathematische Symbole vorgeschlagen, zum Beispiel (Gleichheit), (Multiplikation). Im Gegensatz zu Newton gab sich Leibniz große Mühe, seine Methode auf andere Mathematiker zu übertragen, unter denen die Brüder Jacob und Johann Bernoulli herausragten. Auf seine Initiative hin entsteht eine Zeitschrift, in der eine Gruppe von Mathematikern die Methoden der neuen mathematischen Analyse verfeinert.

Leibniz sah den Sinn seines Lebens in der Kenntnis der Natur, in der Schaffung von Ideen, die dabei helfen, ihre Gesetze aufzudecken.

Wenn umgekehrt eine Funktion an einem Punkt eine durch Gleichung (5) definierte Ableitung hat, dann

wobei die Korrektur gegen Null tendiert, wenn sie gegen Null tendiert. Wenn wir diese Gleichheit mit multiplizieren, erhalten wir

und das bedeutet, dass die Funktion im Punkt differenzierbar ist.

Wir sind also davon überzeugt, dass eine Funktion genau dann ein Differential hat, wenn sie eine Ableitung hat und . Da das Differential jedoch eine funktionslineare Funktion ist, wird es vollständig durch den Koeffizienten bestimmt, sodass das Finden des Differentials einer Funktion völlig gleichbedeutend mit dem Finden ihrer Ableitung ist. Aus diesem Grund werden beide Operationen oft als ein Begriff bezeichnet – „Differenzierung“, und die Analysis wird als Differentialrechnung bezeichnet.

Wenn Sie stattdessen schreiben, können Sie stattdessen schreiben . Wenn wir , dann und nehmen, schreiben wir daher anstelle des Inkrements der unabhängigen Variablen oft ein Differential. Diese Notation ergibt eine schöne Notation für das Differential einer Funktion, von der Leibniz zur Notation für die Ableitung gelangte, indem er diese als das Verhältnis der Differentiale einer Funktion und ihres Arguments betrachtete. Beachten Sie, dass die Notation für die Ableitung erst 1770 vom französischen Mathematiker J. L. Lagrange eingeführt wurde und die ursprüngliche Notation war

G. Leibniz, das in vielerlei Hinsicht so erfolgreich ist, dass es bis heute weit verbreitet ist.

Bevor wir zeigen, wie das Differential in Näherungsrechnungen verwendet werden kann, werden wir seiner geometrischen und physikalischen Interpretation nachgehen.

Wenn wir in Gleichung (8) anstelle von schreiben, können wir davon ausgehen, dass in Abb. 1 der linken Seite der Gleichheit (8) entspricht dem Segment (dies ist das Inkrement der Funktion oder das Inkrement der Ordinate der Kurve), dem Differential entspricht dem Segment (dies ist das Inkrement in der Ordinate der Tangente, die sich unserer Kurve in der Nähe des Punktes annähert), und der Rest entspricht dem Segment, das im Vergleich zum Segment umso kleiner ist, je kleiner das Inkrement des ist Streit. Dieser Umstand spiegelt sich in der Beziehung (11) und der ungefähren Gleichheit (9) wider, was bedeutet, dass .. seine Geschwindigkeit a, . ist. Es stellt sich heraus, dass die Beziehung (12) ein Sonderfall der allgemeinen Gleichheit ist und eine Genauigkeit von nicht schlechter als aufweist.

Es lässt sich überprüfen, dass wir im betrachteten Fall bei unbegrenzter Erhöhung von daher folgende Notation vorschlagen können:

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit gibt es unendlich viele Terme, d. h. es gibt, wie man sagt, eine Reihe. Unter Gleichheit (16) versteht man die Summe einer Reihe im Allgemeinen in dem Sinne, dass für jeden Wert die Differenz zwischen und die Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern der Reihe in der angegebenen Reihenfolge gegen Null tendiert, wenn die Zahl der Glieder ins Unendliche zunimmt .

Und Gleichheit

in der Mathematik als Newtonsches Binomial bekannt (siehe Newtonsches Binomial).

Differentialrechnung

D. und. basiert auf den folgenden wichtigsten Konzepten der Mathematik, deren Definition und Untersuchung Gegenstand der Einführung in die mathematische Analyse sind: reelle Zahlen (siehe reelle Zahl) (Zahlenstrahl), Funktion, Grenzwert, Kontinuität. Alle diese Konzepte kristallisierten sich heraus und erhielten im Zuge der Entwicklung und Begründung der Differential- und Integralrechnung moderne Inhalte. Die Grundidee von D. und. besteht darin, Funktionen im Kleinen zu studieren. Genauer gesagt: D. und. stellt eine Vorrichtung zur Untersuchung von Funktionen bereit, deren Verhalten in einer ausreichend kleinen Umgebung jedes Punktes dem Verhalten einer linearen Funktion oder eines Polynoms nahe kommt. Als solcher Apparat dienen die zentralen Konzepte der Differentialtheorie: Ableitung und Differential. Der Begriff einer Ableitung entstand aus einer Vielzahl naturwissenschaftlicher und mathematischer Probleme, die zur Berechnung gleichartiger Grenzwerte führten. Die wichtigsten davon sind die Bestimmung der Geschwindigkeit der linearen Bewegung eines Punktes und die Konstruktion einer Tangente an die Kurve. Das Konzept des Differentials ist ein mathematischer Ausdruck der Nähe einer Funktion zur Linearität in einer kleinen Umgebung des untersuchten Punktes. Im Gegensatz zur Ableitung lässt es sich leicht auf Abbildungen eines euklidischen Raums in einen anderen und auf Abbildungen beliebiger linearer normierter Räume übertragen und ist eines der Grundkonzepte der modernen nichtlinearen Funktionsanalyse (siehe Funktionale Analyse).

Derivat. Es sei notwendig, die Geschwindigkeit eines sich geradlinig bewegenden materiellen Punktes zu bestimmen. Wenn die Bewegung gleichmäßig ist, ist der vom Punkt zurückgelegte Weg proportional zur Bewegungszeit; Die Geschwindigkeit einer solchen Bewegung kann als der pro Zeiteinheit zurückgelegte Weg oder als Verhältnis des über einen bestimmten Zeitraum zurückgelegten Weges zur Dauer dieses Intervalls definiert werden. Wenn die Bewegung ungleichmäßig ist, sind die vom Punkt in gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Wege im Allgemeinen unterschiedlich. Ein Beispiel für eine ungleichmäßige Bewegung ist ein frei fallender Körper im Vakuum. Das Bewegungsgesetz eines solchen Körpers wird durch die Formel ausgedrückt S = GT 2/2, wo S- seit Beginn des Herbstes zurückgelegte Strecke (in Metern), T- Fallzeit (in Sekunden), G- konstanter Wert, Beschleunigung im freien Fall, G ≈ 9,81 m/s 2. Während der ersten Sekunde des Sturzes legt der Körper etwa 4,9 Sekunden zurück M, zum zweiten - etwa 14,7 M und für ein Zehntel - etwa 93,2 M, d.h. der Abfall erfolgt ungleichmäßig. Daher ist die obige Definition von Geschwindigkeit hier nicht akzeptabel. Dabei wird die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum nach (oder vor) einem festgelegten Zeitpunkt betrachtet T; Sie ist definiert als das Verhältnis der Länge des in diesem Zeitraum zurückgelegten Weges zu seiner Dauer. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit hängt nicht nur vom Moment ab T, sondern auch von der Wahl des Zeitraums. In unserem Beispiel ist die durchschnittliche Abfallrate über einen bestimmten Zeitraum ab T Vor T + Δ T gleich

Dieser Ausdruck für eine unbegrenzte Abnahme des Zeitintervalls Δ T nähert sich dem Wert GT, was als Bewegungsgeschwindigkeit zum jeweiligen Zeitpunkt bezeichnet wird T. Somit wird die Bewegungsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt als Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert, wenn der Zeitraum auf unbestimmte Zeit abnimmt.

Im Allgemeinen müssen diese Berechnungen für jeden Zeitpunkt durchgeführt werden. T, Zeitraum von T Vor T + Δ T und das durch die Formel ausgedrückte Bewegungsgesetz S = F(T). Dann ergibt sich die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum T Vor T + Δ T ergibt sich aus der Formel Δs/Δ T, wobei Δ S = F(T + Δ T) - F(T) und die Bewegungsgeschwindigkeit zum jeweiligen Zeitpunkt T gleich

Der Hauptvorteil der Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder der momentanen Geschwindigkeit gegenüber der Durchschnittsgeschwindigkeit besteht darin, dass sie, wie das Bewegungsgesetz, eine Funktion der Zeit ist T und keine Intervallfunktion ( T, T + Δ T). Andererseits ist die Momentangeschwindigkeit eine gewisse Abstraktion, da nicht die Momentangeschwindigkeit, sondern der Durchschnitt direkt gemessen werden kann.

Das Problem führt auch zu einem Ausdruck vom Typ (*) (siehe. Reis. ) Konstruieren einer Tangente (siehe Tangente) an eine ebene Kurve an einem bestimmten Punkt M. Die Kurve Г sei der Graph der Funktion bei = F(X). Die Position der Tangente wird bestimmt, wenn ihr Winkelkoeffizient gefunden wird, d. h. der Tangens des Winkels α, den die Tangente mit der Achse bildet Ochse. Bezeichnen wir mit x 0 Abszissenpunkt M, Und durch x 1 = x 0 + Δ X- Abszisse des Punktes M 1. Winkelkoeffizient der Sekante MM 1 gleicht

wobei Δ j = M 1 N = F(x 0 + Δ X) - F(x 0) – Inkrement einer Funktion auf dem Segment [ x 0, x 1]. Bestimmung der Tangente an einem Punkt M als Grenzposition der Sekante MM 1, Wann x 1 strebt danach x 0, wir bekommen

Wenn wir vom mechanischen oder geometrischen Inhalt der oben genannten Probleme abstrahieren und die gemeinsame Lösungsmethode für sie hervorheben, kommen wir zum Konzept der Ableitung. Ableitung einer Funktion bei = F(X) am Punkt X heißt die Grenze (falls vorhanden) des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert, so dass

wobei Δ Q- positive elektrische Ladung, die während der Zeit Δ durch den Querschnitt des Stromkreises übertragen wird T; Als Grenzwert wird die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion definiert

wobei Δ Q- zeitliche Änderung der Stoffmenge Δ T; Im Allgemeinen ist die Zeitableitung ein Maß für die Geschwindigkeit eines Prozesses, das auf eine Vielzahl physikalischer Größen anwendbar ist.

Ableitung einer Funktion j = F(X) bezeichnen F"(X), y", dy/dx, df/dx oder Df (X). Wenn die Funktion j = F(X) hat an der Stelle x 0 Ableitung, dann ist es als am Punkt selbst definiert x 0, und in einer Umgebung dieses Punktes und ist an diesem Punkt stetig x 0. Die gegenteilige Schlussfolgerung wäre jedoch falsch. Zum Beispiel eine Funktion, die an jedem Punkt stetig ist

dessen Graph die Winkelhalbierenden des ersten und zweiten Koordinatenwinkels ist, mit X= 0 hat keine Ableitung, weil Verhältnis Δ j/Δ X hat bei Δ keine Grenze X→ 0: wenn Δ X> 0, dieses Verhältnis ist +1, und wenn Δ X Kontinuierliche Funktion).

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt. Für die Klasse der Funktionen mit einer Ableitung ist diese Operation linear.

Formeltabelle und Differenzierungsregeln

(C)´ = 0; ( x n)´ = nx n-1;

(ein x)´ = ein x ln A Und ( ex)´ = ex;

(Protokoll ein x)´ = 1/ X ln A und (ln X)´ = 1/ X;

(Sünde X)´ = cos X; (weil X)´ = – Sünde X;

(tg X)´ = 1/cos 2 X; (ctg X)´ = – 1/sin 2 X;

(Bogen tg X)´ = 1/(1 + x 2).

[F(X) ± G(X)]´ = F´( X) ± G´( X);

[Vgl(X)]´ = Vgl´( X);

[F(X) G(X)]´ = F´´( X) G(X) + F(X) G´( X);

Wenn j = F(u) Und u = φ( X), d.h. j = F[φ( X)], Das dy/dx = (dy/du)․(du/dx) = F" (u)φ"( X).

Wenn die Ableitung F"(X) wiederum eine Ableitung hat, dann heißt sie zweite Ableitung der Funktion bei = F(X) und bezeichnen

y", F"(X), d 2 y/dx 2, d 2 f/dx 2 oder D 2 f(X).

Für einen Punkt, der sich geradlinig bewegt, charakterisiert die zweite Ableitung seine Beschleunigung.

Ableitungen höherer (ganzzahliger) Ordnung werden auf ähnliche Weise definiert. Ableitung der Ordnung N bezeichnet durch

y n, fn(X), d n j/dx n, d n f/dx n oder D n f(X).

Differential. Funktion bei = F(X), dessen Definitionsbereich eine Umgebung des Punktes enthält x 0, soll an diesem Punkt differenzierbar sein x 0, wenn es sich um ein Inkrement handelt

Δ j = F(x 0 + Δ X) - F(x 0)

kann in das Formular geschrieben werden

Δ bei = AΔ X + αΔ X,

Wo A = A(x 0), α = α( X, x 0) → 0 bei X → x 0. In diesem und nur in diesem Fall der Ausdruck AΔ X wird als Differential der Funktion bezeichnet F(X) am Punkt x 0 und ist bezeichnet dy oder df(x 0). Geometrisch gesehen ist das Differential (bei einem festen Wert x 0 und sich änderndes Inkrement Δ X) stellt das Inkrement der Ordinate der Tangente dar, also des Segments NT(cm. Reis. ). Differential dy ist eine Funktion beider Punkte x 0, und aus dem Inkrement Δ X. Sie sagen, dass das Differential der wichtigste lineare Teil des Inkrements der Funktion ist, was damit gemeint ist, dass es sich um einen festen Wert handelt x 0, dy ist eine lineare Funktion von Δ X und die Differenz Δ j - dy bezüglich Δ unendlich klein ist X. Für die Funktion F(X) ≡ X wir haben dx = Δ X, d.h. das Differential der unabhängigen Variablen stimmt mit ihrem Inkrement überein. Deshalb schreiben sie normalerweise dy = Adx. Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Differential einer Funktion und ihrer Ableitung. Damit eine Funktion einer Variablen j = F(x) hatte am Punkt x 0 Differential ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine (endliche) Ableitung hat F"(x 0), und die Gleichheit ist wahr dy = F"(x 0) dx. Die visuelle Bedeutung dieses Satzes ist die Tangente an die Kurve j = F(X) am Abszissenpunkt x 0 Als Grenzlage einer Sekante gilt auch eine Gerade, die in einer infinitesimalen Umgebung eines Punktes liegt x 0 liegt näher an der Kurve als jede andere Gerade. Also immer A(x 0) = F"(x 0); Aufzeichnung dy/dx kann nicht nur als Notation für die Ableitung verstanden werden F"(x 0), sondern auch als Verhältnis der Differentiale der abhängigen und unabhängigen Variablen. Aufgrund der Gleichheit dy = F"(x 0) dx Die Regeln zum Auffinden von Differentialen ergeben sich direkt aus den entsprechenden Regeln zum Auffinden von Ableitungen.

Es werden auch Differenzen höherer Ordnung berücksichtigt. In der Praxis werden mit Hilfe von Differentialen häufig Näherungsberechnungen von Funktionswerten durchgeführt und dabei auch Rechenfehler beurteilt. Angenommen, Sie müssen den Wert der Funktion berechnen F(X) am Punkt X, wenn bekannt F(x 0) Und F"(x 0). Wenn wir das Inkrement einer Funktion durch ihr Differential ersetzen, erhalten wir die ungefähre Gleichheit

F(x 1) ≈ F(x 0) + df(x 0) = F(x 0) + F"(x 0) (x 1 - x 0).

Der Fehler dieser Gleichheit ist ungefähr gleich der Hälfte des zweiten Differentials der Funktion, d.h.

1/2 d 2 f = 1/2 F"(x 0)(x 1 – x 0) 2 .

Diese Vorschläge ermöglichen Methoden von D. und. Führen Sie eine detaillierte Untersuchung des Verhaltens von Funktionen durch, die ausreichend glatt sind (d. h. Ableitungen ausreichend hoher Ordnung aufweisen). Auf diese Weise ist es möglich, den Grad der Glätte, Konvexität und Konkavität, die Zunahme und Abnahme von Funktionen (siehe Zunehmende und abnehmende Funktionen), ihre Extrema zu untersuchen, ihre Asymptoten (siehe Asymptote) und Wendepunkte (siehe Wendepunkt) zu finden. , berechnen Sie die Krümmung (siehe . Krümmung) einer Kurve, finden Sie die Natur ihrer singulären Punkte heraus (siehe singulärer Punkt) usw. Zum Beispiel die Bedingung F"(X) > 0 führt zu einem (strikten) Anstieg der Funktion bei = F(X) und die Bedingung F"(X) > 0 - seine (strikte) Konvexität. Alle Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion, die zum Inneren ihres Definitionsbereichs gehören, liegen zwischen den Wurzeln der Gleichung F"(X) = 0.

Die Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen ist die Hauptanwendung der dynamischen Theorie. Darüber hinaus D. und. ermöglicht die Berechnung verschiedener Arten von Funktionsgrenzen, insbesondere der Grenzen der Form 0/0 und ∞/∞ (siehe Unbestimmter Ausdruck (siehe Unbestimmte Ausdrücke), L'Hopital-Regel). D. und. Es ist besonders praktisch für das Studium elementarer Funktionen, weil in diesem Fall werden ihre Ableitungen explizit ausgeschrieben.

D. und. Funktionen vieler Variablen. Methoden D. und. werden verwendet, um Funktionen mehrerer Variablen zu untersuchen. Für eine Funktion zweier unabhängiger Variablen z = F (X, bei) partielle Ableitung nach X die Ableitung dieser Funktion nach X konstant bei. Diese partielle Ableitung wird bezeichnet z"x, f"x(X, j), ∂z/∂X oder ∂ F(X, j)/∂X, Also

Die partielle Ableitung wird ähnlich definiert und bezeichnet z Von bei. Größe

Δ z = F(X + Δ X, j + Δ j) - F(X, j)

heißt das vollständige Inkrement der Funktion z = F(X, j). Wenn es im Formular dargestellt werden kann

Δ z = AΔ X + INΔ bei + α,

wobei α ein Infinitesimalwert höherer Ordnung als der Abstand zwischen Punkten ist ( X, bei) Und ( X + Δ X, bei + Δ bei), dann sagen sie, dass die Funktion z = F(X, j) ist differenzierbar. Komponenten AΔ X + INΔ bei ein totales Differential bilden dz Funktionen z = F(X, j), Und A = z"x, B = z" y. Anstelle von Δ X und Δ j normalerweise schreiben dx Und dy, Also

Geometrisch bedeutet die Differenzierbarkeit einer Funktion zweier Variablen, dass ihr Graph eine Tangentenebene hat und das Differential das Inkrement des Applikaten der Tangentenebene darstellt, wenn die unabhängigen Variablen Inkremente erhalten dx Und dy. Für eine Funktion zweier Variablen ist der Begriff des Differentials viel wichtiger und natürlicher als der Begriff der partiellen Ableitungen. Im Gegensatz zu Funktionen einer Variablen ist bei Funktionen zweier Variablen die Existenz beider partieller Ableitungen erster Ordnung keine Garantie für die Differenzierbarkeit der Funktion. Sind jedoch auch die partiellen Ableitungen stetig, dann ist die Funktion differenzierbar.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung werden ähnlich definiert. Partielle Ableitungen ∂ 2 f/∂x 2 und ∂ 2 f/∂um 2, bei denen nach einer Variablen differenziert wird, heißen reine und partielle Ableitungen ∂ 2 f/∂X∂j und ∂ 2 f/∂bei∂X- gemischt. Wenn gemischte partielle Ableitungen stetig sind, dann sind sie einander gleich. Alle diese Definitionen und Notationen lassen sich auf den Fall einer größeren Anzahl von Variablen übertragen.

Historische Referenz. Einzelne Probleme zur Bestimmung von Tangenten an Kurven und zur Ermittlung der Maximal- und Minimalwerte von Variablen wurden von Mathematikern des antiken Griechenlands gelöst. Beispielsweise wurden Methoden gefunden, um Tangenten an Kegelschnitte und einige andere Kurven zu konstruieren. Die von antiken Mathematikern entwickelten Methoden waren jedoch nur in ganz besonderen Fällen anwendbar und waren weit von den Ideen von D. und entfernt.

Die Ära der Schöpfung von D. und. Als eigenständiger Zweig der Mathematik sollte man die Zeit betrachten, in der man verstanden hat, dass diese speziellen Probleme zusammen mit einer Reihe anderer (insbesondere dem Problem der Bestimmung der Momentangeschwindigkeit) mit demselben mathematischen Apparat gelöst werden – mit Ableitungen und Differentialen. Dieses Verständnis wurde von I. Newton und G. Leibniz erreicht.

Um 1666 entwickelte I. Newton die Fluxion-Methode (siehe Fluxion-Kalkül). Newton formulierte die Hauptaufgaben aus mechanischer Sicht: 1) Bestimmung der Bewegungsgeschwindigkeit basierend auf der bekannten Abhängigkeit des Weges von der Zeit; 2) Bestimmung der in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Strecke anhand einer bekannten Geschwindigkeit. Newton nannte eine kontinuierliche Variable fließend (Strom), ihre Geschwindigkeit Fluxion. Daher waren Newtons Hauptkonzepte die Ableitung (Fluxion) und das unbestimmte Integral als Stammfunktion (Fluientia). Er versuchte, die Methode der Fluxionen mit Hilfe der Grenzwerttheorie zu begründen, obwohl diese von ihm nur skizziert wurde.

Mitte der 70er Jahre. 17. Jahrhundert G. Leibniz hat einen sehr praktischen Algorithmus für D. und entwickelt. Die Hauptkonzepte von Leibniz waren das Differential als unendlich kleiner Zuwachs einer Variablen und das bestimmte Integral als Summe einer unendlich großen Anzahl von Differentialen. Leibniz‘ Notation für das Differential dx und Integral ∫ ydx, eine Reihe von Differenzierungsregeln, eine praktische und flexible Symbolik und schließlich der Begriff „Differentialrechnung“ selbst. Weiterentwicklung von D. und. folgte zunächst dem von Leibniz vorgezeichneten Weg; Die Werke der Brüder J. und I. Bernoulli, B. Taylor und anderer spielten in dieser Phase eine große Rolle.

Die nächste Stufe in der Entwicklung von D. und. Es gab Werke von L. Euler und J. Lagrange (18. Jahrhundert). Euler begann sie zunächst als analytische Disziplin darzustellen, unabhängig von Geometrie und Mechanik. Als Grundkonzept führte er erneut D. und. Derivat. Lagrange versuchte, D. und zu bauen. algebraisch unter Verwendung der Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen; Er war insbesondere für die Einführung des Begriffs „Derivat“ und die Bezeichnung verantwortlich y" oder F"(X). Zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Das Problem der Begründung von D. und. basierend auf der Grenzwerttheorie. Dies gelang vor allem der Arbeit von O. Cauchy, B. Bolzano und C. Gauss. Eine eingehendere Analyse der ursprünglichen Konzepte von D. und. war mit der Entwicklung der Mengenlehre und der Theorie der Funktionen einer reellen Variablen im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert verbunden.

Zündete.: Geschichte. Willeitner G., Geschichte der Mathematik von Descartes bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts, trans. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1966; Stroik D. Ya., Kurzer Abriss der Geschichte der Mathematik, trans. aus dem Deutschen, 2. Aufl., M., 1969; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - V., 1901-24.

Die Werke der Gründer und Klassiker von D. und. Newton I., Mathematische Werke, trans. aus dem Lateinischen, M. - L., 1937; Leibniz G., Ausgewählte Auszüge aus mathematischen Werken, trans. aus dem Lateinischen, „Advances in Mathematical Sciences“, 1948, Bd. 3, Jahrhundert. 1; L'Hopital G. F. de, Analyse der Infinitesimalzahlen, übersetzt aus dem Französischen, M. - Leningrad, 1935; Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen, 2. Aufl., Bd. 1, 1961; , Differentialrechnung, übersetzt aus dem Lateinischen, M. - L., 1949; Cauchy O. L., Zusammenfassung der Lektionen über Differential- und Integralrechnung, übersetzt aus dem Französischen, St. Petersburg, 1831; seine, Algebraische Analyse, übersetzt aus dem Französischen, Leipzig, 1864 .

Lehrbücher und Lehrmittel zu D. und. Khinchin A. Ya., Kurzkurs in mathematischer Analyse, 3. Aufl., M., 1957; von ihm, Acht Vorlesungen über mathematische Analyse, 3. Aufl., M. - L., 1948; Smirnov V.I., Course of Higher Mathematics, 22. Auflage, Bd. 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Course of Differential and Integral Calculus, 7. Auflage, Bd. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Kurs zur Analyse von Infinitesimalzahlen, trans. aus Französisch, Bd. 1, L. - M., 1933; Kurant R., Kurs der Differential- und Integralrechnung, trans. mit ihm. und Englisch, 4. Aufl., Bd. 1, M., 1967; Banach S., Differential- und Integralrechnung, trans. aus dem Polnischen, 2. Aufl., M., 1966; Rudin U., Grundlagen der mathematischen Analyse, trans. aus dem Englischen, M., 1966.

Herausgegeben von S. B. Stechkin.

Groß Sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Differentialrechnung einer Funktion einer Variablen.

Ableitung einer Funktion, ihre geometrische und physikalische Bedeutung.

Definition. Die Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x =x 0 ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an diesem Punkt zum Inkrement des Arguments, falls vorhanden.

		f(x+x)−f(x)
	f(x) = lim
	f(x) = lim
	x →0

f(x0 + x)

f(x0)

		x0 + x

Sei f(x) in einem Intervall (a, b) definiert. Danng β =				f−

Tangens des Neigungswinkels der Sekante MR zum Funktionsgraphen.


	lim tan β = lim		F (x 0 ) =tg α
	x →0	x →0x

wobei α der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) am Punkt (x 0 , f(x 0 )) ist.

Der Winkel zwischen Kurven kann als der Winkel zwischen den Tangenten definiert werden, die an jedem Punkt an diese Kurven gezogen werden.

Gleichung einer Tangente an eine Kurve:		y−y0
Gleichung einer Tangente an eine Kurve:		y−y0		(x 0 )(x −x 0 )

Gleichung der Normalen zur Kurve:	y −y 0 = −				(x −x 0 ).


			f(x0)

Tatsächlich zeigt die Ableitung einer Funktion die Änderungsrate der Funktion, also wie sich die Funktion ändert, wenn sich die Variable ändert.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung der Funktion f(t), wobei t die Zeit und f(t) das Bewegungsgesetz (Koordinatenänderung) ist – die momentane Bewegungsgeschwindigkeit.

Dementsprechend ist die zweite Ableitung der Funktion die Geschwindigkeitsänderungsrate, d.h. Beschleunigung.

Grundregeln der Differenzierung.

Bezeichnen wir f(x) = u, g(x) = v – am Punkt x differenzierbare Funktionen.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u × v)¢ = u× v¢ + u¢× v

Diese Regeln lassen sich leicht mit Grenzwertsätzen beweisen.

Ableitungen grundlegender Elementarfunktionen.

1) C ¢ = 0;

2) (x n )¢ = nxn-1 ;

(x)¢ =1

11) (sinx) ′ = cosx

(x2 )¢ = 2x

12) (cosx) ′ = − sinx

) ′=

13) (tgx) ′ =

cos2 x

1 '

14) (ctgx)

Sünde 2 x

(ex)′ = ex

15) (arcsinx) ′ =

− x 2

(ax) ′ = ax ln a

16) (arccosx) ′ = −

1 − x 2

9) (lnx) ′ =

17) (arctgx) ′ =

(loga x) ′ =

18) (arcctgx) ′ = −

x ln a

1+x2

Ableitung einer komplexen Funktion.

Satz. Sei y = f(u); u = g(x), und der Wertebereich der Funktion u ist im Definitionsbereich der Funktion f enthalten.

Dann ist y ′ = f ′ (u )× u ′

Logarithmische Differentiation.

y = log

ln x ,at

x > 0

Betrachten Sie die Funktion

ln(−x),

bei x< 0

(−x)′

Dann ist (ln x )′=

x, weil (ln x)

X ; (ln(−x))

− x

Unter Berücksichtigung des erhaltenen Ergebnisses können wir schreiben (ln

)′

f(x)

Die Relation f′(x) heißt logarithmische Ableitung Funktionen f(x).

f(x)

Logarithmische Differenzierungsmethode besteht darin, zunächst die logarithmische Ableitung der Funktion und dann die Ableitung der Funktion selbst mithilfe der Formel zu ermitteln

f ¢ (x)= (lnf (x))¢ × f (x)

Die Methode der logarithmischen Differenzierung eignet sich gut zum Auffinden von Ableitungen komplexer, insbesondere exponentieller und exponentieller Funktionen, bei denen die direkte Berechnung der Ableitung mithilfe von Differenzierungsregeln arbeitsintensiv erscheint.

Ableitung einer Exponentialfunktion.

Eine Funktion heißt exponentiell, wenn die unabhängige Variable im Exponenten enthalten ist, und Potenz, wenn die Variable eine Basis ist. Wenn sowohl die Basis als auch der Exponent von der Variablen abhängen, ist eine solche Funktion eine Exponentialfunktion.

Seien u = f(x) und v = g(x) Funktionen, die Ableitungen an den Punkten ,f(x)>0 haben.

Finden wir die Ableitung der Funktion y = u v . Wenn wir logarithmieren, erhalten wir:

		du‘
	y¢ = uv v		V ¢ln u



	(u v ) ′ =vu v −1 u ′ +u v v ′ lnu
Beispiel. Finden Sie die Ableitung der Funktion f (x) = (x 2				3 x ) xcos x.
Mit der oben erhaltenen Formel erhalten wir: u = x 2 + 3 x ;				v = xcos x;
Ableitungen dieser Funktionen: u ′ = 2 x + 3;			v ′ = cosx −x sinx ;
Endlich:

f ¢ (x )= x cosx × (x 2 + 3x )x cos x −1 × (2x + 3)+ (x 2 + 3x )x cos x (cosx - x sinx )ln(x 2 + 3x )

Ableitung von Umkehrfunktionen.

Es sei notwendig, die Ableitung der Funktion y = f(x) zu finden, vorausgesetzt, dass ihre Umkehrfunktion x = g(y) am entsprechenden Punkt eine von Null verschiedene Ableitung hat.

Um dieses Problem zu lösen, differenzieren wir die Funktion x = g(y) x :

dy = 1 dx dx

diese. Die Ableitung einer Umkehrfunktion ist die Umkehrung der Ableitung einer gegebenen Funktion.

Beispiel. Finden Sie die Formel für die Ableitung der Funktion y=arctgx.

Die arctgx-Funktion ist die Umkehrfunktion der tgx-Funktion, d. h. seine Ableitung kann wie folgt gefunden werden:

y = tgx;

x = arctgy;

Es ist bekannt, dass

y′ = (tgx)′ =

weil 2

Mit der obigen Formel erhalten wir:

y′ =

d(arctgy)

1/ weil 2

d(arctgy)/dx

1 + tan 2 x = 1 +y 2 ;

aufschreiben

Finale

weil 2

Formel für die Ableitung des Arkustangens:

(arctgy)

1+ Jahr 2

(arctgx)

X 2 .

Auf die gleiche Weise wurden alle in der Ableitungstabelle angegebenen Formeln für die Ableitungen von Arkussinus, Arkuskosinus und anderen Umkehrfunktionen erhalten.

Funktionsdifferential.

Die Funktion y = f(x) habe eine Ableitung an den Punkten:


					f(x)
			x →0
Dann können wir schreiben:
			f (x) + α, wobei α→0, Ankunft →0.

Somit:	Dy =f			A × Dx.
		(x)×D x
Wert αΔx -	Infinitesimal höherer Ordnung als f ′(x) x,
diese. f ′(x) x – Hauptteil des Inkrements

Definition. Das Differential der Funktion f(x) an Punkten ist der lineare Hauptteil des Inkrements der Funktion.

Bezeichnet mit dy oder df(x).

Aus der Definition folgt, dass dy = f ¢ (x) D x oder dy = f ′ (x)dx

Sie können auch schreiben: f ′(x) =dy dx

Geometrische Bedeutung des Differentials.

Aus dem Dreieck MKL: KL = dy = tan a×D x = y ¢×D x

Somit ist das Differential der Funktion f(x) an Punkten gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an den Graphen dieser Funktion am betreffenden Punkt.

Differenzielle Eigenschaften.

Wenn u = f(x) und v = g(x) am Punkt x differenzierbare Funktionen sind, dann ergeben sich direkt aus der Definition des Differentials folgende Eigenschaften:

1) d(u ± v) = (u± v)¢ dx = u¢ dx± v¢ dx = du± dv

2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u¢ v + v¢ u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

					vdu − udv

Beispiel. Finden Sie die Ableitung der Funktion y = lntg

Sünde x

y¢ =

sin x −x cosx

Sünde 2 x

Sünde 2

sin x - sinx + x cosx

xcosx

Sünde 2 x

Beispiel. Finden Sie die Ableitung der Funktion y = arctan

2x4

1 - x 8

y¢ =

8x 3 (1- x 8 )- (- 8x 7 )2x 4

(1 - x 8) 2(8 x 3 - 8 x 11 + 16 x 11)

4x8

(1- x 8 )2

(1 + x 8) 2(1 - x 8) 2

(1 - x

8 x 3+ 8 x 11

8x 3 (1+ x 8 )

8x3

(1+ x 8 )2

1 +x 8

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

Die Funktion f(x) sei in einem bestimmten Intervall differenzierbar. Dann differenzieren wir es und erhalten die erste Ableitung

y ¢ =f ¢(x) =df (x) dx

Wenn wir die Ableitung der Funktion f ′(x) finden, erhalten wir zweite Ableitung Funktionenf(x).

y ¢¢ =f ¢¢(x) =d 2 f (x) dx 2

								n−1


									n−1

Allgemeine Regeln zum Finden höherer Ableitungen.

Wenn die Funktionen u = f(x) und v = g(x) differenzierbar sind, dann

1) (Cu) (n) = Cu(n) ;

2) (u ± v) (n)= u (n) ± v (n);

3) (u × v) (n)= vu (n)+ nu (n −1)v ¢ + n (n − 1) u (n −2)v ¢¢ + ... + n (n − 1 )...[ n − (k − 1)] u (n −k )v (k )+ ...

2! k!

Uv(n).

Dieser Ausdruck heißt Leibniz‘ Formel.

Mit der Formel d n y = f (n) (x)dx n kann auch ein Differential n-ter Ordnung ermittelt werden.

Unsicherheiten aufdecken.

Die Herrschaft von L'Hopital.

(L'Hopital (1661-1704) – französischer Mathematiker)

Als Unsicherheiten werden üblicherweise Folgendes klassifiziert:

Verhältnisse:

0 ;∞ ;¥ × 0;¥ 0 ; 1∞ ;¥ - ¥ 0¥

Satz (L'Hopital-Regel).Wenn die Funktionen f(x) und g(x)

in der Nähe von Punkt a differenzierbar sind, in Punkt a stetig sind, g′ (x) in der Nähe von a ungleich Null ist und f(a) = g(a) = 0, dann ist der Grenzwert des Verhältnisses der Funktionen x→ a gleich dem Grenzwert des Verhältnisses ihrer Ableitungen, wenn diese Grenze (endlich oder unendlich) existiert.

		f(x)
				f(x)

x→ag(x)			x→ ag ¢ (x)
Beispiel: Finden Sie den Grenzwert	1 + lnx

	e x - e
x →1

Wie Sie sehen können, versuchen Sie, den Grenzwert direkt zu berechnen

Das Ergebnis ist eine Unsicherheit der Form 0. Im Zähler enthaltene Funktionen

und der Nenner des Bruchs erfüllen die Anforderungen des Satzes von L'Hopital.

f′ (x) = 2x +			g′ (x) = ex ;

x →1

g(x)

Beispiel: Finden Sie den Grenzwert

π − 2 arctgx .

x →∞

f ¢(x) = -

g¢(x) = e