Formulierung des Satzes des Pythagoras. Verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen

Eines können Sie hundertprozentig sicher sein: Auf die Frage nach dem Quadrat der Hypotenuse wird jeder Erwachsene kühn antworten: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieser Satz ist fest in den Köpfen jedes gebildeten Menschen verankert, aber man muss nur jemanden bitten, ihn zu beweisen, und schon können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns also und denken wir darüber nach verschiedene Wege Beweis des Satzes des Pythagoras.

Kurze Biografie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biographie der Person, die ihn in die Welt gesetzt hat, nicht so beliebt. Dies kann behoben werden. Bevor Sie sich mit den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes von Pythagoras befassen, müssen Sie daher kurz seine Persönlichkeit kennenlernen.

Pythagoras - Philosoph, Mathematiker, Denker ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biographie von den Legenden zu unterscheiden, die sich zum Gedenken an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Werken seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, nach der der Junge benannt wurde. Ihrer Vorhersage zufolge sollte der geborene Junge der Menschheit viel Nutzen und Gutes bringen. Genau das hat er getan.

Geburt des Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort berühmte ägyptische Weise zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen durfte er studieren, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Das mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Doch er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen durchführten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Methode zum Beweis dieses Theorems bekannt, sondern mehrere gleichzeitig. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen durchgeführt haben. Deshalb werden wir uns hier verschiedene Möglichkeiten ansehen, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen möchten. Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Es gibt insgesamt 15 verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Dies ist eine ziemlich große Zahl, daher konzentrieren wir uns auf die beliebtesten davon.

Methode eins

Lassen Sie uns zunächst definieren, was uns gegeben wurde. Diese Daten gelten auch für andere Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras, daher lohnt es sich, sich sofort alle verfügbaren Notationen zu merken.

Angenommen, wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und einer Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert auf der Tatsache, dass Sie aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat zeichnen müssen.

Dazu müssen Sie dem Bein der Länge a ein Segment hinzufügen, das dem Bein b entspricht, und umgekehrt. Dadurch sollten zwei gleiche Seiten des Quadrats entstehen. Jetzt müssen nur noch zwei parallele Linien gezeichnet werden, und schon ist das Quadrat fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat zeichnen, dessen Seite der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks entspricht. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ас und св aus zwei parallele Segmente zeichnen, die gleich s sind. Somit erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Jetzt muss nur noch das vierte Segment gezeichnet werden.

Basierend auf der resultierenden Zahl können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 beträgt. Wenn Sie in die Abbildung hineinschauen, können Sie erkennen, dass es neben dem inneren Quadrat noch vier rechtwinklige Dreiecke gibt. Die Fläche beträgt jeweils 0,5av.

Daher ist die Fläche gleich: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Daher (a + b) 2 = 2ab + c 2

Und daher ist c 2 =a 2 +b 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde auf der Grundlage einer Aussage aus dem Abschnitt der Geometrie über ähnliche Dreiecke abgeleitet. Es besagt, dass der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks im Durchschnitt proportional zu seiner Hypotenuse und dem Abschnitt der Hypotenuse ist, der vom Scheitelpunkt des 90°-Winkels ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also beginnen wir gleich mit dem Beweis. Zeichnen wir ein Segment CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Seiten der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch die Quadrierung beider Ungleichungen abgeschlossen werden.

AC 2 = AB * AD und CB 2 = AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), wobei AD + DV = AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Der Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Wege zu seiner Lösung erfordern eine vielseitige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Beschreibungen verschiedener Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras bedeuten möglicherweise nichts, bis Sie anfangen, selbst zu üben. Viele Techniken beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

IN in diesem Fall Es ist notwendig, ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD von der Seite BC aus zu vervollständigen. Somit gibt es nun zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Schenkel BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann gilt:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(von 2 - bis 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

von 2 - bis 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Da diese Option von den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die 8. Klasse kaum geeignet ist, können Sie die folgende Methode verwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Rezensionen

Historikern zufolge wurde diese Methode erstmals zum Beweis des Theorems verwendet antikes Griechenland. Es ist das einfachste, da es keinerlei Berechnungen erfordert. Wenn Sie das Bild richtig zeichnen, ist der Beweis der Aussage a 2 + b 2 = c 2 deutlich sichtbar.

Die Bedingungen für diese Methode unterscheiden sich geringfügig von der vorherigen. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen seine drei Seiten. Zusätzlich ist es notwendig, in das resultierende Quadrat zwei diagonale Linien zu zeichnen. Darin entstehen also vier gleichschenklige Dreiecke.

Sie müssen außerdem ein Quadrat zu den Beinen AB und CB zeichnen und in jedes davon eine diagonale gerade Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite von C.

Jetzt müssen Sie sich die resultierende Zeichnung genau ansehen. Da es auf der Hypotenuse AC vier Dreiecke gibt, die dem Original entsprechen, und auf den Seiten zwei, zeigt dies die Richtigkeit dieses Satzes.

Dank dieser Methode zum Beweis des Satzes des Pythagoras entstand übrigens der berühmte Satz: „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“

J. Garfields Beweis

James Garfield ist der zwanzigste Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er prägte nicht nur die Geschichte als Herrscher der Vereinigten Staaten, sondern war auch ein begnadeter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer öffentlichen Schule, wurde aber bald Direktor einer der höchsten Schulen Bildungsinstitutionen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung ermöglichte es ihm, eine neue Theorie zum Beweis des Satzes des Pythagoras vorzuschlagen. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Eckpunkte dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um letztendlich ein Trapez zu bilden.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Betrachtet man das resultierende Trapez als eine aus drei Dreiecken bestehende Figur, so ergibt sich seine Fläche wie folgt:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis ließe sich mehr als ein Band schreiben. Lehrhilfe. Aber gibt es einen Punkt, an dem dieses Wissen nicht in der Praxis angewendet werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Lehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur in vor geometrische Probleme. Absolventen werden bald die Schule verlassen, ohne zu wissen, wie sie ihr Wissen und ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden können.

Verwenden Sie tatsächlich den Satz des Pythagoras in Ihrem Alltagsleben Jeder kann. Und nicht nur in Professionelle Aktivität, aber auch bei gewöhnlichen Hausarbeiten. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang zwischen Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Bewegung Lichtstrahl im Weltraum. Es ist bekannt, dass sich Licht in beide Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Nennen wir die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und nennen wir mal die Hälfte der Zeit, die Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen T. Und die Geschwindigkeit des Strahls - C. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie denselben Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ändert sich bei der Beobachtung von Körpern auf diese Weise ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall beginnen sich auch stationäre Elemente mit der Geschwindigkeit v in zu bewegen umgekehrte Richtung.

Nehmen wir an, der Comicliner segelt nach rechts. Dann beginnen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl rast, nach links zu bewegen. Wenn sich der Strahl außerdem von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend erreicht das Licht bereits einen neuen Punkt C. Um die halbe Strecke zu ermitteln, um die sich Punkt A bewegt hat, müssen Sie multiplizieren die Geschwindigkeit des Liners um die Hälfte der Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit wandern könnte, müssen Sie die Hälfte des Weges mit einem neuen Buchstaben s markieren und den folgenden Ausdruck erhalten:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann teilt das Segment von Punkt A bis zum Liner dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke. Dank des Satzes des Pythagoras können Sie daher die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen kann.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben, es in der Praxis auszuprobieren. Betrachten wir daher alltäglichere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber welchen Nutzen hätten sie, wenn sie ihre Abonnenten nicht über Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit ein Telefon von einem Mobilfunkmast entfernt ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Nehmen wir an, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern verteilen kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Signalübertragungsradius) = 200 km;

OS (Radius Globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras sogar in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, beispielsweise bei der Bestimmung der Höhe eines Kleiderschranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da die Messung einfach mit einem Maßband durchgeführt werden kann. Viele Menschen fragen sich jedoch, warum es bei der Montage zu bestimmten Problemen kommt, wenn alle Messungen mehr als genau durchgeführt wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert und erst dann angehoben und an der Wand montiert wird. Daher muss sich die Seite des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl in der Höhe als auch in der Diagonale des Raums frei bewegen können.

Nehmen wir an, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke – 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm unter der Raumhöhe liegen sollte. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns anhand idealer Schrankabmessungen die Funktionsweise des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - alles passt.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Installation in diesem Raum geeignet. Denn das Anheben in eine vertikale Position kann zu Schäden am Körper führen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler geprüft haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben nutzen und völlig sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.

Jeder kennt den Satz des Pythagoras seit der Schule. Ein herausragender Mathematiker hat eine großartige Hypothese bewiesen, die derzeit von vielen Menschen verwendet wird. Die Regel lautet wie folgt: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Seit vielen Jahrzehnten ist es keinem einzigen Mathematiker gelungen, diese Regel in Frage zu stellen. Schließlich brauchte Pythagoras lange, um sein Ziel zu erreichen, so dass die Zeichnungen in der Folge im Alltag stattfanden.

1. Ein kleiner Vers zu diesem Satz, der kurz nach dem Beweis erfunden wurde, beweist direkt die Eigenschaften der Hypothese: „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“ Diese zweizeilige Zeile ist vielen Menschen in Erinnerung geblieben – bis heute wird das Gedicht beim Rechnen im Gedächtnis behalten.
2. Dieser Satz wurde „Hosen des Pythagoras“ genannt, da man beim Zeichnen in der Mitte ein rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten auf jeder Seite erhielt. Im Aussehen ähnelte diese Zeichnung einer Hose – daher der Name der Hypothese.
3. Pythagoras war stolz auf den entwickelten Satz, denn diese Hypothese unterscheidet sich von ähnlichen durch die maximale Menge an Beweisen. Wichtig: Die Gleichung wurde aufgrund von 370 wahren Beweisen in das Guinness-Buch der Rekorde aufgenommen.

   

4. Die Hypothese wurde von einer Vielzahl von Mathematikern und Professoren bewiesen verschiedene Länder auf viele Arten. Der englische Mathematiker Jones stellte die Hypothese bald vor und bewies sie mithilfe einer Differentialgleichung.

   

5. Derzeit kennt niemand den Beweis des Satzes durch Pythagoras selbst.. Die Fakten über die Beweise eines Mathematikers sind heute niemandem bekannt. Es wird angenommen, dass Euklids Beweis der Zeichnungen der Beweis von Pythagoras ist. Einige Wissenschaftler argumentieren jedoch mit dieser Aussage: Viele glauben, dass Euklid den Satz unabhängig und ohne die Hilfe des Erstellers der Hypothese bewiesen hat.

   

6. Heutige Wissenschaftler haben herausgefunden, dass der große Mathematiker nicht der erste war, der diese Hypothese entdeckte. Die Gleichung war schon lange vor ihrer Entdeckung durch Pythagoras bekannt. Dieser Mathematiker konnte die Hypothese nur wieder zusammenführen.

   

7. Pythagoras gab der Gleichung nicht den Namen „Satz des Pythagoras“. Dieser Name blieb nach dem „lauten Zweizeiler“ hängen. Der Mathematiker wollte lediglich, dass die ganze Welt seine Bemühungen und Entdeckungen erfuhr und nutzte.

   

8. Moritz Cantor, der große Mathematiker, fand und sah Notizen mit Zeichnungen auf altem Papyrus. Bald darauf erkannte Cantor, dass dieser Satz den Ägyptern bereits 2300 v. Chr. bekannt war. Nur dann hat niemand es ausgenutzt oder versucht, es zu beweisen.

   

9. Aktuelle Wissenschaftler gehen davon aus, dass die Hypothese bereits im 8. Jahrhundert v. Chr. bekannt war. Indische Wissenschaftler dieser Zeit entdeckten eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines Dreiecks mit rechten Winkeln. Allerdings konnte damals niemand die Gleichung durch Näherungsrechnungen sicher beweisen.

   

10. Der große Mathematiker Bartel van der Waerden kam nach dem Beweis der Hypothese zu einer wichtigen Schlussfolgerung: „Das Verdienst des griechischen Mathematikers wird nicht in der Entdeckung der Richtung und Geometrie gesehen, sondern nur in ihrer Begründung.“ Pythagoras verfügte über Rechenformeln, die auf Annahmen, ungenauen Berechnungen und vagen Vorstellungen beruhten. Einem herausragenden Wissenschaftler gelang es jedoch, daraus eine exakte Wissenschaft zu machen.“

    

11. Der berühmte Dichter sagte, dass er am Tag der Entdeckung seiner Zeichnung ein ruhmreiches Opfer für die Stiere errichtet habe. Nach der Entdeckung der Hypothese begannen Gerüchte zu kursieren, dass das Opfer von hundert Bullen „durch die Seiten von Büchern und Veröffentlichungen wanderte“. Witze scherzen bis heute, seitdem hätten alle Bullen Angst vor der neuen Entdeckung.

    

12. Ein Beweis dafür, dass es nicht Pythagoras war, der das Gedicht über die Hose erfand, um die von ihm vorgelegten Zeichnungen zu beweisen: Zu Lebzeiten des großen Mathematikers gab es noch keine Hosen. Sie wurden mehrere Jahrzehnte später erfunden.
13. Gedanken des Pythagoras über eigene Herrschaft: Das Geheimnis der Existenz auf der Erde liegt in den Zahlen. Schließlich untersuchte der Mathematiker auf der Grundlage seiner eigenen Hypothese die Eigenschaften von Zahlen, identifizierte Gleichheit und Ungerade und schuf Proportionen.

    

(laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten Harpedonaptes oder „Seilzieher“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen wir ein 12 m langes Seil und binden wir im Abstand von 3 m von einem Ende und 4 Metern vom anderen Ende einen farbigen Streifen daran fest. Der rechte Winkel liegt zwischen 3 und 4 Metern Länge. Den Harpedonaptianern könnte man einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man beispielsweise einen Holzwinkel verwendet, der von allen Zimmerleuten verwendet wird. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerei darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras bei den Babyloniern bekannt. In einem Text aus der Zeit Hammurabis, also aus dem Jahr 2000 v. e. wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben. Daraus lässt sich schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einer kritischen Untersuchung griechischer Quellen kam Van der Waerden (ein niederländischer Mathematiker) zu dem Schluss, dass eine hohe Wahrscheinlichkeit besteht, dass die Der Satz über das Quadrat der Hypotenuse war in Indien bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. bekannt. e.

Um 400 v. Chr. Chr. gab Platon laut Proklos eine Methode zum Auffinden pythagoräischer Drillinge an, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. Chr. e. Der älteste axiomatische Beweis des Satzes des Pythagoras erschien in Euklids Elementen.

Formulierungen

Geometrische Formulierung:

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

Algebraische Formulierung:

Das heißt, wir bezeichnen die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit und die Länge der Schenkel mit und :

Beide Formulierungen des Satzes sind gleichwertig, die zweite Formulierung ist jedoch einfacher; sie erfordert nicht den Begriff der Fläche. Das heißt, die zweite Aussage kann verifiziert werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras:

Nachweisen

An dieser Moment In der wissenschaftlichen Literatur sind 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Diese Vielfalt lässt sich nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklären.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon: Beweise nach der Flächenmethode, axiomatische und exotische Beweise (zum Beispiel mit Differentialgleichung).

Durch ähnliche Dreiecke

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der Beweise, der direkt aus den Axiomen konstruiert wurde. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe ab C und bezeichne seine Basis mit H. Dreieck ACHähnlich einem Dreieck ABC an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC. Durch Einführung der Notation

wir bekommen

Was ist gleichwertig

Wenn wir es addieren, erhalten wir

, was bewiesen werden musste

Beweise mit der Flächenmethode

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Sie alle nutzen Flächeneigenschaften, deren Beweis komplexer ist als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

Beweis durch Äquikomplementierung

1. Ordnen wir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke an, wie in Abbildung 1 gezeigt.
2. Viereck mit Seiten C ist ein Quadrat, da die Summe zweier spitzer Winkel 90° und der gerade Winkel 180° beträgt.
3. Die Fläche der gesamten Figur entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit der Seite (a+b) und andererseits der Summe der Flächen der vier Dreiecke und der Fläche des inneren Platzes.

Q.E.D.

Euklids Beweis

Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate ist, und dann die Flächen von das große und zwei kleine Quadrate sind gleich.

Schauen wir uns die Zeichnung links an. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet. Er schneidet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke – BHJI und HAKJ. jeweils. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau den Flächen der Quadrate entsprechen, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind.

Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Grundfläche wie Das gegebene Rechteck ist gleich der halben Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (in der Abbildung nicht dargestellt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA gemäß obiger Eigenschaft gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich: Die Dreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ist gleich. Nämlich - AB=AK, AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Wir drehen das Dreieck CAK um 90° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke in Frage wird übereinstimmen (aufgrund der Tatsache, dass der Winkel am Scheitelpunkt des Quadrats 90° beträgt).

Die Begründung für die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks ​​BHJI ist völlig ähnlich.

Damit haben wir bewiesen, dass sich die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats aus den Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate zusammensetzt. Die Idee hinter diesem Beweis wird durch die obige Animation weiter veranschaulicht.

Beweis von Leonardo da Vinci

Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung.

Betrachten wir die Zeichnung, wie aus der Symmetrie hervorgeht, schneidet das Segment das Quadrat in zwei identische Teile (da die Dreiecke gleich aufgebaut sind).

Wenn wir den Punkt um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehen, sehen wir die Gleichheit der schattierten Figuren und.

Nun ist klar, dass die Fläche der von uns schattierten Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der kleinen Quadrate (auf den Beinen aufgebaut) und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits ist sie gleich der halben Fläche des großen Quadrats (aufgebaut auf der Hypotenuse) plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Somit ist die halbe Summe der Flächen kleiner Quadrate gleich der halben Fläche des großen Quadrats, und daher ist die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate gleich der Fläche des auf den Beinen aufgebauten Quadrats Hypotenuse.

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Der folgende Beweis mithilfe von Differentialgleichungen wird oft dem berühmten englischen Mathematiker Hardy zugeschrieben, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte.

Schauen Sie sich die in der Abbildung gezeigte Zeichnung an und beobachten Sie den Seitenwechsel A können wir die folgende Beziehung für infinitesimale Seiteninkremente schreiben Mit Und A(unter Verwendung der Dreiecksähnlichkeit):

Mit der Methode der Variablentrennung finden wir

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen

Durch Integration dieser Gleichung und Verwendung Anfangsbedingungen, wir bekommen

So kommen wir zur gewünschten Antwort

Wie leicht zu erkennen ist, entsteht die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.

Ein einfacherer Beweis kann erhalten werden, wenn wir annehmen, dass eines der Beine kein Inkrement erfährt (in diesem Fall Bein). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante

Variationen und Verallgemeinerungen

Ähnliche geometrische Formen auf drei Seiten

Verallgemeinerung für ähnliche Dreiecke: Fläche der grünen Formen A + B = Fläche der blauen Formen C

Satz des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke

Euklid verallgemeinerte in seinem Werk den Satz des Pythagoras Anfänge, wodurch die Flächen der Quadrate an den Seiten zu Flächen ähnlicher Größe erweitert werden geometrische Formen :

Wenn wir ähnliche geometrische Figuren (siehe Euklidische Geometrie) auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruieren, dann ist die Summe der beiden kleineren Figuren gleich der Fläche der größeren Figur.

Die Hauptidee dieser Verallgemeinerung besteht darin, dass die Fläche einer solchen geometrischen Figur proportional zum Quadrat einer ihrer Figuren ist lineare Größe und insbesondere das Quadrat der Länge einer beliebigen Seite. Daher für ähnliche Figuren mit Flächen A, B Und C auf Seiten mit Länge gebaut A, B Und C, wir haben:

Aber nach dem Satz des Pythagoras gilt: A 2 + B 2 = C 2 dann A + B = C.

Umgekehrt, wenn wir das beweisen können A + B = C Für drei ähnliche geometrische Figuren ohne Verwendung des Satzes des Pythagoras können wir den Satz selbst beweisen, indem wir uns in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Beispielsweise kann das anfängliche Mitteldreieck als Dreieck wiederverwendet werden C auf der Hypotenuse und zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke ( A Und B), aufgebaut auf den anderen beiden Seiten, die durch Teilen des zentralen Dreiecks durch seine Höhe gebildet werden. Die Summe der Flächen der beiden kleineren Dreiecke ist dann offensichtlich gleich der Fläche des dritten, also A + B = C und wenn wir den vorherigen Beweis in umgekehrter Reihenfolge durchführen, erhalten wir den Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 .

Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall von mehr allgemeiner Satz Kosinus, der die Längen der Seiten in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:

wobei θ der Winkel zwischen den Seiten ist A Und B.

Wenn θ 90 Grad beträgt, dann cos θ = 0 und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.

Kostenloses Dreieck

Zu einer beliebigen ausgewählten Ecke eines beliebigen Dreiecks mit Seiten a, b, c Beschreibe ein gleichschenkliges Dreieck so, dass gleiche Winkel an seiner Basis war θ gleich dem ausgewählten Winkel. Nehmen wir an, dass der ausgewählte Winkel θ gegenüber der angegebenen Seite liegt C. Als Ergebnis erhalten wir ein Dreieck ABD mit einem Winkel θ, der auf der gegenüberliegenden Seite liegt A und Partys R. Das zweite Dreieck wird durch den Winkel θ gebildet, der auf der gegenüberliegenden Seite liegt B und Partys Mit Länge S, wie es auf dem Bild zu sehen ist. Thabit Ibn Qurra argumentierte, dass die Seiten dieser drei Dreiecke wie folgt zusammenhängen:

Wenn sich der Winkel θ π/2 nähert, wird die Basis des gleichschenkligen Dreiecks kleiner und die beiden Seiten r und s überlappen einander immer weniger. Wenn θ = π/2, wird ADB zu einem rechtwinkligen Dreieck, R + S = C und wir erhalten den ursprünglichen Satz des Pythagoras.

Betrachten wir eines der Argumente. Das Dreieck ABC hat die gleichen Winkel wie das Dreieck ABD, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. (Die beiden Dreiecke haben am Scheitelpunkt B einen gemeinsamen Winkel, beide haben einen Winkel θ und haben auch den gleichen dritten Winkel, basierend auf der Summe der Winkel des Dreiecks) Dementsprechend ähnelt ABC der Spiegelung ABD des Dreiecks DBA, as in der unteren Abbildung dargestellt. Schreiben wir die Beziehung zwischen gegenüberliegenden Seiten und denen, die an den Winkel θ angrenzend sind, auf.

Auch ein Spiegelbild eines anderen Dreiecks,

Lassen Sie uns die Brüche multiplizieren und diese beiden Verhältnisse addieren:

Q.E.D.

Verallgemeinerung für beliebige Dreiecke durch Parallelogramme

Verallgemeinerung für beliebige Dreiecke,
Grünanlage Grundstück = Fläche Blau

Beweis der These in der Abbildung oben

Lassen Sie uns eine weitere Verallgemeinerung für nicht rechtwinklige Dreiecke vornehmen, indem wir Parallelogramme auf drei Seiten anstelle von Quadraten verwenden. (Quadrate sind ein Sonderfall.) Die obere Abbildung zeigt, dass bei einem spitzen Dreieck die Fläche des Parallelogramms auf der langen Seite gleich der Summe der Parallelogramme auf den anderen beiden Seiten ist, vorausgesetzt, dass das Parallelogramm auf der langen Seite ist Die Seite ist wie in der Abbildung dargestellt aufgebaut (die durch die Pfeile angegebenen Abmessungen sind gleich und bestimmen die Seiten des unteren Parallelogramms). Dieser Ersatz von Quadraten durch Parallelogramme weist eine deutliche Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Satz des Pythagoras auf, der vermutlich von Pappus von Alexandria im Jahr 4 n. Chr. formuliert wurde. e.

Die untere Abbildung zeigt den Fortschritt des Beweises. Schauen wir uns die linke Seite des Dreiecks an. Das linke grüne Parallelogramm hat die gleiche Fläche wie die linke Seite des blauen Parallelogramms, weil beide die gleiche Grundfläche haben B und Höhe H. Darüber hinaus hat das linke grüne Parallelogramm die gleiche Fläche wie das linke grüne Parallelogramm im oberen Bild, da beide eine gemeinsame Basis (die obere linke Seite des Dreiecks) und eine gemeinsame Höhe senkrecht zu dieser Seite des Dreiecks haben. Mit ähnlichen Überlegungen für die rechte Seite des Dreiecks werden wir beweisen, dass das untere Parallelogramm die gleiche Fläche hat wie die beiden grünen Parallelogramme.

Komplexe Zahlen

Der Satz des Pythagoras wird verwendet, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem zu ermitteln. Dieser Satz gilt für alle wahren Koordinaten: Abstand S zwischen zwei Punkten ( a, b) Und ( CD) gleich

Es gibt keine Probleme mit der Formel, wenn komplexe Zahlen als Vektoren mit reellen Komponenten behandelt werden X + ich ja = (X, j). . Zum Beispiel Entfernung S zwischen 0 + 1 ich und 1 + 0 ich berechnet als Modul des Vektors (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), oder

Für Operationen mit Vektoren mit komplexen Koordinaten müssen jedoch bestimmte Verbesserungen an der Pythagoras-Formel vorgenommen werden. Abstand zwischen Punkten mit komplexe Zahlen (A, B) Und ( C, D); A, B, C, Und D alles komplex, wir formulieren mit absoluten Werten. Distanz S basierend auf der Vektordifferenz (A − C, B − D) V das folgende Formular: Lass den Unterschied A − C = P+ich Q, Wo P- echter Teil des Unterschieds, Q ist der Imaginärteil und i = √(−1). Ebenso lass B − D = R+ich S. Dann:

Wo ist die komplexe konjugierte Zahl für? Zum Beispiel der Abstand zwischen Punkten (A, B) = (0, 1) Und (C, D) = (ich, 0) , berechnen wir die Differenz (A − C, B − D) = (−ich, 1) und das Ergebnis wäre 0, wenn keine komplexen Konjugate verwendet würden. Wenn wir also die verbesserte Formel verwenden, erhalten wir

Das Modul ist wie folgt definiert:

Stereometrie

Eine bedeutende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für den dreidimensionalen Raum ist der Satz von de Goy, benannt nach J.-P. de Gois: Wenn ein Tetraeder einen rechten Winkel hat (wie bei einem Würfel), dann ist das Quadrat der Fläche der Fläche gegenüber dem rechten Winkel gleich der Summe der Quadrate der Flächen der anderen drei Flächen. Diese Schlussfolgerung kann wie folgt zusammengefasst werden: N-dimensionaler Satz des Pythagoras“:

Der Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum bezieht die Diagonale AD auf drei Seiten.

Eine weitere Verallgemeinerung: Der Satz des Pythagoras kann in der folgenden Form auf die Stereometrie angewendet werden. Betrachten Sie ein rechteckiges Parallelepiped, wie in der Abbildung gezeigt. Lassen Sie uns die Länge der Diagonale BD mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:

wobei die drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Wir verwenden die horizontale Diagonale BD und die vertikale Kante AB, um die Länge der Diagonale AD zu ermitteln. Dazu verwenden wir erneut den Satz des Pythagoras:

oder, wenn wir alles in eine Gleichung schreiben:

Dieses Ergebnis ist ein dreidimensionaler Ausdruck zur Bestimmung der Größe des Vektors v(Diagonale AD), ausgedrückt als senkrechte Komponenten ( v k ) (drei zueinander senkrechte Seiten):

Diese Gleichung kann als Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für den mehrdimensionalen Raum betrachtet werden. Das Ergebnis ist jedoch eigentlich nichts anderes als die wiederholte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf eine Folge rechtwinkliger Dreiecke in aufeinanderfolgenden senkrechten Ebenen.

Vektorraum

Im Fall eines orthogonalen Vektorsystems gibt es eine Gleichheit, die auch Satz des Pythagoras genannt wird:

Wenn es sich um Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen handelt, dann stimmt diese Formel mit dem euklidischen Abstand überein – und bedeutet, dass die Länge des Vektors gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten ist.

Das Analogon dieser Gleichheit im Fall eines unendlichen Vektorsystems heißt Parseval-Gleichheit.

Nichteuklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und gilt tatsächlich nicht für die nichteuklidische Geometrie in der oben dargelegten Form. (Das heißt, der Satz des Pythagoras erweist sich als eine Art Äquivalent zu Euklids Parallelitätspostulat.) Mit anderen Worten: In der nichteuklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks zwangsläufig eine andere Form haben als im Satz des Pythagoras. Beispielsweise sind in der Kugelgeometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (z. B A, B Und C), die den Oktanten (Achtelteil) der Einheitssphäre begrenzen, haben eine Länge von π/2, was dem Satz des Pythagoras widerspricht, weil A 2 + B 2 ≠ C 2 .

Betrachten wir hier zwei Fälle nichteuklidischer Geometrie – sphärische und hyperbolische Geometrie; In beiden Fällen folgt das Ergebnis, das den Satz des Pythagoras ersetzt, wie beim euklidischen Raum für rechtwinklige Dreiecke, aus dem Kosinussatz.

Der Satz des Pythagoras bleibt jedoch für die hyperbolische und elliptische Geometrie gültig, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe zweier Winkel des Dreiecks beispielsweise gleich dem dritten sein muss A+B = C. Dann sieht die Beziehung zwischen den Seiten so aus: die Summe der Flächen von Kreisen mit Durchmessern A Und B gleich der Fläche eines Kreises mit Durchmesser C.

Kugelförmige Geometrie

Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R(zum Beispiel, wenn der Winkel γ in einem Dreieck recht ist) mit Seiten A, B, C Die Beziehung zwischen den Parteien wird wie folgt aussehen:

Diese Gleichheit lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinussatzes herleiten, der für alle sphärischen Dreiecke gilt:

wobei cosh der hyperbolische Kosinus ist. Diese Formel ist ein Sonderfall des Satzes des hyperbolischen Kosinus, der für alle Dreiecke gilt:

Dabei ist γ der Winkel, dessen Scheitelpunkt der Seite gegenüberliegt C.

Wo G ij heißt metrischer Tensor. Es kann eine Funktion der Position sein. Zu solchen krummlinigen Räumen gehört die Riemannsche Geometrie allgemeines Beispiel. Diese Formulierung ist auch für den euklidischen Raum geeignet, wenn krummlinige Koordinaten verwendet werden. Beispiel für Polarkoordinaten:

Vektorgrafiken

Der Satz des Pythagoras verbindet zwei Ausdrücke für die Größe eines Vektorprodukts. Ein Ansatz zur Definition eines Kreuzprodukts erfordert, dass es die folgende Gleichung erfüllt:

Diese Formel verwendet das Skalarprodukt. Die rechte Seite der Gleichung wird als Gram-Determinante bezeichnet A Und B, was gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das von diesen beiden Vektoren gebildet wird. Basierend auf dieser Anforderung sowie der Anforderung, dass das Vektorprodukt senkrecht zu seinen Komponenten steht A Und B Daraus folgt, dass das Kreuzprodukt, mit Ausnahme trivialer Fälle aus dem 0- und 1-dimensionalen Raum, nur in drei und sieben Dimensionen definiert ist. Wir verwenden die Definition des Winkels in N-dimensionaler Raum:

Diese Eigenschaft eines Kreuzprodukts gibt seinen Betrag wie folgt an:

Durch grundlegend trigonometrische Identität Pythagoras erhalten wir eine andere Schreibweise seiner Bedeutung:

Ein alternativer Ansatz zur Definition eines Kreuzprodukts besteht darin, einen Ausdruck für seine Größe zu verwenden. Wenn wir dann in umgekehrter Reihenfolge argumentieren, erhalten wir einen Zusammenhang mit Skalarprodukt:

siehe auch

Anmerkungen

1. Geschichtsthema: Satz des Pythagoras in der babylonischen Mathematik
2. ( , S. 351) S. 351
3. ( , Bd. I, S. 144)
4. Diskussion historische Fakten gegeben in (, S. 351) S. 351
5. Kurt Von Fritz (April 1945). „Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasus von Metapontum“. Die Annalen der Mathematik, zweite Reihe(Annalen der Mathematik) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, „The Story with Knots“, M., Mir, 1985, S. 7
7. Asger Aaboe Episoden aus der Frühgeschichte der Mathematik. – Mathematical Association of America, 1997. – S. 51. – ISBN 0883856131
8. Python-Vorschlag von Elisha Scott Loomis
9. Euklids Elemente: Buch VI, Proposition VI 31: „In rechtwinkligen Dreiecken ist die Figur auf der Seite, die den rechten Winkel begrenzt, gleich den ähnlichen und ähnlich beschriebenen Figuren auf den Seiten, die den rechten Winkel enthalten.“
10. Lawrence S. Leff zitierte Arbeit. – Barrons Bildungsreihe – S. 326. – ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras // Große Momente in der Mathematik (vor 1650). – Mathematical Association of America, 1983. – S. 41. – ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (vollständiger Name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 n. Chr.) war ein in Bagdad lebender Arzt, der ausführlich über Euklids Elemente und andere mathematische Themen schrieb.
13. Aydin Sayili (März 1960). „Thâbit ibn Qurras Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras.“ Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul SallyÜbung 2.10 (ii) // Zitierte Arbeit. - S. 62. - ISBN 0821844032
15. Einzelheiten zu einer solchen Konstruktion finden Sie unter George Jennings Abbildung 1.32: Der verallgemeinerte Satz des Pythagoras // Moderne Geometrie mit Anwendungen: mit 150 Figuren. - 3. – Springer, 1997. – S. 23. – ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artikel C: Norm für einen beliebigen N-tuple ... // Eine Einführung in die Analyse. – Springer, 1995. – S. 124. – ISBN 0387943692 Siehe auch Seiten 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderne Differentialgeometrie von Kurven und Flächen mit Mathematica. - 3. – CRC Press, 2006. – S. 194. – ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matrixanalyse. – Springer, 1997. – S. 21. – ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking zitierte Arbeit. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC prägnante Enzyklopädie der Mathematik. - 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Stellen Sie sicher, dass das Dreieck, das Sie erhalten, ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. In rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.

• Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein Quadratsymbol angezeigt und nicht durch die Kurve, die schräge Winkel darstellt.

Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks. Beschriften Sie die Beine mit „a“ und „b“ (Beine sind Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit „c“ (Hypotenuse ist die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden möchten. Mit dem Satz des Pythagoras können Sie jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden (sofern die anderen beiden Seiten bekannt sind). Bestimmen Sie, welche Seite (a, b, c) Sie finden müssen.

• Zum Beispiel bei einer Hypotenuse von 5 und einem Bein von 3. In diesem Fall ist es notwendig, das zweite Bein zu finden. Wir werden später auf dieses Beispiel zurückkommen.
• Wenn die anderen beiden Seiten unbekannt sind, müssen Sie die Länge einer der unbekannten Seiten ermitteln, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Verwenden Sie dazu grundlegende trigonometrische Funktionen (wenn Sie den Wert eines der schrägen Winkel erhalten).

Setzen Sie die Ihnen angegebenen Werte (oder die von Ihnen gefundenen Werte) in die Formel a 2 + b 2 = c 2 ein. Denken Sie daran, dass a und b die Beine und c die Hypotenuse sind.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 3² + b² = 5².

Quadrieren Sie jede bekannte Seite. Oder lassen Sie die Potenzen weg – Sie können die Zahlen später quadrieren.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 9 + b² = 25.

Isolieren Sie die unbekannte Seite auf einer Seite der Gleichung.Übertragen Sie dazu die bekannten Werte auf die andere Seite der Gleichung. Wenn Sie die Hypotenuse finden, ist sie im Satz des Pythagoras bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert (Sie müssen also nichts tun).

• Verschieben Sie in unserem Beispiel 9 auf die rechte Seite der Gleichung, um das unbekannte b² zu isolieren. Sie erhalten b² = 16.

Entfernen Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung. In diesem Stadium steht auf der einen Seite der Gleichung eine Unbekannte (Quadrat) und auf der anderen Seite ein unbekannter Term (eine Zahl).

• In unserem Beispiel ist b² = 16. Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalten Sie b = 4. Das zweite Bein ist also gleich 4 .

Wenden Sie den Satz des Pythagoras in Ihrem täglichen Leben an, da er angewendet werden kann große Zahl praktische Situationen. Lernen Sie dazu, rechtwinklige Dreiecke im Alltag zu erkennen – in jeder Situation, in der sich zwei Objekte (oder Linien) im rechten Winkel schneiden und ein drittes Objekt (oder eine dritte Linie) die Spitzen der ersten beiden Objekte (oder) (diagonal) verbindet Linien), können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die unbekannte Seite zu finden (sofern die anderen beiden Seiten bekannt sind).

• Beispiel: Angenommen, eine Treppe lehnt an einem Gebäude. Die Unterseite der Treppe befindet sich 5 Meter vom Fuß der Mauer entfernt. Die Spitze der Treppe befindet sich 20 Meter über dem Boden (die Wand hinauf). Wie lang ist die Treppe?
  • „5 Meter vom Mauerfuß entfernt“ bedeutet, dass a = 5; „20 Meter über dem Boden gelegen“ bedeutet, dass b = 20 (d. h. Sie erhalten zwei Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, da sich die Gebäudewand und die Erdoberfläche im rechten Winkel schneiden). Die Länge der Treppe entspricht der Länge der Hypotenuse, die unbekannt ist.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Die ungefähre Länge der Leiter beträgt also 20,6 Meter.

Für diejenigen, die sich für die Geschichte des Satzes des Pythagoras interessieren, der in studiert wird Lehrplan Es wird auch interessant sein, eine Tatsache wie die Veröffentlichung eines Buches im Jahr 1940 mit dreihundertsiebzig Beweisen dieses scheinbar einfachen Theorems zu sehen. Aber es faszinierte den Geist vieler Mathematiker und Philosophen verschiedene Epochen. Im Guinness-Buch der Rekorde ist er als Satz mit der höchsten Anzahl an Beweisen verzeichnet.

Geschichte des Satzes des Pythagoras

Der mit dem Namen Pythagoras verbundene Satz war schon lange vor der Geburt des großen Philosophen bekannt. So wurde in Ägypten vor fünftausend Jahren beim Bau von Bauwerken das Seitenverhältnis eines rechtwinkligen Dreiecks berücksichtigt. Babylonische Texte erwähnen das gleiche Seitenverhältnis eines rechtwinkligen Dreiecks 1200 Jahre vor der Geburt von Pythagoras.

Es stellt sich die Frage: Warum sagt die Geschichte dann, dass der Ursprung des Satzes des Pythagoras ihm gehört? Darauf kann es nur eine Antwort geben: Er hat das Seitenverhältnis in einem Dreieck bewiesen. Er tat, was diejenigen, die einfach das durch Erfahrung etablierte Seitenverhältnis und die Hypotenuse verwendeten, vor Jahrhunderten nicht taten.

Aus dem Leben des Pythagoras

Der zukünftige große Wissenschaftler, Mathematiker und Philosoph wurde 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren. In historischen Dokumenten sind Informationen über den Vater von Pythagoras erhalten, der ein Schnitzer war Edelsteine, aber es gibt keine Informationen über die Mutter. Über den geborenen Jungen sagten sie, er sei ein außergewöhnliches Kind gewesen, das seit seiner Kindheit eine Leidenschaft für Musik und Poesie gezeigt habe. Historiker zählen Hermodamas und Pherekydes von Syros zu den Lehrern des jungen Pythagoras. Der erste führte den Jungen in die Welt der Musen ein, und der zweite, Philosoph und Begründer der italienischen Philosophieschule, richtete den Blick des jungen Mannes auf den Logos.

Im Alter von 22 Jahren (548 v. Chr.) ging Pythagoras nach Naukratis, um die Sprache und Religion der Ägypter zu studieren. Als nächstes führte sein Weg nach Memphis, wo er dank der Priester, die ihre genialen Tests bestanden hatten, die ägyptische Geometrie verstand, was den neugierigen jungen Mann vielleicht dazu veranlasste, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die Geschichte wird dem Theorem später diesen Namen geben.

Gefangenschaft des Königs von Babylon

Auf dem Heimweg nach Hellas wird Pythagoras vom König von Babylon gefangen genommen. Aber die Gefangenschaft kam dem neugierigen Geist des aufstrebenden Mathematikers zugute; er hatte viel zu lernen. Tatsächlich war die Mathematik in Babylon in jenen Jahren weiter entwickelt als in Ägypten. Er studierte zwölf Jahre lang Mathematik, Geometrie und Magie. Und vielleicht war es die babylonische Geometrie, die am Beweis des Verhältnisses der Seiten eines Dreiecks und der Geschichte der Entdeckung des Satzes beteiligt war. Pythagoras hatte dafür genügend Wissen und Zeit. Es gibt jedoch keine dokumentarische Bestätigung oder Widerlegung dafür, dass dies in Babylon geschah.

Im Jahr 530 v. Pythagoras flieht aus der Gefangenschaft in seine Heimat, wo er als Halbsklave am Hofe des Tyrannen Polykrates lebt. Pythagoras gibt sich mit einem solchen Leben nicht zufrieden, zieht sich in die Höhlen von Samos zurück und geht dann nach Süditalien, wo sich damals die griechische Kolonie Kroton befand.

Geheimer Klosterorden

Auf der Grundlage dieser Kolonie gründete Pythagoras einen geheimen Klosterorden, der gleichzeitig eine religiöse Vereinigung und eine wissenschaftliche Gesellschaft war. Diese Gesellschaft hatte eine eigene Satzung, in der es um die Einhaltung einer besonderen Lebensweise ging.

Pythagoras argumentierte, dass ein Mensch, um Gott zu verstehen, Wissenschaften wie Algebra und Geometrie kennen, Astronomie kennen und Musik verstehen muss. Forschung liefen auf die Kenntnis der mystischen Seite von Zahlen und Philosophie hinaus. Es sollte beachtet werden, dass es sinnvoll ist, die Prinzipien, die Pythagoras damals predigte, auch heute noch nachzuahmen.

Viele der Entdeckungen der Schüler des Pythagoras wurden ihm zugeschrieben. Kurz gesagt, die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras durch antike Historiker und Biographen dieser Zeit ist jedoch direkt mit dem Namen dieses Philosophen, Denkers und Mathematikers verbunden.

Lehren des Pythagoras

Vielleicht wurde die Idee des Zusammenhangs zwischen dem Satz und dem Namen Pythagoras durch die Aussage des großen Griechen angeregt, dass alle Phänomene unseres Lebens in dem berüchtigten Dreieck mit seinen Beinen und seiner Hypotenuse verschlüsselt sind. Und dieses Dreieck ist der „Schlüssel“ zur Lösung aller aufkommenden Probleme. Der große Philosoph sagte, dass man das Dreieck sehen sollte, dann kann man davon ausgehen, dass das Problem zu zwei Dritteln gelöst ist.

Pythagoras sprach mit seinen Schülern nur mündlich über seine Lehren, machte sich keine Notizen und hielt sie geheim. Leider sind die Lehren des größten Philosophen bis heute nicht erhalten. Etwas ist daraus durchgesickert, aber es ist unmöglich zu sagen, wie viel wahr und wie viel falsch an dem, was bekannt wurde, ist. Selbst in der Geschichte des Satzes des Pythagoras ist nicht alles sicher. Mathematikhistoriker bezweifeln die Urheberschaft von Pythagoras; ihrer Meinung nach wurde der Satz schon viele Jahrhunderte vor seiner Geburt verwendet.

Satz des Pythagoras

Es mag seltsam erscheinen, aber es gibt keine historischen Fakten, die den Satz von Pythagoras selbst belegen – weder in den Archiven noch in anderen Quellen. IN moderne Version Es wird angenommen, dass es niemand anderem als Euklid selbst gehört.

Es gibt Beweise von einem der größten Mathematikhistoriker, Moritz Cantor, der auf einem im Berliner Museum aufbewahrten Papyrus entdeckte, der von den Ägyptern um 2300 v. Chr. niedergeschrieben wurde. e. Gleichheit, die lautet: 3² + 4² = 5².

Kurze Geschichte des Satzes des Pythagoras

Die Formulierung des Satzes aus den euklidischen „Prinzipien“ klingt in der Übersetzung genauso wie in der modernen Interpretation. In ihrer Lesart gibt es nichts Neues: das Quadrat der Gegenseite rechter Winkel, ist gleich der Summe der Quadrate der an den rechten Winkel angrenzenden Seiten. Die Tatsache, dass die alten Zivilisationen Indiens und Chinas den Satz verwendeten, wird durch die Abhandlung „Zhou – bi suan jin“ bestätigt. Es enthält Informationen zum ägyptischen Dreieck, das das Seitenverhältnis mit 3:4:5 beschreibt.

Nicht weniger interessant ist ein weiteres chinesisches Mathematikbuch, „Chu Pei“, das ebenfalls das pythagoräische Dreieck erwähnt und Erklärungen und Zeichnungen enthält, die mit den Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmen. Über das Dreieck selbst sagt das Buch, dass, wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt werden kann, die Linie, die die Enden der Seiten verbindet, gleich fünf ist, wenn die Grundfläche gleich drei und die Höhe gleich vier ist .

Indische Abhandlung „Sulva Sutra“, etwa aus dem 7.-5. Jahrhundert v. Chr. h., spricht über die Konstruktion eines rechten Winkels mithilfe des ägyptischen Dreiecks.

Beweis des Satzes

Im Mittelalter hielten es Studenten für zu schwierig, einen Satz zu beweisen. Schwache Schüler lernten Theoreme auswendig, ohne die Bedeutung des Beweises zu verstehen. In diesem Zusammenhang erhielten sie den Spitznamen „Esel“, weil der Satz des Pythagoras für sie ein unüberwindbares Hindernis darstellte, wie eine Brücke für einen Esel. Im Mittelalter erfanden Studenten einen humorvollen Vers zum Thema dieses Theorems.

Um den Satz des Pythagoras zu beweisen der einfache Weg, sollten Sie einfach seine Seiten messen, ohne das Flächenkonzept im Beweis zu verwenden. Die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite beträgt c und a und b daneben, als Ergebnis erhalten wir die Gleichung: a 2 + b 2 = c 2. Diese Aussage wird, wie oben erwähnt, durch die Messung der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks überprüft.

Wenn wir den Beweis des Satzes mit der Betrachtung der Fläche der an den Seiten des Dreiecks aufgebauten Rechtecke beginnen, können wir die Fläche der gesamten Figur bestimmen. Sie entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit der Seite (a+b) und andererseits der Summe der Flächen von vier Dreiecken und dem inneren Quadrat.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , was bewiesen werden musste.

Praktische Bedeutung Der Satz des Pythagoras besagt, dass er verwendet werden kann, um die Länge von Segmenten zu ermitteln, ohne sie zu messen. Beim Bau von Bauwerken werden Abstände, die Platzierung von Stützen und Balken berechnet und Schwerpunkte bestimmt. Der Satz des Pythagoras gilt insgesamt moderne Technologien. Sie haben den Satz bei der Erstellung von Filmen in 3D-6D-Dimensionen nicht vergessen, bei dem zusätzlich zu den drei Dimensionen, die wir gewohnt sind, auch Höhe, Länge, Breite, Zeit, Geruch und Geschmack berücksichtigt werden. Wie hängen Geschmäcker und Gerüche mit dem Theorem zusammen, fragen Sie? Alles ist ganz einfach: Wenn Sie einen Film zeigen, müssen Sie berechnen, wo und welche Gerüche und Geschmäcker in den Zuschauerraum geleitet werden sollen.

Es ist nur der Anfang. Auf neugierige Köpfe warten unbegrenzte Möglichkeiten, neue Technologien zu entdecken und zu schaffen.